CAPITULO 3

PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

CAPITULO 3

3 PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

3.1 Introducción

En este capítulo se verán algunos principios básicos del procesamiento digital de señales,

necesarios para entender la manera en cómo operan los convertidores A/D

(analógico/digital), y D/A (digital/analógico) de un sistema digital tal como lo es un DSP,

así como el fenómeno de aliasing, en el cual deben considerarse tanto la frecuencia de

muestreo de los convertidores del procesador como la frecuencia de la señal que se

requiere procesar con objeto de no causar distorsión sobre ella. También se incluye la

definición de la transformada Z, herramienta indispensable para el diseño e

implementación de filtros digitales, así como los filtros FIR e IIR. Finalmente se explica el

procedimiento de diseño de un filtro Butterworth utilizando la transformación bilinear, ya

que es el método usado en el software de diseño de los filtros del demodulador de AM.

3.2 Muestreo de una señal analógica

Aunque las señales provistas por la naturaleza son analógicas, gran parte del

procesamiento de señales es hecho digitalmente. Los sistemas digitales son usados para

procesamiento porque son de bajo costo, precisos, y pueden ser implementados

rápidamente. Para poder llevar a cabo esto, debemos proveer dispositivos para la

adquisición y conversión de datos que sirvan como interfaz entre el mundo de las señales

analógicas y el mundo del procesamiento digital de señales [1].

Antes de que cualquier procesamiento pueda ser realizado, la señal analógica es

muestreada y las representaciones digitales de cada muestra son desarrolladas [2].

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CAPITULO 3

Muestreo o sampling es el proceso de convertir una señal analógica continua, en

pulsos de amplitudes discretas a intervalos específicos de muestreo (señal discreta). Estos

pulsos de amplitudes discretas son cuantificados en valores digitales basados en la longitud

de palabra usada. Un convertidor analógico-digital (A/D), muestrea y cuantifica una señal

de entrada continua [2].

Una señal discreta puede ser obtenida por el muestreo de una señal analógica en los

tiempos , k = 0, 1, 2, . . . . Este proceso es ilustrado en la Figura 3-1, donde se ha tomado

, lo cual significa que las muestras son espaciadas uniformemente. A esto se le

llama sampling o muestreo, donde T es el periodo de muestreo. La frecuencia de muestreo

esta dada por [1]:

kt

kTtk =

Tf s

1= Hz

Figura 3-1 Muestreo de una señal analógica

Si (t) es la entrada analógica al sistema de muestreo, entonces la señal de salida

muestreada será el producto:

af

)(* tf a

)()()(* tftstf aaa =

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Lo cual da origen a una señal modulada. La señal modulante (t) es un tren de

funciones impulso espaciadas uniformemente dada por:

aS

( )nTttSn

aa −= ∑∞

−∞=

δ)(

Donde aδ (t) es la función impulso analógico definido por:

( ) 0=−τδ ta τ≠t

( ) ( ) ( ) ( )ττδ aaaa fdttfdttft ==−∫∞

∞−

Donde es continua en ( )tf a τ=t . El proceso de muestreo instantáneo es análogo

al proceso de modulación por impulso:

( )nTttftfn

aaa −= ∑∞

−∞=

δ)()(*

( )nTttfn

aa −= ∑∞

−∞=

δ)(

( )nTtnTfn

aa −= ∑∞

−∞=

δ)(

De la última formula se deduce que la señal muestreada puede ser representada

como un tren de impulsos con amplitudes , valor de la enésima muestra de

[1].

)(nTfa )(tf a

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3.3 Reconstrucción de una señal analógica

En muchos casos es necesario convertir una señal muestreada de regreso a una señal

analógica basada en la descripción provista por los valores muestreados. La extrapolación

puede ser usada con aceptable exactitud si la función muestreada no posee cambios

rápidos. De otra manera, errores grandes e impredecibles pueden ocurrir entre las muestras.

En consecuencia la frecuencia de muestreo es un factor importante en la cantidad de error

que aparece en la reconstrucción de datos [1].

Los dispositivos que reconstruyen datos continuos de una secuencia de muestras o

números son generalmente llamados data holds, extrapoladores, filtros de demuestreo, o

filtros de reconstrucción. Para construir un data hold, es necesario asumir una forma

particular para la función que será reconstruida a partir de sus muestras. Una forma

comúnmente usada en el sistema de control es un polinomio en tiempo. Si el polinomio

extrapolador es una constante, un polinomio de grado cero, entonces el extrapolador es un

hold de orden cero [1].

El resultado de aplicar una señal muestreada a un circuito hold de orden cero es

mostrado en la Figura 3-2. El efecto de pasar una señal analógica como la de la Figura 3-1

a través de un sistema de muestreo y un circuito hold de orden cero (equivalentemente, un

sample and hold) es mostrado en la Figura 3-3 [1].

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Figura 3-2 Señal a la salida de un circuito hold de orden cero.

Figura 3-3 Señal a la salida de un circuito sample-and-hold.

3.4 Procesamiento digital de una señal analógica

La ilustración que muestra como puede ser utilizado el procesamiento digital de señales es

la Figura 3-4. La señal analógica x(t) es pasada a través de un convertidor A/D, resultando

la señal digital x (kT). Esta señal digital es después procesada por un procesador digital de

señales cuya salida es ỹ(kT). La señal digital procesada es después convertida a señal

analógica y(t) por un convertidor D/A [1].

21

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Figura 3-4 Procesamiento de una señal analógica utilizando un procesador digital de señales.

3.5 Aliasing

En el proceso de muestreo de una señal analógica se debe tomar en cuenta que la

frecuencia de muestro de los convertidores debe tener como mínimo el doble de frecuencia

de la señal a ser muestreada con objeto evitar el fenómeno de aliasing, el cual provoca que

la señal original de información sea distorsionada, tal y como se verá a continuación.

Primero consideremos el caso cuando Xa(t) es limitado en banda con la frecuencia

más alta Ωa menor o igual a π/T. Como ilustración considérese la función Xa(jΩ) mostrada

en la Figura 3-5(a). Para esta señal, las funciones Xa(jΩ + j2πk/T) no se traslapan y

es mostrada en la Figura 3-5(b). La importancia de este caso radica en que desde

que no hay traslape, el espectro Xa(jΩ) puede ser recuperado de mediante un filtro

pasa-baja que bloquee todas las frecuencias por arriba de π/T [1].

)( TjeX Ω

)( TjeX Ω

El segundo caso de interés se da cuando Xa(t) contiene una frecuencia mayor que

π/T. En este caso, las funciones Xa(jΩ + j2πk/T) se traslapan y no se puede recuperar

Xa(jΩ) de . Este caso es ilustrado en la Figura 3-6. Las frecuencias altas de

Xa(jΩ) son reflejadas dentro de las frecuencias bajas de , resultando en el

fenómeno llamado aliasing [1].

)( TjeX Ω

)( TjeX Ω

22

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Figura 3-5 (a) Gráfica de Xa(jΩ) y (b) gráfica de , la cual corresponde a la señal muestreada.

)( TjeX Ω

Figura 3-6 (a) Grafica de Xa(jΩ) y (b) gráfica correspondiente a cuando existe el aliasing.

)( TjeX Ω

3.6 La transformada Z

Aplicando la transformada Z a una ecuación lineal e invariante en el tiempo como la

Ecuación (3.1) donde las constantes y con ka mb 00 ≠a , transforma la ecuación de

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CAPITULO 3

diferencia en una ecuación algebraica en las transformadas z de y(n) y x(n). Conociendo

x(n) y su transformada Z nos permite resolver la ecuación algebraica para la transformada

Z de y(n) y así encontrar y(n). En muchos casos, no se conoce x(n) pero se puede obtener

información importante del comportamiento del sistema desde las transformadas Z de y(n)

y x(n) [1].

(3.1) ∑∑==

−=−M

mm

N

kk mnxbknya

00

)()(

3.7 Definición de la transformada Z

Dada una secuencia x(n), se define la transformada Z por:

∑∞

−∞=

−==n

nznxzXnxZ )()()(

Donde se asume que Z es una variable compleja. Si x(n) es una secuencia causal,

x(n)=0 para n<0, entonces su transformada Z es [1]:

∑∞

=

−==0

)()()(n

nznxzXnxZ

3.8 Realización de sistemas digitales

Si aplicamos la transformada Z a un sistema como el de la Ecuación (3.1), obtenemos [1]:

∑∑=

−

=

− =M

m

mm

N

k

kk zXzbzYza

00

)()(

La cual puede ser expresada como función de transferencia:

24

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∑

∑

=

−

=

−

== N

k

kk

M

m

mm

za

zb

zXzYzH

0

0

)()()(

3.9 Estructuras recursivas y no recursivas

Los métodos para la realización de sistemas digitales puede ser dividido en dos clases,

recursivas y no recursivas. La relación entre la entrada y la salida para una realización

recursiva tiene la forma [1]:

y(n)= F[ y(n - 1), y(n - 2), . . . , x(n), x(n - 1), . . .]

Para el sistema descrito por la Ecuación (3.1), la realización recursiva tiene la forma:

∑∑==

−+−−=M

m

mN

k

k mnxabkny

aany

0 01 0

)()()( (3.2)

La muestra de salida actual y(n) es función sólo de salidas pasadas y de las

muestras de entrada presente y pasadas. La relación entrada-salida para una realización no

recursiva tiene la forma [1]:

),...]1(),([)( −= nxnxFny

Para un sistema lineal e invariante en el tiempo, esta relación será:

∑=

−=M

m

m mnxab

ny0 0

)()( (3.3)

Se debe hacer notar que la Ecuación 3.2 corresponde a un sistema IIR y la Ecuación

3.3 corresponde a un sistema FIR.

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3.9.1 Ejemplo de un sistema FIR de segundo orden

Consideremos un sistema FIR de segundo orden descrito por la Ecuación (3.4) [1].

)2()1()()( 210 −+−+= nxbnxbnxbny (3.4)

Este sistema FIR es representado por la Figura 3-7 [1].

Figura 3-7 Diagrama a bloques para el sistema de la Ecuación (3.4).

Cada retraso de la señal es representado por , lo cual quiere decir que la señal

después del retraso tiene el valor anterior al existente actualmente antes del retraso.

1−z

En el diagrama podemos observar como la salida depende del valor presente y

valores pasados de la entrada.

3.9.2 Ejemplo de un sistema IIR de segundo orden

Este sistema es de especial interés para la presente tesis debido a fueron utilizados filtros

IIR de segundo orden para el diseño e implementación en la tarjeta del demodulador de

AM, las razones por las cuales se eligió este tipo de filtro serán expuestas más adelante en

el Capítulo 5.

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La Ecuación (3.5) muestra un sencillo ejemplo de un sistema IIR de segundo orden,

en el que como podemos observar, la salida depende directamente tanto de la entrada

presente, como de los valores pasados en la salida [1].

)2()1()()( 21 −−−−= nyanyanxny (3.5)

La Figura (3-8) muestra el diagrama a bloques correspondiente a este sistema

Figura 3-8 Diagrama a bloques para el sistema de la Ecuación (3.5).

Con ayuda del diagrama podemos ver que se tienen dos mallas con un elemento de

retraso en cada una de ellas. Las salidas de cada sumador son:

)]2()1([ 21 −−−− nyanya

y

)]2()1([)( 21 −−−−+ nyanyanx

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CAPITULO 3

3.10 Introducción a los tipos de filtros

Un filtro es un dispositivo que se encarga de permitir el paso de señales cuyas frecuencias

se encuentren dentro de su banda de paso y rechazar aquellas cuyas frecuencias caigan

dentro de la banda de rechazo.

Sea una señal pasada a través del filtro o no, está determinada por la función del

sistema [1]:

)()()( ωφ∠= jwjw eHeH

Para frecuencias en la banda de paso, la magnitud o amplitud )( jweH es

relativamente grande e idealmente constante. La banda de rechazo está caracterizada por la

magnitud )( jweH , la cual es relativamente pequeña e idealmente es cero. La respuesta en

magnitud de un filtro pasa-bajas ideal es ilustrado en la Figura 3-9 (a). Las frecuencias en

la banda de paso, 0< ω < cω , son filtradas, mientras que las frecuencias más altas en la

banda de rechazo, ω < cω , son bloqueadas. La frecuencia cω entre las dos bandas es la

frecuencia de corte [1].

Figura 3-9 (a) Magnitudes ideal y práctica de un filtro pasa-bajas. (b) Una especificación de magnitud típica de un filtro pasa-bajas y una respuesta típica Butterworth.

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Como sabemos, en la práctica es imposible de obtener la respuesta ideal. Un

problema central en el diseño de filtros es obtener una respuesta práctica que sea una

aproximación a la respuesta ideal. Una aproximación real, es la respuesta representada por

la línea remarcada de la Figura 3-9 (a). En la Figura 3-9 (b), la banda de paso es la banda

de frecuencias, 0< ω < 1ω , donde AeHA j ≤≤ )(1ω . La banda de rechazo es la banda,

ω > 2ω , donde 2)(0 AeH j ≤≤ ω . La banda de frecuencias, 1ω < ω < 2ω , entre la banda de

paso y la de rechazo se le conoce como banda de transición. Generalmente nunca es

menor que

1A

2/A . La frecuencia de corte cω es usualmente 1ω , la frecuencia de la banda

de paso, o dB3ω , la frecuencia a la cual )( ωjeH = 2/A [1].

Hay muchos tipos de filtros. Los más populares son el Butterworth, Chebyshev,

Chebyshev inverso, y el elíptico. Las magnitudes típicas de respuesta de estos filtros son

mostradas en la Figura 3.9 (b) para un filtro Butterworth y en la Figura 3.10 para

Chebyshev, Chebyshev inverso, y filtro elíptico. La frecuencia de corte para los filtros

Butterworth y Chebyshev inverso es cω = dB3ω , y para los filtros Chebyshev y

elíptico cω = 1ω [1].

Los otros tipos comunes de filtros son el pasa-altas (el cual deja pasar altas

frecuencias y rechaza las bajas), pasa bandas (el cual deja pasar una banda de frecuencias y

rechaza otras), y rechaza-banda (el cual bloquea una banda de frecuencias y permite el

paso de otras). Las respuestas en magnitud ideales de estos tipos de filtros se muestran en

la Figura 3-11 [1].

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CAPITULO 3

Figura 3-10 (a) Respuesta de un Chebyshev de sexto orden. (b) Respuesta de un Chebyshev inverso de sexto orden. (c) Respuesta de un elíptico de sexto orden.

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CAPITULO 3

Figura 3-11 Respuestas prácticas e ideales (a) pasa-altas, (b) pasa-banda, y (c) rechaza-banda. 3.11 Ejemplo de diseño de un filtro Butterworth utilizando la aproximación

Bilinear

A continuación se mostrará la manera en como un filtro de este tipo puede ser diseñado.

Este tipo de filtro es de especial interés para el presente trabajo debido a que fue utilizado

para la implementación de los filtros digitales del demodulador de AM, esto con la ayuda

de software para el diseño de filtros digitales [1].

Las condiciones del filtro a diseñar son las siguientes:

1)(8.0 ≤≤ ωjeH πω 2.00 ≤≤ (3.6)

2.0)( ≤ωjeH πωπ ≤≤6.0

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CAPITULO 3

Comparando estas condiciones con las condiciones de magnitud que debe satisfacer

un filtro pasa-bajas digital y que son:

1)(1 ≤≤ ωjeHA 10 ωω ≤≤

2)( AeH j ≤ω πωω ≤≤2

Nos damos cuenta que:

πω 2.01 = πω 6.02 =

8.01 =A 2.02 =A

En el proceso del diseño del filtro, se deben obtener las condiciones analógicas de

magnitud correspondientes:

1)(1 ≤Ω≤ jHA a 10 Ω≤Ω≤

2)( AjH a ≤Ω Ω≤Ω2

Los valores de y dependen del método de diseño usado. Si se usa la

transformación bilinear entonces las frecuencias estarán relacionadas por:

1Ω 2Ω

2tan2 ω

T=Ω

Para determinar los parámetros del filtro analógico se requieren cocientes de

frecuencias analógicas tales como 12 /ΩΩ . Para la transformación bilinear se obtiene:

)2/tan()2/tan(

)2/tan()/2()2/tan()/2(

1

2

1

2

1

2

ωω

ωω

==ΩΩ

TT

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CAPITULO 3

Sustituyendo los valores anteriormente obtenidos para 2ω y 1ω en la última

ecuación vemos que el cociente para las frecuencias analógicas es:

235.43249.0376.1

)2/tan()2/tan(

1

2

1

2 ===ΩΩ

ωω

Y la fórmula para obtener el orden que deberá tener este circuito está dada por:

)/log(]1)/1/[(]1)/1log[(

21

12

21

22

ΩΩ−−

≥AAN

235.4log)164.0/1/()104.0/1log(

21 −−

≥

3.1≥

Por lo que el orden del filtro que se requiere es N = 2.

Y la frecuencia de corte analógica será:

Nc AT

2/121

1

]1)/1[()2/tan()/2(

−=Ω

ω

4/1)164.0/1(3249.02−

=T

)3752.0(2T

=

La función del filtro analógico puede ser ahora obtenida tomando N=2. Para

ganancia unitaria, tomamos : 11 =B

21

2

2

)(cc

ca sbs

sHΩ+Ω+

Ω=

33

CAPITULO 3

en donde 4142.1)4/(21 == πsenb . Cuando es aplicada la transformada bilinear a esta

función, la función digital de transferencia, que se obtiene es:

212

111

2110

1)1(

)( −−

−

+++

=zaza

zAzH

21

21

3651.00281.11)1(0842.0

−−

−

+−+

=zz

z

Dado que:

111

2210 ]1)2/()2/[()2/( −+Ω+ΩΩ= bTcTTA ccc

122 ]1)4142.1)(3752.0()3752.0[()3752.0( −++=

0842.0)5983.0()3752.0( 2 ==

111

21

211 ]1)2/()2/][(1)2/[(2 −+Ω+Ω−Ω= bTcTcTa ccc

0281.1−=

111

211

212 ]1)2/()2/][(1)2/()2/[( −+Ω+Ω+Ω−Ω= bTcTbTcTa cccc

3651.0=

Las gráficas tanto de fase como de magnitud son mostradas en la Figura 3-12

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CAPITULO 3

Figura 3-12 (a) Respuesta en magnitud y (b) respuesta en fase de las condiciones de la Ecuación 3.6 usando la transformación bilinear.

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