Capitulo 30003
of 89
Transcript of Capitulo 30003
-
L
Pelota de
tenis de mesa
suspendida
por un chorro de aire. El principio de
conservacin de cantidad de
movimiento del
volumen
de
control,
estudiado en
este
captulo,
implica la existencia de
una
fuerza para
cambiar
la direccin de un
ujo,
El
chorro de
aire
se deecta alrededor
de
la
pelota,
y
la fuerza
resultante
compensa el
peso de
la pelota.
[Por
cortesa de Paul
Silvennan/Fundamental
Photographs.]
-
-
i
Captulo
3
e
,Relaciones
3.1.
Leyes
bsicas
de la
Mecnica de Fluidos
*Q
-:
E2.
(PD
-
`
138
Captulo
3. Relaciones
integrales
para un
volumen de
control
,
Los
tres mtodos son
aproximadamente iguales en
importancia,
pero el anlisis
con
`
volmenes
de
control,
tratado
en este
captulo, es
vlido
para
cualquier
flujo,
aunque
a
menudo
se basa
en
propiedades
'inidimensionales'
o
promediadas
en el
contomo,
herramienta muy
valiosa
para el ingeniero de cara
al
anlisis
de los
flujos.
'
En
principio.
la
descripcin
diferencial
dcl
Captulo
4 tambin
puede ser
utilizada
para
cualquier
problema;
pero
en
la
prctica slo
existen soluciones
exactas para
algunos
pocos problemas,
como
el flujo en
conductos rectos.
No obstante,
las
ecuaciones
dife-
renciales
pueden
resolverse de
forma
numrica,
y
el floreciente
campo
de la Mecnica
de
Fluidos
Computacional
(CFD,
Computational
Fluid
Dynamics)
[8]
proporciona en
la
actualidad buenas
estimaciones casi
para cualquier
geometra.
Para terminar,
el
anlisis
dimensional
del Captulo 5
se
puede aplicar
a
cualquier
problema
ya
sea
analtico,
numrico o
experimental.
Esta
aproximacin es
particularmente
til para
reducir el
cos-
te
de la
experimentacin.
El anlisis
diferencial comenz con
Euler
y
Lagrange
en
el"'^-ic"
siglo
xvln,
y
el
anlisis
dimensional dio
sus
primeros pasos
con
lord Rayleigh
a
nales
del
siglo
XIX,
pero el
mtodo del
volumen de
control,
aunque fue
propuesto por
Euler
y
utilizado ms
tarde por Osborne Reynolds
a nales del siglo
xxx,
no se desarroll
sobre una base rigurosa
como
una herramienta
analtica
hasta
la dcada de l940.
Sistemas
frente a volmenes Todas las
leyes
de
la
mecnica estn escritas
para sistemas.
que se
denen como
cantida-
de control
des arbitrarias
de masa
de identidad
ja Todo
lo extemo al
sistema constituye
el
enror-
__
no,
del
que
el
sistema
est separado
por
su
frontera
o contomo. Las
leyes
de la mecnica
establecen
lo
que
ocurre
cuando
hay
una
interaccin
entre
el sistema
y
su entomo.
Primero,
el
sistema
es una
cantidad
ja de
masa,
que
designamos
con m. Por
ello,
la masa del sistema se
conserva
y
no
cambia'
Esta
ley
de
la mecnica
tiene una
expre-'
sin matemtica
muy
simple,
denominada
conservacin
de la
masa:
msist
=
me
'
dm
0
2;
-
0
(3.1)
Esto
es
tan
obvio
en los problemas
de la mecnica de
slidos
que a menudo
nos
olvida-
mos de ello. En Mecnica de
Fluidos
debemos
prestar mucha atencin
a la conservacin
de la masa
y
asegurarnos
que
se cumple en nuestro anlisis.
Segundo,
si el entomo
ejerce
una fuerza
resultante
F sobre el
sistema,
la segunda
ley
de Newton expresa
que la
masa se acelera?
F- a-
Y-(v)
'"
"'41
dim
(3-2)
En la Ecuacin
(2.8)
vimos cmo
se
aplicaba esta relacin a un
elemento
diferencial
de
un uido viscoso e incompresible.
En
Mecnica de
Fluidos,
la
segunda
ley
de Newton
se
denomina
ley
de conservacin
de la cantidad
de movimiento,
o
altemativamente,
ecuacin de
la cantidad de movimiento.
Ntese que se trata
de una
ley
vectorial
que
implica
tres
ecuaciones escalares:
F'
=
max,
_Fv
=
may
y
F,
=
mar.
Tercero,
si el entomo ejerce
un
momento resultante M
respecto al
centro de
masas
del
sistema,
habr un
efecto
de rotacin:
dll
M
-
(3.3)
'Estamos
suponiendo
que no
hay
reacciones
nucleares,
donde la masa
se puede convertir en energa.
*Estamos
suponiendo
que no
hay
efectos
relativistas. en
cuyo
caso
habria que modificar
la
ley
de
Newton.
-
3.1.
Leyes bsicas de
la
Mecnica de
Fluidos
139
donde
H
=2(r>
-
140
Capitulo
3.
Relaciones integrales para un volumen de control
_ _
A __
_
__
la
viga
a medida que se deforma por accin
de una
carga.
Seguimos a
un pistn
en
su
`
movimiento oscilatorio.
Seguimos a una
sonda
espacial. camino
de
Marte.
Pero
los
sistemas fluidos no demandan esa
atencin
concentrada.
Es
muy
raro
que
nos_interese.seguir_la trayectoria
de
una
partcula uida
concreta.
En
lugar de
esto,
es
l
r
i
r
r
l
I
r
l
L
r
l
i
L
Flujo
volurntrico
En
todos los anlisis de este captulo
es
necesario evaluar el
ujo
volume'trico_o
caudal
y
ujo msoo
Q
o el
ujo msico
rr
que atraviesa una supercie
(imaginaria)
denida
en el
ujo.
Supongamos que
la
supercie S
de la
Figura 3.1a
es algn
tipo
de malla (imagina-
ria)
a traves de la cual el uido pasa
sin
resistencia.
Cul
es
el volumen de uido
que
pasa a
travs
de
S
por
unidad
de tiempo?
Si,
como
suele ocurrir,
V vara con la
posicin,
necesitamos
integrar
sobre
S
las
supercies elementales dA de
la Figura
3.1a.
Tambin
suele ocurrir que
V
pasa a
travs
de dA formando
un ngulo 0 con su normal.
Si llamamos n al vector unitario normal
a
dA,
la cantidad de uido
que
atraviesa
dA
en
el
tiempo
dt es el volumen del paraleleppedo
representado
en la Figura
3.lb:
d`V=VdtdAcos0=(V-n)dAdt
Figura 3.1. Flujo volumtrico
a
travs de una supercie:
(a)
rea
inlnitesimal
dA sobre
la
supercie;
(b)
el
volumen
barrido a travs
de
dA es igual
a V
dt dA
cos 0.
muy
probable
que el uido
sea el entorno de
nuestro objeto
y
que
deseemos conocer
la
interaccin mutua. En los tres
ejemplos citados
anteriormente,
deseariamos
cono-
cer
las cargas o fuerzas
del viento sobre la
viga,
la
presin
del uido
sobre el pistn
y
la sustentacin
y
resistencia
de
la
sonda
espacial.
Esto requiere
que las
leyes
bsicas
sean
reescritas para
poderlas
aplicar a una regin especca en las
proximidades de
nuestro objeto. En otras
palabras,
lo
que les ocurre
a
las partculas
uidas
del viento
lejos de la
viga
es de
muy
poco
inters
para
el
proyectista
de la
viga.
Es
el
punto
de
vista
del usuario el
que
determina
la necesidad del
anlisis
de
volumen
de control
_
de este captulo.
'Al
analizar
rm
volumen de
control,
acomodamos las
leyes
de
un sistema para
apli-
carlas a
una
regin especfica
que el
sistema
puede ocupar en un instante determinado,
con independencia de que el sistema permanezca o no en
esa regin.
Las
leyes
bsicas
se reformularr para ser aplicadas
a
esta
regin particular,
denominada
volumen
de
con-
trol. Todo
lo
que se necesita saber
es
el campo uido en
esa
regin
y
a menudo
bas-
ta con alguna simplicacin, como
la
de ujo uniforme
a la entrada o
a
la
salida.
Las
condiciones del ujo lejos del volumen
de
control son entonces
irrelevantes.
La tcnica
necesaria
para hacer este anlisis
local
es el objeto del presente
captulo.
Normal unitaria
n
l
0
/`-,
S
`
V
A
V
fo
v
x
aa
V
Vdr
/
(a)
(b)
-
lf
3.2,
Teorema del
transporte de
Reynolds
141
La
integral
de
dl//dt
es
el
ujo volumtrica o caudal
Q
que atraviesa
la
supercie
S:
Q=(v-n>dA=ivn1A
(3.1)
-.il
l
f
r`
i
.i
1
t
3.2.
Teorema del transporte
de
Reynolds
Figura
3.2. Volmenes
de control
jos,
mviles
y
deformables:
(a)
volumen de control
jo
para
el
anlisis
de fuerzas
sobre una
tobera;
(b)
volumen de control
mvil con el barco para
analizar
su
resistencia;
(c)
volumen
de
control
deformable
dentro de
un
cilindro para analizar
transitorios
de presin.
esJa.componente.,de
,Y_onogonaL
a
dA,
pero el uso del producto escalar permite asociar un signo
a
Q
que distingue entre
los flujos que entran
y
salen. Por convencin,
en este libro se considera positivo el
vec-
tor
unitario n normal
hacia
fuera.
De esta
forma,
V
-
n representa un ujo
de
salida
si
es positivo
y
un ujo de entrada si es negativo. Esta convencin ser
extremadamente
til
cuando
se calculen los ujos volumtricos
y
msicos en las secciones
siguientes.
Multiplicando el ujo
volumtrico por la densidad obtenemos
el ujo
o
gasto
msico
m.
Si
la densidad vara sobre
la supercie,
debe ser parte de la
integral,
lo
que
condu-
ce
az
V. V. t
rrl=
p(V-n)dA=
JpV,,dA
Si
tanto
la
velocidad como la densidad son constantes sobre la
supercie
S,
se obtiene
una expresin
muy
sencilla:
Aproximacin
unidimensional:
rh
=
pQ
=
pAV
Para convertir
el anlisis
de un sistema en el anlisis de un
volumen de
control.
debemos
utilizar
nuestras
matemticas para poder aplicar las
leyes
bsicas
a regiones especcas
en lugar
de
a
masas
concretas. Esta conversin se consigue mediante el
llamado
teore-
ma
del transporte
de
Reynolds
y
se puede aplicar a todas las
leyes
bsicas.
Examinando
estas
leyes
bsicas,
(3.1)
a
(3.3)
y
(3.5),
vemos que todas se
refieren
a derivadas
tem-
porales de propiedades uidas
m,
V,
H
y
E. Por
tanto,
lo
que necesitamos es
relacionar
la derivada temporal de una
propiedad
del
sistema con
la variacin de dicha
propiedad
dentro de una regin
concreta.
_
La frmula de conversin diere
ligeramente
segn
se
trate
de volmenes
jos,
mviles o deforrnables. La
Figura 3.2
ilustra los
tres
casos.
El volumen de control jo
de la Figura 3.2a encierra
una regin estacionaria,
de inters para el proyectista
de la
tobera. La supercie
de
control-
es
un concepto abstracto
y
no
obstruye
de ninguna
forma al ujo. Corta
al chorro que sale de la
tobera
la rodea
y
corta de
nuevo por los
tornillos
de sujecin
y
por
el
uido que circula por el interior de
aqulla.
Superficie
Superficie
de control de control
_
_
fr;-o-;
-1'
'
1
|
:
\
I
L______
_____i
<
vam..
rn
donde la ecuacin de
continuidad
nos dice
que
"l=m=
Pvntzffftb
=
"lui
=
PVz2'f"zb
=
PQ
_El
producto
vector-ial_rV
x
V
es
_en
el
sentido
de las
agujasdel
reloj
conhrespecto
a
Q
en
ambas secciones:
r2
X
V1
=
rV,
sen90'
k
=
rV,k
, en
sentido
horario
r,
X
V,
=
rV,,k
en
sentido
horario
La
Ecuacin
(1)
se convierte as en la
frmula
pedida
para
el
momento:
T,
=
pQ(r,_V,
-
rV,-)k
en
sentido
horario
.
ir
Resp.
(a)
(2a)
Esta-
relacirrsedenomina ecuacin de
Euler
delas
rurbomquinas.
En
una bomba
idelzada
las velocidades
tangenciales en
la
entrada
y
la salida
se igualarau
a las velocidades
de
giro
del labe
Vu
=
furl
y
Va=
wrz.
El par aplicado queda
entonces:
--
Ta
=
pQ,,,(,
_
ff)
en sentido
horario'
-
(gb).
Convettimos
w
en
600(21d60)
=
62.8
rad/s. En estos clculos no intervienen las
velocidades
normales,
que se pueden obtener
del
caudal:
Q
2.5
ml/S
'
f
V
=
__
=
=
_
^'
2-lb
2(n:2 m)(o.1-sm)
13 3 m/S
_
Q
_
2.5
_
V
zmzb
2f(o.s(o.is
53 Is
Para una
entrada
y
una
salida idealizadas, las
velocidades tangenciales
igualan
a
las
respec-
tivas velocidades del
labe:
' '
_
V
_V,
=
agrl
=
(62.8
tad/s)(0.2
m)'=
l2.6
m/S
V,
=
mr;
=
62.8(0.5)
=
31.4 m/s
Segn la Ecuacin
(211),
el
par
pedido es
,,
=
(iooo
kg/m>(2.s
m*/s[(o.s
m)(s1.4 m/S)
-
(0.2 m(i2.6
mm]
=
3s.ooo(1
-
l
172
Captulo
3.
Relaciones integrales
para un volumen de control
Velocidad de
~
v
_---
gl?
salidaabsoluta
EJEMPLO
MS
_
_
V
-
=
.
,
//
\
if
\
I
F
|L_
v2=
voi-
R(,,"`
La Figura 3.13
muestra el
brazo
de un
aspersor
visto desde arriba
El
brazo
gira
a
veloci-
/
/
dad angular constante
w
alrededor de
0, El
ujo
volumtrico que entra
en
el brazo
en
0
~<
-
___
2]
_
=
-9900 +
140
+
2740
~
~7000ft
-
lbf/s
Flujo
de
energa
potencial
=
g(-nlz,
+ rr'z1z2 +
rz3z)
=
(3'Z.2)[
-O.3l7(l.0)
+
0.180(4.0)
+
O.l37(1.5)]
=
-10
+
23
+
7
='
+20ft
-
lbf/S
La
Ecuacin
(2)
se puede
evaluar
ahora
para evaluar la transferencia
de calor:
Q
-
(-82,500)
=
139,000
-
7,000
+
20
ft
-
lbf 1 Btu
Btu
_,
`
"
Q
i**~52
*
T
EL
"MP-
l
f
Comentarios: La transferencia
de calor es positiva, es
decir,
hacia el
interior del
volumen de
Ecuacin de
la
energa
de
un
ujo
estacionario
conufol.
Como
vemos,
y
esto es
tpico
de
los
gases,
el ujo de energa
potencial es
desprecia-
ble, el ujo de energa
cintica es
pequeo
salvo que las
velocidades sean
muy
altas
(es
decir,
en
rgimen
subsnico alto o
supersnico),
y
el ujo de
entalpa
resulta
dominante.
W
En
un
ujo estacionario con
una
entrada
y
una
salida,
supuestas
ambas
unidirnensio-
nales, la Ecuacin
(3.63)
se
reduce
a una relacin
muy
usada
en ingeniera.
Sea
1 la
seccin de entrada
y
2 la de
salida.
Tendremos
Q
_
W;
"
W
=
W-1i(l1+iVl`l'
S11)
'l'
f'l1('2
'l'
iv
'l'
822)
(365)
Pero
como por
la ecuacin de
continuidad
rrl
=
rrz
=
ni,
reagrupando
queda:
ll
+
V
+
gz
=(1
+
%V
+
gzz)
-
q
+
W,
+
wv
(3.66)
donde
q
=
Q/
m
=
dQ
/dm es
el calor
comunicado
al uido por
unidad de masa.
An-
logamente,
w,
=
W,/m
=
dW,/dm
y
w.,
=
W.,/_m
=
dW\,/dm. La Ecuacin
(3.66)
es
una
forma general
de
ecua`c`ro'r`de
e'n'erga`
p`a'raj1u]
estacionario,
que indica
que la
entl-
pa de
remanso
H
1
=
(/1
+
V1
+
gz)
diere
de
Hz
slo si
hay
transferencia
de
calor
o
trabajo de esfuerzos viscosos
o partes
mviles entre la
secciones
1
y
2.
Recurdese
que
q
es positivo si se
comunica
calor al
volumen
de
control
y
wi
y
w_,
son
positivos
cuando el
uido realiza
un trabajo
sobre
su
entomo.
Cada
trmino
de
la
Ecuacin
(3.66)
tiene
dimensiones
de energa por
unidad
de
W
masa,
o velocidad al
cuadrado,
que es la forma
comnmente utilizada por
los
ingenieros
mecnicos.
Si dividimos todo
por
g,
cada
trmino se convierte
en una
longitud,
deno-
""_"""'4"
"
' '
_
_
_s,,,_...,__..__.L
'il
'*r
1
-
_,_
-_ _ __ _. A
,,
_
f
l
'
r
Friccin
y
trabajo
mecnico
en
ujos
a
baja velocidad
_
3.6.
Ecuacin de la
energa
177
minada
carga o
altura,
que es la
forma utilizada
por
los ingenieros
civiles.
El
smbolo
tradicional
para
la
carga
es
h,
que no debe confundirse con la
entalpa.
Para
evitar
confusiones,
usaremos
la
energa interna al escribir la
ecuacin
en
forma
de
cargas:
N
2
.
VL_,___;.1.
,.t.
.1.,,.i.
r._ ,,__,,_.-.-k.=.,\
1-
-r
Z
nq
-r
/J
T
n,
Q@/)
ws
-l
.
IQ
VO
_,
21.Ui.Vi.___
_^'r*^
Tr_-
v
Y
s
23
donde
hq
=
q/g,
hs
=
wi/g
y
hu
=
wn/g
son las
variaciones
de carga
debidas
a transferencia
de
calor,
trabajo de partes
mviles
y
esfuerzos viscosos,
respectivamente El trmino
p/y
se
denomina
carga
0
altura de
presin
y
el
trmino
V2/2g
se
denomina carga0
altura
de velocidad.
Una
aplicacin comn
de
la ecuacin de la
energa
para
ujo
estacionario es
el ujo
en
conductos
o
tuberas
a baja velocidad (incompresible). El
sistema
de tuberas
tam-
bin puede incluir una bomba o una
turbina. Las
paredes del
conducto
y
de la
mquina
son
slidas,
de modo que
el
trabajo
de
los esfuerzos
viseosos
es
nulo.
As,
la Ecuacin
(3.67)
se
puede reescribir como
(Y
2
z
2
^
__
_
a+h+Z1)=
-
Captulo
3.
Relaciones
integrales para
un volumen
de connol
1
Corzsideraconer:
Flujo
estacionario.
sin
trabajomotor, por
lo
que
hb
=
h,
=
0.
Si.
_
-`
z
=
0,
entonces
z=
150 m.
I
Procedimiento:
Calculamos la
velocidad
y
la
carga
de velocidad. A continuacin
evaluamos
carga"p'orfriccin'
utilizando la
Ecuacin
(3.69)
y
comparamos.
_
_,
______
1
Resolucin:
Como el dimetro del
conducto es constante,
la
velocidad
media es
la
misma
en todo el conducto:
Sustituimos en
la
Ecuacin
(3.69)
y
despejamos la
prdida
de carga
por
friccin. Utiliza-
`mos`p`s
-
Apartado
(a)
3.6.
Ecuacin de
la
energa
179
-solucin
_
Las densidades en las
secciones de
entrada
y
de salida se
pueden calcular
utilizando
la
ley
de los gases
perfectos:
'
~ __ _
_
-_,
_
;,
,Ls@
-
M '
___-_-
180
Captulo
3.
Relaciones integrales
para un
volumen
de control
Si la
densidad
es tambin
variable,
el
clculo
de
la
integral
resulta
bastante
laborioso;
W
esta complicacin no
ser,
tratada
en
este texto..
Si
u
es la
velocidad
normal
a la
seccin,
,_
t
l
0
(X
'
-
*`
la primera de
las ecuaciones
anteriores queda,
para
ujo
incompresible:
11
Q.
3
=if
El
trmino
of es el
factor de
correccin
de la energa cintica,
que
tiene un valor
de
2.0
aproximadamente para
el ujo laminar
completamente
desarrollado
en
un conducto
y
de
1.04
a l.ll para el ujo
turbulento.
La
ecuacin'
de la energa
en
rgimen estacionario
e
incompresible
(3_69),
incluyendo
bombas,
turbinas
y
prdidas,
se podra
generalizara
i
\
ff
Q
._
)
p
H
,
.
,
_,
+
T
V'
1
'
*
__
:r
K
+
1
-
~
11~,mf/f.-mt,n
(3.11)
s
~
3
-K
/,mt
M15
-43
/,ir ,
donde los trminos
de carga
del segundo miembro
(ht, hb,
h)
son todos
positivos.
Todos
_
los trminos aditivos de la
Ecuacin
(3.71)
tienen
dimensiones
de longitud
[L}.
En
-
problemas
relacionados con el ujo
turbulento
en un conducto,
se
suele suponer a
=
1.0.
Para
calcular
valores numricos
podemos
usar las siguientes
aproximaciones,
que
trataremos
en el
Captulo
6:
2
Flujo mmmar; u
=
U,,{1
-
l
-
de
donde
Vw,
=
0.5U,
.y
~
.
1,1
Flujo
turbulento: u
=
U0
-
r
'_-*
"~'*"-- -' -M _
*y-*la
ittrbma-es-h,=
2011.
Suponlen'dUqUe
se
nara-de-un'uju*1urbttento
ctn^a*=r.06,"
3.6.
Ecuacin
de
la
energa
181
E-muPLos.19
-
V
.
La
central
hidroelctrica
de la
Figura E3.l9 toma
30
mx/s
deagua
a travs de
su
turbina
y
la
descarga
a
V2
=
2
mls a la atmsfera.
La
prdida
de carga en
el
conducto de
alimentacin
calcule
la
potencia
extrada
por
la turbina
en
MW.
Solucin
V
'
Despreciamos el trabajo
de
los esfuerzos
viscosos
y
la
transferencia
de calor.
Tomamos
la
seccin
1 en la
supercie del
embalse
(Frg.
E319),
donde
V
=
0,
pl
=
pm
y zl
=
100
m.
La seccin 2
est en la salida de la
turbina.
V
rn
*-\-viit
I-;m\.'v;".
-
Il
=
100111.
V_,1.:Et`
i
rzsos
ff;
-
liar":---`
`"i`l"
2:2
_:-1-entr@
@T;%';**'a1;=_tr;tt.,;%
~
fe
A
-
H
___
X
,__, _
,
__
..,..__.__,_.___..____k__..._.__.
.__..._.~_-_
_.- ._
,n
v
k
,V
Mm
m/si
.,;_m..,,,_,
.s
__,
V
_
.
~
-
133.19 .
t
`*F''
i;n;;st~
~
_
:i
La ecuacin de
la
energa*
para
flujo
estacionario
escrita-
en-
terminos.
de
cargas,
Ecuacin
(3.71),
toma la
forma
~
V
Ia
_V`
_
eg
'f12_V%
i
7+
2?
,+z1_.
7+
28
+z,+h,+h,
,
1.o6(o
t
_
1.os(2.o
m/s2
_
Y
+
2081)
+100-m
Y
4:
i---2(9_81m/sz)
+0m
+
h,+
20m
Los trminos de
presin se
cancelan
y
es
posible
obtener la
carga de la turbina
(que
es
positiva):
}i,'
100
-
20
-
0.2.
~
79;8
m-
Latturbina
extrae
aproximadamente el 79.8%
dela
carga disponible en la
presa,
[00 rn.
La po-`
tencia
total extrada
puede evaluarsea partir
dl:
gasto msico de
agua:
`
P
=
1w,v=
(,;Q)(gh,)
=
(99srkgm)(3o
nf/s(9;s1m/s2(79.sm'
V
=
23.4
E6 kg
-
mi/si
=
23.4 E6 N
-
m/S__=
2s;4.Mw
Rm.
La turbina mueve
un generador
elctrico con
unas'
prdidas
en
-la
transmisin
y
generacin
de
aproxtimadarnente
el
15%,
de
forma
que
lapotenciat
neta
generadapor
esta
central-,
hidro-
elctrica es de unos 20 MW.
.
11rEMPLo3.zo
_ W
,
La bomba de la
Figura E3.20
suministra
1.5
ft)/s
de
agua (62.4lbf/ff)
a una
mquina,
seccin
2,
que est situada a
20
ft
por
encima
del-
nivel
del depsito.
Las prdidas entre l
y
2 vienen
-
_.
1
Clpftulo
3. Relaciones
integrales para un
volumen
de control
dadas
por
h
=
IC.V/(2g),
donde
K
=
715 es
el
coeciente de
prdidas
adimensional
(vasg
__
_
`
Seccin
6.7).
Si cz
~
1.07,
calcule la
potencia
requerida
por
la
bomba
si el rendimiento
es
del
80%.
,,,=14.11bffh1as
___'
f
_
0
D,=3n
..V,.-_.,.v,,__1=0'y
11:20*
,
*
n2=w1bff==
;
~
*fl :;~"i:\'\
% -
A
-
- _ ._
.
Bomba
-\
25*
,~-.s;-,..>J
"'*'
.
.
E3_20
fi
-f-.
,~.,,....n---
i,
hi
(Mgmva)
Solucin
_
'
_
'
f
-
-
I
-
~
I
Diagrama del
`sistern1:
La
Figura
E3.20 muestra la disposicin de
las
secciones
I
y
2;
_
_
0
Consideraciones: Flujo estacionario,
trabajo
viscoso
despreciable. depsito
muy
grande
--
(V,
=
0)-
7
'
i
-4
Procedimiento:
Obtenernos
primero la velocidad
en la
salida-
V2
y
despus
aplicamos'
la
ecuacin
de la cnergnpnra
ujo
estacionario.
`
_
'
0
Reluclnr USNIOS unidades
uglbss,
p
14.70.44)
=
2117
bftz
y
pi
I0(144)
=
1440
` ' i
lbf/ft'.
Calculamos
V1
a
pazx
de los datos. del caudal
y
el
dimecro
del conducto:
'
_
"
* '
V1
A,
`
(ff/ofsnz
mz'
'
'
_
La ecuacin de la energa
en-
regimen
estacionario
(3.71).
con
una
bomba
(sin
turbina)
con.z|=0yV|-0,es
,
V.,
'
._
E-1+"'
+
-+5-`+
-A+
=K
.,
Y
;
dtf
2s_
fa
'
f'f'h'
2:
_
-
_12-m
-
0
hi,
--7
+z+(+K28
I-
Comentario:
La
bomba
debe
compensar
cuatro
efectos
difemntes:
eli
salto de presiones.
el
l
cambio de-elevacin. la energa
cintica@
delfchorro
de salida
y_
las
prdidas
por
fi-iccin
V
_',
59'_!
?''
5"*
s
44*
P.'l9d,z..l??d.',.9
9bF*`
la
98%
W
d`9
`
144o-z1'17mf/al
~
,
'
m.e
ff/5)*
_
_
o*
__
__
_
11,
_
zmbfm,
+
20
+
(1.07
+
-
11
+
20
+
124
nan
_
Conocido el aumento de
carga
de la
bom-ba.
la potencia necesaria se
calcula
de ima forma
similar al caso
de
la turbina
del Ejemplo
3.19:
'
-
_
_
fr
P.m.,.=
mw,
=
,Qh,,
=
62.4
%fX1.s
:)(13s
ff)
ft
-
lbf
`
V
12,450
fr
-
lbf/S
_
_
12450
s
_
sso
-
lbf/(S
-
up)
`
226 hp
~
-
--,~..-a4,
c
''"f
'_tssL-.......r,._*_._n_n_
c
,,
3,7.
Flujo
sin
friccin:
--
la
ecuacin
de Bemoulli
Figura
3.14.
Ecuacin
de
Bemoulli
para
ujos
Sin
friccin
a lo
largo
de
una
lnea
de
corriente:
(a)
fuerzas
y
3.7. Flujo
sin friccin:
la
ecuacin
de
Bemoulli
183
Si ln bomba
tiene
un rendimiento del
80%,
debemos dividir
por este
rendimiento
para
encontrar
la
potencia
requerida:
I
'
P 22
6
hp
P.
.
=-l"-'1-=-'-=zs.31ip
0
Comentario: El
uso
del
factor de correccin de
la energa cintica a da
lugar.
en este
caso,
a
diferencias
de
alrededor
de
un 1%
enel
resultado. El parmeno dominante son las
prdidas
por friccin,
no el chorro de salida
y
,
_
V
El
estudio
del
ujo sin friccin
a
travs
de
un
tubo de corriente
innitesimal,
como
muestra la Figura
3.1511,
proporciona una relacin
muy
utilizada
entre la
presin,
la
velocidad
y
la
altura,
que
se
denomina
ecuacin
de
Bemoulli.
Esta
ecuacin,
muy
re-
lacionada con la ecuacin de la energa
para
ujo
estacionario, fue formulada
de forma
muy
vaga
(en
palabras)
en un libro de texto de Daniel
Bernoulli en
1738,
aunque
la
deduccin completa se debe a Leonhard
Euler,
en
1755.
Aunque la ecuacin de
Ber-
noulli es
muy
famosa
y
tiene numerosas
aplicaciones,
debemos
ser
muy
cuidadosos
y
tener
siempre en
cuenta
sus restricciones,
ya
que
todos los uidos son viscosos
y
por
ello
todos los
ujos
tienen algn efecto de
la
friccin. Para
emplear
correctamente la
ecua-
cin de Bemoulli
hay
que
limitar
su aplicacin
a
regiones del ujo en las que la friccin
sea despreciable. En esta seccin
(y
con
ms detalle en
el Captulo
8)
se determinarn
las condiciones adecuadas para el
uso
de la ecuacin
de Bemoulli.
En la
Figura
3.14 se representa un volumen de
control
que
coincide con
un tubo
de
coniente
innitesimal
de
rea variable
A(s)
y
longitud
ds.
donde
s
representa la
direccin de la lnea de corriente. Las propiedades
(p,
V,
p)
pueden
variar con s
y
con
el tiempo
pero
se consideran uniformes sobre la seccin transversal
A,
que
con-
sideraremos sucientemente pequea. El tubo de corriente est inclinado un ngulo
arbitrario
0,
de forma que la variacin de altura entre
las secciones es
dz
=
ds sen
0.
La gura muestra una friccin inevitable en las
paredes
del
tubo
de
corriente
que
aqu
estamos despreciando, lo
que
constituye
una
hiptesis
muy
restrictiva.
Obsrvese
que
en el lmite cuando dA
-
0,
el tubo de corriente coincide con
la
lnea de corriente.
Usualmente
se
dice que la ecuacin
de
Bemoulli se aplica a lo largo de una lnea de
corriente en un
ujo no viscoso.
La conservacin de la
masa,
Ecuacin
(3.20),
para este
volumen
de control
inni-
tesimal queda:
d . . p .
-
V`
-
= ==
-
V
dt
-
---
-.-_-__.-.._,__
184
Captulo
3. Relaciones
integrales
para un
volumen de control
donde
1=pAV
y
dl/`=
A
ds.
As,
la forma deseada
de la conservacin
de
la
masa
dni
=
d(pAV)
=
-Ads
(3_74)
Flujo
estacionario
e
incompresble
_:_es
ap
Esta
relacin
no exige
hacer la hiptesis dc ujc sin friccin.
Si
escribimos ahora la
ecuacin
de
conservacin
de
la
cantidad de
movimiento,
Ecuacin
(3.37),
en
la
direccin de la comente:
24@
=
U
vp
av)
+
(f;.v),,1
-
(iv)e,,,~
3
(,;.v>A
la
+
dom/1
dr
VC
r
donde
l/J:
V
idnticamente
porque
s
es
en la direccin de
las lneas
de corriente.
Si des-
preciamos
los
esfuerzos
taugenciales en las paredes
(ujo
sin
friccin),
los
trminos
de
fuerza
se deben
slo a
la
presin
y
la gravedad. La
fuerza
de
gravedad enla
direccin
de
la corriente
es la componente
del peso del uido
contenido
en
el
volumen
de
control:
dF,_,,,,
=
-dWsen
0
=
-yA
dssen
0
=
-'yA
dz
La
fuerza
de presin
es ms fcil de visualizar en
la
Figura
3.l4b si restamos
primero
una
presin
un.iforme
p
en
todas las
supercies;
recordemos de la Figura
3.6
que
en
este
caso
la
fuerza neta no cambia La fuerza resultante
de
la
presin sobre las
paredes
cnicas
del
tubo de corriente tiene una componente
en la direccin de la corriente
que
es
idntica
a la que se
obtendra
si
la presin actuase
no sobre el rea
A,
sino
sobre
la
corona
circular
dA,
que representa el aumento de rea. La
fuerza resultante de
presin
es,
por
tanto,
FW
;
apart
~
pol
+
da)
==
-A
ap
U
donde
se
han retenido trminos de primer orden.
Sustituyendo
estos dos tmrinos
de
la
fuerza
en
la ecuacin de conservacin de la
cantidad
de movimiento:
'
21112
=
-yan
-Aap
=(pvA<
+
d(iv)
p
V
_ .
=;VAdS
+aTpAdS+mdV+
Vdm
El
primero
y
ltimo trminos del lado derecho se
cancelan como consecuencia de la
ecuacin
de
la continuidad
[Ecuacin
(3.74)].
Dividiendo el resto por
pA
y
reorde-
nando, se
obtiene la ecuacin nal:
av
4
a;++vav+gaz=o
(3,75)
Esta
expresin es la
ecuacin
de Bemoulli para
ujo
no estacionaria sin
friccin
a
lo
largo
de una lnea
de
corriente.
Es
una
ecuacin diferencial que puede
ser integrada
entre
dos
puntos
1
y
2 a lo largo de la lnea de corriente:
rin
l
,,
K
t
---..~
~-
-
-~v~
~
M
+
1-mi
-
:it
=
(3_7
-
1,.
3.7. Flujo
sin friccin: la
ecuacin
de
Bernoulli
185
P
1
P-
1
0
,
'
+
v
+
gz,=-p1+
v
+
ZZ
=
me
(3,77)
Esta es la ecuacin de Bemoulli para un ujo
estacionario incompresible
y
sin
friccin
a
lo
largo de una lnea de corriente.
Relacin
entre
la
ecuacin
de
Bemoulli
y
la ecuacin de
la
energa
en ujo estacionario
La
Ecuacin
(3.77)
es una fomra
muy
extendida de la ecuacin de
Bemoulli
para el
ujo
estacionario incompresible
y
sin friccin a lo largo de una lnea de corriente.
Claramente, esta ecuacin est relacionada
con la
ecuacin
de
la energa en rgimen
estacionario,
Ecuacin
(3.66),
que
tambin corresponde al ujo en un tubo de corriente
(con
una ennada
y
una
salida).
Dicha
ecuacin se puede
escribir en
la
forma:
V2
. 2 . _
%+%+zr=%+22l1+sz2+(r1-q)+w,+W..
(3-78)
Esta relacin
es
mucho ms general que la ecuacin de
Bemoulli,
ya
que permite tener
en cuenta
(1)
la
friccin,
(2)
la transferencia de
calor,
(3)
el
trabajo mecnico
y
(4)
el
trabajo
viscoso
(otro
efecto de la
friccin).
La ecuacin de
Bemoulli
(3.77)
es una relacin entre fuerzas obtenida a partir de
conservacin de cantidad de movimiento.
Las
consideraciones
que
hay
que tener en
wena
=f
ia
Bsuain
@11
som
1. Flujo estacionario: una
suposicin
muy
comn,
aplicable a muchos ujos.
2. Flujo
incampresible: aceptable si el nmero de Mach del ujo es inferior a 0.3.
3. Flujo
sin
friccin:
muy
nestrictivo, las paredes slidas introducen efectos de
fric-
cin.
Flujo a lo largo de
una
lnea
de corriente: lneas de corriente distintas pueden
tener
diferentes
constantes
de
Bernoulli"
w0=
p/p +
V2/2
+
gz,
dependiendo
de
las condiciones del ujo.
4.
En
la
obtencin de la ecuacin de Bernoulli
no se
consideran tampoco transferencia
de calor o
trabajo.
La razn bsica de
estas
restricciones es que en uidos reales los
intercambios
de calor
y
trabajo estn ligados a efectos de
friccin, lo
que invalida la
hiptesis de ujo sin
friccin. Esos
efectos
termodinmicos son tenidos en cuenta en
la ecuacin de
la energa de un ujo estacionario
[Ecuacin
(3.66)].
De ah nuestra
advertencia:
hay
que ser
precavido
con el uso incorrecto de la ecuacin de Bemoulli.
La Figura 3.15 ilustra
algunas
limitaciones
prcticas del
uso
de la ecuacin de
Bemoulli en la
forma
(3.77).
En el
ensayo
en tnel de la
Figura
3.15a la ecuacin
de
Bernoulli
slo es vlida en el ncleo del
ujo
del
tnel, pero
no en
las capas
lmi-
te de sus paredes ni
en
las capas
lmite o
la estela
del
modelo,
que son
regiones
donde
el efecto
de
la friccin es
muy
importante.
En la Figura
3.l5b,
la ecuacin de Bemoulli es vlida aguas arriba
y
aguas abajo de
la
hlice,
pero
con
una constante
wo:
plp
+
V2/2
+
gz
distinta debido al nabajo aportado
al fluido
por
la hlice.
La ecuacin de
Bernoulli no es vlida cerca de las palas de la
helice ni en
los torbellinos
helicoidales, no mostrados en la gura
(vase
Figura
1.14),
que
se
desprenden del borde de las palas.
Adems, las
constantes
de Bemoulli son
mayores
en el ujo que
an'aviesa
el disco
de
la hlice que en el ambiente
debido
a
la
energa cintica del ujo en la estela.
En la
Figura
3.l5c,
la Ecuacin
(3.77)
es vlida antes
y
despus del fuego de la
chimenea pero con constantes diferentes debido a
la
adicin
de calor. La
ecuacin
de
Bemoulli no es vlida en
el propio
fuego
ni
en
las capas lmite de la chimenea
-
IIS
Captulo 3.
Relaciones integrales para un volumen de control
Aire
ambiente
1
'
~
_
1
r.;";,*:.-:1:j..:
_ `
\.,.,
.,_,.,.,_
.~.
,
*
,
varia@--
V
i'
A'
_
Figura
3.15.
Ilustracin
de las zonas
de validez o no
validez
de la ecuacin
de
Bemoulli:
(a)
modelo en un
tnel aerodinmico;
(b)
hlice;
(c)
chimenea
Lneas de
nivel de energa
y
de altura motriz
'
'
""'_:
-
MI.
--nueva
'Z
'
'_
-
constante
varias
_
if
._.,
-;...
V
f
t
nwaua
mvauas
fa)
(b)
'
'
varian,
-
nueva
_-;
'
*_
CODSMDIC
"--:
7
vana@
te
~
f
_-w
-
0
*
___
____'.
`_'f*A-
rw
,
`
lnvlido
(C)
'
Una interpretacin visual
muy
til
de la ecuacin de
Bemoulli
se obtiene
representando
dos lineas del ujo. La lnea de
nivel de
energa
(LNE),
tambin
conocida
como lnea
de cargas
o
alturas totales,
muestra
la altura de la constante
de Bemoulli
ho
=
z
+
p/7
+ V2/(2g).
En un ujo sin
friccin
y
sin aplicacin
de calor o
trabajo,
la
LNE
es una
linea
de nivel
constante,
Ecuacin
(3.77).
La lnea
de altura motriz
(LAM),
tambin
conocida
como lnea de carga.:
o alturas
piezomtricas,
indica
el nivel
correspondiente
a la altura geomtrica ms la
de
presin
z
+ p/^y,
esto
es,
la LNE
menos
la altura de
velocidad V'/(2g).
La LAM
es
la altura a
la
que subira el lquido
en un tubo
piezo-
mtrico
(vase
Problema
P2.l1)
incorporado
al ujo. En
el ujo en un
canal abierto,
la
LAM
es la supercie libre
del agua.
La
Figura
3.16 muestra las
lneas
LNE
y
LAM
para un ujo
sin
friccin en un
conducto.
Los tubos
piezomtricos de las
secciones 1
y
2 miden
la carga de la
presin
esttica
z
+
ply
y
por tanto
la LAM.
Los tubos
de pitot
de presin
de
remanso
miden
la altura
total
z
+
p/'y
+ V'/(Zg), que
corresponde
a la LNE. En
este caso
particular,
la
LNE es constante
y
la LAM
asciende
debido a
una disminucin
de
la
velocidad.
En
condiciones
ms generales
de
ujo,
la LNE
disminuiria
lentamente
como
consecuencia
de
las
prdidas
por
friccin
y
descendera
bruscamente por
prdidas
localizadas (una
vlvula u
obstruccin)
o debido
a la extraccin de
trabajo
(en
una
turbina).
La LNE
slo puede
ascender si
se
comunica trabajo (como
en una bomba o
hlice).
La
LAM
sigue el comportamiento
'de
la LNE
respecto
a prdidas
y
trabajo motor
y
asciende
0
desciende
al disminuir o
aumentar
la velocidad,
respectivamente.
Como se ha mencionado
anteriormente,
para los
clculos con la
ecuacin de
Ber-
noulli no se necesitan factores de
conversin si se
utilizan unidades
del Sl
o del
sistema
britnico
consistentes, como
se
mostrar en
los
siguientes
ejemplos.
En todos
los problemas
de
tipo
Bemoulli de
este
libro tomaremos
el punto l
aguas
arriba
y
el 2
aguas
abajo.
,__-_--___._.._._-~_t_,,
r,
ig
Madero
f
valido
vniao,
_ ,-
'
...J
-
3.7. Flujo
sin
friccin:
la
ecuacin
de
Bemoulli
187
-
Lnea de nivel energtico
E
A
L
Ki
Lnea de cotas
28
piezomtricas
_
/12
*_
Figura
3.16.
Lnea
de nivel
de
energa
y
lnea
de altura motriz
para
ujo
sin
iccin en
un
conducto.
2? -
BL?
_
E2
efe
+
T-1S_5'&
$111
_
zw-=n
.I
W
*
Mm
._
,g;.~,-;'.-g
ro
`
U
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W
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,
_
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2
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e
2
.
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mena
:am-
:
v
Luz
.
V
Y
L
Nvel
de referencia
(z
=
0)
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' ~
V
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-;:*:_=.n_
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*
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`,`
H
'
\
1
M
1
i
'
-
188
Captulo
3.
Relaciones integrales para
un
volumen de control
supercie
libre
del
depsito,
donde la
altura
y
la presin
son
conocidas,
y
el punto 2 en
la
il
-
salida de la
tobera,
donde tambin son
conocidas
la
presin
y
la
altura. Las dos incgni-
"`
'
`
tas
son
V!
y
V2.
-
La
conservacin de la
rnasaes
vital__en
este tipo de anlisis. Si
AI
es la seccin
transversal
-
del
depsitouyhfflairlev
la tobera
de
salida,
y
tenemos
un ujo
aproximadmente
unidimcn1"'*""'-
sional
con
densidad
constante,_la
Ecuacin
(3.30)
nos dice
que
Aivi
=
Azvz
(1)
La
ecuacin
de Bernoulli
(3.77)
da
~
Epl+%Vi+szr=%+%`V+s22
t.
Pero
como en
ambas
secciones..l
y
2
la presin es la atmosfrica
p
=
pz
=
p,-1os-tmiinos'
` r
de
presin
se cancelan,
quedando
V
-
Vi
=
2s(1r
-
20
=
Zsh
(2)'
Eliminando
V,
entre
las Ecuaciones
(1)
y
(2),
obtenemos el resultado deseado:
3
=k
t
*
(3)
t
V3
1
-
Ag/A
W
Generalmente, el rea de la tobera
AZ
es
mucho menor que el
rea
del
depsito
Al,
de
modo
que
el
cocienue
A2/Afes
doblemente despreciable,
y
podemos utilizar
esta aproximacin able
para
la
velocidad
de salida:
,
__
,_ _
.. ._
...V2
,,
(2gh)i/z
-Rsp-_
(4)
Esta
frmula,
descubierta por
Evangelista
Tonicelli en
1644,
indica que
la
velocidad de
descarga
es
igual
a la velocidad
que
alcanzara una
partcula
cayendo
libremente,
sin.fric-
cin,
de
1,
a2.
En-
otras palabras,
I`a~
energa
potencial de
la supercie
libre se convierte
ntegramente
en
energia
cintica del
chorro,
lo cual es consistente con
haber
despreciado
la*
friccin
y
con
el
hecho de
que las fuerzas
de presin
no
realizan trabajo. Ntese
que
la~Ecua~
cin
(4)
es independiente de la densidad del
fluido,
caracterstica
d`e
los
ujos
producidos
por la
gravedad.
V
V
Fuera
de
las
capas
lmite
de
las paredes,
todas
las
lneas que van de l a 2
se
comportan
de la
misma
forma,
y
podemos
suponer
que
la constante de
Bemoulli
ho
es la misma para
todo el
ujo
central. Sin
embargo,
es
probable que el
ujo
en
Ia salida
sea no unifor-me,_no
unidimensional;
de modo que la velocidad media
es-
slo aproximadamente
igual al resultado
de
Torricelli.
El
ingeniero
d`ebeajustar'
la; frmula
incluyendo
un
coeficiente
de
descarga
c
f
adimensional:
p
I
y _ _
_ _
v,ij,.i1='_]% f
..(2gh1f
t
. s . .
,H ..v.cSi
'Como
se ver
enla
Seccin'
6;12',
el
coeciente
de
descarga de una tobera
vara de
0.6
a
1.0,
en
funcin'
de
las-condiciones
(adirnensiouales)
del ujo
y
dela geometra de
la
misma.
,
,
Antes de
seguir con ms
ejemplos,
hagamos
notar que la ecuacin de Bemoulli
(3.77)
no necesita un anlisis de volmenes de control,
sino simplemente
seleccionar
los puntos
l
y
2
a lo largo de una lnea
de coniente.
El volumen de
control
fue utilizado
para
obtener
una ecuacin diferencial
(3.75),
cuya
forma
integrada
(3.77)
es vlida
a
lo
largo de
lneas
de
corriente
para
ujo sin friccin ni adicin de calor o
trabajo,
y
por ello
no
se necesita ningn volumen
de control.
-
3.7.
Flujo sin friccin:
la
ecuacin
de
Bernoulli
189
Una
aplicacin clsica de
la ecuacin de
Bemoulli
es el trasego
de uido
de un
reci-
piente a
otro
mediante
un
sifn. La fuerza motriz es
producida
por la diferencia de
pre-
sin
hidrosttica, sin
utilizar ninguna bomba. Lo
analizamos
en
el
siguiente ejemplo.
EJEMPLO
3.22
Considere el
sifn
mostrado
en la Figura E322.
Suponiendo que
se-
cumplen las liptesis
que
garanzan la validez de
la ecuacin de
Bemoulli,
(a)
encuentre'
una
expresin.
para
la
velocidad
V2
a la salida del tubo
del
sifn.
(b)
Si
el
tubo tiene l cm de dimetro
y
z,
=
60
cm.
21
=
_25
cm,
za
=
90-
cm,
y ZA
=
35
cm,
estime el caudal en
cm*/s_
- 21""
=
si.
V
z___
f
1'.
':'.\-
2
=~~-;';'-
_
'*
_
_
'=_=**-,-1~'..w
~,l=.
.
_.>_._.f~\.,11..'3'f,I
^
x';;;;_s~=._,=;-
..;a,s:;.a
~
_
n
.
i
\:_~~\.
1
_i*^.:'
_
';
it
t
Z
=
O_
__ _
,~;;i._f*
~
.'
-----
z,
V
_
\.V__.
E122
e
fi
^
Solucin
*_
1
V
'
_
W ~
7
Consideraciones: Flujo sin
friccin, estacionario, incompresible. Escribamos
la
ecuacin
de
Bemoulli empezando porel
punto
donde la
informacin se
conoee~(supercie'z;)
hasta
el punto donde se desea. la
informacin
(salida
del
tubo,
zz).
_'
' '
-
_
,
V2 V2
$44/-2l4gz=I%2-+3+gz
Observe
que
la-
velocidad es aproximadamente
cero
en
:V
y
la lnea de
corriente
va de
zi
a
zz.
Fijese
ademsque
pl
y
pz
son ambas la presin
atmosfrica,
p/=
pm
yr
se cancelan.
(a)
Entonces, la
velocidad
de salida del tubo
queda:
_
i
'
`
'
.
I
`
i
"
i,l(z.=iV2'g(z1 '-_'-11)"
"
'_
,
_
V
'Resp:(a)i
Se
puede ver que cuanto ms
abajo se
siti_e.l'a
salida
del
tubo con res`j;j_ecto>alf
nivel
dela
super-
cie del
depsito,
mayor
ser
la~velocid`ad.'de
salida.
ectosifn-:no
sefproduce
si
lasa-
lida est
a
une
nivel
igual
o
superior
a
la
superficie del
tariquel
Aunque
las
eotasy
2,1,
y
;4no
entran
en
el_an1isi^s,nz,
no
debe
ser demasiado
grande,
ya
que
la
presinpodrafdecrecer'
hasta alcanzar
la
presin
de
vapor
_'del
lquido.
(Ii)
Paxalos
valores
numericos
dados
(slo
necesitamosyzx
y
21);
empleando
unidades
SI,
seiiener
, _ ff
=
,,
'
ki
_
'
V
_
._
_.-_...-.~_.i
'._`._...
__
_
v,
=
\/A
z(9.s1in/s)[o.6
m
-
(-o.2s)`;;1`]`;
4.03
m/S
i
4'
'
Q
Qli/z{4io-m/s)(fi)(o.i}1fl-l`?Ii
is
nlsl
=
3iz1e'n{*/S
mp.
(b)
Comentarios:
Observe
que el resultado
es independientes de
la densidad del udo.
Como.
ejercicio,.co/mpruebe
que
para
agua'
(998
kg/1113);
p,
es ll',300 Papor
dlajo
de la
presin:
atmosfrica;
`
'
'
'
`
'
V'
"
En
el-Captulos
6
se
rnodicar este
eiemplo
para
incluir efectos de friccin;
_
-
190
Captulo 3. Relaciones
integrales
para
un
volumen de
control
EJEMPLO 3.23
=`
Un
estrechamiento
en un conducto
produce
un
aumento de
la
velocidad
y
una
disminucin
de
presin en la
garganta, La disminucin
de
presin
da
una
medida
del
caudal o
ujo
volum-
,
trico"en'
el conductoi
El
sistema
'de
Ia
Figura
E323,
que
presenta variaciones
suaves. se
deno- ,_ ,
mina tubo venturi.
Halle una
expresin
que
relacione
el
ujo msico con la disminucin
de
presin.
'
pg
_',f
Solucin
p
`
'
_
_
M
Supongamos
aplicable la ecuacin
de
Bernoulli
en
el
centro del
conducto:
V
%+%v+gz,=%+gv+gz,
Si
el tubo
esvhorizontal,
zx
=
zz
y
podemos
despejar
V1:
ZA
* ' '
'
_
_
v-Vs
__
W_Ap=;,-_p,.
_
.(1)-
La
ecuacin
de continuidad nos
permite-relacionar
las
velocidades?
,
"
`
`
ivi
=
Azvz
^
V
0
vi
-
/2%
tf
-
gg
l `
(2)
1
.
Combinando
(1)
y
(2)
obtenemos la
frmula
para la
velocidad
en
la garganta:
_
2
Ap
1/2.
i
V*
`
im
-
mi
C
El
ujo
msico
viene dado
por
g
7
_
ni
=
pm/2
=_A2(-A-Qu
e
p
Este es
elgujo
msico
ideal sin friccin.
En la
prctica,
n`1m=
cd
ricm, y
se correla,el,coe_
ciente
de
descarga
cd.
'
`
i
'
'
g
_
_
e
'
3
EJEMPLO
3.24
i
p
_
Una
manguera
de 10 cm
de
dimetro
tiene
unatobera
de
3
cm
por
donde
se descargan
1.5
nf/min.
Suponiendo ujo
sin
friccin,
halle
la
fuena F
B
que se ejerce sobre los tornillos
que
sujetan la tobera
a la manguera.
-
3.7. Flujo sin
ii-iccin:
la
ecuacin
de
Bernoulli
191
Solucin
Utilizamos
las
ecuaciones
de Bemoulli
y
continuidad para hallar el valor de
pl
aguas
arriba
de
la tobera,
y
entonces,
mediante la ecuacin de la cantidad de
movimiento
aplicada
a un
volumen de
control,
calculamos la
fuerza
segn
se muestra en
la
Figura E324.
_\
l.
V
\
O
:
2
FB
*_
ff.
ii;
.
f~
1
i
PI
;>;1
A:
I
g
D2=
3
cm
r;
dim:
D1=l0cm
'
_
'
V,
1
-
- - - -
Volumen de control
^
r
0
-
192
Captulo 3.
Relaciones
integrales
para un
volumen
de control
"-3
Ntese de los
ejemplos
anteriores
que la
solucin
de
cualquier problema con
la
_
ecuacin de
Bernoulli
casi
siempre
requiere
considerar
la ecuacin de continuidad
para
~
poder
completar el anlisis.
La
nica excepcin es
cuando
'se
conoce
completamente
la
distribucin de velocidades por
medio de
un
analisis previo,
lo cual signica
que
la
ecuacin
de
continuidad
ya
se ha
utilizado
para
obtener
esa informacin. Puntualizando
"
t
1
Resumen
la ecuacin dc
continuidad
es siempre
esencial en ei
anlisis
de
los ujos.
V
H
En este
capitulo se han analizado
las cuatro ecuaciones
bsicas de la Mecnica
de
Fluidos:
conservacin de
(1)
masa,
(2)
cantidad
de movimiento,
(3)
momento
cintico
y
(4)
energa.
Las ecuaciones
se
formularon
a
gran
escala",
es
decir, aplicndolas
a
regiones
completas del ujo. De este
modo,
un analisis tpico incluye
una aproxima-
cin del campo uido en el interior de la regin
y
proporciona
resultados cuantitativos
algo
burdos pero
siempre instructivos. Sin
embargo,
las
ecuaciones
bsicas
aplicadas
a---~~--~~'~
volmenes
de control
son
rigurosas
y
correctas
y
darn resultados
exactos si se
conoce
bien el campo
uido.
h
V
Hay
dos aspectos
principales
en el anlisis
de volmenes de control. El primero
es
la
seleccin de
un volumen de control adecuado,
ingenioso
y
manejable. La experiencia
es
insustituible, aunque
se
pueden inferir las siguientes
directrices: el volumen de
control
debera
cortar
por donde se
pide
la informacin.
Tambin debera cortar
por
donde
se
dispone
de
la maxima infomiacin. Si se utiliza la ecuacin
de
cantidad de
movimiento,
no
debe
estar limitado por paredes fijas a menos
que
sea absolutamente
necesario.
ya
A
que esto hara aparecer
esfuerzos,
fuerzas
y
momentos desconocidos que dicultaran
0 imposibilitaran
la obtencin
de la solucin. Finalmente,
se debe intentar trabajar
en
un
sistema de
referencia en el cual
el ujo
sea
estacionario o casi estacionario,
ya
que
la
formulacin
correspondiente
es mucho ms sencilla.
El segundo
aspecto a destacar
es cmo puede reducirse
el'problema
real a
otro
que
se pueda
abordar con el anlisis
de
volmenes de control.
Los
24 ejemplos de
este
captulo
slo dan una introduccin
para
buscar las aproximaciones apropiadas. Es
necesario
resolver
muchos ms
ejemplos para llegar a tener la
experiencia suciente
para
saber simplificar un problema
sin pasarse. Mientras tanto,
es
bueno
.que
el
princi-
piante
trabaje con la forma general de las ecuaciones
y
haga las sirnplicaciones
que
le
.-
permitan
llegar al resultado. Al comenzar con la forma general,
uno
puede
plantearse
las
siguientes
cuestiones:
l.
Es
el
volumen de control indeformable o no
acelerado?
2.
Es
el
ujo
estacionario?
Podemos
emplear un sistema de referencia
estacio-
nado?
3.
Se
puede
despreciar la
friccin?
4.
Es
incompresible el uido? En caso contrario,
se
puede
aplicar la ecuacin
de
los
gases perfectos?
"
5.
Son
despreciables
las fuerzas gravitatorias
y
otras
fuerzas volumetricas?
6.
Hay
transferencia
de
calor,
trabajo
de
partes
mviles o trabajo de esfuerzos
vis-
cosos?
_.
7.
Las
cntradasy salidas,
son
aproximadamente
unidimensionales?
"
i
8.
Es
importante
en
el
anlisis
la
presin atmosfrica? En algn
punto de la supercie
de
control,
la
distribucion de
presiones es
hidrosttica?
9.
Las
condiciones en el
depsito, cambian
lo
sucientemente despacio como
para
suponer que
la velocidad en el
y
su derivada
temporal son despreciables?
De
esta
fonna, aceptando
o rechazando
simplicaciones bsicas como
stas,
se
puede,
por
ejemplo, distinguir
cuando
es aplicable la
ecuacin de Bernoulli
y
cuando no.
L_._._`|
T
--
l-\
-w
_
.ev
a
i
_._____..
._.___.._.__,,
'
-
km,
Problemas
La
mayora
de los
problemas
propuestos
aqu
son
bastante
sen-
bulento
(H
Era-n
llmefo d
ReY101dS)
211 UU
CUHUCO
de
cillos.
Los
ms difciles,
o
de lnal
abierto,
se indican
con
un
4
Cm
112 dmr02
asterisco
Para
resolver los
problemas
sealados con un icono EES
;-
7
Problemas
193
pirrejcrnplm
5
U9
L
1';l^-l-L7
5
bz@
vado;
de
Ecuaeiones
de Ingeniera
(EES,
Engineering
Equafivn
u,
m/S
|
6.00
|
5.97
l
s.ss
|
5.72 '$51
|
5.23
1
4.39
|
4.43
I
ooo
Salvem
mientras
que los
problemas sealados
con
un
disquetc
Comente
estos datos
comparndolos
con
los
del ujo
pueden
requerir
el uso
de un ordenador. Los problemas
estndar
amnar
del Problema P3_3_
Emma
con la
mayor
pre_
d
nal
de
captulo P
3'1
al
P3'185 ordwados
pm temas
en la
cisin
posible
el caudal
Q
a
travs,
del tubo en
metros
lista
de abajo)
estn
seguidos por los
problemas conceptuales C3.l
cbicos
por
Sgundu
a
C3.7;
los
problemas
del
examen
de funda.rnentos de ingeniera
.
P3_6
cuando
un
Chano de Equido
escapa por el
mcio de
(P-E'
Fundamental;
of
Engineering)
FE11 a
FE3'10;
los
pmble-
__
un
depsito impulsado slo
por
la fuena
de la gravedad,
~f
mas
extensos
PE3'1
3
PE35'
y
el
proyecto-de
diseo
D3'l'
-
como
el de la Figura
P3.6;
la
distribucin
de velocidad en
Distribucin
delos problemas
la
salida
se
puede aproximar
por
u
=
\/2g(h
-
z),
donde
'
._
..
Te
~
P N
un
h es
la
profundidad a la que
se
encuentra
el
centro del
Seccion
ma ro el
_
_
chorro.
Cerca del oncio,
el
chorro
es
horizontal,
bidi-
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
'
3.6
3.7
Leyes
bsicas
de
la
lsica;
flujo
P3.l-P3.
volumtrlco
El
teorema
de transporte
de
Reynolds
P3.7-P3.ll
Conservacin
de la masa
P3.l2-P3.38
La
ecuacin
de la cantidad
de movimiento
P3.39-P3.l09
La
ecuacin del
momento cinedco
P3.ll0-P3.125
La
ecuacin
de la
energa
i W ` 7'
P3
126-P3`.l6`
La
ecuacin
de Bemoulli
P3.l47-P3.l85
P3.1,
Discuta
la
segunda
ley
de Newton
(conservacin
de
la
_
P3.2
P3.3
"
P3.4
*P3.5
cantidad de movimiento)
en estas tres formas:
'
2F=ma
EF=(%(mV_
d
EF
=
U
vpdv)
SISCBWII
Son
las tres igualmente
vlidas?
Son
equivalentes?
Es
alguna de ellas mejor
para
la mecnica de fluidos que
para la mecnica de
slidos?
Considere la
conservacin
del momento cintico en
la
forma
EMO
=
U
(r
<
v)p.1vJ
t
:menu
Qu
representa
r en esta relacin?
Es
vlida esta
relacin
tanto para
la mecnica
de slidos como para
la mecnica
de uidos?
Est
relacionada con la ecuacin
de cantidad
de
movimiento
(Problema
P3.l)7
De
qu forma?
Para el ujo
estacionario
en un conducto largo a bajo
nmero de
Reynolds
(laminar)
(vase
Problema
PL12),
la
velocidad longitudinal
est dada por u
=
C(Rz--
rz),
donde
R es el radio
del
conducto
y
r S R. lntegre
u(r)
y
obtenga
el
caudal
Q
que
uye
a travs del conducto.
`
'
Por una manguera
de incendios de 5 cm de
dimetro
uye
un caudal de
agua
de 600
gal/min.
El ujo sale por una
tobera de dimetro
DI.
Si la velocidad de salida es 25
mls,
calcule
DI,
en
pulgadas.
Una teora propuesta
por S. I. Pai en
1953
da los
siguien-
tes valores de
la
velocidad
u(r)
para el flujo de aire
tur-
mensional
y
de espesor
2L,
como se
muestra
en
la gura.
Obtenga
una expresin
general para
el
caudal total
Q
que
sale por el
orico
y
simplique
el
resultado
en el
lmite
L
<
h.
=+L
Un
tanque esfrico,
de 35 cm de
dimetro,
pierde
aire a
travs de
un
orlcio
de 5 mm
de
dimetro. El
aire sale
del
agujero a
360
mls con una
densidad
de
2.5
kg/m3.
Suponiendo
que la mezcla es uniforme,
(a)
encuentre
una
frmula
para la variacin de la
densidad
media
en el
tan-
que
y
(b)
calcule
el valor numrico
de
(dp/dt)
para
los
datos dados.
*3
P3.8
En la Figura P3.8,
tres
conductos
descargan
agua a
20
C
de fomia
estacionaria
a un
gran
conducto
de
salida.
La
velocidad
V2
=
5
rn/s
y
el caudal de
salida
Q,
=
120
ml/h.
Calcule
(a)
Vl,
(b)
V3
y
(c)
V4,
si se sabe
que al
aumentar
Q!
en un
20%,
Q4
se incrementa
en un
10%.
\
D3
=
Cm
Dz
-
5 cm
_
_>
Pas
/
Di
=4m
-
194
Captulo
3.
Relaciones
integrales
para
im
volumen
de
control
P3.9
En
un
laboratorio
se
dispone
de un
depsito que
contiene
agua
salada de
salinidad
S
y
densidad
p.
El
agua
entra
en
el
depsito
a
las
condiciones`(S,
pl,
AI,
Vl)
y
se
mezcla
inmediatamente
con
el
agua
que
ya
est
en
l.
El
agua
sale
del
depsito
con
una
velocidad
V_a tral/s_de_ _un
P3.10
P3.1l
P3.12
P3.l3
oricio
de
seccin
A2.
Si
la
sal
es
una
propiedad
que
se
conserva"
(ni
se crea
ni
se
destruye),
use
el
teorema
del
transporte de
Reynolds
para
encontrar
una
expresin
para la
velocidad
de
variacin
de la
masa de
sal
M
su
del
depsito.
En la
Figura
P3.l0
se
presenta
agua
uyendo a
travs
de un
conducto
de 8
cm
de
diametro
que
entra
en una
seccin
porosa.
Esta
seccin
permite
una
velocidad
radial
uniforme
v,
a travs
de
las
supercies
de
la
pared
duran-
te una
longitud
de l.2
m.
Si la
velocidad
media
en la
entrada
V1
es
12
mls, determine
la
velocida
