Capítulo 7 MOMENTO LINEAL Y COLISIONES p x = mv x p y = mv y p z = mv z Tiene carácter vectorial,...
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Capítulo 7
MOMENTO LINEAL Y COLISIONES
ppxx = mv = mvxx p pyy = mv = mvyy p pzz = mv = mvzz
Tiene carácter vectorial, y como m es Tiene carácter vectorial, y como m es
un escalar, entonces p Vun escalar, entonces p V
Cantidad de Movimiento lineal Cantidad de Movimiento lineal de una partículade una partícula
Se define como el producto de la masa Se define como el producto de la masa por la velocidad de la partícula. por la velocidad de la partícula.
mVp [kg m/s][kg m/s]
V p
1ra ley de Newton1ra ley de Newton
Un cuerpo libre de la acción de Un cuerpo libre de la acción de otros cuerpos otros cuerpos se moverá con se moverá con
cantidad de movimiento constantecantidad de movimiento constante (p = cte) o permanecerá en (p = cte) o permanecerá en reposoreposo hasta que algún agente externo le hasta que algún agente externo le
modifique su estado de modifique su estado de movimientomovimiento
mv vmp
Sistema aislado
0F
ctep
0p
La segunda ley de Newton se puede escribir en función del momento lineal:
dtdp
F
dtd(mv)
dtdv
mF
extR
extR
Sistema de Sistema de una partículauna partícula2da ley de Newton2da ley de Newton
extRR FF
Sistema de partículasSistema de partículas
sistemasistema
jiFijFextiF
extjF
iii mr ,v, ii pr ,Ni ..1
ji i
extiijR FFF
,
0
rj
vj
Cuerpo externo
extR
intRR FFF
La sumatoria de las fuerzas internas se hace cero, teniendo en cuenta que dentro del sistema están todas las parejas de cuerpos que sienten los pares de acción y reacción.
i
exti
extRR FFF
i
i
i
extiR dt
dpFF
i
iextR p
dtd
Fsist
dtdp
2da ley de Newton2da ley de Newton
(sist)
dtdp
F extR )(
Conservación de la cantidad de movimiento lineal
0
ctepdtdp sist
(sist)
)(,0
Cuando la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre un sistema se anula, entonces se conserva
la cantidad de movimiento lineal del sistema
m
vmp
F
t2t1
m
1p2p
F
En el caso en que esté actuando una fuerza resultante sobre el sistema:
integrando ambos miembros, obtenemos:
Fdt,dp
2
1
t
t12 Fdtppp
A la cantidad anterior se le conoce comoImpulso I de la fuerza F en el intervalo ,
t t tf i
I Fdt pt
t
i
f
el impulso es igual al cambio de momento lineal
Impulso de una fuerza Impulso de una fuerza
Una pelota colisionando con una pared rígida
1p
2p
ot
tt
Mientras la pelota colisiona con la pared, ella se deforma rápidamente, lo cual indica que la fuerza de interacción pared pelota crece monótonamente con el tiempo, cuando la deformación de la pelota es máxima, entonces la fuerza que actúa sobre la pelota también lo es.
F
t t(s)
AREAFdtItt
t
0
A
Comportamiento de la fuerza impulsiva con el tiempo
Es conveniente definir una fuerza promedio como:
Por lo tanto el impulso también se puede expresar como:
mF
2
1
1 t
tm Fdtt
F
tFpI m
H=2m
h=1,5m
iv fv
Una pelotita de 100g de masa se deja caer desde una altura de 2m y rebota verticalmente tal como se indica. determine la fuerza promedio que el piso ejerció sobre la pelotita, si el tiempo de interacción pared -pelota fue de 0,02s
En el sistema mostrado determinese el impulso que la pelotita recibe y la fuerza promedio sobre ella, si el tiempo de interacción pared -pelota fue de 0,025s
o37o37
m= 10kg
V=50m/s
v
v
0dtdp
Fsist
extR
En los choques la cantidad de movimiento lineal del sistema siempre se conserva, pues las fuerzas externas, de existir, se
desprecian frente a las internas, las cuales son muy intensas mientras actúan.
0
Conservación de la cantidad de movimiento lineal
Conservación del momento para un sistema de dos partículas
m1
m2
p1=m1v1
p2=m2v2
F12
F21
Como
2112 FyFCorresponden al par acción reacción se cumple :
02112 FF
Se conserva la cantidad de movimiento p del sistema p = 0
Se conserva la energía cinética K del sistema K = 0
Clasificación de los choques
inelásticoinelásticoelásticoelástico
inelásticoinelástico plásticoplástico
K 0 K máxima
Se conserva la cantidad de movimiento p del sistema
NO se conserva la energía cinética K del sistema K no es cero
p pi f
fi KK p pi f
fi KK
Tipos de colisión
Elástica:
Inelásticas
colisión perfectamente inelástica
m1
m2
m1+ m2
Choque plástico
Choque plásticop o r c o n s e r v a c i ó n d e l m o m e n t o :
'' 22112211 vmvmvmvm
p o d e m o s s u p r i m i r e l v e c t o r u n i t a r i o i
')( 212211 vmmvmvm . . . . . . ( 1 )
21
2211'mmvmvm
v
p o r c o n s e r v a c i ó n d e l m o m e n t o :
'' 22112211 vmvmvmvm
p o d e m o s s u p r i m i r e l v e c t o r u n i t a r i o i
'' 22112211 vmvmvmvm . . . . . . ( 1 ) P o r c o n s e r v a c i ó n d e l a e n e r g í a c i n é t i c a ( 2 )
222
211
222
211 '
2
1'
2
1
2
1
2
1vmvmvmvm
Choque elástico
'' 1221 vvvv . . . . . . . . ( 3 )e s t a i g u a l d a d i n d e p e n d i e n t e d e l a s m a s a s n o si n d i c a q u e :
L a v e l o c i d a d r e l a t i v a d e a c e r c a m i e n t o e si g u a l y o p u e s t a a l a v e l o c i d a d r e l a t i v a d e
a l e j a m i e n t o
C o m b i n a n d o l a s e c u a c i o n e s ( 1 ) y ( 3 )o b t e n e m o s l a s v e l o c i d a d e s f i n a l e s d e l a sm a s a s m 1 y m 2 i n m e d i a t a m e n t e d e s p u é s d e l ac o l i s i ó n , e n f u n c i ó n d e l a s v e l o c i d a d e si n i c i a l e s y l a s m a s a s :
221
11
21
21'1
2v
mm
mv
mm
mmv
221
121
21
2'2
2v
mm
mmv
mm
mv
Analicemos estas ecuaciones :1) si m1 = m2 , las ecuaciones se reducen a:
21' vv 12' vv
1v 2v21 ' vv
12 ' vv
Antes DespuésSus momentos lineales se intercambian
si m 2>>>m 1 tenemos :
212 mmm y 0
2
1 m
m
y sus velocidades finales serán:
211 2' vvv y 22 ' vv es decir el cuerpo de mayor masa no cambia su cantidad de movimiento
1v2v 11 ' vv
0'2 v
Antes Después
m1 rebota elásticamente
Si asumimos que m2 esta en reposo
0'y'0 2112 vvvv
Haga click en choques
Problema
Un bloque de masa m1=1.6kg, moviendose hacia la derecha con una velocidad de 4m/s sobre un camino horizontal sin fricción, choca contra un resorte sujeto a un segundo bloque de masa m2=2,1kg que se mueve hacia la izquierda con una velocidad de 2,5m/s. (k=de 600N/m). En el instante en que m1 se mueve hacia la derecha con una velocidad de 3m/s determine: a) la velocidad de m2 b) la distancia x que se comprimió el resorte
m1 m2
ksmv /41 smv /5,22
m1 m2
smv /3'1 '2v
Por conservación del momento lineal
'' 22112211 vmvmvmvm ')1,2()3)(6,1()5,2)(1,2()4)(6,1( 2v
Obtenemos: ismv )/74,1('2 Por conservación de la energía:
2222
211
222
211 2
1'
2
1'
2
1
2
1
2
1kxvmvmvmvm
X = 0,173m
v1f
v1f
v1f cos
v1f sen
v2fcos
-v2f sen
Un choque no frontal elástico entre dos partículas
Antes
Después
Ejemplo. En un juego de billar se quiere introducir la bola roja en la buchaca después de golpearla con la blanca. Si la buchaca está a 35o a qué ángulo se desvía la bola blanca?
v1i
v1f
v2f
x
y
35o
CENTRO DE MASA
Un sistema mecánico complejo se comporta como si toda su masa
estuviera concentrada en un punto quese denomina centro de masa (C.M.)
Para un conjunto de masas puntualesel CM se calcula :
rm r
mCM
i ii
ii
m1
m2
m3m4
m5
m6
y
xr1
r4
r6
y
x
rCM
z rM
rdmCM 1
para una distribución continua de masa:
mi
r
Ejemplo. Se tienen 3 masas iguales en los vértices de un triángulo rectángulo. Calcular el vector C.M.
d
h
a
y
x
Ejemplo.
a
bc
y
x
dxx
dm
MOVIMIENTO DE UN SISTEMADE PARTÍCULAS
vdr
dtCMCM
d
dt Mmri i( )
1
1
Mmdr
dtii 1
Mmvi i
MvCM mvi i ip
sistP
El momento total P es el producto de lamasa total M por la velocidad del centrode masa.
MvCM CMP
adv
dt Mmdv
dt
Mma
MF
F
M
CMCM
ii
i i i
1
1 1
extRCM FaM
Al hacer la suma las fuerzasinternas de acción y reacción se cancelande modo que sólo quedan las fuerzasexternas. Entonces la ecuación anterior se reduce a:
Fi
dtPd
aMF sistCMext
CMext
R MaF )(
CMCM
Si la Si la FFRR que actúa que actúa
sobre el sistema sobre el sistema es es igual 0igual 0, entonces , entonces
el el Centro de MasaCentro de Masa del Sistema se del Sistema se
mueve con mueve con MRUMRU, , o está en reposoo está en reposo
00
sistemasistema
M
rm
m
rmtr i
ii
ii
iii
CM
cteVCM ctePsist 0extRF
en palabras:
el centro de masa se mueve comouna partícula imaginaria de masa Mcon la influencia de la fuerza externaresultante sobre el sistema.Si la fuerza resultante externa es cero entonces el CM se mueve con MRU