PROGRAMACION APLICADA A LA INGENIERIA ESTRUCTURAL CAPITULO 4:UNA INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS GAUSSIANOS PARA SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES

Msc. Ing. Juan Pablo Fuentes E

TEMARIO DEL CAPITULO• Revisión de Algebra Matricial

• Consideraciones Generales de los sistemas de Ecuaciones

• Métodos Directos

Revisión de Algebra matricial Notación MatricialSea un espacio vectorial de las matrices reales de mxn de la forma

Para MATLAB la matriz de 3x4 se almacena en la variable numérica A

Revisión de Algebra matricial Notación MatricialA continuación se muestra como acceder a los elementos de filas y columnas de una matriz,se utiliza : para accede a todas las filas o columnas de la matriz

Revisión de Algebra matricial Notación MatricialA continuación se muestra como acceder a una submatriz de una matriz dada

Revisión de Algebra matricial Notación MatricialA continuación se muestra como acceder a una submatriz de una matriz dada

Revisión de Algebra matricial

Revisión de Algebra matricial

Revisión de Algebra matricial Notación MatricialPara obtener la diagonal de una matriz

Revisión de Algebra matricial Suma y Resta de Matrices

Revisión de Algebra matricial Producto de una matriz por un escalar

Revisión de Algebra matricial Producto de matrices

Revisión de Algebra matricial Traspuesta de una Matriz

Revisión de Algebra matricial Casos Particulares de matrices

Revisión de Algebra matricial Determinante de una Matriz

Revisión de Algebra matricial Determinante de una Matriz

Revisión de Algebra matricial Rango de una MatrizSe define rango de una matriz A como el numero de vectores fila o columna que sonlinealmente independientes.

Revisión de Algebra matricial Inversa de una MatrizDada una matriz A no singular, se define su inversa como una matriz A-1 tal que cumple:

Revisión de Algebra matricial Programación con MatricesAnular la diagonal principal

Revisión de Algebra matricial Anular la diagonal principal

Revisión de Algebra matricial Calculo de la Traza de una matriz

Revisión de Algebra matricial Calculo de la Norma Euclideana

Revisión de Algebra matricial Suma de Matrices Cuadradas

Revisión de Algebra matricial Producto de Matrices Cuadradas

Revisión de Algebra matricial Producto de Matrices Cuadradas y un vector

UNA INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS GAUSSIANOS PARA SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONESPlanteamiento General

A lo largo de este tema se plantea la resolución de sistemas lineales de ecuaciones

La existencia y unicidad de soluciones del sistema definido en anteriormente, es por fortunaun tema ampliamente estudiado en el algebra lineal. Precisamente, el algebra linealproporciona una serie de condiciones que permiten verificar si la ecuación mostrada tienesolución:

UNA INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS GAUSSIANOS PARA SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONESResolución algebraica (Método de Kramer)

En primer lugar, el calculo del determinante puede ser bastante tedioso puesto que eldeterminante puede variar bruscamente con pequeños escalados de la matriz.

En segundo lugar, el calculo de la inversa de A (que presenta serios problemas asociados alalmacenamiento de la matriz y a la precisión con la que obtengan los resultados).

UNA INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS GAUSSIANOS PARA SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONESResolución Numérica un Enfoque Global

• La estrategia y metodología que se aplica a la resolución numérica de sistemas lineales deecuaciones parte de una filosofía distinta a la expuesta anteriormente.

• En realidad los algoritmos eficaces para la resolución de sistemas lineales plantean procesos• con un enfoque con una perspectiva que contempla el hecho de que los cálculos se realizan en

ordenadores digitales.• Existen tres criterios fundamentales para analizar los algoritmos:

Numero de operaciones necesarias Necesidades de almacenamiento Rango de aplicabilidad

• Desde un punto de vista general las matrices más usuales en las ciencias aplicadas y en ingenieríapueden englobarse en dos grandes categorías:

Matrices llenas pero no muy grandes Matrices vacías y muy grandes

• En general los métodos directos se aplican al primer tipo de matrices, mientras que los métodositerativos se emplean con el segundo

UNA INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS GAUSSIANOS PARA SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONESMétodos DirectosLos métodos directos de resolución de sistemas lineales de ecuaciones son aquellos que permitenobtener la solución después de un numero finito de operaciones aritméticas. Este numero de operacioneses función del tamaño de la matriz.

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Sistemas con Solución InmediataEn este caso la matriz A se escribe

y la solución se obtiene directamente:

Existe solución si todos los términos de diagonal son no nulos. Además, si se desea evaluar eldeterminante de A solo es necesario calcular el producto de todos los términos de la diagonal.

Por ultimo, el numero de operaciones necesario es de n divisiones, es decir TD = n operacioneselementales

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Matriz Triangular Superior

Retrocediendo progresivamente se obtiene el algoritmo de sustitución hacia atrás que se escribe de lasiguiente forma

La solución existe si todos los términos de la diagonal de U son no nulos

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Matriz Triangular Inferior

Se aplica un algoritmo similar al anterior que se denomina de sustitución hacia adelante:

La solución existe si todos los términos de la diagonal de L son no nulos

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Métodos de Eliminación (Método de Gauss)

En el método de eliminación de Gauss el problema original

Se transforma mediante permutaciones adecuadas y combinaciones lineales de las ecuaciones en unsistema de la forma.

Donde U es la matriz triangular superior.

Solo es necesario aplicar el algoritmo de sustitución hacia atrás

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Métodos de Eliminación (Método de Gauss)Sistema Inicial:

Paso 1:

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Métodos de Eliminación (Método de Gauss)Paso 2:

Paso K-esima:

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Método directo para la Resolución de Ecuaciones (Método de Gauss)

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Problemas con el Método de GaussRespecto a los errores de redondeo, el método tiene los siguientes condicionantes:

Para resolver o mitigar estos problemas se emplean las siguientes estrategias.

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Problemas con el Método de GaussPara resolver o mitigar estos problemas s emplean las siguientes estrategias.

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Algoritmo del Método por Reducción de Gauss:

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Algoritmo del Método por Reducción de Gauss:

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Método de Gauss-Jordan:

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Método de Descomposición:

Se fundamentan en las ideas básicas descritas en el apartado anterior, donde se ha demostrado quetoda matriz regular A puede, con las permutaciones adecuadas, descomponerse en el producto de unamatriz triangular inferior L por una matriz triangular superior U.Es decir, se dispone de dos matrices L y U tales que A = LU. Entonces, el sistema de ecuaciones originalAx = b puede escribirse como:

1. Los métodos de descomposición son especialmente indicados para resolver sucesivamente variossistemas lineales con la misma matriz y distintos términos independientes, sin necesidad, derecordar las operaciones de fila realizadas durante el proceso de eliminación.

2. La compacidad de las operaciones de los métodos de descomposición permite mejoras en laprecisión de los resultados empleando únicamente unas pocas variables de precisión alta.

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Factorización LU:

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Teorema de Factorización LU:

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Problemas de la Factorización LU:

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Algoritmo de la Factorización LU: