4. CASOS PRCTICOS4.1 Probabilidad de un evento Cuatro empresas de transporte tienen 3 rutas que cubrir con diferentes busesEmpresaRuta 1Ruta 2Ruta 3Total

A3205

B44311

C0459

D55212

Total12151037

Si se selecciona un bus se quiere saber la siguiente probabilidad

a) seleccionar un bus de la ruta 1 P(A) = 12/37 = 0.3243 R// la probabilidad de seleccionar un bus de la ruta 1 es de 0.3243

b) Seleccionar un bus de la empresa C P(A) = 9/37 = 0.2432 R// la probabilidad de seleccionar un bus de la empresa C es de 0.2432

c) Seleccionar un bus de la ruta 3 o de la empresa D Como son parcialmente excluyentes, es decir tienen elementos en comn y otros no. P(A o B) = P(A) + P(B) P(AB) A: que sea de la ruta 3 B: que sea de la empresa DP(A o B) = 10/37 + 12/37 2/37 = 20/37 P(A o B) = 0.5405 R// La probabilidad de seleccionar un bus de la ruta 3 o de la empresa D es de 0.5405 d) Seleccionar un bus de la ruta 2 que sea solamente de la empresa A A: que sea de la ruta 2 B: que sea de la empresa A P(A B) = 2/37 = 0.0541 R// la probabilidad de seleccionar un bus de la ruta 2 que sea solamente de la empresa A es de 0.0541

4.2 Espacio muestral o espacio de un evento

Lanzas un dado dos veces. Cul es la probabilidad de sacar un 6 en el segundo tiro pero no en el primero?En este ejemplo, el dado es lanzado dos veces.

Primer lanzamiento

123456

Segundo lanzamiento11,12,13,14,15,16,1

21,22,23,24,25,26,2

31,32,33,34,35,36,3

41,42,43,44,45,46,4

51,52,53,54,55,56,5

61,62,63,64,65,66,6

Existen 6 resultados posibles para el primer tiro, y para cada uno de ellos, hay 6 resultados posibles para el segundo tiro. Hay 6 6, o 36, resultados posibles:Espacio muestral: {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}El espacio muestral consiste en todos los resultados para los cuales el primero tiro no fue 6, y el segundo tiro fue 6. Para el primer lanzamiento existan 5 resultados posibles que no son 6. Para cada uno de ellos, exista slo un posible resultado que era 6. Entonces hay 5 1 o 5 resultados en el espacio de eventos:Espacio de eventos: {(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6)}Nota que el tamao del espacio muestral para ambos lanzamientos es el producto del tamao del espacio muestral para cada lanzamiento. De manera similar, el tamao del espacio de eventos para dos lanzamientos es el producto del tamao de los espacios de eventos de cada lanzamiento.

4.3 Sistema completo de un evento

ComprasHombreMujerTotal

De Q. 0.01 a Q. 100.00160100260

De Q. 100.01 a Q. 500.00120145265

De Q. 500.01 a Q. 5000.00351247

Total315257572

Si se selecciona una compra se quiere saber la siguiente probabilidad:

a) Que sea de mujer y de Q. 0.01 a Q. 100.00 A: compra de mujer B: compra de Q. 0.01 a Q. 100.00 P(A y B) = 100 / 572 = 0.1748 R// La probabilidad que sea de mujer y de Q. 0.01 a Q. 100.00 es de 0.1748

b) Que sea de Q. 100.01 a Q. 500.00 P(A) = 265/572 = 0.4633 R//La probabilidad que sea de Q. 100.01 a Q.500.00 es de 0.4633 c) Que sea de hombre P(A) = 315/572 = 0.5507R// La probabilidad sea de hombre es de 0.5507

d) Que sea de mujer de Q. 500.01 a Q. 5000.00 A : compra de mujer B: compra de Q. 500.01 a Q. 5000.00 P(A o B) = P(A U B) = P(A) + P(B) P(AB) P(A o B) = 257/572 + 47/572 12/572 = 292/572P(A o B) = 0.5105 R// La probabilidad sea de mujer de Q. 500.01 a Q. 5000.00 es de 0.5105 e) Que sea de hombre de Q. 100.01 a Q. 500.00A: compra de hombre B: compra de Q. 100.01 a Q. 500.00 P(A o B) = P(A U B) = P(A) + P(B) P(AB) P(A o B) = 315/572 + 265/572 120/572 = 460/572 P(A o B) = 0.8042 R// La probabilidad sea de hombre de Q. 100.01 a Q. 500.00 es de 0.8042

4.4 Reglas de Probabilidad

4.4.1 Eventos Independientes y dependientes

Se tiene la siguiente informacin

Cliente Documentos

A 5

B 7

C 4

16

Hallar las siguientes probabilidades:

Sacando documentos sin reemplazo (dependientes)

a) La probabilidad de sacar un documento que sea del cliente A P(A) = 5/16 = 0.3125 R// La probabilidad de sacar un documento que sea del cliente A es de 0.3125

b) La probabilidad conjunta de sacar 3 documentos que sean del cliente B A: documento de cliente B en 1. Extraccin B: documento de cliente B en 2. ExtraccinC: documento de cliente B en 3. Extraccin P(A B C) = P(A) * P(B/A) * P(C/AB) P(A B C) = 7/16 * 6/15 * 5/14 = 210/ 3360 P(A B C) = 0.0625 R// La probabilidad conjunta de sacar 3 documentos que sean del cliente B es de 0.0625

c) La probabilidad de sacar 3 documentos en el orden siguiente: cliente A, B y C. A: documento de cliente A en 1. Extraccin B: documento de cliente B en 2. ExtraccinC: documento de cliente C en 3. Extraccin P(A B C) = P(A) * P(B/A) * P(C/AB) P(A B C) = 5/16 * 7/15 * 4/14 = 140/ 3360 P(A B C) = 0.04167

R// La probabilidad de sacar 3 documentos en el orden de cliente A, B y C es de 0.04167 d) Se sacan 3 documentos. La probabilidad de que el tercer documento sea del cliente B, si los dos primeros tambin lo fueron. A: documento de cliente B en 1. Extraccin B: documento de cliente B en 2. Extraccin A y B ya se dieron, queda de incgnita el tercer evento C: documento de cliente B en 3. Extraccin P(C/AB) = 5/14 = 0.3571 R// La probabilidad de que el tercer documento sea del cliente B, si los dos primeros tambin lo fueron es de 0.3571

Sacando documentos con reemplazo (INDEPENDIENTES)

a) La probabilidad de sacar 2 documentos que sean del cliente C A: documento del cliente C en 1. extraccin B: documento del cliente C en 2. extraccin P(A y B) = P(A)*P(B) P(A y B) = 4/16 * 4/16 = 16/256 P(A y B) = 0.0625 R// La probabilidad de sacar 2 documentos que sean del cliente C es de 0.0625

b) La probabilidad de sacar un documento que sea del cliente BP(A) = 7/16 = 0.4375 R// la probabilidad de sacar un documento que sea del cliente B es de 0.4375

4.5 Distribuciones de Probabilidad

4.5.1 Distribucin Poison

Las ventas de prendas de vestir de la empresa Fnix, se distribuye normalmente, de una muestra de 300 facturas y con un intervalo de 10 se obtuvo un promedio de ventas de Q. 150.00 y una varianza de Q. 144.00. Con la informacin anterior se pide:

n = 300 i = 10 X = 150 S2 = 144 S = 12 [se obtiene de la varianza] a) Las ventas en donde estn comprendidos el 95% central de los casos A = 0.95 [como es central, la mitad esta a la izquierda de la media y la otra mitad a la derecha. Dicha mitad se encuentra en la tabla 2] A2 = A1 = 0.95/2 = 0.475[Buscando el rea = 0.475 en la tabla2 obtenemos el valor de Z] Z = 1.96 [En este caso da exacto el valor de Z, en caso de no ser as el valor de Z se determina del valor de rea ms cercano a 0.475] Y teniendo la formula de z Z = (X i X) / S [podemos despejar el valor de Xi] X i = Z S + X

Como hay un rea a la izquierda, el valor de Z es negativo y el de la derecha es positivo y tendramos 2 valores de X, uno para cada Z X 1 = (-1.96)(12) + 150 = 126.48 X 2 = (1.96)(12) + 150 = 173.52 b) La probabilidad de que las ventas estn comprendidas entre Q. 120.00 y Q. 140.00X 1 = 120 X 2 = 140 (Hay que incluir al 120 y al 140, por lo que 119.5 se aproxima a 120 y el 140.5 se aproxima a 140, es decir se incluyen a los limites del numero)Z1 = (119.5 -150)/12 = -2.54 Z2 = (140.5 -150)/12 = -0.79A1 = 0.4945 A = 0.2093 P(120