CAPÍTULO XIII Deflexión de Vigas - USACH...Resistencia de Materiales. Capítulo XII. Deflexión de...
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Resistencia de Materiales. Capítulo XII. Deflexión de vigas
Universidad de Santiago de Chile. Fac. de Ingeniería. Departamento de Ing. Metalúrgica. 12-1
CAPÍTULO XIII
Deflexión de Vigas
12.1.- Deformaciones en un elemento simétrico sometido a flexión pura.
Sea un elemento prismático con un plano de simetría y sometido a dos momentos M y
M’ (actúan en el plano de simetría)
M’
M
B
B'D
A
C
M’M
Curvatura constante
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Θ
B’x
y
B
E
K
A’
D
A
J
C
y
y
LDE L
'LJK 'L
Deformación de JK yyLL '
LLx
Definición Máximo
m
m
cc
cc mx
m
x
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C
m
y
x
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12.2.- Esfuerzos en un elemento simétrico sometido a flexión pura en el rango elástico.
xx E
Pero c
ymx
c
yE m
x
mxc
y ximoEsfuerzoMám
C
m
y
x
Para hallar la superficie neutra se hace 0xF
0ydAc
dAc
ydA m
mx
0ydA
El momento de cualquier área dA respecto del eje neutro es:
dMdAy x
EI momento total será:
MdAy x
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MdAc
yy m
MdAyc
m 2
I
Mcm Ecuación de flexión elástica
I
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Pero: mxc
y
I
Myx Ecuación de flexión elástica
A demás c
E
c
cm
m
m
1
EI
M
EIc
Mc
1
EI
M
1
Pero 2
12
2
2
1
1
dx
dy
dx
yd
2
21
dx
yd
EI
M
dx
yd
2
2
Mdx
ydEI
2
2
Ejemplo 1 . Hallar la ecuación de la curva elástica de la viga.
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RL
M
P
MPL
RP
PL=M
MV
x
P
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0VP PV
0 MVxPL PLVxM
PLVxdx
ydEI
2
2
1
2
2CPLx
Vx
dx
dyEI
En 0x ; 0'y ; 10 C
PLxPx
PLxVx
dx
dyEI
22
22
2
23
26C
xL
xPyEI
En 000 2 Cyx
Por tanto:
26
23 xL
x
EI
Py
Ejemplo 2. Hallar la ecuación de la curva elástica de la viga.
AB
W
L
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A
WX
X
V M
2
wL
0 AM
02
MVxx
wx 2
2
xwVxM
xLwxwx
xwLx
wxxL
wM
22222
22
xMdx
ydEI
2
2 dxxL
wx
dx
dyEI 2
EI 21
42
2412CxC
wxL
wx
dx
dy
21
43
2412CxC
wxL
wxyEI
en 0x 0y 02 C
Lx 0y 02412
1
44
LCwLwL
24242412
3333
1
wLwLLw
LwC
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x
wLwxL
wx
EIy
242412
1 343
Determinación del punto mínimo (flecha)
242412
343 xLxLx
EI
wy
0,y 02424
4
12
3 332
LxLx
046 332 LxLx
2/Lx es solución
2
1
16
1
4
1
244824161282/
4443
EI
wLLLLL
EI
wLy
EI
WL
384
5 4
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12.3. Vigas Estáticamente Indeterminadas
Viga estáticamente indeterminada de primer grado contiene una reacción resultante.
Ejemplo:
A
Ay
Ax
MB
B
Hay tres ecuaciones 0xF 0yF 0M
)(2
2
xMdx
ydEI permite calcular y = f(x)
Hay dos condiciones de contorno 0y en 0x
0y en Lx
Hay una condición de contorno para 'y en 0x 0'y
Total : 6 ecuaciones Incógnitas: 21,,,, CCMAA yx
Esto significa que las seis incógnitas pueden ser obtenidas a partir de las condiciones
planteadas.
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Ejemplo: Hallar las reacciones
0xF 0xA
0yF 0 wLBAy
0M 02
2
L
wLBM A
BLL
wM A 2
2
0 VwxAy wxAV y
0 AM
02
2
x
wVxMM A
AMx
wVxM 2
2
Ay Mx
wwxxAM 2
22
Ay MwxxAdx
ydEI 2
2
2
2
1
1
32
6
1
2CxMwx
xA
dx
dyEI Ay
en 0x ; 0'y 01 C
Ay
AxB
MA
Ay
AxMA
x
M
V
w
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2
24
3
224
1
6C
xMwx
xAyEI Ay
en 0x ; 0y 02 C
Lx ; 0y 2246
0243 L
MwLL
A Ay
1232462
22 wLLAM
wLLAM
y
AyA
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wLBAy yAwLB
02
2
L
wBLM A
0123
2
L
wLA
My
A
2
22 L
wLAwLM yA
123
2Lw
LAM
y
A
1223
22
2 wLwL
wLLALA yy
12
1126
12
11
2
11
3
1wLwLAy
12
2
3
2wLAy
2
3
12
5 wLAy
wLAy
8
5
wLBwLwLwLAwLB y
8
3
8
51
8
5
88
3
2
1
8
3
22
222
22 wLwLwL
wLBL
wLM A
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12.2.- Relación entre carga, momento flector y fuerza cortante
a) Carga y fuerza cortante
Sea una viga sometida a una distribución de carga
A BC C’
Al considerar un segmento de viga, se tiene:
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VV MM
xW
M V
0 yF 0 xwVVV
wdx
dVw
x
VVV
wdxdV
Al integrar entre C y D se obtiene
D
C
x
xCD
D
CwdxVVdV
CD VV Área bajo la curva de carga entre C y D
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b) Fuerza cortante y momento flector
0, C
M
02
xxwxVMMM
2
2x
wxVM
O bien
2
2x
wxVMMM
xw
Vx
MMM
2
Si 0x
Vdx
dM
Al integrar entre C y D
D
C
D
CVdxdM
D
C
x
xCD VdxMM
= área bajo la curva de fuerza cortante entre C y D
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xfy Hallar
Determinación directa de la curva elástica a partir de la distribución de
carga.
EI
xM
dx
yd
2
2
Dado que dx
dVw y
dx
dMV
Se tiene
xEI
w
dx
yd
dx
dM
EIdx
yd
3
3
3
3 1
xEI
w
dx
yd
dx
dV
EIdx
yd
4
4
4
4 1
Vdx
ydEI
3
3
wdx
ydEI
4
4
Ejemplo
AB
W
wdx
ydEI
4
4
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xVCwxdx
ydEI
e
13
xMCxCwx
dx
ydEI
21
2
2
2
2
32
2
1
3
26CXC
xC
wx
dx
dyEI
43
2
2
3
1
4
2624CxC
xC
xC
wxyEI
En 0x 0M
Lx 0M
02 C
2
02
11
2 wLCLC
wL
43
34
1224
1CxCx
wLwx
EIxy
En 0x 0y
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Lx 0y
241224
333 wLwLwL
x
wLx
wLwx
EIY
241224
1 33
4
241224
334 xLLxx
EI
wy