215

CAPITULO 7

TRNSITO DE CRECIENTES_____________________________________________

7.1 INTRODUCCIN

El trnsito es un proceso analtico que se utiliza para determinar la forma del

hidrograma de una creciente en un punto deseado de un cauce, embalse o lago, como

resultado de una avenida hipottica o medida en algn punto de aguas arriba. Dicho clculo

es necesario para establecer la altura que alcanza el pico de la creciente en un punto de

inters ubicado aguas abajo, estimar la proteccin que brindara la construccin de un

embalse y determinar la altura adecuada de un sistema de diques para proteccin contra

inundaciones, la dimensin de un aliviadero y cualquier otro clculo relacionado con la

creciente.

El aspecto conceptual del trnsito se ilustra claramente considerando el tramo entre

ambos puntos como un modelo de caja negra, como se muestra en la Figura 7.1, de tal

modo que dicha caja reemplaza al tramo de cauce (longitud) o al embalse. Conociendo el

hidrograma de entrada I, ya sea por medicin o por sntesis (un ejemplo se da en la

columna 2 de la Tabla 7.2), se desea determinar el hidrograma de salida O. Para la solucin

de este problema, se usa el principio de continuidad de la mecnica de fluidos, como sigue

(Ecuacin (7.1)):

SALIDA

FIGURA 7.1 MODELO DE CAUCE SIMPLIFCADO

CAJA

NEGRA

ENTRADA

I

O

SALIDA

216

Volumen de entrada en el incremento de tiempo t menos volumen de salida en el

mismo incremento de tiempo t , igual al cambio en el volumen de almacenamiento

dentro de la caja negra (7.1)

Obviamente ocurrir un cambio en la cantidad de agua dentro de la caja debido a

que se incrementa el tirante a medida que el flujo pasa. La ecuacin de continuidad se

expresa mediante las ecuaciones (7.2) y (7.3).

I - O = dS /dt (7.2)

= S / t (7.3)

Donde:

I = caudal de entrada

O = caudal de salida

S = volumen de almacenamiento

t = incremento del tiempo

Por conveniencia, generalmente se supone que el caudal medio al inicio y al final de

un intervalo de trnsito pequeo t es igual al caudal medio durante dicho intervalo. Si

utilizamos los subndices 1 y 2 para indicar el inicio y el final del intervalo obtenemos:

I1 + I2 t O1 + O2 t = S2 S1 (7.4)

2 2

La ecuacin (7.4) es la base para la mayora de los mtodos de trnsito hidrolgico.

El trnsito se inicia asumiendo conocidos I1, I2, O1 y S1; mientras que O2 y S2 se

encuentran mediante el proceso de trnsito. Para poder resolver las 2 incgnitas, se debe

establecer una segunda relacin entre O y S.

Al asumir que I = (I1 + I2) / 2, estamos aceptando que el hidrograma posee una

variacin lineal durante el perodo t; por lo que dicho perodo debe seleccionarse lo

suficientemente pequeo. Como criterio general, t debe ser siempre menor que el tiempo de

viaje de la onda a lo largo del tramo. Por otro lado, hay que tener en cuenta que, mientras

217

ms pequeo sea t, ms se incrementan los clculos del trnsito. Son aceptables valores de t

entre un medio y un tercio del tiempo de viaje.

El almacenamiento es una caracterstica de la caja negra, por lo que su

determinacin depende de, si se trata de un tramo de ro, una represa y su embalse

asociado, o alguna combinacin especial de ambos. Vamos a considerar en primer lugar el

caso de un embalse.

7.2 TRNSITO POR UN EMBALSE

Se asume que el nivel de agua en el embalse se mantiene horizontal, aunque no siempre

sea se el caso. Inicialmente se conocen los siguientes datos:

1. El hidrograma de entrada

2. El nivel de la superficie de agua en el embalse en el instante en que llega la

creciente (t = 0)

3. El caudal de salida desde el embalse antes de que llegue la creciente (O,t = 0).

Adicionalmente se conocen las caractersticas fsicas del embalse; es decir, la curva

de capacidades (elevacin versus volumen) y rea de la superficie de agua.

En la Tabla 7.1 se da un ejemplo de dicha informacin. Igualmente se puede

disponer de cierta informacin relacionada con la forma de cmo se lleva a cabo el

desembalse; tal como, turbinado, por tomas para otros usos, o a travs del aliviadero. La

operacin del embalse puede estar controlado parcialmente por un operador. Las salidas no

controladas; es decir, aquellas que discurren libremente sobre el aliviadero, se pueden

determinar en funcin de las caractersticas geomtricas del mismo y de la altura de agua

que alcanza el caudal sobre dicha estructura. A su vez, el nivel del agua sobre el aliviadero

va a depender del nivel de agua en el embalse. En la Ecuacin (7.10) se da un ejemplo de

la curva de gastos del aliviadero (relacin entre el caudal y el nivel de agua sobre la

estructura).

La Ecuacin (7.4) se puede transformar como sigue:

218

I1 + I2 + [2S1/t - O1] = 2S2/t + O2 (7.5)

La solucin de la Ecuacin (7.5) requiere de una curva de trnsito que indique el valor de

[2S/t + O] contra valores de O, como se muestra en la Figura 7.2. Todos los trminos

del lado izquierdo de la ecuacin se conocen; el valor de 2S2/t + O2 puede ser

calculado; el valor de O2 se obtiene entonces de la curva de trnsito. Se repite el

procedimiento para todos los intervalos. En la Tabla 7.3 se presenta un ejemplo ilustrativo.

Hay que hacer notar que el trmino [2S/t - O] se calcula fcilmente como [2S2/t +

O2 ] 2 O.

Cuando la salida del embalse es controlada, el trnsito depende del mtodo de

operacin de las compuertas. Modificando la ecuacin (7.4) se puede obtener una expresin

general, como la que sigue:

I1 + I2 t O1 + O2 t R t = S2 S1 (7.6)

2 2

donde O es la salida no controlada y R es la salida controlada. En caso de que O fuera

cero, la ecuacin (7.6) se transforma en:

t R t + S1 = S2 (7.7)

Esta ltima ecuacin puede resolverse con facilidad para S2 y la elevacin del

embalse. Si O no es cero, la ecuacin (7.6) se transforma como sigue:

I1 + I2 - 2R +[2S1 O1] = [2S2 O2] (7.8)

t t

La ecuacin (7.8) se resuelve en la misma forma que la ecuacin (7.5), teniendo en

cuenta la inclusin de R. Si las compuertas de salida se fijan en una sola posicin, la

descarga viene a ser una funcin de la altura de agua. En este caso, la ecuacin de trnsito

se resuelve con la ayuda de una familia de curvas [2S/t + O], una para cada abertura de

compuerta. En el procedimiento de trnsito se utiliza la curva correspondiente a la abertura

dada.

219

EJEMPLO 7.1: Como ilustracin del mtodo de trnsito por un embalse vamos a

presentar el caso del trnsito del hidrograma de la creciente milenaria por el embalse del

Ro Capaz, ubicado en la regin de Los Andes venezolanos.

DATOS:

1. Curva de almacenamiento. En la tabla 7.1 se dan los datos de la relacin

Almacenamiento-Elevacin por sobre el nivel de la cresta del aliviadero (Ho = 1.960

m.s.n.m.).

TABLA 7.1 CURVA DE ALMACENAMIENTO PARA EL RIO CAPAZ

Altura sobre la cresta del aliviadero

H

(m)

Almacenamiento*

S

(Millones de m3)

0 0

5,0 5,0

15,0 19,5

25,0 38,0

35,0 61,2

*Los datos de la Tabla se ajustan a la siguiente expresin:

S = 0,75H1,2

(7.9)

r2 = 0,998

2Hidrograma de entrada. Se obtuvo del anlisis de frecuencia de los caudales mximos

y se presenta en la columna (3) de la Tabla 7.3.

220

TABLA 7.2 TRANSITO DE LA CRECIENTE MILENARIA CON DIFERENTES LONGITUDES

DE ALIVIADERO. PREPARACIN DE LOS DATOS BSICOS

Datos del trnsito en m3/seg. para longitudes de cresta de

Altura

sobre

la

cresta

(m)

Alma-

cena-

miento

(Mm3)

L = 15 m

L = 20 m

L = 25 m

L = 30 m

L = 40 m

t = 1.440 seg. t = 1.440 seg. t = 1.440 seg. t = 1.440 seg. t = 1.440 seg.

H S 0 2S + O

t

0 2S + O

t

0 2S + O

t

0 2S + O

t

0 2S + O

t

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0,5 0,3223 11 458 14 462 18 466 22 470 28 476

1,0 0,7523 30 1075 40 1085 50 1095 60 1105 80 1125

1,5 1.2351 55 1770 74 2081 92 1807 112 1824 147 2155

2,0 1,7557 85 2523 114 2550 141 2579 170 2608 227 2664

2,5 2.3066 119 3323 158 3362 198 3402 237 3441 316 3520

3,0 2,8826 156 4160 208 4211 260 4264 317 4309 415 4419

3,5 3,4804 196 5030 262 5066 327 5161 398 5192 524 5328

4,0 4,0977 240 5931 320 6011 400 6091 480 6171 640 6331

4,5 4,7324 286 6859 384 6948 477 7050 578 7140 768 7332

5,0 5,3835 335 7812 445 7922 559 8036 676 8143 899 8367

5,5 6,0482 387 8787 516 8916 645 9045 774 9174 1032 9432

6,0 6,7272 441 9784 588 9931 735 10078 882 10225 1176 10519

6,5 7,4189 497 10801 663 10967 829 11133 994 11298 1326 11630

7,0 8,1212 556 11835 741 12021 926 12205 1111 12392 1482 12762

7,5 8,8375 616 12890 822 13096 1027 13301 1232 13506 1643 13917

8,0 9,5631 679 13961 905 14687 1131 14187 1358 14639 1810 15592

221

TABLA 7.3 TRANSITO DE LA CRECIENTE USANDO EL GRAFICO 2S/t + 0 vs O L= 40 m

Intervalo

(1)

t

(h)

(2)

I

(m3/s)

(3)

I1 + I2

(m3/s)

(4)

2S1 / t-0

(m3/s)

(5)

2S1 / t+0

(m3/s)

(6)

0

(m3/s)

(7)

1 0 0 0 0 0 0

2 0,4 19 19 0 0 0

3 0,8 140 159 119 159 20

4 1,2 335 475 514 594 40

5 1,6 538 873 1187 1387 100

6 2,0 627 1165 1952 2352 200

7 2,4 554 1181 2573 3133 280

8 2,8 414 968 2881 3541 330

9 3,2 278 692 2893 3573 340

10 3,6 187 465 2718 3358 320

11 4,0 125 312 2510 3030 260

12 4,4 84 209 2239 2719 240

13 4,8 56 140 1979 2379 200

14 5,2 38 94 1713 2073 180

15 5,6 25 63 1456 1776 160

16 6,0 17 42 1258 1498 120

17 6,4 11 26 1064 1284 110

18 6,8 8 19 923 1083 80

19 7,2 5 13 816 936 60

20 7,6 3 8 744 824 40

222

3. Hidrograma de salida. La estructura de alivio seleccionada es un aliviadero

rectangular frontal, cuya curva de descarga tiene la siguiente expresin:

Q=2LH1,5

donde:

Q = caudal de salida en m3/s

L = longitud de la cresta del aliviadero en m

H = nivel de agua por encima de la cresta en m

El hidrograma de salida se presenta en la columna (7) de la tabla 7.3.

SOLUCION: En primer lugar se elabora la curva de trnsito, la cual se presenta en

forma tabular en las columnas (11) y (12) de la Tabla 7.2; y en forma grfica en la Figura

7.2. El procedimiento de trnsito se efectu aplicando la ecuacin (7.5), partiendo de un

valor inicial de la descarga de salida igual a cero.

Los resultados obtenidos para el hidrograma de salida se muestran en la columna 7

de la tabla 7.3, para un valor L = 40 m.

Siguiendo el mismo procedimiento se llev a cabo el trnsito para otras longitudes

de cresta de aliviadero, los resultados se presentan en las Tablas 7.2 y 7.3 y en la Figura

7.3.

En la tabla 7.4 se da un resumen de los resultados. La seleccin de las dimensiones

de aliviadero se hace luego mediante un anlisis econmico y tcnico, relacionado con la

proporcin anchura-altura.

TABLA 7.4 RESUMEN DE LOS RESULTADOS DEL TRANSITO DE LA CRECIENTE

MILENARIA A TRAVES DEL RIO CAPAZ.

Longitud de

cresta (m)

Caudal pico (m3/s)

Altura sobre la

cresta (m) Entrada Salida

15 627 180 3,30

20 627 235 3,25

25 627 240 2,84

30 627 280 2,79

40 627 340 2,62

(7.10)

223

Figura 7.2 Mtodo grfico de transito de la creciente de diseo.

Figura 7.3 Transito de la creciente milenaria por el embalse del Ro Capaz.

224

7.3 TRANSITO POR EL CAUCE

El trnsito de una creciente a lo largo de un cauce de ro tiene problemas que no

existen en el trnsito por un embalse. La ecuacin bsica (7.2) es la misma, es decir:

I-O=ds/dt

Para el caso de un embalse, hemos visto que O y S se dan como una funcin de la

altura de agua en un embalse, con lo cual la ecuacin de continuidad se concibe como la

relacin entre el caudal de entrada, I, conocido a priori, y el nivel de agua, H, desconocido.

En un cauce, la superficie del agua no siempre es paralela al fondo del canal. Por lo tanto,

aun considerando al canal como un embalse estrecho y alargado, no se cumple la condicin

que hemos asumido de superficie de agua siempre horizontal para el caso del trnsito por el

embalse. A medida que el caudal se incrementa, la superficie de agua libre en un cauce se

inclina ms rpidamente que el fondo. Cuando el caudal decrece, sucede le contrario. En la

figura 7.4 se ilustra este fenmeno. Luego, la relacin entre la descarga y el

almacenamiento en un tramo fijo no est claramente establecida y cambiar de acuerdo con

que el hidrograma est ascendiendo o decreciendo.

Hidrograma

Yo I Y Ascenso

Y Descenso

FIGURA 7.4 SUPERFICIE LIBRE EN UN CANAL ABIERTO PARA HIDROGRAMAS EN

ASCENSO Y DESCENSO.

Sin embargo, debido a la necesidad de disponer de alguna relacin, se asume que el

caudal de salida y el almacenamiento estn asociados bajo la forma de una serie infinita (de

Ascendente

Hidrograma

Descendente

225

utilidad, sobre todo cuando se puede establecer otra asociacin ms simple o directa) del

siguiente tipo:

donde a, x y n son constantes desconocidas al inicio. Como es usual en los procedimientos

numricos, la serie se trunca tomando slo los 2 primeros trminos y despreciando todos

los otros para obtener:

Esta ecuacin se puede resolver para dS/dt y sustituir la solucin en la ecuacin

(7.2), con lo cual se obtiene:

En la prctica se ha estandarizado la notacin K=(1/a)1/n

; tomando n=1, se obtiene:

S=K[Xl (1-X)O] (7.14)

Esta expresin se conoce como la ecuacin de almacenamiento en el mtodo de

Muskingum para el trnsito de crecidas.

Sustituyendo la ecuacin (7.14) en la (7.5) se obtiene:

O2 = C0 I2 + C1 I1 + C2O1 (7.15)

donde (C0 + C1 + C2) = 1, con:

1m

m

mmn

dt

SdXaSO

dt

dSXaSO n

n1

n1

X1OXIa

1S

0,5tX1KKX0,5t

C0

0,5tX1KKX0,5t

C1

0,5tX1K

0,5tX1KC2

(7.11)

(7.12)

(7.13)

(7.16)

226

La ecuacin (7.15) se conoce como el Mtodo de Transito de Muskingum.

Antes de poder usar la ecuacin de trnsito hay que establecer los valores de K y X.

El procedimiento ms sencillo consiste en aplicar a hidrogramas conocidos el proceso

inverso al trnsito. Resolviendo las ecuaciones (7.5) y (7.14) para K se obtiene:

Almacenamiento N

K = =

Caudal ponderado de entrada y salida D

Utilizando hidrogramas conocidos se pueden obtener valores sucesivos del

numerador. Los valores del denominador se logran del mismo hidrograma usando varios

valores de X. En la Tabla 7.5 se presenta un ejemplo de clculo; los resultados se han

graficado en la Figura 7.5. El valor de X buscado es aqul que arroja una curva lo ms

prxima posible a la lnea recta. Mientras ms se acerque la grfica a una lnea recta, ms

apropiada ser la aproximacin usada para establecer la relacin de almacenamiento de la

ecuacin (7.14). Recordemos que al inicio hemos despreciado todos los trminos no

lineales para obtener la ecuacin (7.12). El valor de K se obtiene directamente del proceso

anterior; pero para dibujar la grfica es necesario asumir valores de X. Una vez estimados

K y X se puede analizar la influencia que ejercen sobre el proceso de trnsito. La constante

K posee las dimensiones de tiempo y equivale al tiempo requerido para que una onda

elemental de caudal atraviese el tramo entre la entrada y la salida (denominado tambin

tiempo de viaje o tiempo de retardo). Como resultado, el incremento de tiempo t que se usa

para el trnsito debe ser aproximadamente igual a K. Su magnitud podra calcularse si se

considera la velocidad con que viaja la onda de flujo.

En la Tabla 7.6 se presentan los estimados para las velocidades del flujo, mediante

el principio de Seddon en combinacin con la ecuacin de Manning, donde V es la

Velocidad media del flujo y Vw la velocidad de la onda de crecida.

La diferencia que existe en la pendiente de la superficie de agua cuando el nivel asciende o

desciende (Figura 7.4) se debe en parte a la direccin del movimiento de la onda. Para un

1221

2121

OOX1IIX

OOII0,5tK

(7.17)

227

hidrograma en ascenso, la onda se mueve hacia aguas abajo; en cambio un hidrograma

decreciente, el fenmeno se invierte. La velocidad V se podra obtener sobre la base del

caudal para una seccin transversal representativa para el tramo.

TABLA 7.5 DETERMINACIN DE LOS COEFICIENTES K Y X DE LA ECUACIN (7.17)

Valores de D y D para varios valores de X

X=0 X=0,1 X=0,2 X=0,3

Tiempo

t=0,5

Das

I

O

I1

+

I2

I1

-

I2

O1

+

O2

O1

-

O2

N

N

D

D

D

D

D

D

D

D

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17)

Feb.26

am

2,2 2,0 16,7 9,0 12,3 5,0 1,9 5,0 5,7 6,5 7,2

Pm 14,5 7,0 42,9 18,7 13,9 4,7 6,1 1,9 4,7 5,0 5,6 5,7 6,5 6,5 7,5 7,2

Feb.27

am

28,4 11,7 60,2 28,2 3,4 4,8 8,0 8,0 4,8 9,7 4,6 11,3 4,5 13,0 4,3 14,7

Pm 31,8 16,5 64,5 40,5 -2,1 7,5 5,2 16,0 7,5 14,5 6,7 15,9 5,6 17,5 4,6 19,0

Feb.28

am

29,7 24,0 55,0 53,1 -4,4 5,1 0,5 21,2 5,1 22,0 4,1 22,6 3,2 23,1 2,3 23,6

Pm 25,3 29,1 47,7 57,5 -4,9 -0,7 -2,9 21,7 -0,7 27,1 -1,1 26,7 -4,5 26,3 -2,0 25,9

Mar.1

am

20,4 28,4 37,4 52,2 -4,1 -4,6 -3,9 18,8 -4,6 26,4 -4,6 25,6 -4,5 24,8 -4,4 23,9

Pm 16,3 23,8 28,9 43,2 -3,7 -4,4 -3,6 14,9 -4,4 21,8 -4,3 21,0 -4,3 20,3 -4,2 19,5

Mar.2

am

12,6 19,4 221,9 34,7 -3,3 -4,1 -3,2 11,3 -4,1 17,4 -4,0 16,7 -3,9 16,0 -3,9 15,3

Pm 9,3 15,3 16,0 26,5 -2,6 -4,1 -2,6 8,1 -4,1 13,3 -4,0 12,7 -3,8 12,1 -3,6 11,1

Mar.3

am

6,7 11,2 11,7 19,4 -1,7 -3,0 -1,9 5,5 -3,0 9,2 -2,8 8,7 -2,8 8,3 -2,6 7,8

Pm 5,0 8,2 9,1 14,6 -0,9 -1,8 -1,4 3,6 -1,8 6,2 -1,7 5,9 -1,6 5,5 -1,6 5,2

Mar.4

am

4,1 6,4 7,7 11,6 -0,5 -1,2 -1,0 2,2 -1,2 4,4 -1,2 4,2 -1,1 3,9 -0,9 3,6

Pm 3,6 5,2 6,0 9,8 -1,2 -0,6 -1,0 1,2 -0,6 3,2 -0,6 3,0 -0,7 2,8 -0,8 2,7

228

FIGURA 7.5 CURVAS DE ALMACENAMIENTO EN EL CAUDAL.

TABLA 7.6 RELACIN ENTRE LA VELOCIDAD DE ONDA VW Y LA VELOCIDAD MEDIA V

DEL FLUJO EN EL CAUCE

Tipo de cauce Vw /V

Rectangular de gran anchura 1.67

Parablico de gran anchura 1.44

Triangular 1.33

Figura 7.6 Trnsito a lo largo de 4 subtramos con K=1 en cada uno.

229

En la Figura 7.6 se ilustra la influencia del parmetro X sobre el trnsito. Para un

valor de X = 0,5 el hidrograma transita a lo largo del tramo sin cambiar de forma; mientras

que para X = 0, el trnsito es equivalente al caso del embalse. El parmetro X puede ser

considerado como un ndice adimensional del almacenamiento en cua dentro del tramo.

En la Figura 7.7 se presenta un canal de anchura unitaria. El prisma de almacenamiento est

dado por LY0, donde Y = profundidad del flujo, equivalente a Ot, o, con t = k, igual a OK.

El almacenamiento en cua es dado por Ly/2, proporcional a (l-O) t a (l-O)K. La

constante de proporcionalidad viene a ser el parmetro X. Luego:

Ly/2 = X (l O) K (7.18)

Pero del prisma de almacenamiento se tiene

K=LY0/O (7.19)

En tal forma que:

X = O y / [2(I-O)Y0] (7.20)

Figura 7.7 Porcin L de un cauce de anchura unitaria

La magnitud (l-O)/y se puede determinar mediante la diferenciacin de la

ecuacin de Manning. Para canales rectangulares de gran anchura con cambios pequeos en

el caudal, X= 0,3. En canales triangulares, X se incrementa uniformemente desde 0,375

para y/y0 = 0 hasta 0,48 para y/y0 = 0,5.

Para ilustrar el mtodo de Muskingum, consideremos el trnsito del hidrograma

dado en la Tabla 7.5. De acuerdo con los resultados de la Figura 7.5, usemos K= 1,05 das y

X= 0,3 utilizando t= 1 da. Los coeficientes de la ecuacin 7.5 son:

230

C0 = 0,15; C1 = 0,66; C2 =0,19

El proceso de trnsito se desarrolla como se indica en la Tabla 7.6. El hidrograma de

entrada, conocido al inicio, se da en la columna 2. Se calculan los valores de la columnas 3

y 4 multiplicando los datos de la columna 2 por C0 y C1, respectivamente. El caudal de

salida del primer da es conocido, lo cual permite calcular el primer valor de la columna 5.

Aplicando la ecuacin de trnsito (7.5) se calcula el caudal de salida para el segundo da, y

por lo tanto, C2O para el mismo da. Repitiendo el procedimiento se determinan lo valores

del hidrograma de salida da a da (columnas 5 y 6). Comprese el hidrograma de salida de

la columna 6, Tabla 7.7 con el hidrograma de la columna 3, Tabla 7.4. En este ejemplo, la

diferencia de los picos es slo del 4%.

TABLA 7.7 EJEMPLO DE TRNSITO POR EL MTODO MUSKINGUM.

O2 = C0 I2 + C1 I1 + C2O1

Tiempo en

das (t)

Caudal de

entrada I

C0 I

C1 I

C2O

Caudal de

salida

calculado

Caudal de salida

medido (columna 3,

Tabla 7.4)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

1 2.2 0.33 1.45 0.38 2.00 2.0

2 28.4 4.26 18.70 1.16 6.09 11.7

3 29.7 4.45 19.60 4.62 24.31 24.0

4 20.4 3.06 13.50 5.19 27.28 28.4

5 12.6 1.89 8.54 3.90 20.58 19.4

6 6.7 1.01 4.41 2.58 13.54 11.2

7 4.1 0.62 2.71 1.45 7.62 6.4

8 2.4 0.36 1.59 --- 4.52 4.6

El mtodo del trnsito por el cauce discutido aqu tambin puede usarse para el caso

de afluentes o tributarios, slo que los valores de K y X sern variables. Detalles de este

procedimiento estn fuera del alcance de este libro, pero se pueden encontrar en la

bibliografa correspondiente, tal como CARTER y GODFREY (1960) y el U.S. Army,

Corp. Of Engineer (1960).

231

FLUJO BASE

En los procedimientos de trnsito discutidos no se ha incluido el flujo base. En la

mayora de los embalses de control de avenidas, el flujo base slo representa un pequeo

porcentaje del hidrograma de la crecida. Sin embargo, hay que tener en cuenta que desde el

punto de vista terico, siempre debe considerarse el flujo base; en caso de poseer una

magnitud considerable para la corriente que se estudia, se tendra que tomar el hidrograma

total de entrada en vez del hidrograma de escorrenta directa.

7.4 HIDROGRAMA UNITARIO SINTETICO POR MEDIO DEL TRNSITO

Los criterios presentados en el trnsito de crecidas se puede tambin aplicar para

derivar el hidrograma unitario en una cuenca que carece de informacin pluviomtrica e

hidromtrica. Aunque el procedimiento no es totalmente emprico, se suele usar con mucha

frecuencia para estimar el hidrograma en cuencas pequeas, relacionado con problemas del

drenaje vial y urbano.

Consideremos una cuenca dividida en una serie de subreas, cada una de las cuales,

como producto de una tormenta intempestiva de corta duracin, contribuye con un caudal

de entrada al sistema de drenaje de la cuenca, el mismo que ya posee un almacenamiento

determinado. De all que el hidrograma unitario instantneo se compone de dos partes: una

que representa el caudal proveniente de la tormenta, y la otra que separa ambas partes se

puede asumir por conveniencia que pasa por el punto de inflexin de la rama descendiente

del hidrograma, como se muestra en la Figura 7.8.

FIGURA 7.8 HIDROGRAMA INSTANTNEO COMO UNA APROXIMACIN DE UN

HIDROGRAMA CORRESPONDIENTE A UNA TORMENTA DE CORTA DURACIN.

232

k

t

e1IQ

11

0

T

T

KTt

TeQA

Ahora bien, asumamos que el caudal Q de la cuenca y el almacenamiento estn en

una relacin directa, con un coeficiente de proporcionalidad K:

S = KQ (7.21)

Haciendo en la ecuacin (7.14) X = 0 y O = Q, se obtiene:

I Q = dS/dt (7.22)

Donde l representa el caudal de entrada proveniente de la lluvia instantnea. Debido

a que dS/dt = K dQ/dt, reemplazando esta expresin en (7.22) se obtiene:

K dQ/dt = I-Q (7.23)

Asumiendo la condicin Q = 0 para t = 0, la solucin de la ltima ecuacin arroja:

(7.24)

Como hemos supuesto, el caudal de entrada l cesa en el punto de inflexin,

digamos en un tiempo T; luego, el caudal de salida en el tiempo t, trminos de descarga Qt

a un tiempo T, se puede expresar como sigue:

QT = QTe-( t T ) / K

(7.25)

El cociente K se puede determinar de un hidrograma observado en la cuenca,

tomando dos valores consecutivos de Q. El primero Q1 en el punto de inflexin y el

segundo, una unidad de tiempo ms tarde. Esto hace justamente que el mtodo no sea

totalmente emprico. Es necesario que el hidrograma observado constituya un evento

independiente y que la lluvia sea lo suficientemente corta, de una o dos horas solamente

(ver figura 7.8).

Por lo tanto, el rea sombreada en la figura 7.8 entre Q1 = QT y Q2= Q( T +1) ser la

integral de la ecuacin (7.25) entre los lmites t = 0 y t = 1.

(7.26)

A = K(Q1 Q2)

El segundo parmetro que debe determinarse del hidrograma observado es el tiempo

de retardo TL, definido como el tiempo mximo de viaje a lo largo de la cuenca. Puede

233

tomarse como el tiempo comprendido entre el centro de gravedad de la tormenta y el punto

de inflexin de la curva descendente (figura 7.8).

El almacenamiento de la cuenca puede ser considerado como un embalse hipottico,

ubicado en el punto de descarga, cuya entrada se expresa como el grfico Tiempo-rea de

la cuenca; donde cada subrea delimita en tal forma que toda la lluvia que cae

instantneamente y sobre cada una, posea el mismo tiempo de viaje hasta el punto de salida

denominado Isocrona. El diagrama Tiempo-rea ( I ) se somete a una lluvia instantnea y

se transita a travs del embalse, siguiendo el procedimiento de la ecuacin (7.15).

El caudal Q de salida as obtenido representa un HUI para la cuenca y tiene que ser

transformado en uno de n horas, si fuera requerido, tomando el promedio de dos ordenadas

consecutivas separadas un intervalo n. Este procedimiento se conoce como el mtodo de las

isocronas o de C.O. Clark, y se utiliza en cuencas que carecen totalmente de informacin,

por lo que se suele asumir un valor K igual al tiempo de retardo TL, el cual se calcula en

funcin del tiempo de concentracin Tc. Este ltimo parmetro se estima sobre la base de

las caractersticas fsicas de la cuenca ( ver Captulo 6, Ec. 6.29 ). Por otro lado, el mtodo

asume una duracin de lluvia efectiva igual al tiempo de concentracin, por lo que el

hidrograma unitario resultante ( de una duracin igual a la isocrona) tiene que

transformarse en otro de duracin igual a Tc.

En resumen, el mtodo de las isocronas se efecta en los siguientes pasos:

a) Se divide la cuenca en varias subcuencas, tal que el intervalo T tiempo de

viaje, a travs de cada una, sea igual al tiempo de viaje desde el punto ms

alejado, dividido por el nmero de subcuencas ms uno. Las lneas divisorias de

las subcuencas se denominan isocronas , cuyo nmero debe no ser inferior a 5.

b) Se calculan las reas parciales.

c) Se construye el polgono de rea y tiempo de viaje. Para el hidrograma unitario,

con una lluvia efectiva tambin unitaria. La lluvia efectiva es instantnea.

d) El polgono de reas, puede, por lo tanto representar el hidrograma de entrada

del embalse hipottico, el cual se transita hacia la salida.

234

e) Se transforma el hidrograma transitado en d) a unidades de caudal usando un

factor f, obteniendo as el Hidrograma Unitario Instantneo HUI.

f= Lluvia efectiva unitaria en m x rea total en m2

Intervalo entre Isocronas en seg x 100

f) Promediando las ordenadas del HUI resultante se obtiene el HU para una

duracin igual al intervalo entre isocronas

g) Se transforma el HU resultante al HU para una duracin de la lluvia efectiva

deseada ( D = TC ) mediante el procedimiento de la curva S.

Ejemplo 7.2: Determinar el H.U. para el ro Capaz, estacin Puente El Diablo,

mediante el mtodo de las isocronas, conociendo la siguiente informacin, y los datos sobre

rea de la tabla 7.8: A = 179 km2 , L = 18 km y H = 2.280m.

Tabla 7.8 POLIGONO DE REAS PARA EL MTODO DE LAS ISOCRONAS EN LA CUENCA

DEL RIO CAPAZ

Isocrona

No.

(1)

Intervalo

h

(2)

Area

Km2

(3)

%A

%

(4)

Sumatoria A

(5)

0 0,2 0 0 0

1 0,2 4,7 2,70 4,7

2 0,2 23,7 13,40 28,4

3 0,2 37,7 21,30 66,0

4 0,2 41,7 23,60 107,8

5 0,2 21,4 12,10 129,2

6 0,2 25,0 14,10 154,2

7 0,2 22,7 12,80 179,0

SOLUCIN: Se calcula primero TC mediante TC= 0,0195(L3/H)

0,385

donde TC en minutos, L y H en m (ver Ec. 6.32), y luego TL mediante la siguiente relacin,

desarrollada para Venezuela (TC y TL en horas): TL = 0,86TC0.74

Los resultados son por lo tanto:

TC = 84 minutos = 1,4 horas,

TL = 1,1 horas =1 h.

Conociendo t = 0,2 h (intervalo entre isocronas), X = 0, se obtienen los parmetros

C0 , C1 y C2 mediante la ecuacin (7.16): C0 = 0,09, C1 = 0,09, y C2 = 0,82.

235

Aplicando la ecuacin ( 7.15), se transita el hidrograma de entrada ( I ) dado en la

columna (4) de la tabla 7.8. El procedimiento y los resultados para un H.U. de 0,2h al H.U.

de 1,4horas. En la figura 7.9 se ha graficado el H.U. de 1,4horas obteniendo en la columna

5 de la tabla 7.10.

Tabla 7.9 CALCULO DEL HIDROGRAMA UNITARIO POR EL METODO DE LAS ISOCRONAS

C0 = 0.09 C1 = 0.09 C2 = 0.82 f = 2,48611

Tiempo en

Horas

(1)

% rea

(2)

(2)(Co+C1)

(3)

(5)x C2

(4)

(3) + (4)

(5)

HUI

F(5)

(6)

H.U

D = 0,2h

(7)

0 0 0 0 0 0 0

0,2 2,7 0,49 0 0,49 1,22 0,61

0,4 13,4 2,41 0,40 2,81 6,99 4,10

0,6 21,3 3,83 2,31 6,17 15,34 11,17

0,8 23,6 4,25 5,06 9,28 23,07 19,21

1,0 12,1 2,18 7,63 9,79 24,34 23,71

1,2 14,1 2,54 8,03 10,57 26,28 25,31

1,4 12,8 2,30 8,67 10,97 27,27 26,78

1,6 8,99 8,99 22,35 24,81

1,8 7,38 18,35 20,81

2,0 6,05 15,04 16,77

2,2 4,96 12,33 13,69

2,4 4,07 10,12 11,23

2,6 3,33 8,29 9,21

2,8 2,73 6,79 7,54

3,0 2,24 5,57 6,18

3,2 1,84 4,57 5,07

3,4 1,51 3,75 4,16

3,6 1,24 3,08 3,42

3,8 1,01 2,51 2,80

4,0 0,83 2,06 2,29

4,2 0,68 1,69 1,88

4,4 0,56 1,39 1,54

4,6 0,46 1,14 1,27

4,8 0,38 0,94 1,04

5,0 0,31 0,75 0,86

5,2 0,25 0,62 0,70

5,4 0,21 0,52 0,57

5,6 0,17 0,42 0,47

236

Tabla 7.10:CALCULO DEL HIDROGRAMA UNITARIO PARA EL RIO CAPAZ PARA UNA

DURACIN DE 1,4HORAS

t

(1)

Curva S

(2)

SDesfasada

(3)

S

(4)

H.U.

(5)

0 0 -- 0 0

0,2 0,61 -- 0,61 0,09

0,4 4,72 -- 4,72 0,67

0,6 15,85 -- 15,85 2,69

0,8 35,02 -- 35,02 5,00

1,0 58,73 -- 58,73 8,39

1,2 84,04 -- 84,04 12,01

1,4 110,82 0 110,82 15,83

1,6 135,63 0.61 135,02 19,29

1,8 156,06 4,72 151,34 21,62

2,0 172,83 15,98 156,98 22,49

2,2 186,52 35,02 151,50 21,64

2,4 197,75 58,73 139,02 19,86

2,6 206,96 84,04 122,92 17,56

2,8 214,50 110,63 103,87 14,15

3,0 220,68 135,63 85,05 12,15

3,2 225,75 156,06 69,69 9,95

3,4 229,91 172,83 57,08 8,15

3,6 233,33 186,52 46,81 6,69

3,8 236,13 197,75 38,38 5,48

4,0 128,42 206,96 31,46 4,49

4,2 240,30 214,58 25,8 3,69

4,4 241,84 220,68 21,16 3,02

4,6 243,11 225,75 17,36 2,48

4,8 244,15 229,91 14,24 2,02

5,0 245,01 233,33 11,68 1,67

237

FIGURA 7.9 HIDROGRAMA UNITARIO PARA EL RO CAPAZ PARA UNA DURACIN DE 1.4

HORAS

238

REFERENCIAS:

Linsley, R,K., Kohler, M.A. y Paulhus, J.L. Hidrologa para Ingenieros. Mac

Graw Hill. Latinoamericana. 1977.

Viessman, W., Jr., W. Knapp, G.L. Lewis and T.E. Harbaugh, Introduction to

Hidrology, 2nd. Ed., Harper and Row, N.Y. 1977.

Hjelmfelt, A.T. and Cassidy, J.J. Hidrology for Engineers and Planners. Iowa

State Univ.- Press, Ames, Iowa, 1975.

Wilson, E.M., Engineering Hidrology, 2nd. Ed. Mac Millan Prees, 1982.

Chow, V.T., Maidment, D.R. and Mays, L.W., Applied Hydrology, Mac Graw

Hill, USA 1988

PROBLEMAS:

7.1 Determine la profundidad mxima a la cual asciende el agua en un embalse hipottico,

donde S = D 2 y O = 20D

1/2 . D = profundidad del embalse en m, S = almacenaje en

(ha.m) y O es la descarga en (m^3/s).El hidrograma de entrada es:

T: 12 p.m 1 2 3 4 5 6 7 8 9

I en

Ha.mm/h

1000 1000 2000 4000 8000 14000 14000 12000 10000 8000

La profundidad D a las 12 p.m. fue de 0,10 m.

239

7.2 Determine la descarga y el almacenaje mximo en un embalse cuyas caractersticas se

dan abajo y, al que entr la siguiente creciente cuando ste se encontaba con 75 Mm3

de agua.

T(h) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Q en

(m3/s)

60 100 232 300 520 1310 1930 1460 930 650

S en

(Mm^3)

75 81 87,5 100 110,2

Descarga

(m3/s)

57 227 519 1330 2270

7.3 Determine la creciente generada por la tormenta indicada en la cuenca mostrada.

Asuma un ndice de infiltracin de 4mm/h

7.4 Estime en C el caudal pico y su ocurrencia con la creciente del problema 7.3 generada

simultneamente en Ay B. El tiempo de viaje desde la confluencia hasta C es de 10

horas, el factor de trnsito x = 0.05, y, en B se tiene un embalse con forma de prisma

rectangular y almacenaje dado por S = 50H, donde S est en m3/s-da y H en m. La

240

descarga est controlada por un aliviadero cuya relacin de gasto es Q = 100 H, con Q

en m3/s y H en m.

7.5 Una tormenta sobre la cuenca de la figura genera simultneamente en A y B el

hidrograma presentado abajo. Determine el gasto mximo en C. El tiempo de viaje del

centro de masa de la creciente entre A y C es de 6 horas y el factor X = 0,10.

Desprecie aporte local.

Hora 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42

m3 /s 10 35 96 163 204 210 190 129 91 69 54 41 33 27 24

241

7.6 Dada la cuenca de 85 Km^2, obtenga el hidrograma de la creciente producuda por una

tormenta de 1 hora de duracin, cuyas lluvias efectivas son:

El retardo de la cuenca es de 3 horas. Desprecie el caudal base.