Capítulo 5 Movimiento circular

Capítulo 5 Movimiento circular

127

5. MOVIMIENTO CIRCULAR

5.1. Introducción

Un movimiento circular es aquel en el

cual la trayectoria de un cuerpo o

partícula a lo largo del tiempo genera una curva en la que todos sus puntos

se encuentran a la misma distancia “r”

de un mismo punto llamado centro u

origen del sistema de coordenadas o eje de giro.

El movimiento circular está presente en

la vida cotidiana en múltiples

elementos que giran como motores, manecillas del reloj, engranajes, looping de las montañas rusas y las ruedas son

algunos ejemplos que lo demuestran.A través del movimiento

circular, se puede describir el movimiento de cuerpos en rotación:

ruedas, discos, motores, etc.

5.2. Posición angular

Para describir el movimiento de rotación de un objeto alrededor de

un eje fijo se utilizan cantidades denominadas angulares, como la

posición angular, desplazamiento angular, velocidad angular y

aceleración angular.

Todo punto de un objeto que gira alrededor de un eje fijo, tal

como se observa en la figura 5.1, se mueve en un círculo cuyo

centro está en dicho eje, y cuyo radio “R”, es la distancia del

punto al eje de rotación. Una línea trazada desde el eje hasta cualquier punto barrerá el mismo ángulo “θ” en el mismo

tiempo.

Para indicar la posición del cuerpo hasta donde ha girado se

utiliza el ángulo “θ” de alguna línea determinada del objeto, respecto de algún eje de referencia, como por ejemplo, el eje

“x” (ver la figura 5.1). El ángulo “θ” recibe el nombre de

posición angular. Un punto del objeto, como “P” en la figura

5.1, barre un ángulo “θ” cuando recorre la distancia “S”

medida a lo largo de la circunferencia de su trayectoria circular a partir del punto “A”.

En general, en trigonometría, los ángulos se miden en grados sexagesimales, pero es más práctico

utilizar el radian como medida angular. Un radian [rad] se define como el ángulo formado por un

arco cuya longitud es igual a la del radio. Por ejemplo, en la figura, el punto “P” está a una distancia “R” del eje de rotación y se ha movido una distancia “S” a lo largo del arco del círculo. Si S = R,

entonces “θ” es exactamente igual a 1 [rad]. En general, cualquier ángulo en el SI, está especificado

por:

𝜃 = 𝑆

𝑅 (5.1)

y

R S

5.1. Introducción

5.2. Posición y desplazamiento angular

5.3. Velocidad angular media 5.4. Movimiento circular uniforme

5.5. Período y frecuencia 5.6. Aceleración angular media

5.7. Movimiento circular

uniformemente variado 5.8 Velocidad tangencial

5.9. Transmisión de movimiento 5.10. Aceleración centrípeta

5.11. Análisis de la aceleración 5.12. Aceleración total

Objetivos

Definir un sistema de referencia en

dos dimensiones utilizando coordenadas polares.

Identificar los conceptos de posición, desplazamiento, velocidad

promedio e instantánea angulares. Reconocer las características del

M.C.U. Definir aceleración promedio e

instantánea angulares. Entender el concepto de aceleración

centrípeta. Reconocer y aplicar la relación

entre parámetros angulares y

lineales. Analizar y resolver problemas de

movimiento con velocidad y aceleración angular constantes.

Figura 5.1


128

La posición angular también se puede medir en número de revoluciones (vueltas).

La forma de transformar de una unidad a otra, es utilizando el factor de conversión que contenga la equivalencia entre las unidades involucradas.

2 𝜋 [𝑟𝑎𝑑] = 360° = 1 [𝑟 𝑣] = 1 [𝑣𝑢 𝑙𝑡𝑎]

Ejemplo 5.1

El péndulo de un reloj, mide 10 [cm] de largo y se mueve a lo largo de un arco de 15 [cm].

¿Calcular el ángulo en grados sexagesimales, por el que pasa el péndulo durante su movimiento?

Solución

𝑠 = 𝑟 𝜃 → 𝜃 = 𝑠

𝑟 → 𝜃 =

15 [𝑐𝑚]

10 [𝑐𝑚]= 1,5 [𝑟𝑎𝑑]

𝜃 = 1,5 [𝑟𝑎𝑑] ∗360°

2 𝜋 [𝑟𝑎𝑑]→ 𝜃 = 85,94°

Ejemplo 5.2

Transformar 120° a radianes y revoluciones.

Solución

𝜃 = 120° ∗2 𝜋 [𝑟𝑎𝑑]

360°=

2 𝜋

3 [𝑟𝑎𝑑]

𝜃 = 120° ∗1 [𝑟𝑒𝑣]

360°→ 𝜃 =

2

3 [𝑟 𝑣]

5.3. Desplazamiento angular

El desplazamiento angular, considerando la figura 5.2, se define como:

∆ 𝜃 = 𝜃𝑓 − 𝜃𝑜 (5.2)

Donde 𝜃𝑜 es la posición angular inicial en el instante 𝑡𝑜 y 𝜃𝑓 es

la posición angular final en el instante 𝑡𝑓.

5.4. Velocidad angular media e instantánea

Se define la velocidad angular media como el cociente entre el

desplazamiento angular ∆ 𝜃 = 𝜃𝑓 − 𝜃𝑜 y el tiempo total

transcurrido, ∆ 𝑡 = 𝑡𝑓 − 𝑡𝑜, es decir:

𝜔 = ∆ 𝜃

∆ 𝑡=

𝜃𝑓− 𝜃𝑜

𝑡𝑓− 𝑡𝑜 (5.3)

La unidad de la velocidad angular media en el Sistema

Internacional es:

[𝜔] → [ 𝑟𝑎𝑑

𝑠]

También se utiliza las revoluciones por minuto [𝑟𝑝𝑚].

La velocidad angular media proporciona sólo una descripción muy general del movimiento circular.

Una forma de obtener una idea más exacta del movimiento es tomar intervalos menores de tiempo,

es decir, hacer que el tiempo de observación (𝛥𝑡) sea muy pequeño. Luego, cuando 𝛥𝑡 se aproxima

a cero se obtiene la velocidad angular instantánea que describe qué tan rápido se mueve una

partícula en un instante determinado.

0

f0t

ft

Figura 5.2


129

Cuando se considera la velocidad angular instantánea, la ecuación (5.3) se

escribe como:

𝜔 = 𝜃

𝑡 (5.4)

Se define el vector velocidad angular �⃗⃗� , como un vector situado sobre

el eje de rotación, con dirección perpendicular al plano de la trayectoria

y sentido que coincide con el del pulgar de la mano derecha ubicado

perpendicularmente al perfil de la misma cuando se cierran los dedos en sentido del movimiento (figuras 5.3 y 5.4).

5.5. Movimiento circular uniforme (MCU)

Movimiento circular uniforme es aquel en el que el móvil se desplaza en

una trayectoria circular (una circunferencia o un arco de la misma) a

una velocidad �⃗⃗� angular constante, es decir, describe ángulos y arcos

iguales en intervalos de tiempos iguales.

Son ejemplos de movimiento circular uniforme los siguientes:

El movimiento del electrón que gira en torno al núcleo

del átomo de hidrógeno.

El movimiento de la Luna alrededor de la Tierra.

El movimiento de una partícula dispuesto sobre el plato de un tocadiscos, etc.

A continuación en la tabla 5.1 se considera los tiempos y posiciones angulares del minutero de un

reloj y a partir de ello obtiene el gráfico 5.1.

𝜽 [°] 𝜽 [𝒓𝒂𝒅] 𝒕 [𝒎𝒊𝒏] 𝜽

𝒕 [𝒓𝒂𝒅

𝒔]

30 𝜋

6 5

𝜋

30

60 𝜋

3 10

𝜋

30

90 𝜋

2 15

𝜋

30

120 2 𝜋

3 20

𝜋

30

150 5 𝜋

6 25

𝜋

30

180 𝜋 30 𝜋

30

Del gráfico 5.1 se obtiene:

𝜔 =𝜋

30[𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ ]

Además, la ecuación de la línea recta es,

𝜃 = 𝜔 𝑡 (5.5)

Que representa el movimiento de una partícula moviéndose en una trayectoria circular con velocidad angular constante (MCU).

v

t [min]

][

60

120

180

10 20 30

tg

Figura 5.4

Figura 5.3

Tabla 5.1

Gráfico 5.1


130

5.6. Periodo y frecuencia

¿Es lo mismo decir rotación o revolución?

No, son conceptos completamente distintos, ya que tanto la

plataforma giratoria de un juego mecánico, por ejemplo en un

carrusel, giran alrededor de un eje que es la línea recta alrededor

de la cual se lleva a cabo el movimiento (la rotación). Cuando un objeto gira alrededor de un eje interno, esto es, un eje situado

dentro del cuerpo del objeto, el movimiento se llama rotación o

giro. O sea El movimiento de la calesita y el de la patinadora son

rotaciones.

En cambio, cuando un objeto gira alrededor de un eje externo,

su movimiento se llama revolución. El juego mecánico efectúa

rotación, pero los ocupantes que están sentados en el borde

exterior del carrusel realizan una revolución en torno al eje del

juego.

Se define el período “T”, como el tiempo que tarda un cuerpo en dar una vuelta completa.

𝑇 = 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

𝑛° 𝑑𝑒 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 → 𝑇 =

𝑡

𝑛 (5.6)

La unidad del período en el SI es el [s], por convención internacional se considera que dicho periodo

es el tiempo requerido para efectuar una vuelta o revolución.

Se define a la frecuencia “𝑓 ”, como el número de vueltas en la

unidad de tiempo.

𝑓 = 𝑛° 𝑑𝑒 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠

𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 → 𝑓 =

𝑛

𝑡 (5.7)

La unidad de la frecuencia en el SI es el [1/s = s - 1] denominado

Hertz [Hz], por convención internacional se obvia que en la

realidad la frecuencia es el número de vueltas o revoluciones

realizadas en un segundo.

Es importante considerar que la frecuencia es la inversa del período.

𝑓 = 1

𝑇 (5.8)

5.6.1. Revoluciones por minuto y revoluciones por segundo

Dentro las unidades de la frecuencia de mayor uso, están las revoluciones por minuto [rpm] y las

revoluciones por segundo [rps].

5.6.2. Velocidad angular en función del periodo y la frecuencia

Si se considera una vuelta completa dada por un punto que se mueve con MCU, el ángulo barrido

será 2 [rad] y al tiempo empleado en barrerlo será el período “T”, en consecuencia, la velocidad

angular “ω”, quedará expresada de la siguiente manera:

𝜔 = 2 𝜋

𝑇 (5.9)

En función de la frecuencia:

𝜔 = 2 𝜋 𝑓 (5.10)

Eje

Carrusel

Hertz

Estándar: Unidades derivadas del Sistema

Internacional Magnitud: Frecuencia Símbolo: Hz


131

1

2

3

4

56

7

8

9

10

1112

1

2

3

4

56

7

8

9

10

1112

H

M

Ejemplo 5.3

El tacómetro es un instrumento que indica el número de vueltas del motor en unidades de revoluciones por minuto [rpm]. Si el instrumento marca

3 000 [rpm], ¿cuál es la frecuencia del motor?, ¿cuál es su velocidad

angular en [𝑟𝑎𝑑

𝑠]?

Solución

𝑓 = 3 000 [𝑟𝑒𝑣]

[𝑚𝑖𝑛]∗1 [𝑚𝑖𝑛]

60 [𝑠]= 50 [

𝑟𝑒𝑣

𝑠] = 50 [𝐻𝑧]

𝜔 = 2 𝜋 [𝑟𝑎𝑑] 𝑓 → 𝜔 = 2 𝜋 [𝑟𝑎𝑑] ∗ 50 [𝑟𝑒𝑣

𝑠] → 𝜔 = 100 𝜋 [

𝑟𝑎𝑑

𝑠]

Ejemplo 5.4

En un reloj analógico, horario y minutero coinciden a las 12:00. ¿A qué hora minutero y horario

formarán un ángulo de 180º?

Solución

𝜔𝑀 =1 [𝑟𝑒𝑣]

3 600[𝑠]∗2 𝜋 [𝑟𝑎𝑑]

1 [𝑟𝑒𝑣]=

𝜋

1800[𝑟𝑎𝑑

𝑠]

𝜔𝐻 =1 [𝑟𝑒𝑣]

12 [ℎ]∗

1 [ℎ]

3600 [𝑠]∗2 𝜋 [𝑟𝑎𝑑]

1 [𝑟𝑒𝑣]=

𝜋

21 600[𝑟𝑎𝑑

𝑠]

𝜃𝑀 − 𝜃𝐻 = 𝜋 [𝑟𝑎𝑑]𝜃 = 𝜔 𝑡

} 𝜔𝑀 𝑡 − 𝜔𝐻 𝑡 = 𝜋 [𝑟𝑎𝑑]

𝑡 = 𝜋 [𝑟𝑎𝑑]

𝜔𝑀 − 𝜔𝐻

𝑡 = 𝜋 [𝑟𝑎𝑑]

𝜋

1800[𝑟𝑎𝑑

𝑠]−

𝜋

21 600[𝑟𝑎𝑑

𝑠]= 1 963,6 [𝑠] → 𝑡 = 32 [𝑚𝑖𝑛] 43 [𝑠]

El horario y minutero formarán un ángulo de 9º a las 12 [h] 32 [min] 43 [s]

Ejemplo 5.5

¿A partir de las 0:00 horas, después de qué tiempo coinciden las manecillas del minutero y del

segundero de un reloj analógico?

Solución

𝜔𝑆 = 2 𝜋 [𝑟𝑎𝑑]

60 [𝑠]

𝜔𝑀 = 2 𝜋 [𝑟𝑎𝑑]

3 600 [𝑠]

} 𝜃𝑆 = 𝜃𝑀 + 2 𝜋 [𝑟𝑎𝑑]

𝜔𝑆 𝑡 = 𝜔𝑀 𝑡 + 2 𝜋 [𝑟𝑎𝑑] → 2 𝜋 [𝑟𝑎𝑑]

60 [𝑠] 𝑡 =

2 𝜋 [𝑟𝑎𝑑]

3 600 [𝑠] 𝑡 + 2 𝜋 [𝑟𝑎𝑑]

𝑡 = 2 𝜋 [𝑟𝑎𝑑]


60 [𝑠]−


3 600 [𝑠]

→ 𝑡 = 61,02 [𝑠]

Tacómetro

o

Figura 5.5


132

Ejemplo 5.6

Un carrusel da 30 vueltas cada 5 minutos. Determinar su velocidad angular, el período y la frecuencia.

Solución

𝜔 =30 [𝑟𝑒𝑣]

300[𝑠]×


1 [𝑟𝑒𝑣]= 0,2 𝜋 [

𝑟𝑎𝑑

𝑠]

𝑇 =300 [𝑠]

30 [𝑟𝑒𝑣]= 10 [

𝑠

𝑟𝑒𝑣] = 10 [𝑠]

𝑓 =30 [𝑟𝑒𝑣]

300 [𝑠]= 0,10 [

𝑟𝑒𝑣

𝑠] → 𝑓 = 0,10 [𝐻𝑧]

Ejemplo 5.7

Un cilindro hueco gira con movimiento circular uniforme, tal

como se muestra en la figura 5.6, barriendo en cada dos

segundos un ángulo de 120°. En cierto instante se dispara un proyectil, el cuál ingresa al cilindro por el punto (0 [m], 4 [m])

y sale por el punto (6 [m], - 2 [m]), con una velocidad

constante de módulo 3 √2 [m/s]. ¿Qué ángulo θ habrá barrido el

cilindro desde que ingresa hasta que sale del cilindro?

Datos.- 1 = (0 [𝑚]; 4 [𝑚]); 2 = (6 [𝑚];−2 [𝑚]); 𝑣𝑃 = 3 √2 [𝑚

𝑠] → 𝜃 = 120°

𝜔 =120°

2 [𝑠]= 60 [

°

𝑠]

𝑑 = √(6 − 0)2 + (4 + 2)2 = 6 √2 [𝑚]

𝑣 =𝑑

𝑡→ 𝑡 =

𝑑

𝑣→ 𝑡 =

6 √2 [𝑚]

3 √2 [𝑚

𝑠]= 2 [𝑠]

𝜃 = 𝜔 𝑡 → 𝜃 = 60 [°

𝑠] ∗ 2 [𝑠] → 𝜃 = 120°

5.7. Aceleración angular media

Se denomina aceleración angular media al cociente entre el

cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda

en efectuar dicho cambio.

Si en el instante t0 la velocidad angular del móvil es ω0 y en el

instante tf la velocidad angular del móvil es ωf. La velocidad

angular del móvil ha cambiado Δω en el intervalo de tiempo Δ t.

α⃗⃗ = ω⃗⃗⃗ f − ω⃗⃗⃗ 0

tf − t0 (5.11)

En lo sucesivo solamente se tomará en cuenta un móvil que

tenga aceleración angular constante, dada por.

α = ωf − ωo

tf − t0 (5.12)

0

f

0

f0t

ft

)4,0(

)2,6(

][6 mL

Figura 5.7

Figura 5.6


133

5.8. Movimiento circular uniformemente variado

No en todos los movimientos con trayectorias circulares el móvil se mueve con rapidez angular uniforme. Más bien, la mayoría lo

realiza con rapidez angular variable, donde en cada unidad de

tiempo la variación de rapidez angular experimentada por el móvil

es constante, ya sea que la misma aumente o disminuya.

Ahora bien, en el tiempo, “t”, que está acelerando angularmente un móvil, no solo cambia su rapidez angular sino que también recorre cierto ángulo “θ”, y por analogía con el MRUV viene dado por:

𝜃 = 𝜔0 𝑡 + 1

2 𝛼 𝑡2 (5.13)

Al igual que en el movimiento lineal, la ecuación que relaciona ángulo recorrido con la velocidad angular es:

ωf2 = ω0

2 + 2 α θ (5.14)

Finalmente, se tiene:

𝜃 = 𝜔𝑜+ 𝜔𝑓

2 𝑡 (5.15)

Ejemplo 5.8

Dos partículas se mueven por la misma trayectoria circular en sentido

contrario a las manecillas del reloj. Cuando t = 0 [s] el primero pasa

por el punto “B” con velocidad angular es 20 [rpm], al mismo tiempo el segundo parte del reposo del punto “A” con un movimiento

uniformemente acelerado cuya aceleración angular vale /6 [rad/s2].

Calcular los tiempos en el que los móviles se encuentran por primera y

segunda vez.

Solución

𝜔𝐴 = 20 [𝑟𝑒𝑣]

1 [𝑚𝑖𝑛]∗1 [𝑚𝑖𝑛]

60 [𝑠]∗2 𝜋 [𝑟𝑎𝑑]

1 [𝑟𝑒𝑣]=

2

3 𝜋 [

𝑟𝑎𝑑

𝑠]

𝜃𝐴 = 𝜃𝐵 + 𝜋

2 [𝑟𝑎𝑑]

𝜔𝐴𝑡 = 1

2𝛼𝐵𝑡

2 + 𝜋

2[𝑟𝑎𝑑]

1

2𝛼𝐵𝑡

2 − 𝜔𝐴𝑡 + 𝜋

2[𝑟𝑎𝑑] = 0 ∕∕ (∗ 2)

2 𝜔𝐴𝑡 = 𝛼𝐵𝑡2 + 𝜋 [𝑟𝑎𝑑]

𝜋

6 [𝑟𝑎𝑑

𝑠2] 𝑡2 −

4

3 𝜋 [

𝑟𝑎𝑑

𝑠] 𝑡 + 𝜋 [𝑟𝑎𝑑] = 0 ∕∕ (∗ 6/𝜋)

𝑡2 − 8 𝑡 + 6 = 0 {𝑡 = 7,16 [𝑠]𝑡 = 0,84 [𝑠]

A B

AB

A

B

Figura 5.8

Figura 5.9

Figura 5.10


134

Ejemplo 5.9

Dos partículas describen movimientos circulares de radio R = 1 [m], como lo muestra la figura 5.11. El primero “A” pasa de “O” con rapidez angular

ω = 10 [rad/s] constante en sentido anti horario y el segundo “B” al mismo

tiempo parte del reposo del mismo punto en sentido horario con

aceleración tangencial constante de 2 [rad/s2]. Determine en que tiempo y que ángulo han barrido las partículas en su primer cruce.

Datos: 𝜔A = 10 [rad

s]; 𝜔B = 0 [

rad

s]; 𝛼B = 2 [

rad

s2]

Solución

𝜃𝐴 + 𝜃𝐵 = 2 𝜋 [𝑟𝑎𝑑]

𝜔𝐴𝑡 + 1

2 𝛼𝐵 𝑡

2 = 2 𝜋 [𝑟𝑎𝑑] → 𝛼𝐵 𝑡2 + 2 𝜔𝐴𝑡 − 4 𝜋 [𝑟𝑎𝑑] = 0

2 [𝑟𝑎𝑑

𝑠2] 𝑡2 + 20 [

𝑟𝑎𝑑

𝑠] 𝑡 − 4 𝜋 [𝑟𝑎𝑑] = 0

𝑡 = (− 20 ± √(202+ 4×2×4 𝜋))

4 → {

𝑡1 = 0,593 [𝑠]

𝑡2 = −10,6 [𝑠] → 𝑡 = 0,593 [𝑠]

𝜃𝐴 = 𝜔𝐴𝑡 = 10 [𝑟𝑎𝑑

𝑠] × 0,593 [𝑠] → 𝜃𝐴 = 5,93 [𝑟𝑎𝑑]

𝜃𝐵 = 1

2 𝛼𝐵 𝑡

2 = 1

2× 2 [

𝑟𝑎𝑑

𝑠2] × (0,593 [𝑠])2 → 𝜃𝐵 = 0,35 [𝑟𝑎𝑑]

5.9. Velocidad y aceleración tangencial

La velocidad y la aceleración con la que la partícula recorre la circunferencia se denominan velocidad

tangencial y aceleración tangencial y son perpendiculares al radio de la trayectoria y además

perpendiculares a la velocidad angular y aceleración angular.

Considerando la velocidad tangencial de una partícula con MCU, el módulo de dicha velocidad

permanece constante en diferentes puntos (𝑣𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 ), no así su dirección y sentido, los cuales

por la naturaleza del movimiento circular están en constante cambio. Similarmente para la

aceleración tangencial su módulo se mantiene constante (𝑎𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 ), mientras que su sentido y

dirección cambian.

En la figura 5.12 y figura 5.13 se ilustran varios vectores velocidad y aceleración tangenciales con

las características mencionadas anteriormente.

A

B

or

Figura 5.12

Figura 5.11

Figura 5.13

𝑎 1

𝑎 3

𝑎 2

𝑎 4

𝛼 𝑅 𝑣 1

𝑣 3

𝑣 2

𝑣 4

𝜔 𝑅


135

5.9.1. Relación entre parámetros angulares y lineales

Existe una relación sencilla entre las magnitudes angulares y lineales, que permite pasar de parámetros angulares a lineales y viceversa. La longitud de arco de un movimiento circular está

relacionada con el ángulo barrido a través del radio R (ecuación 5.1).

De la ecuación 5.1, se deduce que una variación en “𝜃”, produce una variación en “s”, es decir:

∆ 𝑠 = 𝑅 ∆ 𝜃

Dividiendo ambos términos entre ∆ 𝑡, se obtiene:

∆ 𝑠

∆ 𝑡 = 𝑅

∆ 𝜃

∆ 𝑡

Entonces,

𝑣 = 𝑟 𝜔 (5.16)

Luego, si en la ecuación anterior se considera un cambio en “𝜔” entonces habrá un cambio en “𝑣”, es decir,

∆ 𝑣 = 𝑅 ∆ 𝜔

Dividiendo ambos términos entre ∆ t, se obtiene:

∆ 𝑣

∆ 𝑡 = 𝑅

∆ 𝜔

∆ 𝑡

𝑎 = 𝑅 𝛼 (5.17)

Ejemplo 5.10

Las ruedas de un automóvil tienen 60 [cm] de diámetro. a) Si un punto en un extremo de la llanta

barre un ángulo de 120°, ¿qué arco describió? b) ¿Con qué velocidad angular giran las ruedas

cuando el automóvil se desplaza a 72 [km/h]?

Datos.- 𝑟 =60

2[𝑐𝑚] = 0,3 [𝑚];𝜃 = 120° = 2,09 [𝑟𝑎𝑑]; 𝑣 = 72 [

𝑘𝑚

ℎ] = 20 [

𝑚

𝑠]

Solución

a) 𝑠 = 𝑟 𝜃 → 𝑠 = 0,3 [𝑚] ∗ 2,09 [𝑟𝑎𝑑] → 𝑠 = 0,63 [𝑚]

b) ∆ 𝑠

∆ 𝑡 =

𝑟 ∆ 𝜃

∆ 𝑡 → 𝑣 = 𝑟 𝜔 → 𝜔 =

𝑣

𝑟 → 𝜔 =

20 [𝑚

𝑠]

0,3 [𝑚]→ 𝜔 = 66,67 [

𝑟𝑎𝑑

𝑠]

Ejemplo 5.11

Dos insectos se encuentran sobre un disco que gira a 120 rpm. Uno de ellos está a 20 cm del centro y el otro a 3/2 de la distancia anterior. ¿Cuál es la velocidad tangencial de cada uno de los insectos?

Solución Datos.- 𝑟1 = 20 [𝑐𝑚] = 0,2 [𝑚]; 𝑟2 =3

2∗ 20 [𝑐𝑚] = 0,3 [𝑚]; 𝜔 = 120 [𝑟𝑝𝑚] = 12,6 [

𝑟𝑎𝑑

𝑠]

𝑣1 = r1 ω = 0,2 [m] ∗ 12,6 [𝑟𝑎𝑑

𝑠] → 𝑣1 = 2,5 [

𝑚

𝑠] 𝑣2 = 𝑟2 𝜔 = 0,3 [𝑚] ∗ 12,6 [

𝑟𝑎𝑑

𝑠] → 𝑣2 = 3,8 [

𝑚

𝑠]


136

5.10. Transmisión de movimiento

En la transmisión del movimiento, se tiene un elemento de entrada del mecanismo (elemento motriz) y un segundo elemento de salida (elemento conducido).

Los mecanismos de transmisión pueden ser, a su vez, agrupados en dos grupos:

a) Engranajes o poleas conectadas mediante correas o cadenas, o conectadas por

contacto tangencialmente.

b) Engranajes o poleas conectadas concéntricamente (acopladas).

5.10.1. Engranajes o poleas conectadas mediante correas y poleas conectadas por

contacto

Las transmisiones por correa, en su forma más sencilla, consta de una cinta colocada con tensión en dos poleas: una motriz y otra conducida (ver la figura 5.14). Al moverse la cinta (correa) trasmite

energía desde la polea motriz a la polea conducida por medio del rozamiento que surge entre la

correa y las poleas.

Considerando la figura 5.14, se puede observar que el arco descrito por puntos extremos en dos, o

generalizando en “n” discos, en un tiempo “t” es el mismo, es decir:

𝑠1 = 𝑠2 = ⋯ = 𝑠𝑛 → 𝒔 = 𝒄𝒕𝒆.

Como el movimiento es circular, utilizando (5.1)

𝑠 = 𝑅 𝜃 → 𝑹 𝜽 = 𝒄𝒕𝒆. → 𝑅1 𝜃1 = 𝑅2 𝜃2 = ⋯ = 𝑅𝑛 𝜃𝑛 (5.18)

Además, para cada partícula se tiene:

𝑠 = 𝑣 𝑡 → 𝑣1 𝑡 = 𝑣2 𝑡 = ⋯ = 𝑣𝑛 𝑡

Luego, 𝑣1 = 𝑣2 = ⋯ = 𝑣𝑛 → 𝒗 = 𝒄𝒕𝒆.

Utilizando (5.16)

𝑣 = 𝑅 𝜔 → 𝑹 𝝎 = 𝒄𝒕𝒆. → 𝑅1 𝜔1 = 𝑅2 𝜔2 = ⋯ = 𝑅𝑛 𝜔𝑛 (5.19)

También, para cada partícula,

𝑠 = 1

2𝑎 𝑡2 → 𝑠1 =

1

2𝑎1 𝑡

2 = 𝑠2 = 1

2𝑎2 𝑡

2 𝑠2 = ⋯ = 1

2𝑎𝑛 𝑡

2

𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑎𝑛 → 𝒂 = 𝒄𝒕𝒆.

Usando (5.17)

𝑎 = 𝑅 𝛼 → 𝑹 𝜶 = 𝒄𝒕𝒆. → 𝑅1 𝛼1 = 𝑅2 𝛼2 = ⋯ = 𝑅𝑛 𝛼𝑛 (5.20)

12

1R 2R1

2

1s

2s

1v

2v

11R

1

1s

1v

22R22s

2v

Figura 5.14

Figura 5.15


137

Cuando se tienen discos conectados tangencialmente (figura 5.15), las relaciones encontradas

anteriormente también se cumplen, la diferencia está en que el segundo disco gira en sentido contrario al primer disco.

5.10.2. Engranajes o poleas conectadas concéntricamente (acopladas)

En la figura 5.16, se puede observar que el arco descrito por puntos extremos en los dos discos, o

generalizando en “n” discos, en un tiempo “𝑡” es diferente, mientras que el ángulo barrido por

ambas partículas es el mismo, por lo tanto se tiene:

𝜽 = 𝒄𝒕𝒆. → 𝜃1 = 𝜃2 = ⋯ = 𝜃𝑛

𝝎 = 𝒄𝒕𝒆.→ 𝜔1 = 𝜔2 = ⋯ = 𝜔𝑛

𝜶 = 𝒄𝒕𝒆.→ 𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑛

A partir de lo cual se obtiene:

𝒔

𝑹= 𝒄𝒕𝒆.→

𝑠1

𝑅1 =

𝑠2

𝑅2 = ⋯ =

𝑠𝑛

𝑅𝑛 (5.21)

𝒗


𝑣1

𝑅1 =

𝑣2

𝑅2 = ⋯ =

𝑣𝑛

𝑅𝑛 (5.22)

𝒂


𝑎1

𝑅1 =

𝑎2

𝑅2 = ⋯ =

𝑎𝑛

𝑅𝑛 (5.23)

Ejemplo 5.12

El disco A mostrado en la figura 5.17, parte del reposo y tiene una aceleración 𝛼𝐴 = 𝜋 [𝑟𝑎𝑑 𝑠2]⁄ . Si 𝑅𝐴

𝑅𝐵=

1

2 ,

𝑅𝐶

𝑅𝐷=

1

3 𝑦 𝑅𝐸 = 0,25 [𝑚] , determine el tiempo que tarda “m” en recorrer una distancia ℎ =

0,25 [𝑚]

Datos.- 𝛼𝐴 = 𝜋 [𝑟𝑎𝑑 𝑠2]⁄ ; 𝑅𝐴

𝑅𝐵=

1

2 ;

𝑅𝐶

𝑅𝐷=

1

3; 𝑅𝐸 = 0,25 [𝑚] ; ℎ = 0,25 [𝑚]

Para “A” y “B”: 𝑎𝐴 = 𝑎𝐵 → 𝑅𝐴 𝛼𝐴 = 𝑅𝐵 𝛼𝐵 → 𝛼𝐵 = 𝑅𝐴

𝑅𝐵 𝛼𝐴

𝛼𝐵 = 1

2∗ 𝜋 [𝑟𝑎𝑑 𝑠2]⁄ → 𝛼𝐵 =

𝜋

2 [𝑟𝑎𝑑 𝑠2]⁄

Para “B” y “C”: 𝛼𝐴 = 𝛼𝐵 → 𝛼𝐶 = 𝜋

2 [𝑟𝑎𝑑 𝑠2]⁄

Para “C” y “D”: 𝑎𝐶 = 𝑎𝐷 → 𝑅𝐶 𝛼𝐶 = 𝑅𝐷 𝛼𝐷 → 𝛼𝐷 = 𝑅𝐶 𝑅𝐷

𝛼𝐶

𝛼𝐷 = 1

3∗

𝜋

2 [𝑟𝑎𝑑 𝑠2]⁄ → 𝛼𝐷 =

𝜋

6 [𝑟𝑎𝑑 𝑠2]⁄

Para “D” y “E”: 𝛼𝐷 = 𝛼𝐸 → 𝛼𝐷 = 𝜋

6 [𝑟𝑎𝑑 𝑠2]⁄

Además, 𝑎𝐸 = 𝑅𝐸 𝛼𝐸 = 𝑅𝐸 𝛼𝐷 → 𝑎𝐸 = 0,25 [𝑚] ∗ 𝜋

6 [𝑟𝑎𝑑 𝑠2]⁄ → 𝑎𝐸 = 0,13 [𝑚 𝑠2]⁄

La aceleración de “m” es la misma aceleración tangencial de un punto extremo del disco “E”, luego,

C A D

B

E

m

αA

h

1R

2R

1s

2s

1v

2v

Figura 5.17

Figura 5.16


138

ℎ = 1

2 𝑎𝐸 𝑡

2 → 𝑡 = √ 2 ℎ

𝑎𝐸 → 𝑡 = √

2∗0,5 [𝑚]

0,13 [𝑚 𝑠2]⁄ → 𝑡 = 2,8 [𝑠]

Ejemplo 5.13

Un niño hace girar una piedra amarrada al extremo de

una cuerda en un círculo vertical de 1,5 [m] de radio,

con una rapidez angular constante de 3,80 [rad/s] (ver la figura 5.18). Considerando que el centro del círculo

está ubicado a 2,0 [m] del nivel del suelo, determine el

alcance de la piedra si la cuerda se rompe justo cuando

la cuerda forma un ángulo de 30° con la horizontal.

Solución

Datos.- 𝜔 = 3,8 [𝑟𝑎𝑑 𝑠]⁄ ; 𝑅 = 1,5 [𝑚] ; 𝐻 = 2,0 [𝑚] ;𝜃 = 30°

De la figura, 𝜙 = 90° − 𝜃 = 90° − 30° = 60°

Luego, ℎ = 𝑅 𝑠 𝑛 𝜃

ℎ = 1,5 [𝑚] ∗ 𝑠 𝑛 30° → ℎ = 0,75[𝑚]

Además, 𝑣𝑜 = 𝑅 𝜔

𝑣𝑜 = 1,5 [𝑚] ∗ 1,25 [𝑟𝑎𝑑 𝑠]⁄

𝑣𝑜 = 5,7 [𝑚 𝑠]⁄

Utilizando la ecuación de la trayectoria, y considerando

como nivel de referencia el punto donde se rompe la cuerda,

−(ℎ + 𝐻) = 𝐷 𝑡𝑔 𝜑 – 𝑔 𝐷2

2 𝑣𝑜2 𝑐𝑜𝑠2𝜑

𝑔 𝐷2

2 𝑣𝑜2 𝑐𝑜𝑠2𝜑

− 𝐷 𝑡𝑔 𝜑 − (ℎ + 𝐻) = 0

9,8 [𝑚

𝑠2]) 𝐷2

2∗(5,7 [𝑚

𝑠])2(𝑐𝑜𝑠260°)

− 𝐷 𝑡𝑔 60° − (0,75 [𝑚] + 2[𝑚]) = 0

0,603 𝐷2 − 1,732 𝐷 – 2,750 = 0

𝐷 = 4,01 [𝑚]

5.11. Relación de transmisión

La relación de transmisión “” es la relación entre las velocidades de rotación de dos ruedas,

engranajes o un sistema de los mismos conectados entre sí, la primera rueda o engranaje “M” se denomina motora y la segunda “C” conducida, la relación de transmisión se expresa mediante:

𝜂 =𝑣𝐶

𝑣𝑀 (5.24)

0v

][5,1 mR

f

x

..RN]

[0,

2m

H

h

0v

x

][

0,2

mH

][5,1 mR

Figura 5.18

Figura 5.19

http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Engranajes


139

5.12. Aceleración centrípeta

Considerando el MCU se puede observar en la figura 5.20, que el sentido y la dirección de la velocidad cambian constantemente. Un cuerpo se moverá según una trayectoria circular, siempre y

cuando la aceleración existente en el cuerpo tenga una componente perpendicular a la dirección del

movimiento, esta aceleración perpendicular a la velocidad se denomina aceleración centrípeta 𝑎 𝐶 y

está siempre dirigida hacia el centro de la trayectoria. Esta aceleración también suele recibir el

nombre de aceleración radial o aceleración normal, pues tiene la dirección del radio de

curvatura de la trayectoria en el punto dado, y apunta hacia el centro del círculo.

Si se representa el vector velocidad en dos

posiciones próximas entre sí, y se trazan los radios

respectivos, se advertirá que el ángulo barrido por el

radio es el mismo que el correspondiente al triángulo

de vectores velocidad, cuando se los representa a

partir de un origen común.

Los triángulos de vectores así formados, son

semejantes entre sí, siendo sus lados homólogos proporcionales. A través de la relación de dichos

lados, se obtiene la aceleración en el movimiento

circular uniforme, la cual tendrá la dirección del radio

y su sentido hacia el centro de giro, razón por la que se la denomina aceleración centrípeta.

Comparando los triángulos:

∆ 𝑣

𝑣 =

∆ 𝑟

𝑟 → ∆ 𝑣 =

𝑣 ∆ 𝑟

𝑟

Por relación de lados homólogos de triángulos semejantes, y

dividiendo la ecuación anterior y aplicando las definiciones de aceleración y velocidad se tiene:

𝑎𝐶 =

∆ 𝑣

∆ 𝑡 =

𝑣 ∆ 𝑟

𝑟 ∆ 𝑡

𝑣 = ∆ 𝑟

∆ 𝑡

}𝑎𝑐 = 𝑣2

𝑟 (5.25)

También, 𝑎𝑐 = 𝜔2 𝑟 (5.26)

Ejemplo 5.14

La Tierra rota uniformemente con respecto a su eje. Considerando que da una vuelta sobre el

mismo en 24 [h] y tiene un radio de 6,378*106 [m]. Encontrar su aceleración centrípeta.

Solución

Datos.- 𝑡 = 24 [ℎ] ; 𝑅 = 6,378 ∗ 106 [𝑚]

𝜔 = 1 [𝑟𝑒𝑣]

24 [ℎ]∗

1 [ℎ]

3 600 [𝑠]∗2 𝜋 [𝑟𝑎𝑑]

1 [𝑟𝑒𝑣]= 7,27 ∗ 10− 5 [

𝑟𝑎𝑑

𝑠]

𝑎𝑐 = (7,27 ∗ 10− 5 [𝑟𝑎𝑑

𝑠])

2∗ 6,378 ∗ 106[𝑚] = 0,034 [

𝑚

𝑠2]

1v

ca

c ca

1v

2v

2r

1r

2r

1r

1v

2v

r

v

Figura 5.21

Figura 5.20


140

5.13. Aceleración total

La aceleración total en un movimiento circular es, entonces, un vector que puede considerarse como la suma de dos

componentes. Una, la aceleración centrípeta que es

perpendicular a la trayectoria, y da idea de la rapidez con la que

el móvil cambia de orientación, la otra, la aceleración tangencial que es tangente a la trayectoria y representa la rapidez con la

que varía en módulo el vector velocidad. Si la primera

componente no es nula, eso significa que el movimiento es

Circular Uniforme, si la segunda tampoco es nula, quiere decir que el movimiento es Circular Uniformemente Variado.

𝑎𝑇 = √𝑎2 + 𝑎𝐶2 (5.27)

La figura 5.26, muestra los vectores aceleración tangencial, centrípeta y total para un MCUV.

Ejemplo 5.15

En cierto instante, un motor gira con una velocidad angular 𝜔𝑜 = 10 [𝑟𝑎𝑑/𝑠] y 5 segundos después su velocidad angular es 𝜔𝑓 = 15 [𝑟𝑎𝑑/𝑠]. Si el radio del círculo descrito es 𝑅 = 0,6 [𝑚], calcular la

aceleración angular, la aceleración tangencial, la aceleración centrípeta y la aceleración total del motor después de 4 [s].

Solución

Datos.-𝜔𝑜 = 10 [𝑟𝑎𝑑/𝑠]; 𝜔𝑓 = 15 [𝑟𝑎𝑑/𝑠] ; 𝑡 = 5 [𝑠] ; 𝑅 = 0,6 [𝑚] ;𝑡4 = 4 [𝑠]

𝛼 = 𝜔𝑓 − 𝜔𝑜

𝑡𝑓 − 𝑡0 → 𝛼 =

15 [𝑟𝑎𝑑/𝑠] − 10 [𝑟𝑎𝑑/𝑠]

5 [𝑠] − 0 [𝑠]= 1 [𝑟𝑎𝑑 𝑠2]⁄

𝑎𝑡 = 𝑅 𝛼 → 𝑎𝑡 = 0,6 [𝑚] ∗ 1 [𝑟𝑎𝑑 𝑠2]⁄ → 𝑎𝑡 = 0,6 [𝑚 𝑠2⁄ ]

𝑣4 = 𝑣𝑜 + 𝑎𝑡𝑡4 → 𝑣4 = 𝑅 𝜔𝑜 + 𝑎𝑡𝑡4

𝑣4 = 0,6 [𝑚] ∗ 10 [𝑟𝑎𝑑/𝑠] + 0,6 [𝑚 𝑠2⁄ ] ∗ 4 [𝑠]

𝑣4 = 8,4 [𝑚/𝑠]

Luego, 𝑎𝑐 = 𝑣42

𝑅 → 𝑎𝑐 =

(8,4 [𝑚

𝑠])2

0,6 [𝑚]= 117,6 [

𝑚

𝑠2]

Finalmente, 𝑎𝑇 = √𝑎𝑡2 + 𝑎𝐶

2

𝑎𝑇 = √(0,6 [𝑚 𝑠2⁄ ])2 + (117,6 [𝑚 𝑠2⁄ ])2

𝑎𝑇 = 117,6 [𝑚 𝑠2⁄ ]

0v

2Ca

R

1v2v

1Ca

0Ca

0a

1a

2a

0Ta

2Ta

1Ta

Figura 5.22


141

5.14. Análisis de la aceleración

A continuación en base a gráficos se realizará un análisis de la aceleración, considerando que ella implica una variación en la velocidad, es decir que, si la velocidad varía, podría variar el módulo, el

sentido o la dirección o también podrían dos de ellas o las tres.

v

0t

v

t

a

v

0t

0v

t

2Ca

R

1v

2v

1Ca

3Ca

4Ca

3v

4v

0v

2Ca

R

1v

2v

1Ca

3Ca

3v

0Ca

0a

1a

2a

3a

MRU no existe cambio ni en el módulo,

ni en el sentido ni en la dirección del

vector velocidad, luego la aceleración es

nula.

MRUV sólo existe cambio en el módulo

del vector velocidad, mientras que

permanecen invariables el sentido y la

dirección. Entonces, la aceleración se

denomina tangencial o lineal.

MCU existe cambio en el sentido y la

dirección del vector velocidad, mientras

que el módulo de la velocidad permanece

constante. La aceleración se denomina

centrípeta o normal, y se expresa por:

𝑎𝐶 = 𝑣2

𝑅= 𝑅 𝜔2

Además, el módulo de la aceleración

centrípeta en cualquier punto permanece

constante.

MCUV existe cambio en el módulo sentido y dirección del vector velocidad.

Entonces existe aceleración tangencial y

centrípeta que son perpendiculares.

𝑎𝑇 = √𝑎2 + 𝑎𝐶2

Figura 5.24

Figura 5.23

Figura 5.25

Figura 5.26


142

MOVIMIENTO CIRCULAR

5.1. Una revolución equivale a:

a) 1 [rad] b) 57 [rad] c) [rad] d) 2 [rad] e) Ninguna

5.2. Un radian es aproximadamente:

a) 25° b) 37° c) 45° d) 57° e) 30°

5.3. ¿Cuántos [rad/s] equivalen a 3 000 [rpm]?

a) 314 b) 628 c) 1300 d) 3000 e) Ninguna

5.4. Un reloj como el de la figura tiene tres punteros. El puntero “H” indica la

hora, “M” los minutos y “S” es el segundero. Con relación a la velocidad

angular de esos punteros podemos afirmar que:

a) ωH> ωM>ωS b) ωS> ωM> ωH c) ωM> ωH> ωS d) ωH = ωM = ωS

5.5. ¿Cuál de las siguientes velocidades angulares es mayor?

a) 20 [rad/s] b) 33 [rpm] c) 12 [vueltas/minuto] d) 7 [rps]

5.6. Un satélite artificial tarda 4 horas en dar una vuelta alrededor de la Tierra. Su velocidad

angular será de:

a) 12 [rad/día] b) 5 [rad/s] c) 0,5 [rad/s] d) 0,5 [vueltas/min]

5.7. Un coche experimenta una aceleración tanto centrípeta como tangencial. ¿Cuál de les siguientes afirmaciones es correcta?

a) Se mueve a lo largo de una línea recta disminuyendo su velocidad.

b) Se mueve a lo largo de una línea recta incrementando su velocidad.

c) Se mueve a lo largo de una curva a velocidad constante.

d) Se mueve a lo largo de una curva con velocidad variable.

5.8. Una partícula se mueve describiendo una trayectoria circular horizontal. Pasa por un punto

“P” con una rapidez|𝑣 | = 𝑣 que está disminuyendo. En el punto “P” la aceleración:

a) Tiene la dirección y sentido de la velocidad. b) Tiene la dirección de la velocidad y sentido opuesto.

c) Está dirigida hacia el centro de la trayectoria.

d) Está dirigida hacia otra dirección diferente de la dirección de la velocidad.

5.9. Un móvil tiene un movimiento circular uniforme. ¿Qué esquema representa correctamente

los vectores velocidad lineal 𝑣 , velocidad angular �⃗⃗� y aceleración 𝑎 ?

5.10. Un vehículo viaja por una pista circular a velocidad constante, ¿cuáles son las

características del vector aceleración?

a) Su módulo es cero.

b) Su dirección es constante. c) Su dirección es siempre perpendicular a la velocidad.

d) Su dirección es tangente a la trayectoria.

o

v

a

o v

a

o

v

a

o v

a

)a )b )c )d

Figura 5.27


143

5.11. Las máquinas de coser antiguas son un ejemplo de sistema por

poleas. ¿Se puede decir si es un sistema reductor o multiplicador de velocidad?

Multiplicador

5.12. Una bolita se mueve siguiendo la dirección curva de la canaleta abierta

en sus extremos, la cual está sobre una mesa como lo muestra la figura 5.30. Al salir la bolita, la trayectoria que tomará está mejor

representada por la línea:

5.13. a) ¿Qué significa la inscripción "1 000 [rpm]" en un taladro?

b) ¿Cuánto tarda la broca en dar una vuelta? c) ¿Cuál es su rapidez angular de la broca?

d) Si una broca mide 10 [mm] de diámetro ¿con qué rapidez

se mueve su contorno?

5.14. En el movimiento circular uniforme, ¿cómo cambia la aceleración cuando la rapidez

aumenta al triple? ¿Y cuando el radio se reduce a la mitad?

5.15. En el movimiento circular uniforme, la aceleración es perpendicular a la velocidad en todo

instante. ¿Sigue siendo verdad esto cuando el movimiento no es uniforme, es decir,

cuando la rapidez no es constante?

5.16. Si un cuerpo se mueve con MCUV, ¿es posible que varíe la dirección de su velocidad?

5.17. ¿Qué relación existe entre la velocidad angular y la frecuencia en el movimiento circular

uniforme?

5.18. ¿Qué diferencia hay entre la velocidad angular y la velocidad tangencial del MCU?

5.19. ¿Es posible que un vehículo pase una curva sin acelerar?

5.20. Un objeto se mueve en una trayectoria circular con rapidez constante “𝑣”.

a) ¿La velocidad 𝑣 del objeto es constante?

b) ¿Su aceleración 𝑎 es constante? Explique.

5.21. Si una partícula tiene una aceleración centrípeta constante e igual a cero, ¿qué clase de

movimiento tiene la partícula?

cab

d

Figura 5.28

Figura 5.29

Figura 5.30


144

5.22. Un cuerpo se mueve con un Movimiento Circular Uniforme de radio 2 [m]. Si da una vuelta

cada minuto, su velocidad lineal en el Sistema Internacional de Unidades será:

a) /15 [m/s] b) /30 [m/s] c) [m/s] d) 2 [m/s] e) 4 [m/s]

f) /60 [m/s]

5.23. La figura 5.27 corresponde a un CD que gira en el mismo sentido de

las manecillas del reloj de acuerdo a este gráfico se puede asegurar que:

a) La partícula “B” tiene mayor frecuencia que la partícula “A”.

b) La partícula “B” tiene mayor velocidad tangencial que la

partícula “A”. c) La partícula “B” tiene mayor velocidad angular que la partícula

“A”.

d) La partícula “B” tiene igual velocidad tangencial que la partícula

“A”. e) Ninguna de las anteriores.

5.24. Una piedra amarrada de un hilo de un metro gira a 0,5 [rad/s], ¿Cuál es la aceleración

centrípeta de piedra, si él en un radio de giro es de 2 [m]?

a) 0,25 [m/s2] b) 0,5 [m/s2] c) 2,5 [m/s2] d) 1,0 [m/s2] e) Ninguna

5.25. Cuando un móvil se desplaza por una trayectoria circular, podemos afirmar siempre que:

a) Su rapidez es constante.

b) Su velocidad debe ser constante

c) Su aceleración necesariamente será constante.

d) Si su velocidad varía, entonces su rapidez tendrá que variar. e) El móvil tendrá necesariamente aceleración normal.

5.26. Tres niños están dando vueltas en un carrusel que se mueve con rapidez constante.

Señalar la afirmación correcta:

a) Su movimiento es rectilíneo y uniforme porque su velocidad es constante. b) Como su velocidad es constante no hay aceleración.

c) Aunque su rapidez sea constante existe una aceleración.

d) Un punto mas cercano al borde del carrusel se mueve a mayor velocidad angular

que otro que esté mas cerca de su centro.

5.27. Un niño juega con un triciclo cuyas ruedas tienen un radio de 10 [cm]. Es capaz de recorrer 942 [m] en 6 minutos. ¿Cuántas vueltas dan las ruedas del triciclo en ese

recorrido?

a) 15 [vueltas] b) 150 [vueltas] c) 1499[vueltas] d) 942 [vueltas]

5.28. ¿Cuál de los siguientes movimientos tiene solamente aceleración normal?

a) Circular uniforme.

b) Rectilíneo y uniformemente variado.

c) Circular uniformemente variado.

d) Rectilíneo uniforme.

5.29. Verdadero o falso:

( ) La aceleración angular es la misma en todos los puntos de una rueda.

( ) La velocidad tangencial es constante para todos los puntos del radio de la rueda

de una bicicleta.

A

B

Figura 5.31


145

( ) El periodo de los puntos exteriores de una rueda es mayor que el de los

interiores. ( ) En un movimiento circular uniforme, la aceleración es nula.

( ) En un movimiento circular, si un cuerpo tiene el módulo de la velocidad

constante, su aceleración es nula.

( ) Un cuerpo atado a una cuerda que se hace girar en un plano vertical, puede estar animado de un movimiento circular uniforme.

( ) Un cuerpo atado a una cuerda que se hace girar en un plano horizontal, puede

estar animado de un movimiento circular uniforme.

( ) Al cortarse la cuerda en el caso anterior el cuerpo sale despedido en la dirección del radio.

5.30. ¿Qué relación existe entre el arco “S” de un círculo y su radio “R”?

5.31. Se está probando un automóvil en una pista circular, de 300 [m] de radio. ¿Cuál será el

módulo del desplazamiento del automóvil después de haber completado?

a) media vuelta b) una vuelta

c) una vuelta y media

d) dos vueltas

5.32. El minutero de un reloj tiene 2,2 [cm] de longitud. ¿Cuál será el desplazamiento angular de su extremo, durante un intervalo de media hora?

a) ¿Del punto extremo del minutero?

b) ¿De un punto situado en el medio del minutero?

5.33. Un disco musical gira a 33 1/3 [rpm]. Calcular:

a) El valor del ángulo girado en los 2 minutos y 15 segundos que dura la canción.

b) El número de vueltas dado.

c) La aceleración normal de un punto en la periferia, si el disco tiene un radio de 15

[cm].

5.34. Un satélite artificial describe órbitas estacionarias circulares alrededor de la Tierra a una

distancia de 300 [km] de la superficie terrestre, ¿cuál es la velocidad tangencial del

satélite?, ¿qué tiempo tarda el satélite en dar una vuelta completa alrededor de la tierra?

RT = 6 378 [km].

5.35. Dos móviles describen una trayectoria circular y salen del mismo punto en sentidos opuestos, con velocidades de /8 [rad/s] y /4

[rad/s].

a) ¿En qué tiempo se encuentran?

b) ¿En qué punto se encuentran?

5.36. En un velódromo circular salen al mismo tiempo, de puntos

diametralmente opuestos y en el mismo sentido dos ciclistas, uno da 1 vuelta cada cinco minutos y el otro 1 vuelta cada tres

minutos. ¿Cuánto tiempo tardará uno en alcanzar al otro? AB

r

A

B

or

Figura 5.32

Figura 5.33


146

5.37. De una ciudad salieron al mismo tiempo dos aviones en sentidos opuestos para dar la

vuelta al mundo por el paralelo que pasa por Bolivia. Uno tardó 50 horas y el otro avión 60 horas. ¿En cuánto tiempo se cruzaron?

5.38. Un caballito de un carrusel está situado a 4 [m] del centro de giro y un cochecito a 6 [m].

El carrusel tarda 6,28 [s] en dar una vuelta. Calcular la velocidad lineal y la angular del

caballito y del cochecito.

5.39. Un reloj de manecillas marca las 6:00 horas. Hallar a qué hora se superponen las

manecillas del minutero y del horero por primera vez después de dicha hora.

5.40. El tronco de cono está girando en torno al eje vertical. Hallar la

relación entre las velocidades lineales de los puntos “A” y “B”, si el periodo de giro es de 5 segundos.

5.41. Un tractor avanza a 20 [km/h] (velocidad lineal). Las ruedas mayores

tienen un radio de 1 [m] y las pequeñas tienen un radio de 50 [cm].

Calcular la velocidad angular, periodo y frecuencia de cada rueda.

5.42. Calcular el periodo, la frecuencia y la velocidad angular de cada una de las tres agujas de un reloj analógico.

5.43. Un taladro gira 50 veces por segundo. Calcular la frecuencia, el periodo y la velocidad

angular del mismo.

5.44. Un cuerpo describe un movimiento circular con aceleración angular constante. Determinar la velocidad angular en el punto L, sabiendo

que la velocidad angular en “A” es 5 [rad/s]; la velocidad angular

en “B” es 8 [rad/s] y el diámetro del movimiento la trayectoria

circulares de 2 [m].

5.45. Una ruleta de 40 [cm] de radio gira con una velocidad inicial de 30 [rpm] y frena

uniformemente hasta detenerse en 20 [s]. Determinar :

a) La aceleración angular.

b) El número de vueltas que da la ruleta hasta que se detiene. c) Velocidad lineal inicial de un punto de la periferia.

5.46. Un motor gira a 2 000 [rpm] y disminuye su velocidad pasando a 1000 [rpm] en 5

segundos. Calcular:

a) La aceleración angular del motor.

b) El número de revoluciones efectuadas en ese tiempo. c) La aceleración lineal de un punto de la periferia si el radio de giro es de 20 [cm].

5.47. Una rueda parte del reposo y acelera de tal manera que su velocidad angular aumenta

uniformemente hasta alcanzar 200 [rpm] en 6 [s]. Después de haber estado girando por

algún tiempo se aplican los frenos y la rueda invierte 5 minutos en detenerse. Si el número total de revoluciones es de 3 100, calcular el tiempo total de rotación.

A

B

][4 cm

][

12

cm

A B

L

Figura 5.34

Figura 5.35

Figura 5.36


147

5.48. ¿Cuántas vueltas dará una rueda durante el 5to segundo de su movimiento, sabiendo que

partió del reposo y su aceleración es de 20 [rad/s2]?

5.49. Una partícula parte del reposo y se mueve a lo largo de una circunferencia con MCUV de

tal modo que el ángulo barrido en el 2do segundo de su movimiento es de 6 [rad]. ¿Cuál

es el ángulo barrido en el 5to segundo del movimiento?

5.50. Al desenrollar una cuerda enroscada en una polea de 40 [cm] de diámetro, esta pasa

uniformemente del reposo a girar dando 30 [rps]. Si en ese tiempo se desenrollan 20 [cm]

de cuerda, para ese intervalo de tiempo, calcular:

a) El desplazamiento angular.

b) La velocidad angular media.

c) La aceleración angular.

5.51. Dos vehículos describen la misma trayectoria circular en el mismo sentido. El primero está animado de un movimiento uniforme cuya velocidad angular es 60 [rpm], el segundo está

animado de un movimiento uniformemente acelerado cuya aceleración angular vale /6

[rad/s2]. Sabiendo que en el instante inicial el primer móvil pasa por el punto A, y dos

segundos más tarde el segundo móvil pasa por el mismo punto, llevando una velocidad

angular constante de 120 [rpm] Calcular el tiempo en el que los móviles se encuentran por

primera vez.

5.52. Un tren reduce su velocidad a medida que recorre una curva horizontal estrecha, reduciendo de 90,0 [km/h] a 50,0 [km/h] en 15,0 [s], que es el tiempo que tarda en dar

la curva. El radio de la curva es de 150 [m]. Calcular la aceleración en el momento en que

el tren alcanza la rapidez de 50,0 [km/h].

5.53. Un corredor en una pista circular, cuyo radio mide 0,250 [km], corre una distancia de 1 [km]. ¿Qué ángulo barre el corredor en: a) radianes y b) grados?

5.54. Sea un disco que gira a 45 [rpm]. Calcular las velocidades angular y lineal de todos los

puntos del disco que disten 1 [cm] del centro de rotación.

5.55. Un coche se mueve a 72 [Km/h], frena y se detiene después de recorrer 40 [m]. Si las ruedas tienen un diámetro de 50 [cm], calcular la aceleración angular, el tiempo que tarda

en pararse, el número de vueltas que las ruedas y el ángulo que barren.

5.56. Un automóvil alcanza una velocidad de 100 [km/h] a partir del reposo en 6,5 [s].

Suponiendo que está equipado con neumáticos radiales de 50 [cm] de diámetro. Calcular la aceleración tangencial y angular desarrollada por un punto ubicado en el extremo de los

neumáticos.

5.57. La manecillas del horario, el minutero y el segundero de un reloj tienen 0,25 [m], 0,30

[m] y 0,35 [m] de longitud, respectivamente. ¿Qué distancias recorren las puntas de las

agujas en un intervalo de 30 [min]?

5.58. Un cable eléctrico de 0,75 [cm] de diámetro se enrolla en un carrete con radio de 30 [cm]

y largo de 24 [cm].

a) ¿Cuantos radianes debe girarse el carrete para enrollar una capa uniforme de cable

de un extremo al otro? b) ¿Qué longitud tiene el cable enrollado?

5.59. Un niño hace rodar una pelota sobre un piso plano una distancia de 5,5 [m] hasta donde

se encuentra otro niño. Si la pelota describe 15 [rev]. ¿Cuál será el diámetro de la pelota?


148

5.60. Dos poleas, de radios 10 [cm] y 20 [cm], giran unidas por una correa transmisora.

Calcular: sus períodos, frecuencias, velocidades angulares y velocidades lineales de puntos ubicados en sus bordes, si la segunda polea gira a 600 [rpm].

5.61. Una polea de 45,7 [cm] de diámetro, gira a 300 [rpm]. ¿Cuál será la rapidez de la correa

de transmisión (velocidad lineal) suponiendo que no hay deslizamiento? La correa pasa a

una segunda polea, girando está a 400 [rpm]. ¿Cuál será el diámetro de la segunda polea?

5.62. En el sistema de engranajes de la figura, en el que el engranaje

pequeño (motriz) tiene 15 dientes y el grande (conducido) 60

dientes:

a) ¿En qué sentido gira el engranaje conducido si el motriz gira en el sentido de las agujas del reloj?. Dibuja los

sentidos de los movimientos.

b) ¿A qué velocidad va el conducido si el motriz gira a 100

[rpm]?

c) Hallar la relación de transmisión. d) Si el motriz da 20 vueltas, ¿cuántas vueltas da el conducido?

e) Si el conducido da 20 vueltas, ¿cuántas da el motriz?

f) El mecanismo, ¿es reductor o multiplicador de velocidad? ¿Por qué?

5.63. Calcular la frecuencia angular del disco “F” que proporciona el siguiente mecanismo, cuando la polea motriz “A” gira a 120 [rpm]. Datos: RA = 15 [cm]; RB = 20 [cm]; RC = 10

[cm]; RD = 12 [cm]; RE = 25 [cm]; RF = 30 [cm].

5.64. Calcular el diámetro que ha tener la polea motriz de un mecanismo de transmisión simple,

así como su velocidad de giro, sabiendo que la polea conducida gira a 250 [rpm] y tiene un diámetro de 80 [mm], y que la relación de transmisión del sistema es de 1 a 4.

5.65. Para los discos de la figura 5.39, determinar la velocidad con que

el bloque “Q” se desplaza, si se sabe que: 𝜔𝐷 = 8 [𝑟𝑎𝑑

𝑠], y RA = 20

[cm], RB = 40 [cm], RC = 15 [cm], RD = 10 [cm], RE = 25 [cm].

5.66. En un sistema de engranajes se sabe que la rueda conducida de 45 dientes gira a 500

[rpm]. Calcular la velocidad de giro de la rueda motriz de 15 dientes y la relación de

transmisión del sistema.

A B C D EF

A

B

C

D

E

Q

Figura 5.37

Figura 5.38

Figura 5.39


149

5.67. Un sistema reductor está formado por un motor cuyo eje

es de 2 [mm] de diámetro unido mediante correa una polea de 8 [mm] de diámetro, solidaria a esta última hay

otra polea de 4 [mm] de diámetro que está unida

mediante correa a otra de 12 [mm]. Calcular la velocidad

de esta última si el motor gira a 2 000 [rpm].

5.68. Un sistema reductor está formado por un tornillo sin-fin de una entrada acoplado a un

motor que gira a 400 [rpm] el sin-fin engrana con una rueda dentada de 50 dientes.

Calcular la velocidad a la que gira la rueda dentada.

5.69. En el sistema de engranajes de la figura, el engranaje motriz tiene 20 dientes, el loco 10 dientes y el conducido

60 dientes.

a) ¿En qué sentido gira el engranaje conducido si el

motriz gira en el sentido de las agujas del reloj?

Dibuja los sentidos de los movimientos. b) ¿Qué función cumple el engranaje loco?

c) ¿A qué velocidad angular va el engranaje

conducido si el engranaje motriz gira a 120

[rpm]? ¿Y el loco? d) Hallar la relación de transmisión total del mecanismo.

e) Si el motriz da 60 vueltas, ¿cuántas vueltas da el conducido?, ¿y el loco?

f) Si el conducido da 60 vueltas, ¿cuántas da el motriz?. ¿Y el loco?

g) El mecanismo, ¿es reductor o multiplicador de velocidad? ¿Por qué?

5.70. En el tren de engranajes de la figura con:

𝑓𝐴 = 20 [𝑟𝑝𝑚]; 𝑛𝐴 = 50 [𝑑𝑖 𝑛𝑡 𝑠]; 𝑛𝐵 = 20 [𝑑𝑖 𝑛𝑡 𝑠]; 𝑛𝐶 = 60 [𝑑𝑖 𝑛𝑡 𝑠]; 𝑛𝐷 = 40 [𝑑𝑖 𝑛𝑡 𝑠]

a) Indicar con flechas el sentido de giro de cada engranaje si el motriz “A”, gira en

sentido contrario a las agujas del reloj.

b) ¿A qué velocidad giran los engranajes del centro?

c) ¿A qué velocidad va el conducido? d) Hallar la relación de transmisión total del mecanismo.

e) Si el motriz da 60 vueltas, ¿cuántas vueltas da el conducido?.

f) Si el conducido da 60 vueltas, ¿cuántas da el motriz?.

g) El mecanismo, ¿es reductor o multiplicador de velocidad? ¿Por qué?

MA

BC

Figura 5.41

Figura 5.42

Figura 5.40


150

][25 cmd C

][10 cmd A

][35 cmd D

][15 cmd B

A

A

B

BCC

D

D

5.71. Calcular las velocidades de salida que proporciona

en el taladro el siguiente mecanismo de cono escalonado de poleas, el motor gira a 1050 [rpm].

5.72. En el siguiente sistema de poleas, calcular el número de vueltas que da “F” cuando “A” da

48 vueltas. Calcular también la relación de transmisión del sistema.Los diámetros en [mm] son: Da = 10, Db = 40, Dc = 20, Dd= 40, De= 20, Df= 60.

5.73. Se tiene un tren de engranajes compuesto de tres ejes:

“X”, “Y” y “Z”, con el engranaje “A” simple actuando como

engranaje motor y dos engranajes“BC” y “DE”. Los engranes “A”, y “C” tienen 12 dientes y los engranajes “B”

y “D” 48 dientes. Si el engranaje “A” gira a 600 [rpm],

calcular la velocidad del eje Z y la relación de velocidades

total.

5.74. El joven David, quien venció a Goliat, practicaba con ondas antes de derribar al gigante. Descubrió que con una onda de 0,60 [m] de longitud, podía girarla a razón de 8,0 [rev/s].

Si hubiera incrementado la longitud a 0,90 [m], podría haber hecho girar la onda solo 6

veces por segundo.

a) ¿Cuál será la velocidad angular que da la velocidad lineal más alta? b) ¿Cuál es la aceleración centrípeta a 8,0 [rev/s]?

c) ¿Cuál es la aceleración centrípeta a 6,0 [rev/s]?

5.75. Una pelota atada a un hilo gira en un círculo horizontal de 5 [cm] de radio con la rapidez

constante de 15 [cm/s]. Calcular su aceleración en un instante cualquiera, así como la velocidad angular.

A

B C D E

F

A B C D E

Eje X Eje Y Eje Z

Figura 5.43

Figura 5.44

Figura 5.45


151

5.76. Una rueda de Chicago tiene un diámetro de 35 [m], parte del reposo

y alcanza su rapidez tangencial de operación máxima de 2,2 [m/s] en un tiempo de 15 [s]. Determine su aceleración total final.

5.77. Un automóvil parte del reposo con aceleración constante de 3 [m/s2] durante 3 [s].

Después de este tiempo mantiene su velocidad. Si el radio de sus ruedas es de 25 [cm],

calcular:

a) La velocidad angular de las ruedas en t = 1 [s] y en t = 5 [s]

b) La aceleración angular de las ruedas mientras el conductor acelera.

5.78. Una partícula gira con MCUV, para un instante indicado en la figura

(θ = 53°), su velocidad es de 20 [m/s] y su aceleración total de 30 [m/s2]. Determinar su aceleración tangencial, aceleración

centrípeta, velocidad y aceleración angular.

5.79. La luna, en su movimiento alrededor de la tierra, describe una

trayectoria circular de radio 3,84*108 [m]. Calcular la velocidad y la aceleración centrípeta

sabiendo qué el período de la luna T = 27 [día] 7 [h] 43,7 [min].

5.80. Una rueda de 1 [m] de radio está girando alrededor de su eje con una velocidad angular

inicial de 4 [rad/s] y una aceleración angular de 2 [rad/s2]. Calcular al cabo de 10 [s] la

velocidad angular, la velocidad tangencial, la aceleración tangencial, la aceleración normal

y el módulo de la aceleración total.

5.81. Una partícula se mueve por un circulo de 2/ [cm] de radio con una aceleración tangencial

constante “𝑎”. Hallar la aceleración centrípeta de esta partícula al cabo de 20 [s] de haber

comenzado a moverse, sabiendo además que al finalizar la quinta vuelta su velocidad

tangencial fue de 10 [cm/s].

5.82. La Tierra rota uniformemente con respecto a su eje con una velocidad angular ω = 7,27*10-5 [rad/s]. Encontrar en función

del ángulo θ (latitud), la velocidad angular y la aceleración de un

punto “P” sobre la superficie terrestre. (RT = 6 378 [km])

5.83. Un automóvil, cuyo velocímetro indica en todo instante 72 [km/h], recorre el perímetro de una pista circular en un minuto. Determinar el radio de la misma.

Si el automóvil tiene aceleración, determinar su módulo, dirección y sentido.

5.84. Un auto de fórmula uno recorre una curva de radio 50 [m] a “3 g”, ¿a qué velocidad toma

la curva? Aclaración: una aceleración “3 g”, significa que la aceleración centrípeta es tres

veces la aceleración gravitatoria.

5.85. Un avión que vuela a una velocidad de 400 [m/s] puede experimentar, dentro de los

límites de seguridad, una aceleración de 8 veces la aceleración de la gravedad cuando

toma una curva. ¿Cuánto tarda el avión en girar 180° en ese caso?

r

R

R

P

Ta v

Figura 5.46

Figura 5.47


152

5.86. El atleta que se muestra en la figura 5.47 hace girar un disco

de 1,00 [kg] a lo largo de una trayectoria circular de 1,06 [m] de radio. La rapidez máxima del disco es 20,0 [m/s].

Determine el módulo de la aceleración normal máxima del

disco.

5.87. El cilindro mostrado en la figura 5.48, gira con velocidad angular constante. Una partícula se deja caer por el canal vertical mostrado, y

al salir de ella el cilindro barrio un ángulo de giro igual a 20 [rad]. ¿Con

qué velocidad total sale la partícula del canal?, despreciar todo efecto

de rozamiento r = 1 [m], h = 5 [m].

5.88. Desde qué altura se debe dejar caer una piedra para que pase por

el agujero del disco mostrado en la figura 5.49, cuando este haya

dado 3 vueltas. La velocidad angular del disco es de 6 [rad/s].

5.89. Un automóvil parte del reposo con aceleración constante de 3 [m/s2] durante 3 [s].

Después de ese tiempo mantiene su velocidad. Si el radio de sus ruedas es de 25 [cm],

calcular:

a) La velocidad angular de las ruedas en t = 1 [s] y en t = 5 [s] b) La aceleración angular de las ruedas mientras el conductor acelera.

5.90. En una competencia de aeromodelismo, un avioncito

describe un MCU en un plano vertical de 10 √2 [m] de

radio, al pasar por “A” suelta un paquete. ¿Cuál deberá ser la velocidad angular que debe mantener el avioncito a

partir de dicho instante con la finalidad de reencontrarse

con el paquete cuando éste llegue al punto “B” del plano

horizontal que pasa por “A”?

H

][

5m

r

A

45

B

Figura 5.48

Figura 5.49

Figura 5.50

Figura 5.51


153

5.91. Un balde con agua gira en un plano horizontal con un

período de 3 𝜋

2 [s], y va derramando gotas de forma que

estas forman un círculo de radio “R” en el piso. Si la

longitud es L = 5 [m], AB = 9 [m] y = 36,87°.Calcular

“R”.

5.92. ¿Con qué velocidad tangencial deberá girar un punto situado en la periferia de una

plataforma circular para que un hombre que parte de dicho punto, siguiendo una

trayectoria rectilínea con una velocidad constante de 7,2 [km/h], llegue a un punto

diametralmente opuesto después que la plataforma haya dado una revolución sobre su eje?

5.93. Una hormiga parte desde el borde de una plataforma de 33 [cm] de

radio, y con un movimiento uniformemente acelerado a razón de 2

[cm/s2], desplazándose hacia el centro. La plataforma gira con una velocidad angular constante de 3 [rad/s]. ¿Al cabo de que tiempo

como mínimo la velocidad de la hormiga será 26 [cm/s] con

respecto a la tierra?

5.94. Un estudiante de Física hace girar una pelota con MCU en un círculo de 50 [cm]. de radio. El círculo está a una

altura de 2 [m] sobre el piso. Repentinamente la

cuerda se rompe y la pelota sale despedida

horizontalmente cayendo en el piso a una distancia de 10 [m] del punto donde se rompió la cuerda. ¿Con que

rapidez angular estaba girando la pelota?

5.95. La figura 5.54, muestra una rueda de chicago de radio igual a 10

[m], la cual gira con una rapidez angular constante de /4 [rad/s].

Si Pedro que se encuentra en la rueda en el punto “A” y en ese

instante María le lanza desde el suelo un balón en dirección vertical,

y Pedro recibe el balón en el punto “B”, encontrar la velocidad con la que fue lanzado el balón.

R

L

B

A

C

A Br

r

Figura 5.52

Figura 5.53

Figura 5.54

Figura 5.55

xr

R


154

5.96. Se dispara una bala con una velocidad de 200 [m/s] contra un

cascarón esférico que gira con movimiento uniforme respecto a un eje vertical. Sabiendo que el radio del cascarón es de 2 [m],

calcular con qué velocidad angular mínima deberá girar el

cascarón para que el proyectil haga un solo agujero. La dirección

del movimiento de la bala pasa por el centro de la esfera.

5.97. En la figura el cilindro gira a razón de 180 [rpm], el cilindro es

hueco de 3 [m] de largo. Si se dispara un proyectil por una de

sus bases, perfora a la otra base luego de que el cilindro ha

girado 8°, hallar la velocidad de la bala.

5.98. Para medir la velocidad del perdigón disparado por una

carabina de aire comprimido puede emplearse el

método de la figura: un motor hace girar a 10 [rps] una

varilla con dos discos de papel, graduados

angularmente y separados una distancia d = 2,5 [m].

Al disparar en paralelo a la varilla, el perdigón perfora

los dos discos en los puntos “A” y “B”, situados a

ángulos = 74º y = 110º respecto a la vertical.

Calcular la velocidad “v” del perdigón.

5.99. Una piedra en el extremo de una cuerda se hace girar en un

circulo vertical de 1,20 [m] de radio a una velocidad velocidad angular 𝜔 = 1,25 [𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ ], como muestra la figura. El centro de la

cuerda se encuentra 1,50 [m] sobre el piso. ¿Cuál es el alcance

horizontal de la piedra si se soltara cuando la cuerda esta inclinada a 30,0° respecto de la horizontal:

a) ¿En “A”?

b) ¿En “B”?

5.100. En el sistema mecánico el disco “A” tiene una velocidad angular inicial de 10 [rad/s] y una aceleración angular de 5

[rad/s2]. Inicialmente los bloques están en separados 50 [cm]

en la vertical. Determinar el tiempo para cuando ambos

bloques estén separados por 20 [cm].

h

AB

C

0v

0v

3030

AB

v

AB

Figura 5.56

Figura 5.57

Figura 5.58

Figura 5.59

Figura 5.60


155

C R

r

5.101. Una rueda tiene 10 rayos y un radio de 25,0 [cm]. Está montada

sobre un eje fijo horizontal y gira a razón de 3,6 [rps]. Se dispara una flecha de 38,0 [cm] de longitud paralela al eje y a través de la

rueda sin tocar ninguno de los rayos. Suponiendo que la flecha y

los rayos son muy delgados. ¿Qué rapidez mínima debe tener la

flecha para pasar a través de la rueda sin tocarla?

5.102. Un automóvil con rapidez uniforme de 15 [m/s]

gira en un círculo donde el diámetro de revolución

de las ruedas externas es de 80 [m]. Si las ruedas

tienen un diámetro de 70 [cm], hallar la velocidad angular total para dichas ruedas.

5.103. Una piedra trabada entre las llantas dobles de un camión que

se mueve a 60 [km/h], se desprende justo en el punto más

alto de su recorrido. ¿con que velocidad sale despedida la

piedra?

A

B

C

Bv

Cv

Figura 5.61

Figura 5.62

Figura 5.63


156

Capítulo 5 Movimiento circular

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