Caratula Tarea 1 - s2dafb5a6c88b326c.jimcontent.com · 1.3 Usando MatLab o Winplot, represente 6...

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRICA

FISICA III

CICLO: 2009-A

DOCENTE:

JUAN MENDOZA NOLORBE TEMA:

TAREA Nº 1 - POTENCIAL ELECTRICO CAMPO ELECTRICO

TURNO:

01T

ALUMNOS:

CHUCARI MARTINEZ, Jorge Jesús 072570 I GAMARRA QUISPE, Saúl Abel 072567H

HUAMANI QUISPE, Miuller Alexander 072047D

LIMA - PERU

JUNIO - 2009 SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N

Universidad Nacional del Callao Escuela Profesional de Ingeniería Eléctrica Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Ciclo 2009-A

Física III Tarea Nº 1 – Potencial Eléctrico - Campo Eléctrico

1

ÍNDICE GENERAL

1. PROBLEMA Nº 1 ................................................................................................. 2

2. PROBLEMA Nº 2 ............................................................................................... 10

3. PROBLEMA Nº 3 ............................................................................................... 26

4. ANEXOS ............................................................................................................ 41

5. BIBLIOGRAFIA ................................................................................................. 42

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



2

POTENCIAL ELECTRICO - CAMPO ELECTRICO

1. PROBLEMA Nº 1

Dos cargas puntuales de 20 Cμ+ y 80 Cμ− están ubicada sobre el eje x , en las posiciones

10x cm=− y 10x cm=+ .

1.1 Expresar el potencial eléctrico ( , )V x y , en un punto cualquiera del plano XY .

1.2 Utilizar el resultado anterior y calcular la intensidad del campo eléctrico ( , )E x y en dicho punto.

1.3 Usando MatLab o Winplot, represente 6 curvas equipotenciales y dibuje las líneas de campo eléctrico para esta configuración de cargas.

Resolución 1.1:

Ubicaremos las cargas puntuales en el sistema de coordenadas y el Punto ( , )P x y tal como se muestra en la figura Nº 1

Fig. Nº1: cargas puntuales – P(x,y)

El potencial eléctrico esta determinado por:

( , ) 1 2x yV V V= +

Donde:

( , ) :x yV El potencial eléctrico en un punto ( , )P x y

1 :V El potencial eléctrico de la carga puntual 1Q

2 :V El potencial eléctrico de la carga puntual 2Q

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



3

Cálculo del Potencial eléctrico de la carga “ 1Q ”

Fig. Nº2: Carga puntual 1Q – P(x,y)

• 11 ;ek QV

r=

1

( ; )

( 10;0)pr x y

r

=

= −

uur

ur ; 2 2( 10)r x y= + + 11 2 2

( 10)

ek QVx y

⇒ =+ +

Cálculo del Potencial eléctrico de la carga “ 2Q ”

Fig. Nº3: Carga puntual 2Q – P(x,y)

• 22 ;ek QV

r=

2

( ; )

(10;0)pr x y

r

=

=

uur

ur ; 2 2( 10)r x y= − + 22 2 2

( 10)

ek QVx y

⇒ =− +

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



4

Reemplazado en ( , ) 1 2x yV V V= +

1 2( , ) 2 2 2 2( 10) ( 10)

e ex y

k Q k QVx y x y

= ++ + − +

9 2 28.9876.10 .ek N m C=

1 20Q Cμ= + 2 80Q Cμ= −

x =Ubicación del punto ( , )P x y en eje “ x ” y = Ubicación del punto ( , )P x y en eje “ y ”

1 2( , ) 2 2 2 2( 10) ( 10)x y e

Q QV kx y x y

⎛⎛ ⎞⎜⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ + + − +⎝ ⎠⎝

( )9 2 6 6

( , ) 2 2 2 2 2 2

8.9876.10 . 20.10 80.1010 ( 10) ( 10)

x yN m C CV

C m x y x y

− −

−

⎛⎛ ⎞⎜⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ + + − +⎝ ⎠⎝

( )9 2 6

( , ) 2 2 2 2 2 2

8.9876.10 . .20.10 1 410 ( 10) ( 10)

x yN m CV

C m x y x y

−

−

⎛⎛ ⎞⎜⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ + + − +⎝ ⎠⎝

5( , ) 2 2 2 2

1 4179.752 10( 10) ( 10)

x yV x Vx y x y

⎛⎛ ⎞⎜⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ + + − +⎝ ⎠⎝

Resolución 1.2:

De la expresión anterior hallaremos la intensidad de campo eléctrico que esta dada por la expresión:

V V VE V i j kx y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= −∇ = − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

en coordenadas rectangulares

Las cargas puntuales y el Punto ( , )P x y se encuentran en el sistema de coordenadas ,x y la expresión queda de la siguiente forma:

( )( , )x y x yV VE V E E i jx y

⎛ ⎞∂ ∂= −∇ = − + = − +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

5( , ) 2 2 2 2

1 4179.752 10( 10) ( 10)

x yV x Vx y x y

⎛⎜= −⎜ + + − +⎝

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



5

Cálculo del Campo eléctrico “ xE ”

( )( ) ( ) ( )( ) ( )3 3

2 22 25 2 21 1179.752 10 10 .2 10 4 10 .2 102 2x

VE i x x y x x y x ix

− −⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − + + + − − − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( )( ) ( ) ( )( ) ( )3 3

2 22 25 2 2179.752 10 10 10 4 10 10xVE i x x y x x y x ix

− −⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − + + + + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Cálculo del Campo eléctrico “ yE ”

( )( ) ( )( )3 3

2 22 25 2 21 1179.752 10 10 .2 4 10 .22 2y

VE j x x y y x y y jy

− −⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − + + − − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( )( ) ( )( )3 3

2 22 25 2 2179.752 10 10 4 10yVE j x x y y x y y jy

− −⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − + + + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Reemplazando en:

( )( , )x y x yV VE V E E i jx y

⎛ ⎞∂ ∂= −∇ = − + = − +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

( )( ) ( ) ( )( ) ( )3 3

2 22 25 2 2( , ) 179.752 10 10 10 4 10 10x yE x x y x x y x i

− −⎛ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + + + + − + −⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝

( )( ) ( )( )3 3

2 22 25 2 2179.752 10 10 4 10x x y y x y y j− − ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ − + + + − + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎠

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 25 2 2 2 2( , ) 179.752 10 10 10 4 10 10 10 4 10x yE x x y x x y x i y x y x y j

− − − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + − − + − + + + − − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



6

Resolución 1.3:

Trabajando en MatLab, ingresamos la formula del Potencial eléctrico.

Fig. Nº4: Programa MatLab

Esto nos desarrolla una seria de graficas que podemos ver a continuación las curvas equipotenciales:

Fig. Nº5: Curva Equipotencial

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



7

Fig. Nº6: Curva Equipotencial 3D

Fig. Nº7: Curva Equipotencial 3D

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



8

Ahora para poder graficar las líneas de campo eléctrico en MatLab se ejecuta:

Fig. Nº8: Escribiendo algoritmos en MatLab

Esto nos ejecuta unas líneas perpendiculares de color azul como se muestra en la figura Nº 9

Fig. Nº9: Líneas perpendiculares

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



9

Escogiendo un rango mas pequeño para visualizar mejor las líneas de Campo eléctrico tenemos:

Fig. Nº10: Líneas de campo eléctrico

Fig. Nº11: Líneas de campo eléctrico

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



10

2. PROBLEMA Nº 2

Una carga esta uniformemente distribuida con una densidad de 100 3/C cmμ en todo el

volumen de un cubo de lado 10cm

2.1 Determinar el potencial eléctrico a una distancia de 5cm del centro de una de las caras del cubo, medida a lo largo de una perpendicular de la cara. Determinar el potencial con cuatro dígitos significativos. Utilice un método numérico que divida el cubo en un número suficiente de cargas de cubos menores y que puedan ser tratados como cargas puntuales.

Las consideraciones simétricas reducirán el cálculo

2.2 Si la carga del cubo se distribuye uniformemente en una esfera con el mismo centro que el cubo ¿Cuánto cambiara el potencial?

Resolución 2.1:

Potencial eléctrico de un cubo:

El potencial esta dado por la siguiente formula:

k qeVr

=

:ek Constante de Coulomb 9 2 28.9876.10 .N m C :q Carga puntual (C ), :r Distancia ( m ) de la cara del cubo al

punto (0; ;0)P y es 5cm , pero desde el centro de Coordenadas se le agregará 5cm del lado del cubo 10lado cm=

La carga en un cubo, ahora se distribuye en una esfera:

q Vρ=

( )( )36 3100 10 0.1q x C m m−= 710q C−=

Reemplazando datos:

( )9 2 7

2

8.9876.10 . 100.1N m x CV

C m

−

=

8987 V V=

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



11

Potencial eléctrico divido en 8 cubitos:

El potencial eléctrico a una distancia de 5cm del centro de una de las caras del cubo, medida a lo largo de una perpendicular de la cara esta determinado por

TV Va Vb= +

Donde:

:TV El potencial eléctrico total :Va Potencial de la Fila “a” :Vb Potencial de la Fila “b”

Cálculo del Potencial de la Fila “a”

Analizaremos la fila “a” y calcularemos el potencial en un pequeño cubo 1 de ahí se multiplicará por 4 debido a que tienen la misma distancia y el mismo potencial

11

;ea

a

k qVr

= 1

(0; ;0)

( ; ; )p

a

r y

r R R R

=

=

uur

uur ; 2 21 ( ) 2ar y R R= − +

2 2

4 ( ) 2

ea

k qVy R R

⇒ =− +

Cálculo del Potencial de la Fila “b”

De la misma manera calcularemos el potencial, se multiplicará por 4 debido a que tienen la misma distancia y el mismo potencial, a comparación de la fila “a” varia en el signo

11

;eb

b

k qVr

= 1

(0; ;0)

( ; ; )p

b

r y

r R R R

=

= −

uur

uur ; 2 21 ( ) 2br y R R= + +

2 2

4 ( ) 2

eb

k qVy R R

⇒ =+ +

Reemplazado en TV Va Vb= +

4 48 2 2 2 2( ) 2 ( ) 2

T

k qeVy R R y R R

⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟− + + +⎝ ⎠

9 2 28.9876.10 .ek N m C=

( )( )36 3 7100 10 0.1 10q x C m m C− −= = Pero el cubo esta divido en 8 cubitos 10y cm= Distancia de la cara del cubo al punto (0; ;0)P y es 5cm , pero desde el centro de coordenadas se le agregará 5cm del lado total del cubo 10cm

2.5r R cm= = ; El lado del cubo es 10 4cm R=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

9 2 7

2 2 2 2 2 2

8.9876.10 . 10 4 48 10 10 2.5 2 2.5 10 2.5 2 2.5

TN m x CV

C m

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟− + + +⎝ ⎠

8878.463 TV V=

8878 TV V=

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



12



TV Va Vb Vc= + +

Donde:

:TV El potencial eléctrico total :Va Potencial de la Fila “a” :Vb Potencial de la Fila “b” :Vc Potencial de la Fila “c”


El potencial de la fila “a” será 1 2 44 4a a a aV V V V= + + ; calcularemos el potencial de los pequeños cubos 1, 2, 3, 4 de donde 2 3V V=

• 11

;ea

a

k qVr

= 1

(0; ;0)

(2 ;2 ;2 )p

a

r y

r R R R

=

=

uur

uur ; 2 21 ( 2 ) 8ar y R R= − + 1 2 2

( 2 ) 8

ea

k qVy R R

⇒ =− +

• 22

;ea

a

k qVr

= 2

(0; ;0)

(0;2 ;2 )p

a

r y

r R R

=

=

uur

uur ; 2 22 ( 2 ) 4ar y R R= − + 2 2 2

( 2 ) 4

ea

k qVy R R

⇒ =− +

• 44

;ea

a

k qVr

= 4

(0; ;0)

(0;2 ;0)p

a

r y

r R

=

=

uur

uur ; 24 ( 2 )ar y R= − 4

2e

ak qV

y R⇒ =

−

1 2 44 4a a a aV V V V+= +

2 2 2 2

4 4 12( 2 ) 8 ( 2 ) 4

a eV k qy Ry R R y R R

⎛ ⎞⎜ ⎟= + +⎜ ⎟−− + − +⎝ ⎠

De la misma manera calcularemos el potencial en la fila “b”, “c”

2 2 2 2

4 4 18 4

b eV k qyy R y R

⎛ ⎞⎜ ⎟= + +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

2 2 2 2

4 4 12( 2 ) 8 ( 2 ) 4

c eV k qy Ry R R y R R

⎛ ⎞⎜ ⎟= + +⎜ ⎟++ + + +⎝ ⎠

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



13

Reemplazado en TV Va Vb Vc= + +

2 2 2 2 2 2 2 2

4 4 1 4 4 127 2( 2 ) 8 ( 2 ) 4 8 4

T

k qeVy R yy R R y R R y R y R

⎛⎜= + + + + +⎜ −− + − + + +⎝

2 2 2 2

4 4 12( 2 ) 8 ( 2 ) 4 y Ry R R y R R

⎞⎟+ + +⎟++ + + + ⎠

9 2 28.9876.10 .ek N m C=

( )( )36 3 7100 10 0.1 10q x C m m C− −= = Pero el cubo esta divido en 27 cubitos 10y cm=

10 6r R cm= = ; El lado del cubo es 10 6cm R=

8876.249 TV V=

8876 TV V=


Se dividirá el cubo en 64 partes, se tomará cada cubo como una carga puntual y se hallará el potencial total de dicho cubo sumando los potenciales de los cubos pequeños

Fig. Nº12: Cubo dividido en 64 partes

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



14

El lado del pequeño del cubo será representado por una longitud de 2R esto nos permitirá hacer los cálculos de la distancia sin mucha dificultad


TV Va Vb Vc Vd= + + +

Donde:

:TV El potencial eléctrico a una distancia de 5cm del centro de una de las caras del cubo.

:Va Potencial de la Fila “a”

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16a a a a a a a a a a a a a a a aVa V V V V V V V V V V V V V V V V= + + + + + + + + + + + + + + +

:Vb Potencial de la Fila “b” 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16b b b b b b b b b b b b b b b bVb V V V V V V V V V V V V V V V V= + + + + + + + + + + + + + + +

:Vb Potencial de la Fila “c”

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16c c c c c c c c c c c c c c c cVc V V V V V V V V V V V V V V V V= + + + + + + + + + + + + + + +

:Vb Potencial de la Fila “d” 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16d d d d d d d d d d d d d d d dVd V V V V V V V V V V V V V V V V= + + + + + + + + + + + + + + +

El potencial esta dado por la siguiente formula: ek qVr

=

:ek Constante de Coulomb 9 2 28.9876.10 .N m C :q Carga puntual (C ), pero esta divido en 64 cubitos :r Distancia ( m ) de la carga puntual a el punto P

La carga en un cubo esta determinado por:

q Vρ=

( )( )36 3 7100 10 0.1 10q x C m m C− −= = Pero el cubo esta divido en 64 cubitos

164ek qV

r⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



15



• 11

;ea

a

k qVr

= 1

(0; ;0)

(3 ;3 ;3 )p

a

r y

r R R R

=

=

uur

uur ; 2 21 ( 3 ) 18ar y R R= − + 1 2 2

( 3 ) 18

ea

k qVy R R

⇒ =− +

• 22

;ea

a

k qVr

= 2

(0; ;0)

(3 ;3 ; )p

a

r y

r R R R

=

=

uur

uur ; 2 22 ( 3 ) 10ar y R R= − + 2 2 2

( 3 ) 10

ea

k qVy R R

⇒ =− +

• 33

;ea

a

k qVr

= 3

(0; ;0)

(3 ;3 ; )p

a

r y

r R R R

=

= −

uur

uur ; 2 23 ( 3 ) 10ar y R R= − + 3 2 2

( 3 ) 10

ea

k qVy R R

⇒ =− +

• 44

;ea

a

k qVr

= 4

(0; ;0)

(3 ;3 ; 3 )p

a

r y

r R R R

=

= −

uur

uur ; 2 24 ( 3 ) 18ar y R R= − + 4 2 2

( 3 ) 18

ea

k qVy R R

⇒ =− +

• 55

;ea

a

k qVr

= 5

(0; ;0)

( ;3 ;3 )p

a

r y

r R R R

=

=

uur

uur ; 2 25 ( 3 ) 10ar y R R= − + 5 2 2

( 3 ) 10

ea

k qVy R R

⇒ =− +

• 66

;ea

a

k qVr

= 6

(0; ;0)

( ;3 ; )p

a

r y

r R R R

=

=

uur

uur ; 2 26 ( 3 ) 2ar y R R= − + 6 2 2

( 3 ) 2

ea

k qVy R R

⇒ =− +

• 77

;ea

a

k qVr

= 7

(0; ;0)

( ;3 ; )p

a

r y

r R R R

=

= −

uur

uur ; 2 27 ( 3 ) 2ar y R R= − + 7 2 2

( 3 ) 2

ea

k qVy R R

⇒ =− +

• 88

;ea

a

k qVr

= 8

(0; ;0)

( ;3 ; 3 )p

a

r y

r R R R

=

= −

uur

uur ; 2 28 ( 3 ) 10ar y R R= − + 8 2 2

( 3 ) 10

ea

k qVy R R

⇒ =− +

• 99

;ea

a

k qVr

= 9

(0; ;0)

( ;3 ;3 )p

a

r y

r R R R

=

= −

uur

uur ; 2 29 ( 3 ) 10ar y R R= − + 9 2 2

( 3 ) 10

ea

k qVy R R

⇒ =− +

• 1010

;ea

a

k qVr

= 10

(0; ;0)

( ;3 ; )p

a

r y

r R R R

=

= −

uur

uuur ; 2 210 ( 3 ) 2ar y R R= − + 10 2 2

( 3 ) 2

ea

k qVy R R

⇒ =− +

• 1111

;ea

a

k qVr

= 11

(0; ;0)

( ;3 ; )p

a

r y

r R R R

=

= − −

uur

uuur ; 2 211 ( 3 ) 2ar y R R= − + 11 2 2

( 3 ) 2

ea

k qVy R R

⇒ =− +

• 1212

;ea

a

k qVr

= 12

(0; ;0)

( ;3 ; 3 )p

a

r y

r R R R

=

= − −

uur

uuur ; 2 212 ( 3 ) 10ar y R R= − + 12 2 2

( 3 ) 10

ea

k qVy R R

⇒ =− +

• 1313

;ea

a

k qVr

= 13

(0; ;0)

( 3 ;3 ;3 )p

a

r y

r R R R

=

= −

uur

uuur ; 2 213 ( 3 ) 18ar y R R= − + 13 2 2

( 3 ) 18

ea

k qVy R R

⇒ =− +

• 1414

;ea

a

k qVr

= 14

(0; ;0)

( 3 ;3 ; )p

a

r y

r R R R

=

= −

uur

uuur ; 2 214 ( 3 ) 10ar y R R= − + 14 2 2

( 3 ) 10

ea

k qVy R R

⇒ =− +

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



16

• 1515

;ea

a

k qVr

= 15

(0; ;0)

( 3 ;3 ; )p

a

r y

r R R R

=

= − −

uur

uuur ; 2 215 ( 3 ) 10ar y R R= − + 15 2 2

( 3 ) 10

ea

k qVy R R

⇒ =− +

• 1616

;ea

a

k qVr

= 16

(0; ;0)

( 3 ;3 ; 3 )p

a

r y

r R R R

=

= − −

uur

uuur ; 2 216 ( 3 ) 18ar y R R= − + 16 2 2

( 3 ) 18

ea

k qVy R R

⇒ =− +


2 2 2 2 2 2

4 8 4( 3 ) 18 ( 3 ) 10 ( 3 ) 2

eVa k qy R R y R R y R R

⎛ ⎞⎜ ⎟= + +⎜ ⎟− + − + − +⎝ ⎠

Cálculo del Potencial de la Fila “b”

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16b b b b b b b b b b b b b b b bVb V V V V V V V V V V V V V V V V= + + + + + + + + + + + + + + +

• 11

;eb

b

k qVr

= 1

(0; ;0)

(3 ; ;3 )p

b

r y

r R R R

=

=

uur

uur ; 2 21 ( ) 18br y R R= − + 1 2 2

( ) 18

eb

k qVy R R

⇒ =− +

• 22

;eb

b

k qVr

= 2

(0; ;0)

(3 ; ; )p

b

r y

r R R R

=

=

uur

uur ; 2 22 ( ) 10br y R R= − + 2 2 2

( ) 10

eb

k qVy R R

⇒ =− +

• 33

;eb

b

k qVr

= 3

(0; ;0)

(3 ; ; )p

b

r y

r R R R

=

= −

uur

uur ; 2 23 ( ) 10br y R R= − + 3 2 2

( ) 10

eb

k qVy R R

⇒ =− +

• 44

;eb

b

k qVr

= 4

(0; ;0)

(3 ; ; 3 )p

a

r y

r R R R

=

= −

uur

uur ; 2 24 ( ) 18br y R R= − + 4 2 2

( ) 18

eb

k qVy R R

⇒ =− +

• 55

;eb

b

k qVr

= 5

(0; ;0)

( ; ;3 )p

b

r y

r R R R

=

=

uur

uur ; 2 25 ( ) 10br y R R= − + 5 2 2

( ) 10

eb

k qVy R R

⇒ =− +

• 66

;eb

b

k qVr

= 6

(0; ;0)

( ; ; )p

b

r y

r R R R

=

=

uur

uur ; 2 26 ( ) 2br y R R= − + 6 2 2

( ) 2

eb

k qVy R R

⇒ =− +

• 77

;eb

b

k qVr

= 7

(0; ;0)

( ; ; )p

b

r y

r R R R

=

= −

uur

uur ; 2 27 ( ) 2br y R R= − + 7 2 2

( ) 2

eb

k qVy R R

⇒ =− +

• 88

;eb

b

k qVr

= 8

(0; ;0)

( ; ; 3 )p

b

r y

r R R R

=

= −

uur

uur ; 2 28 ( ) 10br y R R= − + 8 2 2

( ) 10

eb

k qVy R R

⇒ =− +

• 99

;eb

b

k qVr

= 9

(0; ;0)

( ; ;3 )p

b

r y

r R R R

=

= −

uur

uur ; 2 29 ( ) 10br y R R= − + 9 2 2

( ) 10

eb

k qVy R R

⇒ =− +

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



17

• 1010

;eb

b

k qVr

= 10

(0; ;0)

( ; ; )p

b

r y

r R R R

=

= −

uur

uuur ; 2 210 ( ) 2br y R R= − + 10 2 2

( ) 2

eb

k qVy R R

⇒ =− +

• 1111

;eb

b

k qVr

11

(0; ;0)

( ; ; )p

b

r y

r R R R

=

= − −

uur

uuur ; 2 211 ( ) 2ar y R R= − + 11 2 2

( ) 2

eb

k qVy R R

⇒ =− +

• 1212

;eb

b

k qVr

= 12

(0; ;0)

( ; ; 3 )p

b

r y

r R R R

=

= − −

uur

uuur ; 2 212 ( ) 10br y R R= − + 12 2 2

( ) 10

eb

k qVy R R

⇒ =− +

• 1313

;eb

b

k qVr

= 13

(0; ;0)

( 3 ; ;3 )p

b

r y

r R R R

=

= −

uur

uuur ; 2 213 ( ) 18br y R R= − + 13 2 2

( ) 18

eb

k qVy R R

⇒ =− +

• 1414

;eb

b

k qVr

= 14

(0; ;0)

( 3 ; ; )p

b

r y

r R R R

=

= −

uur

uuur ; 2 214 ( ) 10br y R R= − + 14 2 2

( ) 10

eb

k qVy R R

⇒ =− +

• 1515

;eb

b

k qVr

= 15

(0; ;0)

( 3 ; ; )p

b

r y

r R R R

=

= − −

uur

uuur ; 2 215 ( ) 10br y R R= − + 15 2 2

( ) 10

eb

k qVy R R

⇒ =− +

• 1616

;eb

b

k qVr

= 16

(0; ;0)

( 3 ; ; 3 )p

b

r y

r R R R

=

= − −

uur

uuur ; 2 216 ( ) 18br y R R= − + 16 2 2

( ) 18

eb

k qVy R R

⇒ =− +

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16b b b b b b b b b b b b b b b bVb V V V V V V V V V V V V V V V V= + + + + + + + + + + + + + + +

2 2 2 2 2 2

4 8 4( ) 18 ( ) 10 ( ) 2

eVb k qy R R y R R y R R

⎛ ⎞⎜ ⎟= + +⎜ ⎟− + − + − +⎝ ⎠

Cálculo del Potencial de la Fila “c”


• 11

;ec

c

k qVr

= 1

(0; ;0)

(3 ; ;3 )p

c

r y

r R R R

=

= −

uur

uur ; 2 21 ( ) 18cr y R R= + + 1 2 2

( ) 18

ec

k qVy R R

⇒ =+ +

• 22

;ec

c

k qVr

= 2

(0; ;0)

(3 ; ; )p

c

r y

r R R R

=

= −

uur

uur ; 2 22 ( ) 10cr y R R= + + 2 2 2

( ) 10

ec

k qVy R R

⇒ =+ +

• 33

;ec

c

k qVr

= 3

(0; ;0)

(3 ; ; )p

c

r y

r R R R

=

= − −

uur

uur ; 2 23 ( ) 10cr y R R= + + 3 2 2

( ) 10

ec

k qVy R R

⇒ =+ +

• 44

;ec

c

k qVr

= 4

(0; ;0)

(3 ; ; 3 )p

c

r y

r R R R

=

= − −

uur

uur ; 2 24 ( ) 18cr y R R= + + 4 2 2

( ) 18

ec

k qVy R R

⇒ =+ +

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



18

• 55

;ec

c

k qVr

= 5

(0; ;0)

( ; ;3 )p

c

r y

r R R R

=

= −

uur

uur ; 2 25 ( ) 10cr y R R= + + 5 2 2

( ) 10

ec

k qVy R R

⇒ =+ +

• 66

;ec

c

k qVr

= 6

(0; ;0)

( ; ; )p

c

r y

r R R R

=

= −

uur

uur ; 2 26 ( ) 2cr y R R= + + 6 2 2

( ) 2

ec

k qVy R R

⇒ =+ +

• 77

;ec

c

k qVr

= 7

(0; ;0)

( ; ; )p

c

r y

r R R R

=

= − −

uur

uur ; 2 27 ( ) 2cr y R R= + + 7 2 2

( ) 2

ec

k qVy R R

⇒ =+ +

• 88

;ec

c

k qVr

= 8

(0; ;0)

( ; ; 3 )p

c

r y

r R R R

=

= − −

uur

uur ; 2 28 ( ) 10cr y R R= + + 8 2 2

( ) 10

ec

k qVy R R

⇒ =+ +

• 99

;ec

c

k qVr

= 9

(0; ;0)

( ; ;3 )p

c

r y

r R R R

=

= − −

uur

uur ; 2 29 ( ) 10cr y R R= + + 9 2 2

( ) 10

ec

k qVy R R

⇒ =+ +

• 1010

;ec

c

k qVr

= 10

(0; ;0)

( ; ; )p

c

r y

r R R R

=

= − −

uur

uuur ; 2 210 ( ) 2cr y R R= + + 10 2 2

( ) 2

ec

k qVy R R

⇒ =+ +

• 1111

;ec

c

k qVr

11

(0; ;0)

( ; ; )p

c

r y

r R R R

=

= − − −

uur

uuur ; 2 211 ( ) 2cr y R R= + + 11 2 2

( ) 2

ec

k qVy R R

⇒ =+ +

• 1212

;ec

c

k qVr

= 12

(0; ;0)

( ; ; 3 )p

c

r y

r R R R

=

= − − −

uur

uuur ; 2 212 ( ) 10cr y R R= + + 12 2 2

( ) 10

ec

k qVy R R

⇒ =+ +

• 1313

;ec

c

k qVr

= 13

(0; ;0)

( 3 ; ;3 )p

c

r y

r R R R

=

= − −

uur

uuur ; 2 213 ( ) 18cr y R R= + + 13 2 2

( ) 18

ec

k qVy R R

⇒ =+ +

• 1414

;ec

c

k qVr

= 14

(0; ;0)

( 3 ; ; )p

c

r y

r R R R

=

= − −

uur

uuur ; 2 214 ( ) 10cr y R R= + + 14 2 2

( ) 10

ec

k qVy R R

⇒ =+ +

• 1515

;ec

c

k qVr

= 15

(0; ;0)

( 3 ; ; )p

c

r y

r R R R

=

= − − −

uur

uuur ; 2 215 ( ) 10cr y R R= + + 15 2 2

( ) 10

ec

k qVy R R

⇒ =+ +

• 1616

;ec

c

k qVr

= 16

(0; ;0)

( 3 ; ; 3 )p

c

r y

r R R R

=

= − − −

uur

uuur ; 2 216 ( ) 18cr y R R= + + 16 2 2

( ) 18

ec

k qVy R R

⇒ =+ +


2 2 2 2 2 2

4 8 4( ) 18 ( ) 10 ( ) 2

eVc k qy R R y R R y R R

⎛ ⎞⎜ ⎟= + +⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



19

Cálculo del Potencial de la Fila “d”

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16d d d d d d d d d d d d d d d dVd V V V V V V V V V V V V V V V V= + + + + + + + + + + + + + + +

• 11

;ed

d

k qVr

= 1

(0; ;0)

(3 ; 3 ;3 )p

d

r y

r R R R

=

= −

uur

uur ; 2 21 ( 3 ) 18dr y R R= + + 1 2 2

( 3 ) 18

ed

k qVy R R

⇒ =+ +

• 22

;ed

d

k qVr

= 2

(0; ;0)

(3 ; 3 ; )p

d

r y

r R R R

=

= −

uur

uur ; 2 22 ( 3 ) 10dr y R R= + + 2 2 2

( 3 ) 10

ed

k qVy R R

⇒ =+ +

• 33

;ed

d

k qVr

= 3

(0; ;0)

(3 ; 3 ; )p

d

r y

r R R R

=

= − −

uur

uur ; 2 23 ( 3 ) 10dr y R R= + + 3 2 2

( 3 ) 10

ed

k qVy R R

⇒ =+ +

• 44

;ed

d

k qVr

= 4

(0; ;0)

(3 ; 3 ; 3 )p

d

r y

r R R R

=

= − −

uur

uur ; 2 24 ( 3 ) 18dr y R R= + + 4 2 2

( 3 ) 18

ed

k qVy R R

⇒ =+ +

• 55

;ed

d

k qVr

= 5

(0; ;0)

( ; 3 ;3 )p

d

r y

r R R R

=

= −

uur

uur ; 2 25 ( 3 ) 10dr y R R= + + 5 2 2

( 3 ) 10

ed

k qVy R R

⇒ =+ +

• 66

;ed

d

k qVr

= 6

(0; ;0)

( ; 3 ; )p

d

r y

r R R R

=

= −

uur

uur ; 2 26 ( 3 ) 2dr y R R= + + 6 2 2

( 3 ) 2

ed

k qVy R R

⇒ =+ +

• 77

;ed

d

k qVr

= 7

(0; ;0)

( ; 3 ; )p

d

r y

r R R R

=

= − −

uur

uur ; 2 27 ( 3 ) 2dr y R R= + + 7 2 2

( 3 ) 2

ed

k qVy R R

⇒ =+ +

• 88

;ed

d

k qVr

= 8

(0; ;0)

( ; 3 ; 3 )p

d

r y

r R R R

=

= − −

uur

uur ; 2 28 ( 3 ) 10dr y R R= + + 8 2 2

( 3 ) 10

ed

k qVy R R

⇒ =+ +

• 99

;ed

d

k qVr

= 9

(0; ;0)

( ; 3 ;3 )p

d

r y

r R R R

=

= − −

uur

uur ; 2 29 ( 3 ) 10dr y R R= + + 9 2 2

( 3 ) 10

ed

k qVy R R

⇒ =+ +

• 1010

;ed

d

k qVr

= 10

(0; ;0)

( ; 3 ; )p

d

r y

r R R R

=

= − −

uur

uuur ; 2 210 ( 3 ) 2dr y R R= + + 10 2 2

( 3 ) 2

ed

k qVy R R

⇒ =+ +

• 1111

;ed

d

k qVr

11

(0; ;0)

( ; 3 ; )p

d

r y

r R R R

=

= − − −

uur

uuur ; 2 211 ( 3 ) 2dr y R R= + + 11 2 2

( 3 ) 2

ed

k qVy R R

⇒ =+ +

• 1212

;ed

d

k qVr

= 12

(0; ;0)

( ; 3 ; 3 )p

d

r y

r R R R

=

= − − −

uur

uuur ; 2 212 ( 3 ) 10dr y R R= + + 12 2 2

( 3 ) 10

ed

k qVy R R

⇒ =+ +

• 1313

;ed

d

k qVr

= 13

(0; ;0)

( 3 ; 3 ;3 )p

d

r y

r R R R

=

= − −

uur

uuur ; 2 213 ( 3 ) 18dr y R R= + + 13 2 2

( 3 ) 18

ed

k qVy R R

⇒ =+ +

• 1414

;ed

d

k qVr

= 14

(0; ;0)

( 3 ; 3 ; )p

d

r y

r R R R

=

= − −

uur

uuur ; 2 214 ( 3 ) 10dr y R R= + + 14 2 2

( 3 ) 10

ed

k qVy R R

⇒ =+ +

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



20

• 1515

;ed

d

k qVr

= 15

(0; ;0)

( 3 ; 3 ; )p

d

r y

r R R R

=

= − − −

uur

uuur ; 2 215 ( 3 ) 10dr y R R= + + 15 2 2

( 3 ) 10

ed

k qVy R R

⇒ =+ +

• 1616

;ed

d

k qVr

= 16

(0; ;0)

( 3 ; 3 ; 3 )p

d

r y

r R R R

=

= − − −

uur

uuur ; 2 216 ( 3 ) 18dr y R R= + + 16 2 2

( 3 ) 18

ed

k qVy R R

⇒ =+ +

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16d d d d d d d d d d d d d d d dVd V V V V V V V V V V V V V V V V= + + + + + + + + + + + + + + +

2 2 2 2 2 2

4 8 4( 3 ) 18 ( 3 ) 10 ( 3 ) 2

eVd k qy R R y R R y R R

⎛ ⎞⎜ ⎟= + +⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠

Reemplazado en TV Va Vb Vc Vd= + + +

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 8 4 4 8 464 ( 3 ) 18 ( 3 ) 10 ( 3 ) 2 ( ) 18 ( ) 10 ( ) 2e

Tk qV

y R R y R R y R R y R R y R R y R R

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ − + − + − + − + − + − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 8 4 4 8 4( ) 18 ( ) 10 ( ) 2 ( 3 ) 18 ( 3 ) 10 ( 3 ) 2y R R y R R y R R y R R y R R y R R

⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + + + +

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟+ + + + + + + + + + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠

9 2 28.9876.10 .ek N m C= 710q C−=

y = La distancia desde la cara del cubo al punto (0; ;0)P y es 5cm , pero desde el centro de coordenadas se le agregará 5cm del lado total del cubo 10cm

10y cm= r R= ; El lado del cubo es 10 8cm R=

1.25r R cm= =

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

9 2 7

2 2 2 2 22 2 2

8.9876.10 . 10 4 8 464 10 10 3 1.25 18 1.25 10 3 1.25 10 1.25 10 3 1.25 2 1.25

TN m x CV

C m

−

−

⎛⎛ ⎞⎜⎜ ⎟= + +⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ − + − + − +⎝ ⎠⎝

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 22 2 2

4 8 4

10 1.25 18 1.25 10 1.25 10 1.25 10 1.25 2 1.25

⎛ ⎞⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟− + − + − +⎝ ⎠

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 22 2 2

4 8 4

10 1.25 18 1.25 10 1.25 10 1.25 10 1.25 2 1.25

⎛ ⎞⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 22 2 2

4 8 4

10 3 1.25 18 1.25 10 3 1.25 10 1.25 10 3 1.25 2 1.25

⎞⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ + + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟+ + + + + +⎝ ⎠⎠

8876,3214 TV V=

8876 TV V=

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



21



TV Va Vb Vc Vd Ve= + + + +

Donde:

:TV El potencial eléctrico total :Va Potencial de la Fila “a” :Vb Potencial de la Fila “b” :Vc Potencial de la Fila “c” :Vd Potencial de la Fila “d” :Ve Potencial de la Fila “e”


El potencial de la fila “a” será 1 2 3 5 6 94 8 4 4 4a a a a a a aV V V V V V V= + + + + + ; calcularemos el potencial de los pequeños cubos 1, 2, 3, 4, 5,6,7, 8, 9, de donde 2 4V V= , 3 7V V= , 6 8V V=

• 11

;ea

a

k qVr

= 1

(0; ;0)

(4 ;4 ;4 )p

a

r y

r R R R

=

=

uur

uur ; 2 21 ( 4 ) 32ar y R R= − + 1 2 2

( 4 ) 32

ea

k qVy R R

⇒ =− +

• 22

;ea

a

k qVr

= 2

(0; ;0)

(2 ;4 ;4 )p

a

r y

r R R R

=

=

uur

uur ; 2 22 ( 4 ) 20ar y R R= − + 2 2 2

( 4 ) 20

ea

k qVy R R

⇒ =− +

• 33

;ea

a

k qVr

= 3

(0; ;0)

(0;4 ;4 )p

a

r y

r R R

=

=

uur

uur ; 2 23 ( 4 ) 16ar y R R= − + 3 2 2

( 4 ) 16

ea

k qVy R R

⇒ =− +

• 55

;ea

a

k qVr

= 5

(0; ;0)

(2 ;4 ;2 )p

a

r y

r R R R

=

=

uur

uur ; 2 25 ( 4 ) 8ar y R R= − + 5 2 2

( 4 ) 8

ea

k qVy R R

⇒ =− +

• 66

;ea

a

k qVr

= 6

(0; ;0)

(0;4 ;2 )p

a

r y

r R R

=

=

uur

uur ; 2 26 ( 4 ) 4ar y R R= − + 6 2 2

( 4 ) 4

ea

k qVy R R

⇒ =− +

• 99

;ea

a

k qVr

= 9

(0; ;0)

(0;4 ;0)p

a

r y

r R

=

=

uur

uur ; 29 ( 4 )ar y R= − 9

4e

ak qV

y R⇒ =

−

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



22

1 2 3 5 6 94 8 4 4 4a a a a a a aV V V V V V V= + + + + +

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 8 4 4 4 14( 4 ) 32 ( 4 ) 20 ( 4 ) 16 ( 4 ) 8 ( 4 ) 4

aV k qe y Ry R R y R R y R R y R R y R R

⎛ ⎞⎜ ⎟= + + + + +⎜ ⎟−− + − + − + − + − +⎝ ⎠

De la misma manera calcularemos el potencial en la fila “b”, “c”, “d”, “e”

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 8 4 4 4 12( 2 ) 32 ( 2 ) 20 ( 2 ) 16 ( 2 ) 8 ( 2 ) 4

bV k qe y Ry R R y R R y R R y R R y R R

⎛ ⎞⎜ ⎟= + + + + +⎜ ⎟−− + − + − + − + − +⎝ ⎠

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 8 4 4 4 132 20 16 8 4

cV k qe yy R y R y R y R y R

⎛ ⎞⎜ ⎟= + + + + +⎜ ⎟+ + + + +⎝ ⎠

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 8 4 4 4 12( 2 ) 32 ( 2 ) 20 ( 2 ) 16 ( 2 ) 8 ( 2 ) 4

dV k qe y Ry R R y R R y R R y R R y R R

⎛ ⎞⎜ ⎟= + + + + +⎜ ⎟++ + + + + + + + + +⎝ ⎠

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 8 4 4 4 14( 4 ) 32 ( 4 ) 20 ( 4 ) 16 ( 4 ) 8 ( 4 ) 4

eV k qe y Ry R R y R R y R R y R R y R R

⎛ ⎞⎜ ⎟= + + + + +⎜ ⎟++ + + + + + + + + +⎝ ⎠

Reemplazado en TV Va Vb Vc Vd Ve= + + + +

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 8 4 4 4 1125 4( 4 ) 32 ( 4 ) 20 ( 4 ) 16 ( 4 ) 8 ( 4 ) 4

T

k qeVy Ry R R y R R y R R y R R y R R

⎛⎜= + + + + +⎜ −− + − + − + − + − +⎝

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 8 4 4 4 12( 2 ) 32 ( 2 ) 20 ( 2 ) 16 ( 2 ) 8 ( 2 ) 4 y Ry R R y R R y R R y R R y R R

+ + + + + +−− + − + − + − + − +

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 8 4 4 4 132 20 16 8 4 yy R y R y R y R y R

+ + + + + ++ + + + +

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2


+ + + + + +++ + + + + + + + + +

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2


⎞⎟+ + + + + +⎟++ + + + + + + + + + ⎠

9 2 28.9876.10 .ek N m C=


1r R cm= = ; El lado del cubo es 10 10cm R=

8875.589 TV V=

8876 TV V=

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



23



TV Va Vb Vc Vd Ve Vf= + + + + +

Donde:

:TV El potencial eléctrico total :Va Potencial de la Fila “a” :Vb Potencial de la Fila “b” :Vc Potencial de la Fila “c” :Vd Potencial de la Fila “d” :Ve Potencial de la Fila “e” :Vf Potencial de la Fila “f”


El potencial de la fila “a” será 1 2 3 5 6 94 8 8 4 8 4a a a a a a aV V V V V V V= + + + + + ; calcularemos el potencial de los pequeños cubos 1, 2, 3, 4, 5,6,7, 8, 9, de donde 2 4V V= , 3 7V V= , 6 8V V=

• 11

;ea

a

k qVr

= 1

(0; ;0)

(5 ;5 ;5 )p

a

r y

r R R R

=

=

uur

uur ; 2 21 ( 5 ) 50ar y R R= − + 1 2 2

( 5 ) 50

ea

k qVy R R

⇒ =− +

• 22

;ea

a

k qVr

= 2

(0; ;0)

(3 ;5 ;5 )p

a

r y

r R R R

=

=

uur

uur ; 2 22 ( 5 ) 34ar y R R= − + 2 2 2

( 5 ) 34

ea

k qVy R R

⇒ =− +

• 33

;ea

a

k qVr

= 3

(0; ;0)

( ;5 ;5 )p

a

r y

r R R R

=

=

uur

uur ; 2 23 ( 5 ) 26ar y R R= − + 3 2 2

( 5 ) 26

ea

k qVy R R

⇒ =− +

• 55

;ea

a

k qVr

= 5

(0; ;0)

(3 ;5 ;3 )p

a

r y

r R R R

=

=

uur

uur ; 2 25 ( 5 ) 18ar y R R= − + 5 2 2

( 5 ) 18

ea

k qVy R R

⇒ =− +

• 66

;ea

a

k qVr

= 6

(0; ;0)

( ;5 ;3 )p

a

r y

r R R R

=

=

uur

uur ; 2 26 ( 5 ) 10ar y R R= − + 6 2 2

( 5 ) 10

ea

k qVy R R

⇒ =− +

• 99

;ea

a

k qVr

= 9

(0; ;0)

( ;5 ; )p

a

r y

r R R R

=

=

uur

uur ; 2 29 ( 5 ) 2ar y R R= − + 9 2 2

( 5 ) 2

ea

k qVy R R

⇒ =− +

1 2 3 5 6 94 8 8 4 8 4a a a a a a aV V V V V V V= + + + + +

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 8 8 4 8 4( 5 ) 50 ( 5 ) 34 ( 5 ) 26 ( 5 ) 18 ( 5 ) 10 ( 5 ) 2

aV k qe y R R y R R y R R y R R y R R y R R

⎛ ⎞⎜ ⎟= + + + + +⎜ ⎟− + − + − + − + − + − +⎝ ⎠

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



24

De la misma manera calcularemos el potencial en la fila “b”, “c”, “d”, “e”

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 8 8 4 8 4( 3 ) 50 ( 3 ) 34 ( 3 ) 26 ( 3 ) 18 ( 3 ) 10 ( 3 ) 2

bV k qe y R R y R R y R R y R R y R R y R R

⎛ ⎞⎜ ⎟= + + + + +⎜ ⎟− + − + − + − + − + − +⎝ ⎠

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 8 8 4 8 4( ) 50 ( ) 34 ( ) 26 ( ) 18 ( ) 10 ( ) 2

cV k qe y R R y R R y R R y R R y R R y R R

⎛ ⎞⎜ ⎟= + + + + +⎜ ⎟− + − + − + − + − + − +⎝ ⎠

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 8 8 4 8 4( ) 50 ( ) 34 ( ) 26 ( ) 18 ( ) 10 ( ) 2

dV k qe y R R y R R y R R y R R y R R y R R

⎛ ⎞⎜ ⎟= + + + + +⎜ ⎟+ + + + + + + + + + + +⎝ ⎠

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 8 8 4 8 4( 3 ) 50 ( 3 ) 34 ( 3 ) 26 ( 3 ) 18 ( 3 ) 10 ( 3 ) 2

eV k qe y R R y R R y R R y R R y R R y R R

⎛ ⎞⎜ ⎟= + + + + +⎜ ⎟+ + + + + + + + + + + +⎝ ⎠

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 8 8 4 8 4( 5 ) 50 ( 5 ) 34 ( 5 ) 26 ( 5 ) 18 ( 5 ) 10 ( 5 ) 2

fV k qe y R R y R R y R R y R R y R R y R R

⎛ ⎞⎜ ⎟= + + + + +⎜ ⎟+ + + + + + + + + + + +⎝ ⎠

Reemplazado en TV Va Vb Vc Vd Ve Vf= + + + + +

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 8 8 4 8 4216 ( 5 ) 50 ( 5 ) 34 ( 5 ) 26 ( 5 ) 18 ( 5 ) 10 ( 5 ) 2

T

k qeVy R R y R R y R R y R R y R R y R R

⎛⎜= + + + + +⎜ − + − + − + − + − + − +⎝

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 8 8 4 8 4( 3 ) 50 ( 3 ) 34 ( 3 ) 26 ( 3 ) 18 ( 3 ) 10 ( 3 ) 2y R R y R R y R R y R R y R R y R R

+ + + + + +− + − + − + − + − + − +

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 8 8 4 8 4( ) 50 ( ) 34 ( ) 26 ( ) 18 ( ) 10 ( ) 2y R R y R R y R R y R R y R R y R R

+ + + + + +− + − + − + − + − + − +

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 8 8 4 8 4( ) 50 ( ) 34 ( ) 26 ( ) 18 ( ) 10 ( ) 2y R R y R R y R R y R R y R R y R R

+ + + + + ++ + + + + + + + + + + +

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2


+ + + + + ++ + + + + + + + + + + +

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2


⎞⎟+ + + + + +⎟+ + + + + + + + + + + + ⎠

9 2 28.9876.10 .ek N m C=


1012

r R cm= = ; El lado del cubo es 10 12cm R=

8876.132 TV V=

8876 TV V=

Si utilizamos más subdivisiones del cubo grande, conseguimos la misma respuesta a cuatro dígitos.

8876 TV V=

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



25

Resolución 2.2:

Si la carga del cubo se distribuye uniformemente en una esfera con el mismo centro que el cubo ¿Cuánto cambiara el potencial?

El potencial esta dado por la siguiente formula:

k qeVr

=

:ek Constante de Coulomb 9 2 28.9876.10 .N m C :q Carga puntual (C ), :r Distancia ( m ) de la superficie de la esfera al

punto (0; ;0)P y es 5cm , pero desde el centro de coordenadas se le agregará 5cm del radio de la esfera. 10r cm=

La carga en un cubo, ahora se distribuye en una esfera:

q Vρ=

( )( )36 3100 10 0.1q x C m m−= 710q C−=

Reemplazando datos:

( )9 2 7

2

8.9876.10 . 100.1N m x CV

C m

−

=

8987V V=

Comparando el potencial eléctrico del cubo y de la esfera se tiene una variación del potencial eléctrico de:

V V Vesfera cuboΔ = −

8988 8876VΔ = −

112V VΔ =

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



26

3. PROBLEMA Nº 3

Un hemisferio metálico de radio 50R cm= esta electrizado en toda su superficie, la densidad

de la carga superficial es 2100 C mσ μ= .

3.1 Expresar el potencial eléctrico ( , , )V r θ φ , en coordenadas esféricas, en un punto cualesquiera del espacio que rodea la carga. Es posible resolver las integrales usando series de potencia

3.2 Utilice el resultado anterior para determinar la intensidad del campo eléctrico ( , , )E r θ φ , en coordenadas esféricas. (Utilice el gradiente en coordenadas esféricas).

3.3 Usando MatLab o Winplot, represente 6 curvas equipotenciales y dibuje las líneas de campo eléctrico para esta distribución de de carga.

Resolución 3.1:

Ubicaremos en el sistema de coordenadas el Punto ( , , )P x y z , para hallar el potencial eléctrico en dicho punto, tal como se muestra en la figura Nº 5

Fig. Nº13: Potencial Eléctrico en el punto P(x,y,z)

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



27

El potencial eléctrico esta determinado por:

( , , )e

rk dqV

rθ φ = ∫

Donde:

( , , ) :rV θ φ El potencial eléctrico en un punto ( , , )P r θ φ en coordenadas esféricas

:ek Constante de Coulomb 292

.8.9876.10 N mC

:dq Diferencial de carga (C ) :r Distancia ( m ) de la carga superficial al punto ( , , )P x y z

El diferencial de carga dq se hallará a partir de las transformaciones de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas.

Fig. Nº14: Diferencial de carga superficial

dq dsσ= ; 2ds R sen d dθ θ φ= 2dq R sen d dσ θ θ φ=

Para el proceso de integración de ( , , )rV θ φ , vemos que el diferencial dq esta en función de ,θ φ y sus límites de integración será:

Para θ : 0θ = hasta 2πθ = .

Para φ : 0φ = hasta 2φ π= . SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



28

La distancia r desde la carga superficial hasta un punto ( , , )P x y z cualesquiera como vemos en la figura Nº 7, se determina de la siguiente manera:

Fig. Nº15: Distancia r de la carga superficial al punto P(x,y,z)

Pr R R= −uur ur

( ; ; )PR x y z=uur

( cos ; ; cos )R Rsen Rsen sen Rθ φ θ φ θ=ur

( cos ; ; cos )PR R x Rsen y Rsen sen z Rθ φ θ φ θ− = − − −uur ur

( ) ( ) ( )2 2 2cos cosPR R x Rsen y Rsen sen z Rθ φ θ φ θ− = − + − + −uur ur

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 cos cos 2 2 cos cosPR R x xRsen R sen y yRsen sen R sen sen z zR Rθ φ θ φ θ φ θ φ θ θ− = − + + − + + − +uur ur

2 2 2 2 2 cos 2 2 cosPR R x y z R xRsen yRsen sen zRθ φ θ φ θ− = + + + − − −uur ur

2 2 2 2 2 cos 2 2 cosr x y z R xRsen yRsen sen zRθ φ θ φ θ= + + + − − −

Reemplazando datos en:

22

( , , )

0 0

er

k dqVr

πθ φ π

θ φ

θ φ

= =

= =

= ∫ ∫

222

( , , ) 2 2 2 2

0 0

..........(*)2 cos 2 2 cos

er

k R sen d dVx y z R xRsen yRsen sen zR

πθ φ π

θ φ

θ φ

σ θ θ φ

θ φ θ φ θ

= =

= =

=+ + + − − −∫ ∫

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



29

Vemos en el denominador ( )1 22 2 2 2 2 cos 2 2 cosx y z R xRsen yRsen sen zRθ φ θ φ θ+ + + − − − que para el proceso de integración se hace complicado, haciendo cambio de variable y luego utilizando series de potencia se podrá realizar y calcular el potencial eléctrico.

El cambio de variable en el denominador será: 2 2 2 2A x y z R= + + +

2 cos 2 2 cosu xRsen yRsen sen zRθ φ θ φ θ= + +

( ) ( )1 2 1 22 2 2 2 2 cos 2 2 cosx y z R xRsen yRsen sen zR A uθ φ θ φ θ+ + + − − − = − Factorizando

( )1 2

1 22 2 2 2 2 cos 2 2 cos 1 ux y z R xRsen yRsen sen zR AA

θ φ θ φ θ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + − − − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

( )1 2

1 22 2 2 2 1 22 cos 2 2 cos 1 ux y z R xRsen yRsen sen zR AA

θ φ θ φ θ ⎛ ⎞+ + + − − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

La serie binomial

( ) 1 2 2 31 1.3 1.3.51 1 ......2 2.4 2.4.6

x x x x−− = + + +

( ) 1 2 2 31 3 151 12 8 48

x x x x−− = + + +

Reemplazando en (*)

2 22 21 2 22 2

( , , ) 1 2 1 2

0 0 0 0

1 31 12 8

e er

k R sen d d k R sen d du u uVA A A A A

π πθ θφ π φ π

θ φ

θ φ θ φ

σ θ θ φ σ θ θ φ= == =

−

= = = =

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫

2 2 22 2 2 22

( , , ) 1 2

0 0 0 0 0 0

1 32 8

er

k R u uV sen d d sen d d sen d dA A A

π π πθ θ θφ π φ π φ π

θ φ

θ φ θ φ θ φ

σ θ θ φ θ θ φ θ θ φ

= = == = =

= = = = = =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2 22 2

2

( , , ) 1 2

0 0 0 0

1 2 cos 2 2 cos2

er

k RV sen d d sen d d xRsen yRsen sen zRA A

I II


θ φ

θ φ θ φ

σ θ θ φ θ θ φ θ φ θ φ θ

= == =

= = = =

⎛⎜⎜

= + + +⎜⎜⎜⎜⎝

∫ ∫ ∫ ∫144424443 144444444444424444444444443

( )22

22

0 0

3 2 cos 2 2 cos .......(**)8

sen d d xRsen yRsen sen zRA

III

πθ φ π

θ φ

θ θ φ θ φ θ φ θ

= =

= =

⎞⎟⎟

+ + + ⎟⎟⎟⎟⎠

∫ ∫14444444444444244444444444443

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



30

Desarrollando I :

( ) ( )22 2

2

00 0 0

2 2 cos 2 cos cos 0 22

I sen d d sen d

π πθ θ πφ π

θ φ θ

πθ θ φ π θ θ π θ π π

= ==

= = =

⎛ ⎞⎛ ⎞= = = − = − + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫ ∫

Desarrollando II :

( )22

0 0

1 2 cos 2 2 cos2

II sen d d xRsen yRsen sen zRA

πθ φ π

θ φ


= =

= =

= + +∫ ∫

2 2 22 2 2

2 2

0 0 0 0 0 0

1 2 cos 2 2 cos2

II xR sen d d yR sen sen d d zR sen d dA

π π πθ θ θφ π φ π φ π

θ φ θ φ θ φ

θ φ θ φ θ φ θ φ θ θ θ φ

= = == = =

= = = = = =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2

2 2

0 0 00 0 0

1 2 2 cos 2 cos2

II xR sen d sen yR sen d zR sen dA

π π πθ θ θπ π π

θ θ θ

θ θ φ θ θ φ θ θ θ φ

= = =

= = =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

2 2

0

1 0 0 2 22 2

sen zRII zRA A

π

θ ππ⎛ ⎞

⎛ ⎞⎜ ⎟= + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

Desarrollando III :

( )22

22

0 0

3 2 cos 2 2 cos8

III sen d d xRsen yRsen sen zRA

πθ φ π

θ φ


= =

= =

= + +∫ ∫

(22

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22

0 0

3 4 cos 4 4 cos8

III sen d d x R sen y R sen sen z RA

πθ φ π

θ φ


= =

= =

= + +∫ ∫

)2.2 cos .2 2.2 cos .2 cos 2.2 .2 cosxRsen yRsen sen xRsen zR yRsen sen zRθ φ θ φ θ φ θ θ φ θ+ + +

( )(22

2 2 2 2 2 2 2 2 22

0 0

3 4 cos cos8

III sen d d R x sen y sen sen zA

πθ φ π

θ φ


= =

= =

= + +∫ ∫

( ))2 28 cos cos cos cosR xysen sen xzsen yzsen senθ φ φ θ φ θ θ φ θ+ + + SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



31

2 22 2

2 2 3 2 2 2 3 22 2

0 0 0 0

3 34 cos 48 8

III x R sen d d y R sen sen d dA A


θ φ θ φ

θ φ θ φ θ φ θ φ

= == =

= = = =

= +∫ ∫ ∫ ∫

2 22 2

2 2 2 2 32 2

0 0 0 0

3 34 cos 8 cos8 8

z R sen d d xyR sen sen d dA A


θ φ θ φ

θ θ θ φ θ φ φ θ φ

= == =

= = = =

+ +∫ ∫ ∫ ∫

2 22 2

2 2 2 22 2

0 0 0 0

3 38 cos cos 8 cos8 8

xzR sen d d yzR sen sen d dA A


θ φ θ φ

θ φ θ θ φ θ θ φ θ φ

= == =

= = = =

⎞⎟⎟+ +⎟⎟⎠

∫ ∫ ∫ ∫

2 22 22 2 2 2

3 2 3 22 2

0 0 0 0

3 3cos2 2x R y RIII sen d d sen sen d dA A

a b


θ φ θ φ

θ φ θ φ θ φ θ φ

= == =

= = = =

= +∫ ∫ ∫ ∫1444442444443 1444442444443

2 22 22 2 2

2 32 2

0 0 0 0

3 3cos cos2z R xyRsen d d sen sen d dA A

c d


θ φ θ φ

θ θ θ φ θ φ φ θ φ

= == =

= = = =

+ +∫ ∫ ∫ ∫1444442444443 144444424444443

2 22 22 2

2 22 2

0 0 0 0

3 3cos cos cosxzR yzRsen d d sen sen d dA A

e f


θ φ θ φ

θ φ θ θ φ θ θ φ θ φ

= == =

= = = =

⎞⎟⎟⎟+ +⎟⎟⎟⎠

∫ ∫ ∫ ∫144444424444443 144444424444443

22 2 22 2 2 2 2 2 3 2 223 2 3

2 2 2 20 0

0 0 0

3 3 1 3 coscos 2 cos2 2 2 4 2 3x R x R x R x Ra sen d d sen d senA A A A

π πθ θφ π π π

θ φ θ

φ π θ πθ φ θ φ θ θ φ θ

= ==

= = =

⎛ ⎞⎛ ⎞= = + = − + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫

22 2 22 2 2 2 2 2 3 2 223 2 3

2 2 2 20 0

0 0 0

3 3 1 3 cos2 cos2 2 2 4 2 3y R y R y R y Rb sen sen d d sen d senA A A A

π πθ θ πφ ππ

θ φ θ

φ π θ πθ φ θ φ θ θ φ θ

= ==

= = =

⎛ ⎞⎛ ⎞= = − = − + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫

22 22 2 2 2 2 2 3 2 22

2 22 2 2 2

00 0 0

3 3 .2 3 . coscos cos2 2 3z R z R z R z Rc sen d d sen dA A A A

π πθ θ πφ π

θ φ θ

π π θ πθ θ θ φ θ θ θ

= ==

= = =

⎛ ⎞= = = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫ SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



32

( )22 2 22 2 2 2

3 32 2 2

00 0 0

3 3 3cos 0 02

xyR xyR sen xyRd sen sen d d sen dA A A

π πθ θφ π π

θ φ θ

φθ φ φ θ φ θ θ

= ==

= = =

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫

( ) ( )22 2 2

2 2 22 2

2 2 2

00 0 0

3 3 3cos cos cos 0 0xzR xzR xzRe sen d d sen d senA A A

π πθ θφ π π

θ φ θ

θ φ θ θ φ θ θ θ φ

= ==

= = =

= = = =∫ ∫ ∫

( ) ( )22 2 2

2 2 22 2

2 2 2

00 0 0

3 3 3cos cos cos 0 0yzR yzR yzRf sen sen d d sen dA A A

π πθ θφ π π

θ φ θ

θ θ φ θ φ θ θ θ φ

= ==

= = =

= = − = =∫ ∫ ∫

( )2 2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2

R x y zx R y R z RIII a b c d e fA A A A

ππ π π + += + + + + + = + + =

( ) ( )22 2 2 2 22

2 2

0 0

3 2 cos 2 2 cos8

R x y zIII sen d d xRsen yRsen sen zR

A A

πθ φ π

θ φ

πθ θ φ θ φ θ φ θ

= =

= =

+ += + + =∫ ∫

Reemplazando I, II, III en (**)

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 22 2

( , , ) 1 2 2 1 2 22 2e er

R x y z R x y zk R k RzR zRVA A A A A Aθ φ

πσ π σππ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )2 2 2 22 2

( , , ) 1 2 2 2 2

2er

R x y zk R A zRAVA A A Aθ φ

π σ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 2 2 2 22

( , , ) 1 2 2 2

2.

er

A zRA R x y zk RVA A Aθ φπ σ ⎛ ⎞+ + + +

⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

Donde:

2 2 2 2A x y z R= + + +

2 cos 2 2 cosu xRsen yRsen sen zRθ φ θ φ θ= + +

( )( ) ( ) ( )( )

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( , , ) 5

2 2 2 2 22e

rk RV x y z R zR x y z R R x y z V

x y z Rθ φ

σ π= + + + + + + + + + +

+ + +

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



33

Ahora pasando a coordenadas esféricas:

( )( ) ( ) ( )( )

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( , , ) 5

2 2 2 2 22e

rk RV x y z R zR x y z R R x y z V

x y z Rθ φ

π σ= + + + + + + + + + +

+ + +

Donde:

cosP P Px R senθ φ=

P P Py R sen senθ φ= cosP Pz R θ=

2 2 2 2Px y z R+ + =

Reemplazando:

( )( ) ( )( )

2 22 2 2 2 2 25

2 2 22 cos( , , )

eP P P P P

P P PP

k RV R R R R R R R R Vr R R

π σθθ φ = + + + +

+

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



34

Resolución 3.2:

De la expresión anterior hallaremos la intensidad de campo eléctrico que esta dada por la expresión:

1 1V V VE V rr r rsen

θ φθ θ φ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= −∇ = − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

en coordenadas esféricas

Cálculo del Campo eléctrico “P

V rr∂∂

”

( ) ( ) ( ) ( )3 5 7

2 2 2 2 2 2 2 2 2 32 2 23cos 2 2 cos 52e P P P P P P P P P

P

V r k R R R R R R R R R R R R R R R rr

π σ θ θ− − −⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞= + − + + − − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Cálculo del Campo eléctrico “ 1

P

Vr

θθ∂∂

”

( )3

3 2 2 21e P P

P

V k R sen R Rr

θ π σ θ θθ

−∂ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

Cálculo del Campo eléctrico “ 1

P P P

Vr sen

φθ φ

∂∂

”

1 0P P P

Vr sen

φθ φ

∂=

∂

Reemplazando en:

1 1( , , )P P P P P P P P P

V V VE rr r r r senθ φθ φ θ θ φ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )3 5 7

2 2 2 2 2 2 2 2 2 32 2 23cos 2 2 cos 5( , , ) 2e P P P P P P P P PP P P

E k R R R R R R R R R R R R R R R rr π σ θ θθ φ− − −⎛ ⎞⎛ ⎞= − + − + + − − +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

( )3

3 2 2 2e P Pk R sen R Rπ σ θ θ

−⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



35

Resolución 3.3:

Primero trabajamos cuando otorgamos un valor a z, esto hace que la grafica se desarrolle en el plano xy.

>> [x,y]=meshgrid(-8:.1:8); >>vd=((8)./(x.^2+y.^2+2.^2+2.^2).^1/2)+((16.*2)./(x.^2+y.^2+2.^2+2.^2).^3/2) +((8.*2.*(x.^2+y.^2+2.^2))./(x.^2+y.^2+2.^2+2.^2).^5/2); >> contour(x,y,vd);

Fig. Nº16: Programa MatLab

Esto nos desarrolla una seria de graficas que podemos ver a continuación las curvas equipotenciales:

Fig. Nº17: Curvas Equipotenciales para Z=2

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



36

Segundo trabajamos cuando otorgamos un valor a y, esto hace que la grafica se desarrolle en el plano xz.

>> [x,z]=meshgrid(-8:.1:8); >> vd=((8)./(x.^2+2.^2+z.^2+2.^2).^1/2)+((16.*z)./(x.^2+2.^2+z.^2+2.^2).^3/2) +((8.*2.*(x.^2+2.^2+z.^2))./(x.^2+2.^2+z.^2+2.^2).^5/2); >> contour(x,z,vd);

Fig. Nº18: Otorgando valor a “y”

Esto nos desarrolla una seria de graficas que podemos ver en la figura Nº 19

Fig. Nº19: Curvas Equipotenciales para y=2

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



37

Tercero trabajamos cuando otorgamos un valor a x, esto hace que la grafica se desarrolle en el plano yz.

>> [y,z]=meshgrid(-8:.1:8); >>vd=((8)./(2.^2+y.^2+z.^2+2.^2).^1/2)+((16.*z)./(2.^2+y.^2+z.^2+2.^2).^3/2) +((8.*2.*(2.^2+y.^2+z.^2))./(2.^2+y.^2+z.^2+2.^2).^5/2); >> contour(y,z,vd);

Fig. Nº20: Otorgando valor a “X”

Esto nos desarrolla una seria de graficas que podemos ver en la figura Nº 21

Fig. Nº21: Curvas Equipotenciales para x=2

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



38

Ahora para poder graficar las líneas de campo eléctrico en MatLab se ejecuta:

Para cuando z es constante e igual a 2.

>> [x,y]=meshgrid(-8:.1:8); >>vd=((8)./(x.^2+y.^2+2.^2+2.^2).^1/2)+((16.*2)./(x.^2+y.^2+2.^2+2.^2).^3/2) +((8.*2.*(x.^2+y.^2+2.^2))./(x.^2+y.^2+2.^2+2.^2).^5/2); >> contour(x,y,vd); >> [dx,dy]=gradient(vd,.1,.1); >> hold on, quiver(x,y,dx,dy), hold off >>

Fig. Nº22: Otorgando valor a “z”

Esto nos ejecuta unas líneas perpendiculares al de color azul como se ve en la figura Nº 21


SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



39

Para cuando y es constante e igual a 2.

>> [x,z]=meshgrid(-8:.1:8); >> vd=((8)./(x.^2+2.^2+z.^2+2.^2).^1/2)+((16.*z)./(x.^2+2.^2+z.^2+2.^2).^3/2) +((8.*2.*(x.^2+2.^2+z.^2))./(x.^2+2.^2+z.^2+2.^2).^5/2); >> contour(x,y,vd); >> [dx,dy]=gradient(vd,.1,.1); >> hold on, quiver(x,y,dx,dy), hold off >>

Fig. Nº24: Otorgando valor a “y”



SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



40

Para cuando x es constante e igual a 2.

>> [y,z]=meshgrid(-8:.1:8); >>vd=((8)./(2.^2+y.^2+z.^2+2.^2).^1/2)+((16.*z)./(2.^2+y.^2+z.^2+2.^2).^3/2) +((8.*2.*(2.^2+y.^2+z.^2))./(2.^2+y.^2+z.^2+2.^2).^5/2); >> contour(y,z,vd); >> [dy,dz]=gradient(vd,.1,.1); >> hold on, quiver(y,z,dy,dz), hold off >>

Fig. Nº26: Otorgando valor a “x”



SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



41

4. ANEXOS

INTEGRALES USADAS

2

cos2

sensen d θθ θ θ =∫

32cos

3sensen d θθ θ θ =∫

32 coscos

3sen d θθ θ θ = −∫

2 1cos 22 4

d senθθ θ θ= +∫

2 1 22 4

sen d senθθ θ θ= −∫

33cos

3send sen θθ θ θ= −∫

33 coscos

3sen d θθ θ θ= − +∫

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



42

5. BIBLIOGRAFIA

• I. Bronstein, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes

• SERWAY, RAYMOND A., Física para ciencias e ingeniería Edición: Sexta

Volumen II

• M. Zahn, Teoría Electromagnética

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N

Caratula Tarea 1 - s2dafb5a6c88b326c.jimcontent.com · 1.3 Usando MatLab o Winplot, represente 6...

Documents

Transcript of Caratula Tarea 1 - s2dafb5a6c88b326c.jimcontent.com · 1.3 Usando MatLab o Winplot, represente 6...