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DISEÑO DE CONTROLADORESDIGITALES

Septiembre 2001

Ing. Francisco J. Rodríguez Ramírez

Introducción:

El diseño de sistemas de control es una tarea de gran importancia en la Ingeniería Eléctrica, durantemucho tiempo los diseñadores habían centrado su atención en los sistemas de tipo analógico(tiempo continuo). Sin embargo, el rápido desarrollo de la electrónica digital y el uso cada vez másfrecuente de los microprocesadores en una gran variedad de aplicaciones, creó la necesidad dedesarrollar técnicas para el diseño de controladores empleando esta tecnología. Por tal razón esimportante y necesario el contar con técnicas bien establecidas para el diseño de controladoresdigitales.

Este trabajo tiene como finalidad el presentar algunas de las técnicas más comúnmente empleadasen el diseño de sistemas de control digital, específicamente en lo referente a los sistemas delalgorítmo de control. El reporte de ninguna manera intenta ser un tratado formal de las técnicas dediseño o síntesis de algoritmos de control. Sin embargo, las técnicas que se presentan son tratadascon un cierto nivel de profundidad, adecuado para impartirse en los cursos de Control Digital.

Especificaciones de sistemas de control.

Antes de proceder a la descripción de las técnicas para el diseño de sistemas de control digital, esnecesario hacer mención de las especificaciones que se deben satisfacer para que el sistema globaltenga un desempeño adecuado. Primeramente se presentará una breve descripción de lasespecifi caciones de diseño para sistemas en tiempo continuo y posteriormente se discute comoéstas especificaciones son interpretadas y modificadas en su caso para ser empleadas en el diseñode sistemas de control digital.

Las especificaciones de diseño pueden ser agrupadas en diferentes categorías, a saber:

1. Precisión de la respuesta en estado permanente.

2. Precisión de la respuesta en estado transitorio, también conocida como la respuestadinámica.

3. Rechazo a perturbaciones

4. Esfuerzo de control

5. Sensibilidad a cambios en los parámetros del sistema

1. Precisión de la respuesta en estado permanente.

Estas especificaciones se refieren al valor que tiene la diferencia entre la señal de referencia r t( ) y lavariable de salida del sistema y t( ), en estado permanente, esto es, después que los transitorios(mayores cambios en la variable de salida (variable de interés)), son despreciables. Por otro lado,una buena medida del desempeño en estado permanente de la respuesta del sistema, es a través de la función de error en estado estable. Supóngase que se tiene un sistema con la siguienteconfiguración:

donde:

4. DISEÑO DE CONTROLADORES DIGITALES

G s( ) : Es la función de transferencia de la planta o proceso a ser controladoG sc ( ) : Es la función de transferencia del controladorY s( ) : Es la variable controlada o de salida del sistemaU s( ) : Es la variable manipulada o señal de controlD s( ) : Es la señal que representa las perturbaciones a la planta (típicamente es una señal aleatoria)M s( ) : Es la salida del controlador (señal de bajo nivel)E s( ) : Es la señal o función de errorR s( ) : Es la señal de entrada o de referencia, también denominada punto de ajuste (Set Point)

La función de error debida a la entrada de referencia (D s( ) = 0, sistema sin perturbaciones), estádada por:

E sR s

G s G sc

( )( )

( ) ( )=

+1

ahora, el error en estado estable está definido mediante la expresión :

e e tss t=

→∞lím ( )

y por el teorema del valor final se tiene:

lím límt s

e t sE s→∞ →

=( ) ( )0

por lo tanto,

e sE ssR s

G s G sss s sc

= =+→ →

lím lím0 0 1

( )( )( ) ( )

Por otra parte, de acuerdo al tipo de entrada que se esté aplicando, se pueden definir varios tipos deerrores, esto es:

a) Si la entrada de referencia es una función escalón, se define el error de posición como:

esR s

G s G sp sc R s

s

=+→

=

lím0 11

( )

( ) ( ) ( )

es s

G s G s Kp sc p

=+

=+→

lím0

1

1

1

1

( )

( ) ( )

donde:

K p : es la constante de posición y se evalúa mediante:

K G s G sp c s=

=( ) ( )

0

DISEÑO DE CONTROLADORES DIGITALES 5.

b) Si la entrada de referencia es una función rampa, se define el error de velocidad como:

esR s

G s G sv sc R s

s

=+→

=

lím0 11

2

( )

( ) ( ) ( )

es sG s G s s sG s G s Kv s

cs

c v

=+

=+

=→ →

lím lím0

2

0

1

11 1( )

( ) ( ) ( ) ( )

donde:

K v : es la constante de velocidad y se evalúa mediante:

K sG s G sv c s=

=( ) ( )

0

c) Si la entrada de referencia es una función parábola, se define el error de aceleración como:

esR s

G s G sas

cR s

s

=+→

=

lím0 1 1

3

( )

( ) ( )( )

es sG s G s s s G s G sa

sc

sc

=+

=+

=→ →

lím lím0

3

0 2 2

1

1

1 1( )

( ) ( ) ( ) ( ) K a

donde:

K a : es la cosntante de aceleración y se evalúa mediante:

K s G s G sa c s=

=2

0( ) ( )

Por otro lado, un concepto relacionado con los errores en estado estable, es el referente al tipo desistema, el cual indica el número de polos en el origen que contiene la función G s G sc ( ) ( ), teniendoasí, sistemas de tipo ‘cero’, ‘uno’ y ‘dos’, etc. La siguiente tabla muestra, la magnitud de los erroresde acuerdo al tipo de sistema:

ˆ2ƒGƒc ‚(ƒs‚)ƒG‚(ƒs‚)–b


Tipo de Sistema Tipo de Error

ep ev e a

01

1+ k p∞ ∞

1 01

kv∞

2 0 01

k a

3 0 0 0

Estas mismas ideas pueden ser aplicadas cuando el controlador es discreto (sistema de controldigital a la configuración del sistema sería en este caso:

donde:

( )G z zG s

s( )

( )= −

−1 1 Z

y la función de error (cuando no se conside ran perturbaciones, D z( ) = 0) está dada por:

E zR z

G z G zc

( )( )( ) ( )

=+1

y error en estado estable es:

e e k z E zss k z= = −

→∞ →lím lím( ) ( ) ( )

11

Los errores en estado estable se calculan a partir de las expresiones:

a) Error de posición, la entrada es una función escalón:


e zz

z G z G zp zc

= −−

+→

lím1

11

11

( )( ) ( )

eG z G z Kp

zc p

=+

=+→

lím1

1

1

1

1( ) ( )

donde:

K G z G zp c z=

=( ) ( )

1

b) Error de velocidad, la entrada es una función rampa:

e zTz

z G z G zv zc

= −−

+→

lím1 21

1

11

( )( ) ( ) ( )

( )e

Tzz G z G zv z

c

=− +→

lím1 1 1( ) ( ) ( )

donde:

Kz G z G z

Tzvc

z= −

=

( ) ( ) ( )11

Puesto que sistemas de tipo 1 se presentan con mucha frecuencia, vale la pena obtener unaexpresión que permita calcular el error de velocidad o la constante de velocidad.

A partir del diagrama de bloques del sistema se obtiene, que la función de transferencia del sistemarealimentado es:

H zG z G z

G z G zz z z z z zz p

c

c

N( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

(=

+=

− − −−1

1 2

1

K

)( ) ( )z p z p N− −2 K

y debido a que se está suponiendo que el sistema es de tipo 1, se tiene, que el error de posición escero, para lo cual tiene que cumplir:

H( )1 1=

Además, la función de error se puede expresar como:

( )E z R z H z( ) ( ) ( )= −1

Por lo que el error de velocidad es:


( )e zTz

zH z

Kvz

v

= −−

− =

→lím

1 21

11

1( )

( )( )

o bien:

1 111TK

H zzv

z= −

−→lím

( )

y aplicando la regla de L'Hopital para evaluar el límite, se obtiene:

( )1

1

11K T

ddz

H z

ddz

zvz

=

−

−

→lím

( )

( )

11K T

dH zdzv

z= −

→lím

( )

Para el error de aceleración también se puede practicar un análisis similar, sin embargo, laespecificación basada en este tipo de error se utiliza con muy poca frecuencia.

En el caso discreto (digital) también se maneja el concepto de tipo de sistema, e indica el número depolos que tiene la función G z G zc ( ) ( ) en z = 1.

2. Precisión de la respuesta en estado transitorio.

La precisión de la respuesta transitoria (respuesta dinámica), básicamente se refiere a la habilidadque posee el sistema para mantener el error (e r y= − ) lo más pequeño que sea posible en la medidaque r t( ) cambia. La respuesta transitoria es la porción de la respuesta que es debida a la localizaciónde los polos de malla cerrada del sistema. En muchos casos prácticos las características dedesempeño del sistema, ya sea en tiempo continuo o discreto, están expresadas en cantidadesdefinidas en el dominio del tiempo. Con mucha frecuencia estas características de desempeño sonreferidas en términos de la respuesta transitoria.

En casos prácticos la respuesta transitoria de un sistema de control, presenta oscilacionesamortiguadas antes de alcanzar el estado estable. Las especificaciones de la respuesta transitoriason:

1) Tiempo de retardo (t r ). Es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema alcance el50% de su valor final.

2) Tiempo de levantamiento (t l ). Es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema pasedel 10 al 90%, o del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final, dependiendo del tipo de sistemaque se esté considerando se selecciona alguno de los porcentajes mencionados. Para sistemas


que presentan comportamiento dominante como el de un sistema de segundo ordensubamortiguado se utiliza de 0 a 100%; para casos en los que el comportamiento es como el deun sistema de 2do. orden sobreamortiguado ó que presentan retrasos de transporte se prefierelos porcentajes de 10 a 90%.

3) Tiempo pico (t p). Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico desobrepaso (sobrepaso máximo).

4) Sobrepaso máximo (M m ). Es el valor máximo que adopta la respuesta del sistema sobre suvalor final (en estado estable), este suele expresarse en porcentaje y está definido mediante laexpresión:

My t y

ypp=

− ∞∞

×( ) ( )

( )100

Este parámetro es buen indicador de la estabilidad relativa del sistema.

5) Tiempo de asentamiento (t a ). Es el tiempo requerido para que la respuesta del sistemapresente variaciones, alrededor de su valor final, menores a un porcentaje previamenteestablecido, usualmente ±5%, ±2% o ±1%.

Este tiempo está directamente relacionado con la mayor constante de tiempo del sistema.

Estas especificaciones descritas, no necesariamente son aplicables a todos los casos. Sin embargo,son los que se emplean con mayor frecuencia.

Para sistemas de segundo orden, en tiempo continuo y subamortiguado, las especificacionesdescritas han sido estudiadas ampliamente, incluso se cuentan con expresiones que permitenevaluarlas. Considérese un sistema de segundo orden descrito mediante la relación:

Y sU s s s

n

n n

( )

( )=

+ +ω

ξω ω

2

2 22

donde:

ξ : Es el factor de amoriguamiento relativoωn : Es la frecuencia natural no amortiguadaα : Es el factor de amortiguamiento real y está definido como:

α ξω= n

ωd : Es la frecuencia real de oscilación y está definida como:

ω ω ξd n= −1 2


y en forma gráfica, se tiene:

Las expresiones para evaluar los parámetros de diseño (especificaciones) de la respuesta transitoriason:

Tiempo de levantamiento:

tl

n

= −

−

π θ

ω ξ1 2 ; θ ξ= −cos 1

Tiempo pico:

t p

n

= −−

π

ω ξ1 2

Sobrepaso máximo:

M epn=

−−

πξ

ω ξ1 2

Tiempo de asentamiento:

tan

+−=

5

3% ξω

tan

+−=

2

4% ξω

t an

+−=

1

46%

.

ξω


ω ξn 1 2−

−α

ξωn

θ

jω

σ

la expresión para el tiempo de asentamiento que se emplea con mayor frecuencia es la última, paravariaciones de 1% por ser la que da más precisión.

Estas especificaciones son empleadas normalmente para diseño de sistemas en tiempo continuo desegundo orden, sin embargo, pueden ser empleadas para el diseño de sistemas de mayor ordendonde se requiera una dominancia de segundo orden, ésto a través del concepto de polosdominantes. De la misma manera, estas ideas pueden ser empleadas para el diseño de sistemas entiempo discreto y la correspondencia que existe entre los parámetros en tiempo continuo y tiempodiscreto es de acuerdo a las siguientes gráficas:

a) Factor de amortiguamiento real:

b) Frecuencia real:

c) Factor de amortiguamiento relativo:


jω

" "s

σ

jω

" "z

σ

jω jω

σ σ

" "s " "z

jω jω

" "s " "z

σ σ

d) Frecuencia natural no amortiguada:

De acuerdo a lo anterior, es relativamente simple establecer una región de trabajo para ubicar a lospolos dominantes y así satisfacer un conjunto de especificaciones dado.

3. Rechazo a perturbaciones

La efectividad del sistema en lo referente a rechazo de perturbaciones se puede determinar a partirde la función de transferencia del sistema original, cuando no se considera a la entrada dereferencia, esto es, (R z( ) = 0), en este caso se obtiene:

E zG z

G z G zD z

c

( )( )

( ) ( )( )=

+1

Si la ganancia de lazo G z G zc ( ) ( ) es grande comparado con 1, esto es:

| ( ) ( )|G z G zc >> 1

se obtiene entonces:

E zD zG zc

( )( )( )

=

de donde se observa que si d k( ) es constante, para que la función de error sea cero se requiere que G zc ( ) tenga un polo en z = 1. Desde el punto de vista de la respuesta en frecuencia, lasperturbaciones serán rechazadas en el rango de frecuencias donde se cumpla:

| ( ) ( )| | ( )|G z G z G zc c> ⇒ >>1 1

y también:

| ( )| | ( ) ( )|G z G z G zc c< ⇒ ≤1 1


jω jω

" "s " "z

σ σ

4. Esfuerzo de control

Esta especificación se refiere básicamente al esfuerzo que tiene que hacer tanto el controlador como el actuador para llevar a cabo una tarea de control determinada. En este caso se tienen dosindicadores, a saber:

a) La máxima magnitud de la variable de control umáx , la cual es proporcional a:

u dt2∫

b) El esfuerzo de control o energía, que es proporcional a:

0

∞

∫ u dt|

Cabe mencionar que esta especificación puede ser utilizada directamente en el diseño del sistemade control cuando se emplean técnicas de control óptimo, puesto que estas restricciones pueden serincluidas en las funciones a minimizar.

5. Sensibilidad a los cambios en los parámetros del sistema.

Esta especificación está directamente relacionada con la robustez del sistema y los cambios en losparámetros que pueden ser tanto en la planta como en el controlador. Si los parámetros de la plantacambian, se tiene una situación similar a la de rechazo a perturbaciones. Si la ganancia del lazoalrededor del parámetro sujeto a variaciones, es grande, se obtiene una baja sensibilidad de lafunción de transferencia debida a cambios en ese parámetro.

Es necesario enfatizar que la tarea del diseñador, es alcanzar todas las especificaciones orestricciones impuestas para el diseño a fin de obtener un sistema con un desempeño adecuado. Enel presente trabajo se presentan ejemplos de diseño en los que sólo se consideran especificacionesde respuesta permanente y transitoria.

Técnicas de diseño de controladores digi tales

Esta sección tiene como finalidad el presentar algunas de las técnicas empleadas para el diseño decontroladores digitales. Las técnicas que se presentan son:

• Equivalente discreto

• Equivalente discreto considerando el retén de orden cero en el diseño

• Respuesta en frecuencia

• Método directo de Ragazzini


Diseño de controladores mediante el equi valente discreto

Esta técnica es muy simple y consiste en diseñar primeramente un controlador en tiempo continuo,para satisfacer un conjunto de especificaciones dadas. Una vez que se ha diseñado el controlador entiempo continuo, éste se discretiza mediante la técnica de mapeo de polos y ceros, empleando latransformación, z esT= .

Ejemplo:

Considérese el problema de controlar un sistema descrito mediante la función de transferencia:

G ss s

( ).

( . )=

+01

01


las especificaciones de diseño a satisfacer son: un sobrepaso máximo del 17% o menor, un tiempode asentamiento menor de 10 seg. y un error de velocidad menor que 1.

De las especificaciones mencionadas se tiene:

Si: M p ≤ ⇒ ≥17 049% .ξ

Si: t sa n≤ ⇒ ≥10 09388ω .

Los parámetros que se seleccionan son:

ξ = 05.

ωn = 1

k v =1

K sG s G sv s c=→

lim ( ) ( )0

Se propone un controlador con estructura: G scK s a

s b( ) ( )( )= +

+ . Si se considera a = 0.1 y laespecificación del error de velocidad se obtiene la relación:

b K= 01.

Por otra parte el polinomio característico de malla cerrada es:

s s2 1 0+ + + ( A )

De donde se obtiene:

b = 1 y k = 10

Por lo tanto la función de transferencia del controlador es:

G ss

sc ( ) = ++

10 1

1

Por otra parte, la frecuencia real de oscilación es de 0.866 rad/s y esto en Hertz es 0.13783, con loque se obtiene un período de 7.25s. Se tiene además, que el período de muestreo debe ser por lomenos de 6 a 10 veces menor que el período de oscilación de la señal, esto es:

0 7225 121. .≤ ≤T

Por simplicidad, se hace T = 1 segundo.

Discretizando el controlador mediante mapeo de polos y ceros se obtiene:


G zzz

( ) ..

.=

−−

6639909048

03679

Discretizando la planta, mediante la técnica del muestreador y el retén, se obtiene:

G zz

z z( ) .

.

( )( . )=

+− −

00483709672

1 09048

Y la función de transferencia de lazo cerrado es:

H zz

z z( )

. .

. .=

+− +

03212 03107

10467 067862

Al analizar la respuesta escalón (en el caso discreto), se observa en la gráfica 1 que el sobrepaso esde 47% aproximadamente, y no se satisface las especificaciones de diseño. Las gráficas 2, 3 y 4presentan los resultados de una simulación considerando el controlador discreto y la plantacontinua, salida, variable de control y función de error respectivamente. Este diseño puede sermejorado de alguna de las siguientes maneras:

a) Reduciendo el período de muestreo, de manera tal que se tomen 20 muestras por cada ciclo de la señal, lo anterior significa que se debiera contar de antemano con un procesador rápido parahacer la implantación de dicho controlador.

b) Este diseño puede ser tomado como punto de partida empleando la técnica del lugar geométricode las raíces, con lo que es factible satisfacer las especificaciones de diseño.

c) Otra posible opción es el considerar el retén de orden cero, que precede a la planta, directamente en la síntesis del controlador. Este método se describe a continuación.


Gráfica 1

Gráfica 2

Gráfica 3

Gráfica 4

Método de diseño de controladores digitales mediante el equivalentediscreto con siderando el retén de orden cero

Como se mostró en la sección anterior el diseñar el controlador discreto (digital) a partir de uncontrolador analógico, no produce en principio la respuesta deseada. Esto se debe principalmente aque el circuito de retención (retén de orden cero) produce un tiempo de retardo, el queinevitablemente se introduce en el lazo de control (sistema realimentado) al convertir el controlador analógico en el controlador digital. La técnica presentada antes no consideró este efecto del retén.Ahora se retoma la técnica y en este caso se incluye el retén al llevar a cabo el diseño del controlador analógico.


Considérese que la función de transferencia del retén de orden cero está dada por:

G sesROC

sT

( ) = − −1

al tratar de trabajar directamente con esta función de transferencia, se tienen algunos problemas,puesto que el sistema realimentado presenta las siguientes características:

a) Dificultad en el manejo, ya que se tendría un sistema con tiempo de retardo.

b) La estabilidad del sistema queda altamente restringida, además que sería difícil de determinarla, dependiendo de G s( ).

Sin embargo, es posible expresar G sROC ( ) como un cociente de polinomios en “s”, mediante laexpresión siguiente para e sT− .

e

Ts Ts

Ts Ts

Ts

TssT− =

− + −

+ + +=

−

+

12 8

12 8

12

12

2

2

( )...

( )K

De esta manera la función de transferencia del retén queda:

G sT

Ts

ROC ( ) =+

21

Puesto que sólo estamos interesados en el retardo, debido al retén y no a las características debidas a la ganancia de éste, ya que al final puede ser ajustado, la función de transferencia del retén aemplearse es:

G sT

sROC ( ) =

+

1

21

Con esta última consideración se puede ajustar libremente la ganancia del controlador, ya que de


otra manera, la ganancia quedaría indexada al período de muestreo. La configuración que se utilizapara el diseño del controlador analógico se muestra en la siguiente figura:

Ejemplo:


G ss s

( ).

( . )=

+01

01

Las especificaciones de diseño a satisfacer son: un sobrepaso máximo del 17% o menor, un tiempode asentamiento menor de 10 seg y un error de velocidad menor de 1.

De las especificaciones mencionadas se tiene:

Si M p ≤ ⇒ ≥17 0 49% .ξ

Si t sa n≤ ⇒ ≥10 09388ω .


ξ = 05.

ωn = 1

K v = 1

K sG s G sv s c=→

lim ( ) ( )0

Se propone un controlador con estructura: G scK s a

s b( ) ( )( )= +

+ .

Por otra parte, la frecuencia real de oscilación es de 0.866 rad/seg y esto en Hertz es 0.137813, conlo que se obtiene un periodo de 7.25 seg. Se tiene además, que el periodo de muestreo debe ser porlo menos de 6 a 10 veces menor que el periodo de oscilación de la señal, esto es:

0 7225 121. .≤ ≤T


Por simplicidad, se hace T = 1 segundo.

Así, la función de transferencia del retén es:

Gs sROC =

+=

+1

21

2

2

Si se hace la cancelación de alguno de los polos del sistema en malla abierta, con el cero delcontrolador, son dos las posibilidades que se tienen:

a) Cancelar el polo del retén en -2

b) Cancelar el polo de la planta en -0.1

a) Cancelar el polo del retén en -2:

G s Kss bc ( ) = +

+2

por otro lado se sabe que los polos dominantes del sistema realimentado están dados por laecuación:

s s2 1 0+ + =

así se tiene:

P s s c s s( ) ( )( )= + + +2 1 ... ( A )

además:

K sKs

s b s s svs

= ++ + +→

lím0

2 02

2 01

( )( . )

( )( )( . )

de donde se obtiene:

b K= 2 ... ( B )

por otra parte el polinomio característico del sistema realimentado está dado por:

1 0+ =G s G s G sc ROC( ) ( ) ( )

o bien:

s s s b K( . )( ) .+ + + =01 02 0 ... ( C )


De las ecuaciones (A) y (C) se obtiene:

1 01+ = +c b.

1 01+ =c b.

c K= 02.

y también debe satisfacerse la condición (B). Sin embargo, no se obtiene una solución coherente yaque el controlador resultante es inestable.

b) Cancelar el polo de la planta en -0.01 .

G s Kss bc ( )

.= ++

01

teniendo:

s c s c s3 21 1 0+ + + + =( ) ( ) ... ( A' )

b K= 01. ... ( B' )

s b s bs K3 22 2 02 0+ + + + =( ) . ... ( C' )

cuya solución es:

b = 2

c = 3

K = 15

con lo que se obtiene que ev = 133. , en lugar de 1, lo cual es aceptable. De esta manera la función detransferencia del controlador es:

G sssc ( )

.=

++

1501

2

y las funciones de transferencia discretas de la planta y del controlador son:

G zz

z z( ) .

.

( )( . )=

+− −

00483709672

1 09048

G zzzc ( ) .

.

.= −

−68112

09048

01353


y la función de transferencia del sistema realimentado es:

H zz

z z( )

. .

. .= +

− +03295 03187

08058 04542

Al analizar la respuesta escalón del sistema (en tiempo discreto), se observa que el sobrepaso es de23.5% aproximadamente y el tiempo de asentamiento es de 11seg., además de tener un error develocidad de 1.33. Comparativamente con la técnica descrita en la sección anterior, estamos máscerca de satisfacer las especificaciones de diseño. Las gráficas 6, 7 y 8, muestran los resultados deuna simulación (controlador discreto y planta continua), siendo estas gráficas la salida, la variablede control y la señal de error respectivamente.

Gráfica 5

Gráfica 6

Gráfica 7


Gráfica 8

Método de diseño basado en la respuesta en frecuencia.

El concepto de respuesta en frecuencia juega un papel muy importante en el análisis y diseño desistemas de control digital, al igual que en sistemas de control en tiempo continuo.

Antes de aplicar las bien conocidas técnicas de respuesta en frecuencia en el análisis y diseño desistemas de control en tiempo discreto, es necesario hacer algunas consideraciones a laaproximación utilizada en el plano z. Puesto que en el plano z la frecuencia aparece a través de laexpresión z e j T= Ω , si la respuesta en frecuencia se trata en dicho plano la simplicidad en lautilización de las trazas logarítmicas (trazas de Bode ), se pierde. Puesto que la transformación z esT= mapea las franjas primaria y complementarias del semiplano izquierdo del plano s al interior del círculo unitario en el plano z, la aplicación de los métodos convencionales de respuesta enfrecuencia no son aplicables al plano z ya dichos métodos trabajan con todo el semiplano izquierdodel plano s.

Esta dificultad se puede resolver al transformar la función de transferencia del plano z al plano w,esto es, emplear la transformada w, la cual se obtiene mediante una transformación bilineal,definida como:

zww

T

T= +

−1

12

2

( )

( )

Al transformar a la función de transferencia del plano z al plano w, es posible aplicar los métodosconvencionales de respuesta en frecuencia en el análisis y diseño de sistemas en tiempo discreto dela expresión (1) se obtiene:

wT

zz

=−+

2 1

1.

Nótese que esta trasformación tiene la misma forma que la transformación de Tustin.


A través de la transformación al plano z y de la transformación al plano w, la franja primaria delsemiplano izquierdo del plano s se mapea primero al interior del círculo unitario del plano z y latrasformación del plano z al plano w mapea el interior del circulo unitario al semiplano izquierdodel plano w.

Es necesario observar que el origen del plano z se mapea al punto w T= −2 en el plano w, si ahora svaría de 0 a j sω

2 a lo largo del eje imaginario del plano s, z varía de 1 a -1 sobre el círculo unitario y wvaría de 0 a infinito sobre el eje imaginario del plano w. La gran diferencia es que elcomportamiento en el plano s en el rango de frecuencia -ωs

2 a ωs2 se mapea al rango de −v a +v,

donde v es la frecuencia (ficticia) en el plano w. Esto significa que las características de respuesta en frecuencia de un filtro analógico serán reproducidas en el filtro digital y la escala de frecuenciassobre las que la respuesta ocurre serán comprimidas de un intervalo infinito en el filtro analógico aun intervalo finito en el filtro digital.

Además el plano w asemeja geométricamente al plano s, con la característica de que el eje defrecuencias (eje imaginario) está distorsionado en el plano w. Como se mencionó v representa lafrecuencia ficticia, esto es, reemplazando w por jv y las técnicas convencionales de respuesta enfrecuencia pueden ser usadas para dibujar las trazas de Bode, donde v será utilizada como variable.Por otra parte la frecuencia ficticia (v) y la frecuencia real (w) están relacionadas mediante:

w jvT

zz T

eew jv z e

j T

j Tj T= == = −

+= −

+2 1

1

2 1

1Ω

Ω

Ω

jvT

e e

e e

j T j T

j T j T= −+

−

−

2 2 2

2 2

Ω Ω

Ω Ω

vT

e ej

e e

j T j T

j T j T=

−

+

−

−

2 2

2

2 2

2 2

Ω Ω

Ω Ω

vT

T= 22

tanΩ

adicionalmente si ΩT es pequeño, entonces:

v ≈ ω

Esto último significa que valores pequeños valores de ΩT las funciones G s( ) y G w( ) se parecen unaa la otra.


A manera de resumen, la transformada w mapea el interior del círculo unitario del plano z alsemiplano izquierdo del plano w. Por otro lado, el resultado debido a las transformaciones del plano s al plano z y del plano z al plano w es tal que el plano s y el plano w son similares en la región deinterés del plano s. Esto es porque algunas de las distorsiones causadas por la trasformación delplano s al plano z se compensan de manera parcial por las distorsiones causadas mediante latransformación del plano z al plano w.

Ventajas del uso de las trazas de Bode en el diseño de sistemas de control.

La utilización de las trazas de Bode en el análisis y diseño de sistemas de control es útil por lassiguientes razones:

1. La curva asintótica de baja frecuencia de la traza de magnitud es indicativa de alguna de lasconstantes de los errores en estado estable, K p ,K v o K a .

2. Las especificaciones de respuesta transitoria pueden ser traducidas en especificaciones derespuesta en frecuencia, como son: margen de ganancia, margen de fase, ancho de banda, etc.Estas especificaciones pueden trabajarse con cierta facilidad en las trazas de Bode.

3. El diseño de controladores (compensadores) digitales para satisfacer especificaciones dadas (en términos de márgenes de ganancia y fase) puede llevarse a cabo en las trazas de Bode de unamanera sencilla.

Procedimiento de diseño de controladores en el plano w.

El esquema del sistema de control a utilizar es, en este caso, como el que se muestra en la siguientefigura:

El procedimiento de diseño es como se describe en los siguientes pasos:

1. Obtener G z( ), empleando la técnica del muestreador y el retén, estos es:

( )G z zG s

s( )

( )= −

−1 1 Z


Posteriormente se transforma G z( ) a la función de transferencia G w( ), mediante la transformaciónbilineal:

zww

T

T=

+−

1

12

2

( )

( )

Esto es,

G w G zz

w

w

T

T

( ) ( ) ( )

( )

==

+−

1

12

2

Es importante que el periodo de muestreo T sea seleccionado apropiadamente. Una buena regla esmuestrear a una frecuencia 10 veces mayor que el ancho de banda del sistema realimentado (entiempo continuo).

2. Sus tituir w por jv en la función de tran sferen cia G w( ) y dibujar las tra zas de Bode de G jv( ).

3. Determinar a partir de las trazas de Bode (magnitud y fase), las constantes de los errores enestado estable, el margen de ganancia y el margen de fase.

4. Asumiendo que la ganancia de baja frecuencia del controlador discreto (digital) con función detransferencia G wc ( ) es unitaria, determinar la ganancia del sistema para satisfacer lasespecificaciones de diseño de estado estable (error en estado estable). Ahora empleando lastécnicas convencionales de diseño para sistemas en tiempo continuo, determinar los polos yceros de la función de transferencia del controlador (recordando que G wc ( ) es una funcióndescrita por el cociente de dos polinomios en w). De este modo la función de transferencia delsistema de malla abierta está dada por G w G wc ( ) ( ).

5. Transformar la función de transferencia del controlador del plano w ( G wc ( )) al plano z (G zc ( ))mediante la transformación bilineal:

wT

zz

= −+

2 1

1.

esto es,

G z G wc c wT

z

z

( ) ( )==

−+

2 1

1

Verificar si la función de transferencia del controlador obtenida G zc ( ), satisface lasespecificaciones de diseño. En caso de que no sea así, regresar al punto 4 y rediseñar elcontrolador.

En el procedimiento de diseño descrito, es importante tener en cuenta lo siguiente:


a) La función de transferencia G w( ) es de fase no mínima, por lo que, la traza de ángulode fase es diferente a las curvas típicas de funciones de transferencia de fase mínima.Es entonces necesario tener cuidado en trazar la curva de fase en forma adecuada.

b) Puesto que el eje de frecuencia en el plano w está distorsionado, es necesario tener encuenta que la relación entre v (frecuencia ficticia) y Ω (frecuencia real) está dada por:

vT

T= 2

2tan

Ω

Por ejemplo, si se especifica un ancho de banda determinado Ω b , el sistema se tiene que diseñar conun ancho de banda vb , donde:

vT

Tb= 2

2tan

Ω

Ejemplo:

Considérese un sistema en tiempo continuo descrito mediante la función de transferencia:

G ss

s s( )

( )( )=

+ +2 1

Diseñar un controlador digital, empleando las trazas de Bode en el dominio de la variable w, tal queel margen de fase sea de 60°, el margen de ganancia de 12 decibeles o más y un error de velocidad de 0.2. Asúmase que el periodo de muestreo es de 0.1 segundo.

La función de transferencia en tiempo discreto está dada por la expresión:

G z zs s s

( ) ( )( )( )

= −+ +

−15

1 21 Z

obteniéndose:

G zz

z z( )

. ( . )( . )( . )

= +− −02263 09061

09048 08187

empleando la transformación:

zww

ww

T

T= +

−= +

−11

1 0051 005

2

2

( )( )

.

.


se obtiene:

G ww w

w w( )

[ ( ) ][ ( ) ]( )[ ( ) ].

= − ++ +

25001 11 1

120

1406

11 994

Nótese que a fin de satisfacer la especificación del error en estado estable ( )K v = 5 , el controladordebe tener un integrador.

Empleando la técnica de diseño convencional de respuesta en frecuencia se obtiene la siguientefunción de transferencia del controlador, la cual satisface las especificaciones de diseño:

G ww w

w w wc ( )( )( )

( )( . )=

+ ++ +

2 1 10 1

1 100 1 01

y la función de transferencia de lazo abierto es:

G w G ww w ww wc ( ) ( )

( )( . )( . )

( )(=

+ − ++

5 1 10 1 005 1 0000246

1 100 1 01+ . )w

De las trazas de Bode mostradas en la figura (a), se determina que el margen de fase es de 60°aproximadamente, y el marge de ganancia de 22 decibeles. La ganancia de 0 decibeles se tiene en lafrecuancia de corte de 0.5 rad/s y el ángulo de fase de − °180 en la frecuencia de corte de 3.5 rad/s.

Figura a1

Figura a2


Por otro lado, usando la transformación:

wzz

= −+

2011

la función de transferencia del controlador en el dominio, satisface las especificaciones impuestas.Por otro lado, un análisis en el dominio del tiempo da los resultados mostrados en las gráficas 9, 10,11 y 12 en el siguiente orden, variable de salida (en tiempo discreto), la variable de salida (de lasimulación, controlador discreto planta continua), variable de control y la señal de error.

Gráfica 9

Gráfica 10

Gráfica 11


Gráfica 12

Método directo de Ragazzini

Para el diseño de controladores mediante este procedimiento, se parte de la siguiente configuración:

La función de transferencia del sistema realimentado está dada por la espresión:

H zG z G z

G z G zc

c

( )( ) ( )

( ) ( )=

+1

es evidente que a partir de esta expresión, es posible conocer la función de transferencia delcontrolador si se conoce la función de transferencia del sistema realimentado, la cual quedadefinida completamente a partir de las especificaciones de diseño. La función de transferencia delcontrolador está dada mediante la expresión:

G zH z

G z H zc ( )( )

( )[ ( )]=

−1

La síntesis del controlador utilizando esta expresión, resulta ser muy simple. Sin embargo, se debenobservar las siguientes restricciones:

1. Causalidad

G zc ( ) es causal si, cuando z la función es bien comportada.


Para que G zc ( ) sea causal, es necesario que H z( ) tenga un cero en infinito del mismo orden que losceros en infinito de G z( ), esto es:

G z H zz z

( ) ( )→∞ →∞

=

2. Estabilidad

El polinomio característico de la función de transferencia del sistema realimentado está dado por:

1 0+ =G z G zc ( ) ( )

por otro lado, si G zc ( ) y G z( ) se definen mediante:

G za zb zc ( )( )

( )=

y

G zc zd z

( )( )

( )=

entonces, el polinomio característico está dado por:

a z d z c z b z( ) ( ) ( ) ( )+ = 0

Supóngase que el sistema original G z( ), tiene un polo inestable y éste quiere ser eliminadomediante un cero del controlador, se tiene entonces la condición:

a z z a z( ) ( ) ( )= − ′α

y

c z z c z( ) ( ) ( )= − ′α

considerando que:

α > 1

así, el polinomio característico del sistema realimentado queda:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z a z d z z c z b z− ′ + − ′ =α α 0

o bien:


( )( ( ) ( ) ( ) ( ))z a z d z c z b z− ′ + ′ =α 0

de la ecuación anterior es claro, que cuando se trata de hacer la cancelación de un polo inestable, loúnico que se obtiene es que el sistema realimentado también es inestable.

Nota: Debe evitarse toda cancelación de polos inestables.

Comentarios:

( ( ))1− H z debe contener como ceros a todos los polos de G z( ) están fuera del círculo unitario.

H z( ) debe contener como ceros a todos los ceros de G z( ) que están fuera del círculo unitario.

3. Precisión de la respuesta permanente

E z R z H z( ) ( )( ( ))= −1

y suponiendo que el sistema es de tipo “1”

ep = 0

e lím zz

zH zp z

= −−

− =→1

11

1 0( ) ( ( ))

por lo tanto:

H( )1 1=

por otra parte, el error de velocidad está dada por:

e límz

zH z

Kv zv

=−

− =

→1 211

1

( )( ( ))

de donde se obtiene:

1

1KT

dH zdzv z

= −=

( )

Con la consideración de estas restricciones, se obtiene un diseño adecuado, esto es, el controladores causal y estable.

Ejemplo:



G ss s

( ).

( . )=

+01

01

las especificaciones de diseño a satisfacer son: un sobrepaso máximo del 17% o menor, un tiempode asentamiento menor de 10 segundos y un error de velocidad menor que 1.

por lo tanto:

b0 0=

También se sabe que, H( )1 1= , teniendo entonces:

Hb b b b

( ).

1058198

11 2 3 4=+ + + +

=K

se obtiene:

b b b b1 2 3 4 058198+ + + + =K . ... (1)

y de la ecuación:

1

1KT

dH zdzv z

= −=

( )

se obtiene:

b b b b1 2 3 42 3 4 053184+ + + + =K . ... (2)

resolviendo sólo para dos constantes b1 y b2 , a fin de no asignar valores arbitrarios, ya queúnicamente se tienen dos ecuaciones linealmente independientes, se obtiene:

b1 063212= .

b2 005014= − .

finalmente la función de transferencia del sistema realimentado es:

H zz

z z( )

. .

. .= −

− +063212 005014

0 7859 036792

11 0418020 7859 036792− = − −

− +H z

z zz z

( )( )( . )

. .

y la función de transferencia del controlador es:


G zz zz zc ( ) .

( . )( . )

( . )( .=

− −+ −

1306809048 007932

09672 041802)

Al analizar la respuesta escalón del sistema (en tiempo descrito) de la gráfica 13, se observa que elsobrepaso es del 19.7% y el tiempo de asentamiento es de 9 segundos. Sin embargo, al llevar a cabola simulación (controlador discreto y planta continua), se observa que la respuesta del sistemapresenta oscilaciones (oscilaciones escondidas u oscilaciones entre instántes de muestreo) y elsobrepaso aumentó hasta el 35% aproximadamente, estas oscilaciones no aparecieron en larespuesta en tiempo discreto y sólo pueden ser analizadas mediante el método de la transformada Zmodificada. En las gráficas 14, 15 y 16 se muestran, la salida, la variable de controly la señal deerror respectivamente.

Gráfica 13

Gráfica 14


Gráfica 15

Gráfica 16

De las especificaciones mencionadas se tiene que:

Si M p ≤ ⇒ ≥17 0 49% .ξ

Si t sa n≤ ⇒ ≥10 09388ω .


ξ = 05.

ωn = 1

de este modo el polinomio característico es:

s s2 1 0+ + =

si se considera que el peiodo de muestreo es de 1 segundo, de los ejemplos anteriores y haciendo elmapeo del polinomio característico al plano discreto, se obtiene:

z z2 07859 03679 0− + =. .


y la función de transferencia del sistema realimentado se puede suponer con la siguiente estructura:

H zb b z b z b z b z

z( )

. .=

+ + + + +− +

− − − −

−0 1

12

23

34

4

11 07859 0367

K

9 2z −

y se sabe además, que la función de transferencia de la planta está dada por:

G zz

z z( ) .

.( )( . )

= +− −

00483709672

1 09048

Ahora, aplicando la restricción de causalidad se tiene que:

G zz

( )→∞

= 0

y

H zz

( )→∞

= 0

Por lo expuesto, es entonces necesario investigar cuale son las causas de dichas oscilaciones y éstose puese saber al analizar que es lo que esta entrando a la planta. Del diagrama original se deduceque el problema es propiciado por la variable de control. Si se calcula la función de transferenciaentre la variable de control y la señal de referencia, siendo ésta:

U zR z

G zG z G z

c

c

( )

( )

( )

( ) ( )=

+1

Sustituyendo G z( ) y G zc ( ) en la expresión anterior se tiene que:

U zR z

z z zz z

( )

( ).

( . )( )( . )

( .= − − −

−1306

00793 1 09048

078592 + +03679 09672. )( . )z

El problema es en este caso, el polo situado en -0.9672, que está produciendo las variaciones de lavariable de control, entre valores positivos y negativos. Además, puesto que el polo está muycercano al círculo unitario, tiene que transcurrir un tiempo relativamente grande para que su efectodesaperezca. Este problea puede ser resuelto, si se elimina este polo, la única forma es con laadición de un cero en -0.9672 y debe estar contenido como uno de los ceros de la función detransferencia de malla cerrada, esto es, adicionar el término b z3

3− y el procedimiento a seguir, escomo se presenta a continuación. De las especificaciones de estado permanente se obtienen lasecuaciones:

b b b1 2 3 058196+ + = .

b b b1 2 32 3 053184+ + = .

la tercera ecuación se obtiene de la forma:


b z b z b z Q z11

22

33 1− − − −+ + = ( )

se sabe que z + 09672. debe ser factor de Q z( ), después de algunas manipulaciones algebraicas seobtiene la tercera ecuación, siendo ésta:

b b b1 2 31034 1067 0− + =. .

resolviendo, se obtiene:

b1 0 4667= .

b2 02807= .

b3 01654= − .

y la función de transferencia de malla cerrada es:

H zz z

z z z( )

. ( . . )

. .= + −

− +04667 06014 03544

0 7859 03679

2

3 2

y la función de transferencia del controlador es:

G zz zz zc ( ) .

( . )( . )

( . )( .=

− −− +

9648509048 03662

05522 02996)

Con esta nueva función de transferencia del controlador, se observa de la respuesta escalón (entiempo discreto) en la gráfica 17, que el sobrepaso es del 28% aproximadamente y en la simulación(planta continua controlador discreto), se conserva este sobrepaso. Los resultados se muestran enlas gráficas 18, 19 y 20, esto es, salida, variable de control y señal de error respectivamente.

Gráfica 17


Gráfica 18

Gráfica 19

Gráfica 20


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