Capítulo 2

Identificación y control predictivo no lineal

2.1 Introducción

Entre las técnicas de control usadas en la industria se aprecian en su mayoría el uso de controladores PID y controladores predictivos lineales. Éstos últimos constituyen una técnica de control avanzada con una tendencia de gran impacto en la industria. Aunque estos controladores se han diseñado para modelos lineales, la mayoría de procesos industriales tienen un modelo no lineal bastante marcado, por lo que uno lineal no funcionaría adecuadamente.

Estudios realizados a esta problemática conllevan a aplicar modelaciones para poder sobrellevarla y emplear esta técnica de control para poder alcanzar la consigna requerida en tiempos adecuados y con gastos menores de energía.

En este capítulo se desarrollará la teoría que se aplicará en las etapas de identificación y control, en simulación y en aplicación real en un módulo de pH. Realizar el proceso de identificación y un diseño adecuado del controlador optimiza las variables de trabajo y reduce los errores.

Estos procesos para el tratamiento de sistemas no lineales están aún en prueba para poder aplicarlos a gran escala en los procesos industriales con no linealidad marcada, donde otros controladores no tendrían las prestaciones adecuadas para trabajar bien.

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2.2 Sistema

Como sistema se puede considerar al ámbito en el que interactúan básicamente las variables de entrada, de salida y perturbaciones. En la figura 1 se esquematiza un sistema con las variables de interacción.

Figura 2.1 Esquema de un sistema.

La entrada es la variable manipulable, es decir, la que el usuario entrega al sistema según el requerimiento del proceso. La salida es la respuesta del sistema a la entrada y a las perturbaciones, que son entradas no controlables propias del sistema del ambiente adicionada en conjunto con el efecto del ruido que son entradas no controlables propias del sistema o del ámbito del mismo.

2.3 Modelación de un sistema

La modelación de un sistema consiste en obtener una representación del sistema para poder experimentar con el modelo obtenido a nivel de simulación. Este modelo puede obtenerse por experimentación (entradas y salidas), por ecuaciones matemáticas, físicas o químicas. El producto obtenido es conocido como modelo del sistema, con ayuda de este modelo se puede describir y predecir cómo responderá el sistema a entradas aplicadas, además permite simular el control para estimar si es válido o no el tipo de control que desee implementarse.

2.3.1 Tipos de modelos

Se puede hacer una clasificación de los modelos aplicados a procesos industriales de acuerdo a distintos criterios:

- Según el nivel de formalismo matemático

A. Modelos paramétricos. Son los modelos obtenidos a partir de relaciones entre variables internas aplicando para ello ecuaciones de fenómenos físicos, químicos y matemáticos. Con esto se puede encontrar una ecuación que relacione la entrada o entradas del proceso con la salida o salidas según corresponda. Estos procesos se pueden trabajar en sistema continuo (utilizando ecuaciones diferenciales), o en sistema discreto (usando ecuaciones diferencia).

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B. Modelos no paramétricos. Son los modelos obtenidos a partir de gráficos de respuesta (salida) del sistema ante una entrada aplicada al sistema. En sistemas lineales por ejemplo, es suficiente con aplicar una entrada escalón y analizar su salida para encontrar la función de transferencia para el modelo.

- Según la relación entre las entradas y salidas

A. Modelos lineales. Un modelo es lineal cuando cumple el principio de proporcionalidad y el de superposición. Esto quiere decir, que la salida es proporcional a la entrada ingresada y que a señales sumadas de entrada, la salida será la suma de los dos efectos superpuestos. Los modelos lineales son aplicables a sistemas de temperatura, sistemas eléctricos y otros.

B. Modelos no lineales. Los modelos no lineales no cumplen el principio de proporcionalidad ni el de superposición. Este tipo de modelos se asemeja más a los procesos industriales, que son por lo general de no linealidad marcada. Estos modelos permiten describir el comportamiento del sistema en un rango mayor que el que puede describir un modelo lineal.

Los modelos se obtienen por identificación (método experimental de pruebas entrada – salida), o por modelación teórica (usando ecuaciones físico-químicas). Sin embargo ninguno de los dos métodos por sí solos permite obtener un modelo preciso.

La modelación por identificación se restringe a un rango limitado de validez, y la modelación teórica descuida algunos parámetros desconocidos como condiciones ambientales que afectan a la respuesta del sistema, por ello, lo ideal es realizar una combinación de ambos métodos para obtener un modelo de mejor aproximación.

2.4 Identificación de un sistema

Es la fase inicial para poder estimar las variables necesarias para el modelo que se creará, con el objetivo de asemejarlo lo más posible al proceso real. Los sistemas que se requieren identificar pueden ser lineales o no lineales.

2.4.1 Identificación de sistemas lineales

Los sistemas lineales son fáciles de identificar y no presentan mayor problema, muchos métodos pueden ser aplicados, entre los más comunes se encuentran el desarrollo de ecuaciones de fenómenos físico-químicos y la aplicación de entradas escalón para encontrar una función de transferencia con la salida. Otra señal utilizada es la PRBS (Pseudo Random Binary Secuence), que permite observar la dinámica del proceso (ver figura 2.2). Se emplea esta tipo de identificación cuando el rango de trabajo no es muy grande y por tanto permite aproximar con una linealización de la zona de trabajo.

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Figura 2.2 Señal PRBS.

2.4.2 Identificación de sistemas no lineales

El proceso de identificación de sistemas no lineales es más complicado, que el antes expuesto, sin embargo es muy importante para poder realizar un control en un rango más amplio, donde una modelación lineal deja de tener buenas prestaciones.

Para realizar este estudio es muy importante disponer de señales entrada – salida adecuadas considerando todas las frecuencias posibles y abarcando todo el rango de amplitud en el que se desarrollará el control posterior. Además el periodo de muestreo debe permitir obtener toda la información importante sin descuidar una excesiva toma de datos innecesarios.

Suele emplearse para la dinámica de estos procesos señales PRS (Pseudo Random

Signal) como la que se puede apreciar en la figura 2.3.

Figura 2.3 Señal PRS.

0 100 200 300 400 500 6000

1

2

3

4

5

6

7x 10

-3

TIempo (s)

Amplitud Señal

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 180000

1

2

3

4

5

6x 10

-3

Tiempo (s)

Amplitud señal

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2.5 Identificación no paramétrica de modelos no lineales

Un proceso de identificación no paramétrica se realiza excitando el sistema con señales de ingreso como escalón, sinusoidal, PRS, PRBS y analizando la salida a estas entradas en un intervalo de tiempo, dependiendo de la señal de ingreso.

La estructura y los parámetros del proceso no se pueden determinar, por tanto deben obtenerse de manera iterativa, lo que implica un proceso de corrección continua hasta encontrar el mejor resultado.

El proceso de identificación se esquematiza en la figura 2.4:

Figura 2.4 Proceso de identificación no paramétrica.

La adquisición de información se constituye por la selección de datos experimentales

de entrada y salida para poder realizar el análisis con los datos relevantes. En la selección de la estructura del modelo es necesario tener un previo conocimiento del proceso y de las perturbaciones que lo afectan. La elección de algoritmos para determinar parámetros debe realizarse como recursivos para poder optimizar el modelo. Por último debe realizarse la validación del modelo identificado con un criterio de reducción del error (comparación con el proceso real). Como se puede observar en el esquema 2.4 si el modelo final no es satisfactorio, se debe regresar a cualquiera de las etapas anteriores y modificar la estructura, datos o modificar el método de identificación.

2.5.1 Tipos de modelos no paramétricos

La identificación no paramétrica permite obtener modelos que son descritos por un número infinito de parámetros, que asume la restricción de ser bueno solo para propósitos de identificación y control.

Los modelos principales que se tratarán son de tipo entrada – salida dinámicos y SISO (single input single output).

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Series de Volterra. Fueron desarrolladas en 1887 por Vito Volterra. Es un modelo del comportamiento no lineal, muy similar a las series de Taylor, pero que difiere en la habilidad de capturar efectos de memoria. Son utilizadas en sistemas de no linealidad leve. Por lo tanto un sistema estático con no linealidad leve puede describirse con una señal de entrada u(t) y una de salida y(t).

A medida que el valor de n se incrementa se obtiene una mejor aproximación, además será analítico si tiene característica de ‘single value’, que hace referencia a un solo valor salida para cada valor de entrada (lo que significaría que tenga la característica de función inyectiva).

Para un sistema dinámico lineal, la salida se halla con la integral de convolución en dominio continuo de la siguiente manera:

Y en dominio discreto de la siguiente manera:

Donde:

Los modelos de Volterra presentan muchos parámetros, por ello se usan en algunas aplicaciones como neurociencia, biología, medicina, controladores humanos, presión sanguínea y otros.

Series de Hammerstein. Es la extensión de la función ponderada usada en el caso lineal para el caso no lineal. Está constituida de una parte estática y una parte dinámica en cascada.

Son expresadas en el dominio continuo como:

Y en dominio discreto como:

Series de Wiener. Estas series dependen del sistema y de las señales de entrada. Expresan el modelo no lineal con ayuda de las series de Laguerre, obteniendo la siguiente expresión para el dominio continuo:

27

Y para el sistema discreto se obtiene la siguiente expresión:

2.6 Identificación paramétrica

En su forma general, un modelo paramétrico puede representarse de la siguiente manera en sistema discreto:

Donde:

La ecuación 2.1 tiene su representación en diagrama de bloques como se muestra en la figura 2.5.

Figura 2.5 Diagrama de bloques para un modelo general.

Para un modelo de una entrada y una salida, la ecuación 2.10 se convierte en:

28

Donde:

- Cuando se obtiene por reducción de la ecuación 2.11 la expresión:

De esta expresión se obtiene el valor del error, como la diferencia entre la salida medida y la salida del modelo.

- Cuando se obtiene la expresión:

- Cuando se obtiene:

A esta estructura del modelo se le conoce como ARMAX (AutoRegresive Moving Average).

- Y cuando la expresión se convierte en:

Esta estructura del modelo es conocida como ARX (AutoRegresive with eXternal input).

2.7 Validación de modelos

Realizada la identificación del sistema se procede a la obtención del modelo, que debe probarse para poder compararlo con el proceso real. La validación por tanto indicará cuando un modelo es lo suficientemente adecuado para predecir la respuesta que entregaría el sistema, y si no lo es, cuáles son los posibles defectos.

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Un procedimiento para realizar esta validación del modelo encontrado, consiste en dar entradas distintas a las utilizadas para la identificación tanto al modelo como al proceso real y comparar ambas respuestas. Este método es conocido como validación cruzada.

Para poder dar un valor cuantitativo de la medida de la calidad del modelo encontrado se usan índices de prestación, entre ellos, el índice RMS (Relative quadratic average) y el MSE (quadratic average error). El primero indica una medida del error respecto al valor real. El segundo indica la variación del error.

Donde:

2.8 Identificación recursiva

Se realiza cuando se necesita estimar los parámetros mientras se reciben los datos entrada-salida, por lo tanto, estos parámetros son constantemente actualizados con el uso de algoritmos conocidos como métodos de identificación recursiva.

Este algoritmo ha sido enunciado como:

∧

y

Siendo:

∧

y

Donde:

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∧

y

2.9 Modelos orientados al bloque

Los modelos orientados al bloque han sido desarrollados para superar el problema de la no linealidad de manera práctica, es por ello que han adquirido gran importancia en los últimos años. Sus prestaciones son muy adecuadas para modelar sistemas no lineales.

Se componen por dos bloques en cascada, uno de ellos representa la no linealidad del sistema y el otro representa la dinámica lineal del mismo. Esto permite extender los conocimientos de control de los sistemas lineales a los no lineales evitando las complicaciones en el análisis.

En algunos casos estos modelos son retroalimentados como se aprecia en la figura 2.6

Figura 2.6 Modelo orientado al bloque retroalimentado.

Es necesario tener en cuenta que esta modelación sirve solamente para sistemas no

lineales en estado estacionario. Por ello se mostrará a continuación algunos tipos de no linealidades estáticas (ver tabla 2.1).

Tabla 2.1 Tipos de funciones continuas y discontinuas

N° Tipo Características Derivada

1 Función continua

Continua

2 Función continua con derivada discontinua

Discontinua (punto de quiebre)

3 Función discontinua con derivada discontinua

Discontinua

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Se le considera función continua si sus derivadas también lo son en todo el rango, y función discontinua se le considera si presenta puntos de quiebre o una derivada discontinua.

Durante el proceso de aproximación de funciones no lineales, se emplean usualmente curvas polinómicas, sin embargo en algunos casos se emplean otras funciones de aproximación (ver tabla 2.2)

Tabla 2.2 Funciones empleadas para aproximación.

N° Tipo Representación gráfica Ecuaciones

1 Curva original

( )ufY =

2 Stepwise lineal

( ) ( )

( ) ( )

ii

ii

ii

UU

UfUf

xUUUfY

−

−

−+=

+

+

1

1

Si: 1+≤≤ ii UUU

3 Stepwise constante

( )iUfY =

Si 1+≤≤ ii UUU

Como ya se mencionó en el apartado 2.5.1, existen relaciones llamadas de valor simple (single value), que presentan relación unívoca entre la señal de entrada y la de salida, sin embargo, el que una función sea unívoca no es condición suficiente para que su inversa también lo sea.

Existen funciones simples con inversa de valor simple, funciones simples con inversa de valor múltiple, funciones múltiples con inversa de valor simple y funciones múltiples con inversa de valor múltiple.

La tabla 2.3 permite observar de manera gráfica la clasificación antes realizada.

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Tabla 2.3 Relaciones de no linealidades simples y múltiples

N° Nombre Función Función Inversa

1 Valor simple con inversa de valor

simple

2 Valor simple con inversa de valor

múltiple U

Y

3 Valor múltiple con inversa de valor

simple

4 Valor múltiple con inversa de valor

múltiple

Según se presenten estas relaciones se debe hacer un estudio para la parte de la no linealidad, no todos los métodos pueden cumplir para todos los casos de no linealidad.

2.10 Modelos orientados al bloque en cascada

Estos modelos presentan una sola parte dinámica pero pueden presentar más de una

no linealidad estática conectada en cascada (serie) a la anterior (ver figura 2.7)

No linealidad estática

Dinámica del proceso

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Figura 2.7 Representación de bloques en cascada (1 sola no linealidad).

Se puede apreciar un sistema de bloques en cascada en el que todas las señales pueden medirse en la etapa de simulación (una vez obtenida la no linealidad y la dinámica), pero cara a la identificación de un proceso real, es imposible medir este parámetro (un proceso real no puede separar su no linealidad de su linealidad).

Entre las principales estructuras de modelos orientados al bloque en cascada se encuentra el modelo Hammerstein, el modelo Wiener y el modelo Hammerstein-Wiener.

Los bloques o elementos constituyentes de la representación cascada pueden tener distintas maneras de obtenerse, se estudiará a continuación algunos de ellos.

A. Bloque estático no lineal.

Este elemento puede acogerse a ilimitadas estructuras debido a que no almacena información referente a las entradas, desde las más simples hasta las más complejas.

Es importante para decidir por alguna estructura, el conocimiento de la no linealidad que presente el sistema (continua o discontinua)

Entre las opciones de modelación se encuentran:

- Representación polinomial. Es muy flexible y su forma de implementación es más sencilla. Puede emplease desde el polinomio cuadrático simple (grado 2) hasta uno de orden muy superior.

- Series de potencia. Las funciones en esta modelación son simples potencias de una variable. Se adecuan al funcionamiento en las zonas de trabajo adyacentes a un punto específico respecto al cual se ha identificado, sin embargo sus prestaciones son pobres al alejarse de ese punto. Su expresión es la siguiente:

(2.20)

- Funciones spline. Un spline es una curva definida en porciones mediante polinomios. Es una interesante alternativa de representación por su facilidad de cálculo. Esta aproximación permite obtener modelos de no linealidades discontinuas, que se producen por saturación, ganancia variable, y otros. El spline siempre es de un grado mayor al de los polinomios empleados. Por ejemplo, si se emplea un polinomio de orden n, el spline correspondiente será de orden n+1. Una forma bastante conveniente de representar los splines es como una expansión de funciones básicas.

- Función lineal a tramos. Son conocidas también como funciones piecewise y se usan para aproximar funciones genéricas. Son muy buenas para representar no linealidades porque permiten un tratamiento sistemático y exacto de las funciones de aproximación.

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B. Bloque dinámico lineal

Por ser un sistema dinámico lineal, se trabaja con modelos lineales dando énfasis al trabajo en sistemas discretos.

Destacan entre estos modelos discretos:

- Representación ARX. (AutoRegressive with eXogenous inputs). Muy empleado para representar modelos paramétricos donde el subsistema lineal H(z) puede ser representado como sigue:

(2.21)

Donde los parámetros p y q son de orden finito, y la ganancia en estado estacionario es dada por:

(2.22)

- Respuesta finita a entrada impulso (FIR). Es conocido también como modelo de convolución y está referida a la siguiente relación entre la entrada y la salida del proceso:

(2.23) En la expresión mostrada, representa la salida muestreada al excitar al proceso con una señal impulso unitario durante el período de muestreo. Cuando la función se discretiza, se obtiene la expresión:

(2.24)

- Respuesta finita a estrada escalón (FSR). Presenta como única diferencia con el modelo anterior, la señal empleada, en este caso se usa escalón en lugar de impulso. Viene definida de la siguiente manera:

(2.25) Y al discretizar el modelo, se encuentra la expresión:

(2.26)

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En estas expresiones, el término representa los valores de la salida muestreada para una entrada escalón y .

- Bases ortonormales racionales.

- Representación por espacio de estados. Los espacios de estado son modelos paramétricos que tienen la ventaja de poder trabajar con procesos multivariables (MIMO), su representación es la siguiente:

(2.27) (2.28)

Donde: . . . Q: matriz de salida. Con este modelo se pueden trabajar los procesos multivariables (MIMO), sin embargo, las variables de estado no tienen un significado físico

2.11 Modelación Hammerstein

Un modelo Hammerstein consiste en la unión en cascada una no linealidad estática (Nonlinear system) y en seguida de un sistema dinámico lineal (linear system). Debido a que muchos procesos presentan esta estructura, esta modelación resulta ser muy útil.

En los modelos Hammerstein la variable de entrada u(k) ingresa al sistema y es transformada por el bloque de no linealidad estática para convertirse en la señal interna v(k) de ingreso al bloque dinámico, luego de este último bloque, se obtiene la salida del sistema, que debe coincidir con la salida del sistema real.

En la figura 2.8 se aprecia una estructura Hammerstein y las variables implicadas en el proceso. La no linealidad convierte la variable u(k) en la variable v(k), de modo que

, y el modelo dinámico proyecta la variable intermedia v(k) en la salida total del modelo y(k), cumpliendo .

Figura 2.8 Estructura del modelo Hammerstein.

Según el modelo, la variable u(k) se transformará en la variable v(k) sin afectarse sus propiedades, si se ingresan señales pulso, escalones o secuencias binarias, la variable intermedia v(k) también presentará la misma característica general, pero con valores

No linealidad estática (Ne)

Sistema dinámico lineal: H(z)

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diferentes. Por lo tanto, la respuesta cualitativa del sistema será determinado por el bloque dinámico lineal H(z).

La modelación Hammerstein implica un poco más de esfuerzo durante el desarrollo que el invertido en un modelo lineal, sin embargo, los resultado obtenidos ofrecen mejores características, con lo que el rango de operación puede ampliarse a la vez que se evitan complicaciones con operadores no lineales.

Como ya se ha expuesto, la modelación no lineal se da en la entrada por lo que puede representar convenientemente procesos industriales como:

- Hornos industriales. - Intercambiadores de calor. - Columnas de destilación. - Regulación de pH. - Planta térmica de generación de energía. - Unidad de potencia eléctrica.

2.11.1 Estructuras del modelo Hammerstein.

Con el objetivo de encontrar los modelos de los subprocesos, tanto del no lineal como del dinámico lineal, se estudian posibilidades que originan distintas combinaciones para representar los bloques.

Con ayuda de la figura 2.9 se realizará un estudio de las principales posibilidades de representar los subprocesos.

Figura 2.9 Estructura Hammerstein con disturbio a la salida.

A. Estructura NARX. Esta estructura se origina cuando el bloque estático no lineal se trabaja con una expresión polinomial o B-spline y el bloque dinámico lineal con una representación ARX.

Con ayuda de la ecuación 2.17 y considerando que , se obtiene:

(2.29)

37

Donde como ya se mencionó, la función Ne puede ser una expresión polinomial o una función B-spline.

En estado estacionario, el valor de la salida será:

(2.30)

Donde viene a ser la ganancia en estado estacionario para el modelo lineal.

B. Estructura B-spline. Respuesta finita a entrada escalón. Esta estructura se origina cuando el modelo estático no lineal está conformado por una función B-spline y el bloque dinámico lineal un modelo de respuesta finita a entrada escalón.

La salida del bloque dinámico para esta estructura es expresada como:

(2.31)

Y la del bloque estático no lineal es expresada como:

(2.32)

Donde es un spline de orden r.

Y el modelo Hammerstein en conjunto sería expresado como:

(2.33)

C. Estructura de funciones LAT-espacios de estado. Esta estructura se genera al considerar al bloque estático no lineal como una función lineal a tramos y al bloque dinámico lineal un modelo en espacio de estados.

La salida del bloque dinámico lineal se expresa como:

(2.34)

(2.35)

Y la salida del bloque estático no lineal se expresa como:

(2.36)

Por lo tanto el modelo Hammerstein final será representado por las ecuaciones en espacio de estado:

(2.37)

(2.38)

38

D. Estructura de bases ortonormales. Esta estructura es generada cuando se trabaja el bloque no lineal como representaciones polinomiales o B-splines y el bloque dinámico lineal se trabaja con bases ortonorrmales.

La salida del bloque lineal será por tanto:

(2.39)

Y como la salida del bloque no lineal es:

(2.40)

El modelo Hammerstein obtenido será:

(2.41)

Como se puede observar, la estructura del modelo Hammerstein será definida por las estructuras escogidas para los bloques de subprocesos lineal y no lineal.

2.11.2 Identificación de modelos Hammerstein.

Dada la variedad de procedimientos de identificación, se hará una clasificación para estos elementos en cascada orientados al bloque.

A. Identificación en una etapa.

La información dinámica es utilizada para identificar la parte lineal y la no lineal del modelo en un paso. Es útil cuando el sistema en estudio no presenta una no linealidad muy marcada (de grado inferior).

Los parámetros de identificación son calculados con algoritmos basados en técnicas para modelos residuales es decir, mínimos cuadrados y predicción del error principalmente.

B. Identificación en dos etapas.

La identificación en dos etapas se realiza primero identificando un bloque para luego usar esa información e identificar el segundo bloque. Según el orden de identificación de los bloques se puede dar:

Enfoque N-L. En este caso, lo primero en desarrollarse es la identificación de la no linealidad estática para su uso posterior en la obtención del modelo de dinámica lineal. Siguiendo el orden de identificación de bloques se aplica:

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Para la no linealidad estática: Se identifica utilizando algoritmos basados en el método de los mínimos cuadrados (incluyendo sus variantes). Los datos estacionarios de salida para cada entrada escalón se ajustan para obtener una representación de la no linealidad.

Obtenido este modelo, es necesario analizar y calcular la variable intermedia para los valores usados en la primera identificación.

Para la dinámica lineal: Se identifica utilizando datos en estado transitorio correspondientes a la variable intermedia y a la variable de salida y. Para esta identificación se emplean algoritmos basados en estimación para modelos residuales lineales paramétricos.

Enfoque L-N. En este enfoque lo primero en desarrollarse es el bloque lineal y luego el no lineal.

Siguiendo este orden se trata a los bloques de la siguiente manera:

Para la dinámica lineal: La identificación de este bloque lineal se realiza utilizando principalmente el método de correlación paramétrica a partir de una descripción entrada-salida del proceso.

Para la no linealidad estática: Se realiza la identificación del bloque no lineal con pruebas que exciten la totalidad del proceso, y con el bloque lineal se obtienen las señales intermedias , con la que se ajusta la ganancia empleando algoritmos basados en el método de mínimos cuadrados y sus variantes.

En el desarrollo de estructuras Hammerstein se da un caso especial de identificación, en la que la parte no lineal se representa con dos segmentos de aproximación polinomial (f y g) y la parte dinámica por una función de transferencia. Los métodos de identificación recursiva son importantes tanto por el hecho de poder ser calculados en tiempo real como por poder ser combinados con estrategias de control on- line para producir algoritmos de control adaptativo.

Empleado el esquema de la figura 2.10, el sistema dinámico lineal puede ser descrito como:

(2.43)

Donde representa el retraso puro del sistema, y son las entradas y salidas, respectivamente, y son escalares polinomiales en el operador de retraso de la unidad. Se definen:

(2.44)

(2.45)

40

Y es el ruido de salida. El bloque no lineal es caracterizado por:

Donde y son las entradas y salidas, respectivamente.

(2.47)

Figura 2.10 Estructura del modelo Hammerstein

Por tanto, al definir una función de conmutación (expresión 2.43)

La relación entre la entrada y la salida de la no linealidad asumida puede ser expresada como:

(2.49)

O como:

(2.50)

En el caso de que los polinomios puedan aproximarse a :

De esta manera, al remplazar la expresión 2.50 en la 2.43, el modelo Hammerstein se expresa como:

41

Las estimaciones de parámetros desconocidos pueden ser generadas por el algoritmo de mínimos cuadrados usando entradas y salidas medidas en el sistema y estimación de variables internas.

2.12 Control predictivo basado en el modelo (MPC)

El control predictivo basado en el modelo (model predictive control) hace referencia a una familia del control predictivo, cuyas bases se fundamentan en algunas ideas comunes como el uso explícito de un modelo de predicción de la salida en instantes futuros (horizontes), cálculo de secuencias de control para minimizar la función objetivo tratada y estrategia recesiva para que el horizonte se desplace hacia el futuro.

Estos algoritmos MPC difieren entre sí en los modelos usados para representar al proceso, en los ruidos y en la función de costo que requiere ser minimizada. Es muy utilizado en aplicaciones industriales como en torres de secado, columnas de destilación, plantas de PVC y otros.

Las ventajas que permite alcanzar este tipo de métodos son:

- Sintonización relativamente fácil. - Permite controlar procesos con largos tiempo de retardo, a fase no mínima, y

también inestables. - El caso multivariable es tratado adecuadamente con esta modelación. - Presenta una compensación intrínseca de tiempos muertos. - Introduce el control feed forward en adelanto para compensación de disturbios

medibles.

Los principales objetivos perseguidos por esta familia de controladores predictivos son:

- Estabilidad. Se busca un comportamiento sin oscilaciones en la variable de control. - Rendimiento. Se debe alcanzar el setpoint en el tiempo deseado. - Robustez. Este controlador busca mantener la estabilidad y rendimiento frente a

errores o perturbaciones externas. - Adaptatividad. Debe responder adecuadamente en caso los objetivos cambien o las

características de la planta cambien. - Rapidez en el cálculo. El cálculo de la señal óptima de control se realiza on-line, en

cada muestreo.

Es muy importante que el modelo obtenido y el proceso real no tengan discrepancias importantes significativas, de lo contrario, no se satisfarán estos objetivos.

42

2.12.1 Estrategia de control predictivo basado en el modelo.

La estrategia planteada para los métodos de control predictivo son:

- Predicción de las salidas futuras en cada instante t para un horizonte de predicción determinado usando para ello el modelo obtenido del sistema. Estas predicciones dependen de los valores pasados de entradas y salidas, y de las señales de control futuras.

- Las señales de control futuras son calculadas optimizando un criterio que usualmente es una función cuadrática de errores entre la salida predicha y la trayectoria de la referencia.

- En el un instante determinado solamente se envía la señal actual, ya que las calculadas para instantes posteriores son recalculadas con los datos recibidos de la lectura de la última salida. Este proceso se repite en cada muestreo.

El modelo obtenido con la identificación es muy importante en la fase de diseño del controlador, ya que debe ser capaz de captar la dinámica del proceso para poder predecir con exactitud las salidas futuras.

2.12.2 Elementos del MPC

Los algoritmos MPC presentan elementos comunes que son: modelo de predicción, función objetivo y ley de control a obtener.

2.12.2.1 Modelo de predicción.

Se necesita el modelo para poder estimar las salidas del proceso en instantes futuros con mucha precisión. Este modelo debe haber capturado bien la dinámica del proceso para realizar una buena representación del mismo.

Los modelos de predicción deben constar de dos partes:

A. Modelo del proceso. Para escoger la estructura de este modelo se debe conocer las prestaciones que se desean alcanzar y las limitaciones de funcionamiento del controlador.

Las formas más usadas en esta modelación son las siguientes:

- Respuesta al impulso. Es conocido también como modelo de convolución. La salida viene determinada por la ecuación:

Donde es la salida muestreada cuando el proceso se excita por un impulso unitario. La sumatoria es truncada para N valores y se expresa por la ecuación:

43

Donde .

Por lo tanto la predicción se dará por:

- Respuesta al escalón. Es similar al caso anterior con la diferencia del tipo de señal de entrada, ahora será una de tipo escalón.

La salida será determinada por la ecuación:

Considerando que el predictor obtendrá la forma:

- Función de transferencia. Se utiliza el concepto de que una función de transferencia viene determinada por en discreto, por lo tanto la salida será determinada por:

Donde:

- Espacio de estados. Esta modelación tiene la siguiente representación:

44

Donde x son los estados, M la matriz del sistema, N la matriz de entrada y Q la de salida.

La predicción se dará por tanto mediante la ecuación:

B. Modelo de los disturbios. Este modelo es usado para representar disturbios y es tan importante como la elección del modelo del proceso.

Un modelo empleado es el CARIMA, en el que la diferencia entre la salida medida y la calculada hará referencia al disturbio expresado por la ecuación:

Donde es un ruido blanco, el polinomio C es considerado de valor 1 y el polinomio D incluye un integrador .

Por lo que se obtiene la ecuación:

Donde la expresión para la predicción será:

2.12.2.2 Función objetivo.

La función objetivo es la función de costo que debe minimizarse para obtener la ley de control, la finalidad es que la salida futura en el horizonte considerado siga la señal de referencia considerando a la vez que la señal de control sea bien regulada.

En general, una función objetivo se enuncia por la ecuación:

Se puede encontrar en dicha función los siguientes parámetros:

- Parámetros y . Son los horizontes de costo mínimo y máximo respectivamente, mientras que es el horizonte de control, que no necesariamente coincide con el horizonte máximo.

45

Analizando el valor de se puede concluir que un valor elevado implica que no importa el error cometido en los primeros instantes de control, por lo tanto el sistema responderá suavemente.

Las secuencias de pesos y son consideradas valores constantes que ayudan en la obtención el comportamiento seguro.

- Trayectoria de la referencia. Si es conocida esta trayectoria, se facilita el control predictivo ya que el sistema puede reaccionar antes de que el cambio se haya realizado efectivamente, evitando los retardos en la respuesta del proceso.

Normalmente, en muchas aplicaciones esta trayectoria ya es conocida y para minimizar la ecuación (2.68) por lo general se utiliza una trayectoria de referencia

que no necesariamente coincide con la referencia real.

- Restricciones. Todos los procesos presentan restricciones, como por ejemplo el uso de válvulas cuando están limitadas por las posiciones de totalmente abierto y totalmente cerrado, y la velocidad de respuesta.

2.12.2.3 Ley de control a obtener.

Para obtener los valores futuros de la variable de entrada se debe minimizar la función J, descrita por la ecuación (2.68). Con ayuda del modelo obtenido en la identificación, y después de sustituirlo en la función de costo, se obtienen una expresión que al minimizarla da como resultado los valores buscados.

Al estructurar la ley de control, que está basada en el concepto de horizonte de control, se mejora la robustez y el comportamiento general del sistema.

2.13 Control Predictivo Generalizado (GPC)

El controlador predictivo generalizado se ha convertido en uno de los métodos MPC más importantes, ya que ha sido implementado en aplicaciones industriales y se han obtenido mejores prestaciones que con otros controladores aplicados.

El problema de control es manejado con la utilización de un número razonable de variables de diseño, que deben ser especificadas por el usuario teniendo en cuenta los objetivos de control y las leyes físicas que gobiernan los procesos industriales.

La idea en la que se fundamenta este controlador, es en obtener señales futuras secuenciales que minimicen una función de costo definida sobre un horizonte de predicción. Se optimiza una suma de dos funciones: la primera es una función cuadrática que se encarga de regular la distancia entre la salida predicha por el sistema y la secuencia

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de referencia (lo que minimiza el error y el tiempo de establecimiento) y la segunda es también una función cuadrática que minimiza el esfuerzo de control (para obtener una mejor señal de entrada de control).

El controlador GPC presenta entre sus ventajas el trabajar con soluciones analíticas y la posibilidad de trabajar con sistemas inestables y de fase no mínima, además de ponderar los incrementos de la señal de control para ahorrar energía.

2.13.1 Formulación del Control Predictivo Generalizado

Se trabajará con un sistema de una entrada y una salida que puede ser descrito en dominio discreto por la ecuación:

Donde se aprecia la secuencia de control ,la salida de la planta , el ruido blanco y el tiempo muerto se expresa por d.

Además los polinomio son expresados por los polinomios mostrados a continuación:

Si los disturbios son no estacionarios, es necesario usar el modelo de la ecuación 2.73, que es muy útil en aplicaciones industriales para sobrellevar este problema.

Siendo:

El polinomio C simplemente es considerado igual a 1, y la función de costo que será minimizada con la aplicación de la secuencia de control es la siguiente:

El objetivo del control predictivo es el de calcular una secuencia de control futura … para asegurar que la salida futura de la planta se encuentre cercana a la

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referencia futura que se asegura cuando se minimiza la función de costo antes citada.

Para optimizar la función de costo se obtendrá la predicción óptima de para valores de . Se considerará la siguiente ecuación Diofantina:

El polinomio es de grado y el polinomio es de grado . Estos

polinomios se obtienen realizando la operación hasta lograr que el residuo sea

factorizado como . El cociente de la división da como resultado el polinomio

Multiplicando la ecuación (2.73) por el término , y considerando la ecuación

Diofantina, esta misma ecuación puede ser ordenada como

Dado que el grado del polinomio es , el término del ruido se

encuentra en el futuro, por lo tanto la mejor predicción de es:

En la que

El cálculo de los polinomios y es recursivo y dado de la siguiente manera:

(2.79)

El polinomio y el polinomio se obtienen en la siguiente división como:

(2.80)

Considerando que .

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Los coeficientes del polinomio , pueden expresarse como:

; donde i = 0, 1, ….. (na-1) (2.81)

Además el polinomio puede ser obtenido de manera recursiva como se muestra a

continuación:

(2.82)

Por lo tanto los primeros coeficientes de serán idénticos a aquellos de y los

coeficientes restantes estarán dados por:

(2.83)

Considerando un tiempo muerto de períodos de muestreo, la salida del sistma será influenciada por la señal después del periodo de muestreo .

Por lo tanto: .

Entonces considerando las predicciones óptimas:

(2.84)

Que pueden ser escritas como:

Donde:

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Y además se visualiza que los dos últimos términos de la ecuación (1.75) solo dependen del pasado y pueden ser agrupados como . Por lo tanto dicha ecuación queda expresada como:

(2.86)

La primera columna de la matriz G puede ser calculada como la respuesta al escalón de la planta cuando el escalón unitario es aplicado a la variable manipulable.

Además, la respuesta puede ser calculada recursivamente como:

(2.87)

Considerando además que y que para .

La ecuación (2.74) puede ser escrita como:

(2.88)

Donde el valor de referencia viene dado por el vector:

(2.89)

Por último, la ecuación (1.79) puede ser escrita como:

(2.90)

Donde:

(2.91)

El primer término de u es aplicado y el procedimiento se repite en el siguiente periodo de muestreo. La solución del GPC involucra invertir la matriz , que requiere una cantidad considerable de cálculos. Sin embargo el horizonte de control permite reducir

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la cantidad de cálculos necesarios considerando que las señales de control serán constantes después de que sea mayor que , que implicaría la inversión de una matriz de menor orden .

2.14 Control Predictivo no lineal basado en la modelación Hammerstein

Hasta ahora se han dado los conceptos necesarios de modelación Hammerstein para sistemas no lineales y del controlador predictivo GPC lineal. En este apartado se estudiará la forma de implementar un controlador predictivo GPC lineal a un proceso no lineal con el uso del modelo Hammerstein.

Según la estructura Hammerstein, un sistema no lineal puede representarse por bloques en cascada, uno de la no linealidad estática y uno de la dinámica lineal. Si no existiese el bloque no lineal, el controlador GPC se programaría directamente sobre el bloque restante, sin embargo dada la presencia de la no linealidad se recurre a eliminarla previamente con un bloque del polinomio inverso de Hammerstein.

Matemáticamente si una función es inversa a otra, el resultado en cascada sería la unidad, que no afectaría el control GPC sobre el bloque dinámico. No hay que perder de vista, que esto se desarrolla solo con fines de aplicar el control predictivo sobre el sistema, ya que éste no puede ser alterado, así el polinomio inverso es considerado parte del controlador, un bloque en cascada al GPC que regulará al sistema real.

Por lo tanto, es requerido que el modelo indentificado de Hammerstein sea lo más cercano posible al sistema real, para que no se presenten errores en este método.

El control GPC con modelo Hammerstein presenta la estructura mostrada en la figura 2.4.

Figura 2.11 Estructura de Control GPC con modelo Hammerstein.

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En este diagrama de bloques se aprecia el controlador Gc, el proceso Gp, el modelo Hammerstein Gm, el polinomio inverso NL-1, la salida del proceso yp la salida del modelo ym y el set point ysp.

2.14.1 Control Predictivo no lineal basado en modelación Hammerstein con

aproximación polinómica.

Esta estrategia de control consiste en realizar un modelo Hammerstein en el que la parte de la no linealidad estática sea identificada con aproximación polinómica y la parte de la dinámica lineal sea identificada por algún modelo lineal de los estudiados en el apartado 2.10 B. Para el caso en estudio, se ha realizado la aproximación polinómica mediante aproximación por mínimos cuadrados y la aproximación de la dinámica se ha modelado con una estructura ARX.

La estructura de control sería aplicar el polinomio inverso del obtenido y anteponerlo al proceso real, con esto se estaría prácticamente eliminando la no linealidad y el GPC controlaría prácticamente un modelo lineal.

Para hacer más entendible esta técnica se muestran los siguientes casos, referidos al análisis:

1. Desarrollo simple en el caso de un proceso lineal. Suponiendo que el proceso a controlar es lineal, el controlador predictivo generalizado adecuadamente diseñado lo controla sin problemas. La estructura para realizarlo puede ser la que se muestra en la figura 2.5, en la que vemos que la señal de salida del controlador va directamente al actuador del proceso (incluidos en un solo bloque).

Figura 2.12 Estructura de control válida aplicada a un proceso lineal.

2. Caso de control con un proceso no lineal. Si en lugar del bloque del proceso lineal del apartado anterior, se encuentra un bloque de proceso No Lineal, el controlador lineal GPC no tendría buenas prestaciones de control.

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Figura 2.13 Estructura de control no válida aplicada a un proceso lineal.

3. Modelación Hammerstein del proceso no lineal. A partir del proceso No Lineal, se puede modelar por Hammerstein, los bloques No Lineal y dinámico en cascada. De igual manera, no puede controlarse directamente con el GPC porque existe la parte no lineal.

Figura 2.14 Modelación Hammerstein. Estructura de control no válida.

4. Polinomio inverso de Hammerstein. La solución que se propone ante esta problemática, es anticipar al proceso un bloque del polinomio inverso de Hammerstein identificado. De esta manera, se reducirá el efecto de la No Linealidad y el controlador predictivo podrá regular con buenas prestaciones. Como se observa, el polinomio inverso transforma la señal de salida (u) en una señal intermedia (v), esta nueva señal ingresa en el proceso real, trabaja directamente con la no linealidad y la dinámica lineal por tanto es controlada directamente por el GPC.

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Figura 2.15 Estuctura de control válida. Control predictivo no lineal.