Cap´ıtulo 2 Ondas guiadas en barras -...

Capıtulo 2

Ondas guiadas en barras

2.1. Introduccion

Para explicar el comportamiento de las ondas guiadas en barras infinitas seva a tomar como punto de partida la teorıa para este tipo de ondas en placas,ya que ambas parten de los mismos principios y presentan unas caracterısticasgenerales comunes.

Al igual que en barras, cualquier fuente de excitacion dinamica que actuesobre una placa genera ondas elasticas en su interior, las cuales durante supropagacion sufren multiples reflexiones en las superficies superior e inferior.Todas estas ondas, que estan atrapadas en la placa, interfieren entre sı, y bajociertas condiciones se produce una interferencia constructiva que se caracterizapor una estructura estacionaria en la seccion transversal y una direccion depropagacion paralela a la placa. En lugar de hacer un seguimiento de cada unade esta ondas por separado, resulta mas conveniente analizar los patrones deinterferencia que se originan, a los cuales se les denomina modos. Las multiplesposibilidades de interferencias constructivas dan lugar a un infinito numero demodos posibles, que solo se propagan para ciertas combinaciones de frecuenciay numero de onda de acuerdo con la solucion elastodinamica. La velocidad depropagacion de cada modo depende no solo del material, sino tambien de lafrecuencia y del espesor de la placa, lo que confiere a estas ondas un caracterdispersivo. Ademas, la estructura modal de desplazamientos en la seccion varıaen general con la frecuencia.

Otro aspecto importante de las ondas guiadas es su capacidad para viajargrandes distancias. Una onda cilındrica propagandose en un espacio bidimen-sional infinito sufre una atenuacion del orden de O(1/r), con r la distancia a lafuente, que se debe al reparto de la energıa elastica en un frente de onda conun area creciente como O(r). Por contra, las ondas con frente de onda plano

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6 Capıtulo 2. Ondas guiadas en barras

en placas o en barras no sufren atenuacion por radiacion porque la geometrıafinita de la placa constrine la propagacion de las ondas y confina ası el flujo deenergıa a su seccion transversal. Los unicos mecanismos de atenuacion en estecaso serıan la difraccion por obstaculos y la disipacion de energıa debido a lanaturaleza dispersiva del medio.

En primer lugar en este capıtulo se presenta un planteamiento analıtico dela propagacion de ondas guiadas planas en placas elasticas homogeneas, por susemejanza con el caso de barras, que da lugar a dos subproblemas desacoplados:

deformacion antiplana

deformacion plana

originando cada uno de ellos una variedad de onda guiada diferente, ondas SHguiadas y ondas de Lamb respectivamente, cuyas caracterısticas esenciales seanalizan en secciones posteriores.

Al final del capıtulo se analiza el caso de ondas guiadas en barras infinitas deseccion circular partiendo de la ecuacion de Navier en coordenadas cilındricas.Se obtiene el campo de desplazamientos para los modos de propagacion de dichaseccion, que en este caso son tres modos (modos longitudinales, de torsion y deflexion).

2.2. Ondas planas guiadas en placas homoge-

neas e isotropas

Por la similitud al caso de barras, en esta seccion se estudia una onda planay armonica en regimen estacionario, que se encuentra guiada en una placa planae infinita de material elastico lineal, homogeneo e isotropo, con espesor cons-tante y con sus superficies libres de tracciones, como se muestra en la Figura2.1, donde se representan su direccion de propagacion y su frente de onda.

Para simplificar la descripcion matematica del problema, el sistema de re-ferencia cartesiano se elige de tal forma que el eje x coincida con la direccionde propagacion de la onda, el eje y sea perpendicular a la placa y tenga pororigen el plano medio de la misma y el eje z quede definido por la regla de lamano derecha. Por tratarse de una onda plana y gracias a la eleccion de ejesrealizada las variables elastodinamicas son independientes de la coordenada z.Para el caso de estudio de barras se va aconsiderar como eje de propagacion eleje z que es el que va a largo de toda la barra. Cualquier seccion de la barra

2.2. Ondas planas guiadas en placas homogeneas e isotropas 7

Figura 2.1 . Onda plana guiada en una placa infinita. Geometrıa y sistema de coordenadas

estara definida por las coordenadas x e y.

La propagacion de ondas en un material elastico lineal e isotropo esta go-bernada por las ecuaciones de Navier:

(λ+ µ)∇∇∇(∇∇∇ · u) + µ∇∇∇2u = ρu (2.1)

Para resolverlas es conveniente emplear la representacion de Helmholtz, queexpresa el campo de desplazamientos en funcion de un potencial escalar ϕ yotro vectorial Ψ de la siguiente forma:

u =∇∇∇ϕ+∇∇∇∧Ψ (2.2)

donde el campo de desplazamientos vendra representado por el siguiente vector:

u =

ux

uy

uz

(2.3)

Esta representacion del campo de desplazamientos es solucion de las ecua-ciones de Navier si los potenciales satisfacen las siguientes ecuaciones de ondadesacopladas:

∇∇∇2ϕ =1

c2Lϕ (2.4)

∇∇∇2Ψ =1

c2TΨ (2.5)

donde cL y cT son las velocidades de propagacion de las ondas longitudinalesy transversales respectivamente y tienen la expresion:

cL =

√λ+ 2µ

ρ; cT =

√µ

ρ(2.6)


Ademas, el laplaciano en cartesianas tiene la siguientes expresion:

∇∇∇2 =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2(2.7)

Puesto que la ec. (2.2) relaciona las tres componentes de los desplazamien-tos con cuatro funciones independientes, es necesario anadir una restriccionadicional que establezca una relacion entre estas ultimas. Habitualmente seemplea la siguiente condicion:

∇∇∇ ·Ψ = 0 (2.8)

Empleando coordenadas cartesianas y teniendo en cuenta que las ondas objetode estudio son planas propagandose paralelamente a la direccion x ( ∂

∂z= 0), la

ec. (2.2) puede reescribirse como:

ux =∂ϕ

∂x+∂ψz

∂y(2.9)

uy =∂ϕ

∂y− ∂ψz

∂x(2.10)

uz =∂ψy

∂x− ∂ψx

∂y(2.11)

Del mismo modo, la ec. (2.8) puede escribirse como:

∂ψx

∂x+∂ψy

∂y= 0 (2.12)

Para aplicar las condiciones de contorno en las superficies superior e inferiorde la placa es necesario aplicar compatibilidad y comportamiento a las ecs. (2.9)a (2.11) para tener las expresiones de las tracciones en un plano y = constante.Si se realizan estos calculos queda:

σxy = µ

[2∂2ϕ

∂x∂y+∂2ψz

∂y2− ∂2ψz

∂x2

](2.13)

σyy = λ∇∇∇2ϕ+ 2µ

[∂2ϕ

∂y2− ∂2ψz

∂x∂y

](2.14)

σzy = µ

[∂2ψy

∂x∂y− ∂2ψx

∂y2

]= µ

∂uz

∂y(2.15)

Observando las ecs. (2.9) a (2.15), se comprueba que el problema tridimen-sional puede descomponerse en dos problemas desacoplados:

2.3. Caso antiplano: ondas SH guiadas 9

deformacion en el plano xy exclusivamente, correspondiente a unas condi-ciones de deformacion plana que implica las siguientes variables de campo:ux, uy, σxx, σyy, σzz, σxy. En este caso solo intervienen los potenciales ϕy ψz.

deformacion en direccion z unicamente, correspondiente a un caso anti-plano que implica las siguientes variables de campo: uz, σxz, σyz. En estesubproblema solo intervienen los potenciales ψx y ψy.

Aunque los problemas de deformacion plana y antiplana se resolveran porseparado, la variacion espacio-temporal de las variables de campo (desplaza-mientos, deformaciones y tensiones) para una onda plana y armonica en regimenestacionario admite en ambos casos la misma expresion en variables separadas,y es:

f(x, y, z, t) = [[∂

∂z= 0]] = f(y)ei(kx+ωt) (2.16)

donde ω es la frecuencia angular, k = ω/c es el numero de onda, c es la velocidad

de fase de la onda guiada y f(y) es la estructura de la onda guiada a travesdel espesor de la placa. Debido a que el factor ei(kx+ωt) aparece en todas lasvariables, se puede simplificar la notacion definiendo unas variables auxiliares(con “gorro”) dividiendo las originales por dicho factor. Estas nuevas variablesson funciones exclusivas de y y representan la estructura de la onda guiada atraves del espesor de la placa.

2.3. Caso antiplano: ondas SH guiadas

En este problema en particular se tiene una placa de material elastico li-neal, isotropo y homogeneo de espesor d = 2h, en condiciones de deformacionantiplana en el plano xy (ux = uy = 0, ∂/∂z = 0), cuyas superficies estan libresde tracciones y cuya geometria se muestra en la Figura 2.1. Las ecuaciones quelo gobiernan son, como se ha visto en el apartado anterior:

∇2ψj =1

c2Tψj (2.17)

donde el subındice j puede tomar los valores x o y.

Al tratarse de ondas armonicas propagandose en la direccion x y con unaestructura estacionaria en la direccion y, los potenciales pueden escribirse envariables separadas:


ψj(x, y, z, t) = ψj(y)ei(kx+ωt) (2.18)

Sustituyendo estas expresiones en las ecs. (2.17) se obtienen sendas ecua-ciones diferenciales cuyas soluciones son:

ψj(y) = Ajsen(qy) +Bj cos(qy) (2.19)

donde:

q2 =ω2

c2T− k2 (2.20)

A partir de los potenciales de Helmholtz se obtienen los desplazamientos ytensiones empleando las ecs. (2.9) y (2.15). Combinando los terminos comunesy definiendo unas nuevas constantes se obtiene:

uz(y) = A0sen(qy) +B0 cos(qy) (2.21)

σyz(y) = µq[A0 cos(qy)−B0sen(qy)] (2.22)

σxz(y) = µikuz(y) (2.23)

Aplicando las condiciones de contorno de tracciones nulas en las superficiesde la placa y = ±h se obtiene un sistema de ecuaciones homogeneo cuyasincognitas son los coeficientes desconocidos A0 y B0 como el siguiente:

[σyz(+h)σyz(−h)

]= µq

[cos(qh) −sen(qh)cos(qh) sen(qh)

] [A0

B0

]=

[00

](2.24)

Solo cuando el determinante de la matriz sea nulo, este sistema admitesoluciones no triviales que corresponden a modos de propagacion de ondas SHguiadas en la placa. Esta condicion proporciona la siguiente ecuacion carac-terıstica (tambien denominada ecuacion de la dispersion o de la frecuencia):

0 = q2sen(qh) cos(qh) (2.25)

La ecuacion (2.25) se satisface de dos formas:

sen(qh)=0, en cuyo caso se tiene que A0 = 0, que corresponde a modoscuyos desplazamientos son simetricos respecto al plano medio de la placa(y = 0):

uz(y) = B0 cos(qy) ; σyz = −µqB0sen(qy) (2.26)

cos(qh)=0, en cuyo caso se tiene que B0 = 0, que corresponde a modos cuyosdesplazamientos son antisimetricos respecto al plano medio de la placa:

uz(y) = A0sen(qy) ; σyz = µqA0 cos(qy) (2.27)


La solucion de la ecuacion caracterıstica admite una expresion analıticaexplıcita valida para ambos casos:

qh =nπ

2(2.28)

siendo n un numero natural. Cada valor de n corresponde a un modo distinto(que se designa a partir de ahora como SHn), siendo los modos relaccionadoscon los valores de n pares modos simetricos, y los relacionados con valores den impares antisimetricos.

Es conveniente emplear las siguientes variables adimensionales:

numero de onda adimensional, definido como ξ = kh

frecuencia adimensional, definida como Ω = ωhcT

velocidad adimensional, definida como c = ccT

Empleando estas variables adimensionales y teniendo en cuenta la ec. (2.20),se puede reescribir la ec. (2.28) como:

ξ2 = Ω2 − Ω2n (2.29)

donde Ωn = nπ/2 es la frecuencia para la que el modo SHn tiene un numerode onda nulo, ξ = 0, y se denomina frecuencia de corte del modo SHn.

Para una frecuencia fija, la ec. (2.29) proporciona un numero finito denumeros de onda reales y un numero infinito de numeros de onda imagina-rios. Teniendo en cuenta que la dependencia funcional con x y t tiene la formaei(kx+ωt), los primeros dan lugar a modos que se propagan a lo largo de la pla-ca sin experimentar variacion en su amplitud (denominados modos reales) ylos segundos dan lugar a modos que no se propagan y cuya amplitud decaeexponencialmente en la direccion x (denominados modos evanescentes). Si seadopta un numero imaginario del numero de onda k = ib, la variacion con xy t resultante es eiωt−bx siendo el factor e−bx el causante de la disminucion dela amplitud del modo con la distancia1. En el caso de numeros de onda realesk = a, la variacion resultante con x y t es ei(ax+ωt), sientdo el factor eiax encausante de la propagacon en la direccion x2.

1Lo cual exige una eleccion adecuada del signo de b: b > 0 para x → +∞ y b < 0 parax → −∞

2La direccion de propagacion viene definida por el signo de a: x → −∞ para valorespositivos de a y x → +∞ para valores negativos


Solo en modo n = 0 (SH0) es real para todas las frecuencias. Cualquierotro modo SHn es evanescente para frecuencias inferiores a Ωn. Este caractermultimodal es comun a la propagacion de ondas en cualquier guıa de onda.

Si se estudia un modo cualquiera SHn de forma aislada, la solucion de laecuacion caracterıstica (ec. 2.25) proporciona una relacion entre ξ y Ω quese representa como una curva (o rama) en el espacio |<(ξ)| − |=(ξ)| − Ω. larepresentacion conjunta de las ramas correspondientes a todos los modos sedenomina espectro de frecuencia. Las proyecciones del espectro de frecuenciasobre los planos coordenados |<(ξ)| −Ω y |=(ξ)| −Ω se muestran en la Figura2.2 para Ω ≤ 20, donde se representan con una lınea azul las ramas de modossimetricos y con una lınea roja las ramas de modos antisimetricos.

0 5 10 15 2005101520

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

|ℜ (ξ)||ℑ (ξ)|

Ω

Figura 2.2 . Espectro de frecuencia analıtico de ondas SH guiadas. Modos reales y evanes-centes

Teniendo en cuenta la ec. (2.29), para cualquier rama n 6= 0 el tramo corres-pondiente a numeros de onda ξ reales es una parabola con asıntota Ω = ξ, y eltramo correspondiente a numeros de onda ξ imaginarios es una circunferenciade radio Ωn. La rama del modo SH0 es la recta Ω = ξ.

La velocidad de fase (velocidad a la que se propagan los valles y picos deuna onda armonica) tiene la definicion habitual:

c =ω

k=

Ω

ξcT ⇒ c =

c

cT=

Ω

ξ(2.30)

La interpretacion grafica de esta definicion sobre el espectro de frecuenciaes que la velocidad de fase adimensionalizada en un punto de la rama es lapendiente de la recta secante que une dicho punto con el origen. en el caso de


ondas SH guiadas es sencillo obtener una expresion analıtica de la velocidadde fase adiemnsionalizada:

c =1√

1−(

Ωn

Ω

)2(2.31)

En la Figura 2.3 se representa la variacion de c con la frecuencia para los mo-dos reales y Ω ≤ 20. Se observa que la velocidad de fase de todos los modos varıacon la frecuencia, salvo en el modo SH0, por lo que todos los modos n 6= 0 sondispersivos. Consecuentemente, cuando un pulso monocromatico de duracionfinita, caracterizado por un contenido en frecuencia que abarca un cierto anchode banda, se propague en la placa, experimentara un ensanchamiento en suforma debido a la diferente velocidad de propagacion de cada frecuencia queconstituye el pulso. Es decir, el pulso se esparce en el espacio y el tiempo amedida que se propaga. Este caracter dispersivo es comun a la propagacion deondas en cualquier guıa de onda. La representacion de las velocidades (de faseo de grupo) de los modos reales frente a la frecuencia se denomina curvas dedispersion.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

c/cT

Ω

n=0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Figura 2.3 . Curvas de dispersion Ω− c analıticas de ondas SH guiadas. Modos reales

Como las ondas SH guiadas son dispersivas, la velocidad de grupo (veloci-dad de propagacion del pulso formado por un conjunto de ondas de frecuenciasproximas y, tambien, velocidad de propagacion de la energıa) es diferente a lavelocidad de fase y tiene la siguiente expresion:

cgr =dω

dk⇒ cgr =

cgr

cT=dΩ

dξ(2.32)

La interpretacion grafica de esta definicion sobre el espectro de frecuenciaes que la velocidad de grupo en un punto de la rama es la pendiente de la recta


tangente a dicha rama en el punto considerado. Puede obtenerse de formasencilla una expresion analıtica para la velocidad de grupo de los modos SHn

reales:

cgr =

√1−

(Ωn

Ω

)2

=1

c(2.33)

en la cual se observa que la velocidad de grupo adimensional es la inversa dela velocidad de fase adimensional.

En la Figura 2.4 se representa la variacion de cgr con la frecuencia para losmodos reales y para Ω ≤ 20.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

cgr

/cT

Ω

n=0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Figura 2.4 . Curvas de dispersion Ω− cgr analıticas de ondas SH guiadas. Modos reales

Para ilustrar con mayor claridad el concepto de velocidad de grupo es conve-niente mostrar la propagacion de un pulso sencillo formado por la superposicionde dos ondas con frecuencias muy proximas ω1 y ω2, pertenecientes a la mismarama SHn, con la misma amplitud y propagandose en la misma direccion ysentido:

upulso(y) = Au(n)z (y)ei(k1x+ω1t) + Au(n)

z (y)ei(k2x+ω2t) (2.34)

Por otro lado, si se emplean razones trigonometricas se obtiene:

A(eiα + eiβ

)= 2Ae

i(α+β)2 cos

(α− β

2

)(2.35)

Con este resultado se puede reescribir la ecuacion (2.34) y queda:


upulso(y) = 2Au(n)z (y) ei(kmx+ωmt)︸︷︷︸

onda portadora

cos

(∆k

2x+

∆ω

2t

)︸︷︷︸

onda moduladora

(2.36)

donde km = (k1 + k2)/2, ωm = (ω1 + ω2)/2, ∆k = k2 − k1 y ∆ω = ω2 − ω1.Puede observarse en la ecuacion anterior que el pulso consiste en una onda

portadora de alta frecuencia ωm que viaja a una velocidad de fase c = ωm/km,modulada en amplitud por una onda de baja frecuencia ∆ω/2 que viaja a unavelocidad de grupo cgr = ∆ω/∆k (en el lımite se convierte en cgr == dω/dk).En la Figura 2.5 se representan los desplazamientos superficiales normalizadosproducidos por un pulso de este tipo en un instante determinado, donde seidentifican claramente tanto la onda portadora como los paquetes de ondas.

0 0.5 1 1.5

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x/λmoduladora

u(x,t)/umax

Paquete de ondas (onda moduladora)

Onda portadora

cgr

c

Figura 2.5 . Pulso sencillo formado por dos ondas monocromaticas de frecuencias ligeramentediferentes, del mismo modo, de igual amplitud y propagandose en la misma direccion

En el caso de ondas SH guiadas se tiene que cgr < c (este mismo com-portamiento dispersivo lo exhiben las ondas producidas por una piedra en unestanque de agua en reposo3, y se denomina dispersion normal), salvo para elmodo SH0 donde cgr = c (modo no dispersivo, que se propaga sin variacion dela forma del pulso).

3Citando a Lord Rayleigh: “Con frecuencia se ha destacado que cuando un grupo deondas avanza en el agua en reposo, la velocidad del grupo es menor que la velocidad delas ondas individuales de las que esta compuesto; las ondas individuales parecen avanzar atraves del grupo y desaparecer cuando alcanzan el frente del mismo”. Las ondas individualesparecen originarse en la cola del grupo y avanzar hacia el frente del mismo, donde finalmentedesaparecen. Por tanto, en este caso de ondas en la superficie del agua en reposo se tiene quecgr < c.


En lo que respecta a la estructura de los modos, las ecs. (2.21) y (2.28) rev-elan que uz(y) es independiente de la frecuencia y del sentido de propagacion(signo del numero de onda).

Ondas SH como superposicion de ondas planas

Las ondas SH guiadas tambien se pueden estudiar como la superposicionde dos ondas SH planas: una propagandose en la direccion y positiva y otraen la direccion y negativa, ambas bajo un cierto angulo de inclinacion θSH enel plano xy, como se muestra en la Figura 2.6. si se reescribe la ecuacion (2.21)con funciones exponenciales, la relacion entre ambos planteamientos se haceevidente:

ux(y) =

(A0 − iB0

2

)ei(kx+qy+ωt) −

(A0 + iB0

2

)ei(kx−qy+ωt) (2.37)

Figura 2.6 . Ondas SH guiadas como superposicion de ondas SH planas

La inclinacion de las ondas SH respecto al eje Y es:

tan θSH = ±kq

(2.38)

Para, y solo para, ciertas combinaciones de angulo de inclinacion y frecuen-cia, definidas por la relacion de dispersion, la superposicion de ambas ondasda lugar a una estructura estacionaria en la direccion y que se propaga en ladireccion x. A este hecho tambien se le denomina resonancia transversal dela placa y constituye una explicacion alternativa al caracter multimodal de lasondas SH guiadas.

2.4. Caso plano: ondas de Lamb 17

2.4. Caso plano: ondas de Lamb

En los siguientes desarrolos se parte de una placa de un material elasticolineal, isotropo y homogeneo de espesor d = 2h, en condiciones de deformacionplana en el plano xy (uz = 0 y ∂/∂z = 0), cuyas superficies estan libres detracciones y cuya geometrıa se muestra en la Figura 2.1. Para resolver lasecuaciones de Navier se emplea la representacion de Helmholtz, ec. (2.2). Lospotenciales que intervienen son:

∇2ϕ =1

c2Lϕ (2.39)

∇2ψz =1

c2Tψz (2.40)

Como se estan estudiando ondas armonicas propagandose en la direccion xy estacionarias en la direccion y, los potenciales pueden escribirse en variablesseparadas:

ϕ(x, y, z, t) = ϕ(y)ei(kx+ωt) (2.41)

ψz(x, y, z, t) = ψz(y)ei(kx+ωt) (2.42)

sustituyendo estas expresiones en las ecs. (2.39) y (2.40) se obtienen sendasecuaciones diferenciales para ϕ y ψz cuyas soluciones son:

ϕ(y) = A1sen(py) + A2 cos(py) (2.43)

ψz(y) = B1sen(py) +B2 cos(py) (2.44)

donde:

p2 =ω2

c2L− k2 ; q2 =

ω2

c2T− k2 (2.45)

Llegado a este punto se distingue entre modos simetricos y antisimetricoscon respecto al plano medio de la placa y = 0. Los modos simetricos se llamantambien modos longitudinales debido a que el desplazamiento medio en el es-pesor va en la direccion longitudinal. Ası mismo, los modos antisimetricos sellaman tamben modos de flexion ya que el desplazamiento del punto medio dela placa tiene direccion transversal.


Usando la relacion entre desplazamientos y potenciales, ecs. (2.9) a (2.11)se obtienen los primeros, a partir de los cuales de consiguen las tensiones em-pleando la ley de comportamiento del material. Ası, para los modos simetricoso longitudinales se tiene:

ux = ikA2 cos(py) + qB1 cos(qy) (2.46)

uy = −pA2sen(py)− ikB1sen(qy) (2.47)

σzz = −λ(k2 + p2)A2 cos(py) (2.48)

σxx = σzz + 2µ[−k2A2 cos(py) + ikqB1 cos(qy)] (2.49)

σyy = σzz − 2µ[p2A2 cos(py) + ikqB1 cos(qy)] (2.50)

σxy = µ[−2ikpA2sen(py) + (k2 − q2)B1sen(qy) (2.51)

y para los modos antisimetricos o de flexion:

ux = ikA1sen(py)− qB2sen(qy) (2.52)

uy = pA1 cos(py)− ikB2 cos(qy) (2.53)

σzz = −λ(k2 + p2)A1sen(py) (2.54)

σxx = σzz − 2µ[k2A1sen(py) + ikqB2sen(qy)] (2.55)

σyy = σzz − 2µ[p2A1sen(py)− ikqB2sen(qy)] (2.56)

σxy = µ[2ikpA1 cos(py) + (k2 − q2)B2 cos(qy) (2.57)

Aplicando las condiciones de contorno de tracciones nulas en las superficiesde la placa y = ±h se obtiene un sistema de ecuaciones homogeneo cuyasincognitas son los coeficientes desconocidos de la solucion general:[

σxy(h)σyy(h)

]=

[00

](2.58)

Particularizando para los modos longitudinales se obtiene:

[−2µikpsen(ph) µ(k2 − q2)sen(qh)

−(λ(k2 + p2) + 2µp2) cos(ph) −2µikq cos(qh)

] [A2

B1

]=

[00

](2.59)

y para los de flexion:

[2µikp cos(ph) µ(k2 − q2) cos(qh)

−(λ(k2 + p2) + 2µp2)sen(ph) 2µikqsen(qh)

] [A1

B2

]=

[00

](2.60)


Solo cuando el determinante de las matrices sea nulo los sistemas admi-ten soluciones no triviales, las cuales corresponden a modos de propagacionde ondas guiadas en la placa. Esta condicion proporciona dos ecuaciones car-acterısticas (conocidas como ecuaciones de Rayleigh-Lamb) que relacionan lafrecuencia ω y el numero de onda k para los modos simetricos y antisimetricosrespectivamente:

tan(qh)

tan(ph)= − 4k2pq

(q2 − k2)2(2.61)

tan(qh)

tan(ph)=

(q2 − k2)2

4k2pq(2.62)

Se trata de ecuaciones transcendentales que admiten un numero infinitode soluciones complejas. La solucion del sistema de ecuaciones proporcionatambien una relacion entre las constantes como la que sigue:

(2.63)

B1

A2

=2ikpsen(ph)

(k2 − q2)sen(qh)=

(k2 − q2) cos(qh)

2ikq cos(qh)(2.64)

(2.65)

B2

A1

= − 2ikp cos(ph)

(k2 − q2) cos(qh)= −(k2 − q2)sen(qh)

2ikqsen(qh)(2.66)

Para una determinada frecuencia ambas ecuaciones caracterısticas admitenun numero finito de soluciones k reales, que corresponden a modos que se pro-pagan (modos reales), un numero infinito de soluciones complejas y un numerofinito de soluciones imaginarias. Las soluciones con parte imaginaria no nulacorresponden a modos cuya amplitud decae exponencialmente en la direccion x(modos evanescentes). De nuevo aparece la estructura multimodal caracterısti-ca de las ondas guiadas.

Se definen las frecuencias de corte como aquellas para las cuales la ecuacioncaracterıstica admite como solucion real un numero de onda nulo, k = 0. Estasituacion corresponde a un modo que no presenta variacion respecto a x. Suexpresion analıtica es la siguiente:

Ωd =ndπ

2; Ωe =

neπ

2κ (2.67)

donde nd y ne son numeros naturales y κ = cL

cT=

√2−2ν1−2ν

. Estos valores corres-

ponden respectivamente a situaciones de resonancia de ondas P y SV planas


propagandose perpendicularmente a la placa, que se denominan respectiva-mente resonancias dilatacionales y equivolumetricas. Estas frecuencias de cortecorresponden a modos simetricos para valores pares de ne e impares de nd y amodos antisimetricos para valores impares de ne y pares de nd.

Reescribiendo las ecuaciones de Rayleigh-Lamb,ecs. (2.61) y (2.62), en termi-nos de variables adimensionales Ω y ξ se tiene:

tan(√

Ω2

κ2 − ξ2)

tan(√

Ω2 − ξ2)= −

4ξ2√

(Ω2

κ2 − ξ2)(Ω2 − ξ2)

(Ω2 − 2ξ2)2

±1

(2.68)

donde el signo del exponente, positivo o negativo, permite seleccionar la ecuacionde modos simetricos o antisimetricos respectivamente. Se observa que la unicaconstante del material que interviene es κ, que es por tanto el unico parametroque influye en las raices de dichas ecuaciones. Las curvas de dispersion adimen-sionales solo dependen del coeficiente de Poisson ν.

Para valores muy grandes de la frecuencia, las ramas del espectro de fre-cuencia se aproximan a una de las asıntotas siguientes: la recta Ω = cR

cTξ en el

caso de los modos fundamentales (S0 y A0), donde cR es la velocidad de lasondas superficiales o de Rayleigh (que es tambien funcion exclusiva de ν), o larecta Ω = ξ para el resto de modos.

0 2 4 6 8 100246810

0

5

10

15

|ℜ (ξ)||ℑ (ξ)|

Ω

Figura 2.7 . Espectro de fecuencia ξ−Ω de modos de Lamb reales e imaginarios para ν = 0,25

Como ejemplo para ilustrar el aspecto de las curvas de dispersion de ondasde Lamb se ha elegido un material con ν = 0,25. Las soluciones k reales eimaginarias de la ec. (2.61) se muestran en la Figura 2.7 con lınea azul (modossimetricos), y las soluciones reales e imaginarias de la ec. (2.62) se muestran


en la misma Figura 2.7 con lınea roja (modos antisimetricos). Dicha repre-sentacion grafica se ha realizado en un rango de frecuencias amplio, Ω ≤ 15, ymuestra las ramas del espectro de frecuencia que estan contenidas en los planoscoordenados <(ξ)−Ω e =(ξ)−Ω. Las curvas de dispersion con las velocidadesde fase c frente a la frecuencia se muestran en la Figura 2.8 donde ademas sehan senalado con lıneas horizontales contınuas de color gris las velocidades dereferencia (cL, cT y cR) y con lıneas verticales de color gris las frecuencias decorte. Las curvas de dispersion con las velocidades de grupo adimensionales cgr

frente a la frecuencia se muestran en la Figura 2.9.

Figura 2.8 . Curvas de dispersion Ω− c de modos de Lamb reales para ν = 0,25

Figura 2.9 . Curvas de dispersion Ω− cgr de modos de Lamb reales para ν = 0,25

Ningun modo de Lamb presenta un caracter no dispersivo (c = constante)para todas las frecuencias como sucedıa con el modo SH0. Sin embargo, todos


los modos exhiben una dispersion mınima en ciertos rangos de frecuencia, co-rrespondientes a aquellos tramos de la curva de dispersion donde la velocidad defase apenas cambia con la frecuencia (mesetas practicamente horizontales en laFigura 2.8. Para ilustrar con mayor claridad el concepto de velocidad de grupoes conveniente mostar la propagacion de un pulso sencillo. En la Figura 2.5 semuestran los desplazamientos superficiales en un instante dado para un pulsosencillo formado por dos ondas de frecuencias muy proximas, pertenecientes ala misma rama, con la misma amplitud y propagandose en la misma direccion.Para ondas de Lamb, a diferencia de lo descrito para ondas SH guiadas, enalgunos casos se tiene que cgr > c (las ondas individuales parecen originarseen el frente del grupo y retroceder hacia la cola del mismo, donde finalmentedesaparecen), como sucede para el modo A0 para todo el rango de frecuencias(Figuras 2.8 y 2.9). A esta situacion se le denomina dispersion anomala. En lamayorıa de los casos se tiene cgr < c (dispersion normal), lo cual produce uncomportamiento de los pulsos similar al obtenido para ondas SH guiadas: lasondas individuales parecen generarse en la cola del grupo y avanzar hacia elfrente del mismo, donde parecen morir. Se observa que algunas ramas tienentramos con velocidades de grupo negativas cgr < 0, lo cual implica que el pa-quete de ondas y las ondas individualmente se mueven en sentidos opuestos.Este hecho no sucede en el caso de ondas SH guiadas.

“Backward waves”

Si se estudia la rama correspondiente a un modo determinado, Figuras 2.8 y2.9, se observa que dicho modo no se propaga para todas las frecuencias (salvoen el caso de los modos fundamentales S0 y A0). Matematicamente esto significaque solo para valores superiores a una cierta frecuencia umbral la ecuacion deRayleigh-Lamb admite una solucion k real para dicho modo. En el caso de lasondas SH guiadas esta frecuencia umbral coincide con la frecuencia de corte,pero no sucede lo mismo en el caso de ondas de Lamb, donde existen modos quese propagan para frecuencias inferiores a su frecuencia de corte (por ejemplolos modos S1 y A2). En un rango de frecuencias inmediatamente por debajo dealgunas frecuencias de corte existen dos modos reales que, aunque dibujadoscomo una lınea contınua, no pertenecen a la misma rama (en la Figura 2.8sucede en ΩS1 y ΩA2). Uno de estos modos presenta una velocidad de gruponegativa (ver Figura 2.9) y por ello se llama onda “backward”, puesto que suenergıa y su fase viajan en sentidos opuestos. El otro modo tiene una velocidadde grupo positiva. Este hecho se destaca etiquetando con nombres distintos lostramos de curva correspondientes a ondas “backward” y a ondas “forward”.

La estructura de los modos de Lamb, a diferencia del caso antiplano, varıa


con la frecuencia y con el sentido de propagacion, como puede extraerse delas ecs. (2.46) a (2.57), (2.63) y (2.65). El cambio de direccion de propagacionprovoca el cambio de signo de una de las componentes de los desplazamientos.El efecto del cambio de frecuencia es mas complejo.

Ondas de Lamb como superposicion de ondas planas

Una forma alternativa de estudiar las ondas de Lamb consiste en superponercuatro ondas planas que se propagan en la placa con una cierta inclinacion en elplano xy: una onda longitudinal y otra transversal SV propagandose en la di-reccion y positiva, y una onda longitudinal y otra transversal SV propagandoseen la direccion y negativa, como se muestra en la Figura 2.10. Al reescribir lassoluciones de los potenciales de Helmholtz de las ecs. (2.43) y (2.44) con fun-ciones exponenciales esta relacion se hace evidente:

Figura 2.10 . Ondas de Lamb como superposicion de ondas P y SV planas

ϕ(x, y, z, t) =

(A1 − iA2

2

)ei(kx+py+ωt) −

(A1 + iA2

2

)ei(kx−py+ωt)(2.69)

ψ(x, y, z, t) =

(B1 − iB2

2

)ei(kx+qy+ωt) −

(B1 + iB2

2

)ei(kx−qy+ωt)(2.70)

Las inclinaciones de las ondas P y SV respecto al eje y son respectivamente:

tan(θP ) = ±kp

; tan(θSV ) = ±kq

(2.71)

Esta superposicion de ondas da lugar para ciertas combinaciones de fre-cuencia, angulos de inclinacion y amplitudes a estructuras estacionarias en el


espesor de la placa producidas por la interferencia constructiva, y que corres-ponden a los distintos modos de Lamb. A este fenomeno tambien se le llamaresonancia transversal de la placa.

2.5. Ondas en una barra circular infinita

En esta seccion se obtiene una expresion para el campo de desplazamientospara cada uno de los modos de propagacion que aparecen en una barra desecccion circular. Estos modos son tres: longitudinal, torsion y flexion. Paraello tomamos como referencia el libro de Joseph L. Rose [10], en el cual separte de la ecuacion de movimiento de Navier en notacion vectorial:

(λ+ 2µ)∇∇∇φ− 2µ∇∇∇∧ωωω = ρu (2.72)

donde φ es la dilatacion y ωωω el vector de rotaciones:

ωωω =1

2∇∇∇∧ u (2.73)

φ =∇∇∇ · u (2.74)

ambas expresiones validas en cualquier sistema de coordenadas.

Se considera como eje z el eje longitudinal de la barra circular infinita,que es ademas la direccion de propagacion de las ondas guiadas. Utilizando laecuacion (2.72) en coordenadas cilındricas:

(λ+ 2µ)∂φ

∂r− 2µ

r

∂ωz

∂θ+ (2µ)

∂ωθ

∂z= ρ

∂2ur

∂t2(2.75)

(λ+ 2µ)1

r

∂φ

∂θ− 2µ

∂ωr

∂z+ 2µ

∂ωz

∂r= ρ

∂2uθ

∂t2(2.76)

(λ+ 2µ)∂φ

∂z− 2µ

r

∂(rωθ)

∂r+

2µ

r

∂ωr

∂θ= ρ

∂2uz

∂t2(2.77)

donde ωr, ωθ y ωz representan las componentes del vector de rotaciones en co-ordenadas cilındricas. Las expresiones del vector de rotaciones y del coeficientede dilatacion en coordenadas cilındricas son:

2.5. Ondas en una barra circular infinita 25

φ =1

r

∂(rur)

∂r+

1

r

∂uθ

∂θ+∂uz

∂z(2.78)

2ωr =1

r

∂uz

∂θ− ∂uθ

∂z(2.79)

2ωθ =∂ur

∂z− ∂uz

∂r(2.80)

2ωz =1

r

[∂(ruθ)

∂r− ∂ur

∂θ

](2.81)

Las componentes de tensiones en la superficie exterior de la barra se ob-tienen a partir de las relaciones tension-deformacion y de la ley de Hooke:

σrr = λφ+ 2µ∂ur

∂r(2.82)

σrθ = µ[1

r

∂ur

∂θ+ r

∂(uθ

r)

∂r] (2.83)

σrz = µ(∂ur

∂z+∂uz

∂r) (2.84)

Se va a considerar propagacion de ondas armonicas y planas a lo largo de labarra. Para el caso general de vibracion los desplazamientos se pueden expresaren variables separadas de forma similar a como se hizo en placas (ec. 2.16):

ur = U(r) cosnθei(kz−ωt) (2.85)

uθ = V (r) sinnθei(kz−ωt) (2.86)

uz = W (r) cosnθei(kz−ωt) (2.87)

donde n puede ser cero o un valor entero. A continuacion se van a examinarlos tres tipos de vibracion en una barra circular: longitudinal, torsional y deflexion.

2.5.1. Modos Longitudinales

Si imaginamos un cilindro solido circular, las ondas longitudinales presentansimetrıa de revolucion ( ∂

∂θ= 0), con componentes en las direcciones radial y

axial distintas de cero y componente nula en la direccion θ (uθ = 0). Las ondaslongitudinales corresponden al caso en el que n = 0 en las ecuaciones (2.85),(2.86) y (2.87). Los modos estan representados esquematicamente en la figura2.11. Estos modos se designan como L(0, j), donde j = 0, 1, 2... indica el numerode la rama del espectro de frecuencia.


Figura 2.11 . Modos longitudinales en una barra circular

En primer lugar es conveniente utilizar los potenciales de Lame φ, ψ y χ queestan relacionados con los potenciales de Helmholtz que se usaron en placas:

ΨHelmholtz = ΨLameeeez +∇∇∇∧ (χLameeeez) (2.88)

donde eeez es el vector unitario en direccion z. Los desplazamientos se obtienena partir de φ, ψ y χ mediante la ecuacion:

u = L + M + N (2.89)

donde L, M y N tienen las siguientes expresiones en notacion vectorial y encoordenadas cilındricas:

L =∇∇∇φ =

[∂φ

∂r,1

r

∂φ

∂θ,∂φ

∂z

]T

(2.90)

M =∇∇∇∧ (ψeeez) =

[1

r

∂ψ

∂θ,−∂ψ

∂r, 0

]T

(2.91)

N =∇∇∇∧∇∇∇∧ (χeeez) =∇∇∇(∂χ

∂z)− (∇∇∇2χ)eeez =[

+∂2χ

∂r∂z,1

r

∂2χ

∂θ∂z,−1

r

∂

∂r(r∂χ

∂r)− 1

r2

∂2χ

∂θ2

]T

(2.92)

Por lo tanto utilizamos los potenciales de Lame que satisfacen las ecuacionesde onda de la siguiente forma:


∇∇∇2φ =1

c2L

∂2φ

∂t2(2.93)

∇∇∇2χ =1

c2T

∂2χ

∂t2(2.94)

∇∇∇2ψ =1

c2T

∂2ψ

∂t2(2.95)

En este caso debido a la simetrıa de la solucion con respecto al eje z, tenemosque:

∇∇∇2 =∂2

∂r2+

1

r

∂

∂r+

∂2

∂z2(2.96)

Como ademas uθ = 0, se tiene que ψ = 0. Por lo tanto, las componentes es-calares del vector de desplazamientos en coordenadas cilındricas u = (ur, 0, uz)

T

vienen dadas por

ur =∂φ

∂r+

∂2χ

∂r∂z(2.97)

uz =∂φ

∂z− ∂2χ

∂r2− 1

r

∂χ

∂r(2.98)

Las tensiones se obtienen de los desplazamientos a traves de la ley de Hookecomo

σrr = 2µ∂ur

∂r+ λ(

ur

r+∂ur

∂r+∂uz

∂z) (2.99)

σrz = µ(∂ur

∂z+∂uz

∂r) (2.100)

Las condiciones de contorno del problema en r = a son las siguientes

σrr = σrz = 0 (2.101)

Las ondas armonicas se propagan en el cilindro a lo largo del eje z. Por ellose va a considerar que las soluciones de las ecuaciones (2.93) y (2.95) puedenexpresarse como:

φ = G1(r)ei(kz−ωt) (2.102)

χ = G2(r)ei(kz−ωt) (2.103)


Cuando estas ecuaciones (2.102) y (2.103) son sustituidas en las ecuacionesde onda (2.93) y (2.95), respectivamente, se obtienen sendas ecuaciones dife-renciales ordinarias para Gj(r)(j = 1, 2):

d2Gj

dr2+

1

r

dGj

dr+ (

ω2

c2j− k2)Gj = 0 (2.104)

donde c1 = cL y c2 = cT . Ademas, definiendo dos coeficientes α y β:

α2 =ω2

c2L− k2 (2.105)

β2 =ω2

c2T− k2 (2.106)

La ecuacion (2.104) es la ecuacion de Bessel, cuyas soluciones generales son:

G1(r) = AJ0(αr) (2.107)

G2(r) = BJ0(βr) (2.108)

donde los segundos terminos, Y0(αr) y Y0(βr), se han descartado debido a lasingularidad que presentan en el origen. Sustituyendo las ecuaciones (2.107) y(2.108) en (2.102) y (2.103) los potenciales quedan definidos como:

φ = AJ0(αr)ei(kz−ωt) (2.109)

χ = BJ0(βr)ei(kz−ωt) (2.110)

Ası mismo las expresiones de los desplazamientos, sustituyendo (2.109) y(2.110) en (2.97) y (2.98) quedarıan:

ur = [AJ ′0(αr) +BikJ ′0(βr)]ei(kz−ωt) (2.111)

uz = [AikJ0(αr) + β2BJ0(βr)]ei(kz−ωt) (2.112)

donde J ′0(αr) = ddr

[J0(αr)]. Teniendo en cuenta las propiedades de las funcionesde Bessel, (ver libro Abramowitz [1]):

dJ0(x)

dx= −J1(x) (2.113)

y aplicando la regla de la cadena obtenemos:

J ′0(α1) = −αJ1(α1); J′0(βr) = −βJ1(βr) (2.114)


Considerando la expresion (2.114), las ecuaciones (2.111) y (2.112) presen-tan la siguiente forma:

ur = [−αAJ1(αr)− ikβBJ1(βr)]ei(kz−ωt) (2.115)

uz = [ikAJ0(αr) + β2BJ0(βr)]ei(kz−ωt) (2.116)

Definiendo C = βB, entonces las ecuaciones (2.115) y (2.116) se puedenexpresar como:

ur = [−αAJ1(αr)− ikCJ1(βr)]ei(kz−ωt) (2.117)

uz = [ikAJ0(αr) + βCJ0(βr)]ei(kz−ωt) (2.118)

En la superficie cilındrica, r = a, las tensiones deben ser cero. Sustituyendo(2.117) y (2.118) en la ecuacion (2.99) para σrr = 0 en r = a y dividiendo por2µ, tenemos:

[−1

2(β2 − k2)J0(αa) +

α

aJ1(αr)]A+ [−ikβJ0(βa) +

ik

aJ1(βa)]C = 0 (2.119)

De la condicion σrz = 0 en r = a:

[−2ikαJ1(αa)]A− (β2 − k2)J1(βa)C = 0 (2.120)

Tenemos un sistema de ecuaciones homogeneo de 2 ecuaciones con 2 incogni-tas. Solo cuando el determinante de la matriz del sistema sea nulo, existiransoluciones no triviales. Estas soluciones corresponden a modos de propagacionde ondas guiadas en la barra. El determinante del sistema tiene la siguienteexpresion:

2α

a(β2 + k2)J1(αa)J1(βa)− (β2 − k2)2J0(αa)J1(βa)− 4k2αβJ1(αa)J0(βa) = 0

(2.121)Esta ecuacion es conocida como la ecuacion de frecuencia de Pochhammer-Chree para modos longitudinales, fue publicada por primera vez en 1876 porPochhammer 4 y por Chree 5 en 1889 de forma independiente. La figura 2.14

4Leo August Pochhamer (1841-1920), matematico prusiano, ver figura 2.12. Seeduco en Berlin obteniendo el doctorado en 1863. Fue profesor en la Universidad de Kiel(1877-1919), donde llego a ser Rector en 1893. En el campo de las matematicas, introdujola funcion hipergeometrica generalizada. Destacan dos importantes artıculos que escribio so-bre la teorıa de la elasticidad, en los que analizaba las vibraciones de un cilindro circular, laflexion de una barra por fuerzas distribuidas sobre su superficie lateral, y extendio su metodoa barras en forma de cilindro hueco.

5Charles Chree (1860-1928), fısico britanico, ver figura 2.13. Se educo en la Universidad


representa la velocidad de fase de modos longitudinales frente a f ∗ d, dondef es la frecuencia en Hz y d = 2a es el diametro de la seccion circular. Cabedestacar que los modos longitudinales simetricos para esta seccion de diametrod = 2a y los modos simetricos para la placa de espesor d son muy parecidos.

Figura 2.12 . Leo August Pochhamer

Cuando fd −→∞, la velocidad de fase de los modos mas bajos se aproximaa la velocidad de onda de Rayleigh, mientras que las velocidades de los modosmas altos se aproximan a cT . Sobre un rango estrecho de frecuencias, cerca dela frecuencia de corte, el comportamiento de la segunda rama es inusual, verfigura 2.15. Esta rama de la curva de dispersion incluye un rango de frecuenciasdonde la velocidad de fase y la velocidad de grupo tienen signos contrarios, lasondas se mueven llevando energıa en una direccion y se propagan en otra direc-cion. Este fenomeno de transmision de onda backward en barras y placas fueinvestigado por Meitzler (1965). La figura 2.16 muestra las curvas de dispersionpara velocidad de grupo.

de Aberdeen, graduandose en el ano 1879 ganando la medalla de oro de las artes del ano. Fueelegido miembro del King´s College en 1885 y se mantuvo allı hasta que fue nombrado directordel Kew Observatory en 1893. Allı su trabajo se baso principalmente en la prueba, verificaciony comprobacion de instrumentos cientıficos de distintos tipos. Fue elegido miembro de laRoyal Society en 1897, donde le concedieron la medalla Hughes en 1919. Chree llego a serpresidente de la Physical Society y de la Royal Meteorological Society simultaneamente ydurante varios anos. Fue su contribucion a la teorıa de la elasticidad la que dio le hizo un huecoen la historia de la ciencia, con sus descubrimientos de la elasticidad de solidos, la deformacionen barras y la aplicacion de solidos elasticos a metrologıa. El estudio del magnetismo terrestrefue lo que mas le preocupo, a lo que le dedico gran parte de su tiempo. Destaca en este sentidola monografıa Estudios del Magnetismo Terrestre, donde se engloban los resultados obtenidospor sus investigaciones hasta 1912: Al hacer una eleccion algunos prefieren guiarse por unateorıa definida, pero otros preferiran actuar siguiendo su instinto natural, para detectar unapequena debilidad en la defensa que ejerce la Naturaleza al descubrimiento de sus secretos.Chree murio en 1928.


Figura 2.13 . Charles Chree

Figura 2.14 . Curvas de dispersion de velocidad de fase en una barra circular

Figura 2.15 . Detalle de la segunda rama de las curvas de dispersion de la velocidad de faseen una barra circular


Figura 2.16 . Curvas de dispersion de velocidad de grupo en una barra circular

Para cada raız km de la ecuacion (2.121), de la ecuacion (2.120) encontramospara (m = 1, 2, 3......)

Cm = − 2iknmαmJ1(αma)

(β2m − k2

m)J1(βma)Am (2.122)

Sustituyendo (2.122) en (2.117) y (2.118) el campo de desplazamientos que-da:

ur = Dmαm[(β2m − k2

m)J1(αmr)J1(βma)

+ 2k2mJ1(αma)J1(βmr)]e

i(kmz−ωt) (2.123)

uz = Dmikm[−(β2m − k2

m)J0(αmr)J1(βma)

+ 2αmβmJ1(αma)J0(βmr)]ei(kmz−ωt) (2.124)

Dm = − Am

(β2m − k2

m)J1(βma)(2.125)

α2m =

ω2

c2L− k2

m (2.126)

β2m =

ω2

c2T− k2

m (2.127)

Una representacion general del campo de desplazamientos puede escribirsede la siguiente forma:


ur =∞∑

m=1

Dmur (2.128)

uz =∞∑

m=1

Dmuz (2.129)

2.5.2. Modos de Torsion

Las ondas de torsion aparecen cuando los terminos ur y uz son nulos (verfigura 2.17). En la ecuacion de movimiento ahora uθ debe ser independientede θ. A estos modos se les designa T (0, j). En este caso φ = χ = 0 y ψ esel unico potencial no nulo, sin embargo resulta mas comodo trabajar con losdesplazamientos uθ en lugar de con ψ. La ecuacion para este tipo de ondas esla siguiente:

Figura 2.17 . Modos de torsion en una barra circular

∂2uθ

∂r2+

1

r

∂uθ

∂r− uθ

r2+∂2uθ

∂z2=

1

cT

∂2uθ

∂t2(2.130)

Consideramos para este modo ondas armonicas de la forma

uθ = V (r)ei(kz−ωt) (2.131)

Sustituyendo la ecuacion (2.131) en (2.130), obtenemos la siguiente ecuaciondiferencial ordinaria:

d2V

dr2+

1

r

dV

dr+ (β2 − 1

r2)V = 0 (2.132)


cuya solucion general es:

V (r) = AY1(βr) +BJ1(βr) (2.133)

donde el primer termino debe descartarse porque tiene una singularidad enr = 0. Sustituyendo la ec. (2.133) en la ec.(2.131) se obtiene:

uθ = BJ1(βr)ei(kz−ωt) =

C

βJ1(βr)e

i(kz−ωt) (2.134)

donde B = C/β es una constante arbitraria.

De las tres condiciones de contorno en r = a

σrr = σrθ = σrz = 0 (2.135)

solo la condicion

σrθ = 0 (2.136)

no es trivial. Esta condicion da lugar a la siguiente ecuacion trascendental defrecuencia:

(βa)J0(βa)− 2J1(βa) = 0 (2.137)

cuyas tres primeras raıces son

β1 = 0, β2a = 5,136, β3a = 8,417 (2.138)

Para β → 0 el campo de desplazamiento uθ queda

uθ =1

2Brei(kz−ωt) (2.139)

Este desplazamiento representa el modo torsional mas bajo. Para dichomodo, la amplitud de uθ es proporcional al radio, y tanto ur como uz son cero.El movimiento correspondiente a este modo es una rotacion de la seccion delcilindro alrededor de su centro. Hay que tener en cuenta, que cuando β = 0 lavelocidad de fase iguala a cT , por lo tanto se trata de un modo no dispersivo.Los modos mas altos son dispersivos y los resultados del espectro de frecuenciatienen las mismas formas que las obtenidas para ondas SH en placas:

(βma)2 =

(ωa

cT

)2

− (ka)2 (2.140)


2.5.3. Modos de Flexion

Los modos de flexion dependen del angulo circunferencial θ a traves de lasfunciones trigonometricas mostradas en las ecuaciones (2.85), (2.86) y (2.87).A estos modos se les denomina F (n, j). Una representacion esquematica de losmodos de flexion aparece en la figura 2.18. De la familia de modos de flexion lamas importante es la definida para n = 1, F (1, j). Para este caso las ecuaciones(2.85), (2.86) y (2.87) quedan

Figura 2.18 . Modos de flexion en una barra circular

ur = U(r) cos θei(kz−ωt) (2.141)

uθ = V (r) sin θei(kz−ωt) (2.142)

uz = W (r) cos θei(kz−ωt) (2.143)

Sustituyendo estas ecuaciones en (2.75), (2.76) y (2.77) nos encontramos conun sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas que contienena U(r), V (r) y W (r). Sin pasar por los detalles de la solucion, presentamos laforma final de la solucion general de dichas ecuaciones:

U(r) = A∂J1(αr)

∂r+B

rJ1(βr) + ikCJ2(βr) (2.144)

V (r) = −ArJ1(αr) + ikCJ2(βr)−B

∂J1(βr)

∂r(2.145)

W (r) = ikAJ1(αr)−C

r

∂[rJ2(βr)]

∂r− C

rJ2(βr) (2.146)

Para ilustrar los movimientos representados por esta distribucion de despla-zamientos (2.144), (2.145) y (2.146), elegimos el plano y − z, el plano vertical,


para medir la coordenada θ (ver figura 2.19). En el plano x−z, plano horizontal,donde θ = ±π/2, los desplazamientos ur y uz desaparecen.

Figura 2.19 . Seccion en una barra circular

Para determinar la ecuacion de frecuencia, los desplazamientos (2.141),(2.142) y (2.143) deben ser sustituidos en las expresiones de la tension, y σrr,σrz y σrθ deben ser todas iguales a cero en r = a.

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