CapIV_036-070

Capitulo IVDiseo de la altura y acero de la

zapata- Muro

Universidad de Los AndesFacultad de IngenieraDepartamento de Vas

Fundaciones

Prof. Silvio Rojas

Octubre, 2007


Fundaciones

III.- DISEO DEL ACERO Y ALTURA REQUERIDA DE LAS FUNDACIONES III.1.- Diseo de una fundacin directa cuadrada

La fig. 35, muestra la seccin transversal y planta, de una fundacin directa cuadrada de rea Bx B, empotramiento Df y altura de la zapata h. Los pasos para disear la fundacin son los siguientes:

1. Determine capacidad de carga admisible (q_adm) por los mtodos descritos en otro material.

2. Determine el esfuerzo aplicado por la superestructura, peso de suelo y concreto de la zapata, el cual viene dada por las ecuaciones (22), (24) (26)

( )sueloconcretosuelocolumnaaplicadatotal hDfqq _____ ++= . (22) ( )sueloconcretocolumnaaplicadatotal hqq ____ +=

(24)

zapataAreaQ

q aplicadatotal_

__

=..(26)


Fundaciones

3. Igualando q_adm y q_aplicada, se determina el rea requerida de la fundacin por falla portante del suelo, la cual ser:

( )sueloconcretosuelo hDfadmqQArea

=

_

.......(109)

Sino existe excentricidad, y por ser zapata cuadrada, la dimensin B de la misma se obtiene:

AreaBBArea == 2 .......(110) Si existe alguna excentricidad e en una de las direcciones, la ec. 110 se escribe:

( )eBBArea = 2 .(111)De la ec. 111, se obtiene B de la zapata cuadrada. Es recomendable revisar la teora de zapatas excntricas cuando existe excentricidad en ambas direcciones para el chequeo del rea efectiva.


Fundaciones

4. Conocido el rea se debe verificar el asentamiento admisible de la estructura, ya que algunas veces las dimensiones de zapatas ylosas estn determinadas por el asentamiento.

Fig. 35.- Fundacin directa cuadrada

5. Luego se mayoran las cargas, de acuerdo a lo expuesto en el punto I.1. Donde U viene a ser la carga Q_ult mayorada y el momento mayorado ser M_ult. Luego se obtiene q_ult.Si no existe excentricidad, y a partir de la ec. 29, q_ult ( ver fig. 36a) se expresa:

2_

_

BultQ

ultq = . (112)

Si existe excentricidad (ver fig. 36b), q_ult se obtiene aplicando directamente la ec. 29.

+

+=Bey

Bex

BultQ

mxultq 661___ 2 ..(113.1)

=

Bey

Bex

BultQ

mnultq 661___ 2 ....(113.2)

Se est considerando que la zapata es suficientemente rgida

6. En el caso de fundaciones directas empotradas o losas rellenas de suelo, el ancho de la columna se incrementa en 10 cm para obtener el ancho del pedestal.

cmbxbx columnapedestal 10__ += .. (114.1)

cmbyby columnapedestal 10__ +=..(114.2)

7. Determinacin de la altura til de la zapataEn el caso de zapatas cuadradas sin excentricidad (ver fig. 36 a), se

aplica el criterio de corte por punzonado el cual se expresa a travs de la ec. 42 y 47 en el caso de un pedestal rectangular(b1=by_pedestal, b2=bx_pedestal). En el caso de pedestal cuadrado se aplica la ec. 44 y 47 (b, ancho del pedestal), y si la columna es circular se aplica la 46 y 47(b, dimetro del pedestal). Por ejemplo en el caso de pedestal rectangular, al igualar la ec. 39 y 42 se obtiene la ec. que permite determinar la altura til d de la losa de la zapata :

( ) ( )[ ] 1006.12)()(__

__

__

=

+++

++cf

ddbydbxdbydbxultqultQ

pedestalpedestal

pedestalpedestal .(115)

En la ec. 115, en el lado derecho de la ec. se multiplicpor 10, ya que se esttrabajando en toneladas y metros.

Si existe excentricidad (ver fig. 36b), y se disea por punzonado la ec. 115 debe escribirse, como:

( ) ( )[ ] 1006.12)()(__

__

__

=

+++

++cf

ddbydbxdbydbxpromqultQ

pedestalpedestal

pedestalpedestal .(116)

Cuando la zapata cuadrada es excntrica, generalmente predomina el diseo por viga ancha, en este la ec. 50 hace referencia a la fig. 36b y , es expresa:

Igualando este esfuerzo a la resistencia al cortante (ec. 48), se obtiene:

1053.0222

___

=

+

cfdB

dbxBB

qmxultq pedestalc

..(123)

Igual que la ec. 115, la resistencia del concreto se ha multiplicado por 10, ya que se est trabajando en toneladas y metros.

Fig. 36.- (a) Zapata cuadrada sin excentricidad (predomina el punzonado). (b) Zapata con excentricidad (predomina el criterio de viga ancha).

8.- Una vez que se conoce la altura til d, se determina el acero requerido por flexin, aplicando la ec. 30 y 31. Se debe chequear el acero mnimo indicados en el punto I.2.1.1.

El nmero de barras requerida para una zapata cuadra , se obtiene por:

AbrequeridoAsbarrasN _ = (124)

donde:

As_requerido: Acero requerido calculado a partir de la ec. 31.Ab: Area de la barra seleccionada.

La separacin entre barras, ser:

114

=

barrasNbB

s

..(125)

En esta ec. B debe estar en cm. El nmero 14 corresponde a 7 cm de recubrimiento por cada lado (ver fig. 37) y b es el dimetro de la barra seleccionada. El acero requerido en la otra direccin ser diferente ya que la altura til d1 ser menor, sin embargo por ser zapata cuadra y sin excentricidad simplemente se repite el mismo acero (ver fig. 37a).

B

7 cm

7 cm

Acero en esta direccin

Cuando la zapata cuadrada es excntrica, el momento requerido para determinar el acero en direccin de la excentricidad, se hace a travs de la ec. 31, tomando en cuenta la la fig. 36b, considerando que la reaccin del suelo no es uniforme. Para ello se sigue el siguiente procedimiento:

Fig. 36.- (b) Zapata con excentricidad(predomina el criterio de viga ancha).

Determinacin de la carga por metro lineal w1 y w2 en los extremos del diagrama

Bmxultqw = __1 ...(126)

Bmnultqw = __2 ...(127)

Pendiente m1 de la variacin de la carga w

Bww

m211 = ....(128)

Zapata excntrica: Mu =??

Zapata sin excentricidad

Variacin de la carga w

xmww = 1 (129)

Determinacin de la ec. de la fuerza cortante

( )2

11112

0

xmxwVudxxmwVu

x

== ...(130)

Determinacin de la expresin de momento M_ult

=

=

61

21_

2211_

32 xm

xwultMdxxmxwultM

(131)

donde:

x: Distancia desde el extremo de la zapata a la seccin crtica por momento. Si la columna o pedestal es de concreto, x ser:

22_ pedestalbxB

x = .(132)

La determinacin del acero y separacin, ya se indic anteriormente. El acero en la direccin donde no existe excentricidad, se encuentra de la misma la forma que se hizo para la zapata cuadrada sin excentricidad. La fig. 37b, ilustra la distribucin del acero para una zapata cuadrada con excentricidad.

Fig. 37.- (a) Acero para una fundacin cuadrada sin excentricidad. (b) Acero para fundacin cuadrada con excentricidad.

Mayor acero

Menor acero

9. El acero de flexin debe cumplir con la longitud de desarrollo, cuyas exigencias y criterios estn expuestos a travs de las ecuaciones 33, 34 hasta la ec. 38. En el caso de zapatas cuadradas esta longitud de desarrollo disponible en la base de la zapata ser:

cmpedestalbBld 7

2_

2=

(133)

10. Luego se chequea el criterio de transferencia de esfuerzosexpuesto en el punto I.2.1.3.3. Ahora se determina la altura de la zapata h. La mnima altura ser de

30 cm y por cortante ser el valor correspondiente a (ver fig. 37):

cmbdh 72

++=

..(134)

Por ltimo se debe tomar en cuenta los requisitos fundamentales expuestos en el punto II.1, sobre todo en cuanto al arriostramiento y rigidez. All se indica que para las fundaciones aisladas se recomienda un valor mximo de 3 , aunque son frecuentes los valores cercanos a 2, en el caso de las zapatas pequeas

III.2.- Diseo de una fundacin directa rectangularLa fig. 38, muestra la seccin transversal y planta, de una fundacin directa

cuadrada de rea Bx L, empotramiento Df y altura de la zapata h. Los pasos para disear la fundacin son los siguientes:

1. Ver punto 1 de zapatas cuadradas. (qadm=?)2. Ver punto 2 de zapatas cuadradas. (qaplicada=?)3. Ver punto 2 de la zapatas cuadradas, con la diferencia del rea. Tambin

debe ser considerada la excentricidad en la determinacin de las dimensiones de la zapata. (Area = B . L)

4. Ver punto 4 de zapatas cuadradas. ( adm)

Fig. 38.- Fundacin directa rectangular.

5. Se mayoran las cargas, de acuerdo a lo expuesto en el punto I.1. Si no existe excentricidad, y a partir de la ec. 29, q_ult ( ver fig. 39a) se expresa:

LBultQ

ultq

=

_

_

..(135)

Si existe excentricidad (ver fig. 39b), q_ult se obtiene aplicando directamente la ec. 29.

+

+

=

Bey

Lex

LBultQ

mxultq 661___ (136.1)

=

Bey

Lex

LBultQ

mnultq 661___. (136.2)

La fundacin es suficientemente rgida

La fundacin es suficientemente rgida

6. Ver punto 6 zapatas cuadradas. (bx-p=bx_c+10; by-p=by_c+10 )7. Determinacin de la altura til de la zapataCuando la zapata es

rectangular predomina el diseo por viga ancha. Si no existe excentricidad la ec. 123 haciendo la referencia a la fig. 39a y , es expresa:

1053.022

_

_

=

cfdB

dbxLBultq pedestal

(ton/m2).(137)

Si la zapata es excntrica (ver fig. 39b), el diseo por viga ancha se har por:

1053.0222

__

=

+

cfdB

dbxLB

qultq pedestalc

(ton/m2).(138)

Para el chequeo por punzonado, y si no existe excentricidad (fig. 39a), se aplica directamente la ec. 115, en caso de pedestal rectangular. Si el pedestal es cuadrado o circular, la ec. debe ajustarse a esas dimensiones.

Si existe excentricidad (ver fig. 39b), para el chequeo por punzonado se aplica la ec. 116 directamente.

Fig. 39.- (a) Zapata rectangular sin excentricidad (predomina el viga ancha). (b) Zapata rectangular con excentricidad (predomina el criterio de viga ancha).

8. Una vez que se conoce la altura til d, se determina el acero requerido por flexin, aplicando la ec. 30 y 31. Se debe chequear el acero mnimo indicados en el punto I.2.1.1.

Si la zapata no es excntrica (fig. 40a), el acero en el sentido ms corto, se distribuye de manera no uniforme y la longitud para obtener el momento ltimo es la dada por la ec. 132, y la longitud en el sentido ms largo para obtener M_ult, ser:

2_

2pedestalbLl = .(139)

El nmero de barras en ambos casos se obtiene a travs de la ec. 124. La separacin entre barras, en el ancho B (longitud de barras ms largas en la direccin de L), se obtiene por la ec. 125.

La separacin de las barras en el sentido de L (longitud de barras ms cortas en la direccin de B), se obtiene tomando en consideracin la siguiente recomendacin: El esfuerzo suministrado por la columna a la zapata, se concentra cerca de el centro de la zapata, en consecuencia la curvatura de la zapata es ms pronunciada en esa zona, y disminuye en la direccin de L a medida que se incrementa la distancia desde la columna. Por esta razn se necesita un rea de acero mayor en la zona central, en comparacin con los extremos lejanos de la zapata. En este sentido el cdigo ACI, establece:

totalAsBL

BcentralAs _2_

+

= (140)

totalAsBL

BcentralAs _2_

+

= (140)

El acero en la zona central en la direccin ms corta, ser determinado de acuerdo a:

Este acero obtenido por la ec. 140, ser distribuido en una longitud B (ver fig. 40a y 40b). El resto del refuerzo que se requiere en la direccin ms corta, debe distribuirse de manera uniforme en los bordes de la zapata.

Cuando la zapata rectangular es excntrica, se usan las mismas ecuaciones (ec. 126, 127 y 131 ), si la excentricidad est en el sentido de L (caso ms favorable, vea ec. 136). Determinacin de la carga por metro lineal w1 y w2 en los extremos del diagrama

Pendiente m1 de la variacin de la carga w

Lww

m211 = ..(141)

La distancia x, para la determinacin del momento M_ult, ser en esta caso:

22_ pedestalbxL

x = ..(142)

Fig. 40.- (a) Acero para una fundacin rectangular sin excentricidad. (b) Acero para fundacin rectangular con excentricidad.

9. Ver punto 9 para zapatas cuadradas. (long de desarrollo)10. Ver punto 10 para zapatas cuadradas (transferencia de esfuerzos).11. Ver punto 11 para zapatas cuadradas (altura de zapata). 12. Ver punto 12 para zapatas cuadradas (arriostramiento).

III.3.- Diseo de losa combinada rectangular con presin uniforme.

La fig. 41a, muestra planta de dos columnas separadas por una distancia s, donde se aprecia que la columna de la izquierda se ubica muy cerca de un lindero, lo cual hace que una fundacin directa (zapata rectangular), tenga cierta excentricidad geomtrica que puede generar esfuerzos de tensin en la zapata, probablemente no admisibles, y que los mismos pueden ser eliminados con la construccin de una losa combinada rectangular.

La fig. 41b, presenta una zona de solape de las dos fundacionesdirectas correspondientes a dos columnas contiguas, que justifica la construccin de una sola losa para ambas columnas.

La fig. 41c y 41d, corresponden a la seccin transversal y planta de una losa combinada rectangular diseada con presin uniforme, y que por tanto el centro geomtrico de la losa se corresponde con el punto de accin de la fuerza resultante de las dos columnas. Aqu se debe indicar que el volado de longitud lv que se observa el la fig. 41c, se debe a que la fuerza Q_2 de la columna 2 es mayor que Q_1 de la columna 1.

Fig. 41.- (a) Planta de columnas contiguas y donde la columna de la izquierda est prxima al lindero. (b) Seccin transversal de fundaciones directas correspondientes a dos columnas contiguas donde existe solape de las fundaciones. (c) Seccin transversal de una losa combinada rectangular. (d) Planta de la losa combinada rectangular.

. Q_2 > Q_1

. Pto de accin de R, coincide con centro geomtrico de losa.. Acta presin uniforme en la losa combinada rectamgular

Los pasos para disear la fundacin son los siguientes:

1. Se determina la capacidad admisible del suelo.2. Se determina la resultante de las fuerzas que aplican las columnas.

2_1_ QQR +=. (143)

3. Se determina el punto de aplicacin de la resultante. Para ello se toma momento en el eje de la columna 1.

x

lR

Qsxlxx

RQ

sxsQRx +=+=== 2_

'

2_'2_' ..(144)

La condicin para que resulte una fundacin rectangular es de x > s/2. La longitud (L) de la losa rectangular, para que exista presin uniforme de la reaccin del suelo por debajo de la zapata ser:

= xL 2 .(145)

4. Luego se determina el rea requerida de la losa por falla portante del suelo. Se aplicar la ec. 109 cambiando Q por R.

( )sueloconcretosuelo hDfadmqRArea

=

_

..(146)

Ahora se puede hallar el ancho de la losa, conocido L y el rea.

LAreaB = .(147)

5. Se mayoran las cargas, de acuerdo a lo expuesto en el punto I.1 y se determina q_ult (ver fig. 42a y 42b).

2_1_ QultQultRult += ... (148)

LBRult

ultq

=_... (149)

6. Ver punto 6 zapatas cuadradas. (bx_p=bx_c+10; by_p=by_c+10 )

7. Ver punto 6 zapatas cuadradas. (altura til)Para ello, se determina la carga w por metro lineal y se dibujan los diagramas de corte y momento (ver fig. 42c, 42d, 42e). En estos diagramas se ha invertido las cargas para facilidad del dibujo.

Bultqw = _ ..(150)

Fig. 42.- (a) Reaccin uniforme del suelo. (b) losa cargada uniformemente. (c) Carga en la losa por metro lineal. (d) Diagrama de corte. (e) Diagrama de momentos.

s.r

Estos diagramas es debido a que la relacinL/H difcilmente

estn por debajo de 7. Es decir el diseo es por flexin.

En la fig. 42 d, se ubica el cortante a partir de una distancia d de las caras del pedestal. En este caso se indica Vult_1 y Vult_2.

)2

(1_1_ _ dbxwVVult pedestal += (151)

)2

(2_2_ _ dbxwVVult pedestal += (152)

Luego se calcula el esfuerzo ltimo:

dB

dbx

wV

dBVult

ultv

pedestal

+=

=

)2

(1_1_1___

.(153)

dB

dbx

wV

dBVult

ultv

pedestal

+=

=

)2

(2_2_2___

.(154)

Ahora estas expresiones se igualan a la resistencia del concreto, para determinar d, resultando:

1053.0)

2(1_ _

=

+cf

dB

dbx

wV pedestal

...(155)

1053.0)

2(2_ _

=

+cf

dB

dbx

wV pedestal

..(156)

De la ec. 155 y 156, se toma el valor de d ms desfavorable.

Luego se chequea el punzonado en ambas columnas. Para ello considrese la fig. 43, donde un de lindero coincide con la cara del pedestal:Para la columna 1:

( )1006.1

22

)()2

(_1_

__

__

Q2, significa que 2 < L, por consiguiente, no se puede decir que la longitud de la losa es 2 , dado que no llegara a la columna 2.

El objetivo es disear con presin uniforme, por tanto la posicin de R al lindero no puede variar.

La nica manera que el centro de gravedad geomtrico de la losa coincida con el punto de aplicacin de la resultante, es que la losa tenga mayor dimensin hacia la columna No. 1, de esta forma se genera la forma trapezoidal de la zapata.

Se entiende por tanto que:Para que exista presin uniforme el centro geomtrico xcg de la losa trapezoidal debe coincidir con el centro geomtrico.

Por tanto:

x

x

cgxx = (171)

xx

Escribiendo xcg en funcin de a, b, L:

( ) ( )ba

LabLa

ba

LabLa

LabLa

LLabLLaxcg

+

+=

+

+=

+

+

=3

22

31

21

2

22

32

2221

2 (172)

+

+=

baab

xcg2

31

.(173)

Si xcg L/3, se recomienda disear zapatas combinadas en voladizo(punto III.6). Disear zapatas trapezoidales en este caso significa dimensiones de a muy pequeas y dimensiones de b muy grandes.

4. Luego se determina el rea requerida de la losa por falla portante del suelo, a travs de la ec. 146.

De la fig. 49c 49f, se escribe que el rea de la zapata, viene dada por:

LbaArea

+=

2.(174)

Recordemos que:cgxx =

El Area se conoce por falla portante

Igualando la ec. 171, 173 y 174, se determinan las dimensiones a y b.

Nota:Se puede redondear a y b, a dimensiones prcticas, sin embargo el clculo de momentos y fuerzas cortantes, las debe hacer con las dimensiones obtenidas exactamente, para el cierre de los diagramas.

5. Se mayoran las cargas, de acuerdo a lo expuesto en el punto I.1 y se determina Rult y q_ult, aplicando la ec. 148 y la ec. 149.

6. Ver punto 6 zapatas cuadradas. (bx_p=bx_c+10; by_p=by_c+10)

7. Determinacin de la altura til de la losa.Para ello, se determina la carga w por metro lineal y se dibujan los diagramas de corte y momento (ver fig. 50). En estos diagramas se ha invertido las cargas para facilidad del dibujo.Carga por metro lineal (ver fig. 50b)

bultqw = _1 .(174) aultqw = _2 .(175)

8. Se definen las ecuaciones para determinar los cortes y momentos

Corte a partir del extremo donde acta w1:( ) = dxxmwV .1 (176)

AxmxwV +=2

2

1...(177)

Para x = 0 V = 0 por tanto A = 0

2

2

1x

mxwV = .....(178)

21bx =Para se obtiene Vi (ver fig. 50e):

22

2

21

11

=

b

mb

wVi .....(179)

Por tanto Va, ser (ver fig. 50e):

iuA VQV = 1 .....(180)

Fig. 50.- (a)Seccin de la losa trapezoidal .(b) Definicin de las cargas lineales. (c) Esfuerzo de reaccin del suelo en la losa . (d) Carga lineal sobre la losa. (e) Diagrama de fuerza cortante. (f) Diagrama de momentos. (g) Definicin de puntos donde se mide x.

Se invierte las cargas

Ecuacin del corte entre el tramo (entre las columnas 1 y 2):Corte a partir de la carga w1(ver fig. 50d):

( ) = dxxmwV .'1 (181)

AxmxwV +=2

'

2

1.(182)

Para x = 0 V = VA A = VA

Cambiando el signo a la ec. 182, seescribe

.....(183)

=

2'

2

1x

mxwVV Atramo ....(184)

Para Vtramo = 0, se obtiene x para Mmx.Cuando x = Lc, se obtiene VB.

( )

=

2'

2

1c

cABL

mLwVV (debe dar con signo negativo).(185)

Corte en el volado derecho Vd:

Bud VQV = 2 (186)

Tambin a partir del diagrama de carga lineal (ver fig. 50d):

( )dxmxwV += 2 .(187) BxmxwV ++=

2

2

2(188)

X = 0 V = 0 B = 0

2

2

2x

mxwV += (189)

Para x = b2/2

22

2

22

22

+

=

b

mb

wVd.(190)

Momentos en los apoyos y en el tramo:Apoyo A:

2

2

1x

mwV = (191)

= dxxmxwM

2

2

1 .(192)

AxmxwM +=62

32

1.(193)

Para x = 0 M = 0 A = 0

62

32

1x

mx

wM = .(194)

Para 21bx =

62

22

31

21

1

=

b

m

b

wM A (195)

Apoyo B:

2'

2

1x

mxwVV Atramo += (196)

+= dxxmxwVM Atramo 2

'

2

1 . (197)

AxmxwxVM Atramo ++= 62'

32

1.. (198)

Para x = 0 M = - MA A = -MA

AAtramo Mx

mx

wxVM +=62

'

32

1 .. (199)

Para x = Lc, se obtiene MB:

( ) ( )A

cccAB M

Lm

LwLVM +=

62'

32

1..(200)

A partir del volado derecho

2

2

2x

mwV += .. .(201)

+= dxxmxwM

2

2

2 .. .(202)

AxmxwM ++=62

32

2 .. .(203)

Para x = 0 M = 0 A = 0:

62

22

32

22

2

+

=

b

m

b

wM B .. .(204)

Determinacin del corte ltimo, para determinar la altura til d:Para hallar Vult, se debe hacer a una distancia d de la cara del pedestal 1 a una distancia d del pedestal 2 (ver fig. 51a y 51b). Se puede determinar en ambas columnas y tomar el mayor. Sin embargo, el ancho de la losa en la columna 2 es menor

Fig. 51.-(a) Planta de la losa indicando las secciones crticas por viga ancha. (b) Seccin con ubicacin del corte ltimo. (c) Planta de la losa indicando el rea de punzonado en cada columna. (d) Planta de la losa mostrando la distribucin el acero para el momento en el tramo. (e) Seccin con el acero en el tramo y en los apoyos. (f) Planta con la distribucin del acero de los apoyos.

Consideremos que se trabaja con la columna 2:

2'

2

1x

mxwVV A += (205)

Vult = ? (columna 2)

dbLx c = 22

..(206)

22

2'

22

21

+

=

dbLmdbLwVV

c

cAult.......(207)

Debemos cambiar el signo a la ecuacin porque el corte en esa parte del diagrama es negativo.

A

c

cult VdbL

mdbLwV

=

22

2'

22

21

.........(208)

dB

VdbLmdbLwv

Acc

ult

=

2

222

1 222'

.........(209)

Vult=?

De la planta de la zapata (fig 51a), se obtiene, la expresin de B2.

( )( )L

abdbaB

++= 22

.. (210)

( )( ) dL

abdba

VdbLmdbLwv

Acc

ult

++

=

2

222

1 222'

.... (211)

Igualando la ec. 213 a la a resistencia del concreto por viga ancha, resulta:

( )( ) 10'85,053,0222

'

2

222

1

=

++

c

Acc

fd

Labdb

a

VdbLmdbLw.... (212)

de donde se obtiene d.Chequeo por punzonado en la columna 2 (fig. 51c):

( )( )

10'06,185,0

22

2

22

222

CapIV_036-070

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