~lADDEMOVIMIENTO,IMPULSOY CHOQUES

Cuando un jugador de ftbol americano ta-clea a otro, la dinmica del choquc entrelos cuerpos puede ser muy compleja. Noobstante, el choque se rige por un principiosencillo de la fisica: si calculamos el pro-ducto de: la masa y la velocidad vectorialde: cada jugador, y sumamos los resultadospara cada jugador. la suma teodli el mismo valor justo aotcs del choque e inmediatamente despus del mismo. ste es unejemplo de la ley dc conservacin dc lacantidad de movimiento.

Qu podrla causar una lesinms grave: ser tacleado por un jugadorligero que se mueve rpidamente o ser

tacleado por un jugador con el doble demasa que se mueve con la mitad de laveloddad?

282

H ay muchas preguntas relacionadas con fuerzas que no pueden contestarseaplicando directamente la segunda ley de Newton, LF = 1110. Por ejemplo,si un camin de 18 ruedas choca de frente COIl un aula compacto, qu determinahacia dnde se mueven los restos despucs del choque? Cuando juega billar, c-mo decide usled la direccin que debe dar a la bola blanca para meter la bola 8 enuna bm.;haca? Y cuando un meteorito choca con la Tierra, qu tanta de la energiacintica del meteorito se libera en el impacto?

Algo que tienen en comm todas estas preguntas es que implican fuerzas acer-ca de las que sabemos muy poco: las fuerzas que actUan entre el auto y el camin,entre las dos bolas de billar o entre el meteorito y la TieITa. Lo curioso es que eneste captulo veremos que no necesitamos saber nada acerca de e~s fuerzas paracontestar preguntas de este tipo.

Nuestro enfoque utiliza dos conceptos nuevos, caflfidad de movimiento e im-pulso, y una nueva ley de conservacin, la de COllsen'aci" de la cantidad de 1Il0-vimielllo, tan importante como la de conservacin de la energa. La ley deconservacin de la cantidad de movimiento es vlida aun en situaciones en las quclas leyes de Newton son inadecuadas, tales como cuerpos que se mueven con unampidez muy alea (cercana a la de la luz) u objetos muy pequeos (como los cons-tituyentes de los tomos). En el mbito de la mecnica newtoniana, la conserva-cin de la cantidad de movimiento nos permite analizar muchas situaciones que

8.1 I Cantidad de movimiento e impulso

seran muy dillciles si tratramos de usar las leyes de Newton directamente. Entreellas estn los choques, donde dos cuerpos ejercen, uno sobre el otro, fucrzas muygrandes durante un tiempo muy corto.

8.1 I Cantidad de movimiento e impulsoEn el capitulo 6 reexpresamos la segunda ley de Newton para una partcula,lF = mii, en terminos del teorema dellrabajo y la energa, el cual nos ayud aresolver muchos problemas y nos llev a la ley de conservacin de la energa. Vol-vamos a ~F = lila y veamos otra forma til de replantear esta ley fundamental.

Consideremos una particula de masa constanle m. (Ms adelante veremos c-mo manejar situaciones en las que la masa cambia.) Puesto que a=dVldt. podemos escribir la segunda ley de Newton para esta particula asi:

283

~- do d"",F = m- = -(mv)

dt dt(8.1)

Podemos meter m en la derivada porque es constante. Asi, la segunda ley deNewton dice que la fuerza neta ~P que acta sobre una particula es igual a la ra-pidez de cambio de la combinacin mv, el producto de la masa y la velocidad dela partcula. Llamamos a esta combinacin cantidad de movimiento, o cantidadde movimiento lineal, de la partcula. Si usamos el smbolo ppara la cantidad demovimiento, tenemos

- -p =mv (definicin de cantidad de mo"imienlo) (8.2)

La cantidad de movimiento es un vector con magnitud (mu) y direccin (la delvector velocidad v). La cantidad de movimiento de un auto que viaja al norte a 20mis es distinta de la del mismo auto cuando viaja al este con la misma rapidez.Una bola rpida lanzada por un beisbolista de ligas mayores tiene mayor magni-tud de cantidad de movimiento que la misma bola lanzada por un nio, porque larapidez es mayor. Un camin de 18 ruedas que viaja a 65 mi/h tiene mayor mag-nitud de cantidad de movimiento que un automvil que viaja con la misma rapi-dez porque la masa del camin es mayor.

Las unidades dc la magnitud de la cantidad de movimiento son las de maso porrapidez, o sea, kg . mIs en el SI.

Si sustituimos la ecuacin (8.2) en la ecuacin (8.1), tenemos

r2: F=:, (segunda ley de Newtoll en trminos de cantidad de movimiento) (8.3)I

La fuerza neta (suma uecLOrial de todas las filerzas) que acta sob,.e una panculaes igual a la rapidez de cambio de cantidad de mouimielllo de la particula. sta,no ,F = mii, es la forma en que Newton plante originalmente su segunda ley(aunque l llam momentum a la cantidad de movimiento), y slo es vlida enmarcos de referencia inerciales.

Segn la ecuacin (8.3), un cambio rpido de cantidad de movimiento requiere una fuerza neta grande, mientras que un cambio gradual de cantidad de movimienlO requiere una fuerza neta menor. Este principio se usa en el diseo dedispositivos de seguridad para autos como las bolsas de aire. El conductor de unaulo que va a gran velocidad tiene una cantidad de movimiento grande (el producto de su masa y su velocidad). Si el auto se detiene sbitamente en un choque, lacantidad de movimiento del conduclor se vuelve cero. La bolsa de aire hace que

284 CA pfTULO 8 I Cantidad de movimiento. impulso y choques

la cantidad de movimiento se pierda ms gradualmente que en un choque abrup-to con el volante, reduciendo la fuerza ejercida sobre el conductor (y la posibilidad de lesiones). El mismo principio se aplica al empaque con que se envuelvenobjetos frgiles para transponarlos.

Con frecuencia expresaremos la cantidad de movimiento de una partcula entrminos de sus componentes. Si la partcula tiene componentes de velocidad uxuy y u" las componentes de su cantidad de movimiento, PX,PJ' y pz estn dadas por

p" = mv" py = II1U1 p, = //lv: (8.4)Estas tres ecuaciones de componentes equivalen a la ecuacin (8.2).

La cantidad de movimiento de una partcula p = mv y su energia cinticaK = 4/11u2 dependen de la masa y la velocidad de la partcula. Qu diferencia fundamental hay entre estas cantidades? Una respuesta puramente matematica es que la can-tidad de movimiento es un vector cuya magnitud es proporcional a la rapidez, mienlraSque la energa cintica es un escalar proporcional al cuadrado de la rapidez. Sin embar-go, para ver la diferencia flSica entre ambas cantidades, necesitamos definir una cantidad ntimamente relacionada con la cantidad de movimiento: el impulso.

Consideremos primero una partcula sobre la que acta una fuerza neta cons-tame ~F durante un tiempo lit de tI a t2' (VeremQs el caso de fuerzas variables enbreve.) El impulso de la fuerza neta, denotado con J, se define como el productode la fuerza neta y cl intervalo de tiempo:

] = :2;F(t, -1,) = :2;ht (suponiendo una fuerza neta contante) (8.5)El impulso es una cantidad vectorial; su direccin es la de la fuerza neta P. y su mag-nitud es el producto de la magnitud de la fuerza neta Yel tiempo en que sta acta. Lasunidades de impulso en el SI son newton-segundo (N. s). Dado que I = I kg. mi';,las unidades laillbin son kg . mfs, idnticas a las de la cantidad de movimiento.

Para ver de que nos sirve el impulso, volvamos a la segunda ley de ewtonplanteada en lnninos de cantidad dc movimiento (ecuacin 8.3). Si la fuerza ne-la ,F es constante, dpldl tambin es constante. En tal caso, dpldt es igual alcambio total de cantidad de movimiento P2 - PI durante el intervalo t2 - 11> dividido entre el intervalo:

:2;F =p, - p,/z - tI

Si multiplicamos esta ecuacin por (t2 - 11), tenemos

:2;F(t, - t,) = p, - p,Al comparar esto con la ecuacin (8.5) obtenemos un resultado conocido comoteort'ma del impulso y la cantidad de mOlimiento:

(teorema del impulso y la cantidad de movimiento )(8.6)El cambio de la cantidad de movimiento de una partcula durante un inler-valo de tiempo es Igual al impulso de la fuerza neta que acta sobre la partcu-la durante ese inlervalo.

El teorema del impulso y la cantidad de movimiento tambin se cumple si lasfuerzas no son constantes. Para comprobarlo, integramos los dos miembros de lasegunda ley de Ne\Vlon ~F = dpldr respecto al tiempo entre los lmites tI y'2;

i" - i" tlp i'LF dt = -dt = _ dP = pz - PI'o " di "

8.1 I Cantidad de movimiento e impulso

La integral de la izquierda es por definicin el impulso] de la fuerza neta 2:,F du-rante este intervalo:

285

Con esta definicin, el teorema del impulso y la cantidad de movimiento] = P2 - p, ecuacin (8.6), es vlido aun si la fuerza neta F vara con el tiempo.

Podemos definir una fuerza neta meda Fmod tal que, aun si F no es constan-te, el impulso] est dado por

i"] = 22ft dI"

(definicin general de impulso) (8.7)

(Fm:rl\ ---

(8.8)Si F es constante, F = Fmed Yla ecuacin (8.8) se reduce a la ecuacin (8.5).

La figura 8.1 muestra una grfica de la componente x de la fuerza neta "'iF, enfuncin del tiempo durante un choque. Esto podra representar la fuerza sobre unbaln que est en contacto con el pie de un futbolista entre los tiempos ti y t2 Lacomponente x del impulso durante este intervalo est representada por el rea rojabajo la curva entre ti y 12, que es igual al rea rectangular delimitada por ti' t2 y(Fmed}.., as que (Fmed},.(t2 - ti) es igual al impulso de la fuerza variable real duran-te el mismo intervalo.

Tanto el impulso como la cantidad de movimiento son vectores, y las ecuacio-nes (8.5) a (8.8) son vectoriales. En problemas especficos suele ser ms fcilusarlas en su forma de componentes:

8.1 La componente x del impulso de IFxenlre ti y 12 es igual al rca roja bajo lacurva 'iFx -1, Ytambin cs igual al readel rectngulo de altura (Fm

286

6.1

Act"VPhys esCantidad de movimiento y cambiode energla

CAPfTULO 8 I Cantidad de movimiento, impulso y choques

ca del cuerpo en tl es K2 = Wtot - Fs, el Trabajo lotal efectuado sobre el cuerpo paraacelerarlo desde el reposo, es igual al producID de la fuerza neta y la distancia neocesaria para acelerar la partcula (Fig. 8.2).

Apliquemos la distincin entre cantidad de movimiento y energa cintica. Su-ponga que puede escoger entre atrapar una pelota de 0.50 kgque se mueve a 4.0 miso una de 0.10 kg que se mueve a 20 mis. Cul es ms fcil de atrapar? Ambas lienen la misma magnitud de cantidad de movimiento, p = mu = (0.50 kg)(4.0 mis)- (0.10 kgX20 mis) = 2.0 kg . mfs, pero muy diferentes valores de energa cinetica K = !mu2: la bola grande y lenta tiene K - 4.0 J, mientras que la pequea y r-pida tiene K = 20 1. Dado que la cantidad de movimiento es igual para ambasbolas, las dos requieren el mismo impulso para detenerse. Pero detener la bola de0.10 kg con la mano requiere cinco veces ms /lnhajo que detener la de 0.50 kg, porque la primera tiene cinco veces ms energa cintica. Por tanto, para una fuerzadada que ejerzamos con la mano, tardaremos el mismo tiempo en detener cuales-quiera de las bolas, pero nuestra mano ser empujada cinco veces ms hacia atrssi decidimos arrapar la bola pequea rpida. Para minimizar el esfuerzo, debemosoptar por atrapar la bola de 0.50 kg con su menor energa cinelica. (Sin embargo,esta energa tal vez no sea el nico factor a considerar. Una pelota de beisbol lan-zada y una bala calibre .22 disparada por un rifle tienen ms o menos la mismaenerga cnetica, y la bala liene menos canldad de movimiento que la pelota. Noobstante, usted probablemente preferirla atrapar la pelota. Por qu?)

Los teoremas del impulso y la cantidad de moVimiento y del trabajo y la ener-ga son relaciones entre fuerza y movimiento, y ambos se basan en las leyes deNe\vton; son principios integrales que relacionan el movimiento en dos instantesseparados por un intervalo finito. En cambio, la segunda ley de NeMoo misma(en cualquiera las formas :.F = ma o :.F = dpldt) es un principio diferencialque relaciona las fuerzas con la rapidez del cambio de velocidad o cantidad demovimiento en cada instante.

Ejemploconceptual 8.1 Cantidad de movimiento vs. energa cintica

Considcre otra vez la carrera descrita en el ejemplo conceptual 6.6(seccin 6.2) entre dos vcleros en un lago hclado sin friccin. Losbotes tienen masas m y 2m, y cl viento ejerce la misma fuerza hori-zontal constante Fsobre cada uno (Fig. 6.10), Los dos veleros par-ten del reposo y cruzan la meta que est a una distancia s. Culbote llega a la meta con mayor canlidad de movimiento?

B!l3lillIEn el ejemplo conceptual 6.6 pedimos comparar las cnergas cin-ticas de los veleros al cruzar la meta. la forma de hacerlo no fueusando la frmula K = !mv2, sino recordando que la energa cin-tica de un cuerpo es igual al trabajo total efectuado para acelerarloacsde el reposo. Los dos veleros partieron dcl reposo,. y el trabajototal efectuado entre la salida y la meta fue cl mismo para ambos(porque la fuerza neta y el desplazamiento fueron ib'U3les). Por tan-to, los dos ",eleros cruzan la mela con la misma encrga cintica.

Similarmente, la mejor forma de comparar las canlidades demovimiento de los vcleros no es usar la fnnula p = mV. pues es-ta no basta para decidir cul velero tiene mayor cantidad de movi-miento en la meta. El velero de masa 2m tiene mayor masa, lo que

sugiere mayor cantidad de movimiento, pero cruza la meta ms len-tamentc que el otro, lo que sugiere menor cantidad de movimicnto.

Ms bicn, usamos la idea de que la cantidad de movimiento decada velero es igual al impulso que 10aceleT desde el reposo. Para ca-da velero, la fuerza de la gravedad hacia abajo y la fuerza normalhacia arriba suman ccro. as que la fucrza neta es la fuerza horizon-tal constante del viento, . Sea tu el tiempo en que UD velero tardaen llegar a la meta, de modo que el impulso sobre el velero en esetiempo es ] = tli. El velero parte del reposo, asi que esto es lacantidad de movimiento pdel velero en la meta:

p=FlHAmbos ve1cros estn sujetos a la misma F, pero na tardan lo mis-

mo en llegar a la meta. El bote de masa 2m acelera ms lentamentey tarda ms tiempo en recorrer la distancia s: por tanto, hay mayorimpulso sobre este vclero entre la salida y la meta. Por tanto, el ve-1cro de masa 2m cruza la meta con mayor magnitud de cantidad demovimiento que el de masa m (pero coo la misma energa einCjica).Puede el lector demostrar que el velero de masa 2m tiene V2 \'e-ces ms cantidad de movimiento en la meta que el de masa m?

Ejemplo8.2

8.1 I Cantidad de movimiento e impulso

Una pelota golpea una pared

287

Suponga que lanza una pelota de 0.40 kg contra una pared, la cual gol-pea movindose horizontalmente hacia la izquierda a 30 mfs, ~botando horizontalmente a la dcrecha con rapidez de 20 mis. a) Calcule elimpulso de la fuerza IlCta sob~ la pelota durante el cboque. b) Si lapelota esI en contacto con la pared durante 0.010 s. calcule la fuerzahorizontal media que la pared ejerce sobre la pelola duramc el impacto.

E!l!!m:DIDENTIFICAR: Nos dan suficiente informacin para determinar losvalores inicial y final de la cantidad de movimiemo de la pelota, asique podemos usar cl tcorema del impulso y la camidad dc movi-mienlO para calcular el impulso. Luego, usaremos la definicin deimpulso para determinar la fuerza media.

PLANTEAR: El movimienlO es punlmente horizontal, as que slonecesitamos un eje. Tomaremos la horizontal como el eje x, con ladireccin positiva a la derecha (Fig. 8.3). La incgnila en la pane(a) es la componenle x del impulso. Jr que obtendremos de lascomponentes:( de la cantidad de movimiento antes y despuCs delimpacto, empleando las ecuaciones (8.9). En la pane (b). la incg-nita es la eomponanexmedia de la fuerza. (F->..; una vez que co-nozeamos J~, podremos obtener esa fuerza utilizando lasecuaciones (8.9).EJECUTAR: a) Con el eje x que escogimos, las componentes x ini-cial y final de la cantidad de movimiento de la pelota son

PI~ o: mUb = (0.40 kg)( -30 mis) = ~ 12 kg' mIsPb. = mUh = (0.40kg)(+20mls) = +8.0kgmfs

Por la ecuacin paro.T de las ecuaciones (8.9), la componcnte.T delimpulso es igual al cambiQ cn la componente x de la cantidad demovimiento:

J~=I>;;..-Plx= 8.0 kg' mIs - (- 12 kg' mIs) = 20 kg' mis = 20 N' s

b) El choque dura 12 - 1I - lJ.! - 0.010 s. Por la ecuacin para x dclas ecuaciones (8.9),J~:(F""",)i12 - ti) - (F

288 e A P TUL o 8 I Cantidad de movinento. impulso y choques

(a) Choque de corta duracin,fuerza mxima grande

ta es ms blanda, como una de tenis, el choque dura ms tiempo yla fuerza mxima es menor, como en la curva (b). En ambos casos,e! impulso es el mismo: es igual al cambio en la cantidad de movi-miento de la pelota. Por la ecuacin (8.7), sabemos que el impulsoes la integral de la fuerza con respecto al tiempo, 10 que implica que elrea bajo las dos curvas de la figura 8.5 es la misma.

(b) Choque de larga durncin,~,.,.~fuerza mJ - vlJ= (0.40 kg)[21.2 mIs - (-20 mis) ] = 16.5 kg' mIs

l). = Ply - PI)' = m(v1)' - VI)')= (0.40 kg)(21.2 mis - O) = 8.5 kg' mIs

Las componentes de la fuerza neta media sobre el baln son

J,(Frncd )). = - = 850 No/

2?Omf'~~_f;'1ul=10m/s~J

(o) (b)

8.6 (a) Baln de ftbol soccer (1) antes y (2) despus de ser pateado. (b) Clculo de lafuerza media a partir de sus componentes.

8.2 I Conservacin de la cantidad de movimiento 289

La magnitud y direccin dc la fuerza media son

F,,,,,,, = V(1650N)2 + (850N)2 = 1.9 X 10'N850 N() = arctan --- = 271650 N

donde () se mide hacia arriba desde el eje +x (Fig. 8.6b). Observe que,como el baln no estaba inicialmente en reposo, su velocidad final notiene la misma direccin que la fuerza media que acta sobre l.

EVALUAR: La fuerza neta media Fme

290 CA PfTU LO 8 I Cantidad de movimiento, impulso y choques

las dos partculas son iguales y opuestos, y los cambios de cantidad de movimien-to de las dos partculas sern iguales y opuestos.

Repasemos esto con ciertos tnninos nuevos. En cualquier sistema, las fuerzasque las partculas del sistema ejercen entre s Sli denominan fuerzas internas; las ejer-cidas sobre cualquier parte del sislema por algn objeto externo son fuc!zas externas. En el sistema que hemos descrito, las fuerzas internas son FBdnA,ejercida por la partcula B sobre la A, y FA ........ 8 ejercida por la partcula A sobrela B (Figs. 8.7b, e). No hay fuerzas externas, as que tenemos un sistema aislado.

La fuerza neta sobre la partcula A es FB ..,breA Ysobre la partcula a, FA ..obre B,por la ccuacin (8.3), las razones de cambio de la cantidad de movimiento de am-bas particulas son

(8.10)

(8.12)

(8.13)

6.3

6.76.10

AetvPhyscsConservacin de la cantidadde movimiento y choquesProblemas de explosinPndulo persona-proyectil,boliche

La cantidad de movimiento de cada partcula cambia, pero estos cambios noson independientes; segn la terceru ley de Ncwton, F85b:A = -FASA>btoB' asiFB lObn:. A + FA sOO

8.2 I Conservacin de la canlidad de movimiento

(o)y )'I I

nA nB

,-,

B_A AMbeB

-, ",(b) (o)

291

8.8 (a) Dos patinadores se tocan mientraspatinan en una superficie horizontal sinfriccin. (b) Diagrama de cuerpo libre delpatinador A. (c) Diagrama de cuerpo libredel patinador B. Las fuerzas normales ygravitacionales son fuerzas externas, perola suma vectorial de ellas es cero y la can-tidad total de movimienlo se conserva.(Comprese con la figura 8.7.)

Podemos generalizar este principio para un sistema con cualquier nmero departculas A, B, e, ... que slo interactan entre s. La cantidad de movimiento to-tal del sistema es

Si la suma vectorial de las fuerzas elrternas sobre el sistema es cero, entonces p...P, y P, son constantes.

Nuestro argumento es el mismo: la razn total de cambio de la cantidad de mo-vimiento del sistema debido a cada par accin-reaccin de fuerzas internas es ce-ro. As, la razn total de cambio de la cantidad de movimiento del sistema es cerosiempre que la resultante de las fuerzas externas que actan sobre l es cero. Lasfuerzas internas pueden cambiar las cantidades de movimiento de las particulas in-dividuales del sistema, pero no la cantidad de movimiento tolal del sistema.

1l:!llJIlRll!1AI aplicar la conservacin de la cantidad de movimiento a un siste-ma, es indispensable recordar que la cantidad de movimiento es una cantidadvectorial. Por tanto, debemos usar suma vectorial para calcular la cantidad demovimiento total de un sistema (Fig. 8.9). Por lo regular, el empleo de compo-nentes es el mtodo ms sencillo. Si Pb>P,. YP~~ son las componentes de la can-tidad de movimiento de la partcula A. y similarmente para las dems partculas,la ecuacin (8.14) equivale a las ecuaciones de componentes

(cantidad de movimientototal de un sistema departculas)

Px = P.u + Plh + .

P, = p"" + pBy + .

P: = PAz + PB:. + .

(8.14)

(8. )5)

p,

PA- 18tgmJsPs=24kgmJs

(.)

INC~O P=PA+PB=42tgmJs(b)

p,

coVero p, k?'P, + P'P=lPA+jisl

=30kgmlsaB=37"

(o)

8.9 (a) Sistema de: dos pamculas. Obserreque sus cantidades de movimiento noapuntan en la misma direccin. (b) Lamagnitud de la cantidad de movimiento lO-tal no es la suma de las magnitudes de lascantidades de movimiento indhidualc:s.. leLa forma correcta de obtener la c:amidadde movimiento tOlal es por SUIIl;Ilo~

292

Estrategia pararesolver problemas

CAPTULO 81 Camidad de movimiento. impulso y choques

En cienos aspectos, el principio de conservacin de la cantidad de movimien-10 es mas generol que el de conservacin de la energa mecnica. Por ejemplo, laenerga mec:inica se conserva slo si las fuerzas memas son conservativas--esdecir, si penniten la conversin bidireccional entre energa cintica y energa po-tencial- pero la conservacin de la cantidad de movimiento es vlida aun si estono se cumple. En este captulo, analizaremos situaciones en las que se conservantanto la cantidad de movimiento como la energa mecnica, y otras en que slo lacantidad de movimiento se conserva. Estos dos principios desempean un papelfundamental en todas las reas de la fisica, y los encontraremos dumnte todo nues-tro estudio.

Conservacin de la cantidad de movimiento

IDENTIFICAR los conccplos perrincnles: Antes de aplicar laconservacin de la cantidad de movimienlo a un problema. de-bemos decidir si la cantidad de movimiento se cOll5en'a. Estoslo es cierto si la resultante de las fuerzas e.",temas que actansobre el sistema de panculas es cero. Si no es as. no podemosusar la conservacin de la cantidad de movimiento.

PLANTEAR el problema siguiendo estos pasos:l. Defina un sistema de eoordcnadas. Dibuje los ejes, indio

cando la direccin positiva en cada uno. Suele ser mis fcilescoger el eje x en la direccin de una de las velocidadesiniciales. Asegurese de usar un marco de referencia iner-cial. Casi todos los problemas del captulo tratan situacic>-nes bidimensionales, donde los vectores slo tienencomponentes x y y; todo lo que sigue puede generalizarsepara incluir componentes z si es necesario.

2. Trate cada cuerpo como pancula. Haga dibujos de "an-tes" y "despus", incluyendo vectores para representar to-das las velocidades conocidas. Rotule los vectores conmagnitudes, ngulos, componentes y dems infonnacin da-da, asignando simbolos algebraicos a las magnitudes, ngulos o componentes desconocidas. Suele ser eonvenicntcusar los subndices I y 2 para las velocidades antes y des-pus de la interaccin, respectivamente; si los usa, use leITaS (00 nmeros) para rotular las partculas.

3. Como siempre. identifique Ia(s) incgnita(s) de las varia-bles desconocidas.

EJECUTAR la solucin como sigue:l. Escriba una ecuacin en trminos de smbolos, igualando

la componente x total inicial de la cantidad de movimien-to (o sea, antes de la interaccin) con la componente x 10'talfinal (despus de la interaccin), usando Px - mu. paracada partcula. Escriba otra ecuacin para las componen-tes y, usando Py - muy para cada pancula. Recuerde quelas componentes x y y de velocidad y la canlidad de movi-mienlo nunca se suman en la misma ecuacin. Aun si Ic>-das las velocidades estn alineadas (digamos, sobre el ejex). las componentes de velocidad en esta lnea pueden serpositivas o negativas: icuidado con los signos!

2. Resuelva estas ecuaciones para delenninar los resultadosrequeridos. En algunos problemas, tendr que convenirlas componentes de una velocidad a su magnitud y direc-cin, o viceversa.

3. En algunos problemas, las consideraciones de energia danrelaciones adicionales entre las diversas velocidades, co-mo veremos ms adelante.

EVALUAR /0 respuesta: Es lgica fisicamente la respuesta? Si laincgnita es la cantidad de movimiento de un cuerpo dado, verifi-que que la direcci60 de la cantidad de D'IO'IIimiento sea razonable.

Ejemplo8.4 Retroceso de un rifle

Un tirador sostiene holgadamente un rifle de masa mR = 3.00 kg, afin de que pueda retroceder libremente al hacer un disparo. Dispa-r.! una bala de masa mil" 5.00 g con una velocidad horizontal rela-lva al suelo de UB~ 300 mis (Fig. 8.10). Qu velocidad derelTOCeso URx tiene el rifle'] Qu cantidad de movimiento y energacintica fmales tiene la bala? El rifle?

llil!!I3mIDENTIFICAR: Considcramos un modelo idcalizado en el que lasfuerzas horizontales que el tirador ejerce sobre el rifle son insigni-ficantes, asi que no hay fuerza horizontal neta sobre el sistema (ba-la y rifle) durante el disparo, y la cantidad de movimientohorizonlallolal del sistema es la misma antes y despues del disparo(se consel"\'lI).

8.2 I Conservacin de la canlidad de movimiento 293

PLANTEAR: Sea el eje +.r la direa:in en que apunta el rifle. Ini-cialmente, el rifle y la bala esln en reposo, as que la componentex inicial de la cantidad de movimiento lotal es cero. Una vez dispa-rada la bala, su componente.r de cantidad de movimiento es p& ma.V1In Y la del rifle, PRx '" mrt.Va.r Las incgnitas son UR. fJB., Pb>Ka '" !ma(la..1 y Kx = ~'RtlJUl (las energas cinticas finales de labala y el rifle, respectivamente).

UIIz '" 300 mis---..~ .,mB" 5.00g

8,10 La razn de la rapidez de la bala y la rapidez de retroceso esel in\'erso dc la razn dc la masa de la bala y cl rifle.

EJECUTAR: La conservacin de la componente x de la cantidad demovimiento lotal da

Px = O= mBuBx + mRvlt>.m. (0.00500 kg)[IR< = --v llr = - 300 (300 mis) = -0.500 mIsmR kg

El signo negativo implica que el retroceso es en la direccin opues-ta a In de la bala. Si una culata con esta rapidez golpeara el hombro.usted 10 sentirla. Ese es el "culatazo" (retroceso) del rifle. Es mscmodo apoyar bien el rifle: en el hombro al dispararlo; as, mR essustituida por la suma de su masa y la del rifle, y la rapidez de re-troceso es mucho menor.

La cantidad de movimiento y la energia cintica de la bala al finalson

Pb:::mBv!lJ:= (0.OO500kg)(300mls) = l.50kgmJs

KB ::: ~mBVa.. ~ = ~(0.005OO kg)(300 misP = 225 JPara el rifle, la cantidad de movimiento y la energia cintica fmales son

PRx = mxulU = (3.00 kg) (-0.500 mis) ::: -1.50 kg mis

KR ::: ~mRUR/ = ~(3.00 kg)( -0.500 m/sF = 0.375 J

EVALUAR: La bala y el rifle tienen cantidades de movimiento igua-les y opuestas despus de la interaccin porque se sometieron afuerzas iguales y opuestas durante el mismo tiempo (o sea, impul-sos iguales y opuestos). La bala adquiere una energia cintica mu-cho mayor porque viaja una distancia mucho ms grande que elrifle durante la interaccin. Por ello, la fuerza que acta sobre la ba-la realiza mucho ms trabajo que la fuerza que acta sobre el rifle.El cocicnte de las dos energias cinticas, 600: 1, es igual al inversodel cociente de las masas; de hecho, puede demostrarsc que estosiempre sucede en situaciones de retroceso. Dejamos la demostracin como problema (ejercicio 8.21).

Observe que d caJculo no depende de los detalles del funciona-miento del rifle. En un rifle real, la bala es impulsada por una caIgaexplosi\'3; si en vez de ello se usara un resane muy rigido para im-panirle la misma velocidad, las respuestas serian idnticas.

Ejemplo8.5 Choque en lnea recta

(b)

8,11 Dos deslizadores (a) antes y (b) despus de chocar.

o

8

U"2< - 2.0 mis

-~,

(.)O

V"lx: 2.0 mis VSlx " -2.0 mis

- -

Dos deslizadores se acercan uno al otro sobre un riel de aire sinfriccin (Fig. 8.1Ia). Despus de chocar, el deslizador B se alejacon velocidad final de +2.0 mfs (Fig. 8.11 b). Qu velocidad finaltiene el deslizador A? Compare los cambios de la cantidad de mo-vimiento y velocidad de los dos deslizadores.

PLANTEAR: Tomamos el eje x sobre el riel, con la direccin posili.va a la derecha. os dan las masas y las velocidades iniciales de losdos deslizadores, as como la velocidad final dd deslizador B.0/ase la Fig. 8.11), Las incgnitas son V~ la componente x finalde la velocidad del deslizador A, y los cambios en la cantidad demovimiento y la velocidad de los dos deslizadores (es decir, el va-lor despus del choque menos el valor antes del choque).

lE!!tm1lIIDENTIFICAR: La fuerza venical neta sobre los deslizadores es ce-ro; la fuerza neta sobre cada uno es la fuerza horizontal que cadadeslizador ejerce sobre el otro. La fuerza exlemtJ neta sobrt; los dos des-lizadores juntos es cero, asi que la cantidad de movimiento total seconserva.

294 CA PfTU LO 8 1 Cantidad de movimiento, impulso y choques

El cambio de la cantidad de movimiento del deslizador A es

Despejando ti.ll., la velocidad final de A. tenemos

/Il,4t/A2< - /Il,4U,4lx == (O.sOkg)( -0.40 mis)- (0.50kg)(2.0mls) == -1.2kgnls

EVALUAR: Por qu los cambios de la cantidad de movimiento tie-nen la misma magnitud para los dos deslizadores, no as los cam-bios de velocidad? Por la tercera ley de Newton, sobre ambosdeslizadores actu una fuerza de interaccin de la misma magnituddurante el mismo tiempo; por tanto, ambos deslizadores experi-mentaron impulsos de la misma magnitud, as como cambios de lamisma magnitud en la cantidad de movimiento. Sin embargo. por la se-gunda ley de Newton, el deslizadar con menos masa (8) tuvo mayormagnitud de aceleracin (y por ende el cambio de velocidad).

Cuando una vagoneta choca con un automvil de tamao nor-mal. ambos vehculos sufren el mismo cambio en su cantidad demovimiento. Sin embargo, los ocupantes del automvil se sometena una aceleracin considerablemente mayor (y una probabilidadconsiderablemente mayor de sufrir lesiones) que los de la vagone-ta. Un ejemplo aun ms extremo es lo que sucede cuando una vago-neta choca con un insecto: el conductor no notarl la aceleracinresultante, pero el insecto s!

Los dos deslizadorcs interactuando sufren cambios de cantidad demovimiento iguales en magnitud y opuestos en direccill, pero loscambios de velocidad nQ son iguales y opuestos. Para A, tiA2J - tiAl