CAPITULO 1

ENERGIA RADIANTE

1.1- LA LUZ Y LA RADIACIÓN TERMICA

Es sabido que si se somete un cuerpo a la acción -por ejemplo- de los rayos solares, éste aumenta su temperatura; ello nos conduce a considerar la luz visible como un transporte de energía.

Si se obtiene mediante un prisma el espectro de la luz (ver apéndice1), se encuentra que el mismo se extiende hacia ambos lados de la banda visible en los denominados rayos infrarrojos y ultravioletas, en los cuales también se manifiesta la presencia de energía al calentar cuerpos, impresionar placas fotográficas, etc.

Lambert y Pictet demostraron que la propiedad de radiar energía no es exclusiva de aquellos cuerpos que emiten luz visible. Para ello tomaron dos espejos cóncavos -fig. 1-1- colocando un termómetro en el foco A y un cuerpo cualquiera a temperatura en el foco

“Fig. 1-1”

Colocando el cuerpo a distintas temperaturas comprobaron que si era mayor que la temperatura ambiente , la temperatura del termómetro aumentaba, pero si , disminuía.

En la primer comprobación , el flujo neto de energía es de hacia , dado que aumenta, mientras que en la segunda debe ser de hacia

. Sin embargo en ambos casos la temperatura inicial del termómetro es la misma y si en el segundo está evidentemente radiando energía (flujo ), lo debe de estar haciendo en el primero (parte de las mismas condiciones iniciales, a pesar de lo cual igualmente aumenta su temperatura pues en este caso recibe más energía de la que emite (flujo ).

Por lo tanto podemos decir que “todo sistema material a cualquier temperatura irradia energía” y además que lo está haciendo en forma independiente de los sistemas que lo rodean.

1.2- NATURALEZA Y PROPAGACIÓN DE LA LUZ.ELECTROMAGNETISMO DE MAXWELL

Desde la época de los griegos se sostuvo que la luz estaba compuesta por corpúsculos que impresionaban nuestros sentidos, hasta que en 1670 Huyghens llegó a la conclusión que para explicar los fenómenos de superposición, interferencia y difracción de la luz era necesaria una propagación ondulatoria de la misma.

El paso más importante para explicar la propagación ondulatoria de la luz fue dado por James Clerk Maxwell, cuando en 1873 presenta su teoría sobre la radiación de ondas electromagnéticas.

Maxwell se propuso determinar la relación de dependencia entre los campos eléctricos y magnéticos variables en el tiempo y es el intentar formular matemáticamente este problema, que se ve obligado a introducir la hipótesis de que no sólo la corriente de conducción, sino también la de desplazamiento pueden producir un campo magnético, resultando el sistema de ecuaciones (ver apénd.

que planteadas para un medio homogéneo en el cual no haya cargas ni corrientes de conductividad, como por ejemplo los espacios interestelares:

Según las ecs. (1.2-2) un campo magnético variable en el tiempo induce un campo eléctrico y recíprocamente.

Una solución simultánea de las (1.2-2) (ver apénd. 2-A2b) nos lleva a que las mismas se satisfacen con ecuaciones de onda que tienen una cierta velocidad de propagación. O sea que un campo eléctrico variable en el tiempo induce un campo magnético pero no en el mismo lugar en que él varía; por lo tanto la energía transferida del campo eléctrico al campo magnético originado se ha trasladado en el espacio. A su vez el campo magnético inducido por ser variable en el tiempo induce un campo eléctrico en otro lugar y así sucesivamente se van produciendo transferencias de energía entre los

campos eléctricos y magnéticos con el resultado que dicha energía se está trasladando.

De acuerdo con la solución de las ecuaciones de Maxwell, si las partículas eléctricas que constituyen la materia fueran excitadas de tal manera que variaran su velocidad en el tiempo, las mismas se tendrían que comportar como dipolos elementales e irradiar energía en forma de ondas electromagnéticas en todas las direcciones. A efectos del observador a partir de una cierta distancia el frente de ondas irradiadas aparece como plano. Una solución de onda plana para las ecuaciones de Maxwell con desplazamiento en la dirección x es (ver apénd. )

de velocidad de propagación

siendo la constante dieléctrica o permitividad del medio en el cual se propagan las ondas y su permeabilidad magnética.

Si se toma como una función senoidal resulta

La representación espacial de las es

“Fig. 1-2”

Donde se ve la perfecta uniformidad en el plano

O sea que si efectivamente la corriente de desplazamiento puede producir un campo magnético, resulta posible transmitir energía en forma de ondas electromagnéticas, dado que la propagación ondulatoria del campo eléctrico y magnético implican la traslación de la energía asociada a ellos.

Si consideramos una superficie cualquiera atravesada por ondas electromagnéticas, el régimen de emanación de energía por unidad de área a través de ella está dado por el vector de Poyntis (ver apénd. )

Para la propagación dada por

La ecuac. nos dice que el flujo de energía tiene, como es lógico la dirección de propagación de la onda (eje x) y que se anula cuando .

Si la luz es un fenómeno electromagnético, su velocidad de propagación en el vacío debe ser

Maxwell que conocía los valores de y obtenidos a partir de medidas eléctricas

calculó

que coincide con la velocidad de la luz obtenida por vía experimental.

Las hipótesis de Maxwell fueron ampliamente confirmadas en 1887 por Heinrich Hertz, quien utilizando un circuito oscilante (ver apénd. 2-d) obtuvo ondas electromagnéticas de longitud de onda que podía medir y como conocía

su frecuencia en base a las características de circuito pudo calcular la velocidad de propagación mediante

encontrando que efectivamente tenían la misma velocidad de la luz.

Mediante experiencias de reflexión, concentración por lentes, polarizaciión, etc. demostró que las mismas son en un todo análogas a la luz a excepción de la longitud de onda.

1.3- ESPECTRO ELECTROMAGNETICO

Conocidas ya las ondas herzianas, el espectro electromagnético se completó con el posterior descubrimiento en 1895, de los rayos X, cuya naturaleza electromagnética determinó Von Laue y el hallazgo de las radiaciones , quedando perfectamente determinado que lo único que diferencia a las distintas clases de radiaciones electromagnéticas es su longitud de onda.

Las distintas denominaciones son debidas fundamentalmente a causas históricas y a sus distintos usos.

En particular en el capítulo siguiente nos referiremos a la radiación térmica, debiéndose entender por la misma a aquella que se origina en los cuerpos únicamente a causa de la agitación térmica de los mismos y que por lo tanto excluye a fenómenos como los de quimioluminiscencia, etc.

Un diagrama general del espectro electromagnético es el de la fig. 1-3.

“Fig. 1-3”CAPITULO 2

RADIACION TERMICA

2.1-

En la sec. 1-3 quedó establecido que la única diferencia entre las distintas clases de energía radiante (luminosa, térmica, ultravioleta, etc.) es la longitud de onda de c/u de ellas.

En este capítulo se hará un estudio del fenómeno de radiación de energía, que por la razón apuntada más arriba se efectuará sobre una sola de sus formas (radiación térmica), (1), debiéndose entender que lo que se diga de aquí en adelante sobre ella, es susceptible de ser generalizado a todas las demás.

2.2- LEY DE PREVOST

Prevost en 1791 resumió los resultados obtenidos por Lambert y Pictet

(1) La elección de la radiación térmica no es arbitraria, dado que además de una justificación cronológica, su estudio lleva directamente a la teoría cuántica de Plank que es el punto de partida de toda una nueva rama de la física (sec. 1.1), enunciando que “todo sistema material a cualquier temperatura emite energía radiante. La intensidad de radiación de cada sistema es independiente de los sistemas que lo rodean, pero simultáneamente está absorbiendo parte o la totalidad de la radiación que proveniente de los demás llega a él. Si el sistema se halla en equilibrio térmico con los que los rodean, su temperatura no varía y emite tanta energía como la que absorbe”.

Si ahora centramos el estudio en la energía total emitida por un cuerpo determinado, midiéndola a distintas temperaturas T del emisor (2), se encuentra que la misma aumenta si T crece y disminuye al disminuir T, resultando que la energía total irradiada por unidad de área y por unidad de tiempo o poder emisor total del cuerpo es una cierta función de la temperatura del mismo.

El determinar esta función es uno de los problemas a resolver.

EMISIÓN Y ABSORCIÓN DE LA ENERGIA RADIANTE

2.3- CUERPO NEGRO

Ya sabemos (capítulo 1) que la radiación térmica no es monocromática, dado que presenta un espectro, por lo tanto la energía total

debe ser la resultante de la transportada a las distintas longitudes de onda que componen el espectro.

Se denomina energía monocromática a la irradiada por un cuerpo con longitud de onda . Para relacionar la energía emitida con las características del emisor, consideremos la energía irradiada por un cuerpo C a través de un elemento de área ds, en el intervalo espectral , que alcanza un elemento ds’ exterior a C

(fig. 2-1)

“Fig. 2-1”

(2) Experiencias de este tipo fueron realizadas por Tindall, que medía la radiación total proveniente de alambres calientes de Platino.

La energía irradiada que está en condiciones geométricas de alcanzar ds’ es la que propaga en el ángulo sólido d con que se ve ds’ desde ds; por lo tanto

resultara proporcional a la superficie de emisión ds, a y al intervalo espectral considerado.

El factor de proporcionalidad se denomina poder emisivo monocromático, y es el que caracteriza las propiedades emisivas del cuerpo a través de su superficie para dicha longitud de onda. (1)

De acuerdo con la ec (2.3-1), es el flujo normal de energía irradiada por unidad de superficie, unidad de ángulo sólido y unidad de intervalo espectral.

Si no constituye un sistema aislado, estará incidiendo sobre él energía radiante proveniente de otros sistemas, en particular a través del mismo cono

estará llegando a una cantidad de energía con longitudes de onda entre y que incidirá sobre ds. De esta cantidad, una parte será reflejada por ds; otra parte será absorbida por el cuerpo y el resto

lo atraviesa, o sea que la energía incidente la podemos escribir como la suma

y div. por

Los tres sumandos del segundo miembro nos definen:

1) El poder reflector monocromático

que por definición es la fracción reflejada por el cuerpo de la energía radiante incidente sobre él con esa longitud de onda.

(1) Es evidente que aún cuando el poder emisivo esté referido a la superficie del cuerpo, la radiación se origina en todo el cuerpo, pues la radiación se estará haciendo a expensas de otro tipo de energía que posea el emisor.

2) El poder absorbente monocromático

que es la fracción absorbida por el cuerpo de la energía radiante incidente sobre él con esa longitud de onda.

3) El poder diatérmano monocromático que se define como la fracción de la energía monocromática incidente que lo ha atravesado.

De todas estas definiciones, las que más nos interesan son las correspondientes al poder emisivo monocromático y al poder absorbente monocromático , pues en base a las mismas podemos introducir el concepto de un emisor muy particular denominado cuerpo negro. “Se define como cuerpo negro aquel que absorbe toda la energía radiante que incida sobre su superficie, cualquiera sea la longitud de onda considerada”, o sea que para todo , lo cual implica que absorbe toda la energía total incidente sobre él.

De (2.3-4) surge inmediatamente que para que un cuerpo sea negro tiene que tener y , es decir que no debe reflejar nada de la radiación cualquiera sea su longitud de onda y además tener suficiente espesor como para que ninguna parte de la radiación lo atraviese y pueda ser totalmente absorbida.

Aún cuando en la naturaleza no existe el cuerpo negro, hay sustancias como ser el negro de humo y el musgo de platino que se le

aproximan bastante, siendo posible con pequeños espesores absorber toda la energía radiante que penetre en ellos. No llegan a constituir cuerpos perfectamente negros pues sus poderes de reflexión aunque muy bajos no son nulos.

Experimentalmente se construye un dispositivo llamado espacio hueco de Kirchoff, cuyas características de emisión y absorción corresponden a las del cuerpo negro. Esto se consigue mediante un recinto cerrado de paredes interiores ennegrecidas y mantenido a temperatura constante (fig. 2-2), en el cual se efectúa un orificio en una de sus paredes.

“Fig. 2-2”

En estas condiciones un rayo que penetre por el orificio es totalmente absorbido, dado las muchas reflexiones que tendría que dar antes de poder salir.

En las discusiones de las siguientes secciones sobre el fenómeno de la radiación térmica, será en general de mayor interés el conocer la densidad de energía en el medio en el cual se encuentra la radiación, que la energía emitida o incidente E por unidad de área y tiempo. Por lo tanto se define como densidad de energía total en un medio en el cual hay radiación, a la energía por unidad de volumen en dicho medio. Análogamente se define la densidad de energía monocromática como la energía por unidad de volumen contenida en el medio de longitud de onda .

Estando relacionadas ambas mediante

2.4- LEY DE KIRCHOFF

La Ley de Kirchoff establece (ver apénd. 4) que el cociente entre el poder emisivo monocromático y el poder absorbente monocromático a una temperatura dada y para cada longitud de onda es una constante para todos los cuerpos.

Donde la función es la misma para todos los emisores.

O sea que para un sistema A, B, C, ... N, de cuerpos en equilibrio termodinámico se cumple que

si alguno de ellos fuera un cuerpo negro tendría por definición a

pudiendo por lo tanto enunciar que “el cociente entre el poder emisivo y el poder absorbente, para una longitud de onda dada, de cuerpos que se hallan todos a la misma temperatura, es constante para todos ellos, e igual al poder emisivo del cuerpo negro a esa temperatura y para esa longitud de onda”.

De la ec. (2.4-3), es inmediato que el cuerpo negro además de ser mejor absorbente es el mejor emisor para cualquier longitud de onda, pues siendo su el mayor de todos para cada , la verificación de la (2.4-3) exige que también lo sea su .

2.5- PODER EMISOR TOTAL – LEY DE STEFAN-BOLTZMAN

Según la sec. (2.2) la energía total emitida por un cuerpo es función de su temperatura.

Stefan en 1879 basándose en las ya mencionadas experiencias de Tindall, determinó que es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura.

Boltzman en 1884 a partir de consideraciones termodinámicas (ver apénd. 5-A5b) aplicadas a la radiación del cuerpo negro llega en forma teórica a la misma conclusión, obteniendo la relación

que para cuerpos distintos del negro, se escribe

donde e es un coeficiente específico de emisión cuyo valor varía desde 0 a 1.

La ec. (2.5-2) nos da la energía irradiada por unidad de área y por unidad de tiempo cuando la temperatura absoluta del emisor es T.

El valor de la constante de proporcionalidad no pudo ser determinado analíticamente, obteniéndose por vía experimental:

2.6- DISTRIBUCIÓN ESPECTRAL DE LA ENERGIA RADIANTE

Lummer y Pringhsheim efectuaron una serie de experiencias en las cuales resolvían las radiaciones provenientes de un cuerpo negro y medían la energía transportada a distintas longitudes de onda. Encontraron que la distribución de la energía en las distintas longitudes de onda no era uniforme, o sea que variaba al considerar distintos intervalos espectrales.

Los resultados para cuatro temperaturas pueden verse en la fig. 2-3. En ella se observa que al aumentar la temperatura, la longitud de onda que corresponde al máximo de la distribución energética se despaza hacia las longitudes de onda menores.

“Fig. 2-3”

Si es la energía emitida con longitud de onda la energía total está dada por

Por lo tanto el área cercada por cada curva representa la energía total emitida a esa temperatura, debiendo variar esta área con la cuarta potencia de T según la ec. (2.5-1)

2.7- LEYES DEL DESPLAZAMIENTO DE WIEN

Con las experiencias de Lummer y Pringhsheim se llega a que tiene que ser función de la longitud de onda considerada y de la temperatura del emisor.

Wien en 1893 estudia las consecuencias de una expansión adiabática (ver apénd. 5-A5c) de las radiaciones provenientes de un cuerpo negro, determinando que al pasar la temperatura del sistema de un valor inicial

a otro la radiación de longitud de onda debe pasar a un valor tal que

o sea que en forma general se debe cumplir

Resultando que durante la transformación la longitud de onda ha variado en forma inversa con la temperatura.

Las longitudes de onda que satisfacen la ec. (2.7-2) se denominan correspondientes.

La ec. (2.7-1) se debe cumplir también para las ordenadas máximas

el valor de la constante a determinado por vía experimental es

Por lo tanto conocido el valor de la temperatura de un cuerpo negro es inmediato determinar con la ec. (2.7-4) la longitud de onda a la que se tiene máxima emisión.

Simultáneamente Wien determinó que la relación entre la energía monocromática emitida y la temperatura es

que escrita para el máximo

con

Las ec. (2.7-4) y (2.7-5) son las expresiones matemáticas de las Leyes de Wien, obtenidas por éste en forma analítica a excepción de las constantes, las cuales debieron ser determinadas por vía experimental pues los razonamientos termodinámicos no eran suficientes para hacerlo.

2.8- TEORIAS DE WIEN Y DE RAYLEIGH-JEANS SOBRE LA DISTRIBUCION ESPECTRAL DE LA ENERGIA RADIANTE

Con la deducción de las leyes de Stefan-Boltzman y del desplazamiento de Wien la termodinámica agota sus posibilidades, por lo cual se hace necesario postular un modelo emisor para explicar el espectro energético de la fig. 2-3.

Wien en 1896 sobre la base de un modelo molecular, en el cual suponía que la energía era emitida con longitudes de onda proporcionales a la energía de las moléculas y cuya intensidad para cada estaba determinada por el número de moléculas que poseían dicha energía, determinó que:

donde c es la velocidad de propagación de radiación.

La ec. (2.8-1) se puede escribir

La ec. (2.8-1) o la (2.8-3) aún cuando dan muy buenos resultados para pequeñas longitudes de onda no resultan satisfactorias pues

1) mediante el razonamiento seguido para su obtención es imposible determinar las constantes

2) A medida que crece su discrepancia con los valores experimentales se hace cada vez más notable, no reproduciendo en su totalidad la distribución hallada por Lummer y Pringsheim.

El intento siguiente fue realizado por Lord Rayleigh y Jeans, quienes en base a la constitución atómica de la materia supusieron que la radiación de energía era efectuada por los electrones contenidos en la misma, los cuales actuaban como osciladores lineales emitiendo energía en forma de ondas electromagnéticas con frecuencias iguales a la frecuencia del oscilador y cuya intensidad está determinada por el número de osciladores que vibran con esa frecuencia.

Para determinar el número de osciladores que están emitiendo en un determinado intervalo espectral d , consideraron una cavidad de paredes reflectoras ocupadas por ondas electromagnéticas estacionarias que constituyen la radiación y determinaron el número de modos de vibración por unidad de volumen de las ondas electromagnéticas para el intervalo (ver apénd. 6).

Conocido este número, que equivale a conocer el número de osciladores que están emitiendo en el intervalo , la densidad de energía transportada en el mismo tiene que ser igual al producto de por la energía media de los osciladores.

Como para un oscilador lineal, resulta por el principio de equipartición que:

Por lo tanto si es la densidad de energía monocromática, la densidad en el intervalo d será:

Donde T es la temperatura de la radiación.La ec. (2.8-7) tampoco concuerda con la experiencia, pues en ella

lo cual no es cierto.

Además la densidad de energía total resulta infinita para cualquier temperatura distinta de 0, pues

que tampoco es cierto.

La expresión de Reyleigh y Jeans resulta satisfactoria para grandes longitudes de onda.

2.9- TEORIA DE PLANCK SOBRE LA RADIACIÓN TERMICA

Planck toma las ideas de Rayleigh y Jeans y admite que efectivamente el número de osciladores que emiten en el intervalo es el dado por la ec. (2.8-4), debiendo por lo tanto estar el error en la energía media atribuida a cada oscilador.

Para un oscilador armónico simple, como los supuestos por Planck, la ecuación del movimiento es

que puesta en función de la frecuencia

La energía del oscilador es igual a la suma de la energía sinética más potencial

siendo la constante de fuerza y la masa.

La cantidad de movimiento es

que llevada a la ec.

Como es sabido, para un movimiento armónico simple, la frecuencia resulta

que introducida en

reagrupando

que responde a la forma general

correspondiente a la ec. De una elipse en un plano q-p denominado espacio de las fases, de semiejes

O sea que cada oscilador estará representado, de acuerdo a su estado energético, por un punto del espacio de las fases y además según la ec. (2.9-9) todos los osciladores de igual energía se encuentran sobre un clipse (figura.2-4).

“Fig. 2-4”

Si N es el número total de osciladores, el número de ellos correspondientes al elemento de área del espacio de las fases (fig.2-5), debe ser proporcional a N, al área considerada y a la probabilidad de encontrarse en el estado energético correspondiente a dicho elemento.

De acuerdo con la distribución estadística de Boltzman, la probabilidad de que un oscilador se encuentre en el estado energético es

resultando

El área de un eclipse de semiejes a y b es

que según las

(2.9-15)

por lo tanto

resultando

con

que nos da el número de osciladores con energías entre y

Si ahora se divide el espacio de las fases mediante elipses, de tal manera que todas las badas elípticas así determinadas tengan igual área que designaremos h (fig.2-6)

“Fig. 2-6”

Resulta que la primer elipse encierra un área

y la enésima

De la ec.

y para la elipse n-1

Resultando que al salto energético al pasar de una elipse a otra inmediata es

Así dividido el espacio de las fases es posible obtener N como la de los osciladores correspondientes a cada banda elíptica, si se extiende la sumatoria a todas las bandas. El número de osciladores comprendido entre las elipses n-1 y n es

Es aquí donde Planok introduce su hipótesis fundamental, al postular que los y sino que todos los componentes del grupo deben tener un único

valor de la energía, que él tomó igual a la de la elipse límite inferior (ver sec. 2.10), resultando ahora inmediata la integral (2.9-22)

Reemplazando en ésta las ecs. (2.9-20) y (2.9-21)

con

Para n-1 resulta que es el número de osciladores encerrados por la primer elipse.

Finalmente

donde el término entre paréntesis corresponde al desarrollo en serie de potencias de la expresión

En la hipótesis de atribuir a los osciladores de onda de cada corona la energía de la elipse límite inferior, al área encerrada por la primer elipse le corresponde energía nula, a la corona comprendida entre la primera y segunda elipse (según ec. 2.9-20), a la comprendida entre la segunda y la tercera, etc.

Por lo tanto la energía total del conjunto de osciladores resulta:

El término entre paréntesis es el desarrollo en serie de

Resultando la energía media de cada oscilador

De acuerdo con ésta y la ec. la densidad de energía transportada en el intervalo es:

y como

La ec. (2.9-29), es la fórmula de Plank que da la distribución espectral de la energía radiante y está en perfecta concordancia con los resultados experimentales.

Resumiendo las hipótesis utilizadas por Plank son:

1) La emisión de energía es efectuada por osciladores armónicos simples contenidos en el cuerpo negro y que pueden vibrar con todas las frecuencias.

2) La frecuencia de la energía emitida por un oscilador es igual a la frecuencia del movimiento del oscilador.

3) La emisión de energía por un oscilador no es una función continúa y solamente puede tomar una sucesión de valores discretos que son múltiplos enteros de una cantidad básica de energía determinada por la frecuencia del oscilador. Si es dicha frecuencia, la sucesión de valores denominados cuantos de energía es

Siendo h una constante universal denominada constante de acción de Planck cuyo valor es

(1) Efectivamente la constante h tiene dimensiones de acción, dado que esta se define por la integral

donde Ec es energía cinética. De acuerdo con esta ec., la acción tiene dimensiones de energía multiplicada por tiempo.

2.10 CONLUSIONES QUE SE DERIVAN DE LA TEORIA DE PLANK

En la ec. (2.9-27), que da la energía media de los osciladores, se hace tender a cero la discontinuidad impuesta por éste al proceso de emisión de energías:

para lo cual

que está de acuerdo con lo que suponía la física clásica debía ocurrir a esa temperatura.

Pero si se le asignara como se hace hoy en la mecánica ondulatoria, el valor medio aritmético de los límites, resulta una energía media

Según la ec. (2.10-2) los osciladores en el cero absoluto todavía tienen

energía, e igual a

2.11 LAS ECUECIONES DE WIEN, RAYLEIGH Y JEANS Y DE STEFAN BOLTMAN A PARTIR DE LA FORMULA DE PLANK

La ec. (2.9-29) contiene como casos particulares a las distribuciones de Wien y Bayleigh-Jeans

En efecto, si en

tomamos longitudes de onda muy pequeñas, resulta muy grande, por lo

tanto

que reemplaza en la anterior

resultando la ley de Wien. Si comparmos con la (2.8-3)

debe ser

y

Desarrollando en serie de potencias

y considerando longitudes de onda muy grandes , se pueden despreciar las

potencias superiores a la unidad de resultando:

que no es otra que la fórmula de Rayleigh y Jeans.Si es la densidad de energía monocromática, la densidad total de energía radiante es

Efectuando la sustitución

resulta

con nuevos límites de integración

Reemplazando en (2.11-6)

Efectuando la integral

Resultando

que es la ecuación de Stefan-Boltzman

con

Teniendo en cuenta la relación que existe entre y (ver apénd. 3)

La ec. (2.11-9) resulta

El valor de obtenido de esta manera resulta sensiblemente igual al determinado por métodos experimentales, con una aproximación que cabe dentro del margen de exactitud que se le puede atribuir a dichas experiencias.

De la ec. De Plank, podemos obtener también las leyes del desplazamiento de Wien.En efecto, si en

Hallamos el valor de que hace máxima la función, para lo cual debe ser

, o si efectuamos el cambio de variables

Poniendo (2.11-10) en función de x

y derivando

para lo cual debe ser

haciendo

La solución de la ec. (2.11-15) debe satisfacer simultáneamente a las ecs. (2.11-16) y (2.11-17).

Procediendo a una resolución gráfica, mediante la representación de las funciones (2.11-16) y (2.11-17).

Resultando que el valor de x que hace máxima es

Por lo tanto

resultando la primera ley de Wien. De acuerdo a (2.11-18) el valor de la constante a resulta

que constituye una muy buena aproximación respecto del valor experimental de 2,884 x 10-3 m x grado. Para obtener la segunda ley del desplazamiento de Wien, no hay más que reemplazar el valor de en la ec. (2.11-10):

con

resultando (2,11-19) la segunda ley de Wien.

APENDICE I

El método general seguido para investigar la distribución espectral de la energía radiante es resolver las radiaciones mediante un prisma adecuado (sal de roca , cuarso, fluorita) y medir la energía transportada por las distintas partes del espectro. Un esquema genera sería:

“Fig. 1”

Dispositivos de mediciónPar o pares termoeléctricos-Radiómetro de Boys

AD y BC son conductores de un mismo material y distinto del AB, conectados como se indica en la figura 2.

En condiciones isotérmicas del circuito no circula corriente por él; pero si se hace siendo A y B las soldaduras de los metales, aparece una f.e.m. entre D y C que se detecta por la circulación de corriente en el galvanómetro G.

Para un par metálico dado, y fijada la temperatura de una de las soldaduras , en ciertos intervalos resulta la corriente proporcional a lo

que permite tasar G directamente en temperaturas.

Para medir energía radiante se utiliza en realidad (método de Melloni) una cadena metálica, dispuesta de tal manera que la mitad de las uniones se encuentran sobre una superficie ennegrecida sobre la cual incide la radiación y la otra mitad sobre una superficie mantenida a temperatura de referencia.

“Fig. 3”

Un refinamiento del método termoeléctrico para medir radiaciones lo constituye el Radiómetro de Boys. En él, un par metálico forma la única espira del cuadro móvil de u galvanómetro de D’ Ansonval (fig. 3)

La soldadura A sobre la cual incide la radiación se encuentra ennegrecida.

La corriente que circula por el cuadro al ser lo hace girar en el campo del imán hasta la posición de equilibrio con la culpa elástica del hilo suspensor.

El giro hace rotar al haz de luz que incide sobre el espejo que es solidario del hilo, obteniéndose una instrumento de gran sensibilidad.

Para variaciones tan pequeñas como se obtienen corrientes del orden de ampere, medibles en este tipo de galvanómetro.

Barómetro

Es un pirómetro de resistencia dispuesto de manera que pueda medir energía radiante.Se construye mediante una cinta de platino ennegrecida dispuesta como una de las ramas de un puente de Wheatstone. Al incidir radiación sobre ella aumenta su temperatura lo que produce una variación en la resistencia de la rama.Esta variación se mide con el puente y siendo conocida la función que relaciona la resistencia de la cinta con la temperatura, se puede determinar la energía absorbida.

“Fig. 4”

APENDICE II

A-2ª Ecuaciones de Maxwell

La ley del flujo de Gauss demuestra que si una superficie cerrada S encierra una colección de cargas eléctricas, el flujo del vector intensidad de campo eléctrico E, a través de ella es:

(1)

que para una distribución continua de densidad de carga podemos escribir

(2)siendo el volumen encerrado por S.

Aplicando el teorema de la divergencia

(3)

que reemplazada en (2)

(4)

igualdad que se debe verificar para cualquier volumen, lo que exige que sean iguales los integrados

(5)

Introduciendo en la (5) el vector desplazamiento eléctrico definido por ésta resulta:

(6)

La (5) o la (6) constituyen la primera ecuación de Maxwell.

Partiendo de que el flujo del vector inducción magnética a través de una

superficie cerrada es nulo y aplicando el teorema de la divergencia

(7)

que debiendo cumplirse para cualquier volumen exige que

(8)

siendo la (8) la segunda ecuación de Maxwell.

Para obtener la tercera de las ecuaciones efectuemos la circulación del vector intensidad del campo magnético (o excitación magnética) a lo largo de un circuito cerrado C, resultando

(11)

Esta ecuación tal cual está escrita, solamente es aplicable a un conjunto de casos particulares, dado que para que se cumpliera la ecuación (11) en todo momento, debería ser siempre nula la divergencia de (pues la divergencia de de por si es nula en todos los casos), lo cual no es cierto . En efecto, si consideramos una superficie cerrada y tenemos un flujo neto de corriente hacia fuera (o adentro) de la misma, esta corriente debe ser igual al régimen de decrecimiento (o crecimiento) de la carga encerrada por por lo tanto

(12)

si la superifie se estacionaria respecto del tiempo, podemos pasar la derivación dentro de la integral, y por el teorema de la divergencia

(13)

debiendo ser válida para todo volumen

(14)

o sea que las ec. (11) solamente es aplicable en aquellos casos en que

La hipótesis de Maxwell fue que al segundo miembro de la ec. (11) había que agregarle un término con dimensiones de densidad de corriente y tal que cumpliera que:

(15)Y además supuso que el término adecuado a agregar es el dado por la ec. (14) es decir

adicional=

y teniendo en cuenta la ec. (6)

adicional= (17)

(18)

resultando finalmente la tercer ecuación de Maxwell

(x) Evidentemente es posible escribir pues el operador implica un conjunto de derivaciones y lo que se ha hecho es cambiar el orden de las mismas.

(19)

La cuarta ecuación se obtiene a partir de la ley de Faraday de las f.e.m. inducidas. Esta nos dice que un campo magnético variable induce en un

circuito C una f.e.m. siendo el régimen de variación del flujo concatenado por el circuito. O sea que para cada punte de este circuito tendremos un vector intensidad de campo eléctrico tal que

(20)

siendo una superficie cuya frontera es C

Si el circuito es estacionarlo en el tiempo

Aplicando el teorema de Stookes a la ec. (20)

(21)

que para que se cumpla para cualquier superficie exige que

(22)

que es la cuarta ec. De Maxwell.

A2b Solución de las ecuaciones de Maxwell

Planteando las ecuaciones de Maxwell para un medio homogéneo en el cual no haya cargas ni corrientes de conductividad y teniendo en cuenta que

resulta

(23a)

(23b)

(23c)

(23d)

Para resolver este sistema, premultiplicamos vectorialmente ambos miembros de 23-b por el operador

(24)

Al efectuar x nos va a quedar una suma de términos de la forma en

los cuales podemos invertir el orden de derivación resultando por lo tanto que

Desarrollando el triple producto vectorial

(25)

donde de acuerdo a 23d . Reemplazando en (24)

(26)

e introduciendo la 23-a

(27)

Dando un tratamiento similar a la ec. (23-a) por eliminación de se llega a la ec. Formalmente análoga

(28)

Podemos encontrar que tanto la (27) como la (28) se satisfacen por ec. de onda.

En efecto, supongamos que tanto como sean funciones exclusivas de una cierta dirección (x por ejemplo) y del tiempo t

Desarrollando las ecs. (23); de 23-a

pero

Análogamente de 23-b

De 23 -c y 23-d

Resultando Ex y Hx constantes en x y en t podemos considerarlas nulas.

De las ecs. (29) y (30) surge que obtendremos dos paros independientes de soluciones a partir de

1er.par de ecuaciones (31)

2do. Par (32)

Busquemos solución para el primer par; de hecho Ey y Hz deben satisfacer a las ecs. (27) y (28) respectivamente.

(33)

efectuando el cambio de variables

resulta función de y derivando

como

derivando nuevamente

(35)

Análogamente

derivando por segunda vez y operando

(36)

Reemplazando (35) y (36) en (33)

y haciendo la constante resulta

(37)

Integrando respecto de v

Con arbitraria. Integrando respecto de

(v)(v)

con (v) y (u) funciones arbitrarias que de acuerdo a las ecs. (34) son

(38)

Siendo y ecuaciones de onda que se propagan con

velocidad en el sentido positivo y negativo del eje de las x.

De igual manera obtendríamos según la ec. (28) que

(39)

pero las ecs. (38) y (39) se hallan relacionadas por las (31), efectuando las correspondientes derivadas de y resulta

siendo ,

reordenando

que para que se verifique debe ser

(40)

Resultando finalmente el par de soluciones relacionadas

(41)

Análogamente a partir de las (32) obtendremos el otro par de soluciones

(42)

Habiéndose obtenido las soluciones de las ecuaciones de Maxwell para ondas planas dado que en todo instante los vectores y se encuentran en el plano Y-Z perpendicular a la dirección de viaje x.

En lugar de fijarnos las condiciones de borde anteriores, podemos buscar solución al caso determinado por una fuente que emite en todas las direcciones en un medio homogéneo e isótropo, tal que las funciones resultan depender únicamente de la distancia r al emisor y del tiempo t . Si una ec. v(r,t) de este tipo, tiene que satisfacer la ec. de D’Ambert

(43)

resulta

(44)

que corresponde a la ecuación de una onda esférica que se propaga con velocidad a.

A 2-c Energía de la onda

De acuerdo con A 2-a y A 2-b una onda que se propaga transporta energía en los campos eléctricos y magnéticos; para calcularla consideremos una superficie cerrada de volumen .La energía electromagnética total encerrada por es

(45)

: Energía campo eléctrico: Energía campo magnético

siendo (46)

(47)

Si es atravesada por ondas electromagnéticas, el flujo neto de energía por unidad de tiempo transportada por las mismas tiene que ser igual al régimen de variación negativa de

(48)

si es estacionaria

(49)

Reemplazando 23-a y 23-b en (49)

(50)

La cantidad subintegral de (50) es el gradiente del producto

(51)

que por el teorema de Gauss

(52)

(x) Desarrollando según sus componentes es fácil demostrar que

Si designamos por el régimen de emanación de energía por unidad de área a través de al ser atravesada por ondas electromagnéticas, el flujo neto de energía por unidad de tiempo es

(53)

e igualando (52) con (53)

(54)

(55)El vector se lo conoce como vector de Poyntig y según lo expresado más arriba nos da el régimen de emanación de flujo por unidad de área a través de una superficie atravesada por ondas electromagnéticas cuyas componentes eléctricas y magnéticas en esa superficie son y .

A 2d Oscilador y Receptor de Hertz

En sus experiencias Hertz utilizó un oscilador abierto constituído por dos conductores A1, A2, -, de capacidad e inductancias distribuidas, montado como se indica en la fig. 1.

“Fig. 1”

Al abrir L se produce una diferencia de potencial entre los extremos de la bobina de Ruhmkoff, suficientemente elevada como para que salte la chispa entre los conductores, produciéndose una descarga oscilante amortiguada de alta frecuencia. En tales condiciones A1 A2 vibra produciendo ondas electromagnéticas con longitud de onda igual a 21.

Como receptor utilizó un circuito oscilante puesto en resonancia con la onda a detectar, lo que depende de la capacidad del receptor. Hertz lo construyó mediante una espira como la indicada en la fig. 2

En el oscilador se inducían oscilaciones eléctricas tan intensas que saltaba una chispa en el chispero c.

APENDICE III

Densidad de energía e intensidad específica de la radiación

Sea una cavidad que contiene radiación en equilibrio termodinámico. Si en ella se toma un elemento de área (fig. 1), la energía dE (1)

“Fig. 1”

Que lo atraviesa por unidad de tiempo y que se propaga en el ángulo sólido , debe ser proporcional al ángulo sólido tomado y a ds

(1)siendo el factor de proporcionalidad la intensidad total de la radiación, que de acuerdo con la ec. (1) es el flujo normal de radiación por unidad de superficie y por unidad de ángulo sólido.

Análogamente si consideramos el flujo , correspondiente al intervalo espectral a través de

(2)

donde es la intensidad específica monocromática de radiación, relacionada con la total mediante

(3)

La intensidad monocromática de radiación depende del cuadrado del índice de refracción del medio, de la temperatura y de la longitud de onda considerada. En particular para el vacío cuyo índice de refracción n vacío es igual a 1 resulta

(1) el subíndice e indica la orientación del haz respecto de la normal a ds

El flujo consideradas todas las direcciones se puede obtener a partir de las ec (2) si se expresa en función de las coordenadas angulares y se realiza la integral correspondiente. Un diferencial de ángulo sólido en función de las coordenadas angulares está dado por

que introducida en (2) e integrando para entre 0 y , y entre 0 y

(5)

Si es la energía de la radiación correspondiente a la longitud de onda , el flujo correspondiente al intervalo espectral a través de debe ser

(6)De (5) y (6)

(7)

La energía total se puede obtener a partir de (7) mediante

(8)

De acuerdo con la ec. (2) la energía que se propaga por unidad de tiempo en el ángulo sólido es

(9)

siendo la sección transversal del haz en el punto de estudio .Si c es la velocidad de propagación, el espacio recorrido por la radiación en la unidad de tiempo es c y la energía dada por la ec. (9) debe estar distribuida en el volumen c , resultando que la densidad de energía para el intervalo y con la sola contribución de la energía que se propaga a través de es:

(10)

Integrando la ec. (10) para todas las direcciones se obtiene la densidad de energía Correspondiente al intervalo espectral

(11)

y por lo tanto la densidad de energía monocromática será:

(12)

y la densidad total

(13)

Si se relacionan las ec. (7) y (12)

Análogamente con (8) y (13)

(15)

APENDICE IV

Primera Ley de Kirchoff

Sea un recinto cerrado adiabático que contiene un número cualquiera de cuerpos en equilibrio termodinámico (fig.1) a temperatura T.

“Fig. 1”

Es evidente que en este estado de equilibrio cada cuerpo emite igual cantidad de energía que la que absorbe (Ley de Prevost), pues estaría en contra del segundo principio de la termodinámica el que alguno de ellos variara espontáneamente su temperatura.

La energía que irradia por unidad de tiempo uno cualquiera de los cuerpos a través de un elemento de su superficie en el ángulo sólido y en el intervalo espectral está dado por la ec. (2.3-1) (sección 2.3)

(1)

Debido a la emisión de energía radiante de todos los cuerpos que componen el sistema, en el recinto tendremos una intensidad específica de radiación para la longitud de onda , de manera que por incide sobre una cantidad de energía que según la ec. (2) del apéndice 3 es

(2)

una parte de será reflejada por el cuerpo y la otra absorbida. Si es el poder de la absorción del cuerpo para esa longitud de onda, la energía absorbida será:

(3)

y la diferencia entre la energía emitida y absorbida a través de en el intervalo comprendido entre y

(4)

Integrando la ec. (4) para todas las longitudes de onda, toda la superficie del cuerpo y todas las direcciones, se obtiene la diferencia neta entre la energía emitida y absorbida que debe ser nula:

(5)lo que exige que sea

(6)

para toda longitud de onda

(7)

Siendo una vez fijado el medio-únicamente función de la temperatura y de la longitud de onda (apend. 3) considerada resulta:

(8)

APENDICE V

Presión de radiación- Deducción termodinámica de las leyes de Stefan Boltzman y del desplazamiento de Wien

A.5.a Presión de Radiación

Levedev confirmó experimentalmente (con un dispositivo como el esquematizado en la fig. 1) la existencia de la presión que según la teoría de Marxwell debían ejercer las ondas electromagnéticas que inciden sobre una superficie.

“Fig. 1”

Este encontró que al hacer incidir luz sobre una sola de las paletas, el hilo que las sostiene gira, hasta que el par elástico antagónico del mismo equilibra el momento producido por la fuerza que actúa sobre la paleta iluminada . Sea una superficie perfectamente reflectora y un elemento ds de la misma (fig.2)

“Fig. 2”

La energía que llega a a través de en la unidad de tiempo es según ec. (1) del apéndice3

(1)

como a una cantidad de energía que se traslada a velocidad c le

corresponde una cantidad de movimiento ; la cantidad de movimiento que

está llegando por unidad de tiempo a es

(2)

cuya componente normal a la superficie es

(3)

y la tangencial

(4)

Como se ha supuesto la pared perfectamente reflectora, la componente tangencial no varía durante la reflexión mientras que la normal cambia de sentido, o sea que pasa a ser

(5)

Por lo tanto la variación neta de cantidad de movimiento durante la reflexión es

(6)

que integrada para todas las direcciones nos da la transferencia total de cantidad de movimiento entre el haz y . Poniendo en función de las coordenadas angulares y resulta:

(7)

La transferencia de cantidad de movimiento es igual al impulso que el haz ejerce sobre y el impulso por unidad de tiempo da la fuerza que debida a la radiación actúa sobra , por lo tanto

impulso por unidad de tiempo (8)

y la presión P

(9)

Siendo según la ec. (13) del apéndice (3)

(10)

resulta

(11)

que da la presión de la radiación en función de la densidad de energía.

A.5 Ley de Stefan-boltzman

Sea un cilindro de paredes reflectoras y conductoras del calor (fig.3) lleno de radiación de cuerpo negro con densidad de energía

“Fig. 3”

y en equilibrio termodinámico.

De acuerdo con lo deducido en el apartado anterior la radiación tendrá una cierta presión p y se puede asimilar a un gas al cual son aplicables las leyes de la termodinámica.

Por lo tanto de acuerdo con la ec. de Helmholtz la energía libre F del sistema será:

donde U es la energía interna, S la entropía y T la temperatura del sistema.

Diferenciando (12)(13)

Para un proceso reversible

(14)que reemplazada en (13)

(15)