1 Fsica I CAPTULO 3. VECTORES 2 Magnitud y direccin. 3 CONTENIDO Sistemas de coordenadas. Cantidades vectoriales y escalares. Algunas propiedades de los vectores. Componentes de un vector y vectores unitarios. El producto escalar de dos vectores. Producto vectorial y momento de torsin. 4 Las cantidades fsicas se pueden separar en dos clases: cantidades escalares y cantidades vectoriales. Las cantidades vectoriales tienen tanto propiedades nmericas como direccionales. Aqu estudiaremos el lgebra de vectores y propiedades generales de ellos. 5 SISTEMAS DE COORDENADAS. Sistema unidimensional. Como vimos en el captulo 2, el movimiento unidimensional lo describimos con un sistema de coordenadas unidimensional, la recta de los nmeros reales. Un punto en una lnea puede describirse con una coordenada, la coordenada x,y la lnea ser el eje X 0 5 x 6 Un punto en un plano, se localiza con dos coordenadas, (x,y), en ese orden. 0 4 5 (4,5) y x Sistema bidimensional. 7 Sistema tridimensional. Para localizar un punto en el espacio, se requiere de tres coordenadas. x y z ax ay az (ax ,ay ,az ) 8 Coordenadas polares planas. El plano puede dividirse con un eje fijo a partir de un origen, el eje polar, desde donde se mide la orientacin de cualquier lnea en direccin contraria al movimiento de las manecillas del reloj. Las coordenadas polares de un punto son (r, u), donde r es la distancia del origen al punto y u el ngulo entre r y el eje polar.El eje polar es la recta de los nmeros positivos, corespondiente a el eje X positivo. 9 Sistema de coordenadas polares planas. (r, u) r u Crculos de radio constante. O Eje polar. 600 300 450 900 1200 1350 1500 1800 2100 2250 2400 2700 3000 3150 3300 00 10 Ecuaciones de transformacin. 2 21cos ; .;tan .x r y rsenr x yyxu uu= == +| |= |\ .Eje polar (x, y) (r, u) r u X Y O 11 Ejemplo Coordenadas polares. Las coordenadas cartesianas de un punto en el plano XY son (x, y)=(-3.50,-2.50) m.Encuentre las coordenadas polares de este punto. Solucin.- Hay que tomar en cuenta los signos de x y de y para calcular el ngulo. ( ) ( )2 2103.50 2.504.30 ,2.50tan3.50216 .r mmmmu= +=| |= |\ .=r u X Y 12 Cantidad Escalar. Cantidad fsica que queda definida con su magnitud, es decir NO tiene direccin. Ejemplos: libros, billetes, barcas,temperatura, distancia, densidad, trabajo, tiempo, etc. Cantidades vectoriales y escalares. 13 Ejemplos: Fuerza, desplazamiento, velocidad, aceleracin, momentum, etc Las cantidades fsicas que tienen tanto magnitud como direccin se llaman VECTORES. La longitud de un vector tambin se le llama magnitud. Grficamente se representan mediante flechas. Cantidad Vectorial 14 Cantidad Vectorial.Las magnitudes fsicas que tienen magnitud y direccin, se representan mediante vectores. u Vector desplazamiento 15 Desplazamiento. O 16 Ms ejemplos de Cantidades Vectoriales: Momento lineal o momentum (p=mv). Momento de Torsin (t=rxF). Campo Elctrico. Momento Angular (L=rxp). Impulso lineal (I=Ap). Campo Magntico. Campo Gravitacional. 17 T W P L 10o R | u Fuerzas y momentos de torsin sobre los msculos de la espalda al doblarla. 18 Diferencia entre distancia (escalar) y desplazamiento (vectorial). Distancia Desplazamiento 19 Algunas propiedades de los vectores. Usaremos letras negritas para representar un vector, o una flecha sobre una letra. Por ejemplo: A= . La magnitud la representamos como |A|=A. Igualdad de dos vectores. Dos vectores A y B son iguales si tienen la misma magnitud y apuntan en la misma direccin a lo largo de lneas paralelas. A20 Operaciones con vectores. Adicin o suma. Sustraccin o resta. Producto punto o escalar. Producto cruz o vectorial. La divisin de vectores no est definida. 21 Adicin (suma) de vectores. Mtodo geomtrico con el uso de regla y transportador. Eligiendo una escala apropiada, con la regla se traza el primer vector a sumar con su respectiva orientacin, luego con el transportador se orienta el segundo vector de la suma a partir de donde termina el primero y se traza con la regla, con su magnitud a la misma escala; de la misma manera se trazan los dems. 22 El vector resultante de la suma es el vector dibujado desde el origen del primer vector hasta la punta del ltimo vector. Por ejemplo, si se camina 3.0m hacia el este y luego 4.0m hacia el norte, se encontrar a 5.0m desde donde se comenz, medido en un ngulo de 530 al norte del este. R A B u ( ) ( )2 21 03.0 4.0 5.0 ;4.0tan 53 .3.0R m mmmu= + =| |= = |\ .R=A+B 23 Mtodo grfico. Adicin o suma. Se dibuja el vector A, y a partir de ste se dibuja el vector B.El vector resultante es aquel que va del origen al fin del desplazamiento. Ejemplos: A B R=A + B A B Mtodo del paralelogramo. A B R A+B=B+A 24 Suma de ms de dos vectores. Para sumar ms de dos vectores se sigue el mismo procedimiento. Ejemplo: A B C D R R = A + B + C + D 25 Sustraccin o resta de vectores. Mtodo grfico. Se dibuja el vector A, y a partir de ste se dibuja un vector B=-B, igual en magnitud y direccin a B pero en sentido contrario. El vector resultante es aquel que va del origen al final del desplazamiento. A B B=-B R Ejemplos: R=A-B. A B -B -B A R 26 Propiedades de los vectores. Ley Conmutativa en la adicin de vectores Ley Asociativa en la adicin de vectores Ley Distributiva para la multiplicacin de vectores por un escalar. A B C C B A + + = + +( )( )( )( ) A AAA AA AA k A c A k cC m B m A m C B A m = === ++ = ++ + = + +10 010) (( ) ( ) C B A C B A + + = + +27 Componentes de un vector y vectores unitarios. Y X A Ax Ay El vector bidimensional A se puede expresar como la suma de los vectores Ax y Ay, llamados los componentes de A: A=Ax+Ay. u Observemos que: Ax=Acosu ;Ay=Asenu, y A=[Ax2+Ay2]; u=tan-1(Ay/Ax). 28 Y X Un vector en este cuadrante tiene componentes de signos: Ax negativo, Ay positivo. Un vector en este cuadrante tiene componentes de signos: Ax positivo, Ay positivo. Un vector en este cuadrante tiene componentes de signos: Ax negativo, Ay negativo. Un vector en este cuadrante tiene componentes de signos: Ax positivo, Ay negativo. 29 X Y X Y Bx B By Componentes de un vector en cualquier sistema de coordenadas bidimensional: u B=Bx,+By, ;Bx, = Bcosu, By,= Bsenu. 30 Es un vector sin dimensiones cuya magnitud es igual a uno y se utiliza para indicar una direccin. Vectores Unitarios. kjiVector unitario en la direccin del eje x positivo. Vector unitario en la direccin del eje y positivo. Vector unitario en la direccin del eje z positivo. Permite expresar un vector en funcin de sus componentes. VECTORES UNITARIOS DEL SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULAR. k z x y A=A,||=1. A 31 Sistema de Coordenadas Bidimensional Coordenadas cartesianas (x,y): Un vector A puede escribirse como: Donde Ax y Ay son las componentes del vector, e y son los vectores unitarios a lo largo de los ejes X, Y. La magnitud y orientacin del vector A estn dados por:X Y A x A y 2 2x yA A A = +1tanyxAAu| |= |\ .u x yA A i Aj = + A= 32 Vector Unitario en la direccin del vectorSea el vector:entonces el vector unitario en la direccin de =r esry se define como: r = r /| r | = r r r xi yj zk = + +r122 2 2 .r rxi yj zke ux y z+ + = = (+ + 33 Vector en dos dimensiones.Y X r r x y u 2 21Debemos expresar un vector delas dos formas siguientes:1) .2) Magnitud:,y orientacin con respecto deleje X,tan .rr u r xi y jr x yyxu= = += +| |= |\ .34 Adicin o suma. Mtodo analtico. Y X A Ax Ay Bx By B ( ) ( )( )( )El vector resultante de la sumade los vectores A y B es:R,donde,y.x y x yx x y yx yx x x y y yA i Aj B i BjA B i A B jR i RjR A B R A B= + + += + + += += + = +2 21La magnitud es:.La orientacin es:tan .x yyxR R RRRu= +| |= |\ .R Rx Ry u 35 Mtodo analtico. Sustraccin o resta. Donde la magnitud y el ngulo del vector resultante son: 2 2x yR R R = +1tanyxRRu| |= |\ .Sean dos vectores bidimensionales A y B: x yA A i Aj = + x yB B i Bj = +La resta A-B est dada por: ( ) ( )x y x x y yR R i Rj A B i A B j = + = + 36 7.2-Producto escalar o punto. El producto punto o escalar entre dos vectores se define de la siguiente manera: A B u Bcosu Acosu ( )( )coscos .A B ABBA BAuu== =0cosdonde es elngulo ms pequeo entre los dos vectores, es decir: 0 180 .Geomtricamente tenemos queel producto escalar es la magnitud de por la proyeccin de sobre,o alaAB ABAB Au uu =s s inversa.37 Producto escalar de los vectores unitarios. X Y Z 900 900 900 i jk0000El producto escalar de los vectoresunitarios,y es:1 pues=0ycos0 1;0, pues el ngulo entre ellos es de 90 ,ycos90 0.i j ki i j j k ki j i k j ku = = == = = ==38 Sean dos vectores A y B: El producto AB est dado por: x y zA A i Aj A k = + +2 2 2x y zA A A A = + + x y zB B i Bj B k = + +2 2 2x y zB B B B = + + ( ) ( ).x y z x y zx x x y x zy x y y y zz x z y z zx x y y z zAB A i Aj A k B i Bj B kA B i i A B i j A B i kA Bj i A Bj j A Bj kA B k i A Bk j A B k kA B A B A B = + + + += + + + + + + + + = + +39 El producto cruz o vectorial de dos vectores da por resultado un vector perpendicular al plano de los vectores originales y cuya magnitud es: -Producto cruz o vectorial. ,donde es el ngulo ms pequeoentre los vectores y.R A B AB Sen ABSenA Bu uu= =40 u A B Regla de la mano derecha. R=BxA Se coloca el primer vector, A, en la palma de la mano derecha apuntando a lo largo de los dedos, se gira la mano hacia el segundo vector, B, y el pulgar extendido indicar la direccin del vector resultante, R. R=AxB 41 REGLA DE LA MANO DERECHA. 42 u B A R=AxB Interpretacin geomtrica del producto cruz. rea=base x altura. ( )El producto cruz de dos vectores representa el rea del paralelogramoformado por los vectores:,donde es la altura de paralelogramo y es la base.R ABSenBSenAuu=43 El producto cruz de los vectores unitarios. iX jY Z k0El producto cruz de los vectores ,y:0,pues0 ;; ; .Se dice que los ejes XYZ formanun sistema derecho, por la reglade la mano derecha.i j ki i j j k ki j k j k i k i ju = = = = = = =Sen00=0, Sen900=1 1. i j j k k i = = =44 El producto A x B en trminos de sus componentes est dado por: ( ) ( ).x y z x y zx x x y x zy x y y y zz x z y z zx y x z y x y z z x z yR A BA i Aj A k B i Bj B kA B i i A B i j A B i kA Bj i A Bj j A Bj kA B k i A Bk j A B k kA Bk A Bj A B k A B i A Bj A B i= = + + + += + + + + + + + + = + + 45 | |Este producto se ordena como:R,que se escribe como el determinante, , :R .y z z yz x x zx y y xx y zx y zA B A B iA B A B jA B A B ki j ki j kA A AB B B (= + (+ =46 ( )( )0 00Propiedades del producto cruz:1); 2) 0 si es paralelo a0 180 ; 0;3) Si90 , ;4) Ley distributiva: ;5) Derivada con respecto a A B B A A B AB A AA B ABA B C A B A Ctuu = == == = + = + ( ):.d d A d BA B B Adt dt dt = + 47 Adicin Problemas. Un peatn camina 6.00 km al este y despus 13.0 km al norte. Determine la magnitud y la direccin del vector desplazamineto resultante. Y X A B C ( ) ( )( ) ( )2 216.00 0 0 13.0(6.00 13.0 ) ;6.00 13.0 14.3 ,13.0tan 65.2 .6.00C A Bi j km i j kmi jkmC km kmkmkmu= += + + += += + =| |= = |\ .u 48 Adicin Problemas Un auto recorre 20.0 km rumbo al norte y despus 35.0 km en una direccin de 60.0 al oeste del norte. Determine la magnitud y direccin del desplazamiento resultante del auto. X Y A B C 60.00 51.10 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )0 02 21 0 0 00 20.035.0 cos150 35.0 15030.3 37.5 ;30.3 37.5 48.2 ,37.5tan 51.1 90 142 .30.3C A Bi j kmkm i kmsen jkmi km jC km kmkmkmu= += ++ += += + =| |= = + ~ |\ .49 Adicin Problemas Dados los vectores A= 2 i + 6 j y B= 3 i + 2 j . a) Dibuje el vector suma C = A+B y el vector diferencia D=A-B. b) Encuentre soluciones analticas para C y D primero en trminos de vectores unitarios y despus en coordenadas polares. j i A62+ =A) Vectores grficos;j i B23+ =A B X Y A B X Y 50 b)Vectores unitarios y coordenadas polares. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 21 02 21 02 6 3 2 5 8 .5 8 9.43,8tan 58.0 .52 6 3 2 4 .1 4 4.12,4tan 104 .1CDC A B i j i j i jCD A B i j i j i jDuu= + = + + + = += + =| |= = |\ .= = + + = += + =| |= = |\ .51 Producto punto. Problemas. Una fuerza F= (3.0 i + 4.0 j )N acta sobre una partcula. El ngulo entre F y el vector de desplazamientoses de32, y F efecta 100.0 J de trabajo. Determines. ( ) ( )( )( )( )2 20El trabajo que realiza la fuerza demagnitud3.0 4.0 5.0 ,es: cos ,de donde obtenemos:100.0cos5.0 cos 3223.5 24 .F N NW Fs FsJWsFNm muu= + == == == ~52 ( )1 00 0 000El ngulo que forma el vector F con el eje X es:4.0tan 53 .3.0El ngulo que forma s con el eje X tiene dos posibles valores:53 32 . As,85y21 . Luego, tendremos:s 24 cos85 m i|u uu++| |= ~ |\ .= ===( )( ) ( )( ) ( )00 024 852.1 24 ,ys 24 cos 21 24 2122 8.6 .msen jmi m jm i msen jmi m j+~ += +~ +53 S-=22i +8.6 j. S+=2.1i +24j. F u- u+ S+ S- Y X 54 EjemploDos vectores en el plano XY estn dados por las ecuaciones A= 2i +3j y B=-i +2j. Encuentre AxB y compruebe que AxB=-BxA. Solucin.- Primero encontremos el producto cruz multiplicando trmino a trmino, y luego resolvamos el determinante i, j, k. A B X Y u AxB apunta hacia afuera. 55 ( ) ( )( )( ) ( )( )Tenemos que:2 3 22 4 3 60 4 3 0 7 , y2 2 32 3 4 60 3 4 0 7 .. . . .A B i j i ji i i j j i j jk k kB A i j i ji i i j j i j jk k k A Bl c q d = + += + + = + + = = + += + + = + + = = 56 ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )Resolvamos el determinante, , :2 3 0 2 02 3 0 3 0 2 01 2 02 0 1 0 2 2 1 37 .i j kA B i j k i j ki j kij kk = + + + += = ( + (( =57 ( )( )( )2 2 2 222 2 2-1 1Para encontrar el ngulo que forman los dos vectores usando el producto cruz, debemos calcular las magnitudes de ambos:2 3 13,1 2 5.Luego, tendremos:7=13 5x yx yA A AB B BA BSen SenABu= + = + == + = + ==0 060.25 60.3 . = ~58 Simuladores Pgina de simulador de suma de dos o ms vectores de vectores. www.mcasco.com/p1aalgva.html Pgina de simulador de suma y resta de vectores. webphysics.ph.msstate.edu/javamirror/ExplrSci/dswmedia/vector.htm Pgina de simulador de suma y resta de vectores. webphysics.ph.msstate.edu/javamirror/ntnujava/vector/vector.html Pgina de simulador de producto cruz. www.phy.syr.edu/courses/java-suite/crosspro.html 59 Sitios Pgina con interesantes simulaciones de temas de fsica webphysics.ph.msstate.edu/javamirror/ntnujava/ Pgina que contiene una muy buena explicacin de todos los conceptos de vectores, adems grficos explcitos. glenbrook.k12.il.us/gbssci/phys/Class/vectors/u3l1a.html Pgina muy bien explicada desde los conceptos bsicos de vectores, hasta conceptos avanzados como operaciones de vectores. http://mbone3.usma.ac.pa/fisica/vectores/