Capitulo II de métodos numéricos

7/23/2019 Capitulo II de mtodos numricos

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CAPITULO II

II.1. Solucin de Ecuaciones Trascendentes y Polinomiales.

Antes del advenimiento de las computadoras digitales, haba una serie de mtodos paraencontrar las races de una ecuacin algebraica o trascendente Aun!ue algunas "rmulaspermitan la solucin de las ecuaciones de manera directa, haban ecuaciones cu#a $nicaalternativa de solucin era una tcnica de apro%imaciones sucesivas

II.2. Ecuaciones Trascendentes.

Las ecuaciones trascendentes son a!uellas !ue contienen "unciones trigonmetricas,e%ponenciales, logartmicas o de otro tipo no algebraico, por e&emplo'

()ln*+

()cos*(*)

xx

xxxf +

+++=

"*%( )%-. /%). e%p*Cos*% . /((

e%. e0% (*

)

xCos

II.2.1. Mtodo de Bisecciones Sucesivas.

1l mtodo m2s simple e intuitivo de los mtodos de apro%imaciones sucesivas paraencontrar una ra3 de alguna ecuacin se conoce como 4isecciones 5ucesivas Parautili3arlo es necesario conocer un intervalo 6%7, %)8 tal !uef(x1) f(x2) < 0, * esto signi"ica!ue la "uncin dada corta al e&e de las % (

1l mtodo consiste en ir bisectando sucesivamente el intervalo dado # desechando ele%tremo derecho o i3!uierdo seg$n se contin$e cumpliendo con la condicin dadaf(x1) f(x2)< 0 1sto genera una sucesin 9%i: la cual tiene como lmite de convergencia a la ra3 de la"uncin 1l mtodo, por lo tanto, es iterativo # se puede apro%imar a la ra3 tanto como sere!uiera, seg$n el valor de ; predeterminado *el cual representa el n$mero de decimales deapro%imacin( Lo anterior se muestra gr2"icamente en la


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%e&etir

med ')

)7 xx +

Si f(1! f(med! ) entonces2 ' med

Si*no 1 ' med+in*si

,asta -2 1- $

rai/ ')

)7 xx +

Im&rimir rai/ Terminar


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i 1 2 -1 2- med f(1! f(med!7 7>>>> )>>>> 7>>>> 7+>>> 0 7>>>> >)+>>) 7>>>> 7+>>> >+>>> 7)+>> 0 7>>>> 0 >@-+- 7)+>> 7+>>> >)+>> 7-+> 0 >@-+ 0 77>B@@ 7-+> 7+>>> >7)+> 7@-+ 0 >7>B@ >>//@

+ 7-+> 7@-+ >>/)+ 7@>/- 0 >7>B@ 0 >>))-/ 7@>/- 7@-+ >>-7) 7@)7B 0 >>))- >>)7 7@>/- 7@)7B >>7+/ 7@7@B 0 >>))- 0 >>>>- 7@7@7 7@)7B >>> 7@7> 0 >>>>- >>7>B 7@7@7 7@7> >>>@> 7@7/7 0 >>>>- >>>+-7> 7@7@7 7@7/7 >>>)> 7@7+7 0 >>>>- >>>)+77 7@7@7 7@7+7 >>>7> 7@7@/ 0 >>>>- >>>7>7) 7@7@7 7@7@/ >>>>+ 7@7- 0 >>>>- >>>>)

As, de los $ltimos valores de %, ) 7@7@@+

Para la elaboracin de la tabla, se procede de la siguiente manera'

* a ( 1n la primera "ila, el elemento %7es el lmite in"erior del intervalo dado # el elemento"*%7( es la evaluacin de este punto en la "uncin dada

* b ( 5imilarmente, el elemento siguiente *%)( es el lmite superior del intervalo Do sere!uiere la evaluacin en la "uncin

* c ( 1l elemento %medse eval$a por medio de)

)7 xx + # "*%med( es la evaluacin de este

punto en la "uncin dada* d ( La columna E%7? %)E representa una sucesin !ue debe tender a cero, lo cual representa

el criterio de Cauch# para la convergencia* e ( 1n las siguiente "ilas se toma en cuenta !ue'

si "*%7( "*%med( F >, %7toma el valor de %med# "*%7( el de "*%med( si "*%7( "*%med( G >, %)toma el valor de %med# "*%)( el de "*%med(

Para la b$s!ueda del intervalo a traba&ar, cuando no se sabe por donde ha# una posible ra3,eval$e la "uncin para valores de % hasta dar con dos valores consecutivos cu#as "uncionescambien de signo 1sto determina un corte de la "uncin en el e&e de las % # por lo tantouna ra3

Con este mtodo es posible encontrar una ra3 a una "uncin cual!uieraH pero es de notar

!ue el proceso es tardado debido a !ue el intervalo se reduce a la mitad en cada paso *estoes, el intervalo se reduce siempre una cantidad constante( Los siguientes mtodos aestudiar pretenden hacer m2s r2pida la convergencia hacia la ra3 con procesos m2sso"isticados


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ada una lista ordenada de datos, se puede bisectar la lista # averiguar en cu2l mitad seencuentra el valor buscado, se desecha una mitad # se procede de manera similar en la otramitad hasta dar con el dato buscado o determinar !ue el dato buscado no se encuentra en lalista A este mtodo se le conoce como bsqueda binaria# "orma parte esencial en la

ma#ora de los pa!uetes de so"tJare de negociosPara este proceso de b$s!ueda, este mtodo resulta apropiado a$n cuando para la b$s!uedade races no lo sea

II.2.2. Mtodo de Inter&olacin Inversa o +alsa Posicin.

1ste es un mtodo alternativo en la b$s!ueda de races para una "uncin 1ste mtodoconsiste en tra3ar una secante entre dos puntos dados, los cuales deben "ormar un intervalo!ue contenga una ra3H el punto 6%7, "*%7(8 es llamado pivote *se conserva constante( # %7esel trmino de inicio de una sucesin 9%i:, la cual tiene como lmite de convergencia a la ra3de la "uncin Obsrvese esto de manera gr2"ica en la


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7

7

7

(*(*(*

xx

xfxf

xx

xf

i

i

ii

i

=

+

espe&ando se obtiene una "rmula recursiva simple, generadora de una sucesin

convergente hacia la ra3 de la "uncin dada'

(*(*

((**

7

77

xfxf

xxxfxx

i

iiii

=

+

Para !ue esta sucesin conver&a, es su"iciente !ue se cumpla con las siguientes condiciones'

* i ( "*%7( "*%)( G >* ii ( "*%7( "K*%7( F >* iii ( "K*%i( > %i 6%7, %)8

Mecurdese !ue si "K*%( F >, la concavidad es hacia arribaH si "K*%( G >, la concavidad eshacia aba&o Por lo tanto, las condiciones tienen el siguiente signi"icado'

* i ( 5igni"ica !ue ha# una ra3 en el intervalo Al menos unaH #a !ue pueden haberraces m$ltiples, pero en una cantidad impar La posibilidad de racesm$ltiples se anula si la "uncin # "*%( es montona en un intervalo traba&ado

* ii ( Asegura !ue se tome el punto %7 *el pivote( de manera adecuada Tomar demanera inadecuada el pivote podra provocar una divergencia en la sucesingenerada

* iii ( Asegura !ue no se d un caso e%tremo de divergencia 1ste caso provocarauna divergencia en la sucesin # se debe al hecho de encontrarse m2s de unara3 en el intervalo o un cambio de concavidad

0T3 1l hecho de !ue la primera condicin no se cumpla no signi"ica, necesariamente,!ue no ha# ra3 en el intervalo La "uncin puede cortar el e&e de las % en dos o unn$mero par de puntos, lo cual indica !ue ha# un n$mero par de races 1sto essimilar a lo anteriormente dicho de un n$mero impar de races en un intervalodado Por otro lado, gra"icar la "uncin podra a#udar a la b$s!ueda del intervalo

Al igual !ue en el mtodo anterior, se presenta a continuacin el algoritmo estructuradopara el mtodo de la


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i '(*(*

(*(*

7)

)7))

xfxf

xfxxx

delta ' -2 i-2 ' i

,asta delta $

rai/ ' iIm&rimir rai/Terminar

1&emplo' Calcular ) con ; >>>>7

1ste e&emplo es el mismo utili3ado anteriormente con el mtodo de bisecciones sucesivas #se repite con la "inalidad de comparar las convergencias de los dos mtodos *ntese lavariacin del valor de ;(

5e procede de manera similar al mtodo anterior para encontrar los datos para traba&ar coneste mtodo

"*%( %)? ) "uncin6%7, %)8 67, )8 intervalo; >>>>7 apro%imacin

Neri"icando las condiciones'

* i ( "*%7( "*%)( "*7( "*)( *0 7(*)( 0 ) G > Cumple* ii ( "*%( )

"*%7( "K*%7( "*7( "K*7( *0 7(*)( 0 ) G > Do cumple

Como la segunda condicin no se cumple, se debe probar un nuevo intervalo Una buenaidea es intentar con el mismo intervalo, pero d2ndolo de manera invertidaH esto es'

6%7, %)8 6), 78

1ste intervalo no es matem2ticamente v2lido, puesto !ue un intervalo 6a, b8 debe cumplircon a G bH sin embargo, para el c2lculo de las races, esto no tiene importancia

1s importante veri"icar las tres condiciones para el nuevo intervalo, #a !ue si este tampoco

cumple, se debe busca tantos intervalos como se re!uiera hasta dar con uno !ue cumpla conlas tres condiciones dadas

Neri"icando las condiciones'

* i ( Obviamente cumple

* ii ( "*%7( "K*%7( "*)( "K*)( @ F > Cumple


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* iii ( "K*%( > %i 6), 78 Cumple

Una ve3 hallado el intervalo, se procede a llenar una tabla similar a la siguiente'

i i f(i! i 1 f(i! f(1! i41 $

7 )>>>> )>>>> 0 0 0 0) 7>>>> 0 7>>>> 0 7>>>> 0 ->>>> 7---- >----- 7---- 0 >)))) 0 >/// 0 ))))) 7-BBB >>///@ 7-BBB 0 >>@>- 0 >/>>7 0 )>@>- 7@77 >>77+ 7@77 0 >>>7 0 >+/ 0 )>>7 7@7- >>>)>/ 7@7- 0 >>>>7+ 0 >+/- 0 )>>7+ 7@7@7 >>>>@ 7@7@7 0 >>>>- 0 >++B 0 )>>>- 7@7@7 0

As, la ra3 resulta ser' 7@7@7


* a ( 1n la primera "ila, el elemento %ies el lmite in"erior del intervalo dado # el elemento"*%i( es la evaluacin de este punto en la "uncin dada Los elementos restantes de la"ila no pueden calcularse

* b ( 1n la segunda "ila, el elemento siguiente *%i( es el lmite superior del intervalo # "*%i(su valor evaluado en la "uncin dada

* c ( Los elementos %i 0 %7K # "*%i( ? "*%7(K se eval$an como parte de la "rmula 1simportante recordar !ue el pivote es siempre constanteH esto es, siempre el punto 6%7,"*%7(8

* d ( La columna %i.7eval$a el trmino siguiente de la sucesin, el cual se ubica despus dela siguiente "ila en la columna %i

* e ( La columna "inal representa a la di"erencia, en valor absoluto, de las columnas %i#%i.7 1ste trmino es el utili3ado como criterio de paroH esto es, el criterio de Cauch#para la convergencia se determina a!u

* " ( Las siguientes "ilas se eval$an de manera similar hasta !ue el $ltimo elemento de la$ltima "ila sea menor a la ; establecida

Aun!ue en apariencia el mtodo de


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1&emplo' Calcular ) con ; >>>>7 *de nuevo el mismo e&emplo(

"*%( %)? ) "uncin"R*%( )% primera derivada

6%7, %)8 67, )8 intervalo; >>>>7 apro%imacin

e a!u, de manera similar a los mtodos anteriores, se procede a generar una tabla como lasiguiente'

i i f(i! f8(i! i41 $7 7>>>> 0 7>>>> )>>>> 7+>>> 0) 7+>>> >)+>> ->>>> 7@7// >>-@- 7@7// >>>/ )--) 7@7@) >>>)@@ 7@7@) 0 >>>>>@ 7BBBB 7@7@) 0


* a ( 1n la primera "ila, el elemento %ies un lmite del intervalo dado # los elementos "*% i( #"R*%i( son la evaluacin de este punto en la "uncin # la derivada dadas

* b ( La columna %i.7se calcula dividiendo la columna "*% i( entre "R*%i( # restando a lacolumna %i

* c ( 1l elemento %ide las "ilas siguientes, son los elementos %ide la "ila inmediata anterioren cada caso

* d ( La columna "inal representa a la di"erencia, en valor absoluto, de las columnas % i#

%i.7 1ste trmino es el utili3ado como criterio de paroH esto es, el criterio de Cauch#para la convergencia se determina a!u

5e e&empli"icaron los tres mtodos anteriores con la misma "uncin con el ob&eto de mostrarla rapide3 de convergencia en cada uno de ellos Como una conclusin, se puede establecer!ue el m2s lento es el mtodo de 4isecciones 5ucesivas, despus el de ?7, sabiendo !ue esta se encuentra en elintervalo 6>-, 7-8 Tmese ; >>>7


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* a( =todo de 4isecciones 5ucesivas'

i 1 2 -1 2- med f(1! f(med!7 >->>> 7->>> 7>>>> >>>> 0 7>>>> 0 >B)/) >>>> 7->>> >+>>> 7>+>> 0 >B)/ >/)B

- >>>> 7>+>> >)+>> >B)+> 0 >B)/ 0 >+@7@@ >B)+> 7>+>> >7)+> >B+ 0 >+@7@ 0 >77)+ >B+ 7>+>> >>/)+ 7>7 0 >77) >)>@7/ >B+ 7>7 >>-7) 7>>-7 0 >77) >>-7 >B+ 7>>-7 >>7+/ >BBB- 0 >77) 0 >>@+B >BB+- 7>>-7 >>> >BBB) 0 >>@+B 0 >>>B >BBB) 7>>-7 >>>@> 7>>7) 0 >>> >>777> >BBB) 7>>)7 >>>)> 7>>>) 0 >>> >>>)>77 >BBB) 7>>>) >>>7> >BBB 0 >>> >>>)B7) >BBB 7>>>) >>>>+ 7>>>> 0 >>>)B >>>>+

* b ( =todo de


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)/ >BB-- 0 >>/@ 0 >->/ 0 7)+>+ >BB@B >>>7+) >BB@B 0 >>+>> 0 >->+7 0 7)-+B >BB/7 >>>7)) >BB/7 0 >>-- 0 >->-B 0 7))@+ >BB> >>>>B

* c ( =todo de DeJton ? Maphson'

i i f(i! f8(i! i41 $7 7->>> 7)+ 7>/>@+> 77B@ 0) 77B@ @)>/ @@7/)7 7>@7 >>B+-- 7>@7 7)@)B )>/ 7>)@7 >>/>7@ 7>)@7 >)/- 7)-+- 7>>)@ >>)7+ 7>>)@ >>)@) 7>)77 7>>>> >>>)@/ 7>>>> >>>>- 7>>>)- 7>>>> 0

Cu2l es la ra3n de tan lenta convergencia para el mtodo de >>>> 7>>>> 0 0 0 0) 7>>>> 0 >/-))7 7>>>> 0 7/-)7 >/7) >--- >/7) 0 >>> >/7) 0 7>> >+)) >>@>+@ >+)) 0 >>>B >+)) 0 7>>B >+/ >>>@++ >+/ 0 >>>>B >+/ 0 7>>>B >+/) >>>>+


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* c ( =todo de DeJton ? Maphson'

i i f(i! f8(i! i41 $7 >>>>> 7>>>> 0 )>>>> >+>>> 0

) >+>>> >7>/+ 0 7/>/+ >+//- >>//-- >+//- >>>7- 0 7+// >+/7 >>>>

II.5. Ecuaciones Polinomiales.

Como casos particulares de ecuaciones trascendentes, se tratar2n ahora particularmente lasraces de polinomios de la "orma'

Pn*%( a>%n. a7%n07. a)%n0). . an07% . an >

onde aison n$meros reales # a> >

Para e%traer las races de estos polinomios, se tienen las siguientes reglas'

* a ( 5i n 7, resulta' P7*%( a>% . a7 >

# la $nica ra3 sera'>

7

a

ax =

* b ( 5i n ), resulta' P)*%( a>%). a7% . a) >

# sus dos races seran'>

)>

)

77

7)

@

a

aaaax

+

= #>

)>

)

77

))

@

a

aaaax

=

* c ( La "rmula de Tartaglia ? Cardano calcula races de algunos polinomios cuando n -5in embargo, esta "rmula no se estudiar2 en este apartado

* d ( A$n cuando para polinomios con n @ e%iste una "rmula, el c2lculo de las racesresulta mu# complicado

* e ( Para n V + ha !uedado matem2ticamente demostrado !ue no es posible hallar una"rmula para el c2lculo de sus races # la $nica posibilidad es apro%imar las races porlos mtodos numricos

1l mtodo de apro%imacin a las races de un polinomio se conoce como Mtodo deBir9e :ieta# es el !ue se estudiar2 en este captuloH pero se estudiar2n antes algunosantecedentes


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II.5.1. ntecedentes.

TE%EM +;0DME0T" DE"


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" %E=" DE "S SI=0S DE DES?%TES0 Para todo polinomio Pn*%( se cumple!ue'

* a ( el n$mero de races positivas de un polinomio Pn*%( es igual al n$merode cambios de signo en el polinomio o menor en un n$mero par

* b ( el n$mero de races negativas de un polinomio Pn*%( es igual al n$merode cambios de signo de Pn*0%( o menor en un n$mero par

As para' P*%( %?-%/?)%+.@%@.)%-.-%).% ?-, tiene - o 7 races positivas, # P*0%( %?-%/.)%+.@%@0)%-.-%)0% ?-, tiene +, - o 7 races negativas

%I?ES 0;"S0 5i en el polinomio Pn*%(, el trmino de menor grado es de grado Z *conZ >( el n$mero de races nulas del polinomio es Z

As, por e&emplo, para P+*%( %+? /%@, se tienen @ races nulasHesto es, %7 >, %) >, %- > # %@ >

%I?ES ?MP"E@S0 5i el polinomio Pn*%( tiene una ra3 comple&a de la "orma a . bi,su comple&a con&ugada a ? bi tambin es ra3

%I?ES %?I0"ES0 Las races racionales de un polinomio Pn*%( son de la "ormab[c donde b es un divisor de an# c un divisor de a>

As, para P@*%( %@? -%-. )%)? +% . /, sus posibles races racionales son'b[c \7, \), \7[), \7[@, \-, \-[), \-[@, \-[, \/por!ue' b \7, \), \-, \/ # c \7, \), \@, \

DI:ISI>0 SI0TETI?0 5e pretende, ahora, encontrar una "orma de dividir unpolinomio de la "orma Pn*%( entre un binomio de la "orma *% ? a(

Por el algoritmo de la divisin' Pn*%( *% ?a( *%( . M5e tiene' Pn*%( a>%n. a7%n07. a)%n0). . an07% . an# *%( A>%n07. A7%n0). A)%n0-. . An0)% . An07*un polinomio degradado(

de lo anterior'

a>%n.a7%n07.a)%n0). .an07%.an *%?a(* A>%n07.A7%n0).A)%n0-. .An0)%.An07( . M *A>%n. A7%n07. A)%n0). . An0)%). An07%( ?*aA>%n07.aA7%n0).aA)%n0-. .aAn0)%.aAn07( . M A>%n. *A7? a A>( %n07. *A)? a A7( %n0). .*An07? a An0)( % . *M ? a An07(


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Los dos miembros de la igualdad anterior tienen igual n$mero de sumando, as'

a>%n A>%n

a7%n07 *A7? a A>( %n07

a)%

n0)

*A)? a A7( %

n0)

an07 % *An07? a An0)( %an M ? a An07

espe&ando las Ai, $nicos valores desconocidos'

A> a>A7 a7. a A>A) a). a A7 An07 an07. a An0)M an. a An07

1ste mtodo es conocido como INI5IOD 5IDT1TICA # se da en "orma de tabla, as'

a> a7 a) a- an07 ana a A> a A7 a A) a An0) a An07

A> A7 A) A- An07 M

1n la tabla anterior, los trminos ai representan los coe"icientes del polinomio # a es elsegundo trmino del binomio divisor Los elementos calculados Ai# M representan lasolucin a la divisin *coe"icientes # residuo, respectivamente(

1&emplo' ividir ) %+. + %@. 7> %)? + entre % . -

) + > 7> > 0 +0 - 0 / - 0 B 0 - B

) 0 7 - 7 0 - @

As' *%( ) %@? %-. - %). % ? - # M @

II.5.2. El Mtodo de Bir9e :ieta.

1ste mtodo es una combinacin del mtodo de DeJton ? Maphson # la divisin sintticaLa "rmula recursiva sera'

(*S

(*7

in

inii

xP

xPxx =

+


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Pero se sabe !ue' Pn*%( *% ? %i( *%( . MY con % %i' Pn*%i( *%i? %i( *%i( . MH Pn*%i( M

Por otro lado, para hallar PRn*%i('

Pn*%( *%?%i( *%( . MH PRn*%(*%?%i(R*%(.*%(1valuado en % %i' PRn*%i( *%i? %i( R*%i( . *%i( PRn*%i( *%i(

ividiendo *%i( entre *% ?%i(, !ueda' *%( *% ? %i( 5*%( . MR1valuando en % %i' *%i( *%i? %i( 5*%i( . MR *%i( MRO bien' PRn*%i( MR

As'S

7R

Rxx ii =+

onde'

M Mesiduo de dividir P*%( entre *% ? %i(HMR Mesiduo de dividir *%( entre *% ? %i(H #*%( Mesultado de la primera divisin

e lo anterior, el mtodo de 4irge ? Nieta se reduce al siguiente procedimiento'

7 1scribir la ecuacin en orden descendente de potencias de %) 5eparar las races nulas- Aplicar la regla de los signos de escartes@ 1stablecer las posibles races racionales+ Probarlas por divisin sinttica o teorema del resto/ 5acar las races irracionales Meducir la ecuacin # volver al paso /, hasta hallar todas las races

1&emplo' Calcular TOA5 las races del polinomio' P*%( %. %? /%/? %+.)%@ >,con ; >>>7

7 1scribir la ecuacin en orden descendente de potencias de %

P*%( ] %. %? /%/? %+.)%@ >

) 5eparar las races nulas

P*%( ] %@*%@. %-? /%)? % .)( >

^7 > ^) > ^- > ^@ >

P@*%( ] %@. %-? /%)? % .) >


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- Aplicar la regla de los signos de escartes

P@*%( ] %@. %-? /%)? % .) > ) > races positivasP@*0%( ] %@0 %-? /%). % .) > ) > races negativas

e a!u las siguientes posibilidades'

4 ) ) > >A ) > ) >?om&leas > ) ) @

@ 1stablecer las posibles races racionales

b \ ), \ 7c \ 7

b[c \ ), \ 7+ Probarlas por divisin sinttica o teorema del resto

P@*7( 0 -P@*0 7( 0 -P@*)( > _ _ _ Ma3 P@*0 )( 0 7)

/ 5acar la $nica ra3 irracional'

7 7 0 / 0 7 )) ) / > 0 )7 - > 0 7 >

^+ )

1l polinomio degradado !ueda'

' P-*%( %-. -%) ?7 >

5acar las races irracionales por DeJton ? Maphson'

Para e%traer la primera ra3 irracional, es necesario hallar un intervalo en el cualse tenga un cambio de signo, lo cual signi"ica una ra3 en el mismo 1l intervaloes 6>, 78

ivisiones sintticas' %7 7'


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7 - > 0 7

7 7 @ @7 @ @ -

7 7 +

7 + B

^) 70 -[B >////

7 - > 0 7>//// >//// )@@@@ 7/)B/

7 -//// )@@@@ >/)B/>//// >//// )/

7 @---- +----

^- >//// ? >/)B/[+---- >+@+

E^-? ^)E E>+@/ ? >////E >---@ F ;

7 - > 0 7>+@+ >+@+ 7B@/- 7>/+

7 -+@+ 7B@/- >>/+>+@+ >+@+ ))@)

7 @>B> @7B-+

^@ >+@+ ? >>/+[@7B-+ >+-)@E^@? ^-E E>+-)@ ? >+@+E >>7/7 F ;

7 - > 0 7>+-)@ >+-)@ 7>/ 7>>7)7 -+-)@ 7>/ >>>7)

>+-)@ >+-)@ )7/@77 @>/@ @>@@/

^+ >+-)@ ? >>>7)[@>@@/ >+-)7E^+? ^@E E>+-)7 ? >+-)@+E >>>>- G ;

As' ^/ >+-)7

Meducir la ecuacin # volver al paso /, hasta hallar todas las races

7 - > 0 7>+-)7 >+-)7 7B@ 7>>>>

7 -+-)7 7B@ >>>>>

P)*%( ] %). -+-)7 % . 7B@ >


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Cuando se llega a un polinomio de segundo grado es v2lido, por "acilidad, utili3ar la"rmula de solucin de una cuadr2tica para hallar las dos races restantes 5i el grado estres o ma#or, es recomendable regresar al paso / # continuar con las iteraciones para hallarla siguiente ra3 Por lo tanto'

)

(CAB@7*@(+-)7-*+-)7-)

C,A

=x

As' ^ 0 >/+) # ^ 0 )B@


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ai' Cifin*&aram ' m 1

fin*&araTerminar

1&ercicios0 5e tienen los siguientes polinomios para encontrar todas sus races =ane&ar unvalor de ; cual!uiera

7 P+*%( %+. 77 %@? )7 %-? 7> %)? )7 % ? + >) P@*%( %@? @ %)? - % . + >- P@*%( %@. + %-? B %)? + % ? 7-/ >@ P@*%( 7/ %@. %-. 7+B %). / % ? )@> >+ P-*%( %-? % ? 7 >

Capitulo II de métodos numéricos

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