CAPÍTULO 4€¦ · En forma polar: 1 1 1 2 2 2 A A A A ð= ð-ðq ðq El inverso de un número...

118

CAPÍTULO 4CIRCUITOS ELÉCTRICOS

EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

4.1 INTRODUCCIÓN

Hasta el momento el curso lo hemos analizado los circuitos aplicando una metodología de análisis en eldominio del tiempo, este método es de aplicación general pero se hace complicado y tedioso resolverecuaciones integro-diferenciales de circuitos con numerosas mallas y nodos. Por lo que usaremos unatransformación de estas ecuaciones integro-diferenciales en el dominio del tiempo en un conjunto deecuaciones algebraicas en el dominio de la frecuencia, este procedimiento solo es válido para señalessenoidales con una misma frecuencia y en régimen permanente.

Antes de introducirnos en el análisis en el dominio de la frecuencia, haremos una revisión de los númeroscomplejos, los cuales terminaremos relacionando con la formas de ondas senoidales.

4.1.1 Números complejos.

Generalidades:Los números complejos aparecen de cuando se estudiaban las ecuaciones de segundo grado del tipo:

2 4 0x 2 1

2 1

x

x

Cuya solución requería de una extensión el concepto del número que hasta entonces no se poseía y parasalvar este inconveniente se introdujo el número imaginarioj tal que:

1j

Llamaremos número complejo a toda expresión de la forma: a+jb,

Donde a y b son números reales; j es la llamada unidad imaginaria, definida por: 21 ó 1j j

119

En un número complejo a+jb, a ase le denomina parte real y bes la parte imaginaria del número complejo.Si a = 0, el número complejo 0 + jbes un número imaginario puro; si b = 0, se obtiene un número real a+j0=a. El conjunto de números complejos se denota porC4.1.2 Representación de los Números Complejos

a) Representación Gráfica

Todo número complejo a+jb puede ser representado en el planoXY mediante un punto de coordenadas (a, b). Recíprocamente,todo punto del plano de coordenadas (a, b) puede considerarsecomo la imagen geométrica del número complejo a+jb.Obsérvese que todos los números imaginarios puros serepresentan en el eje OY que llamaremos eje imaginario;igualmente los números reales se representan en el eje OX llamado eje real.

b) Forma Rectangular de los números complejos

Representamos a un número complejo en su forma rectangular de la siguiente manera:

C X jY

Un número complejo se representa con una letra mayúscula con una barra en la parte superior

Re

Im

X C

Y C

Esta expresión es llamada también forma binómica,

c) Forma trigonométrica de los números complejos

Si se designan por A(A≥ 0) y θ las coordenadas polares del punto (a, b), se verifica quecosa A

b Asen

j

-j

X

Y

C X jY

119






C X jY


Re

Im

X C

Y C




b Asen

j

-j

X

Y

C X jY

119






C X jY


Re

Im

X C

Y C




b Asen

j

-j

X

Y

C X jY

120

cosA A jAsen

2 2

-1

modulo del número complejo A= a

argumento del número complejo =tan ( )

A A b

b

a

El número Ase llama módulo y θes el argumento del número complejo a+jb. El argumento del númerocomplejo es positivo cuando se toma a partir de la dirección positiva del eje OX en sentido contrario almovimiento de las agujas del reloj, y es negativo, cuando se calcula en dirección opuesta. Es evidente queel argumento θ no se determina de manera unívoca.

Teniendo en cuenta la forma de Euler:

cosje jsen

A esta expresión se le denomina forma exponencial de un número complejo observamos que:

2 2

cos Re( ) Im( )

cos 1

j j

j

e sen e

e sen

Entonces para cualquier número complejo:

2 2

cosjA Ae A jAsen

A a b

Otra manera de expresar un número complejo es especificando su magnitud y su argumento que forma conel eje real. A esta forma se le conoce como forma polar:

A A

Entonces un número complejo se puede representar:

cos jA a jb A jAsen Ae A

Se llama conjugado de un número complejo a aquel que tiene el mismo valor real y la componenteImaginaria de igual valor pero con signo diferente

121

*

A a jb

A a jb

4.1.4 Operaciones con números complejos

Los números complejos se pueden representar fácilmente en cualquiera de sus formas para realizar lasoperaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, como veremos acontinuación:

a) Suma y restaPara realizar una suma o sustracción de dos números complejos lo realizaremos en su forma rectangularsustrayendo o sumando las componentes de igual naturaleza:

( ) ( ) ( ) ( )a jb c jd a c j b d

b) ProductoPara realizar un producto de dos números complejos lo podemos realizar en su forma rectangular, pero esmás práctico realizarla en su forma exponencial o polar:

En forma rectangular:(a + jb) · (c + jd) = (ac− bd) + j(bc+ ad)

En forma polar:

1 2 1 2 1 2A A AA

c) DivisiónAl igual que el producto se puede realizar de forma rectangular pero una manera práctica es en su formapolar:

En forma rectangular:

2 2

( ) ( )a jb a jb c jd ac bd j bc ad

c jd c jd c jd c d

122

En forma polar:

1 11 2

22

A A

AA

El inverso de un número complejo es de la forma:

1 1

AA

d) PotenciaciónPara poder realizar la potencia de un número complejo y evitar estar realizando productos consecutivosaplicaremos la regla exponencial para la forma polar:

( )n n jn nA A e A n

e) RadicaciónAl igual que el caso anterior trabajaremos con su forma exponencial y polar:

2( )

kjn n j n n nA Ae Ae

Para valores de K= 0, 1, 2, 3, …..,(n-1); para K = n se vuelve a tomar el valor de K = 0

4.2 FASORESSe define como fasor a un vector radial en rotación, que tiene magnitud constante con un punto fijo en elorigen, todo fasor gira con una velocidad angular constante en sentido antihorario.

122

En forma polar:

1 11 2

22

A A

AA


1 1

AA




2( )




122

En forma polar:

1 11 2

22

A A

AA


1 1

AA




2( )




123

Podemos observar en la figura que el tiempo t=0, la onda senoidal está en el cruce del eje imaginario ypara T= 2π, habrá completado un ciclo y vuelve a su posición inicial, por esta razón que a un fasor tambiénse le conoce como fasores armónicos. Y cumple con la periodicidad de las funciones trigonométricas:

cos( 2 ) cos( )

( 2 ) ( )

wt k wt

sen wt k sen wt

; para valores de K= 0, 1, 2, ………

De igual modo podemos representar un señal de tensión o corriente en forma fasorial, y dado que cuandohablamos de CA el valor del modulo será igual al valor eficaz.

( ) = jm mte E sen wt E e

E E I I

Donde E e I son valores eficaces.Como ya hemos mencionado anteriormente, solo se puede aplicar un análisis fasorial para aquellas señalesque tienen la misma frecuencia, ya que al momento de hacer la representación en su forma polar, soloponemos el valor eficaz y el ángulo de fase.

Si hemos llevado una expresión de la onda senoidal a su forma fasorial, también se cumple todo loanteriormente explicado, lo más importante son las operaciones aritméticas que se puede realizar conmayor facilidad en el dominio de la frecuencia.Por ejemplo si queremos sumar dos señales de tensión

1 0º 2 90º 2.236 63.43º

Para este caso en particular estamos tomando los valores máximos de las señales, aquí estamos sumandodos corrientes i1 e i2Ahora haremos una comparación de una señal senoidal en el dominio del tiempo y en dominio de lafrecuencia.

124

Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia

2 ( 30º)sen wt 130º

70.71 ( 10 º )sen w t 50 10

10cos wt 7.07 90º

4.3 RELACIÓN FASORIAL DE LOS ELEMENTOS DE UN CIRCUITO DE CORRIENTE ALTERNA

En la primera parte del curso hemos analizado los circuitos de corriente alterna en el dominio del tiempo,ahora vamos a realizar el mismo análisis pero haciendo la conversión fasorial de los elementos que estáformado mi circuito, así como de las respuestas y excitaciones, este cambio se realiza para hacer mássencilla las operaciones entre señales senoidales.

Cuando llevamos una señal de la forma ( ) ( )t mv V sen wt a su forma fasorialV , debemos realizar el

cambio en cada uno de los demás elementos del circuito, es decir todos deben expresarse de la mismaforma fasorial, empezaremos con los circuitos R, L y C puros

4.3.1 CIRCUITO PURO RESISTIVO (R)

Tomamos como referencia la corriente del circuito ( )t mi I senwt que en su forma fasorial se representa

0ºI I .

124


2 ( 30º)sen wt 130º

70.71 ( 10 º )sen w t 50 10

10cos wt 7.07 90º







0ºI I .

124


2 ( 30º)sen wt 130º

70.71 ( 10 º )sen w t 50 10

10cos wt 7.07 90º







0ºI I .

125

V R( )ti

Por Kirchhoff el fasor del de tensión es igual al producto de del fasorcorriente por la impedancia R

0ºV

V RI

Podemos observara que la tensión tiene un ángulo de desfase que la corriente 0º, es decir están en fasecon la corriente, Para encontrar la impedancia R del circuito dividimos a la tensión entre la corriente, aquíconcluimos que la impedancia es resistiva es decir no tiene parte compleja sólo real

0º0º

0º

VZ Z

I

Haciendo su diagrama fasorial, debemos tener en cuenta que si graficamos al fasor corriente junto con elfasor tensión deben estar en diferentes escalas

La impedancia de un circuito no es un fasor como lo detallaremos más adelante, sólo es una cantidad fija enel caso de la resistencia es un valor real.

4.3.2 CIRCUITO PURO INDUCTIVO (L)


0ºI I para hacer un análisis similar que del circuito resistivo puro

( )( )

tt

div L

dt Recordando que co s ( 9 0 º )w t sen w t

( )

90º

( 90º )t m

I

v wL I sen wy

Dándole forma fasorial:

( )ti

I

V

I V

125

( )ti


0ºV

V RI


0º0º

0º

VZ Z

I






( )( )

tt

div L


( )

90º

( 90º )t m

I

v wL I sen wy


( )ti

I

V

I V

125

( )ti


0ºV

V RI


0º0º

0º

VZ Z

I






( )( )

tt

div L


( )

90º

( 90º )t m

I

v wL I sen wy


( )ti

I

V

I V

126

90º 90ºV

V wLI V ,

Podemos concluir que un circuito inductivo puro la tensión adelanta a la corriente en 90º

Como ya hemos definido en el análisis en el dominio del tiempo LX wL reactancia inductiva, hallando la

impedancia del circuito, para circuito puramente inductivo la impedancia es una cantidad imaginaria ya queno presenta parte real, por consiguiente su representación es sólo un segmento sobre el eje positivoimaginario.

90º90º

0º L L

VZ X jX

I

Recordando: 2 cos2 2

jj e jsen

Para hacer el diagrama fasorial de un circuito puramente inductivo la tensión debe tener un adelanto de 90ºrespecto a la corriente:

4.3.4 CIRCUITO PURO CAPACITIVO (C)

Tomamos como referencia a la corriente ( ) 0ºt mi I senwt I I , aplicando la segunda ley de Kirchhoff

tenemos:

LjX

V

V

I

I

127

( ) ( )

1t tv i dt

C

( ) ( )( cos ) ( 90º )t t

I Iv wt v sen wt

wC wC

Llevándolo a su forma fasorial:

90º 90º

V

IV V

wC

En el dominio del tiempo a la expresión 1LX

wC le denominamos reactancia capacitiva, esta reactancia

es solo una cantidad imaginaria negativa.

90º90º

0ºC C

VZ X jX

I

Para su diagrama fasorial en un circuito puramente capacitivo la tensión atrasa a la corriente 90º

4.4 ASOCIASIÓN DE IMPEDACIAS EN SERIECuando se nos presentan impedancias en serie aplicamos la segunda ley de Kirchhoff que dice que lasuma de tensiones en un circuito de lazo cerrado es igual a cero, si tomamos como referencia a la corriente

0ºI I

( )ti

CjX

V V

I

I

127

( ) ( )

1t tv i dt

C

( ) ( )( cos ) ( 90º )t t

I Iv wt v sen wt

wC wC


90º 90º

V

IV V

wC




90º90º

0ºC C

VZ X jX

I



0ºI I

( )ti

CjX

V V

I

I

127

( ) ( )

1t tv i dt

C

( ) ( )( cos ) ( 90º )t t

I Iv wt v sen wt

wC wC


90º 90º

V

IV V

wC




90º90º

0ºC C

VZ X jX

I



0ºI I

( )ti

CjX

V V

I

I

128

CV

RV

LV

V

I

L CV RI jX I jX I

Factorizando el fasor corriente y nos queda el fasor corriente multiplicado por L CR j X X Como las

impedancias inductivas y capacitivas son dos cantidades las podemos restar en forma directa, asumimos

para nuestro circuito que se comporta inductivamente, es decir que L CX X

Impedancia

V I R jX

Haciendo el diagrama de impedancias:Donde:

2 2Z R X

1tanX

R

Z Z

Por lo que el fasor tensión queda:

0ºV I Z V ,

Como asumimos que nuestro circuito se comportaba inductivamente la tensión adelanta a la corriente en ,

hacemos el diagrama fasorial de las tensiones.

CX

R

LX

Z

128

CV

RV

LV

V

I

L CV RI jX I jX I




Impedancia

V I R jX


2 2Z R X

1tanX

R

Z Z


0ºV I Z V ,



CX

R

LX

Z

128

CV

RV

LV

V

I

L CV RI jX I jX I




Impedancia

V I R jX


2 2Z R X

1tanX

R

Z Z


0ºV I Z V ,



CX

R

LX

Z

129

El ángulo de desfase entre la tensión y la corriente es el mismo ángulo asociado a la impedancia.Cuando hablamos de impedancias asociadas en serie, la impedancia total del circuito es la suma de todaslas impedancias complejas

1 2 3 ....... nV V V V V

Dividimos entre I

31 21 2 3...... ........n

T n

V VV VVZ Z Z Z Z

I I I I I

Por la segunda ley de Kirchhoff la tensión de la fuente ha sido repartida en cada impedancia del circuitoserie, por eso que cuando nos referimos de un circuito serie decimos que es un divisor de tensión, por

ejemplo la tensión 1V es igual al producto de la impedancia 1Z por la corriente del circuito serie I .

T

VI

Z 1 1

T

VV Z

Z

Si queremos encontrar la tensión abV , aplicamos la regla de división de tensión:

1 2ab

T

VV Z Z

Z

1V

1Z

2V

2Z

3V

3Z

nV

nZ

V

a b

130

4.5 ASOCIASIÓN DE IMPEDANCIAS EN PARALELO

Para iniciar a analizar este circuito pondremos como referencia a la tensión de la fuente

Por la primera ley de Kirchhoff, la suma de todas las corrientes entrantes a un nodo es igual a la suma detodas las corrientes salientes:

1 2 3I I I I

L C

V V VI

R jX jX

1 1I V j wC

R wl

Cuando trabajamos con un circuito paralelo se nos hará más sencillo si hacemos el cambio de impedanciasa admitancias complejas:

L

C

1 G conductancia

1 B suceptancia inductiva

B Suceptancia capacitiva

R

wLwC

( )C LI V G j B B

Realizando el diagrama de admitancias, asumimos que C LB B

CRV L

1

2

I

1I2I 3I

131

Donde:2 2

1tanY

Y

Y G B

B

G

Y Y

Reemplazando la admitancia compleja:

0º Y YI V Y I

Realicemos el diagrama fasorial de las corrientes:

Aquí observamos que la corriente adelanta a la tensión un ángulo º , este ángulo es el mismo asociado a

ángulo de la admitancia compleja. Cuando tenemos los dipolos dispuestos en paralelo la admitancia totaldel circuito es igual a la suma de todas las admitancias del circuito.

1 2 3 .......... nI I I I I

Dividiendo entre el fasor tensión 0ºV V

31 2 ............. nI II II

V V V V V

LB

G

CB

Y

Y

LI

IR

CI

I

YV

V

I

1 1 ZI2 2 ZI 3 3 ZI n ZnI

132

Esto es la suma de todas las admitancias del circuito:

1 2 3 ............ nY Y Y Y Y

Podemos concluir que la corriente total se reparte en cada rama del circuito, porque hablamos de un circuitodivisor de corriente, analizaremos el circuito con dos impedancias en paralelo.

1I es igual al cociente entre la tensión V y la impedancia 1Z , de aquí que la tensión de la fuente es igual al

producto de la corriente total por la impedancia total del circuito

1 2

1 2

T

IZ ZV I Z

Z Z

Dividimos esta última expresión entre 1Z :

21

1 2

IZI

Z Z

Para hallar 2I aplicamos el mismo criterio

12

1 2

IZI

Z Z

4.5 IMPEDANCIAS Y ADMITANCIAS COMPLEJAS

La impedancia compleja es el cociente entre la tensión y la corriente, y tiene como notación Z y sus

unidades son los ohms , el modulo de la impedancia compleja depende la frecuencia, está hace variar a

la parte imaginaria de la impedancia (reactancia) por lo que el modulo resultante también cambiara de valor.La impedancia representa la oposición al flujo de la corriente.

V

I

1 1 ZI2 2 ZI

133

VZ Z R jX

I

X reactancia Im Z

R resistencia R e Z

Z

2 2

1tan

Z R X

X

R

La admitancia compleja es el cociente entre la corriente y la tensión, es decir es la inversa de la impedanciacompleja por lo que también es una cantidad compleja cuyo argumento es el mismo de la impedancia

asociada solo que es negativo. Y Z , sus unidades son los siemens (S), la admitancia viene a ser el

grado de libertad con que fluye la corriente por un circuito, por lo que cuando más grande sea esta cantidadmayor será el flujo de la corriente

1 1Y

R jXZ

,

Si multiplicamos por su conjugada a ambos términos:

2 2 2 2

1

G B

R jX R XY j

R jX R jX R X R X

B Susceptancia Im Y

G Conductancia Re Y

X

R

Z

134

2 2

1tanY

Y G B

B

G

En todo circuito de CA sea serie, paralelo o una combinación de esto el ángulo asociado a la impedanciacompleja o de la admitancia compleja es el mismo ángulo que la tensión de la fuente adelanta o atrasa a lacorriente.

4.6 DIAGRAMAS FASORIALES

Realizar Un diagrama fasorial nos ayuda a tener en forma rápida la relación de magnitud, fase, adelanto oatraso de dos o más señales senoidales llevadas a su forma fasorial. Sobre un mismo plano podemosrealizar el diagrama fasorial de tensión y corriente sólo debemos tener en cuenta las escalas a las que segrafican.

Para poder ir entendiendo como realizar los diagramas fasoriales de los circuitos realizaremos un ejemplo.Realizar el diagrama fasorial del circuito y encontrar la tensión de la fuente,

Los valores indicados de tensión son valores eficaces, por lo que le daremos su forma fasorial de tensión a

cada elemento del circuito, tomaremos como referencia a la corriente 0ºI I

Analizamos primeramente a la resistencia:

100ºV , debe estar en fase con la corriente

B

G

Y

Y

RVI

CV(t)

20V

R

30V

10V

L

135

Para el caso de la inductancia el fasor tensión debe estar adelantado al fasorcorriente 90º

2090ºV

Observamos que en el circuito la tensión en el condensador es mayor que el de la inductancia, por lo queel circuito se comportara capacitivamente.

30 90ºV

Por la segunda ley de Kirchhoff la tensión en la fuente es la suma de las tensiones en cada dipolo, uniendolas tres graficas tendremos la suma de las tensiones, debemos recordar que la suma de las tensiones no esescalar, si no, una suma de fasores complejos.

Hallando el modulo del fasor 2210 20 30 10 2V

Hallando el ángulo de fase 1 10tan 45º

10

10 2 45ºV Voltios

LV

I

CV

I

136

LV

CV

RV I

V

Diagrama fasorial de las tensiones:

CIRCUITOS ELÉCTRICOSEN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIAPROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA Nº01.

En el circuito de la figura, se pide hallar:a) El diagrama fasorial de las tensiones

137

b) si 12 2

VV , calcule el valor de L y C en función de de R1, R2, y w

ResoluciónEmpezaremos realizando el diagrama fasorial del circuito, como es un circuito paralelo de dos ramas, latensión de la R1 más la tensión en C debe ser igual a la de la fuente V1, de igual manera la tensión en lainductancia L más la tensión en la resistencia R2 debe darnos la tensión de la fuente V1, también se tiene

que la tensión en R1 más la tensión V2 y más la tensión en la resistencia R2 también nos da V1, sea RCI la

corriente que pasa por la rama R-C e RLI la corriente que pasa por la rama R-L

Tenemos así:

1 1 2 1 2 2R C R L R RV V V V V V V V

R1

R2

V1

C

L

1

2B A

M

N V2

IRC

IRL

V1

V2

VR1 VR2

VCVL

B

A

M N

138

Tomamos como referencia la tensión de la fuente 0ºV V , en la rama capacitiva la corriente adelanta a

la tensión en 90º y la tensión de la resistencia esta en fase con la corriente y por Kirchhoff está suma esigual a la tensión de la fuente, y se grafica en la parte del semicírculo superior, en cambio en la ramainductiva la tensión adelanta a la corriente en 90º y la tensión de la resistencia en la rama está en fase conla corriente, por lo que supondríamos que la grafica corresponde a la parte inferior del semicírculo, pero de

la tercera condición 1 2 2 1R RV V V V , debemos desplazar al fasor de la tensión de la resistencia R2 en

forma paralela al fasor corriente a la parte superior del semicírculo y la gráfica fasorial quedaría como semuestra en la parte superior.

Para la parte (b) si 12 2

VV , entonces están en fase y graficamos a partir de nuestro diagrama inicial.

Debemos tener en cuenta que el radio del circulo es igual a 1

2

V, y podemos construir tres triángulos

equiláteros de lado 1

2

V, OMB, OBA y OAN, para estas condiciones VR1 = VR2 por lo que tenemos dos

triángulos rectángulos 30º 60º MBN y MAN.

30º60º60º

IRC

VR1 VC

VL

V2

VR2

V1

M N

BA

139

Hallando los valores de C y L en función de R1, R2 y w, para el triangulo rectángulo MBN 30º 60º el fasor VC

es igual a VR1 por la cotangente de 30º despejamos y encontramos el valor de C:

1 1

1

cot30º 3

1

3

C R RC C RCV V I X I R

CwR

; aplicamos el mismo criterio para hallar L

2 2

2

cot30º 3

3

L R RL L RLV V I X I R

RL

w

PROBLEMA Nº02.

En el circuito de la figura se tiene AN BNV V . Hallar ABV en función de la tensión de entrada MNV .

Solo análisis gráfico.

O

140

AMV

ABV

2I

NAV

Q

1 2

N

M

A

1R

2R

B

cX

ResoluciónTomemos la rama 1 que es resistiva pura, aplicando Kirchhoff como tanto la corriente y la tensión están enfase el diagrama fasorial quedaría como se muestra en la figura. Por divisor de tensión la tensión en laresistencia 1 es la tercera parte de la tensión que se le suministra a la rama 1

DEL TRIÁNGULO NAM

2

2 22

3 NM AM NMV V V

22 2

13

41

9

9 4

9

5

3

AM NM

AM NM

AM NM

AM NM

V V

V V

V V

V V

0NM MB BN

NM MB BN

NM BM NB

V V V

V V V

V V V

12R

141

N

M

A

2R

NMV

cXAMV

NAV

Y de esto:

Para la rama 2 tenemos en serie una capacitor con una resistencia, en esta ultima la tensión y la corrientede la rama están en fase, en cambio en el capacitor la tensión está atrasada 90º respecto a la corriente de larama

NM AM NAV V V

También:2/3

tan5 /3

NA NM

AM NM

V V

V V

41.81

Del triángulo N A Q : cos 0.52/3

AQAQ MN

MN

VV V

V

También:2 2

22 1

3 2MN MN NQV V V

2 2222 1

3 2 MN NQV V

7

6NQ MNV V

2 70.226

3 6QB NM NM NMV V V V

N B M

BMVNBV

NAVAMV

NMVN M

A

142

2 220.5 0.226AB NM NMV V V 0.55AB NMV V 0.5

tan 65.680.226

NM

NM

V

V ,

la tensión en A-B es la expresión

0.55 65.68AB NMV V

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