Caso de EstudioBuses EscolaresAsignatura: Optimizacin deSistemas llProfesor(a): Palo !onz"lez Bre#is$ec%a: Concepcin& '' (unio ')*+Alumnos(as):!allardo C,& -uan .gnacio/oreira B,& -a#ierPu(ol .,& SeastianResumen Ejecutivo.El resumen ejecutivo no debe pasar en pginas del 5%del total delcontenido del informe (si el informe tiene 100 pginas, el resumen deberanser menor a 5).En esta parte, se debe resumir lo ue dice el informe, de modo ue !"!#$!E% &$' ($)*!+&,,(-$.&na forma fcil de prepararlo es, comen.ar se/alando el objetivo del informe(no poru0 se 1ace el informe sino lo ue se uiere presentar 2 mostrar en0l, es decir#no decir ue es porue es una tarea), seguir con losantecedentes previos o generales del problema para conte3tuali.ar al lectorconel problema. ,ontinuar conel desarrollo. Estapartesere4erealadiscusi5n 2 los aportes propios del informe, es decir, los conocimientos ueel informe entregar al lector. 6inalmente, se deben agregar las conclusionesdel trabajo, especialmente auellas ms relevantes 2 ue obedecen alobjetivo del trabajo.'cordarse de ue las conclusiones emanan del anlisis.'Contenido.ndice de contenidos.*, .ntroduccinp"g,', $ormulaciones p"g,',*, datosA, p"g,',', datosA, con nue#a restriccinp"g,',0, datosB, p"g,0, 1espuestas 2 1ecomendacionesp"g,3, Conclusiones p"g,+, 1eferencias p"g,ndice de fguras.)odaslas4guras, esuemaseimgenesdel informedebennumerarse2tener un ttulo, adems de indicarse au con la pgina en ue est.ndice de tablas.)oda la informaci5n de indicadores, medidas 2 otros ue puedan 27o debantabularse, deben incluirse en una )abla, numerarse 2 tener un ttulo, ademsde indicarse au con la pgina en ue est.0. INTRODUCCIN.4aoptimizacinpermiteencontrarm"5imos2m6nimosaprolemastericos 2 del mundo real a tra#7s de modelos matem"ticos, El caso deestudiopresentado& tratasoreuncolegiodelaciudaddeConcepcin8ue desea implementar un sistema de transporte para sus alumnos, 4aidea es 8ue este nue#o sistema sea lo m"s econmico posile& es decirminimizar loscostos9(os 2costos #ariales 8ue#ienensu(etos asupuesta en marc%a, Para lograr este o(eti#o se dee formular un modelode programacin linealentera 8ue #iene su(eto a distintas restricciones8ue se tienen 8ue ser cumplidas, El modelo propuesto se implementar"en el soft:are .B/.4O!CP4E;Optimization Studio& con el cual seencontrar"n soluciones ptimas a los prolemas planteados,3A continuacin se presentan formulaciones para los distintosprolemas propuestos& seguidas de respuestas 2 recomendacionespara 8ue el director del colegio pueda tomar la me(or decisin,'.ormulaci!n.El caso de estudio uses escolares& se aseme(a a un prolema de #e%iculode reparto con capacidad (C (4&O) & donde 4>?l)&@&l**A es el set de nodos siendo ) el colegio& 2 los nodos restantes&paraderos& 2el set O>?(li&l(): li&l(B4& iC( Aunset dearcos, Cadanodoli 0Ltiene asociado una demanda entera positi#a Ai(este casoalumnos) & 2cadaarco(li&l() tieneuncostoasociado(enestecaso&unadistancia di() ,El prolemaconsisteendeterminar unset derutasparalosD>?*&@&EAuses a contratar siguiendo las siguientes restricciones: Cada ruta dee empezar en el colegio 2 terminar en el colegio, =odos los alumnos deen ser recogidos, 4os alumnos de un mismo paradero& deen ser recogidos por el mismous, 4acantidaddealumnos 8uereco(aunus& nopuedee5ceder sucapacidad m"5ima FD,El costototal detodaslasrutasdeeserminimizado, Acontinuacin& sepresentalaformulacinmatem"ticadel prolemaparadistintoscasos, Elmodelo para los datosA, 2 datosB, es el mismo slo camian los con(untos delocalidades 2 de uses, El Gnico camio e5iste en la pregunta d) de datosAdonde se agrega una restriccin de cumplimiento de tiempo,".#. datosA, #,dZijk={1, si bus k recorre desde paraderoi a paradero j0, enotrocaso.Xk={1, si decido arrendar bus k0, enotrocasoYk=distanciaquerecorre bus k [ km]Rik=alumnos arecoger enlocalidad i por bus k HcantidadIK={1,,8}L={0,, 11}(los nGmero corresponden a .J siendo ) > Colegio) datosdij=distancia entre paraderoi a paradero j [ km]P=precio por kilmetrorecorrido [ / km] !" =costo mensual c#o"er por recorrido [ / recorrido]+$i=n%merodealumnos en paraderoi [ cantidad]&k=capacidad m'(imade bus k . funcin o(eti#o)in18Xk*!" +18Yk* Ps,aYk=i=011j=011Zijk*dij, k K , i j{+arle ,alor aY k, distancia querecorre cadabus}i=011j=011Zijk*$j-&k, k K , i j {!apacidad m'(imabus k}j=111Z0 jk=Xk, k K { &uetodos los buses salgandel colegio}i=111Zi0 k=Xk, k K { &uetodos los buseslleguenal colegio}i=011k=18Zijk=1, j L,i j {&ue todoslos paraderos sean ,isitados}i=011Zimkj=011Zmjk=0, k K , mL }{ si el bus llegaam, sale dem. balance }RikRjk+&kZijk-&k$j, i L }, j L }: i j , k K : $i+$j-&k{elimina subtours }$i-Rik-&k, i / L }, k K {capacidad ma( .}Zijk, Xk[ 0,1] i , j , k ,Y k00 kK".". datosA con nue#a restriccin (de tiempo),#,dZijk={1, si bus k recorre desde paraderoi a paradero j0, enotrocaso.Xk={1, si decido arrendar bus k0, enotrocasoYk=distanciaquerecorre bus k [ km]KRik=alumnos arecoger enlocalidad i por bus k HcantidadIK={1,,8}L={0,, 11}(los nGmero corresponden a .J siendo ) > Colegio)

datosdij=distancia entre paraderoi a paradero j [ km]P=precio por kilmetrorecorrido [ / km] !" =costomensual c#o"er por recorrido [ / recorrido]$i=n%merodealumnos en paraderoi [ cantidad]&k=capacidad m'(imade bus k .,p=,elocidad promedio de buses funcin o(eti#o)in18Xk*!" +18Yk*Ps,aYk=i=011j=011Zijk*dij, k K , i j{+arle ,alor aY k, distancia querecorre cadabus}i=011j=011Zijk*$j-&k, k K , i j {!a pacidad m'(ima bus k }j=111Z0 jk=Xk, k K { &uetodos los buses salgandel colegio}i=111Zi0 k=Xk, k K { &uetodos los buseslleguenal colegio}i=011k=18Zijk=1, j L,i j {&ue todoslos paraderos sean ,isitados}i=011Zimkj=011Zmjk=0, k K , mL }{ si el busllegaam, sale dem. balance }RikRjk+&kZijk-&k$j, i L }, j L }: i j , k K : $i+$j-&k{elimina subtours }$i-Rik-&k, i / }, kK {capacidad ma( . }Y k,p +i=011j=011Zijk$j0,3-50, k K {restricci ndetiempo }Zijk, Xk[ 0,1] i , j , k ,Y k00 kKL".$. datosB,#,dZijk={1, si bus k recorre desde paraderoi a paradero j0, enotrocaso.Xk={1, si decido arrendar bus k0, enotrocasoYk=distanciaquerecorre bus k [ km]Rik=alumnos arecoger enlocalidad i por bus k HcantidadIK={1,,10}L={0,, 20}(los nGmero corresponden a .J siendo ) > Colegio) datosdij=distancia entre paraderoi a paradero j [ km]P=precio por kilmetrorecorrido [ / km] !" =costo mensual c#o"er por recorrido [ / recorrido]$i=n%merodealumnos en paradero i [ cantidad]&k=capacidad m'(imade bus k . funcin o(eti#o)in110Xk*!" +110Yk*Ps,aYk=i=020j=020Zijk*dij, k K , i j{+arle ,alor aY k, distancia querecorre cadabus}i=020j=020Zijk*$j-&k, k K , i j {!apacidad m'(imabus k}j=120Z0 jk=Xk, k K { &uetodos los buses salgandel colegio}i=120Zi0 k=Xk, k K { &uetodos los buseslleguenal colegio}i=020k=110Zijk=1, j L,i j {&ue todoslos paraderos sean ,isitados}i=020Zimkj=020Zmjk=0, k K , mL }{ si el busllegaam, sale dem. balance }RikRjk+&kZijk-&k$j, i L }, j L }: i j , k K : $i+$j-&kE{elimina subtours }$i-Rik-&k, i / L }, k K {capacidad ma( .}Zijk, Xk[ 0,1] i , j , k ,Y k00 kK$.Resultados % Res&uestas. #.#. datos'a) Primera solucin factile4a primera solucin factile 8ue entrega CP4E; es de un costo de M+),K3N&3)E0 por recorrido, En esta parada temprana se utilizar6an todos losuses, En la siguiente tala se muestran sus recorridos %ipot7ticos con sus respecti#as distancias recorridas 2 alumnos recogidos,=ala * : Primera solucin factile(usRecorrido Distancia en )m 'lumnos1 )OEOKO) 'L&'L' 0)N8 )OLO) 'L&+LL *E9 )O*)O) *L&)K' *+: )O'O) +&E'* '+5 )O3O0O) '*&K)N 'L; )ONO) *0&KNN *'< )O*O) *&N3K *+= )O**O+O) 0+&3+ 'LOser#ando los resultados& se puede notar 8ue algunos uses no ocupan sucapacidad al m"5imo 2 recogen alumnos en un slo lugar pudiendo 8uiz"s%aer pasadopor otralocalidad& lo8ueeliminar6acostos9(os& por endeencontrando una me(or solucin, Por e(emplo& el us K slo #isita N(ConcepcinCentro') 2el us0slo#isita*)(Collao)& enlataladedatosA,5ls5 se #e 8ue la distancia entre N 2 *) es relati#amente a(a 2 lacantidad de alumnos de los dos paraderos no supera la capacidad m"5ima,Pna me(ora posile ser6a 8ue un us recorriera los dos paraderos,) Parada temprana ')Q !AP relati#oCon un !AP relati#o de ')Q& la solucin 8ue entrega CP4E; es de un costo de M3*,*L+&))N por recorrido, En este caso se utilizan solo K uses, En la tala siguiente se muestran sus recorridos %ipot7ticos con sus respecti#as distancias recorridas 2 alumnos recogidos,=ala ' : Solucin con ')Q !AP relati#o(us Recorrido Distancia en )m'lumnos1 )O'O) *N&)3N '+8 )OKOEO) 'K&NL+ 0)9 )O**O+O) +&E'* 0): )O3ONO) *N&*)* 'N5 )O*)O*O) 03&+K 0); )O0OLO) 0+&3+ 'ECon un !AP del ')Q el costo a(a en MN,3L3&0NN3 2 adem"s se reduce en ' el nGmero de uses a utilizar, Esta es una me(ora signi9cati#a considerando la naturaleza del caso, Fue sea con un !AP relati#o del ')Q 8uiere decir 8ue')Q es el m"5imo error posile 8ue tiene la solucin con respecto a la cota inferior actual del ranc%Round 8ue encontr CP4E;, El !AP es un par"metro 8ue sir#e para comproar la optimalidad de la solucin& pues si !AP > )Q estamos en el ptimo, Jependiendo del tipo de traa(o sore el 8ue se este traa(ando& se pueden pedir !APSs distintos& los m"s se#eros *)pedir"n un !AP m"s a(o (me(or calidad en la solucin& ma2or tiempo de solucin)& los m"s rela(ados& un !AP m"s alto (peor calidad en la solucin& menor tiempo de solucin),c) Tptimo del ProlemaEl ptimo del prolema 8ue entrega CP4E; es de un costo de M3*,*L+&))N por recorrido, En la tala siguiente se muestran sus recorridos %ipot7ticos con sus respecti#as distancias recorridas 2 alumnos recogidos,=ala 0 : Tptimo del Prolema(us Recorrido Distancia en )m'lumnos1 )O'O) *N&)3N '+8 )OKOEO) 'K&NL+ 0)9 )O**O+O) +&E'* 0): )O3ONO) *N&*)* 'N5 )O*)O*O) 03&+K 0); )O0OLO) 0+&3+ 'EComo se puede apreciar& la solucin encontrada en ) es la misma 8ue la solucin encontrada en c)& se tienen los mismos recorridos 2 el mismo costo, 4a diferencia est" en 8ue& al implementar el modelo en CP4E;& sin asignar como par"metro un !AP > ')Q& 2 asignar un !AP> )& nos aseguramos de %aer encontrado el ptimo del prolema& es decir 8ue no %a2a ninguna solucin me(or, Otra diferencia esta en el tiempo 8ue demora el soft:are en encontrar la solucin, Para la pregunta )& CP4E; demor Lmin, 2 *0 seg, para c) demor *'min 2 +)seg, Con un !AP> ')Q fue casi el dole de r"pido,d) Tptimo con restriccin de tiempoCon la nue#a restriccin en la 8ue el director pide 8ue lo 8ue demora un us en salir del colegio 2 #ol#er a este en no m"s de +) minutos& el ptimo 8ue entrega CP4E; es un costo de M3',K0K&)E0 por recorrido 2 se utilizar6an L uses, En la tala siguiente se muestran sus recorridos %ipot7ticos con sus respecti#as distancias recorridas& alumnos recogidos 2 duracin del recorrido,=ala 3 : Tptimo con restriccin de tiempo(us Recorrido distancia en)m'lumnos Duraci!n enmin1 )O**O) *+,''' ''8 )OKOLO) 'L,+LL '39 )OEO) *',L)) '3: )O0O*O) *',)L) '+5 )O'O) +,E'* '+**; )O+O3O) '3,E*' '+< )ONO*)O) *E,+EL 'L. #.". datos(a) Soluciones $actiles datosBPara el caso de datosB& se utiliza el mismo modelo 8ue se utiliz para datosA, Sin emargo al implementarlo en CP4E;& 7ste arro(a error (se 8ueda sin memoria) 2 no es capaz de entregar el ptimoU se detiene, A%ora& si se camian los par"metros de tolerancia 2 se acepta un !AP >+EQ & CP4E; entrega una solucin factile: el m6nimo costo encontrado es de MK+,00L&E' por recorrido 2 se utilizar6an los *) uses, En la tala siguiente se muestran sus recorridos %ipot7ticos con sus respecti#as distancias recorridas 2 alumnos recogidos,=ala +: Solucin factile !AP> +EQBus 1ecorrido Jistancia en Dm Alumnos* )O*O) *,N3K *+' )O*3O**O) '3,K33 'E0 )O'O) +,E'* '+3 )OLO+O) 'E,*+0 'K+ )O*0O*'O*+O) 'N,EL' 'NK )O*NO*)O) '3,LEK '+L )O*EO')ONO) '*,LE0 'EE )O0O3O) '*,)33 'LN )OKOEO) 'K,NL+ 0)*) )O*KO*LO) '),ENE '0A%ora& un !AP del +EQ& da espacio para pensar en una me(or solucin (o ien una cota inferior m"s alta), 4uego de %aer resuelto el modelo con los datosA& s6 se llego a un #alor ptimo igual a M3*,*L+,))N 2 saemos 8ue el modelo para los datosB es el mismo, Slo camia el tamaVo de los con(untos& siendo datosB m"s grande(m"s alumnos& m"s localidades), Se puede deducir entonces& 8ue el ptimo para datosB slo puede ser ma2or o igual al ptimo en datosA, Por lo tanto se agregar" una nue#a restriccin en la cGal la funcin o(eti#o para datosB tenga 8ue ser superior o igual a 3*,*L+&))N& 8ueda as6:110Xk*!" +110Yk*P041175,009Esta restriccin se con#ertir" en la nue#a cota inferior del prolema, Al implementar el modelo con esta nue#a restriccin& CP4E; igual entrega error*'(falta de memoria)& sin emargo es posile encontrar una solucin factile con un !AP> 03&+Q, El m6nimo costo encontrado es de MK',0EL&')K 2 se utilizar6an N uses, En la tala siguiente se muestran sus recorridos %ipot7ticos con sus respecti#as distancias recorridas 2 alumnos recogidos,=ala K: Solucin factile con nue#a restriccin 2 !AP>03&+QBus 1ecorrido Jistancia en Dm Alumnos* )O*'O*3O*+O)' )O*)O*O)0 )OKOEO)3 )OLO+O)+ )O**O*0O)KLEN$. Recomendaciones.4os costos presentados a continuacin& consideran meses de ') d6as& unaVo escolar de N meses 2 8ue cada us %ace ' recorridos diarios,0,* datosAPara la informacin entregada en la planilla datosA,5ls5 se tienen los siguientes costos,=ala :Costo por alumnos datosAAnualmente& cada alumno deer" pagar MEK,*E) en el caso 8ue los uses notengan restriccin de tiempo 2 MEN,'0E si el director decide 8ue cada us no demore m"s de +) minutos por recorrido,*0costo*recorrido costo anual costo*alumnodatosA M3*,*L+&)* M*3,E'0,))0MEK,*E)datosA (con tiempo) M3',K0K&)E M*+,03E,NN)MEN,'0E*3.CONC+U,IONE,.Es importante ue en esta parte se e3ponga lo ue se conclu25 despu0s dereali.ar el trabajo, ueestdocumentadoenel informe. 'l respecto, serecomienda> ?oner vi/etas 2 las conclusiones, separarlas en frases cortas 2 sint0ticas. $osepuederepetir el desarrollo, s5lofrasescortas, sint0ticas2ueobede.can al cora.5n del informe (lo ms importante). %i el informeabordadistintas miradas, separar las conclusiones, porejemplo en conclusiones t0cnicas,econ5micas, sociales#etc.%5lo siesnecesario. &sted no puede concluir algo ue no se anali.5 antes. ?or lo tanto, nocorresponde incluir informaci5n nueva.*+. (I(+IO-R''.)odo informe debe incluir bibliografa, la cual debe estar bien citada. Estasson las recomendaciones>Esmu2importantesaber citar unabibliografa, 2ellopuedeclaramentedenotar el nivel de rigurosidad 2 formalidad de un profesional. a. ,uando sonlibros> %eescribe autor, a/o, nombredel libro, lugar 2editorial@ pero no de cualuier manera. %e debe respetar el tipo de letra,las comas, los par0ntesis, etc. Cantor& W,& Xi%lstrom& -,$, (*NEL),Personalit2 and Social .ntelligence,Engle:ood CliY& Wue#a -erse2& PrenticeOZall,Aron& A,/, (*NE)),Educadores 2 niVos: mane(o de prolemasconductuales enniVos deedadpreescolar,Santiago& Editorial Andr7sBello,b. ,uandoseartculos derevistas> %eescribeindicandoadems deloanterior, el nombre del artculo 2 las pginas.Bottiger& P,C,& Zallein& .,Z,& [etton& P,\, (*NE+)& A Cross Wational Stud2 of4eaders%ip: Participation as a $unction of Prolem Structure and 4eaderPo:er, -ournal of /anagement Studies, ''& 'E+O0KE,c, ,uando se cita una pgina Aeb, se se/ala la direcci5n> :::,gggg,cld. ,uando se 1a obtenido informaci5n de otras personas, se escribe>Comunicacin personal: SeVor -uan !onz"lez& !erente !eneral de laempresa CompaV6a !!!!& Santiago& /arzo )N del ')*),*K. 'NE.O,.)odalainformaci5nuerespalda27ocomplementaloe3puestoenelinforme, debe incluirse al 4nal en el 'ne3o.*ecuerdeuepuedeseparar en'ne3o1, 'ne3o8, etc., demododefacilitar la comprensi5n de los antecedentes presentados en eldocumento.*L