Capitulo 5.2 Ecuacion de Los Tres Momentos y Metodos de Angulos de Giro y Deflexion

ECUACIN DE LOS TRES MOMENTOS Y MTODO DE NGULOS DE GIRO 185

Conocidos los momentos se pueden evaluar las reacciones y momentos mximos posi-tivos. Con estos valores se pueden dibujar los diagramas de corte, momento y refuerzo de la pgina siguiente:

=+= kN4.1510

8.348.382

30R AB

== kN6.144.1530R BA

2.388.3854.15)(Mmax

==+ kNm

== kN3.346

8.340.45312R BC

== kN7.373.34612R CB

( ) 2.148.341223.34)(M

2

max=

=+ kNm

186 ANLISIS DE ESTRUCTURAS

Ejemplo 5.6

Resuelva el problema del ejemplo 5.4 por medio del mtodo de ngulos de giro y deflexin.

= 15 mm

Solucin

Se tena E = 17900 N/mm2 IAB = 28125 104 mm4 IBC = 225000 104 mm4 Por comodidad se trabajar en m y kN:

88

AB1093753

1028125K

==

88

BC 1037500610225000K

==


Aplicando la ecuacin (5.12a):

+++=

L624EKMM ji

Fii

a cada tramo se obtiene:

( )=

++= 3

015.0624109375109.17MBA

86AB

034.5033566712BA

=++= (1)

( )=

++= 3

015.06421678MBABA

3.5067123356BA

++= (2)

( )=

+=

6015.06241037500109.17M CB

86BC

69.1001342526850 CB += (3)

( )=

+= 6

015.06425.6712M CBCB

69.1002685013425 CB += (4)

( ) =+= D86CD 2c4109375109.17M

DC 33566712 += (5)

( ) =+=DCDC

421678M

067123356DC

=+= (6) Planteando ahora el equilibrio de cada nudo:

0MMBCBA

=+

34.5013425335623356CBA

=++ (7)

0MM CDCB =+

69.10033563356213425DCB

=++ (8)

Las ecuaciones (1), (7), (8) y (6) constituyen un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incgnitas. Reescribindolo en forma matricial:


=

069.10034.5034.50

6712335600335633562134250

0134253356233560033566712

D

C

B

A

cuya solucin es:

radianes00131.000263.000126.000813.0

=

D

C

B

A

que coincide con la obtenida antes. Reemplazando estos valores en las ecuaciones (2), (3), (4) y (5), se obtienen los momen-tos en los apoyos: MBA = 3356 (0.00813) + 6712 (0.00126) + 50.34 = 315. kN m MBC = 26850 (0.00126) + 13425 (0.00263) 100.69 = 315. kN m = MBA MCB = 13425 (0.00126) + 26850 (0.00263) 100.69 16.13= kNm MCD = 6712 (0.00263) + 3356 (0.00131) = 13 26. kN m el error de cierre en el nudo C es del 0.8%, perfectamente aceptable.

Ejemplo 5.7

Resuelva el prtico mostrado y dibuje en forma aproximada su elstica (referencia 5.2).

Solucin

Debido a la carga lateral se produce un desplazamiento de los nudos B y C:

12LwMM

2FBA

FAB

==


Aplicando las ecuaciones de ngulos de giro y deflexin:

+=L

62LEI

12wLM

B

2

AB

+=L

64LEI

12wLM

B

2

BA

( )CBBC 24L

EI2M +=

( )CBCB 42L

EI2M +=

=L

64LEIM CCD

=L

62LEIM CDC

Planteando ahora el equilibrio de los nudos:

=+= 0MM;0M BCBAB

EI24

wLL326

3

CB =+ (1)

=+= 0MM:0M CDCBC

0L362

CB=+ (2)

Como hay tres incgnitas, se requiere una tercera ecuacin. sta se obtiene del equilibrio de fuerzas horizontales mediante los diagramas de cuerpo libre de las columnas.

== 0HHwL:0F DCABX (3)

LMM

2wLH BAAB

AB

++=


LMM

H DCCDDC

+=

Expresando los momentos en funcin de los desplazamientos y substituyendo en la ecua-cin (3):

++

L64

LEI

12wL

L62

LEI

12wL

L1

2wL

B

2

B

2

0wLL62

LEI

L64

LEI

CC =+

+

+

que al simplificar se convierte en:

EI12wL

L4 3

CB =+ (3a)

Resolviendo las ecuaciones (1), (2) y (3a) se obtiene:

EIwL0012.0

3

B=

EIwL0115.0

3

C =

EIwL0241.0

4=

y al substituir estos valores en las ecuaciones de ngulos de giro y deflexin resulta: MAB = 0.225 wL2 MBA = MBC = 0.056 wL2

MCB = MCD = 0.097 wL2 MDC = 0.121 wL2 HAB = 0.782 wL HDC = 0.218 wL

Con estos valores se pueden dibujar los diagramas de corte y momento y completar el anlisis del prtico.

5.2.2 Programacin del mtodo de ngulos de giro y deflexin

La programacin del mtodo de ngulos de giro y deflexin no es tan sencilla como la de la Ecuacin de los tres momentos, pues en este caso el planteamiento inicial slo produce las ecuaciones correspondientes a los momentos en los extremos de cada barra. Es necesario, a continuacin, plantear el equilibrio de nudos y en el caso de una viga


continua esto conduce a un sistema de ecuaciones suficiente para encontrar las incgnitas bsicas que en ella son los giros en los nudos. Posteriormente es necesario volver a las ecuaciones originales para hallar los momentos. En el caso de prticos, la programacin es todava ms difcil pues los desplazamientos son entonces desconocidos y se requiere plantear ecuaciones adicionales de equilibrio de fuerzas. En ambos casos los sistemas de ecuaciones obtenidas son similares a los logrados ms fcilmente mediante los mtodos matriciales del captulo 11 y por ello en este libro no se incluye un programa de ngulos de giro y deflexin.

EJERCICIOS

5.1 Resuelva, por el mtodo de la Ecuacin de los tres momentos, las vigas de los ejercicios 4.5 (c), 4.5 (d) y 4.6.

5.2 Resuelva completamente las vigas mostradas, mediante la Ecuacin de los tres momentos. Dibuje todos los diagramas. EI es constante.

5.3 La viga de la figura sufre un asentamiento relativo de 12 mm en el apoyo B. Analcela por el mtodo de la Ecuacin de los tres momentos y dibuje todos los diagramas.


I = 80 107 mm4

E = 200 kN/mm2

5.4 Resuelva las vigas de los ejercicios 4.8, 4.12 (b) y 5.2 por el mtodo de los ngulos de giro y deflexin.

5.5 Utilice el mtodo de ngulos de giro y deflexin para resolver la viga siguiente. En el apoyo A se produjo una falla que result en un giro de 0.002 radianes en sentido anti-horario y un asentamiento diferencial de 30 mm con respecto a los otros apoyos (A queda por debajo de ellos). Suponga E = 200 kN/mm2, IAB = 21 107 mm4, IBC = Ivoladizo = 15 107 mm4.

5.6 Analice completamente la siguiente viga, por el mtodo de ngulos de giro y deflexin. Dibuje todos los diagramas, sin olvidar la evaluacin de los momentos mxi-mos positivos. Suponga b h = 0.30 m 0.35 m, E = 19 kN/mm2.

5.7 Resuelva los siguientes prticos por el mtodo de ngulos de giro y deflexin. Dibuje todos los diagramas.


a) El prtico del ejercicio 4.5 (e)

Viga: 300 mm 400 mm

Columna: 300 mm 500 mm

E = 200 kN/mm2

(b)

Para todos los casos

b = 400 mm

h = 500 mm

E = 200 kN/mm2

(c)

EI ( kNm2 )

Viga: 150000

Columna: 250000

(d)


REFERENCIAS

5.1 Wang, C.K. - Statically Indeterminate Structures, McGraw-Hill, 1953.

5.2 Gerstle, K.H. - Basic Structural Analysis, Prentice-Hall, 1974.

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