CAPÍTULO 10 - UNC

Curso l Física I

Autor l Lorenzo Iparraguirre

323

CAPÍTULO 10:

Movimientos orbitales

Las Leyes de la Dinámica son necesarias y suficientes para establecer todas las características

de cualquier movimiento de cualquier cuerpo, y eso incluye todo los casos de órbitas posibles.

No obstante eso, algunos aspectos de movimientos orbitales muy conocidos pueden requerir de

un manejo algebraico bastante difícil para ser establecidos directamente desde las Leyes de la

Dinámica, y por ello en este capítulo nos especializaremos en presentar y discutir los aspectos

más relevantes de estos movimientos, con el mínimo andamiaje matemático que sea posible.

También aprovecharemos para introducir algunos elementos de la teoría cuántica que son nece-

sarios para extender estas mismas conclusiones al ámbito atómico.

10.1.- Movimiento en coordenadas polares

Además de las coordenadas cartesianas existen otras formas de ubicar la posición de puntos

en el espacio, como por ejemplo dar su distancia al origen, y los ángulos que ubican el vector

posición con respecto a direcciones elegidas de referencia. Este tipo de coordenadas suelen

denominarse “polares”, o “esféricas”.

Nos limitaremos aquí a movimientos en el plano, porque así bastará con un solo ángulo para

ubicar un punto, y será suficiente para nuestros fines.

O

A

A

Dirección arbitraria

de referencia: = 0

v

v

vr rA

Dirección

angular

vr = v cos

v = v sen

Fig. 10.1: Elementos de las coordenadas polares en el plano.

Como vemos en la figura 10.1, para cada punto del espacio hay dos direcciones de referencia

sobre las cuales se proyectan los vectores. Una es la dirección radial, que es la dirección en la

proed

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324

cual no varía, con sentido positivo hacia donde aumenta r. La otra es la dirección angular,

tangente a la circunferencia en la cual r no varía, con sentido positivo hacia donde aumenta .

Cualquier vector de interés, como v

en la figura, se proyecta en esas direcciones para definir

sus componentes vr y v.

Velocidad angular orbital

Consideremos entonces una partícula de masa m moviéndose en el plano de la hoja. Perpendi-

cularmente al plano del movimiento se elige arbitrariamente un eje, cuya intersección con la

hoja es el punto O, origen de las coordenadas polares.

A medida que la partícula se mueve, la ubicamos con su distancia al origen, r, y el ángulo

con la dirección de referencia. Es claro que, como se muestra en la figura 10.2, aunque un

movimiento sea rectilíneo, si no está alineado exactamente con el origen el ángulo irá cam-

biando, de manera que visto desde O, el movimiento tiene una velocidad angular = / t.

O

A A’

A A’

Dirección = 0

v v

v A A’

rA

Detalle ampliado de AA’

A’’

Fig. 10.2: Izquierda. Se ilustra cómo va variando el ángulo que forman las visuales

dirigidas desde O a un punto móvil que viaja en línea recta. Derecha: se muestra

ampliada la parte en la cual se ve que el desplazamiento AA’ proyectado sobre la

perpendicular a la visual desde O, es AA’’ = AA’ sen.

Es claro que en este caso no esperamos que la velocidad angular sea constante o que tenga una

expresión simple. No estamos tratando de simplificar algo, sino de mostrar una forma de tratar

el tema.

Un movimiento rectilíneo se complica bastante cuando es descripto en coordenadas polares,

pero el movimiento de traslación de un planeta en órbita, en cambio, se analiza naturalmente

de esta forma, de manera mucho más simple que en coordenadas cartesianas. Por ello es que,

cuando se habla del movimiento de traslación de una partícula descripto con respecto a un

centro, se suele utilizar la denominación “movimiento orbital”, aún cuando no exista órbita.

Así es que denominamos velocidad angular orbital a la que considera cómo cambia (por uni-

dad de tiempo) el ángulo con que se ubica la partícula vista desde el punto origen o eje elegi-

do, para distinguirla de la intrínseca, que se refiere al ángulo que giran las partículas del cuer-

po con respecto a su centro de masa.

Designaremos O a esta velocidad angular con respecto al punto O, y como se ilustra en la

parte derecha de la figura 10.2, el ángulo en radianes que barre la visual desde O para un

pequeño desplazamiento AA’ (para simplificar estamos utilizando AA’ tanto para designar el

segmento como su longitud) se puede calcular proyectando el segmento AA’ sobre la direc-

ción perpendicular a r

, obteniéndose: = AA’’/ r = AA’ sen / r .

De manera que, dividiendo por t, tenemos:

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325

r

senvO

=

r

v (10.1)

Donde es el ángulo que forma el vector velocidad con la dirección radial.

Vemos que la expresión (10.1) equivale a:

r

vO

(10.1’)

Lo cual es natural pues indica que sólo la componente v del vector velocidad contribuye al

movimiento angular respecto de O.

Si r es constante esta expresión se reduce naturalmente a la expresión habitual del movimiento

circular = v / r , ya que entonces = 90º. En otros casos esta expresión puede ser muy difí-

cil de utilizar ya que puede variar de forma complicada, aunque eso no nos interesará para

lo que deseamos estudiar. Sí es importante notar, en función precisamente de que no es

constante, que el desplazamiento AA’ debe ser suficientemente pequeño como para que se

pueda considerar aproximadamente constante en todo el intervalo t. En ese caso, la perpendi-

cular a la visual OA, es la misma que a la visual OA’, y los razonamientos se entienden bien.

Por último vale aclarar que aunque hemos comenzado mostrando un movimiento rectilíneo,

todo lo que hemos dicho se aplica igualmente a movimientos lineales de cualquier forma, rec-

tilíneos o curvilíneos. Si se inspecciona la figura 10.2, puede advertirse que una vez que el

móvil ha pasado por A y por A’, podría continuar por cualquier trayectoria, como en las

próximas figuras, y todo lo dicho seguiría siendo válido.

Cantidad de movimiento angular orbital

La cantidad de movimiento angular orbital con respecto a O, de una partícula de masa m y

velocidad v

, es el momento de la cantidad de movimiento, esto es el producto del módulo de

la cantidad de movimiento lineal m v, por el brazo de palanca b:

LO = m v b (10.2)

O

v

r

m

b

NOTA:

Esta es la misma definición que ya hemos utilizado de la cantidad de movi-

miento angular, L = mi

i

2 , aplicada al caso de una única partícula, con

respecto al punto O tomado como centro:

LO

= m r2

O

= m r v sen (10.2’)

Donde r sen = r sen = b, siendo b la distancia desde el centro O hasta la recta

de acción de v

(o de p

que es lo mismo).

Fig. 10.3: Elementos para definir la cantidad de

movimiento angular orbital. Los ángulos y son

suplementarios, y son equivalentes para calcular LO,

ya que sen = sen.

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326

Velocidad Areal

Si se considera un pequeño desplazamiento AA’ = v t, de la partícula, se encuentra que AA’

es la base del triángulo AA’O, cuya altura es b, de manera que, para el área de este triángulo,

tenemos

Area = ½ AA’ b

= ½ v b t

Y comparando con la expresión de LO, tenemos:

LO = 2 m t

Area

= 2 m vareal

Donde vareal = Área / t , es la “velocidad areal”, es decir el área barrida por unidad de tiempo

por la línea desde la partícula al centro.

Vemos que, salvo un factor constante, la cantidad de movimiento angular orbital representa la

velocidad areal del movimiento.

Fuerzas centrales y conservación de la cantidad de movimiento angular

Las fuerzas atractivas hacia un punto, o repulsivas desde él, por estar alineadas sobre la recta

que pasa por dicho punto, denominado centro de fuerza, O, no pueden aplicar momento con

respecto a él, ya que su brazo de palanca resulta nulo.

En consecuencia, aplicando la Ley del Impulso para Rotaciones, MO t = LO, obtenemos que

no puede variar LO.

Es decir:

Una partícula sometida a una fuerza central, se mueve conservando la canti-

dad de movimiento angular orbital con respecto al centro de fuerzas.

Nótese que, eligiendo el centro de fuerzas como origen O del sistema de coordenadas, el mo-

vimiento ocurrirá necesariamente en el plano definido por r

y v

, ya que la fuerza, siempre

alineada con r

, trivialmente nunca puede tener componente fuera del plano.

Ley de las Áreas

Según lo que hemos dicho, entonces, la conservación de LO implica que se mantiene constan-

te el producto v b, y también implica que se mantenga constante la velocidad areal.

La conservación de la cantidad de movimiento angular en términos de la velocidad areal, es la

Segunda Ley de KEPLER del movimiento planetario, conocida como la Ley de las Áreas, la

cual dice:

“El segmento que une el Sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales”

O

v

A’ A

b r

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327

Esta ley había sido enunciada fenomenológicamente por Johanes KEPLER (1571-1630), y lue-

go del desarrollo de la Dinámica se entendió que representaba la conservación de la cantidad

de movimiento angular, y que era un consecuencia directa de que la fuerza actuante, la grave-

dad, fuese central, es decir alineada con el centro.

S

A

bA

vB

B

bB

vB

FA

FB

vA bA = vB bB = cte S

A

A’

B B’

Area (AA’S) = Area(BB’S)

Fig. 10.4: Se ilustra de dos maneras cómo se interpreta la conservación de la cantidad de movi-

miento angular orbital, en un caso de fuerza central. A la izquierda se muestra, para dos lugares

de la órbita, el brazo de momento de la cantidad de movimiento lineal, y a la derecha se muestra,

para los mismos dos lugares, el área barrida en un mismo intervalo de tiempo.

10.2.- Movimiento bajo fuerzas coulombianas.

Carlos Agustín DE COULOMB (1631-1716), estudió las fuerzas electrostáticas y determinó que

su intensidad era inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, al igual que en el caso

de la fuerza gravitatoria.

Salvo la diferencia esencial de que la fuerza gravitatoria depende de la masa de los cuerpos

que interactúan, y sólo puede ser atractiva, mientras que la electrostática depende de la carga

eléctrica, y puede ser atractiva (entre cargas de signo opuesto), tanto como repulsiva (entre

cargas de igual signo), ambas fuerzas son muy importantes en la naturaleza y, por ser ambas

centrales y depender de la distancia de la misma manera, dan lugar a los mismos tipos de mo-

vimiento.

Por esto es que a las fuerzas centrales cuya intensidad disminuye con el cuadrado de la distan-

cia se las denomina coulombianas, y para ciertas características de los movimientos que resul-

tan no es necesario especificar si se habla de planetas o de electrones1.

Un detalle que valdrá para todos, satélites, electrones, o lo que sea, porque es universal, es la

conservación de la energía mecánica, ya que tanto la gravedad como la fuerza electrostática

son conservativas.

Energía potencial coulombiana

Sabiendo que la energía potencial disminuye hacia dónde apunta la fuerza, es claro que para

una fuerza central la energía potencial sólo puede ser función de la distancia al centro, r:

Ep = Ep(r)

Si además recordamos que para un desplazamiento en cualquier dirección debe valer (11.4),

ahora tenemos, para la dirección radial:

1 Para el caso de los electrones en el átomo hay complicaciones que corresponden a la teoría cuántica, que invalidan mu-

chas de las conclusiones que valen para los satélites. Pero aún dentro de la teoría cuántica es posible seleccionar resulta-

dos de la teoría clásica que son válidos en el dominio atómico, como veremos oportunamente.

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328

Fr =r

)r(Ep

Esta nos dice que la energía potencial debe ser una función de Ep(r) tal que su derivada con

respecto a r, cambiada de signo, debe ser Fr, la cual es una función conocida simple (la fuerza

coulombiana):

Fr = 2r

cte

Concretamente, para el caso gravitatorio, si tenemos una fuerza atractiva hacia el origen, cuyo

módulo es F = G M m / r2, donde M es la masa del astro central, muy grande, m es la masa del

cuerpo en órbita cuyo movimiento estudiamos, y G es la constante de gravitación universal,

dado que el sentido de r

es opuesto al de F

, tendríamos:

Fr = 2r

K (10.3)

Donde K es una constante positiva que vale:

K = G M m = 6,67×10-11

(N.m2/kg

2)×M×m (10.4)

Aplicando ahora que la derivada de r1

es r2

, se puede inferir que, para este caso, la función

Ep(r) debe ser:

Ep = K × r

1 (10.5)

Esta función admite que se le sume una constante arbitraria. Al no agregarle nada, estamos

eligiendo arbitrariamente que Ep 0 cuando r , lo cual es la costumbre más difundida.

Podremos extender todo para el caso de un electrón de carga –e atraído por un núcleo de Z

protones de carga +e (e 1,6×10-19

C), cambiando solamente el valor de K, que deberá ser:

K = kel Z e2 2,3×10

28 (N. m

2/C

2) × Z (10.6)

Donde kel es la constante de fuerza electrostática que, al igual que G para la gravedad, indica

el valor experimental de la fuerza de atracción (o repulsión) entre dos cargas de la unidad de

carga situadas a la unidad de distancia, y vale kel 9,0109 N·m

2/C

2.

Análisis de casos en fuerza coulombiana atractiva.

Las tres leyes de KEPLER, que fueron enunciadas por éste para el movimiento planetario, sir-

ven en realidad para el movimiento de cualquier cuerpo en una fuerza coulombiana, cosa que

recién pudo ser demostrada por NEWTON. La segunda de estas leyes es la Ley de las Áreas que

ya hemos presentado, y excepto ella, las otras dos requieren un trabajo matemático demasiado

elaborado para estas páginas, por lo cual utilizaremos sin demostrar el contenido de la Primera

Ley, adaptado al lenguaje que nos será útil.

Es decir, utilizaremos el siguiente conocimiento sin demostración.

“Una partícula sometida a una fuerza coulombiana, describe una cónica (elipse, parábola o

hipérbola) con el centro de fuerza en uno de sus focos.”

Curso l Física I


329

A partir de este dato podemos proceder al análisis utilizando nuestras herramientas habituales,

para el caso de un cuerpo o partícula de pequeña masa m, moviéndose en el campo de una

fuerza central coulombiana.

No trataremos de hacer una descripción en profundidad desde el momento inicial, sino de co-

menzar discutiendo los aspectos de manera más bien coloquial, para ir ganando en profundi-

dad al avanzar.

En el análisis de un ejemplo el primer valor importante es el de la energía mecánica total. Para

comenzar elijamos un valor negativo para la energía mecánica total y representemos las energ-

ías en una gráfica en función de r. Dejaremos para más adelante el caso de ET positiva.

r

E ( J )

Ep(r)

ET

r b

Ec

Ep(r) = K

r

Fig. 10.5: Una situación típica en una fuerza coulombiana, caracteri-

zada por la energía total. La energía total debe ser negativa para que

la partícula esté atrapada en órbita en una región acotada.

Vemos que en r = b se intersectan la recta indicativa de ET con la gráfica de Ep(r). De la

igualdad Ep = ET podemos despejar b = K / ET = K / ET.

Ahora bien, el valor r = b señala toda una zona del espacio, una superficie esférica de radio b

centrada en el origen, en la cual Ep = ET. Todo el espacio exterior a esta superficie esférica es

“zona prohibida” para el móvil con esta energía.

La región dada por r b es el interior de la esfera, y es la zona en la cual es posible el movi-

miento. La energía cinética que tendría la partícula en cualquier lugar dentro de esta esfera se

puede calcular a partir de la conservación de la energía mecánica:

Ec = ET Ep(r) = K

r ET

Ahora bien, dentro de esta región el movimiento es posible de muchas maneras distintas,

siempre teniendo en cuenta que ya sabemos que ocurrirá en un plano que pasa por el centro.

Una vez elegido el plano, bastará con r y (ángulo respecto de alguna dirección de referen-

cia), para describir todo.

Puede haber movimiento variando solamente r (movimiento puramente radial). Puede haber

movimiento circular, con r = cte, mientras solamente varía . Y puede haber infinidad de

combinaciones variando r y de distinta manera.

Para tener un panorama general digamos que, si la partícula estuviese en algún r < b, alejándo-

se de manera exactamente radial, entonces se alejaría hasta r = b, en donde se detendría. La

detención sólo podría ser instantánea, porque inmediatamente la fuerza de atracción la haría

volver en línea recta aceleradamente hacia el centro.

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330

r

E ( J )

ET

b

Ec

v

Ep(r)

Pero en general la partícula no se mueve exactamente a lo largo del radio, y entonces debe

describir una elipse. Cuando llega al punto más lejano, R = rmáx , este valor tiene que ser me-

nor que b, porque si hubiera llegado hasta r = b, se habría detenido, y a partir de allí sólo podr-

ía caer radialmente hacia el centro.

De manera que si sigue por la elipse es porque en el punto más alejado del centro no llega a

estar en reposo, sino que se mueve perpendicularmente a la dirección radial según la curva

correspondiente, conservando así cierta cantidad de energía cinética mínima, que nunca llega

a ser nula.

Para ilustrar esto en la figura siguiente se muestran tres órbitas posibles para la misma energía.

(1)

(2)

(3)

Revisemos los detalles de lo que es una elipse.

Dados dos puntos F y F’, llamados focos, la elipse es la línea que se forma con todos los pun-

tos P tales que la suma de las distancias de cada uno a ambos focos es una constante: FP + F’P

= cte.

Esto significa que la elipse será una curva cerrada simétrica con respecto a un eje que conten-

ga los focos, y también con respecto a un eje perpendicular al anterior que equidiste de ambos

focos. La intersección de estos ejes es el centro O de la elipse, y no es el punto en el cual se

ubica el astro central en el caso de la fuerza coulombiana (según la Primera Ley de KEPLER, el

astro central se ubica en un foco). En la figura 10.8 se muestran los elementos con la notación

usual.

F

P

F’ O

a b

c c

a

P : cualquier punto de la elipse

F, F’: focos

O: centro

OF = OF’ = c

a = semi-eje mayor

b = semi-eje menor

e = c/a : excentricidad

Fig. 10.8: Elementos de una elipse

Fig. 10.6: El punto r = b es efectivamen-

te el punto de retorno si la partícula se

aleja radialmente del centro.

Fig. 10.7: Tres órbitas posibles. La órbita

elíptica general es la (3), que en el caso

extremo de máxima excentricidad se

transforma en (1), y con excentricidad

cero es la circunferencia (2).

Curso l Física I


331

Inspeccionando un poco los elementos dados, se advierte que la excentricidad es un número

entre 0 y 1.

El caso extremo de e = 0, implica que ambos focos están confundidos en el origen, y tenemos

una circunferencia en la cual a = b = radio.

El otro caso extremo de e = 1, máxima excentricidad, achata la elipse hasta que se transforma

en un segmento de recta desde F hasta F’, con b = 0, y a = c.

F

F’

astro

F F’

astro

b a

a

e casi 1

centro de la elipse

e << 1

Fig. 10.9: Dos casos casi extremos de excentricidad. Notar que el astro que sería el

centro de fuerza, no está en el centro de la elipse. En el caso de las órbitas de los

planetas (derecha), éstas son prácticamente circunferencias descentradas.

Veamos ahora los detalles de cada caso de movimiento.

Caso 1: Movimiento radial.

La partícula se aleja desde r 0, con Ec (luego discutimos si es posible), hasta r = b, en

donde se detiene para volver.

r

( J )

ET

b

Ec en un r cualquiera

r

Ep(r)

Ec cuando r 0

Fig. 10.10: Energías en el caso de movimiento radial

Claramente en este caso la partícula no tiene cantidad de movimiento angular orbital con res-

pecto a O (en adelante omitiremos el subíndice, ya que siempre será con respecto a O), ya que

su trayectoria no tiene brazo de palanca:

Movimiento radial: L = 0

Especulemos ahora un poco acerca de lo que sucede en la zona r 0.

¿Podemos saber qué sucede exactamente en r = 0? ¿Tiene sentido esta pregunta?

No tiene sentido físico plantear que una partícula es lanzada desde (o llega a) exactamente el

origen con velocidad infinita. Hay que pensar en partir de puntos muy cercanos al origen, con

velocidades muy grandes.

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332

Por ejemplo pensemos en un cometa “cayendo” radialmente (o en una trayectoria próxima a

una recta radial) hacia el Sol. Este cometa vendría desde muy lejos, en un viaje de cientos o

miles de años, desde un r b muy grande, casi infinito, en donde tenía Ec 0, Ep 0, y ET

0.

Antes de llegar a r = 0 (centro del Sol), chocaría con su superficie. Inmediatamente antes de

chocar tendría una enorme Ec debido a la enorme disminución de Ep, que habría pasado de

Ep(b) 0, a Ep(RSol) = valor negativo muy grande (ver figura 10.11 - en valor absoluto es un

aumento, pero como aumenta negativamente, a los fines de la teoría es disminución).

( J )

ET 0

b RSol 0

Ep Ecf Ep(RSol)

r

Al chocar toda la Ec del cometa desaparece como energía mecánica (decimos que se trans-

forma en energía térmica - el Sol es muy grande y caliente y no se altera por ello).

Pero también podría ocurrir que el movimiento no fuese exactamente radial. El Sol es muy

pequeño, prácticamente un punto comparado con la órbita de cualquier cometa. El cometa

podría dar vuelta por detrás del Sol, muy cerca de la superficie, y visto desde lejos parecería

que vuelve prácticamente por la misma línea radial por la que se acercó, como si hubiese re-

botado contra la superficie; y el proceso proseguiría periódicamente. Se podrían inventar his-

torias de ciencia ficción con éstas y otras posibilidades.

Sol r = b

Fig. 10.12: La trayectoria radial es un caso límite de elipse degenera-

da en recta, que es una elipse de excentricidad = 1.

Cualquiera que sea la historia que se invente, este cometa sería muy rápido cerca del Sol y

muy lento lejos, es decir que pasaría unos pocos meses o días en la vecindad del Sol (que es

cuando podemos avistarlo) y siglos en la parte lejana.

Caso 2: Órbita circular.

La circunferencia es un caso particular de elipse sin excentricidad. En este caso el movimiento

es circular uniforme, y todo se mantiene constante en él, no sólo ET.

Veamos relaciones que serán muy útiles. Si distinguimos con subíndice “0” a todos los valo-

res que correspondan a este caso especial (r0, v0, Ec0, Ep0, etc.) tendremos:

Fuerza normal: 0

20

20 r

vm

r

K simplificando r0 2

0

0

vmr

K (10.7)

Conservación energía: Ep0 + Ec0 = ET Ec0 Ep0 = ET (10.8)

Fig. 10.11: Un caso práctico de movimiento casi radial.

b podría ser considerado infinito en relación con el

radio del Sol. La energía cinética del cometa al llegar al

Sol podría ser considerada infinita en relación con su

energía en otras partes del trayecto, aunque no en

relación con la energía que almacena el Sol.

Curso l Física I


333

En (10.7) vemos que m v02, que es el doble de Ec0, es exactamente igual a la energía potencial

cambiada de signo, o sea, ya que ésta es negativa, igual al valor absoluto de la misma: Ec0 =

½Ep0.

Introduciendo esto en (10.8), queda algo muy simple e interesante:

Ec0 =ET = ½Ep0 ET = 0r2

K

Pero siendo que b = K /ET, entonces: r0 = ½ b

r0 b

r

ET

E

Ec0

Ep0

La cantidad de movimiento angular orbital para este caso vale: L0 = m v0 r0 , que como vere-

mos enseguida, es el máximo valor que puede tener el momento angular orbital para el valor

dado ET de energía total.

Caso 3: Órbita elíptica cualquiera.

Apoyándonos ahora en lo que sabemos del movimiento circular, pensemos en la siguiente

situación.

Dado siempre el mismo valor de energía total negativo, ET, nos ubicamos en A, a la distancia

r0 necesaria para establecer una órbita circular (ya sabemos que es r0 = ½ K/ET ), y desde

allí nos proponemos lanzar la partícula con la velocidad v0 necesaria para el movimiento cir-

cular (ya sabemos que vale v0 = mE2 T , porque la energía cinética tiene que ser igual a

ET), pero en varias direcciones diferentes, como se ilustra en la figura 10.14.

(1)

(2)

(3)

v0

r = r0

v3

v2

v1

r = b

A

De la forma que hemos procedido queda claro que se obtienen órbitas diferentes, pero todas

de la misma energía total ET, ya que ésta se conserva, y en el punto inicial, A, todas comparten

el mismo valor de Ep y de Ec.

Fig. 10.13: El caso del movimiento circular uni-

forme con energía total ET. La partícula se man-

tiene en r0 = b/2, con Ec0 igual al valor absoluto de

ET.

Fig. 10.14: El cuerpo se lanza desde A (a distancia r0 del

origen) en varias direcciones distintas, con velocidad siem-

pre de módulo v0 (v1 = v2 = v3 = v0). En la dirección radial, 1v

,

tendremos el movimiento rectilíneo 1. En la dirección per-

pendicular a la radial, 0v

, tendremos un movimiento circular.

En cualquier otra dirección tendremos elipses de caracterís-

ticas básicas similares, como (2) y (3).

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334

Sin embargo todas tienen diferente momento angular orbital, ya que éste también se conserva

a lo largo de cada órbita, pero en el momento inicial todos son distintos. Efectivamente, si

aplicamos (10.2’): L = m r v sen, tendremos que:

El movimiento (1), radial, se inicia con = 0, y por tanto L1 = 0, como ya hemos dicho.

El movimiento circular se inicia con = 90º , y por tanto tiene L0 = m v0 r0, que es el máximo

valor posible de L para esta energía, porque sen90º = 1 = máximo valor posible del sen.

Cualquiera de los otros movimientos, con trayectorias elípticas, se inicia con sen < 1, por lo

cual L2 = m v0 r0 sen2 < L0, y L3 = m v0 r0 sen3 < L0.

Teniendo en cuenta esto, ahora inspeccionemos una órbita elíptica cualquiera, como la de la

figura 10.15.

va

vp

ra

rp

r = b

r

( J )

ET

b

Ecmín

rp ra

Ecmáx

zona en la cual

puede hallarse

la partícula

Fig. 10.15: Aquí se muestran los elementos básicos de una órbita elíptica típica. En el diagrama

de la derecha se entiende claramente que la intersección de Ep(r) con el valor de ET ya no indica

un punto de retorno, como ocurriría en un movimiento unidimensional. La apariencia de este dia-

grama es engañosa porque sólo muestra una de las coordenadas del movimiento.

Vemos que la partícula no llega ni a r = 0, ni a r = b. Se mantiene orbitando entre los valores

rmáx = ra y rmín = rp. Su energía cinética no alcanza a anularse nunca, sino que disminuye hasta

un valor mínimo en el punto más alejado, y crece hasta un valor máximo en el punto más cer-

cano al origen. En astronomía se designa apoastro al punto más alejado del astro central (afe-

lio si es el Sol, y apogeo si es la Tierra), y periastro al más cercano (perihelio si es el Sol, y

perigeo si es la Tierra).

Ahora bien, planteamos:

Conservación energía mecánica:

T

2

E2

vm

r

K (10.9)

Conservación momento angular:

L = m vp rp = m va ra va = vp (rp / ra) (10.10)

Si escribimos (10.9) para el punto más cercano y el más alejado, y recordamos que ET =

½ K/r0, queda:

0

2p

p r2

K

2

vm

r

K (10.9a)

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0

2a

a r2

K

2

vm

r

K (10.9b)

Ahora, si utilizamos (10.8), podemos eliminar va en (10.9b), luego, con (10.9a) eliminamos

también vp , obteniendo (luego de despejar – tarea para el lector):

rp + ra = 2 r0 (10.11)

Pero vemos en la figura 10.15 (o en la 10.8), que rp + ra es la longitud el eje mayor de la elip-

se, y según (10.11), debe valer lo mismo en todas estas órbitas posibles.

Esto nos dice claramente que:

Todas las órbitas de la misma ET,

tienen el eje mayor de la misma longitud.

Notar que en el caso particular e = 0 la órbita es una circunferencia cuyo diámetro, que mide 2

r0, también es el eje mayor, y que en el caso e = 1, ése también es el valor de b, que es el eje

mayor.

Además (10.11) también nos dice que r0 = ½ (rp + ra) = promedio entre distancia máxima y

mínima.

O sea, mirando la figura 10.14, ahora podríamos decir que cuando lanzamos el cuerpo desde

A (con la velocidad v0) oblicuamente hacia fuera (o hacia dentro) con relación a la circunfe-

rencia de radio r0, se aleja tanto hacia fuera de la circunferencia, como después se va a alejar

hacia dentro – lo que le falte para llegar a la distancia máxima, r = b, es exactamente lo que le

va a faltar luego para llegar al centro.

Las órbitas de poco momento angular tienen gran variación de distancia alrededor de r0, que

siempre es la distancia promedio, mientras que las de gran momento angular, se mantienen en

un anillo angosto cerca de la circunferencia de radio r0.

LAS LEYES DE LA DINÁMICA

Es importante recordar que siempre deberíamos ser capaces de aplicar las Leyes

de la Dinámica a cualquier situación, aunque no podamos desarrollar deta-

lles matemáticos.

Así por ejemplo, en un punto cualquiera de una órbita elíptica debemos ser ca-

paces de dibujar la fuerza actuante, que es un vector hacia el centro de fuerza,

encontrar sus componentes normal y tangencial, por ejemplo, y analizar el

efecto de cada una.

En cada punto de la curva tendremos una fuerza tangencial FT

que determina

que la velocidad deba aumentar en la parte en que la partícula se acerca al

centro de fuerza, y disminuir cuando se aleja.

Por otra parte, la fuerza normal, FN

, actúa curvando la trayectoria, la cual,

según la Ley del Impulso para la fuerza normal debería tener un radio R =

m v2

/FN

.

Ahora bien, no estamos en un movimiento circular, pero eso no importa: en ca-

da instante, el arco que se recorre durante un pequeño intervalo t, se confun-

Curso l Física I


336

de exactamente con una circunferencia del radio R debido. Este radio se de-

nomina radio instantáneo de la curva, aunque no sea una circunferencia.

FN

v

CA

FT

F

A

eje N eje T A

eje N

CA

RA RA

RA

recta tangente

mejor circunferencia

tangente en A

Como se ilustra en la figura para un punto cualquiera A (en una elipse cual-

quiera), a cierta distancia sobre el eje normal habrá un punto, CA

, tal que

haciendo centro en él con un compás, se podría trazar la mejor circunferencia

tangente a la trayectoria en A (hay que encontrar el punto CA

correcto para

ello– puede caer dentro o fuera de la elipse- y aquí no profundizaremos más).

En la vecindad de A, la trayectoria se confunde perfectamente con un pequeño

arco de esta circunferencia, y, mientras se lo está recorriendo, se está en un

movimiento circular de radio RA

. Debe cumplirse: FN

= m v2

/RA

.

CA

y RA

se denominan respectivamente centro instantáneo y radio instantáneo

de la curva en la vecindad de A. No pretendemos saber encontrarlos, pero sí

saber que existen.

El caso de los electrones en el átomo

En el dominio atómico rige la Mecánica Cuántica, que tiene una estructura matemática que no

trataremos de abarcar. No obstante podemos aquí establecer un pequeño resumen de muchos

de estos resultados clásicos que sí podemos aplicar al átomo.

La teoría cuántica nos dice que no debemos cometer el error de atribuir todas las propiedades

de una partícula clásica a un electrón. Por ejemplo no debemos pensar que existe una línea

que sea la trayectoria de un electrón.

Pero sí podemos pensar en estados orbitales con cierta distribución media en el espacio, y

caracterizados por ciertos números cuánticos, que, como veremos, definen los valores posi-

bles de algunas variables, que son las únicas susceptibles de arrojar valores definidos en una

medición. Éstas son en general todas aquellas que en la física clásica son constantes de movi-

miento (energía, momento angular, etc.).

A saber, para el movimiento orbital de los electrones en el átomo tenemos cuantificadas:

ENERGÍA MECÁNICA TOTAL, En , cuantificada con el número cuántico principal, n,

MOMENTO ANGULAR ORBITAL de módulo cuantificado con el número cuántico l,

componente según un eje del VECTOR AXIAL correspondiente al MOMENTO AN-

GULAR ORBITAL, cuantificada con el número cuántico m.

Cada una de estas variables sólo puede adoptar los valores que corresponden a alguno de los

números cuánticos. Los valores intermedios no son permitidos. El cambio de un estado a otro

se entiende como un proceso brusco en el cual no se pasa de manera continua por los estados

intermedios – los cuales no existen.

Curso l Física I


337

Veamos detalles.

Niveles de energía

El electrón puede estar en estados de energía total constante, pero que no pueden tener cual-

quier valor, sino sólo valores discretos dados por el número natural n, denominado número

cuántico principal.

Es decir, sólo son permitidos los valores:

E1, E2, E3, … En, … dados por: En = 2n

1E1 (10.12)

Donde E1 es un valor negativo (así, todos los En son negativos, como corresponde) dado por

cierta expresión que se obtiene de la teoría:

E1 =182

2

42el

22

1018,2Zh

emk2Z

J

Donde:

e 1,6 × 1019

C : carga elemental (del protón y del electrón, en valor absoluto)

kel 9,0 × 109 N·m

2·C

2 : constante de fuerza electrostática

m 9,1 × 1031

kg : masa del electrón

h 6,6 × 1034

J.s : constante de PLANCK

Z: número atómico (número de protones en el núcleo)

En la figura 10.16 se muestran los 3 primeros niveles para el caso más simple de Z = 1, que es

el átomo de hidrógeno (recordando que Ep(r) = K/r, con K dado por (10.6): K 2,3×1028

(N. m2/C

2) × Z).

Ep(r) =r

K

E1

E2

E3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 r ( Å )

(1018

J)

-1 -2 -3 -4

b1 b2 b3

La figura permite ver inmediatamente que, al ser valores negativos, mientras el valor absoluto

de En disminuye con n, En aumenta: si n > n’, entonces En > En’. Para n tendríamos que

ET 0, el electrón se podría alejar infinitamente, y ya no se consideraría ligado al átomo.

Así E1 es el nivel más bajo posible, denominado nivel fundamental. No es posible, según la

teoría cuántica, un estado de menor energía para un electrón en el átomo. Eso impide que los

átomos colapsen irradiando energía mientras los electrones se precipitan hacia r = 0.

Dado que bn , el radio de la zona accesible para un electrón con energía En , es inversamente

proporcional a En , resulta de estas fórmulas una separación muy marcada entre las zonas que

pueden ocupar los estados orbitales de los electrones con distintas energías, como se ve para

los primeros niveles en la figura 10.17. En la práctica se dice que los electrones se distribuyen

en “capas” de distinta energía:

Fig. 10.16: Primeros niveles de energía en

el átomo de H. Con la letra b indicamos el

radio de la zona más allá de la cual sería

imposible, clásicamente, hallar la partícula

de esa energía. Cuánticamente decimos que

la probabilidad de que el electrón sea halla-

do más allá de b es tan baja, que práctica-

mente equivale a la imposibilidad.

Curso l Física I


338

Un electrón con energía E1 (nivel fundamental), se encuentra dentro de una región de ra-

dio b1, muy próxima al núcleo. Estos electrones son los más ligados, porque para arran-

carlos del átomo haría falta mayor cantidad de energía que en cualquier otro nivel (Wext

E1). Se considera que el electrón ha sido arrancado cuando ha sido llevado a un ni-

vel con ET 0.

Los siguientes, con energía E2 (podrían ser arrancados del átomo con Wext E2, cua-

tro veces menor que la energía necesaria para arrancar un electrón del nivel 1), pueden

llegar hasta el radio b2 = 4 b1. Aunque algunos de estos electrones también pueden acer-

carse al núcleo, la mayoría de ellos tienen demasiado momento angular y nunca entran

(o, en el lenguaje cuántico, tienen bajísimas probabilidades de hacerlo) a la zona de los

electrones de la capa inferior.

Así sucesivamente, los de la capa n3 están 9 veces menos ligados y más lejos que los del

nivel fundamental, etc.

Momento angular orbital

El módulo de la cantidad de movimiento angular orbital está dado, para el nivel n, por el

número natural l, que va desde 0 hasta n1, según la expresión:

L =

2

h)1l(l (10.13)

Donde h es la constante de PLANCK (en general se utiliza el símbolo 2h ), que tiene

unidades de momento angular, y se considera la unidad atómica de momento angular.

Así vemos que:

En el nivel fundamental, n = 1, l sólo puede valer 0, Y lo mismo L. O sea que sólo hay

movimiento radial. Como en la teoría cuántica se suele interpretar que el electrón es una

onda, éstas serían ondas esféricas que oscilan entrando y saliendo radialmente. Se de-

nominan “s”, ondas s, o estados orbitales s.

En el nivel n = 2, l puede valer 0, y también 1. O sea que en este nivel hay estado s, sin

momento angular, pero también estados denominados “p”, con l = 1, o sea L1 = 2 .

En el nivel 3, tenemos estados s, estados p, y también estados “d”, con l = 2, o sea con

momento angular L2 = 6

Etc. En cada nivel habrá estados con momento angular que va desde 0 hasta un valor

máximo dado por (10.13) con el valor l = n1, que es el máximo l para el nivel.

Repitiendo las características del caso clásico, se encuentra que los estados orbitales de poco

momento angular combinan ondas radiales (entrante-saliente), con ondas que circulan alrede-

dor del núcleo.

Los estados de mucho momento angular se distribuyen en una capa más delgada alrededor del

radio medio de la zona (bn/2). En los estados de bajo momento angular los electrones tienen

probabilidad de ser encontrados en una capa más gruesa, pudiendo alejarse más del núcleo, y

también acercarse más al mismo.

Curso l Física I


339

Los electrones en estado s, caso extremo, son los únicos que tienen cierta probabilidad de ser

hallados en el núcleo o muy cerca de él, y a la vez que son los que tienen probabilidad de ser

hallados más lejos, que es la mayor probabilidad (por razones similares a los cometas, que

están la mayor parte del tiempo lejos del Sol).

Tan cierto es que estos electrones llegan al núcleo, que algunos núcleos inestables pueden

ocasionalmente CAPTURAR un electrón de un estado s. Este proceso se denomina “captura

”, y sólo ocurre con determinados núcleos inestables. La masa del núcleo no se altera mucho

por esto, pero su carga eléctrica sí: disminuye en una carga elemental (un protón se transforma

en un neutrón), y el elemento se TRANSMUTA en un isótopo del elemento anterior de la Ta-

bla Periódica con Z Z1, y con el mismo número de masa.

Componente espacial del momento angular orbital

La componente del vector axial L

respecto de alguna dirección del espacio (en general se

elige el eje z, y se lo denomina “eje de cuantificación”), está cuantificada según:

Lz = m (10.14)

Donde m es un número entero que va desde –l hasta l.

Es decir, para los estados s, m sólo puede valer cero. Hay un solo estado s, que es de simetría

esférica y no puede tener diferentes orientaciones en el espacio.

Para los estados p, que tienen L1 = 2 , hay tres orientaciones posibles con L1z = + , 0 , y

. Como el vector L

es perpendicular al plano del movimiento clásico, esto en la teoría

clásica indicaría tres orientaciones posibles de este plano, y en la teoría cuántica, similarmen-

te, tres estados orbitales con igual estructura radial y las correspondientes orientaciones dife-

rentes de la rotación.

Y así sucesivamente, los estados d son 5 estados con L2 = 6 , y con rotaciones dadas por

L2z = 2 , , 0 , , y 2 .

El límite clásico

La constante de PLANCK es prácticamente el elemento clave de la Teoría Cuántica (Max Karl

Ernst Ludwig PLANCK, 1858-1947, la introdujo en 1900). La pequeñez de esta constante es lo

que hace que los fenómenos cuánticos pasen desapercibidos en la vida práctica, pero sean

notables a nivel atómico.

Si considerásemos cada vez más pequeña esta constante, el espaciamiento entre los valores

permitidos de cualquier variable se haría cada vez más pequeño, y ésta podría pasar de un va-

lor permitido a otro infinitamente próximo de manera casi continua habríamos recuperado

así la física clásica. Ahora bien, si revisamos las fórmulas, encontramos que para tener valores

típicos de cualquier variable, con h muy pequeño, tendiendo a cero, deberíamos tomar núme-

ros cuánticos muy grandes, tendiendo a infinito.

Y éste es el llamado límite clásico: con h que tiende a cero, esperamos que para los grandes

valores de los números cuánticos, las fórmulas cuánticas tiendan a las clásicas.

Así por ejemplo, por razones de la indeterminación que debe reinar en el dominio de la cuán-

tica, el vector axial momento angular, de módulo Ll = )1l(l , no puede proyectar todo su

Curso l Física I


340

módulo sobre un eje (porque eso lo ubicaría exactamente en el eje, perdiéndose el grado de

indeterminación debido). Por eso es que su máxima proyección, l , siempre es menor

que )1l(l . Sin embargo, si h se pensara tendiendo a cero, con grandes valores de l podr-

íamos compensar esta pequeñez para obtener cualquier valor de L de algún problema dado, y,

siendo que para l muy grande )1l(l l, el comportamiento del vector L sería clásico: podr-

ía proyectarse en todo su módulo sobre cualquier eje, es decir alinearse exactamente con él.

Otro ejemplo es el caso del máximo momento angular posible del nivel de energía n. Cuánti-

camente tenemos que con lmáx = n1, será Lmáx = n)1n( , valor que para n muy grande

tenderá a n .

Despejando de la fórmula de la energía obtenemos 1el2 E2mke = 1E2mK , con

lo cual podemos escribir el momento angular máximo en función de la energía total En , para

grandes valores de n, que resulta:

Lmáx 1E2

mKn =

nE2

mK

Ahora bien, esto es exactamente lo mismo que encontramos en el tratamiento clásico si escri-

bimos Lmáx = m v0 r0, en términos de la energía total del nivel (usando v0 = mE2 T , y r0 =

b/2 = K/(2ET)).

Energías positivas y escape de la partícula

Hasta ahora hemos analizado casos con ET < 0. Veamos qué sucede si la energía total es posi-

tiva. En la figura siguiente podemos notar que en esta caso la partícula puede alejarse hasta el

infinito: NO ESTÁ LIGADA al centro de fuerzas. La trayectoria es una curva que según la

Primera Ley de KEPLER es una parábola (sólo si ET = 0), o una hipérbola, siempre con el cen-

tro de fuerza en un foco.

r ET

E Ec(r)

astro central

F

v m

Fig. 10.17: Un caso de trayectoria hiperbólica. A la izquierda el esquema de energías correspon-

diente. A grandes distancias la hipérbola se transforma prácticamente en una línea recta, como lo

muestran las rectas dibujadas, denominadas asíntotas de la hipérbola.

A medida que el cuerpo se aleja del centro de fuerza va disminuyendo su energía cinética,

pero la fuerza atractiva que le va quitando esa energía también va disminuyendo. El resultado

es que muy lejos ya la Ep(r) se mantiene casi constante, y eso indica que la fuerza casi es nula

y puede ser ignorada, pero a la partícula le queda aún una cierta cantidad de energía cinética.

En la gráfica se ilustra que Ec() = ET.

Curso l Física I


341

Podemos terminar estos ejemplos diciendo que la condición límite, que separa los casos de

partícula LIGADA al centro de fuerzas, del caso de partícula NO LIGADA, es ET = 0.

Con ET = 0 la partícula puede alejarse hasta el infinito, pero pierde toda su energía cinética en

el proceso (Ec() = 0).

Para estos casos también es posible hacer diversas consideraciones sobre la relación entre la

forma de la trayectoria y el momento angular orbital, pero no son de mucho interés por lo cual

no profundizaremos en el tema.

Velocidad de escape.

Supongamos que tenemos un cuerpo en la superficie de la Tierra (o de cualquier planeta o

astro similar), y nos preguntamos si es posible lanzarlo hacia arriba con una velocidad tal que

no retorne nunca (ignorando la resistencia del aire, así como la rotación del planeta).

Es claro que no es válida la aproximación habitual de considerar el peso constante. Hay que

considerarlo como fuerza coulombiana que se va debilitando a medida que el cuerpo se aleja.

Si pensamos que en la superficie del planeta de radio R, el cuerpo está inicialmente en reposo

a distancia R del centro de fuerza, deberemos atribuirle energía mecánica total inicial E0 igual

a la potencial, la cual a su vez tiene el valor dado por la expresión coulombiana Ep(R) =

K/R.

r

E0

E

Wext

R

E0 = K

R

Esta función ya no es válida

en el interior de la Tierra

interior exterior

Ep(r) = r

K

Fig. 10.18: Esquema de la energía potencial coulom-

biana cerca de la superficie terrestre.

Vemos en la figura que un agente externo debe realizar el trabajo capaz de dar al proyectil la

energía cinética que lleve la energía mecánica total desde su valor inicial E0 hasta su valor

final 0, con lo cual se podrá alejar infinitamente.

Esto es la diferencia 0 – E0 = E0= G M m / R, de manera que la energía cinética buscada es

RmMG2vm 20 , y la velocidad necesaria resulta independiente de la masa del proyectil y

está dada por: RGM2v0 .

Esta velocidad se conoce con el nombre de “velocidad de escape”, y para el planeta Tierra

vale aproximadamente 11,6 km/s.

NOTA:

Es importante poder relacionar la energía potencial gravitatoria dada por

Ep = m g y, que hemos utilizado para movimientos en la superficie de la Tierra

(ahora la vamos a llamar Ep*), con ésta, de forma coulombiana, dada por

Ep(r) = –K/r.

Curso l Física I


342

Para hacerlo comencemos notando que y, la altura con respecto a algún nivel

arbitrario, también es una coordenada radial: y = r – R, de manera que:

Ep* = m g y = m g r – m g R

Pero si recordamos que g = G M / R2

, entonces:

Ep* = m G M2R

r m G M

R

1= K

2R

r K

R

1

Ésta es una función lineal de r, con pendiente K/R2

, que vale cero en r = R (ver

Ep*(r) en la figura). Notar que K/R2

= m gsup

, es el peso del cuerpo en la superfi-

cie terrestre.

Ahora bien, si calculamos la derivada de Ep(r), nos da K/r2

, lo que nos muestra

que en r = R, Ep(r) vale –K/R, y tiene la misma pendiente K/R2

que Ep*.

Esto nos dice que si a Ep(r) le sumamos K/R, se va a confundir (va a ser tangen-

te) con Ep*(r) en la cercanía de r = R; es la gráfica en línea de trazos en la fi-

gura.

r

R

K

E

R

Ep(r) = r

K

Ep*(r)

R

K

R

K

Ep(r) + R

K

De manera que si quisiéramos resolver el problema del escape con la función

Ep*(r) no podríamos, porque tiene pendiente constante, o sea que indica fuerza

peso constante a cualquier distancia, lo cual no es real. Con ella, para cual-

quier energía total (cualquier velocidad inicial), siempre encontraríamos un r

de retorno, que nos daría el máximo alejamiento posible.

Pero si consideramos que la pendiente de la gráfica tiene que ir disminuyendo

con la distancia, entonces la gráfica se transforma en la línea de trazos, y ve-

mos la respuesta correcta: ya no hay punto de retorno cuando la energía total

llega al valor K/R.

Dado que a las funciones Ep siempre se les puede sumar cualquier constante sin

que se alteren las conclusiones físicas, la función en línea de trazos es, en su

significado físico, totalmente equivalente a la coulombiana Ep = –K/r, como

puede verse a partir de los siguientes razonamientos, adaptados a cada una de

las funciones:

Según la función en línea de trazos el cuerpo tiene Ep = 0, en la superficie,

y hay que darle Ec K/R para que escape. Va a llegar infinitamente lejos,

donde va a tener K/R de potencial, y lo que le sobre de cinética.

Según la función Ep = –K/R, el cuerpo tiene Ep =–K/R, en la superficie, y hay

que darle Ec K/R para que escape. Va a llegar Infinitamente lejos, donde

va a tener 0 de potencial, y lo que le sobre de cinética.

Curso l Física I


343

Escape del átomo: energía de ionización.

Si tenemos un electrón ligado a un núcleo en un estado de energía total E0 (que debe ser un

valor negativo), es elemental calcular qué energía es necesario suministrarle para arrancar este

electrón del átomo.

Tenemos que pasar de un estado de energía total ETinicial = E0 < 0, a un estado de ETfinal 0 (es

suficiente con ETfinal = 0).

r

E ET

Un agente exterior debe suministrar una cantidad Wext = ET = 0 – E0 =E0 (recordar que E0

es un valor negativo).

Esta cantidad de energía se denomina energía de ionización, pues el átomo luego quedará

definitivamente separado de este electrón, transformado en un ion positivo.

En general en el proceso de ionizar un átomo de muchos electrones, se denomina energía de

ionización a la mínima energía necesaria para ello, o sea a la necesaria para quitar el electrón

menos ligado. De manera que se considera a todos los electrones ubicados en los orbitales de

más baja energía que les sea posible ocupar. Esto se denomina estado fundamental del átomo.

El electrón menos ligado será el que esté en el nivel más alto de todos, siempre en el estado

fundamental del átomo, y la energía de este nivel, en valor absoluto, es la energía de ioniza-

ción.

Fuerza coulombiana repulsiva

Este es un caso de poco interés para nosotros, por lo cual le vamos a dedicar poco espacio.

Pero conceptualmente interesa saber que existe. Ocurre, por ejemplo entre cargas del mismo

signo, y corresponde a las famosas experiencias con las cuales Ernest RUTHERFORD (1871-

1937) en 1911, exploró el átomo bombardeándolo con partículas (de carga positiva) y en-

contró que éstas rebotaban como si hubiesen chocado contra algo muy masivo y extremada-

mente pequeño (entiéndase: mucho más pequeño que el átomo).

RUTHERFORD interpretó estos resultados diciendo que el átomo tenía un núcleo extremada-

mente pequeño (prácticamente un punto comparado con el resto del átomo), en el que estaba

la carga positiva, y prácticamente toda la masa. Aplicando estas mismas leyes que estamos

viendo él encontró que las partículas no llegaban en realidad a chocarlo mecánicamente,

sino que se desviaban por la fuerte repulsión electrostática, siguiendo las correspondientes

trayectorias hiperbólicas (figura 10.20).

Y ASÍ SE DESCUBRIÓ QUE EL ÁTOMO TENÍA NÚCLEO. Y EL MUNDO NO VOLVIÓ

A SER EL MISMO.

Y aquí lo que interesa saber es que se siempre se pueden aplicar las mismas leyes básicas:

La trayectoria debe ser una hipérbola con el centro de fuerza (repulsiva en este caso) en

un foco, porque sigue valiendo la Ley de KEPLER que hemos visto,

Fig. 10.19: Salto de energía

necesario para la ionización.

Curso l Física I


344

Se debe conservar el momento angular orbital (Ley de las Áreas), porque la fuerza es

central, y la energía total, porque es conservativa.

La energía potencial es la misma función que en el caso atractivo, pero positiva, de ma-

nera que la fuerza apunta hacia fuera, que es hacia donde disminuye Ep(r) = +K/r.

v

r

ET

E Ep(r) = K / r

Núcleo

F

asíntotas

eje

Fig. 10.20: Trayectoria hiperbólica de una partícula que se acerca a un núcleo atómico y

es repelida por él. A la izquierda el esquema de energías correspondiente, el cual muestra

que hay un acercamiento máximo posible para una partícula con energía dada.

10.3.- El caso de la fuerza elástica.

En este caso tenemos una fuerza central atractiva de módulo proporcional a la distancia:

Fr = k r

La energía potencial correspondiente es (a menos de una constante cualquiera C que se le

puede sumar sin que afecte las consideraciones físicas):

Ep = ½ k r2

Por ser una fuerza central ya sabemos que el movimiento debe ocurrir en un plano, y si en ese

plano consideramos los ejes cartesianos x, y, podemos llegar a varias conclusiones importan-

tes.

Por un lado vemos claramente que las componentes cartesianas de la fuerza pueden expresar-

se, cada una, como una fuerza elástica en el eje correspondiente, ambas de la misma constante

k, ya que rkF

equivale a decir (Fx ; Fy) = k (x ; y), y esto es:

Fx = k x ; Fy = k y

De manera que podemos tener oscilaciones armónicas independientes en cada eje, de cual-

quier amplitud cada una, pero necesariamente de la misma frecuencia:

f =

2=

m

k

2

1

La superposición de estas oscilaciones será una curva cerrada, ya que cada vez que transcurra

un período T la partícula volverá al mismo valor de x, y al mismo valor de y, es decir al mis-

mo lugar r

= (x;y).

Ahora bien, comencemos suponiendo el caso en el que las oscilaciones en x, de amplitud A,

están adelantadas T/4 respecto de las oscilaciones en y, cuya amplitud es B.

x(t) = A cos(t) ; y(t) = B sen(t) (10.15)

Si utilizamos la relación trigonométrica 1)t(sen)t(cos 22 , escribiendo cos(t) = x/A, y

sen(t) = y/B, obtenemos:

Curso l Física I


345

1B

y

A

x2

2

2

2

(10.16)

Pero esta es la ecuación cartesiana de una elipse de semi-ejes A y B (figura 10.21).

Ahora bien, las oscilaciones en cada eje son independientes y sabemos que cada una cumple

con:

½ k x2 + ½ m vx

2 = ½ k A

2 = energía total de la oscilación en x.

½ k y2 + ½ m vy

2 = ½ k B

2 = energía total de la oscilación en y.

Sumando estas expresiones, y teniendo en cuenta que r2 = x

2 + y

2, y que v

2 = vx

2 + vy

2, obte-

nemos:

½ k r2 + ½ m v

2 = ½ k (A

2 + B

2) = ET , del movimiento elíptico. (10.17)

Denominamos b = 22 BA , a la distancia a la cual Ep = ET, o sea ET = ½ k b2 . Ésta es la

distancia más allá de la cual es imposible encontrar la partícula con la energía total dada, y

como se deduce de (10.17) es la diagonal de un rectángulo cuyos lados son los semi-ejes ma-

yores de la elipse.

A B x

y

r = b

Ep = k r2

2

B

E ( J )

r

ET Ecmín

A

zona en la cual puede

hallarse la partícula

b

Ecmáx

Fig. 10.21: Elementos de las oscilaciones elásticas.

Ahora bien el caso más general posible es el caso en que las oscilaciones en cada eje están

defasadas en cualquier fracción de período, y no sólo en T/4. No abordaremos ese caso porque

requiere un trabajo algebraico más arduo, pero anunciaremos, sin demostrarlo, que nada varía

en las conclusiones generales.

El movimiento más general posible es una elipse centrada en el origen, cuya excentricidad

(que aquí indica achatamiento de la elipse, pero no ubicación fuera de centro) puede variar

desde 0 hasta 1.

Dada una energía total ET, determinamos b = kE2 T , o sea el valor que cumple con ET =

½ k b2, y luego podemos decir que son posibles todas las elipses cuyos semi-ejes forman un

rectángulo cuya diagonal es b.

Los casos extremos son:

e = 0: movimiento circular de máximo momento angular orbital. Debe ser r0 = b / 2 , y

se verifica fácilmente que se cumple con la ley de fuerza normal: m v02/ r0 = k r0 , pues

ella equivale a: v0 = r0. Esto también implica que m v02 = k r0

2, lo cual dividido por 2

dice que: Ec0 = Ep0 = ½ ET.

e = 1: movimiento rectilíneo oscilatorio a lo largo de todo el diámetro de la zona de r

b. No tiene momento angular orbital.

Curso l Física I


346

En la práctica la situación de fuerza elástica en el dominio atómico se encuentra siempre que

hay alguna partícula que es mantenida en una posición de equilibrio por fuerzas que le aplican

los vecinos (en general en el centro de fuerzas no puede haber un agente responsable de una

fuerza como ésta, porque allí debe haber lugar para la partícula móvil, ya que es su posición

de equilibrio).

Por ejemplo un núcleo atómico es mantenido en el correspondiente sitio de la red o de la

molécula, por la nube electrónica “entrelazada” con las de los átomos vecinos.

Propuesta experimental casera

Un ejemplo aproximado de estas trayectorias se obtiene caseramente con un péndulo de hilo muy

largo, haciendo que ejecute oscilaciones de pequeña amplitud, para que el movimiento se mantenga

aproximadamente en un plano horizontal. Siendo la amplitud pequeña, tendremos que aproximada-

mente la fuerza neta sobre el cuerpo estará en ese plano, será hacia el centro, y proporcional a la dis-

tancia al mismo.

Entonces, dando impulsos suaves adecuados se obtienen movimientos en los cuales el hilo describe

distintos tipos de conos, mientras el cuerpo en el extremo dibuja aproximadamente elipses que pueden

variarse desde circunferencias hasta líneas diametrales.

Cuantificación

Las consideraciones cuánticas siempre intervienen en el dominio atómico planteando la cuan-

tificación de la energía total y módulo y una componente de la cantidad de movimiento angu-

lar.

Ahora bien, la cuantificación de todos los aspectos relacionados con el momento angular orbi-

tal sólo depende de que la fuerza sea central, y es independiente de la función Ep(r), es decir

es la misma que ya hemos visto.

Lo único que en la fuerza elástica es diferente de lo que vimos en la fuerza coulombiana, es la

fórmula para los niveles permitidos de la energía.

Ahora tenemos niveles dados por el número natural n comenzando desde 0, que son:

En = m

k

2

1n

(10.18)

Recordando que la frecuencia es f = mk21 , a veces es importante escribir:

En = (n + ½) h f (10.18’)

Veremos más detalles en el capítulo de Vibraciones y Rotaciones Moleculares.

10.4.- La reducción al Sistema Centro de Masa.

Ahora debemos prestar atención a un detalle que hemos pasado por alto. Los movimientos

posibles que hemos estudiado de una partícula de masa m alrededor de un hipotético centro de

fuerza que está fijo en el origen de coordenadas, corresponden a una situación ideal.

Curso l Física I


347

En la práctica la fuerza sobre la partícula de masa m es aplicada por algún cuerpo, el cual tiene

masa M >> m, y está, según el Principio de Acción y Reacción, necesariamente sometido a la

fuerza que sobre él ejerce la partícula; y por no ser un cuerpo libre de fuerzas, no puede consi-

derarse estrictamente en reposo en el origen de un buen sistema de referencia.

El cuerpo central también tiene que moverse!. Claro que si su masa es infinitamente grande,

tiene que moverse infinitamente poco, y tenemos la situación ideal que hemos estudiado. Ella

puede considerarse como caso límite cuando la masa del cuerpo central es suficientemente

grande – cosa que se cumple bastante bien en el Sistema Solar y en el átomo.

Pero no se cumpliría si pensamos en dos estrellas de masas parecidas, o dos átomos compo-

nentes de una molécula. En esos casos cada cuerpo debería considerarse en movimiento alre-

dedor del centro de masa del sistema, que es el punto que podría considerarse en reposo en el

origen.

Consideremos dos partículas, de masas m1 y m2, unidas por alguna fuerza mutua de atracción.

Estas partículas pueden moverse de muy variadas maneras, combinando traslación con rota-

ción, pero lo hacen de manera que su centro de masa se mueve con movimiento rectilíneo

uniforme.

vCM

v1

m2

m1

v2

F1

CM

F2

Si a este sistema de dos partículas lo acompañamos con un sistema de coordenadas que viaje

con la misma velocidad del CM, en este sistema, denominado sistema CM, dicho punto estará

en reposo en un lugar arbitrario, que elegimos como origen. Habremos descontado así el mo-

vimiento del centro de masa, y tendremos a la vista los posibles movimientos intrínsecos de

las partículas.

La posición del CM en cualquier sistema está dado por:

21

2211CM

mm

rmrmr

(10.19)

Esto significa que, en el sistema CM, en el cual el CM se elige como origen, tendremos

0rCM

, y por lo tanto:

m r m r1 1 2 2 0 (10.20)

1

2

12 r

m

mr

(10.20’)

Es decir que ambas partículas tienen el mismo movimiento con respecto al centro de masa, ya

que 1r

y 2r

son vectores que se mantienen opuestos sobre la misma recta, y cuyos módulos se

mantienen en una relación fija:

Fig. 10.22: Mientras dos partículas viajan

aplicándose fuerzas mutuas, sus trayectorias

son curvas pero el CM viaja con MRU.

Curso l Física I


348

r2(t) = (m1/m2) r1(t)

Es como si lo que hace una partícula fuera copiado exactamente por la otra del lado opuesto

del CM, con un factor de escala que es la relación entre las masas.

Ahora bien, a lo largo de este capítulo hemos considerado que 1 era la partícula móvil, y 2 era

el cuerpo fijo en el origen (lo cual se justificaba porque m2 >> m1), de modo que cuando con-

siderábamos que r

era la posición del cuerpo 1 con respecto al origen, también lo era con

respecto al cuerpo 2. Pero ahora este cuerpo ya no está en el origen, y debemos a precisar me-

jor, de manera que definimos claramente que utilizaremos r

para designar: r =

r r1 2

Y si eliminamos 2r

de esta expresión utilizando (10.20’) se encuentra que el movimiento de la

partícula 1 con respecto a la 2 también reproduce al de la partícula 1 con respecto al CM, con

otro factor de escala dado por (notar que r =

r r1 2 , pero r

= r1 + r2):

)t(r

= r r1 2 = )t(r

m

mm1

2

21 (10.21)

v2

m1

m2

v1

CM

r1

r2

r

Ahora vemos que al no tomar 1r

con respecto al CM, como debió ser, hemos estado introdu-

ciendo (sin saberlo) un factor de escala fijo en las distancias:

2

21

m

mm =

2

1

m

m1 (10.22)

Este factor también ha afectado a las velocidades y cantidades de movimiento, ya que, si se

deja transcurrir un pequeño intervalo de tiempo t, los vectores posición 1r

y 2r

sufren despla-

zamientos que también cumplen estas relaciones, las cuales luego, dividiendo por t, también

se encuentran entre las velocidades:

1

2

12 v

m

mv

; v

= 1

2

21 vm

mm (10.23)

Ahora bien, todo el comportamiento mecánico de los cuerpos se deduce de la Ley del Impulso

aplicada en el sistema CM. Esta ley, para el movimiento del cuerpo 1 dice:

11 vmt)r(F

Así la Ley está correctamente aplicada, en el sistema CM, pero dado que la fuerza que esta-

mos considerando está dada en función de r, la distancia entre los cuerpos, y no en función de

r1, puede sernos cómodo escribir la Ley también en términos de r

y v

.

Si para ello reemplazamos 1v = vmm(m 212

, tomado de (10.23), queda:

Fig. 10.23: En el sistema CM ambas partículas des-

criben movimientos de la misma forma, opuestos

respecto del CM, con un factor de escala constante.

Curso l Física I


349

vmm

mmt)r(F

21

21

(10.24)

Pero esto nos dice que aplicando correctamente la Ley del Impulso, los vectores r

y v

(que

son los que dan el movimiento del cuerpo 1 respecto del 2) evolucionarían en el tiempo como

si la fuerza estuviera actuando sobre un cuerpo de masa , que llamaremos “masa reducida”,

dada por:

=21

21

mm

mm

(10.25)

O sea, afectamos la masa por un factor de escala que compensa al que afecta a la velocidad, y

tenemos la masa reducida. Notemos que, si m2 >> m1, resulta m1. Esto justifica una vez

más que la aproximación hecha a lo largo del capítulo ha sido buena.

Ejemplo desarrollado

Considere posibles vibraciones de la molécula de H35Cl, y de la de H2 (para este planteo considere las

masas en u.m.a., sin expresarlas en kg).

a) Sabiendo que las ligaduras H-Cl y H-H tienen longitudes de equilibrio 127,510-12 m, y 74,110-12 m

respectivamente, encuentre la ubicación del centro de masa de cada molécula, y haga un esquema a

escala, ubicando cada átomo en un sistema de coordenadas con el CM fijo en el origen de la respecti-

va molécula.

b) Encuentre la masa reducida para cada caso, e interprete el significado de cada valor obtenido. En

particular explique por qué la del sistema HCl es muy parecida a la del hidrógeno, y la otra no.

Desarrollo

a) Dado que la masa del 35Cl es 35,5 uma, es decir 35,4 veces la del H, en la molécula HCl el centro

de masa estará exactamente ese número de veces más cerca del Cl que del H, mientras que en la

molécula H2 el CM estará exactamente al medio entre ambos.

CMNúcleo H

Núcleo Cl

x

(10-12

m)10050

124-3,6

CM Núcleo HNúcleo H

x

(10-12

m)50

37-37

b) La masa reducida resulta: HCl = 0,97 u.m.a. ; HH = 0,5 u.m.a. Para la molécula de HCl, tenemos

un protón oscilando unido a un núcleo 35,4 veces más masivo. El núcleo de Cl se mantiene cercano al

centro de masa, con oscilaciones de muy pequeña amplitud: cualquier movimiento del protón es “co-

piado” por el Cl con amplitud 35,4 veces menor. De manera que para el protón esto es muy parecido a

estar unido a un punto fijo, por lo cual la masa reducida describe una partícula hipotética casi de la

misma masa que el protón.

Curso l Física I


350

Muy distinta es la situación en la molécula de H2: cada protón está unido a otra partícula que se mueve

exactamente tanto como él. Para el resorte es como si tuviese un extremo fijo, y en el otro una partícu-

la cuya masa fuese la mitad de la que realmente hay.

NOTA: LOS RAZONAMIENTOS FUERON CORRECTOS

Aunque las expresiones (10.24) y (10.25) son concluyentes y no es necesario

agregarles más nada, es interesante la siguiente reflexión.

Todas las deducciones hechas a lo largo del capítulo sobre las características

de los movimientos se basaron en dos cosas:

1) En que la fuerza era central.

2) En la forma de la función Ep(r).

Y esas dos cosas se mantienen si pasamos del sistema (incorrecto) en el cual el

cuerpo 2 estaba en el origen, al sistema con CM en el origen, ya que:

1) La fuerza sobre 1, directamente hacia 2, también apunta exactamente

hacia CM.

2) La forma de las funciones Ep(r) involucradas es la misma, salvo factores

constantes, que la de las funciones Ep(r1

) que se obtienen sustituyendo r por

medio de la expresión (10.21).

De manera que las elipses y trayectorias varias que hemos estudiado para el

cuerpo 1 alrededor del 2, también son válidas para cada cuerpo alrededor del

CM, con el factor de escala adecuado.

Por último, si vamos a resolver cualquier problema en términos de r

y v

, debemos expresar

correctamente la energía cinética y el momento angular orbital.

Es decir, para aclarar: vamos a trabajar en términos de r

y v

, que expresan las variables del

cuerpo 1 con respecto al 2, pero no consideramos que el cuerpo 2 está fijo en el origen, porque

el que está fijo es CM.

Si considerásemos al cuerpo 2 fijo en el origen, nosotros diríamos: Ec = ½ m1 v2, y L = m1 v

r, lo cual sería incorrecto (comparar con (10.26) y (10.27)).

Nosotros decimos: Ec = ½ m1 v12 + ½ m2 v2

2, y LCM = m1 v1 r1 + m2 v2 r2, porque hablamos

en el sistema CM, y queremos expresar estas cosas en términos de r y v.

Entonces, para ello recurrimos a los factores de escala dados por (10.23):

Ec = ½ m1 v12 + ½ m2 v2

2 =

22

21

212

211

m2

vmm

2

vm

=

2

12211

m

mm

2

vm

= 2

21

21 vmm

mm

2

1

= ½ v2 (10.26)

Y de la misma manera, para el momento angular orbital, LCM = m1 v1 r1 + m2 v2 r2, con los

mismos reemplazos, se obtiene:

Curso l Física I


351

LCM = v r = 2 r (10.27)

Donde es la velocidad angular: = v1 / r1 = v2 / r2 = v / r . Estas igualdades se justifican

porque tanto la línea entre los cuerpos, como las líneas entre cualquiera de ambos cuerpos y el

CM, están alineadas y rotan todas juntas.

La conclusión práctica es muy simple:

Cuando dos cuerpos se mueven bajo la acción de fuerzas mutuas alineadas con la

recta que los une, el movimiento relativo de uno de ellos respecto del otro puede ex-

plicarse como si él tuviese la masa reducida, , y el otro estuviera fijo en el origen.

Por ahora dejaremos aquí el tema, y lo retomaremos al tratar las vibraciones y rotaciones mo-

leculares.

Ejemplo desarrollado.

Consideremos dos cuerpos el 1 de masa m1 = 1 kg, y el 2, de masa m2 = 3 kg, unidos por medio de un

resorte de 40 cm de longitud en equilibrio, y constante elástica k = 750 N/m.

Ambos cuerpos pueden oscilar sin rozamiento sobre una pista horizontal rectilínea a lo largo del eje x.

xm1km2

a) encuentre la ubicación del centro de masa, y muestre que si se ubica el origen del eje x sobre él,

entonces la posición de equilibrio del cuerpo 1 estará en x01 = 30 cm, y la del 2 en x02 = 10 cm.

b) Muestre que si en el sistema CM el cuerpo 1 oscila 6 cm a cada lado de su posición de equilibrio, el

2 oscilará 2 cm a cada lado de su propia posición de equilibrio.

c) Calcule la fuerza que aplica el resorte a cada cuerpo cuando ambos están en el máximo aparta-

miento, y en la máxima proximidad. Compárelas.

d) Con los valores calculados en c), y los correspondientes apartamientos de cada cuerpo de su res-

pectiva posición de equilibrio, muestre que es como si cada cuerpo estuviera unido al origen (y no al

otro cuerpo) por un resorte diferente. Calcule la longitud de equilibrio y la constante elástica de cada

uno.

e) Muestre que cada cuerpo oscilando independientemente en el extremo de su resorte diferente, osci-

laría con la misma frecuencia que el otro, y que esa es la misma frecuencia de oscilación de un cuerpo

de masa reducida en el extremo del resorte real.

Desarrollo

a) Si el resorte está en equilibrio un cuerpo estará a 40 cm de distancia del otro. Ahora, con respecto al

cuerpo 2 ubicado a la izquierda, el CM estará en xCM = (30 + 140)/4 = 10 cm.

De manera que ubicando el origen de un nuevo eje x en el CM, tendremos el cuerpo 1 ubicado en x10

= 30 cm, y el 2 en x20 = -10 cm. Como el resorte está en equilibrio no hay fuerza sobre ninguno de los

cuerpos, y esas posiciones son las posiciones de equilibrio de cada uno en el sistema CM.

Curso l Física I


352

x m1

CM

m2

x = 0 30 cm

x10

-10 cm

x20

x10 - x20 = 40 cm

b) Si alejamos ambos cuerpos una cierta distancia y luego los soltamos a los dos simultáneamente, las

oscilaciones continuarán automáticamente manteniendo fijo el CM. Si queremos que el CM quede en

el origen, tenemos que soltar los cuerpos con el CM allí. Para ello, si inicialmente el cuerpo 1 parte de

en x1’ = 36 cm, y el 2 debe partir de x2’ = 12 cm (aplicamos siempre la relación x2 = (m1 / m2) x1).

x m1 CM m2

x = 0

x10 x1’ x2’ x20

En estas condiciones cada cuerpo oscilará como se ha pedido.

c) Cuando los cuerpos estén en la máxima separación, 48 cm, sobre cada uno actuará una fuerza de

módulo F = k0,08 = 60 N, en sentido de atraerse.

En la máxima proximidad, 32 cm, la fuerza también será F = k0,08 = 60 N, en sentido de repelerse

mutuamente los cuerpos.

Las fuerzas son iguales y opuestas sobre ambos cuerpos en cada instante, por P. de Acción y Reac-

ción, y también en cada cuerpo son de igual módulo y sentido opuesto en los extremos de su oscila-

ción.

x 60 N CM 60 N

x10 x20

x 60 N CM

x = 0

60 N

máxima separación

máxima proximidad

6 cm 6 cm 2 cm 2 cm

d) Para el cuerpo 1, cuando él se aleja 6 cm de la posición de equilibrio, o del CM, la fuerza que le

aplica el resorte es 60 N. Entonces es como si estuviera sujeto a un resorte de k1 = 60/0,06 = 1000

N/m, cuyo otro extremo estuviese fijo en el CM, es decir en el origen (y no donde realmente está: en el

otro cuerpo móvil).

Para el cuerpo 2, cuando él se aleja 2 cm de la posición de equilibrio, o del CM, la fuerza que le aplica

el resorte es 60 N. Entonces es como si estuviera sujeto a un resorte de k2 = 60/0,02 = 3000 N/m (cuyo

otro extremo estuviese fijo en el origen).

e) Con estos dos resortes distintos el cuerpo 1 oscilaría con frecuencia dada por 1 = 11000 = 31,62

1/s; y para el cuerpo 2 tendríamos 2 = 33000 = 31,62 1/s.

Por otra parte, la frecuencia de un cuerpo de masa reducida = 31/ (3+1) = 0,75 kg, oscilando en el

extremo del resorte original, de constante k = 750 N/m, sería la misma: = 75,0750 = 31,62 1/s.

proed

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