Carreteras Curvas v y Estructuras Varias Modif

Ingeniería de Carreteras

Facultad de Ingeniería U.A. de C. Ing. Rubén de la Cruz Botello

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3 CURVAS VERTICALES

Las curvas verticales son las que enlazan dos tangentes consecutivas del alineamiento vertical,

para que en su longitud se efectúe el paso gradual de la pendiente de la tangente de entrada a la de

la tangente de salida. Deben dar por resultado una vía de operación segura y confortable,

apariencia agradable y con características de drenaje adecuadas. El punto común de una tangente y

una curva vertical en el origen de ésta, se representa como PCV y como PTV el punto común de la

tangente y la curva al final de ésta. Al punto de intersección de dos tangentes consecutivas se le

denomina PIV, y a la diferencia algebraica de pendientes en ese punto se le representa por la letra

A. Las curvas verticales pueden ser cóncavas o convexas, como se indica en la Figura.

Para una operación segura de los vehículos al circular sobre curvas verticales, especialmente si son

convexas, deben obtenerse distancias de visibilidad adecuadas, como mínimo iguales a la de

parada.

Debido a los efectos dinámicos, para que exista comodidad es necesario que la variación de

pendiente sea gradual, situación que resulta más crítica en las curvas cóncavas, por actuar las

fuerzas de gravedad y centrífuga en la misma dirección.

Debe también tenerse en cuenta el aspecto estético, puesto que las curvas demasiado cortas pueden

llegar a dar la sensación de quiebre repentino, hecho que produce cierta incomodidad.

Figura 3.1 TIPOS DE CURVAS VERTICALES

Una curva vertical es un arco de parábola de eje vertical que une dos tangentes del alineamiento vertical; la curva vertical puede ser en columpio o en cresta.

Curva vertical en columpio es una curva vertical cuya concavidad queda

hacia arriba.

Curva vertical en cresta es aquella cuya concavidad queda hacia abajo.



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3.1 Elementos y ecuaciones de las curvas verticales

La curva vertical recomendada es la parábola cuadrática, cuyos elementos principales y

expresiones matemáticas se incluyen a continuación, tal como se aprecia en la Figura 3, siendo:

L = Longitud de la curva vertical, medida por su proyección horizontal, (m).

S1 = Pendiente de la tangente de entrada, (%).

S2= Pendiente de la tangente de salida, (%).

A = Diferencia algebraica de pendientes, o sea

E = Externa: Ordenada vertical desde el PIV a la curva, que se determinará así:

X = Distancia horizontal a cualquier punto de la curva desde el PCV o PTV, (m)

Y = Ordenada vertical en cualquier punto (m) y, se calcula mediante la expresión:

Esta ordenada se le resta a las cotas de las tangentes en las curvas verticales tipo 1 y 2 y se le suma en las tipos 3 y 4

de la Figura 3

PCV = Principio de la curva vertical.

PIV = Punto de intersección de las tangentes verticales.

PTV = Terminación de la curva vertical.

Existen cuatro criterios para determinar la longitud de las curvas verticales:

a. Criterios de comodidad. Se aplica al diseño de curvas verticales cóncavas, en donde la fuerza

centrífuga que aparece en el vehículo al cambiar de dirección, se suma al peso propio del vehículo.

Generalmente queda englobado siempre por el criterio de seguridad.

b. Criterios de operación. Se aplica al diseño de curvas verticales con visibilidad completa, para

evitar al usuario la impresión de un cambio súbito de pendiente.

c. Criterios de drenaje. Se aplica al diseño de curvas verticales convexas o cóncavas, cuando están

alojadas en corte. Para advertir al diseñador la necesidad de modificar las pendientes

longitudinales de las cunetas.

d. Criterio de seguridad. Se aplica a curvas cóncavas y convexas. La longitud de la curva debe ser

tal, que en toda la curva la distancia de visibilidad sea mayor o igual a la de parada. En algunos

casos, el nivel de servicio deseado puede obligar a diseñar curvas verticales con la distancia de

visibilidad de adelantamiento.

Figura 3.2 CURVA VERTICAL

21 SSA2

2200L

L

AE

2

200X

L

AY



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3.1.1 Casos especiales

- Curvas asimétricas

Es posible que una curva parabólica asimétrica (con tangentes desiguales) se ajuste más que una

curva simétrica (con tangentes iguales, como las hasta ahora tratadas) y haya que emplearla y

calcularla, por razones de orden topográfico, cotas obligadas, etc. Las hay cóncavas y convexas, tal

como se observa en la Figura 3.4.8(a).

- Curvas reversas

Se dan las curvas verticales reversas cuando dos curvas verticales con una tangente común, como

se ilustra en la Figura 3.4.8(b), pueden representar el alineamiento vertical para una rampa de

intercambio entre dos vías.

Figura 3.3 CURVA VERTICAL ASIMETRICA Y CURVA VERTICAL SIMETRICA

3.1.2 Distancias de visibilidad en curvas verticales

Las longitudes de las curvas verticales en función de las distancias de visibilidad (DV), se calculan

según se trate de curvas verticales convexas o cóncavas.

a. CURVAS VERTICALES CONVEXAS

La longitud mínima de las curvas convexas, que cumpla con los requisitos mínimos pendientes en

porcentaje (A), se determina para dos casos:

- Primer caso (DV < L)

Cuando el conductor y el objeto están sobre la curva, la distancia de visibilidad

determinada es menor que la longitud de la curva, tal como se aprecia en la Figura 4



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En términos generales, la longitud de la curva vertical se determina mediante la siguiente

expresión:

en donde:

H= Altura del ojo del conductor o altura de las luces delanteras del vehículo, (m)

h = Altura del objeto, (m).

Para la distancia de visibilidad de parada, teniendo en cuenta que:

DV = DVP; H = 1.15 m; h = 0.15 m; A en %; se tiene:

, y

En donde K, es el radio de la circunferencia inscrita en el vértice de la parábola y se

presenta en el gráfico de la grafica 3.1. El valor de la expresión anterior corresponde a la

distancia de visibilidad de parada en recta.

En los alineamientos curvos en planta se debe definir el valor de K en función de la

coordinación resultante entre la planta, el perfil y la sección transversal.

Aunque los parámetros anteriores siempre están al lado de la seguridad en los

alineamientos en planta.

Por lo que:

L = A · K

y para la distancia de visibilidad de paso o de adelantamiento, tomando:

DV = DVA; H = 1.15 m; h =0.15 m; y A en %

Figura 3.4 CURVA VERTICAL CONVEXA, CASO DV < L

2

2

2 hH

DVAL

425

2DVPA

L

425

2DVP

K

1000

2DVAA

L



5

- Segundo caso (DV > L)

Cuando el conductor y el objeto están fuera de la curva, la distancia de visibilidad es mayor

que la longitud de la curva, de acuerdo con lo indicado en la Figura 3.5

En términos generales, la longitud de la curva vertical se determina así:

Para la distancia de visibilidad de parada, tomando como:

DV = DVP; H = 1.15 m; h = 0.15 m y A en %,

y para la distancia de visibilidad de adelantamiento, paso o de rebase asumiendo:

DV = DVA; H = 1.15 m; h = 1.35 m y A en %,

Figura 3.5 CURVA VERTICAL CONVEXA, CASO DV > L

Grafica 3.1 LONGITUDES Y PARAMETROS MINIMOS CURVAS VERTICALES CONVEXAS

A

hHDVL

2

22

ADVL

4252

ADVL

10002



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b. CURVAS VERTICALES CÓNCAVAS

La Figura 3.1, muestra 3 tipos diferentes de curvas cóncavas, de acuerdo con diferentes

combinaciones de pendientes. Para establecer la longitud que se va a emplear, se deben considerar

cuatro características de seguridad vial y operación de vehículos, las cuales son:

- Distancia de visibilidad, determinada por el alcance de las luces delanteras.

- Comodidad y seguridad de los pasajeros.

- El drenaje adecuado sobre la vía.

- Los aspectos geométricos de la carretera.

En las curvas cóncavas, el análisis de visibilidad considera únicamente las restricciones que se

presentan en la noche, y estima la longitud del sector de carretera hacia adelante, como la distancia

de visibilidad. Dicha distancia depende de la altura de las luces delanteras, para la cual se asume

un valor de 0.60 m y un ángulo de divergencia del rayo de luz hacia arriba respecto al eje

longitudinal del vehículo de 1 grado.

- Primer caso (DV < L)

Cuando el conductor y el objeto están dentro de la curva, la distancia de visibilidad es

menor que la longitud de la curva. La Figura 3.6 ilustra la anterior situación.

En términos generales, se tiene que:

para la distancia de visibilidad de parada, teniendo en cuenta que:

DV = DVP; H = 0.60 m; h = 0.15 m; TD = tan 1° = 0.01745; y A en %,

, y

que es una constante para cada velocidad de diseño, y se representa en la Grafica 3.2 por:

L=AK

Para la distancia de visibilidad de adelantamiento, de paso o de rebase, no es indispensable

su cálculo, porque se pueden ver las luces del vehículo que viene en sentido contrario.

Figura 3.6 CURVA VERTICAL CONCAVA, CASO DV < L

hHTD

DVAL

2

2

DVP

DVAL

5.3120

2

DVP

DVK

5.3120

2



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- Segundo caso (DV >L)

Cuando el conductor y el objeto están fuera de la curva, la distancia de visibilidad es mayor

que la longitud de la curva, tal como se representa en la Figura 3.7.

En términos generales, la longitud de la curva vertical se determina así, para la distancia de

visibilidad de parada, tomado como:

DV = DVP; H = 0.60 m; h = 0.15 m; TD = tan 1° = 0.00175; entonces

Para la distancia de visibilidad de adelantamiento de paso o de rebase, no es indispensable

su cálculo, porque se pueden ver las luces del vehículo que viene en sentido contrario.

Figura 3.7 CURVA VERTICAL CONCAVA, CASO DV > L

Grafica 3.2 LONGITUDES Y PARAMETROS MINIMOS CURVAS VERTICALES CONCAVAS

A

DVPDVPL

5.31202



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3.1.3 Controles de diseño de la curva vertical

La longitud mínima de una curva vertical puede determinarse empleando los límites inferiores

fijados por investigadores en forma empírica para pequeños valores de A y mediante la siguiente

relación matemática:

en donde:

L : Longitud de la Curva Vertical, (m).

K : Factor que establece, para una determinada velocidad, condiciones óptimas de

visibilidad y drenaje en el sector de la curva, (m/%).

A : Diferencia algebraica de pendientes en el PIV, (%).

Las graficas 3.1 y 3.2 permiten la determinación de la longitud mínima, en función de la velocidad

de diseño y la diferencia algebraica de pendientes correspondiente.

Existen valores de límite inferior obtenidos en forma empírica, para cada velocidad de diseño, los

cuales están representados en los gráficos mediante líneas verticales.

Por razones de economía, comodidad y seguridad, se deben tener en cuenta dos condiciones

especiales, para el diseño y cálculo de curvas verticales:

- Para una diferencia algebraica de pendientes (A) y una velocidad de diseño (VD)

determinada, la curva vertical que empalma los alineamientos debe proporcionar, en la

operación de los vehículos, una distancia de visibilidad no menor que la distancia de

visibilidad de parada, para lo cual se determina un valor de K, como función de la

velocidad de diseño. En los casos en que sea económicamente factible, se puede adoptar

distancias de visibilidad mayores que la de parada, incluso hasta obtener distancias de

visibilidad de adelantamiento, cuando la condición del diseño horizontal lo permita, para lo

cual se puede incrementar el valor de K.

- El empleo de valores de K mayores a los establecidos para cada velocidad de diseño en

los gráficos de las Figuras 3.4.9 y 3.4.11, tienen un límite superior; éste tiene que ver

específicamente con la capacidad de drenaje de la vía. La situación más desfavorable en la

provisión de un buen drenaje se presenta cuando se empalman dos tangentes de signo

contrario; para lo cual la AASHTO considera que un valor de A igual a 0.6% en una

longitud de curva igual a 30 metros, provee el adecuado drenaje en el sector más plano de

las curvas.

La línea no continua localizada en los gráficos de las Graficas 3.1 y 3.2 para K=50, permite al

diseñador conocer la capacidad de drenaje del sector de acuerdo con el diseño vertical, el cual debe

ser siempre mejorado al coordinarlo con el diseño horizontal y la sección transversal,

especialmente para valores de K mayores a 50. De todas formas valores amplios de K se pueden

utilizar en el diseño vertical de carreteras, siempre y cuando se conserve la capacidad de drenaje

del sector.

KAL

506.0

30K



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3.1.4 Criterios generales para el alineamiento vertical

Existen controles generales para el alineamiento vertical, que deben aplicarse en forma coordinada

con los del alineamiento horizontal, como más adelante se detalla. Estos controles son:

a. En lo posible, se deben buscar cambios graduales de la pendiente, de acuerdo con las

características topográficas de la zona y el tipo de carretera; esta solución es preferible a la

de una línea con numerosos quiebres y pendientes de corta longitud.

b. Los perfiles de tipo tobogán, compuestos de subidas y bajadas pronunciadas deben

evitarse, especialmente cuando el alineamiento horizontal es recto. Este tipo de perfil

contribuye a crear accidentalidad, sobre todo cuando se realizan maniobras de

adelantamiento, ya que el conductor que adelanta toma la decisión después de ver

aparentemente libre la carretera más allá del tobogán, existiendo la posibilidad de que un

vehículo que marche en sentido contrario quede oculto por la protuberancia y hondonada.

Incluso, en toboganes de hondonadas poco profundas, esta forma de perfil es

desconcertante, puesto que el conductor no puede estar seguro de si viene o no un vehículo

en sentido contrario.

c. En tramos largos de ascenso, es preferible proyectar las mayores pendientes iniciando el

tramo y las más suaves cerca de la parte superior del ascenso, o dividir la pendiente

sostenida larga en tramos de pendiente más suave, que puede ser sólo un poco más baja que

la máxima permitida. Esto es particularmente aplicable para carreteras con velocidades de

diseño bajas.

d. En carreteras donde se presentan bifurcaciones, para el sector de la intersección se

recomienda diseñar con pendiente longitudinal máxima del 4%, siendo deseable reducirla

en beneficio de los vehículos que giran, ya que esto ayuda a disminuir la inseguridad del

usuario.

e. Una curva vertical convexa de longitud pequeña, puede llegar a reducir la distancia de

visibilidad de parada, transmitiendo al usuario de la carretera la sensación de incomodidad.

En las Figura 3.4.15 (a) y (b) se muestra un ejemplo de mal y buen empleo de la longitud

de la curva vertical convexa.

f. El uso de curvas verticales cóncavas de longitud pequeña, transmite al usuario cierta

sensación de incomodidad, pues éstas aparecen como quiebres y, especialmente en la

noche, presentan inseguridad por la escasa visibilidad que permite la curvatura misma. Las

Figuras 3.4.16 (a) y (b) muestran un ejemplo de mal y buen empleo de la longitud de la

curva cóncava, para condiciones semejantes de planta y perfil. La Figura 3.4.17 muestra un

ejemplo de mal y buen empleo de la longitud de la curva vertical cóncava, coincidente con

un sector de curva horizontal.

g. Un perfil longitudinal con dos curvas verticales de la misma dirección separadas por una

tangente corta, generalmente debe evitarse, particularmente en curvas cóncavas, donde la

visibilidad completa de ambas curvas no es placentera. Las Figuras 3.4.18 y 3.4.19

corresponden a ejemplos de mal y buen diseño vertical, en el cual, mediante el uso de

longitudes mayores de curva vertical, la apariencia estética de la vía se mejora

notablemente.



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Figura 3.8 MAL Y BUEN DISEÑO DE UNA CURVA VERTICAL DE CARRETERA

Figura 3.9 MAL Y BUEN DISEÑO DE UNA CURVA VERTICAL DE CARRETERA



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Figura 3.9 MAL Y BUEN DISEÑO VERTICAL DE UN SECTOR DE CARRETERA




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Las normas de servicios técnicos de la Secretaría de Comunicaciones y Transportes, en sección

de proyecto geométrico de carreteras, indica las siguientes normas de cálculo para las curvas

verticales:

Tangentes.- Las tangentes verticales estarán definidas por su pendiente y su longitud.

a.- Pendiente gobernadora.- Los valores máximos determinados para la pendiente gobernadora se

indican en la siguiente tabla de valores máximos de las pendientes gobernadora y de las pendientes

máxima para los diferentes tipos de carreteras y terreno.

b.- Pendiente máxima.- Los valores determinados para pendiente máxima se indican en la

siguiente tabla de valores máximos de las pendientes gobernadora y de las pendientes máxima para

los diferentes tipos de carreteras y terreno.

c.- Pendiente mínima.- La pendiente mínima en zonas de sección en corte y/o bacón no deberá ser

menor del cero punto cinco por ciento (0.5%) y en zonas con sección de terraplén la pendiente

podrá ser nula.

d.- Longitud crítica.- Los valores de la longitud crítica de las tangentes verticales con pendientes

con pendientes mayores que la gobernadora, se obtendrán de la grafica de longitud crítica de

tangentes verticales con pendiente mayor que la gobernadora.

Valores máximos de las pendientes gobernadoras y de las pendientes máximas

CARRETERA

TIPO

PENDIENTE GOBERNADORA (%) PENDIENTE MAXIMA (%)

Tipo de terreno Tipo de terreno

Plano Lomerío Montañoso Plano Lomerío Montañoso

E - 7 9 7 10 13

D - 6 8 6 9 12

C - 5 6 5 7 8

B - 4 5 4 6 7

A - 3 4 4 5 6

LONGITUD CRÍTICA DE TANGENTES VERTICALES CON PENDIENTE MAYOR QUE LA GOBERNADORA

VALORES MINIMOS DEL PARÁMETRO k Y DE LA LONGITUD MINIMA ACEPTABLE DE LAS CURVAS VERTICALES



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Curvas verticales.- Las curvas verticales serán parábolas de eje vertical y están definidas por su longitud y por la diferencia algebraica de las pendientes de las tangentes verticales que une.

a.- Longitud mínima:

1. La longitud mínima de las curvas verticales se calculara con la expresión: L = K A

En donde:

L = Longitud mínima de la curva vertical, en metros. K = Parámetro de la curva cuyo valor mínimo se especifica en la tabla de

valores mínimos del parámetro K y de la longitud mínima aceptable de las

curvas verticales. A = Diferencia algebraica de las pendientes de las Tangentes verticales.

2. La longitud mínima de las curvas verticales en ningún caso deberá ser menor a las mostradas en

las siguientes dos tablas: "Longitud mínima de las curvas verticales en cresta" y "Longitud mínima de las curvas verticales en columpio".

b).- Longitud máxima.- No existirá límite de longitud máxima para las curvas verticales. En caso de curvas verticales en cresta con pendiente de entrada y salida de signos contrarios, se deberá revisar el drenaje

cuando a la longitud de la curva proyectada corresponda un valor del parámetro K superior a 43.

Calculo de curvas verticales Para el calculo y trazo de las curvas verticales es necesario contar con un perfil del terreno, así como las

longitudes y pendientes de cada segmento del camino. Es necesario revisar que la pendiente en estos segmentos del camino nunca sea mayor a la pendiente máxima dada por la tabla de tipos y características de

caminos.

Es necesario también respetar las condiciones de longitud mínima de las curvas verticales en cresta y columpio.

Las formulas de trazo de curvas verticales son en comparación, más simples que las de curvas horizontales,

como se muestra a continuación.



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Ejemplo:

PIV

PCV PTV

P

d

S1 % -S2 %

Km PIV = 80+930

Elev PIV = 95.56 m

S1 = 4.6 %

S2 = -6.0 %

Solucion:

a) Longitud de la curva vertical (LCV):

N = S1 - S2 = 4.6 – (-6.5) = 10.60 ~ 11 estaciones

LCV = 11 (20.00) = 220.00 m N = 11

b) Kilometraje del PCV y del PTV:

c) Elevaciones del PCV, PTV y P:

½(LCV)S1 = 110.00 (4.60 / 100) = 5.06 m

½(LCV)S1 = 110.00 (6.00 / 100) = 6.60 m

d) Cotas de estaciones sobre la tangente de entrada:

Desnivel por estación = hEST = S1 / (N/2) = 4.60 / 5 = 0.92 m

N/2 tiene que ser redondeado hacia abajo.

Km PIV = 80+930 Km PIV = 80+930

-1/2 (LCV) = -110 +1/2 (LCV) = +110

Km PCV = 80+820 Km PTV = 81+040

Elev PIV = 95.56 m Elev PIV = 95.56 m Elev PIV = 95.56 m

-1/2 (LCV)S1 = -5.06 m -1/2 (LCV)S2 = -6.60 m +1/2 (LCV) S1 = +5.06 m

Elev PCV = 90.50 m Elev PTV = 88.96 m Elev P = 100.62 m



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Estación Cota Estación Cota

PCV 80+820 90.50 PIV 80+930 95.56

+0.92 +0.46

+840 91.42 +940 96.02

+0.92 +0.92

+860 92.34 +960 96.94

+0.92 +0.92

+880 93.26 +980 97.86

+0.92 +0.92

80+900 94.18 81+000 98.78

+0.92 +0.92

+920 95.10 +020 99.70

+0.46 +0.92

PIV 80+930 95.56 P 81+040 100.62

e) Constante K:

K = d / N2 = (cota de P – cota de PTV) / N

2

K = (100.62 – 88.96) / (11)2 = 0.09636

f) Correcciones que se aplican a las cotas dadas sobre la tangente para obtener las

cotas sobre la curva:

c = K n2 = (0.09636) n

2

g) Cotas sobre la curva.

Estaciones n n

2 Cotas / tang c = K n

2 Cotas / curva

PVC 80+820 0 0 90.50 0 90.50

+840 1 1 91.42 -0.10 91.32

+860 2 4 92.34 -0.39 91.95

+880 3 9 93.26 -0.87 92.39

+900 4 16 94.18 -1.54 92.64

+920 5 25 95.10 -2.41 92.69

PIV 80+930 5.5 30.25 95.56 -2.91 92.65

+940 6 36 96.02 -3.47 92.55

+960 7 49 96.94 -4.72 92.22

+980 8 64 97.86 -6.17 91.69

81+000 9 81 98.78 -7.81 90.97

+020 10 100 99.70 -9.64 90.06

PTV 81+040 11 121 100.62 -11.66 88.96

NOTAS: La curva calculada es una cima y por tal motivo las correcciones son negativas. En el caso de que la curva

sea en columpio, las correcciones son positivas y se sumaran a las cotas dadas sobre la tangente.

La cota del último punto debe ser igual a la calculada para el PTV.



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3.9.- EMPLEO SIMULTANÉO DE LAS CURVAS VERTICALES YHORIZONTALES.

Con relación a la combinación del alineamiento horizontal con el vertical se procurara observar lo

siguiente:

a. En alineamientos verticales que originen terraplenes altos y largos son deseables alineamientos

horizontales rectos o de muy suave curvatura.

b. Los alineamientos horizontal y vertical deben estar balanceados. Las tangentes o las curvas

horizontales suaves en combinación con pendientes fuertes y curvas verticales cortas, o bien una

curvatura excesiva con pendientes suaves corresponden a diseños pobres. Un diseño apropiado es

aquel que combina ambos alineamientos ofreciendo el máximo de seguridad, capacidad, facilidad

y uniformidad en la operación, además una apariencia agradable dentro de las restricciones

impuestas por la topografía.

c. Cuando el alineamiento horizontal esta constituido por curvas con grados menores al máximo,

se recomienda proyectar curvas verticales con longitudes mayores que las mínimas especificadas;

siempre que no se incremente considerablemente el costo de construcción de la carretera.

d. Conviene evitar la coincidencia de la cima de una curva vertical en cresta con el inicio o

terminación de una curva horizontal.

e. Debe evitarse proyectar la cima de una curva vertical en columpio en o cerca de una curva

horizontal.

f. En general, cuando se combinen curvas verticales y horizontales, o una este muy cerca de la

otra, debe procurarse que la curva vertical este fuera de la curva horizontal o totalmente incluida

en ella, con las salvedades mencionadas.

g. Los alineamientos deben combinarse para lograr el mayor numero de tramos con distancias de

visibilidad de rebase.

h. En donde este previsto el proyecto de un entronque, los alineamientos deben de ser lo mas suave

posible.

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