CAPITULO2 Matricesb

Matrices y Determinantes

MATEMÁTICAS I 3355

2. MATRICES Y DETERMINANTES

SUMARIO:

INTRODUCCIÓN

OBJETIVOS

INTRODUCCIÓN TEÓRICA

1.- Matrices.

2.- Operaciones con Matrices.

3.- Equivalencia de Matrices. Transformaciones Elementales de

Matrices.

4.- Cálculo de la Matriz Inversa.

5.- Determinantes.

6.- Desarrollo de un Determinante.

7.- Propiedades de los Determinantes.

8.- Expresión de la Matriz Inversa .

PROBLEMAS RESUELTOS.

BIBLIOGRAFÍA

Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.

MATEMÁTICAS I 3366

INTRODUCCIÓN

En este punto del temario surge un dilema para el profesor. Si se

persigue una rigurosidad matemática habría que comenzar este segundo

bloque definiendo la estructura de Espacio Vectorial, para a continuación y

como ejemplo, definir las Matrices, pasando posteriormente a las

aplicaciones lineales, los sistemas de ecuaciones y finalmente como ejemplo

de aplicación multilineal, dar los determinantes.

Sin embargo en un curso de Álgebra lineal dentro de la formación de

un Ingeniero Técnico, creemos que se debe ser más flexible en el orden de

los temas atendiendo fundamentalmente al criterio de que al alumno lo que

le interesa es el manejo práctico que de toda esta herramienta puede realizar.

Es por esto que, siendo fieles a la evolución del Álgebra, comenzamos el

tema incentivándolos mediante un ejemplo en el que halla que resolver un

sistema de ecuaciones y a continuación les exponemos toda la matemática

necesaria que les facilitará dicha resolución: las matrices y los determinantes,

para finalmente atacar con esta herramienta cualquier sistema de ecuaciones

que se les presente. Este orden nos permite mostrarles los espacios

vectoriales dotados de una gran cantidad de elementos matemáticos que nos

evitarán teorizar en demasía y avanzar con fluidez en los siguientes temas.


MATEMÁTICAS I 3377

OBJETIVOS

• Realizar con soltura las distintas operaciones con matrices.

• Comprobar que las matrices cuadradas de orden n tienen una

estructura de anillo.

• Conocer las posibles operaciones elementales, e identificarlas con

el producto por la correspondiente matriz elemental.

• Comprender su significado y calcular con precisión el rango de una

matriz.

• Manejar el método de Gauss para hallar una matriz escalonada

equivalente.

• Determinar subconjuntos notables de matrices cuadradas como

diagonales, matrices de traza nula, triangulares de cada tipo,

simétricas, antisimétricas, hermíticas, antihermíticas, etc.

• Calcular, si es posible, como producto de matrices elementales, la

inversa de una matriz cuadrada.

• Comprender el sentido de las propiedades de los determinantes,

cuyo fin es calcularlos con mayor comodidad que siguiendo la

definición.

• Conocer y practicar con soltura el cálculo de un determinante por

los diferentes métodos y elegir la estrategia más adecuada en cada

caso.

• Calcular con soltura el rango de una matriz empleando

determinantes.


MATEMÁTICAS I 3388

• Decidir si una matriz tiene inversa, o no, a través de su propio

determinante. Cuando exista, calcular la inversa mediante

determinantes.


MATEMÁTICAS I 3399

INTRODUCCION TEORICA

1. MATRICES

Una matriz A de orden m n× es un conjunto de m n⋅ elementos

pertenecientes a un cuerpo K , ordenados en m filas y en n columnas.

11 112

221 22

1 2

n

ni j

n nnn

a a aa a a

A a

a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= = donde 1i m= ,... , 1j n= ,..., .

Nosotros consideraremos que K es el cuerpo o .

Simbolizaremos una matriz por una letra mayúscula A o por :

1 21 2

i mi jj n

a⎛ ⎞⎜ ⎟ = , ,...,⎝ ⎠

= , ,...,,

o de forma más sencilla por i ja⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(el subíndice i nos indica la fila en la

cual se encuentra el elemento, el j la columna).

1.1. Tipos particulares de Matrices

Si 1m = la matriz A se llama matriz fila.

Si 1n = la matriz A se llama matriz columna.

Si m n≠ la matriz A se llama matriz rectangular

Si m n= la matriz A se llama matriz cuadrada y se dice de orden n .

NOTACIONES

El conjunto de matrices de orden m n× cuyos elementos toman valores

del cuerpo K se simboliza por ( )m nM K× .


MATEMÁTICAS I 4400

Si K = , se simplifica la notación por ( )M m n, o m nM × .

El conjunto de matrices cuadradas de orden n se simboliza por ( )nM K .

Si K = , utiliza la notación nM o n nM × .

1.2. Definición de Matriz Nula

Matriz nula n n×O es aquella en que todos sus elementos son 0 , es decir,

0i ja = , 1 2i m∀ = , ,..., , 1 2j n∀ = , ,..., . Cualquiera que sea el orden de las

matrices con las que se trabaje, siempre es posible definir su matriz nula.

1.3. Definición de Diagonal Principal

Si A es una matriz cuadrada de orden n la diagonal principal de A es los

elementos de la forma iia , 1 2i n∀ = , ,... .

1.4. Definición de Traza

Traza de una matriz cuadrada A es la suma de los elementos de la

diagonal principal:

11 22( ) ( ) nnTraza A Tr A a a a= = + + + .

2. OPERACIONES CON MATRICES

2.1. Igualdad

Dos matrices A y B del mismo orden m n× son iguales si y sólo los

elementos situados en las mismas posiciones en ambas matrices coinciden,

es decir, si: i j i ja b= ,


MATEMÁTICAS I 4411

1 2i m∀ = , ,..., , 1 2j n∀ = , ,... .

2.2. Suma de matrices

Dadas dos matrices A y B del mismo orden m n× se define la matriz

suma C A B= + , como la matriz de orden m n× que resulta de sumar

entre sí los elementos que ocupan las mismas posiciones en ambas matrices,

es decir:

i j i j i jc a b= + , 1 2 1 2i m j n∀ = , ,... , ∀ = , ,..., .

2.3. Producto de una matriz por un número

Dada una matriz A de orden m n× y dado un elemento Kλ ∈ , la matriz

B = Aλ (producto de la matriz A por el elemento del cuerpo λ ) es la

matriz de orden m n× que resulta de multiplicar todos los elementos de A

por λ , esto es:

i jb = i jaλ , 1 2i m∀ = , ,..., , 1 2j n∀ = , ,..., .

2.4. Producto de matrices

Dadas dos matrices A de orden m n× y B , de orden n p× , su matriz

producto C A B= ⋅ es una matriz de orden m p× tal que:

1 1 2 21

n

i j i k k j i j i j i n n jk

c a b a b a b a b=

= = + + +∑ , 1 2i m∀ = , ,..., ,

1 2j p∀ = , ,..., .

IMPORTANTE: Para que se puedan multiplicar dos matrices, el número

de columnas de la primera debe ser igual al número de filas de la segunda.

El producto de matrices no es conmutativo .


MATEMÁTICAS I 4422

2.5. Trasposición de matrices

Dada una matriz A de orden m n× se define su matriz traspuesta, que se

simboliza por tA como la matriz que resulta de intercambiar en A sus filas

por sus columnas, esto es:

( )ti ja , donde 1i m= ,... , 1j n= ,..., y con t

i j j ia a= .

El orden de la matriz traspuesta es n m× .

Las principales propiedades de la trasposición de matrices son:

( )t t tA B A B+ = +

( )t t tA B B A⋅ = ⋅ .

2.6. Tipos de Matrices Cuadradas

Una matriz A, cuadrada de orden n se dice que es:

Diagonal, si 0i ja = , si i j≠ .

Escalar, si es diagonal y i ia a= , 1 2i n∀ = , ,..., .

Identidad, si es escalar y 1i ia = , 1 2i n∀ = , ,..., . Se denota por I .

Triangular superior, si 0i ja = , i j∀ > .

Triangular inferior, si 0i ja = , i j∀ < .

Regular o invertible, si existe su inversa (trabajando con el producto de

matrices). A la matriz inversa se la denota por 1A− y verifica: 1 1A A A A− −⋅ = ⋅ = I .

Singular, si no tiene inversa.

Simétrica, si tA A= .


MATEMÁTICAS I 4433

Antisimétrica, si tA A= − , (también se denomina hemisimétrica).

Idempotente, si 2A A= .

Involutiva, si 2A = I .

Ortogonal, si 1tA A−= .

3. EQUIVALENCIA DE MATRICES. TRANSFORMACIONES ELEMENTALES

DE MATRICES

Las transformaciones elementales de fila más importantes son:

La permutación de las filas i y j , que denotaremos por i jF .

El producto de la fila i por una constante 0k ≠ , denotada por ( )iF k .

Sumar a la fila i la j multiplicada por k , denotada por ( )i jF k .

Análogamente las transformaciones elementales de columnas son i jC ,

( )iC k , y ( )i jC k .

3.1. Matriz Elemental

Matriz elemental es toda matriz que resulta de aplicar una transformación

elemental a la matriz identidad. iF denotará una matriz elemental general

de tipo fila y jC denotará una matriz elemental general de tipo columna.

Las distintas matrices elementales son:

1.- i jF y i jC que resultan de intercambiar en la matriz identidad n n×I las

filas i y j , en el caso de ijF , o las columnas i y j , en el caso de i jC . Por

lo tanto,


MATEMÁTICAS I 4444

si

1 0 00

11

10

0 0 1

n n×

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

I

se tiene que al intercambiar las filas (o las columnas) i y j resulta:

i j

1

0 1

1 0

1

i j i j

i

F Cj

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2.- ( )iF k y ( )iC k que resultan de multiplicar en la matriz identidad n n×I

la fila i por el escalar k , en el caso de ( )iF k , o la columna i por el escalar

k , en el caso de ( )iC k .

1

1( ) ( )

1

1

i i

i

F k C k ik

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠


MATEMÁTICAS I 4455

3.- ( )i jF k y ( )i jC k que resultan de sumar en la matriz identidad n n×I a la

fila i la j multiplicada por el escalar k , en el caso de ( )ijF k , o a la

columna i la j multiplicada por el escalar k , en el caso de i jC .

1

1( )

1

1

i j

ik

F kj

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1

1( )

1

1

i j

i j

C kk

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

NOTA: La matriz que se obtiene al realizar una transformación elemental

en la matriz A de orden n m× por filas (columnas) coincide con la matriz

obtenida al multiplicar por la izquerda (derecha) la matriz A por la matriz

elemental correspondiente.

En la matriz 1 21 2

i ni jj m

A a⎛ ⎞⎜ ⎟ = , ,...,⎝ ⎠

= , ,...,= se pueden obtener las siguientes

transformaciones, siendo i j< .


MATEMÁTICAS I 4466

11 1 1 1

1

1

1

i j m

j j i j j j m

i j

i ii i j im

n ni n j nm

a a a a

a a a aF A

a a a a

a a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

11 1 1 1

1

1

1

j i m

i i j i i im

i j

j j j j i j m

n n j ni nm

a a a a

a a a aAC

a a a a

a a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

( )i jF k A =

11 1 1 1

1 1

1

1

i j m

i j i i j i i j j j im j m

j ji j j j m

n ni n j nm

a a a a

a k a a k a a k a a ka

a a a a

a a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+ + + +

11 1 1 1 1

1

1

1

i j j m

i i i i j i j im

i j

j j i j j j j j m

n ni n j n j nm

a a k a a a

a a k a a aAC

a a k a a a

a a k a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+

+

=+

+


MATEMÁTICAS I 4477

iF

11 1 1 1

1

1

1

( )

i j m

i i i i j im

j ji j j j m

n ni n j nm

a a a a

k a k a k a k ak A

a a a a

a a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

11 1 1 1

1

1

1

( )

i j m

i i i i j im

i

j ji j j j m

n ni n j nm

a k a a a

a k a a aC k A

a k a a a

a k a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

3.2. Matrices equivalentes

Dos las matrices A y B , se dice que son equivalentes si una se puede

obtener de la otra a través de transformaciones elementales.

Por tanto, si A y n mB M ×∈ son equivalentes, se tiene que:

2 1 1 2r sB F F F AC C C=

siendo 1F , 2F , …, rF matrices elementales que representan las

transformaciones aplicadas a las filas de A y 1C , 2C , …, sC las

transformaciones aplicadas a las columnas de A , para obtener la matriz B .

Entonces si 2 1rP F F F= y 1 2 sQ C C C= se tiene A y B son

equivalentes si y sólo si existen P y Q regulares tales que B PAQ= ; P y

Q se denominan matrices de paso.


MATEMÁTICAS I 4488

4. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA

La matriz A (cuadrada) tiene inversa si y sólo si mediante

transformaciones elementales sólo en sus filas o sólo en sus columnas, se

llega a la matriz identidad.

Si fE y cE son las operaciones elementales que aplicadas,

respectivamente, a las filas o a las columnas de A conducen a la identidad,

es decir: 1( )frE A F … F A= ⋅ ⋅ ⋅ = I y 1( )c

sE A C … C A= ⋅ ⋅ ⋅ = I , entonces se

tiene que:

1 ( )fA E− = I (las operaciones elementales se han realizado en las filas en

A ), o

1 ( )cA E− = I (las operaciones elementales se han realizado en las columnas

de A )

4.1. Matrices Semejantes

Dos matrices A y B cuadradas de orden n son semejantes si existe una

matriz P regular tal que 1B PAP−= .

5. DETERMINANTES

Si llamamos ( )nM K al anillo de todas las matrices cuadradas sobre el

cuerpo K , podemos definir el determinante como una aplicación de

( )nM K en K :

det ( ) --------det( )

nM K KA A:


MATEMÁTICAS I 4499

Si i jA a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= entonces su determinante se puede simbolizar de las

siguientes maneras:

det( )A

1 2det n…a a a⎡ ⎤, , , ,⎣ ⎦ ( por ia se simboliza a la columna de lugar i de la

matriz A )

11 112

221 22

1 2

n

n

n nnn

a a aa a a

A

a a a

=

Esta aplicación tiene que verificar las siguientes propiedades:

1 2 1 2

1 2

det det

det

i i n i n

i n

… … … …a a a a a a a a a

… …a a a a

′ ′′ ′

′′

⎡ ⎤ ⎡ ⎤, , , + , , = , , , , , +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤+ , , , , ,⎣ ⎦

1 2 1 2det deti n i n… … … …a a a a a a a aλ λ⎡ ⎤ ⎡ ⎤, , , , , = , , , , ,⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , (λ )K∈ .

1 2det 0n… u … u…a a a⎡ ⎤, , , , , , =⎣ ⎦

det 1=I

En esta definición se pueden sustituir las columnas ia de A por sus filas;

más adelante se verá que de ambos modos se llega a un mismo resultado.

Se llama determinante de orden n al determinante de una matriz de

tamaño n n× .

5.1. Menor Complementario

Sea A una matriz cuadrada, ( )nA M K∈ . Llamamos menor

complementario del elemento i ja al determinante de la matriz que resulta


MATEMÁTICAS I 5500

de suprimir la fila i y la columna j de la matriz A . Lo denotamos por

i jα .

5.2. Adjunto de un Menor Complementario

El adjunto del menor complementario i jα se denota por i jA y viene dado

por:

( )1 i ji j i jA α+= − .

6. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE

El determinante de una matriz cuadrada de orden n , i jA a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= se puede

obtener como suma de los productos de los elementos de una de sus filas (o

de una de sus columnas) por sus correspondientes adjuntos.

7. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Sea ( )nA M K∈ , se cumple que:

Si todos los elementos de una fila (o una columna) de A son 0 entonces

0A = .

Si multiplicamos por k K∈ todos los elementos de una fila (o una

columna) de A , entonces el determinante de A queda multiplicado por k .

Si se permutan dos filas (o dos columnas) de A entre sí , entonces el

determinante de A cambia de signo.

Si A tiene dos filas (o dos columnas) iguales, entonces 0A = .

Si A tiene una fila (o una columna) proporcional a otra, entonces 0A = .


MATEMÁTICAS I 5511

Si a una de las filas ( o a una de las columnas ) de A le sumamos una

combinación lineal de las restantes, el determinante de la matriz no varía.

n nA B A B A B M ×⋅ = ⋅ , , ∈

Si A es una matriz invertible, entonces 0A ≠ .

7.1. Menor de orden p

Sea i jA a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= una matriz de orden m n× cualquiera, y elegidas las p filas

1 2 pi i … i, , , de A , (con p m≤ y p n≤ ), se llama menor de orden p de A ,

que determinan las p filas y las p columnas elegidas, al determinante de la

submatriz de A de tamaño p p× , que forman los elementos situados en

los cruces de las filas y columnas elegidas; esto es, al determinante:

1 1 1

1

p

p p p

i j i j

i j i j

a a

M

a a

=

7.2. Rango de una matriz

Se dice que p es el rango de una matriz ( )m nA M K×∈ , si A tiene algún

menor de orden p no nulo y todos los menores de A de orden mayor que

p son nulos; o sea, p es el mayor de los órdenes de los menores no nulos

de A . Se denota por ( )Rang A p= .


MATEMÁTICAS I 5522

8. EXPRESIÓN DE LA MATRIZ INVERSA

Sea i jA a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= una matriz cuadrada, de tamaño n n× . Se llama matriz

adjunta de A , a la matriz i jA a∗ ∗⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= , con ( )1 i ji j ij i ja A α+∗ = = − de tamaño

n n× . Se verifica que si A es una matriz regular, es decir si 0A ≠ ,

entonces:

11 21 1

12 222

1 2

( )1

n

nt

n n n n

a a aA A A

a aaA A A AA

a a aA A A

A

∗ ∗ ∗

∗ ∗∗

∗

∗ ∗ ∗

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠


MATEMÁTICAS I 5533

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Sean las matrices 4 3xA B M, ∈ y 3 4xC M∈ y la matriz

4 4xD M∈ con D regular (determinante distinto de 0). De las

siguientes operaciones hay una que no es posible realizar, ¿cuál es?

a) 1( )A B C D−+ b) 1 ( )D A B C− + c) 3BC D d)

( )DC A B+

SOLUCIÓN:

Las operaciones del apartado a) sí se pueden realizar porque las matrices

A y B tienen la misma dimensión 4 3x , por lo tanto 4 3xA B M+ ∈ ,

además el número de columnas de esta matriz coincide con el de filas de C ,

por lo que también se puede realizar 4 4( ) xA B C M+ ∈ , por último, como

D es regular, podemos asegurar que existe 14 4xD M− ∈ , y de nuevo, por

coincidir las dimensiones, podemos efectuar el siguiente

producto:[ ] 1( )A B C D−+ .

Las operaciones del apartado b) también se pueden realizar. Como D es

regular, podemos asegurar que existe 14 4xD M− ∈ , y ya hemos visto también

que existe la matriz 4 3xA B M+ ∈ , como el número de columnas de

1D− que es 4, coincide con el número de filas de A B+ , podemos realizar el

producto 14 3( ) xD A B M− + ∈ , de nuevo el número de columnas de esta

nueva matriz, que es 3, coincide con el número de filas de C , por lo que

podemos realizar el siguiente producto sin ningún problema 1( )D A B C− + .


MATEMÁTICAS I 5544

Las operaciones del apartado c) son perfectamente viables. La matriz B

tiene 3 columnas y la matriz C 3 filas, por lo que podemos realizar

4 4xBC M∈ , por otro lado 3D es una matriz 4 4x , por lo que es posible

realizar 34 4xBCD M∈ .

La operación de este apartado no es factible, pues la matriz D tiene 4

columnas que no coincide con el número de filas de la matriz C , que es 3,

por lo tanto, no es posible realizar DC .

2.- Sean las matrices 4 3 4 3 3 4( ) ( ) ( )x x xA M B M C M∈ ; ∈ ; ∈ ;

4 4( )x ;∈D M

¿Cual de las siguientes operaciones no se puede realizar?

a) ( )A B C D+ . . b) ( )D A B C. + . c) 3B C D. . d) ( )D C A B. . + .

SOLUCIÓN:

a) Falso, si se puede realizar.

( 4x3 + 4x3 )(3x4)(4x4)→ ( 4x3)(3x4)(4x4)→ ( 4x4)(4x4)→ (4x4)

b) Falso, si se puede realizar.

(4x4)( 4x3 + 4x3 )(3x4) ⎯→ ( 4x4)(4x3)(3x4)→ ( 4x3)(3x4)→ (4x4)

c) Falso, si se puede realizar.

(4x3)(3x4)(4x4)(4x4)(4x4)→ ( 4x4)(4x4)(4x4)(4x4)→ ( 4x4)

d) Verdadera.

(4x4)(3x4)( 4x3 + 4x3 ) , los ordenes, (4x4) y (3x4) no son compatibles

para la multiplicación.

3.- Dada una matriz A cualquiera, razonar la veracidad o

falsedad de los siguientes enunciados:


MATEMÁTICAS I 5555

a) El producto tAA está definido cualquiera que sea el tamaño de

A .

b) El producto ( )tA A A está definido cualquiera que sea el tamaño

de A.

c) El producto ( )t tA A A está definido cualquiera que sea el tamaño

de A.

d) Para que el producto tAA esté definido es necesario que A sea

cuadrada.

SOLUCIÓN:

a) Verdadero.

tnxm mxnA M A M∈ ⇒ ∈ , por lo tanto sí es posible realizar

tnxnAA M∈ .

b) Verdadero.

tnxm mxnA M A M∈ ⇒ ∈ , por lo tanto, podemos hacer t

mxmA A M∈ y como

nxmA M∈ entonces podemos realizar ( )tnxmA A A M∈ .

c) Verdadero.

tnxm mxnA M A M∈ ⇒ ∈ , por lo tanto, podemos hacer

( )t t tmxm mxmA A M A A M∈ ⇒ ∈ entonces podemos realizar

( )t tnxmA A A M∈ .

d) Falso.

Para que tAA esté definido no es necesario que A sea una matriz

cuadrada.


MATEMÁTICAS I 5566

Sea 2 3

2 3 41 0 1 xA M⎛ ⎞

= ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

(no es cuadrada) ⇒

3 2

2 13 04 1

txA M

⎛ ⎞⎜ ⎟⇒ = ∈⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y 29 66 2

tAA ⎛ ⎞= .⎜ ⎟⎝ ⎠

4.- Calcular el valor de los siguientes determinantes:

a)

1 1 1 12 3 1 54 9 1 258 27 1 125

b)

1 0 0 01 2 0 0

1 3 03 4

xy z

− c)

1 2 0 30 3 0 55 8 4 4

0 2 0 7−

d)

1111

x y x yy z x yz t x yt x x y

++++

SOLUCIÓN:

a)

( 1 )

1 1 1 12 3 1 54 9 1 258 27 1 125

ades por F

=

3 1 5 2 1 5 2 3 5 2 3 19 1 25 4 1 25 4 9 25 4 9 127 1 125 8 1 125 8 27 125 8 27 1

= − + − =

240 120 180 12 48= − + + − =

b)


MATEMÁTICAS I 5577

1 0 0 01 2 0 0

1 2 3 4 241 3 0

3 4xy z

= ⋅ ⋅ ⋅ =−

, al tratarse de una matriz triangular, su

determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.

c)

( 3 )

1 2 0 31 2 3

0 3 0 54 0 3 5 4 11 44

5 8 4 40 2 7

0 2 0 7

ades por C.

= ⋅ =− =

d)

( )

1 1 11 1 1

( )1 1 11 1 1

haydoscolum iguales

x y x y x yy z x y y z

x yz t x y z tt x x y t x

++

= +++

=

( ) 0 0x y= + ⋅ = .

5.- Dada una matriz cuadrada de orden 11 y λ∈ , calcular el

valor del determinante: Aλ−

SOLUCIÓN:

Al multiplicar la matriz A por λ− lo que se está haciendo es multiplicar

cada uno de los elementos de la matriz por λ− . Al calcular el

determinante de una matriz, si toda una fila (o una columna) de la matriz

está multiplicada por el mismo número, éste se puede sacar fuera del

determinante (propiedad 2 de las numeradas como propiedades de los

determinantes). En nuestro caso tenemos las 11 filas de la matriz A


MATEMÁTICAS I 5588

multiplicadas por λ− , por lo tanto al calcular Aλ− podemos sacar 11

veces el λ− fuera de la matriz, con lo que nos queda lo siguiente:

11 112

221 22

1 2

n

n

n nnn

a a aa a a

A

a a a

λ λ λλ λ λ

λ

λ λ λ

− − −− − −

− = =

− − −

11 112

221 22

1 2

n

n

n nnn

a a aa a a

a a a

λ λλ λ

λ

λ λ

− −− −

= − =

− −

11 112 13

221 22 232

1 2 3

( )

n

n

n nnn n

a a a aa a a a

a a a a

λ λλ λ

λ

λ λ

− −− −

= − =

− −

11 112 13

221 22 2311 11

1 2

( ) ( )

n

n

n nnn

a a a aa a a a

A

a a a

λ λ= = − = − .

6.- Calcular los valores de x que hacen cero el determinante de la

matriz


MATEMÁTICAS I 5599

x a b cx x d e

Ax x x fx x x x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

con a b c d e, , , , ∈ .

SOLUCIÓN:

21

31

41

( 1)( 1)( 1) 0

00

FFF

x a b c x a b cx x d e x a d b e c

Ax x x f x a x b f cx x x x x a x b x c

−−− − − −

= =− − −− − −

=

32

42

( 1)( 1) 0

0 00 0

FF

x a b cx a d b e c

x d f ex d x e

−− − − −

=− −− −

=

43 ( 1) 0( )( )( ) 0

0 00 0 0

F

x a b cx a d b e c

x x a x d x fx d f e

x f

− − − −= − − − = ⇐⇒

− −−

=

0x o x a o x d o x f⇐⇒ = = = =

7.- Dada una matriz diagonal se tiene que es invertible:

a) Siempre b) Nunca c) Si la traza es no nula.

d) Si todos los elementos de la diagonal principal son no nulos.

SOLUCIÓN:

a) Falsa.


MATEMÁTICAS I 6600

Como contraejemplo, sea la siguiente matriz 1 0 00 0 00 0 1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

se trata de

una matriz diagonal, sin embargo no es invertible porque 0A = .

b) Falsa.

Como contraejemplo, sea la siguiente matriz 1 0 00 1 00 0 1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

se trata de

una matriz diagonal y es invertible, su inversa es ella misma

1

1 0 00 1 00 0 1

A−

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

c) Falsa.

Nos vale el mismo contraejemplo del apartado a). Sea 1 0 00 0 00 0 1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

su

traza será la suma de los elementos de la diagonal principal, por lo que

( ) 1 1 2Traza A = + = , sin embargo hemos visto que no es invertible.

d) Verdadera.

Sabemos que el determinante de una matriz diagonal es el producto de

todos los elementos de la diagonal principal, por lo que si ninguno de ellos

es nulo, el determinante será distinto de cero por lo que la matriz es

invertible.


MATEMÁTICAS I 6611

11

22

11 22

0 00 0 0

00

0 0

… nn

nn

aa

A A a a a

a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⇒ = . ≠ , ya que

0iia i≠ ∀ . 1A−⇒ ∃ .

8.- Si nA M∈ es idempotente 2( )A A= y además es ortogonal

1( )tA A− = , calcular cuál es el valor de su determinante.

SOLUCIÓN:

Por ser 1A A I− = , tenemos que 1 1A A I− = = . Luego, tenemos que:

1 2( )( ) ( )21 1 21

tt A AA A A AtA A A A A A A A A

− == =− −= = == = =

9.- Sea A ( )nxnM C∈ una matriz cuadrada antisimétrica de orden

impar y con entradas complejas, ¿cuánto vale su determinante?

SOLUCIÓN:

Conocemos dos propiedades de los determinantes que se verifican para

cualquier matriz ( )nxnA M C∈ :

1) tA A=

2) nA Aλ λ=

Una matriz se dice que es antisimétrica si tA A= − , lo cual nos garantiza

una tercera propiedad para nuestra matriz:

3) tA A= −

y ademas n es impar:


MATEMÁTICAS I 6622

4) ( 1) 1n− = −

Utilizando todo esto tenemos en nuestra matriz:

(3) (1) ( 1) (2) ( 1) (4)t nA A A A A A= − = − = − = − = − ⇒

2 0 0A A A A⇒ = − ⇒ = ⇒ =

10.- Si 1

0A R

λλ

λ⎛ ⎞

= , ∈ ,⎜ ⎟⎝ ⎠

demostrar que nA 1

0

n n

n

nλ λλ

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= .

SOLUCIÓN:

Lo comprobaremos por inducción sobre n.

Veamos que es cierto para 2 2 2 1

22 2

2 22

0 0n A

λ λ λ λλ λ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= , = = ,

supongamoslo cierto para 1n − y veamos que que ocurre para n.

1 11

1

1( 1)00

n nn n

n

nA A A

λλ λλλ

−⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

− ⎛ ⎞= ⋅ = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 1 1( 1)0 0

n nn n n

n n

n nλ λ λ λ λ λλ λ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ −= =

11.- Si ( )nxnA M R∈ tiene exactamente 1n − filas (o columnas) no

nulas, razona la veracidad o falsedad de:

a) ( ) 1Rang A n= − ; b) ( ) 1Rang A = ;

c) ( ) 1Det A = ; d) ( ) 0Det A =

SOLUCIÓN:

a) Falsa.

Si A tiene exactamente ( 1)n − filas o columnas no nulas, esto no me

indica que sean linealmente independientes, podría suceder que las ( 1)n −


MATEMÁTICAS I 6633

líneas que no son nulas sean todas iguales con lo que se tendría que el rango

de A es como máximo 1, o que sólo dos sean linealmente independientes,

con lo que ( ) 2Rang A = ......

Como ejemplo valga el siguiente:

3 3

1 1 01 1 01 1 0

xA M⎛ ⎞⎜ ⎟= ∈⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, esta matriz tiene exactamente

1 3 1 2n − = − = columnas no nulas, sin embargo su rango no es 2 , ya que

1 1 0 1 0 0( ) 1 1 0 1 0 0 1

1 1 0 1 0 0Rang A Rang Rang

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

O sea también la siguiente matriz:

4 4

1 1 0 01 1 1 01 1 1 01 1 1 0

xB M

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ∈⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, esta matriz tiene exactamente ( 1)n − =

4 1 3= − = columnas no nulas, sin embargo su rango no es 3, ya que

1 1 0 0 1 0 0 01 1 1 0 1 1 0 0

( ) 21 1 1 0 1 1 0 01 1 1 0 1 1 0 0

Rang B Rang Rang

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) Falso.

Como contraejemplo nos vale la matriz B del caso a).

c) Falso.

Como contraejemplo tenemos las matrices A y B del caso a):


MATEMÁTICAS I 6644

0A B= =

d) Verdadero.

Si una matriz tiene una de sus columnas o una de sus filas idénticamente

nula, su determinante vale 0.

12.- Sean A y B ( )M R∈ con A B A. = . De los tres

apartados siguientes demostrar el que sea verdadero y dar

contraejemplos para los apartados falsos.

a) 0 1A B≠ ⇒ = .

b) 0 1B A≠ ⇒ =

c) 0 1A A≠ ⇒ =

SOLUCIÓN:

a) Verdadera.

0 1AB A

AAA B A B A A B

=

. = . ≠ ⇒ = ==

b) Falsa.

Como contraejemplo valdría el siguiente:

2 00 1

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

y 1 00 1

B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

en este caso tenemos que A B A. = y

además 1 0B = ≠ , sin embargo tenemos que 2 1A = ≠

c) Falsa.

Como contraejemplo nos vale el mismo que el del apartado b).


MATEMÁTICAS I 6655

BIBLIOGRAFIA

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BURGOS, J. (1999). Álgebra Lineal y Geometría Cartesiana. Madrid.

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FLAQUER, J; OLAIZOLA, J; OLAIZOLA, J. (1996). Curso de Álgebra

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GUERRA, N.; LÓPEZ, B. (1999). Problemas resueltos tipo test de

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Técnico.


MATEMÁTICAS I 6666

CAPITULO2 Matricesb

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