CAPITULO I - Definicion de la...

CAPITULO I

Fundamentos de Estadística

Objetivo

Reconocer los procesos estadísticos básicos, así como las

diferentes representaciones de datos.

Contenido

Panorama general

¿Qué es la estadística?

Estadística Descriptiva e Inferencial

Variables, datos y su medición

Representación tabular y gráfica de los datos

Ejercicios

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Estadística – Mtro. Ccs. Tom Cahuich 2

1.1 PANORAMA GENERAL

1.1.1 Utilidad e Importancia

En años recientes, el desarrollo de la estadística se ha hecho sentir en casi todas las fases de la

actividad humana. Esto cubre un terreno considerable puesto que nos encontramos con

incertidumbres cuando lanzamos una moneda, cuando un dietista experimenta con aditivos

para los alimentos, cuando un actuario determina las primas para el seguro de vida, cuando un

ingeniero de control de calidad acepta o rechaza productos manufacturados, cuando un

profesor compara las habilidades de los estudiantes, cuando un economista pronostica

tendencias, cuando un periódico predice una elección, y así sucesivamente.

La estadística es el lenguaje universal de la ciencia, tanto en sus ramas físicas como sociales.

La estadística es también un instrumento que, utilizado con cuidado y precisión, nos permite

describir nuestros resultados y adoptar decisiones respecto a lo que nos dicen. En la vida diaria

actual y cada vez con mayor frecuencia, el ciudadano común tiene que interpretar resultados

que exige de él una mayor habilidad para entender tales divulgaciones. Un conocimiento

básico de la estadística es esencial para comprender algunos reportes periodísticos, informes

televisivos, artículos de investigación o textos científicos. Los conocimientos y la formación

que se pueden obtener de un curso de estadística, llega a ser entonces una herramienta

poderosa en la formación del individuo.

1.1.2 Método Científico

El método científico (En realidad, este tema pertenece al ámbito de la materia de Métodos de

Investigación, sin embargo, presentaremos solo una introducción a este tema, pues la parte

medular de tal procedimiento queda fuera de este curso), es un proceso que se lleva a cabo

para realizar una investigación y consta de ciertos pasos, donde algunos autores difieren un

poco, pero en su mayoría, convergen en ciertos pasos claves.

Dentro de los pasos de este proceso, se encuentra inmersa nuestra materia de estudio, la

estadística.

Los pasos más importantes que lleva el método científico son los siguientes:

1. Planteamiento del problema: Aquí deben especificarse de manera clara, la(s)

pregunta(s) que se debe(n) responder (Formulación de hipótesis). Los conceptos que

se utilizarán deben ser precisos, y deben definirse límites adecuados al problema, por

razones de tiempo, dinero disponible y habilidad de los investigadores. En resumen, es

vital saber lo que se quiere medir y dónde.

2. Diseño del experimento: Se desea obtener un máximo de información empleando un

mínimo de costo y tiempo. Esto implica entre otras cosas, tamaño de la población,

muestra, cantidad de datos, métodos de muestreo, herramientas estadísticas, etc.

3. Recolección de la información: Si es encuesta, si es directa o indirecta, si es

cuestionario, si es por teléfono o por correo, si es simple pregunta, si es de archivo, si


los datos están en el INEGI, si están en los almanaques, si están en la computadora,

etc.

4. Análisis de los datos: Etapa donde los datos se enlistan en forma legible y se ilustran

mediante representaciones gráficas (diagramas, gráficas de barras, etc); además se

calculan medidas descriptivas, se hacen estimaciones y pruebas de hipótesis.

5. Conclusiones: A partir de los resultados de los análisis, se toma la conclusión a la

investigación y al problema en general.

Estos pasos se ilustran en la siguiente figura:

Proceso del Método Científico en la investigación.

Cabe señalar que el proceso del método científico es cíclico, ya que a partir de una conclusión,

se puede empezar otro estudio diferente.

MÉTODO

CIENTÍFICO

Diseño del Experimento ¿Qué individuos pertenecen al estudio? (Poblacións)

Fumadores y no fumadores en edad laboral

Criterios de exclusión ¿cómo se eligen? (Muestras)¿descartamos a los que

padecen enfermedades crónicas?

¿Qué datos necesitamos recolectar? (Variables)

Número de bajas

Tiempo de duración de cada baja

¿Sexo? ¿Sector laboral? ¿Otros factores)

Recolección de la información ¿Azar? ¿Sistemático? ¿Estratificado? (Muestreo)

Análisis de los datos ¿Qué tipo de gráficas me convienen? (Descriptivo)

Barras, pastel, histogramas, etc.

Estudio analítico (Inferencia)

Estimación de parámetros

Prueba de hipótesis

Conclusiones Estadísticas Rechazar hipótesis.

Intervalos de confianza.

Potencia de la prueba.

Conclusiones Con respecto a la población (Inferencia)

Los fumadores están de baja al menos 10 días/año más de media

que los no fumadores.

Planteamiento del Problema Los fumadores tienen “más bajas” laborales que los

no fumadores. (Hipótesis)

En que sentido? ¿Mayor número?

¿Tiempo medio?


1.2 ¿QUÉ ES LA ESTADISTICA?

1.2.1 Definiciones

Cuando se empieza a trabajar con números en el proceso de investigación o se les cuantifica,

el investigador se mete dentro del mundo de la estadística. Y como observaremos en la

definición de estadística que ha continuación daremos, la estadística es una herramienta

importante en el proceso del método científico. De hecho están ligadas enormemente ya que

comprende la mayoría de los pasos ahí expuestos.

La palabra “estadística” posee significados diversos para personas de formaciones e intereses

distintos. De hecho con las definiciones siguientes uno se dará cuenta que han evolucionado

con el tiempo.

Enseguida escribimos algunas definiciones de estadística:

Achenwall (1749): Es la ciencia del estado que se ocupa de la riqueza individual, y

contiene el conocimiento básico de las verdaderas posibilidades de una sociedad

burguesa.

Rioja (1858): Es el arte de describir todos los objetos en razón de sus cualidades, y en

el rigor del término, es una lógica descriptiva. Es un conocimiento razonado de las

normas generales a investigar, de las fuentes a que recurrir, de los síntomas a

reconocer, de los principios a juzgar, y de los usos a que sirven los elementos relativos

al estado de las naciones.

Willcox (1934): Es el estudio numérico de grupos o masas a través del estudio de las

unidades que los componen, ya sea que estas unidades sean humanas o subhumanas,

animadas o inanimadas.

Waugh (1956): Es un conjunto de métodos aplicables a datos numéricos que conducen

a inferir hechos concretos inherentes a los datos.

Byrkit (1987): Es la ciencia, y arte de clasificar y organizar los datos para hacer

inferencias.

Mendenhall y Sincich (1994): Es la ciencia de los datos. Esto implica, recolección,

clasificación, organización, análisis e interpretación de los datos.

Brase & Brase (1995): Es la ciencia de la recopilación, clasificación, presentación e

interpretación de datos.

Naiman, Rosenfeld y Zirkel (1996): Es el estudio de colecciones de números para (1)

describirlos exacta y consistentemente y (2) obtener inferencias válidas de ellos.

Diccionario Larousse Ilustrado (1997): Ciencia cuyo objeto es reunir una información

cuantitativa concerniente a individuos, grupos, series de hechos, etc., y deducir de

ella, gracias al análisis de estos datos, unos significados precisos o unas previsiones

para el futuro.

Otros autores tienen definiciones semejantes a las anteriores, pero de alguna forma todos

convergen a una misma idea:


1.2.2 Otras definiciones importantes

En estadística existen ciertas definiciones que son necesarios conocer. Estos términos son muy

importantes ya que serán de uso frecuente en este curso, a continuación enlistamos ciertas

definiciones.

Población (universo): Conjunto total de elementos que comparten una cierta característica y

acerca de los cuales nos interesa hacer una investigación. Generalmente la población queda

determinada al querer contestar una cierta pregunta o querer resolver un determinado

problema.

Ejemplos:

Alumnos de una clase de Psicología.

Piezas de TV en la compañía Sony.

Población del país de México.

Libros de una biblioteca.

Enfermos de un hospital.

Individuo: Cualquier elemento que aporte información sobre el fenómeno que se estudia.

Ejemplos:

Si hacemos una investigación sobre la altura de los niños de una clase, cada niño es

un individuo.

Si hacemos una investigación sobre el precio de la vivienda, cada vivienda es un

individuo.

Muestra: Es un subconjunto de la población que se selecciona para su análisis, a partir del

cual se pretenden extender ciertas propiedades a toda la población. Las muestras deben

estructurarse de tal manera que represente a la población (la totalidad), y para resolver este

problema de representatividad se hace uso de la aleatoriedad (implica hecho al azar, es un

proceso no determinístico donde cada individuo tiene la misma probabilidad de ser elegido)

Ejemplo:

Producción diaria de piezas de plástico (25000), observación de 100 de ellas a lo

largo del día (muestra) contando el número de defectos/pieza.

Ciencia que trata de la recopilación, organización, presentación de los datos referentes

a un fenómeno que presenta variabilidad o incertidumbre para su estudio metódico, con

objeto de deducir las leyes que rigen esos fenómenos y poder de esa forma hacer

previsiones sobre los mismos, tomar decisiones u obtener conclusiones.


Estadístico: Propiedad descriptiva de la muestra, que a su vez es una estimación del

parámetro de la población.

Ejemplo:

Media de la muestra.

Varianza de la muestra.

Desviación estándar de la muestra.

Parámetro: Propiedad descriptiva de la población, se puede estimar a través de un estadístico,

cuando no se conoce.

1.3 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ESTADÍSTICA INFERENCIAL

1.3.1 Definiciones

Retomemos un momento la definición de estadística que hicimos anteriormente.

Como se puede ver la estadística se divide en tres campos muy importantes: en Descriptivo,

Probabilística e Inferencial. El campo de Probabilidad es bastante amplio el cual se merece

toda una materia de estudio, por lo cual aquí solamente daremos las leyes que lo rigen. Las

que estudiaremos más profundamente son la estadística descriptiva y la inferencial.

Ciencia que trata:

1. Recopilación, organización, presentación de

los datos referentes a un fenómeno que

presenta variabilidad o incertidumbre para su

estudio metódico, con objeto de

2. deducir las leyes que rigen esos fenómenos,

3. y poder de esa forma hacer previsiones sobre

los mismos, tomar decisiones u obtener

conclusiones.

DESCRIPTIVA

INFERENCIA

PROBABILIDAD


Para una mayor comprensión las explicamos en el siguiente diagrama.

Las dos grandes ramas de la estadística, descriptiva e inferencial.

Población

Muestra

Muestreo

Estadístico

Se

calcula

Parámetro Se desea

conocer

Estimación

Estadística Inferencial: Los métodos que

posibilitan la estimación de una

característica de una población o la toma

de una decisión concerniente a una

población, tan sólo con base en los

resultados de un muestreo.

Estadística Descriptiva: Los métodos que

implican la recolección, presentación y

caracterización de un conjunto de datos a

fin de describir en la forma apropiada las

diversas características de ese conjunto de

datos.

ESTADÍSTICA


1.4 VARIABLES, DATOS Y SU MEDICIÓN

1.4.1 Introducción

Para que el investigador, pueda hacer un estudio estadístico, necesita definir primero la

variable de estudio, y de ellos obtener los datos. Por ello, la recolección correcta de datos es

de extrema importancia. Si los datos carecen de sustancia debido a prejuicios, ambigüedades u

otros tipos de errores, todos los instrumentos seleccionados por el investigador, por muy

sofisticados o refinados que sean para modelar sus datos, quizá no resulten de gran utilidad

para la solución final de un problema.

Por tanto, la materia prima manejada por el investigador son las variables, que son los

fenómenos de interés o características de la población, cuyos resultados observados se

conocen como datos y pueden diferir entre las respuestas.

1.4.2 Variables

La información se concentra en el siguiente diagrama:

Diagrama acerca de la clasificación de las variables.

Variables

Cualquier propiedad o característica que

se desea medir en el objeto de estudio

Discretos

Si toma valores

enteros

(Número de

cumpleaños,

Número de

hijos, Número

de escuelas)

Continuos

Si entre dos

valores, son

posibles

infinitos valores

intermedios

(Altura, Presión

intraocular,

Dosis de

medicamento

administrado).

Nominales

Si sus valores

no se pueden

ordenar (Sexo,

Grupo

Sanguíneo,

Nacionalidad,

Partid Político)

Ordinales

Si sus valores se

pueden ordenar

(Mejoría a un

tratamiento,

Grado de

satisfacción,

intensidad de

dolor)

Variables cualitativas

También se les llama categóricas y son

aquellas que toman valores que son

atributos o cualidades

Ejemplos: Sexo, color, preferencia

política, estado civil, etc.

Variables cuantitativas

También se les llama numéricas y son

aquellas que asignan números a las

características de los elementos bajo

estudio.

Ejemplos: Altura, peso, distancia,

volumen, número de hijos, etc.


1.4.3 Datos

Datos: Conjunto de valores recolectados a partir de la variable de interés, por cada elemento

perteneciente a la muestra. Por lo tanto tiene la misma clasificación.

Ejemplos:

Si se esta investigando la altura (variable) de los estudiantes, entonces los datos son,

1.71 m, 1.68 m, etc.

Si se esta investigando las preferencias políticas (variable), entonces los datos son,

PAN, PRI, PRD, etc.

1.4.4 Niveles de medición de los datos

Los datos se clasifican de acuerdo a su nivel de medición.

Diagrama de la clasificación de los datos de acuerdo a su medición.

En la siguiente tabla se dan algunos ejemplos:

NIVEL EJEMPLO DESCRIPCIÓN

Nominal

Autos de estudiantes:

10 Corvettes

20 Ferraris

40 Porsches

Sólo categorías o nombres.

Ordinal

Coches de estudiantes:

10 compactos

20 medianos

40 grandes

Se determina un orden con “compactos,

medianos, grandes”

De intervalo

Temperaturas en el campus:

45o C

80o C

90o C

90oC no es dos veces más caliente que 45oC.

Tampoc 0° C no quiere decir que no existe

temperatura

De razón

Pesos de futbolistas universitarios:

70 kg

85 kg

140 kg

140 kg es dos veces de 70 kg. Y también 0 kg

significa que no existe peso.

Nominal

Los datos de la

variable sólo se

diferencian

Ordinal

Los datos de la

variable se

diferencian y se

ordenan

Razón / Proporción

Los datos tiene

distancias iguales

entres ellos, pero el

cero no es arbitrario

Intervalo

Los datos de la variable

tienen distancias iguales

entre ellos, pero el cero

es arbitrario

Para datos

cualitativos

Para datos

cuantitativos


1.5 REPRESENTACIÓN TABULAR Y GRÁFICA DE LOS DATOS

1.5.1 Utilidad e Importancia

Cuando los datos son obtenidos, se descubre que es muy difícil obtener información de él,

analizarlos e interpretarlos. Sin embargo cuando los datos se transforman en algo más

descriptivo por medio de tablas, gráficas o medidas, como promedios o porcentajes,

encontramos menos problemas para manejar la información.

En casos donde la cantidad de datos es pequeño quizás no represente ningún problema, usted

se divertiría con ellos, haciendo diferentes estudios. Sin embargo, ¿qué sucedería si los datos

fueran 1500 ó 10000? No es fácil ni agradable contar, ¡y menos números! Entonces, esto

plantea una simple dificultad: conteo. ¿Cómo hacerlo sin que sea mortificante?

1.5.2 Representación tabular de datos

Una manera de describir el comportamiento de los datos, es construir una distribución de ellos,

llamada distribución de frecuencias. Ahora bien, ésta es un arreglo tabular que permite

identificar las repeticiones u ocurrencias de los datos provenientes de alguna variable

analizada.

Es una tabla de resumen en la que los datos se disponen en agrupamientos o categorías

convenientemente establecidas de intervalos ordenados numéricamente. Cuando las

observaciones se agrupan o condensan en tablas de distribución de frecuencia, el proceso de

análisis e interpretación de los datos se hace mucho más manejable y significativo. Una tabla

de distribución de frecuencia puede estar constituida por los siguientes elementos:

Intervalos: También llamados clases. Si la variable es cualitativa, las categorías son

cada uno de los valores o grupos de valores de una variable utilizados para agrupar los

datos. Cuando la variable es cuantitativa, el intervalo es cada valor o dos valores

límites utilizados para agrupar los datos.

Límite inferior: Denotada como Linf. En el caso de variables cuantitativas, es el valor

más pequeño que puede tomar el intervalo.

Límite superior: Denotada como Lsup. En el caso de variables cuantitativas, es el valor

más grande que puede tomar el intervalo.

Amplitud del intervalo: Denotada como A. Es la diferencia entre el los límites

inferiores de intervalos secuentes.

Punto medio de clase: Denotada como xc. Se puede calcular de la siguiente forma:

xc =

2

supinf LL .

Frecuencia o frecuencia absoluta: Denotada por f o fabs, es el número de veces que se

repite un dato, un valor de variable o una condición especifica de la distribución de

frecuencias, en este caso, un intervalo o una categoría.


Frecuencia relativa: Denotada como frel. Se puede calcular de la siguiente manera:

n

f

n

ff abs

rel

donde n es el tamaño de la muestra. Si fuera N, sería el tamaño de la población.

Frecuencia porcentual: Denotada como f%. Es más fácil de analizar e interpretar que

la frecuencia relativa, y se calcula de la siguiente manera:

)100()100()100(%n

f

n

fff abs

rel

Frecuencia acumulada: Puede calcularse, sumando la frecuencia acumulada anterior

con la frecuencia actual.

Frecuencia acumulada relativa: Puede calcularse, sumando la frecuencia acumulada

relativa anterior con la frecuencia relativa actual.

Frecuencia acumulada porcentual: Puede calcularse, sumando la frecuencia

acumulada porcentual anterior con la frecuencia porcentual actual.

Muchos prefieren solamente la frecuencia absoluta y la frecuencia porcentual, con sus

respectivas acumuladas, como lo maneja el complemento de StatPlus de Microsoft Excel.

Pasos para la elaboración de una tabla de distribución de frecuencias

Paso 1: Decida cuántos intervalos contendrá su tabla de distribución frecuencia.

Paso 2: Determine la amplitud del intervalo, restando el dato mayor y menor y luego

dividiendo el resultado entre el número de intervalos que se necesitan.

Paso 3: Seleccione como límite inferior del primer intervalo, ya sea el dato más

pequeño o un dato convenientemente un poco menor que el dato más bajo.

Paso 4: Sume la amplitud del intervalo al punto de partida para obtener el límite

inferior del segundo intervalo. Sume la amplitud del intervalo al límite inferior del

segundo intervalo para obtener el del tercero, y así sucesivamente.

Paso 5: Enumere los límites de los intervalos inferiores en una columna vertical y

anexe otra columna para los límites superiores. Escribir los límites superiores.

Paso 6: Represente intervalo con el punto medio del intervalo (xc) apropiado, y luego,

determine la frecuencia total de cada intervalo en la siguiente columna.

Paso 7: Forme una columna donde se representen las frecuencias acumuladas de cada

intervalo.

Paso 8: Forme una columna donde se representan las frecuencias relativas o en su

caso, porcentuales.

Paso 9: Forme una columna donde se representen las frecuencias acumuladas

relativas o en su caso frecuencias acumuladas porcentuales.


Ejemplo: A continuación se dan los resultados de los tiempos (en minutos) invertidos al

contestar una prueba estandarizada de conocimientos generales por 80 estudiantes de sexto

grado de primaria:

26 29 24 23 22 26 24 23 28 21 27 27 22 29 22 27

22 30 24 23 24 29 30 24 25 28 23 26 23 21 28 35

17 23 27 27 27 23 24 23 22 26 23 24 26 23 24 23

21 22 25 24 29 23 27 26 22 23 27 22 24 32 21 24

27 30 24 21 33 18 28 29 26 27 21 23 25 26 25 31

Notamos que los datos son variables cuantitativos discretos, y por lo tanto, la tabla de

frecuencia de los mismos datos, es el siguiente:

Intervalos Frecuencias

absolutas

Frecuencias

relativas Frecuencia porcentual

Límite

inferior

Límite

superior

Punto

medio

de la

clase

Simple Acumulada Simple Acumulada Simple Acumulada

15 17 16 1 1 0.0125 0.0125 1.25 % 1.25 %

18 20 19 1 2 0.0125 0.0250 1.25 % 2.5 %

21 23 22 28 30 0.3500 0.3750 35 % 37.5 %

24 26 25 24 54 0.3000 0.6750 30 % 67.5 %

27 29 28 19 73 0.2375 0.9125 23.75 % 91.25 %

30 32 31 5 78 0.0625 0.9750 6.25 % 97.5 %

33 35 34 2 80 0.0250 1 2.50 % 100 %

1.5.3 Representación gráfica de los datos

Existe un viejo dicho que dice que “un dibujo vale por mil palabras”. Los estadísticos han

empleado técnicas gráficas para describir con más vivacidad conjuntos de datos. Existen

varios tipos de gráficas para estudiar los datos. El método que se utilice estará determinado por

el tipo de datos y lo que se quiere encontrar.

Si la variable analizada es cualitativa, existen gráficas específicas para ella, como los

diagramas de barras, las gráficas de pastel y hasta los pictogramas. Mientras que para una

variable cuantitativa, sus representaciones gráficas más usuales, serán los histogramas, los

polígonos de frecuencia, las ojivas, tallo y hojas, Box Plot (caja), etc.

1.5.3.1 Gráfica de barras

Las gráficas de barras son las representaciones de las más utilizadas, por su capacidad para

adaptarse a numerosos conjuntos de datos, y requieren solo del conteo del número de

elementos o individuos que caen dentro de cada intervalo o que tienen determinada

característica. Estas gráficas son particularmente importantes, porque permiten hacer

comparaciones entre los diferentes valores de una variable, y se emplean para distribuciones

tanto de variables estadísticas como de categóricos.


Pasos para la elaboración de una gráfica de barras.

1. Sobre unos ejes de coordenadas, se representan, en abscisas, los diferentes valores de

la variable, y en ordenadas, las frecuencias.

2. Se procede a dibujar rectángulos (estos pueden ser horizontales o verticales) iguales en

su base, pero tomando como alturas o largura, las respectivas frecuencias

Diágrama de barras

1500

500

200

100

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

Estadounidense

Latinoamericano

Europeo

Asiático

Ori

gen

Frecuencia

1.5.3.2 Gráficas circulares (también llamados pasteles o sectores)

Las gráficas circulares resultan convenientes cuando la importancia no radica en mostrar el

número de veces que ocurre cierta característica respecto a los demás valores de la variable,

sino que se trata de resaltar la proporción (o porcentaje) en que estas características aparecen

en comparación con el total.

Pasos para la elaboración de una gráfica circular.

1. Se toma como base una tabla de distribución de frecuencias, y se calculan el ángulo y

el ángulo acumulado de cada categoría.

)360()360()360( %ffn

frel

abs

donde las frecuencias se arreglan en orden descendente de preferencia.

2. Se dibuja un círculo y se localiza un punto de partida.

3. Con un transportador, se dibuja el primer ángulo, luego se marca el siguiente ángulo

acumulado, así sucesivamente hasta completarlos en el círculo.

Nota: Para que una gráfica circular sea útil debe construirse para una variable cuyos valores no

sean demasiados.


Diagrama circular

31%

30%

22%

12%

5%

Centro

Norte

Sur

Poniente

Oriente

1.5.3.3 Histograma

El histograma es una representación visual de los datos que se parece a una gráfica de barras

vertical; es una sucesión de rectángulos construidos sobre un sistema de coordenadas

cartesianas de la siguiente manera.

1. Se parte de una tabla de distribución de frecuencias.

2. Se eligen los ejes cartesianos, donde la variable estará en el eje horizontal, y la

frecuencia en el eje vertical.

3. Se marcan en el eje horizontal los límites y se levantan líneas desde esos puntos. La

longitud de la base de cada rectángulo será igual al ancho del intervalo.

4. La altura de cada rectángulo se localizará en el eje vertical y corresponderá a la

frecuencia.

Basándonos en la tabla de distribución de frecuencias de los tiempos de los 80 alumnos en la

presentación de una prueba, haremos un histograma de la frecuencia, la cual queda de la

siguiente manera:

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

16

19

22

25

28

31

34


1.5.3.4 Polígonos de frecuencia

Este es una representación que se obtiene a partir del histograma, mediante líneas en que unen

los puntos medios de los lados superiores de los rectángulos. Es una sucesión de líneas

construidas sobre un sistema de coordenadas cartesianas de la manera siguiente:

1. Se siguen los mismos pasos que en la realización de un histograma.

2. La diferencia es que se marcan en el eje horizontal los puntos medios de cada intervalo

y se trazan líneas perpendiculares, que cruzaremos con las respectivas líneas

perpendiculares de sus frecuencias. Esa intersección representará un punto en el plano

cartesiano.

3. Se unen los puntos resultantes.

Basándonos en la misma información del tiempo que les llevó a los alumnos en la

presentación de un examen tenemos un polígono de frecuencias como el siguiente:

Polígono de Frecuencias

1 1

28

24

19

5

2

0

5

10

15

20

25

30

Clases

1.5.3.5 Ojiva

Si en lugar de frecuencias absolutas utilizamos sus correspondientes acumuladas,

obtendremos, en vez del histograma, una representación gráfica en forma de línea creciente

que se conoce con el nombre de Ojiva. Estos gráficos son especialmente adecuados cuando

tiene interés saber cuántas observaciones hay en la zona izquierda o inferior al límite superior

de cualquier intervalo. Su elaboración sigue los siguientes pasos.

1. Se parte de las frecuencias acumuladas.

2. Se marcan en el eje horizontal los centros o marcas de la clase y se trazan líneas

perpendiculares, que cruzaremos con las respectivas líneas perpendiculares de sus

frecuencias acumuladas. Esa intersección representará un punto en el plano cartesiano.

3. Se unen los puntos resultantes.

Basándonos en la misma información del tiempo que les llevó a los alumnos en la

presentación de un examen tenemos una ojiva de las frecuencias acumuladas es el siguiente:


0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

70.0

80.0

90.0

16

19

22

25

28

31

34

1.5.3.6 Diagrama de tallo y hojas

Los diagramas de tallo y hojas es otra forma de presentar una distribución, al tiempo que se

retiene cierta información sobre valores individuales. Para crear un diagrama de tallo y hoja,

siga estos pasos.

1. Organice los valores de datos en orden ascendente.

2. De los valores, redondee todos los dígitos excepto los dos primeros (es decir, cambie

64828 a 64000, 14048 a 14000, etc.). El primero de los dígitos es el tallo y el segundo

es la hoja. En el caso de un número como 64000, el tallo es 6 y la hoja es 4.

3. Elabore una lista vertical de los tallos en orden ascendente en una hoja y ponga una

línea vertical divisoria a la derecha de los tallos.

4. Iguale cada hoja con su tallo, poniendo horizontalmente los valores de hoja en orden

ascendente a la derecha de la línea vertical divisoria.

Por ejemplo, tome los siguientes números: 125, 189, 232, 241, 248, 275, 291, 311, 324, 351,

411, 412, 558, 713. El diagrama final de tallo y hoja aparece como sigue:

100 x

1 2 8

2 3 4 4 7 9

3 1 2 5

4 1 1

5 5

6

7 1


1.5.3.7 Gráfica de Caja (Box Plot)

En una gráfica de caja, se exhibe varias características importantes de la estadística

descriptiva en una imagen compacta. La gráfica de caja muestra las características estadísticas

descriptivas siguientes:

1. El primer cuartil, la mediana y el tercer cuartil y el rango intercuartil.

2. Los valores mínimos y máximos.

3. Puntos moderados y extremos

La gráfica de caja también da una buena representación visual de la variabilidad de los datos,

sesgo o simetría de la distribución. El primer componente de un diagrama de caja es el rango

intercuartil, la diferencia de la distribución entre el tercer y primer cuartil, para crear esta

sección, se dibuja una caja extendida que parte del primer cuartil, hasta el tercer cuartil.

Después dibujamos una línea horizontal en donde se localiza la mediana. Al observar la

posición de ésta en la caja, se puede tener una indicación de cómo se agrupan esos valores en

ese 50 % central. Una recta mediana cerca del primer cuartil indica que numerosos valores se

aglutinan en el rango inferior de la distribución. Del intercuartil, calcule la localización de los

límites internos y externos. Los límites internos están situados, en el tercer cuartil + 1.5 (RI), y

en el primer cuartil – 1.5 (RI). Los límites externos, están localizados en el tercer cuartil + 3

(RI), y en el primer cuartil – 3 (RI).

Cualquier valor que este dentro de los límites internos y externos son datos moderados y se

simbolizan con , Cualquier valor que esta más allá del límite externo, es un datos extremo, y

se simboliza con . El componente final del diagrama de caja son los bigotes, que son líneas

que se prolongan desde el diagrama de caja hasta los puntos más alto y más bajo que se

encuentran dentro de los resultados aislados moderados. Así, las líneas indican los valores

mínimo y máximo de la distribución que no son considerados aislados; su longitud también da

indicación adicional del sesgo de la distribución.

Nota: El Histograma, el Polígono de Frecuencias, las Gráficas de de Tallo y Hoja, las

Gráficas de Caja, nos indica también en muchas ocasiones la asimetría de las distribuciones,

y lo ejemplificamos con el Polígono de Frecuencia, en las figuras siguientes:

Límite externo = 3 quartile + 3 (RI)

Límite interno = 3 quartile + 1.5 (RI)

3er cuartil

Mediana

1er cuartil

Límite interno = 1 cuartil – 1.5 (RI)

Límite externo = 1 cuartil – 3 (RI)

Rango intercuartil (RI) Bigotes


1.7 EJERCICIOS

En los siguientes ejercicios, identifique: Identifica un posible problema de estudio, la

población, la muestra, la variable de estudio y el tipo de variable.

1. El Laboratorio de Pruebas de Productos para Consumo, selecciona una docena de baterías

(de 9 volts según la etiqueta) de cada compañía que las fabrica. Se prueba el nivel de

voltaje real de cada batería.

2. Investigadores del Laboratorio de Pruebas de Productos para Consumo, prueban muestras

de protectores de sistemas electrónicos contra picos de voltaje para determinar los niveles

de voltaje a los que las computadoras, pueden dañarse.

3. La revista Business Week realiza una encuesta enviando por correo un cuestionario a 5000

personas que se sabe que invierten en valores. Con base en los resultados, los editores de la

revista concluyen que la mayoría de los inversionistas estadounidenses ve con pesimismo

la economía de su país. Cuando identifique lo que se pide, explique ¿por qué no es correcta

tal conclusión?

En los ejercicios siguientes, identifique cada número como discreto o continuo.

4. El volumen de los vasos de agua que se proporciona en el comedor universitario.

5. Una encuesta Bruskin-Goldring Research de 1015 personas indica que 40 de ellas tienen

una suscripción a un servicio de computadora en línea.

6. Entre todos los puntajes de la prueba de aptitud escolar SAT registrados el año pasado, 27

fueron perfectos.

7. El tiempo total que un taxista de la ciudad de Nueva Cork dedica a ceder el paso de los

peatones cada año es de 2.367 segundos.

En los ejercicios siguientes, determine cuál de los cuatro niveles de medición (nominal,

ordinal, de intervalo, de razón) es el más apropiado.

8. Calificaciones de citas a ciegas de extraordinarias, sobresalientes, comunes y corrientes,

por debajo del promedio u horribles.

9. Números del Seguro Social.

10. Códigos postales.

11. Automóviles descritos como subcompactos, compactos, medianos o grandes.


Realice lo siguiente.

12. Identifique la amplitud del intervalo, los puntos medios y realice una tabla de frecuencia

sobre las ausencias a una clase de la Universidad de Montemorelos.

Ausencias Frecuencia

1 – 5 39

6 – 10 41

11 - 15 38

16 – 20 40

21 - 25 42

13. Identifique la amplitud del intervalo, los puntos medios y realice una tabla de frecuencia

sobre los pesos de cierto material en venta.

Peso (kg) Frecuencia

0.1 – 2.0 20

2.1 – 4.0 32

4.1 – 6.0 49

6.1 – 8.0 31

8.1 – 10.0 18

14. a) Use los datos siguientes y construya manualmente una tabla de frecuencia con los

intervalos de tiempo entre erupciones del geiser Old Faithful del Parque Nacional

Yellowstone. Use 7 intervalos comenzando con un límite inferior del primer intervalo de

56 minutos y un tamaño de intervalo de 8 minutos.

Duración Intervalo Altura Duración Intervalo Altura Duración Intervalo Altura

240 86 140 237 86 154 122 62 140

267 104 140 113 62 160 258 95 140

232 79 150 105 62 150 276 94 160

248 79 155 243 86 125 241 85 36

214 86 140 114 58 155 272 89 130

227 79 125 237 83 125 238 82 139

203 84 125 270 82 140 218 78 140

226 91 135 250 89 141 245 79 140

120 57 139 267 100 110 103 62 140

270 87 135 241 70 140 239 88 135

233 82 140 238 83 139 102 56 100

271 81 105 127 74 130 275 102 135

140 61 131 264 83 135 134 73 153

268 97 155 124 67 140 270 90 150

249 84 153 237 82 120 235 81 138

228 78 135 265 89 145 120 69 130

275 98 136 241 79 150

b) Realice la tabla de frecuencia y un histograma en Microsoft Excel, con las mismas

características descritas

c) Explique los resultados que haya encontrado con la tabla de frecuencia y el histograma

en el contexto del problema.


15. En “Ages of Oscar-Winning Best Actors and Actresses” (revista Mathematics Teacher)

por Richard Brown y Gretchen Davis, se usan gráficas de tallo y hojas para comparar las

edades que tenían los actores y actrices ganadores del Oscar en el momento de ganar ese

premio. He aquí los resultados para 34 ganadores recientes de cada categoría.

Actores 32 37 36 32 51 53 33 61 35 45 55 39

76 37 42 40 32 60 38 56 48 48 40

43 62 43 42 44 41 56 39 46 31 47

Actrices 50 44 35 80 26 28 41 21 61 38 49 33

74 30 33 41 31 35 41 42 37 26 34

34 35 26 61 60 34 24 30 37 31 27

a) Construya manualmente una gráfica de tallo y hojas para los datos anteriores, para

cada categoría.

b) Use los resultados de la parte (a) para comparar los dos conjuntos de datos, y explique

cualquier diferencia que observe.

c) Repite el inciso (a) y (b) con Microsoft Excel.

d) Explique los resultados que haya encontrado con la tabla de frecuencia y el histograma

en el contexto del problema

16. a) Construya una gráfica de tallo y hojas, un histograma y un polígono de frecuencias del

ejercicio número 14. b) Explique los resultados que haya encontrado con la tabla de

frecuencia y el histograma en el contexto del problema.

17. Usted ve el siguiente diagrama de tallo y hoja en una revista técnica:

Tallo x 100 Hoja

0 3 3 6

1 0 1 2 2 8

2 0 0 1 1 1 2 4 9

3 0 4

4 5

5

6 1

7

8

9 0

¿Cuáles son los valores aproximados del conjunto de datos?

18. Suponga que el siguiente conjunto de datos es una muestra aleatoria de 40 calificaciones

de autoconcepto.

100 112 88 105 100 102 98 113

102 87 93 93 117 100 98 92

100 117 97 100 83 67 76 100

106 117 89 83 100 109 109 93

105 108 104 63 81 109 100 98

a) Determine Xmáx, Xmín y el rango.

b) ¿Cuántos intervalos sugeriría para mostrar la distribución?


c) Determine el ancho del intervalo, w, para permitir 10 intervalos.

d) Si w = 5, ¿cuál es el primer intervalo (valores más bajos)?

e) Si w = 5, liste los intervalos.

f) Construya una distribución de frecuencias agrupada para los 40 valores.

g) Construya columnas de porcentajes y porcentajes acumulados para esos datos.

h) Sería un polígono de frecuencias una gráfica apropiada para esos datos, ¿Por qué?

i) Construya una ojiva de esos datos.

19. a) Realice el Ejercicio 14 con Microsoft Excel y b) Explique los resultados que haya

encontrado con la tabla de frecuencia y el histograma en el contexto del problema.

20. a) Realice el Ejercicio 15 con Microsoft Excel y b) Explique los resultados que haya

encontrado con la tabla de frecuencia y el histograma en el contexto del problema.

21. a) Realice una gráfica de pastel con Microsoft Excel con los siguientes datos de personas

entrevistadas en la clase de estadística con respecto a su gusto del pastel de mango marca

“Delicias”, dijeron lo siguiente:

Nada Poco Mas o menos Mucho Demasiado

1 5 10 8 5

b) Explique los resultados que haya encontrado con la tabla de frecuencia y el histograma

en el contexto del problema.

22. a) Realice una gráfica de barras con Microsoft Excel del Ejercicio 21, y b) Explique los

resultados que haya encontrado con la tabla de frecuencia y el histograma en el contexto

del problema.

CAPITULO I - Definicion de la...

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