Cen Matematicas

MATEMÁTICAS

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-13

Temario

Conceptos básicos de la teoría de conjuntos.

Estructuras algebraicas.11

113MATEMÁTICAS

1. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS

1.1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS. REPRESENTACIÓN DE UN CONJUNTO

1.2. INCLUSIÓN E IGUALDAD DE CONJUNTOS

1.3. CONJUNTO DE LAS PARTES DE UN CONJUNTO

1.4. OPERACIONES CON CONJUNTOS

1.4.1. Intersección de conjuntos: propiedades

1.4.2. Unión de conjuntos: propiedades

1.4.3. Complementación: propiedades

1.4.4. Diferencia de conjuntos: propiedades

1.4.5. Diferencia simétrica de conjuntos: propiedades

1.5. ÁLGEBRA DE BOOLE DE LAS PARTES DE UN CONJUNTO

2. PRODUCTO DE CONJUNTOS

2.1. PAR ORDENADO: GENERALIZACIÓN

2.2. PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS: PROPIEDADES

3. RELACIONES BINARIAS

3.1. IDEAS GENERALES SOBRE UNA RELACIÓN BINARIA: PROPIEDADES

3.2. RELACIONES DE EQUIVALENCIA

3.3. RELACIONES DE ORDEN

4. APLICACIONES ENTRE DOS CONJUNTOS

4.1. CORRESPONDENCIAS

4.2. APLICACIONES: TIPOS DE APLICACIÓN

5. CONCEPTO DE OPERACIÓN EN UN CONJUNTO

5.1. DEFINICIONES

5.2. PROPIEDADES DE UNA OPERACIÓN INTERNA DEFINIDA SOBRE UN CONJUNTO

5.3. ELEMENTOS NOTABLES EN (A, *)

5.3.1. Elemento neutro

5.3.2. Elemento simétrico

5.3.3. Elemento regular o simplificable

5.3.4. Elemento idempotente

4 TEMARIO

6. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

6.1. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON UNA OPERACIÓN INTERNA

6.1.1. Semigrupo y monoide

6.1.2. Grupo

6.2. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON DOS OPERACIONES INTERNAS

6.2.1. Semianillo

6.2.2. Anillo

6.2.3. Ideal: clases de ideal

6.2.4. Cuerpo y semicuerpo

6.2.5. Retículo: clases de retículo

6.3. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON UNA OPERACIÓN INTERNA Y OTRA EXTERNA

6.3.1. Estructura de semimódulo

6.3.2. Estructura de módulo. Submódulo

6.3.3. Estructura de espacio vectorial

115MATEMÁTICAS

INTRODUCCIÓN

George Cantor fue el precursor a finales del siglo XIX de una de las nociones fundamen-tales de las Matemáticas: la teoría de conjuntos. Nos ofreció la siguiente definición: «Un conjunto es la colección de un todo de determinados objetos bien definidos y diferenciables los unos de los otros en nuestra contemplación o pensamiento, formando una totalidad»

Esta definición fue la base para la aparición de múltiples nuevas definiciones, relaciones y operaciones entre conjuntos, axiomas e, incluso, contradicciones que obligaron a los ma-temáticos de la época a replantearse todas las definiciones y demostraciones dadas hasta el momento y formalizar así toda la Matemática como hoy en día la conocemos aunque puede decirse que en todas las épocas los matemáticos y los filósofos han empleado razonamien-tos de la teoría de conjuntos de forma más o menos consciente.

La teoría de conjuntos, en el sentido que le damos hoy día, se debe a G. Cantor (1845-1918).

A lo largo del tema se estudia con detalle todo lo relacionado con la teoría: operaciones sobre conjuntos, álgebra de boole, relaciones binarias, aplicaciones entre dos conjuntos, estructuras algebraicas, etc.

6 TEMARIO

1 CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS


Un conjunto es una colección de objetos diferentes que pueden ser concretos o abstractos. Los objetos que lo forman se denominan elementos.

Para denotar los conjuntos se utilizan letras mayúsculas y para los elementos, minúsculas.

Un conjunto está determinado cuando se conoce cuáles son los objetos que lo forman, es decir, cuáles son sus elementos. Para determinar un conjunto hay dos métodos: por extensión y por compresión.

a) Un conjunto está determinado por extensión cuando se enumeran to dos sus elementos.

Ejemplo:

A = { a, e, i, o, u}

b) Un conjunto está determinado por comprensión cuando se da una propiedad que verifican todos y cada uno de sus elementos y sólo ellos.

Ejemplo:

− El conjunto de los números naturales menores que 10. − El conjunto de todas las letras del alfabeto.

Un caso particular de determinación de un conjunto por compresión es definir-lo dando una propiedad recursiva, es decir, dando una ley que permita cons-truir el conjunto a partir de los primeros elementos.

Ejemplos:

A = {1, 11, 111, 1111, ...}

Para indicar que un elemento a pertenece al conjunto A escribiremos a ∈ A, y para indicar que el elemento b no pertenece al conjunto A se escribe b ∉ A.

Las formas más usadas para representar conjuntos son:

a) Diagrama lineal. Consiste en señalar sobre una línea recta todos los elementos del conjunto.

Ejemplo:

El conjunto A = {a, e, i, o, u} se puede representar así:

117MATEMÁTICAS

b) Diagrama de Venn o Conjuntos de Euler. Los conjuntos vienen representa-dos por una región del plano limitada por una curva cerrada. Los elementos se representan por puntos situados en el interior de la curva. El conjunto anterior se representaría:

Algunos conjuntos reciben un nombre particular:

− Llamaremos conjunto vacío (∅) al conjunto que no tiene ningún elemento. − Llamaremos conjunto unitario al conjunto que tiene un solo elemento. − Llamaremos conjunto universal o referencial a un conjunto suficientemen-te extenso como para contener los conjuntos que estamos trabajando.

El número de elementos de un conjunto A recibe el nombre de cardinal del conjunto A. Se simboliza: n(A) o card(A).

Atendiendo al número de elementos, un conjunto es finito si n(A) ∈ N. Todo conjunto que no es finito, se dice infinito.


X Inclusión de conjuntos

Definición: se dice que el conjunto B es un subconjunto de A, o que está incluido en A y lo denotaremos B ⊂ A, si todo elemento de B es elemento de A

B ⊂ A ⇔ ∀ x ∈ B ⇒ x ∈ A

Si B no está incluido en A se expresa por B ⊄ A.

Es importante observar que:

a) ∅⊂ A cualquiera que sea A.

b) A ⊂ A cualquiera que sea A.

Los subconjuntos de A distintos del vacío y del propio A se llaman subconjuntos propios. El conjunto A y el vacío reciben el nombre de subconjuntos impropiosde A.

La representación de B ⊂ A en un diagrama de Venn es:

8 TEMARIO

Propiedades de la inclusión:

1. Reflexiva: A ⊂ A.

2. Antisimétrica: A ⊂ B y B ⊂ A ⇒ A = B.

3. Transitiva: A ⊂ B y B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.

X Igualdad de conjuntos

Definición: diremos que dos conjuntos A y B son iguales y lo denotaremos A = B, cuando están formados exactamente por los mismos elementos. Si A no es igual a B, escribiremos A ≠ B.

Criterio de igualdad de conjuntos: de la definición anterior se deduce que todo elemento de A es de B y que todo elemento de B es de A, luego

A = B ⇔ A ⊂ B y B ⊂ A

Son evidentes las siguientes propiedades:

1. Reflexiva: A = A.

2. Simétrica: A = B ⇒ B = A.

3. Transitiva: A = B y B = C ⇒ A = C.

1.3. CONJUNTO DE LAS PARTES DE UN CONJUNTO

Definición: Dado un conjunto universal U, se llama conjunto de las partes de U al que tiene por elementos todos los subconjuntos de U. Lo designaremos por P(U).

La determinación por extensión del conjunto P(U) cuando U es finito se puede hacer:

a) Por formación de las combinaciones sucesivas de los elementos de U y aña-diendo el conjunto vacío.

Ejemplo: si U = {a, b, c} se tiene:

P(U) = {{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, ∅}

b) Por encadenación o esquema en árbol.

La elección de un elemento la representaremos por una línea continua y la no elección, por una línea a trazos.

Ejemplo: hallar P(U) siendo U = {a, b, c}

119MATEMÁTICAS

P(U) = {{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, ∅}

En el caso anterior el número de combinaciones es:

3

0

3

1

3

2

3

31 1 2

3 3

+

+

+

= +( ) =

En general, si U tiene n elementos, P(U) tiene 2n elementos.

Definido P(U), y teniendo en cuenta las propiedades de la relación de inclusión de conjuntos, podemos adelantar que la relación de inclusión es una relación de orden en P(U).



Dados los conjuntos A y B de P(U), llamaremos intersección de A y B, y lo re-presentaremos por A ∩ B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen simultáneamente a A y a B.

En símbolos: A ∩ B = {x| x ∈ A y x ∈ B.

Es claro que si A y B son elementos de P(U), A ∩ B es otro elemento de P(U).

En un diagrama de Venn la intersección viene representada por la zona rayada.

10 TEMARIO

Dos conjuntos A y B son disjuntos si A ∩ B = ∅.

Propiedades:

∀ A, B, C ∈ P(U) se verifican las siguientes propiedades:

1. Idempotente: A ∩ A = A.

2. Conmutativa: A ∩ B = B ∩ A.

3. Asociativa: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.

4. Elemento neutro: A ∩ U = A.

5. Elemento ínfimo: A ∩ ∅ = ∅.

Dados tres conjuntos A, B, C de P(U) definimos A ∩ B ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

En general, la intersección de un número finito de conjuntos:

A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An = ∩n Ai i = 1

es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a todos los Ai. Es decir:

∩n Ai = {x | x ∈ Ai, ∀i i = 1


Dados dos conjuntos A y B de P(U), llamamos unión de A y B, y lo representare-mos por A ∪ B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de dichos conjuntos, es decir, a A o a B.

A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}

Evidentemente, si A y B son elementos de P(U), A ∪ B está formado por elemen-tos de U y será un elemento de P(U).

Gráficamente A ∪ B está representado por la zona rayada.

1111MATEMÁTICAS

Propiedades de la Unión:

∀ A, B, C ∈ P(U) se verifican las siguientes propiedades:

1. Idempotente: A ∪ A = A.

2. Conmutativa: A ∪ B = B ∪ A.

3. Asociativa: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.

4. Elemento neutro: A ∪ ∅ = A.

5. Elemento universal: A ∪ U = U.

Como consecuencia de la propiedad asociativa se puede definir la unión de más de dos conjuntos.

En general, la unión de los conjuntos Al, A2, ..., An se define:

∪n A1 = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = {x | ∃i y x ∈ Ai} i = 1

Veamos otras propiedades que relacionan la intersección y la unión.

1. Leyes de absorción:

a) De la unión respecto de la intersección:A ∪ (A ∩ B) = A ∀ A, B ∈ P(U)

b) De la intersección respecto de la unión:A ∩ (A ∪ B) = A ∀ A, B ∈ P(U)

2. Propiedades distributivas:

a) Distributiva de la unión respecto de la intersección:A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ∀ A, B C ∈ P(U)

b) Distributiva de la intersección respecto de la unión:A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∀ A, B C ∈ P(U)


Definición: Si A ∈ P(U), se llama complementario de A respecto de U al conjun-to formado por todos los elementos de U que no pertenecen a A.

Denotaremos al complementario de A por A

A = {x ∈ U | x ∉ A}

Gráficamente A– es la zona rayada.

12 TEMARIO

Propiedades:

1. a) A ∩ A = ∅

b) A ∪ A = U

2. a) ∅ = U .

b) U = ∅ .

3. A A=

= (involución)

4. A B B A⊂ ⇔ ⊂

5. Leyes de De Morgan.

a) A B A B∩ = ∪ b) A B A B∪ = ∩


Definición: Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A y B y lo denota-mos por A – B al conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B.

A – B = {x | x ∈ A y x ∉ B}

Del mismo modo B – A = {x | x ∈ B y x ∉ A}

En un diagrama de Venn

Es claro que, en general, la diferencia de conjuntos no es conmutativa.

Propiedades:

∀ A, B, C ∈ P(U) se verifica:

1. A – B = A ∩ B

2. A B A B− = ∪3. A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)

4. A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C)

5. A – B = B – A

1113MATEMÁTICAS


Definición: Se llama diferencia simétrica de dos conjuntos A y B al conjunto A Δ B definido por:

A Δ B = (A – B) ∪ (B – A)

Gráficamente A Δ B es la parte rayada:

Propiedades:

∀ A, B, C ∈ P(U) se cumple:

1. Conmutativa: A Δ B = B Δ A.

2. Elemento neutro: A ∅ = A.

3. Existencia de inverso: A Δ A = ∅.

4. Asociativa: (A Δ B)Δ C = A Δ (B Δ C).

Observación: Hacemos constar que hemos omitido las demostraciones por el carácter general y extensión conceptual del tema.


El conjunto P(U) con las operaciones ∪, ∩, —, que cumple las propiedades:

1. Idempotente: A ∪ A = A A ∩ A = A

2. Conmutativas: A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A

3. Asociativas: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

4. De absorción: A ∪ (A ∩ B) = A A ∩ (A ∪ B) = A

5. Distributivas: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

6. Del complementario: A ∪ A– = U A ∩ A– = ∅

tiene estructura de álgebra de Boole.

Se llama álgebra de Boole de las partes de U.

Observación: algunos autores unifican la propiedad idempotente y la de absor-ción.

14 TEMARIO

2 PRODUCTO DE CONJUNTOS


Definimos:

� Par ordenado es el objeto matemático formado por dos entes dados en un orden determinado. Se simboliza (a, b).«a» y «b» se denominan primera y segunda componente del par (a, b), o bien, primera y segunda proyección del par (a, b), respectivamente; esto es:

a = proy1 (a, b) , b = proy2 (a, b)

� Se dice que dos pares son iguales si y sólo si las componentes correspon-dientes son iguales entre sí, es decir:

(a, b) = (c, d) ⇔ a = c y b = d

De esta condición se deduce que:

(a, b) = (b, a) ⇔ a = b

Análogamente a como se ha definido par ordenado, podemos definir una terna como el ente matemático formado por tres objetos matemáticos en un orden de-terminado, llamados primera, segunda y tercera compo nente, respectivamente. Se representa por (a, b, c).

Un ejemplo de ello sería la forma de dar los puntos en el espacio; así, (1, 4, 3), (2, 0, –4), etc.

De igual forma, se definirían cuaternas, quíntuplas, ...

Generalización: Dados n-objetos a1, a2, ..., an, se define la n-upla como el ente matemático formado por los anteriores objetos en un orden dado.

Se simboliza por (a1, a2, ..., an).

Se verifica además:

(a1, a2, ..., an) = (b1, b2, ..., bn) ⇔ ai = bi, ∀ i = 1, 2, ..., n


Sean A y B dos conjuntos arbitrarios; se llama producto cartesiano de A y B, y se representa por A × B, al conjunto formado por todos los pares que se pueden obtener siendo la primera componente de A y la segunda de B.

Es decir:

A × B = {(x, y) / x ∈ A, y ∈ B}

Ejemplo:

Si A = {1, 2, 3} ; B = {4,2}

A × B = {(1,4), (1,2), (2,4), (2,2), (3,4), (3,2)}

1115MATEMÁTICAS

Designando el número de elementos de A y B por n(A) y n(B) respecti vamente, se verifica:

n(A × B) = n(A) · n(B)

En el ejemplo se tiene:

n(A) = 3

n(B) = 2 ,

n(A × B) = 6

Se llama diagonal de A × A, el conjunto formado por todos los pares (x,x) ∀ × ∈ A.

Representación gráfica

El producto cartesiano de dos conjuntos puede ser representado por:

a) Diagrama cartesiano: empleando la representación lineal de los conjuntos, se representan estos sobre unos ejes coordenados. Los elementos del primer conjunto se colocan sobre el eje horizontal y los del segundo, en el eje vertical. En el caso de que los conjuntos sean finitos, se forma así un retículo del que sus nudos representan los pares (los elementos del producto cartesiano).

En el ejemplo la representación obtenida sería:

Si los conjuntos son infinitos, cada uno se representará por un segmen to sobre los ejes horizontal y vertical, respectivamente. La representación obtenida para el producto cartesiano, vendrá dada por los puntos del rectángulo.

Por ejemplo:

X = {x / x ∈ , 1 ≤ x ≤ 4}

Y = {y / y ∈ , 1 ≤ x ≤ 2}

16 TEMARIO

b) Tabla de doble entrada: si los conjuntos son finitos, consiste en llevar a la izquierda de una línea vertical, los elementos del primer conjunto y sobre una horizontal (por la parte superior), los del segundo. Las cuadrículas o casillas representan los elementos del conjunto producto.

También se pueden colocar los elementos de los conjuntos en orden contrario al anteriormente citado.

Siguiendo con nuestro ejemplo, obtendríamos:

c) Diagrama sagital: representando los conjuntos, siempre en el caso de que estos sean finitos, por medio de diagramas de Venn, se trazar flechas que par-tiendo de los elementos del primer conjunto lleguen a los del segundo.

Así, siguiendo con nuestro ejemplo, sería:

(Esta representación suele reservarse para el caso de aplicaciones y relacio-nes.)

Generalización del producto cartesiano:

De forma análoga a como hemos definido el producto cartesiano de dos conjun-tos se puede definir el producto cartesiano de n-conjuntos. Dados n-conjuntos Al, A2, ..., An, definimos el producto Al × A2 × ... × An como el conjunto formado por todas las n-uplas posibles (x1, x2, ..., xn) de forma que x1 ∈ Al, ..., xn ∈ An; esto es:

Al × A2 × ... × An = {(x1, x2, ... xn) / x1 ∈ A1, ∈ ∀ i = 1, 2, ... n}

Propiedades del producto cartesiano:

Entre las más importantes citaremos:

1. El producto cartesiano de dos conjuntos no posee la propiedad conmutativa: A × B ≠ B × A

Los pares (x, y) ∈ A × B no coinciden con los (x, y) ∈ B × A, pues en general A ≠ B.

1117MATEMÁTICAS

2. Si A’ ⊂ A y B’ ⊂ B ⇒ A’ × B’ ⊂ A × B.3. Siempre que A’ ≠ ∅ y B’ ≠ ∅ si A’ × B’ ⊂ A × B ⇒ A’ ⊂ A y B’ ⊂ B. Las propiedades 2. y 3. se pueden unificar, enunciándose:

A’ × B’ ⊂ A × B ⇔ A’ ⊂ A y B’ ⊂ B

4. A × B = ∅⇔ A = ∅ o B = ∅.5. Distributiva del producto cartesiano respecto a la unión. Dados tres conjuntos arbitrarios A, B y C, se verifica:

A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) (por la izquierda)

(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C) (por la derecha)

6. Distributiva del producto cartesiano respecto a la intersección. Dados tres conjuntos cualesquiera A, B y C, se verifica:

A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) (por la izquierda)

(A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C) (por la derecha)

7. Distributiva del producto cartesiano respecto a la diferencia: Sean A, B y C, tres conjuntos arbitrarios. Se cumple:

A × (B – C) = (A × B) – (A × C) (por la izquierda)

(A – B) × C = (A × C) – (B × C) (por la derecha)

8. Si G ⊂ A × B, y (x, y) ∈ G ⇒ x = proyA (x, y), y = proyB (x, y). Al conjunto de todas las proyecciones sobre A del conjunto G se llama proyec-

ción de G sobre A. Esto es:

proyA G = {proyA (x, y), ∀ (x, y) ∈ G}

Análogamente se define el conjunto de las proyecciones sobre B del conjunto G tal que:

proyB G = {proyB (x, y), ∀ (x, y) ∈ G}

18 TEMARIO

3 RELACIONES BINARIAS

3.1. IDEAS GENERALES SOBRE UNA RELACIÓN BINARIA: PROPIEDADES

Dados dos conjuntos A y B, cualquier subconjunto del producto carte siano A × B define una relación entre los conjuntos A y B.

Se adopta la notación R = (A, B, G) o bien, R = (G, A, B) tal que si (x, y) ∈ G deci-mos que «x está relacionado con y mediante la relación R», y escribimos xRy.

Recíprocamente, xRy ⇔ (x, y) ∈ G ⊂ A × B.

Cuando sea B = A, podremos escribir R = (A, A, G) con G ⊂ A × A. Sin em bargo, adoptaremos la notación R = (A, G) o R = (G, A) y diremos que se ha de finido una relación binaria en A, pero en el lenguaje usual se abrevia diciendo simplemente «sea la relación definida sobre el conjunto A», «consideremos sobre el conjunto A la relación R», etc.

Al conjunto G ⊂ A × A, formado por todos los pares cuyos elementos se relacio-nan entre sí, se denomina grafo de relación. Simbólicamente:

G = {(x, y) ∈ A × A / xRy}

Si A es finito, es posible dar G por extensión. Sin embargo, en la mayoría de los casos, bien porque A tenga excesivo número de elementos, bien porque A sea infi-nito, no resulta cómodo o incluso es imposible; en tales casos se da un criterio que permita garantizar para cada par (x, y) ∈ A × A, si pertenece o no al grafo.

Puesto que el grafo de la relación queda determinado en cuanto se conoce el crite-rio o ley a seguir, suele identificarse tal ley o proposición con la relación misma.

Por ejemplo, se define sobre el conjunto A la relación xRy ⇔ y = 2x.

Toda relación R = (A, G), tal que G = ∅ se denomina la relación vacía, y siG = A × A, relación total.

Para la representación gráfica de las relaciones binarias utilizaremos los diagramas sagitales o de flechas, en el caso de conjuntos finitos, aunque en determinados casos se empleen los diagramas cartesianos y los tabulares. Mediante aquellos cada conjunto se representa por medio de un diagrama de Venn, de forma que cada elemento vendrá simbolizado por un punto, y para poner de manifiesto que el par (x, y) verifica la relación R, se traza una flecha que une x con y.

Ejemplo:

A = {m, n, r, o}

G = {(m, m), (m, r), (m, o), (n, r), (r, o)}

1119MATEMÁTICAS

La representación sagital de la relación definida por G sobre A será:

Veamos qué propiedades especiales pueden verificar algunas relacio nes definidas sobre un determinado conjunto.

a) Una relación R definida en un conjunto A es reflexiva si:

xRx, ∀x ∈ A

(en este caso, la diagonal del conjunto AxA está contenida en el grafo G).

b) Una relación R definida en un conjunto A es antirreflexiva si:

xRx, ∀x ∈ A

c) Una relación R definida en un conjunto A es simétrica si:

xRy ⇒ yRx

d) Dada una relación R definida en un conjunto A se dice que es antisimétrica si:

xRy y yRx ⇒ x = y

e) Dada una relación binaria en un conjunto A, diremos que dicha rela ción es transitiva si:

Si

y si

xRy

yRzxRz x y z A

⇒ ∈; , ,

f) Una relación binaria R definida en un conjunto A posee la propiedad circular si siempre que se verifica:

xRy

yRzzRx x y z A

⇒ ∈; , ,

g) Una relación binara definida sobre un conjunto A, diremos que posee la propie-dad conexa si:

∀x, y ∈ A ⇒ xRy o yRx

En líneas generales estudiemos dos tipos de relaciones: las de equivalencia y las de orden.

20 TEMARIO


X Definición 1

Una relación R definida en un conjunto A es de equivalencia si y sólo si verifica simultáneamente las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

Ejemplos:

a) La relación de paralelismo definida en el conjunto de las rectas del plano.

b) La relación de ser congruente módulo m, m > 0, en el conjunto de los enteros.

Las relaciones de equivalencia suelen ser denotadas por los símbolos ∼, ≈, ≡, =, etcétera.

Así, xRy se representa generalmente, x ∼ y.

Cuando dos elementos están relacionados entre sí por una cierta rela ción de equi-valencia, se dice que se trata de elementos equivalentes.

X Definición 2

Llamamos clase de equivalencia de x ∈ A según la relación R (o tam bién módulo R), al conjunto de todos los elementos de A ligados a x mediante la relación R.

Se representa por C (x), x–, [x], etc.

Simbólicamente C (x) = {y ∈ A / xRy} = x–.

Cada uno de los elementos de cada clase es un representante de la misma.

Es inmediato que la condición necesaria y suficiente para que dos elementosde A estén relacionados es que pertenezcan a la misma clase de equivalencia.

Ejemplo:

Sea el conjunto A = {3, 23, 183, 75, 87, 5} y definimos la relación R: «x tiene la misma cifra de las unidades que y».

Se ve que se trata de una relación de equivalencia, siendo:

� Clase de equivalencia del 3: C (3) = {3, 23, 183}

3 es el representante elegido de la clase, así como podía haberse elegido 23 o 183.

� Clase de equivalencia del 5: C (5) = {5, 75}

Igual que en C (3), el 5 es el representante elegido para identificar la clase.

� Clase de equivalencia del 87: C (87) = {87}

En este caso, 87 es el único representante de la clase.

Al conjunto formado por todas las clases de equivalencia se le llama conjunto cociente de A por la relación R o módulo R, y se representa A/R.

1121MATEMÁTICAS

En el ejemplo propuesto,

A = {3, 23, 183, 75, 87, 5}

Clases de equivalencia: C (3), C (5), C (87).

Conjunto cociente: A/R = {C (3), C (5), C (87)}.

Propiedades de las clases de equivalencia:

1. Ninguna clase de equivalencia es vacía. En efecto, sea R la relación de equivalencia definida sobre un conjunto A.

En virtud de la propiedad reflexiva ∀ x ∈ A, xRx. Luego, x ∈ C (x), siendo C (x) la clase de equivalencia de x. Por tanto, C (x) ≠ ∅.

2. Las clases de equivalencia son disjuntas entre sí, es decir, si tienen un elemento común, ambas clases coinciden.

Es inmediato ver que «condición necesaria y suficiente para que dos clases de una relación de equivalencia sean iguales entre sí es que posean un elemento en común”.

3. La unión de todas las clases de equivalencia correspondientes a una relación de equivalencia definida en un conjunto A es igual al conjunto A.

Demostración:

Las clases C (x), ∀ x ∈ A son subconjuntos de A; por consiguiente, la unión de todas ellas es también subconjunto de A; esto es:

∪C (x) ⊂ A x ∈ A

Recíprocamente, si ∀y, y ∈ A ⇒ y ∈ C (y) ⊂∪C (x); por tanto A ⊂∪C (x).

x ∈ A

x ∈ A

En consecuencia:

∪C (x) ⊂ A x ∈ A

X Definición 3

Un conjunto {Ai}i ∈ I de partes de un conjunto A es una partición o clasificación de A si se verifica:

a) Son no vacías: Ai ≠ ∅, ∀i ∈ I.

b) Disjuntas dos a dos: Ai ∩ Ai = ∅, Ai ≠ j.

c) Su unión es igual a A: ∪ Ai = A. i ∈ I

Se representa la partición por {Ai}i ∈ I, π (A), etc. Los elementos Ai de π (A) reciben el nombre especial de clases de partición.

22 TEMARIO

Como consecuencia de esta definición y de las propiedades de las clases de equi-valencia queda probado el resultado general (teorema fun damental): El conjunto de las clases de equivalencia correspondiente a una relación de equivalencia R definida en un conjunto A es una partición de A.

Recíprocamente:

Toda partición {Ai}i ∈ I de un conjunto A define una relación de equi valencia R en A (xRy ⇔ x e y pertenecen a un mismo subconjunto Ai de la partición), cuyo conjunto cociente correspondiente:

A/R = {C (x), ∀ x ∈ A} ≡ {Ai}i ∈ I


Sea R una relación definida sobre un conjunto A.

� Si R es tal que verifica simultáneamente las propiedades: reflexiva y transitiva se dice que se ha definido una relación de preorden en A y, en este sentido, A está preordenado por esta relación.

� Si R es tal que verifica simultáneamente las propiedades reflexiva, antisimé-trica y transitiva se dice que se ha establecido un orden en A o que A está ordenado por la relación R. A esta relación se le llama de orden parcial o simplemente de orden.

� Si R es tal que, además de verificar las propiedades reflexiva, simétrica y tran-sitiva, verifica la conexa, que es tanto como decir que todos los elementos del conjunto son comparables entre sí, se dice que R es una relación de orden total en A, o que se ha definido una relación de orden total sobre A. En este caso, se dice que A está totalmente ordenado por la relación R, o que R define un orden total en A.

� Si R es tal que verifica simultáneamente las propiedades antirreflexi va, antisi-métrica y transitiva se dice que se ha definido una relación de orden estricto sobre A.

Las relaciones de orden se suelen denotar por ≤ con lo que aRb se representa pora ≤ b, que significa: «a es anterior a b», «a precede a b», o bien «b sigue o es posterior a a».

Ejemplos:

1. La relación de orden natural definida sobre el conjunto de los números natura-les por a ≤ b ⇔ ∃ n ∈ N, a + n = b, es un orden total.

2. La relación de divisibilidad definida en N, dada por

aRb ⇔ a | b ⇒ ∃ n ∈ N / na = b

es una relación de orden parcial.

3. La relación de divisibilidad definida sobre es una relación de preorden.

1123MATEMÁTICAS

La relación inversa de una relación de orden se llama relación de orden opuesto, tal que si aRb simboliza la relación de orden dada, la inversa será denotada por bR–1 a.

Así, por ejemplo, si la R es simbolizada por ≤ la R–1 será ≥.

Veamos la representación gráfica propia de una relación de orden.

Para poner de manifiesto gráficamente una relación de orden se utili zan, general-mente, los diagramas en árbol o de Hasse o árbol de la relación. Para su cons-trucción se sigue el siguiente criterio, utilizando el mínimo de trazos:

a) Cada elemento se representa por un punto.

b) Si a y b, son dos elementos comparables por la relación a ≤ b (aRb), entonces

ab� ��

será en sentido ascendente al unir a con b.

c) Si dos elementos no son comparables, no aparecerán ligados mediante trazo alguno.

Ejemplo:

Sea el conjunto X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12}, provisto de la relación «aRb ⇔ a divide a b».

El diagrama en árbol o diagrama de Hasse de la relación será:

Se llama cadena a toda parte totalmente ordenada de un conjunto ordenado X mediante la relación inducida por la relación de orden defini da sobre X.

Cada uno de los posibles caminos ascendentes de un árbol, representa una cadena.

Así, en el ejemplo anterior, {1, 5, 10} – {1, 2, 10} – {1, 2, 4, 12} – {1, 2, 6,12} – {1, 3, 6, 12} son cadenas.

Un conjunto totalmente ordenado se caracteriza por admitir una sola cadena. Por ejemplo, (N, ≤)

24 TEMARIO

4 APLICACIONES ENTRE DOS CONJUNTOS


El concepto de correspondencia entre dos conjuntos A y B es análogo al de relación.

Una correspondencia entre dos conjuntos, distintos o no, viene definida por la terna (A, B, G) o (G, A, B) en la que A y B son los conjuntos dados y G ⊂ A × B, tal que si (a, b) ∈ G, se dice que a se corresponde con b.

Designando por f = (A, B, G), se suele simbolizar tal correspondencia por:

f A B A Bf: o bien → →,

Se lee: «Sea f la correspondencia entre los conjuntos A y B».

Al conjunto G ⊂ A × B se denomina grafo de la correspondencia y está formado por todos los pares (a, b) ∈ A × B, tales que a se correspon de con b.

Sea f una correspondencia entre A y B. Fijado x ∈ A (un elemento cualquiera), se llama imagen de x al conjunto de elementos de B que se corresponden mediante «f» con dicho elementos.

Se designa por f(x) y se lee: imagen de x por la correspondencia f.

Por la definición:

f(x) = {y ∈ B / y = f(x)} ⊂ B o bien,

f(x) = {y ∈ B / (x, y) ∈ G}

Sea f: A → B una correspondencia.

Al conjunto A se le llama conjunto inicial o de partida y al conjunto B, conjunto final o de llegada.

Al subconjunto de A formado por todos los elementos que se relacionan al menos con uno de B, se llama conjunto original o dominio de defini ción de la corres-pondencia. Se simboliza por:

(f) = {x ∈ A / ∃ y ∈ B; f(x) = y} ⊂ A

Cada uno de los elementos x ∈ A que se relacionan, al menos, con un elementoy ∈ B es un elemento original.

El subconjunto del conjunto final formado por todas las imágenes de los elementos de a, se llama conjunto imagen, imagen de la correspon dencia o conjunto de valores.

Se representa por:

f(A) = im(f) = {y ∈ B / ∃ x ∈ A; f(x) = y} ⊂ B

Sea f una correspondencia establecida entre los conjuntos A y B. Se llama corre-spondencia recíproca o inversa de f la que queda establecida entre los conjuntos B y A. Se denota por f–1. Así pues:

f –1: B → A

1125MATEMÁTICAS

En notación de ternas sería f –1 = (B, A, G’) en la que G’ ⊂ B × A será el grafo de la relación recíproca de (A, B, G) = f con G ⊂ A × B.

Dada una correspondencia f: A → B, se dice que es:

a) Unívoca, si cada elemento del conjunto de partida A le corresponde, mediante la correspondencia f, un subconjunto unitario o el conjunto vacío del conjunto de llegada B. Se la llama también función (aunque a veces este término se re-fiere a correspondencias unívocas entre conjuntos numéricos).

b) Biunívoca, cuando tanto f como f –1 son unívocas.


Dada una correspondencia f: A → B, o bien f = (A, B, G), se dice que es una apli-cación cuando todo elemento de A tiene una y sólo una imagen en B. En otros términos, una aplicación es una correspondencia unívoca en la que el conjunto de partida coincide con el conjunto original o de definición.

Por ejemplo: f: N → N x → x + 3

es una aplicación sobre el conjunto de los números naturales.

Como toda aplicación es correspondencia, lo recíproco no siempre es verdadero, todo lo dicho para éstas es válido para aplicaciones.

Pongamos de manifiesto otras definiciones:

� Dadas dos aplicaciones f y g definidas entre los mismos conjuntos A y B, se dice que son iguales, y se simboliza f = g, si y sólo si se verifica que:

∀x ∈ A, f(x) = g(x)

� Dada una aplicación f entre dos conjuntos cualesquiera A y B, queda definida una correspondencia entre los conjuntos B y A, que se deno mina la inversa de f, y se simboliza por f –1.

� Sea la aplicación f: A → A; se dice X ⊂ A es estable por f si se verifica:

f (X) ⊂ X, o sea, si ∀ x ∈ X ⇒ f(x) ∈ X

Si X es un conjunto unitario, entonces f(x) = x, y se dice que x es un punto fijo de f.

Veamos qué tipos de aplicación podemos distinguir:

a) Aplicación constante

Sea la aplicación f: A → B. Se dice que f es una aplicación constante si ∀ x ∈ A, f(x) = c ∈ B.

Es decir: f es constante, si todo elemento de A tiene la misma imagen en B, o en otros términos f(A) se reduce a un conjunto unitario.

26 TEMARIO

Por ejemplo, f: N → x → – 6

f: A → B es constante sobre una parte X ⊂ A, si f(X) se reduce a un solo elemen-to. Esto nos permite también definir la aplicación constante f: A → B, como la que es constante en todo el conjunto A.

b) Aplicación idéntica o identidad

La aplicación f: A → A es la aplicación idéntica o identidad sobre A si ∀ x ∈ A, f(x) = x.

Se suele denotar por IA, tal que IA(x) = x, ∀ x ∈ A.

A las aplicaciones de un conjunto en sí mismo, se denominan transfor maciones. Por tanto, la identidad es un caso particular de las mismas.

c) Aplicación inyectiva

Una aplicación f: A → B es inyectiva si cada elemento de B es imagen a lo más de un elemento de A.

Ejemplo, f: N → N x → 2x

En una aplicación inyectiva se verifica que elementos distintos dan imá genes distintas; es decir:

Si x ≠ x’ ⇒ f(x) ≠ f(x’), ∀ x, x’ ∈ A, siendo f: A → B.

d) Aplicación suprayectiva o exhaustiva

Una aplicación f: A → B, se dice suprayectiva si todo elemento de B es imagen al menos de un elemento de A. Esto es:

f suprayectiva ⇔ ∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A, f(x) = y

Por tanto, en toda aplicación suprayectiva se verifica:

f(A) = B

Ejemplo, f: → N x → |x|

Este tipo de aplicaciones también se denominan sobreyectivas.

e) Aplicación biyectiva

Una aplicación f definida entre los conjuntos A y B es biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Combinando ambas definiciones, si f es biyectiva, cada elemento de B es ima-gen de uno y sólo un elemento de A.

Ejemplo, f: → x → x + 3

1127MATEMÁTICAS

Toda aplicación biyectiva de un conjunto en sí mismo se denomina permutación.

Atendiendo al número de elementos entre los que se establece la apli cación, podemos garantizar que:

Si : es

inyectiva card( ) card( )

sobreyectiva card( ) cf A B

A B

A→⇒ ≤

⇒ ≥ aard( )

biyectiva card( ) card( )

B

A B⇒ =

Restricción y prolongación de aplicaciones

Sea la aplicación f definida entre los conjuntos A y B, esto es f = (A, B, G), y con-sideremos el conjunto X ⊂ A. Si designamos por

G’ = {(x, y) ∈ G / proy1 (x, y) ∈ X}

f ’ = (X, B, G’) es una aplicación entre los conjuntos X y B de forma que f ’(x) = f(x), ∀ x ∈ X, que se denomina la restricción de f a X

Se suele designar por f | X o bien fX.

Por ejemplo, f: → x → x3 –8

La aplicación, f ’: → x → x3 –8

sería la restricción de f al conjunto de los enteros positivos, y la denotaríamospor f+.

El paso contrario es lo que se conoce con el nombre de prolongación de una apli-cación. Esto es:

Dadas las aplicaciones f ’ = (X, Y, G’) y f = (A, B, G), se dice que f es una prolon-gación de f’ si se verifica:

X ⊂ A, Y ⊂ B, y ∀ x ∈ X se tiene f(x) = f ’(x)

28 TEMARIO

5 CONCEPTO DE OPERACIÓN EN UN CONJUNTO

5.1. DEFINICIONES

Se llama operación entre dos conjuntos A y B con valores en C, ambos conjuntos no vacíos, a toda aplicación de A × B en C, por la que a todo par (a, b) ∈ A × B le hace corresponder un elemento c ∈ C.

Es decir:

A B C

a b c f a b afb

f× →

→ = =( , ,) ( ) (se lee: a operado con b mediante f)

Los dos casos particulares más importantes de operaciones son:

a) Cuando está definida de A × A en A, la operación se llama interna o ley de composición interna en A.

b) Cuando es de A × B en A se llama operación o ley de composición externa en A, por la derecha. Si es de B × A en A se llama operación o ley de composición externa en A, por la izquierda.

En este caso, el conjunto B recibe el nombre de dominio de operadores.

Así pues, en términos generales, una operación definida en un conjunto (o sobre un conjunto) se dice interna cuando el resultado de operar dos elemen-tos cualesquiera del conjunto, a través de esa operación, es otro elemento del conjunto (o sea, el resultado también pertenece al conjunto).

Las operaciones se simbolizan por +, ⊥, T, *, , h, etc., si se utilizan con nota-ción *, a * b indica el resultado de operar a con b mediante *.

En a * b, a recibe el nombre de primer elemento y b, segundo elemento. Si se recurre al signo (+) (se lee más), se dice que se utiliza la notación aditiva, mientras que, si se utiliza el signo (·) (se lee por), la notación se llama multipli-cativa.

Cuando el conjunto A es finito, la operación puede venir dada por una tabla de doble entrada, de la siguiente forma:

1129MATEMÁTICAS

El valor del elemento ai * ak se consigna en la intersección de la fila del ele-mento ai (elemento de la izquierda) con la columna del elemento ak (elemento de la derecha). El signo de la operación se escribe en el ángulo superior iz-quierdo.

Cuando sobre un conjunto A se define una operación interna, simbolizada por *, el nuevo ente matemático (A, *) indica el conjunto A dotado de tal ley de composición interna.

c) En (A, *), una parte X se llama estable o cerrada para la operación * si se verifica:

∀a, b ∈ X, a * b ∈ X; es decir: X * X ⊂ X

En este caso, a la operación * definida en X se llama inducida o restricción de * a X.


a) Una operación interna * definida sobre un conjunto A se dice que verifica la propiedad asociativa si y sólo si

∀a, b, c ∈ A, (a * b) * c = a * (b * c)

b) Una operación interna * definida sobre el conjunto A posee la propiedad con-mutativa si se verifica que:

∀a, b ∈ A, a * b = b * a

Aún en el caso de que * no verifique la propiedad conmutativa, pueden existir, en particular, algunos elementos a, b para los cuales:

a * b = b * a

Tales elementos se denominan conmutables o permutables.

Es evidente que si * es conmutativa, todos los elementos de A son conmuta-bles.

Si en (A, *), siendo * no conmutativa, existe un elemento c ∈ A tal que conmuta con todos los elementos de A, esto es

∃c ∈ A / ∀x ∈ A, c * x = x * c,

se dice que «c» es un elemento central de A para la operación *. Y al conjun-to formado por todos los elementos centrales se denomina centro.

En consecuencia, para una ley asociativa y conmutativa, el resultado de operar n-elementos es independiente del orden en que se operen éstos.

c) Se dice que ⊥ es distributiva por la derecha respecto a * si:

∀a, b, c ∈ A, (a * b) ⊥ c = (a ⊥ c) * (b ⊥ c)

Análogamente, se dice que ⊥ es distributiva por la izquierda respecto a * si:

∀a, b, c, ∈ A, a ⊥ (b * c) = (a ⊥ b) * (a ⊥ c)

30 TEMARIO

Si ⊥ es distributiva por ambos lados respecto a *, se dice que ⊥ es distributiva respecto a *.

En el caso de que ⊥ sea conmutativa, si es distributiva por un lado, entonces tam-bién es por el otro.

Una operación se dice que verifica la propiedad uniforme si el resultado de ope-rar dos elementos cualesquiera es independiente de los representantes elegidos. En otros términos, fijados dos elementos cualesquiera, el resultado es único.


5.3.1. Elemento neutro

Un elemento e ∈ A se llama neutro a la izquierda para la operación * definida en A si:

∀a ∈ A, e * a = a

De igual modo, se dice e ∈ A neutro a la derecha si:

∀a ∈ A, a * e = a

Un elemento e ∈ A se dice neutro para la operación * definida en A si y sólo si es simultáneamente a la derecha y a la izquierda; es decir:

∃e ∈ A / ∀a ∈ A, e * a = a = a * e

X TEOREMA 1

Si en (A, *) existe elemento neutro, éste es único.

Demostración:Supongamos que existen dos elementos neutros e y e’. Entonces:

∀ ∈∗ = = ∗∗ ′ = = ′ ∗

a Aa e a e a

a e a e a

Particularizando al caso de ser a = e’, en la primera igualdad

e’ * e = e’ = e * e’

Pero, en el caso de ser a = e, en la segunda igualdad

e * e’ = e = e’ * e

Por la transitividad de la relación de igualdad

e’ = e * e’ = e ⇒ e’ = e

Corolario 1:

El elemento neutro «e» pertenece al centro de (A, *).

1131MATEMÁTICAS

5.3.2. Elemento simétrico

Sea e ∈ A el elemento neutro de (A, *).

Un elemento a ∈ A posee simétrico a la izquierda si existe a’ ∈ A, verificando

a’ * a = e

Análogamente, poseerá simétrico a la derecha si

a * a’ = e

Si a’ es a la vez simétrico a la derecha y a la izquierda, recibe el nombre de simé-trico de a.

Todo elemento a ∈ A que admite simétrico se dice simetrizable.

En los casos particulares de que * = +, o * = ·, el simétrico recibe el nombre de opuesto o inverso, respectivamente, y se representa por (–a), en notación aditiva y por a’, en notación multiplicativa.

X TEOREMA 2

Si * es asociativa sobre A y existe elemento neutro en (A, *), si a ∈ A admite simétrico, éste es único.

Demostración:Supongamos que sean a’ y a’’ dos simétricos de a ∈ A, entonces:

a’ * a = e = a * a’ (por definición de simétrico)

Operando con a’’,

a’’ *(a’ * a) = a’’ * (a * a’)

a’’ * (a’ * a) = (a’’ * a) * a’

a’’ * e = e * a’

a’’ = a’

X TEOREMA 3

Si a y b admiten simétricos respecto a una ley de composición interna y ésta es asociativa, entonces (a * b) también admite simétrico y viene dado por

(a * b)’ = b’ * a’.

Demostración:

En efecto, sea e ∈ A el neutro de (A, *). Entonces:

(a * b) * (b’ * a’) = a * (b * b’) * a’ = a * e * a’ = a * a’ = e

Análogamente:

(b’ * a’) * (a * b) = b’ * (a’ * a) * b = b’ * e * b = b’ * b = e

Queda probado, pues, que el simétrico de (a * b) viene dado por b’ * a’.

32 TEMARIO

5.3.3. Elemento regular o simplificable

r ∈ A es regular a la izquierda en (A, *) si

r * a = r * b ⇒ a = b; ∀a, b ∈ A

r ∈ A es regular a la derecha en (A, *) si

a * r = b * r = a = b, ∀a, b ∈ A

r ∈ A es regular si y sólo si es regular a ambos lados.

X TEOREMA 4

Si a ∈ A admite simétrico en (A, *), siendo * asociativa, es regular.

Demostración:

Sea a’ simétrico de a

Si a * b = a * c ⇒ a’ * (a * b) = a’ * (a * c)

(a’ * a) * b = (a’ * a) * c

e * b = e * c = b = c

Si b * a = c * a ⇒ (b * a) * a’ = (c * a) * a’

b * (a * a’) = c * (a * a’)

b * e = c * e = b = c

Luego, a es regular.

5.3.4. Elemento idempotente

En (A, *), todo elemento x ∈ A se dice idempotente si

x * x = x

Si para una operación *, todo elemento del conjunto es idempotente, se dice que la operación * posee la propiedad idempotente.

1133MATEMÁTICAS

6 ESTRUCTURAS ALGEBRAICASNota: A pesar de la extensión de este apartado, no se ha querido acotar porque los conceptos estructurales que en el se definen son la piedra angular del álgebra. Son estructuras que se utilizan y son imprescindibles conocer para entender el desarrollo de otros temas. Dada la extensión y la limitación temporal, el opositor deberá limitarse a los conceptos principales.

Cuando en un conjunto definimos una o más operaciones (pueden ser internas, externas o ambas), se dice que hemos dotado al conjunto de una estructura al-gebraica.

Así, (E, *), conjunto E dotado de la operación interna *, denota una estructura que se denomina grupoide.

Las estructuras algebraicas serán diferentes según las operaciones definidas y las propiedades que tengan estas operaciones.

Las estructuras algebraicas más importantes reciben nombres especiales y las que estudiaremos en este tema y en siguientes, son:

� Con una operación interna: las estructuras de semigrupo, monoide y grupo.

� Con dos operaciones internas: las de anillo, semianillo, cuerpo y retículo.

� Con una operación interna y otra externa: las estructuras de semimódulo, de módulo y espacio vectorial.


Partimos, pues, de un conjunto sobre el que hemos definido una operación interna, que simbolizaremos por *.

6.1.1. Semigrupo y monoide

Una estructura (E, *) cuya operación interna * es asociativa, recibe el nombre de semigrupo.

Si además la operación * es conmutativa, (E, *) recibe el nombre de semigrupo conmutativo.

Todo semigrupo con elemento neutro se denomina monoide; si también posee la propiedad conmutativa, entonces recibe el nombre de monoide conmutativo. Así, por ejemplo, (N, ·) es un monoide conmutativo (el elemento neutro es el 1).

6.1.2. Grupo

El concepto y nombre de grupo son debidos al matemático francés Evaristo Ga-lois, nacido en 1811 y que murió a la edad de 21 años.

34 TEMARIO

Definición: una estructura (G, *) es un grupo si se verifican las tres condiciones siguientes:

� La operación interna * es asociativa.

� Existe elemento neutro respecto de la operación interna.

� Todo elemento de G posee simétrico.

Si además la operación es conmutativa (G, *) recibe el nombre de grupo abeliano.

O, dicho de otra forma, llamaremos grupo a un par formado por un conjunto y una ley de composición interna, (G, *), que cumple las tres propiedadaes siguientes:

a) ∀x, y, z ∈ G, x * (y * z) = (x * y) * z

b) ∃ e ∈ G / e * x = x = x * e, ∀x ∈ G

c) ∀x ∈ G, ∃x–1 ∈ G / x * x–1 = e = x–1 * x

A «e» le llamamos elemento neutro del grupo y a «x–1» el elemento simétrico de x.

Consecuencias de los axiomas:

De los axiomas anteriores deducimos las siguientes conclusiones:

� G ≠ ∅ es decir, un grupo nunca puede ser vacío, ya que, al menos, e ∈ G.

� El elemento neutro es único.

� El simétrico de un elemento dado es único.

� Se verifica la ley de simplificación, que es la siguiente:

Si a * b = a * c ⇒ b = c; ∀a, b, c ∈ G

� Las ecuaciones de la forma a * x = b y x * a = b tienen siempre solución y, además, es única ∀a, b ∈ G.

� Además se cumplen las siguientes reglas:

(x * y)–1 = y–1 * x–1 ∀x, y ∈ G

(xn)–1 = (x–1)n ∀x ∈ G

Ejemplos de grupos:

�� / (n) = conjunto de clases de restos módulo n.

� También son grupos: el conjunto de los números enteros, el conjunto Q de los racionales, el conjunto de los reales y el conjunto C de los complejos con la suma como ley de composición interna.

Llamaremos subgrupo (H, *) de un grupo (G, *) y lo denotaremos H G≤ a toda parte no vacia de G, tal que:

a) , y

b)

∀ ∈ ∈∀ ∈ ∈

−

x H x y H

x H x H

, *

, 1

Es decir, (H, *) es subgrupo de (G, *) si (H, *) es un grupo respecto a la misma operación de G.

1135MATEMÁTICAS

En un grupo siempre hay dos subgrupos triviales, que son H = {e} y H = G.

A estos subgrupos le llamamos subgrupos impropios. Los demás son subgrupos propios.

Caracterización de subgrupos:

Sea ∅≠ H⊆G entonces

H ⋅ G ⇔∀x, y ∈ H, x * y–1 ∈ H.

Por ejemplo:

(m·), es conjunto de los múltiplos de m, es un subgrupo de (, +).

Consecuencias:

Si (H, *) es un subgrupo de (G, *), se puede afirmar:

a) Si e ∈ G es el neutro de (G, *), entonces e es el neutro de (H, *).

b) Para todo elemento a ∈ H ⊂ G, su simétrico coincide con su simétrico en G.


Para facilitar la notación y escritura, es frecuente suponer que las dos operaciones definidas son simbolizadas por (+) y (·) respectivamente.

6.2.1. Semianillo

Sea un conjunto S con dos operaciones internas simbolizadas por (+) y (·) respec-tivamente; (S, +, ·) es un semianillo si:

� (S, +) es un semigrupo abeliano con elemento neutro (monoide conmutativo).

� (S, ·) es semigrupo.

� La segunda operación es distributiva respecto de la primera.

Si el semigrupo (S, ·) es conmutativo, entonces el semianillo (S, +, ·) recibe el nombre de semianillo conmutativo.

Si el semigrupo (S, ·) posee elemento neutro (se llama unidad para diferenciarlo del neutro de (S, +)), entonces recibe el nombre de semianillo unitario o semi-anillo con elemento unidad.

Ejemplos de semianillos:

� (N, +, ·): semianillo de los números naturales; es un semianillo conmutativo con elemento unidad.

� (P(E), ∩, ∪) y (P(E), ∩, ∪) también son semianillos conmutativos con elemen-to unidad.

36 TEMARIO

6.2.2. Anillo

Llamamos anillo a la terna formada por un conjunto A y dos operaciones internas en A, simbolizadas respectivamente por (+) y (·), que verifica:

1. (A, +) es un grupo abeliano.

2. (A, ·) es un semigrupo.

3. Distributividad de (·) respecto a (+)

∀a, b, c ∈ A, a · (b + c) = a · b + a · c; (b + c) · a = b · a + c · a

Si el semigrupo (A, ·) es conmutativo, entonces el anillo (A, +, ·) es conmutativo.

Si el semigrupo (A, ·) tiene elemento neutro (unidad), entonces el anillo (A, +, ·) posee elemento unidad (anillo unitario).

Denotamos por 0 al elemento neutro del grupo abeliano (A, +) y por 1, al elemento neutro del semigrupo (A, ·).

Consecuencias:

En un anillo (A, +, ·) se cumplen las siguientes expresiones:

� ∀a ∈ A, a · 0 = 0 = 0 · a.

� ∀a ∈ A, a · (–1) = –a = (–1) · (a).

� ∀a, b ∈ A, a · (–b) = –(a · b) = (–a) · b (–a) · (–b) = a · b

Veamos otras definiciones.

Sea (A, +, ·) un anillo y sean a, b ∈ A

� Decimos que a es un divisor de cero por la izquierda si a ≠ 0 y ∃b ≠ 0 tal quea · b = 0.

� Decimos que a es un divisor de cero por la derecha si a ≠ 0 y ∃b ≠ 0 tal queb · a = 0.

� Decimos que a y b son divisores de cero si a ≠ 0, b ≠ 0 y a · b = 0 = b · a.

� Llamamos anillo de integridad a todo anillo sin divisores de cero, y dominio de integridad a todo anillo conmutativo con elemento unidad y sin divisores de cero.

� Decimos que a ∈ A es nilpotente si ∃n ∈ N* = N – {0} tal que an = 0.

Consecuencias:

� Si an = 0 ⇒ (an)m = 0. Luego, n no es único.

� 0 ∈ A es un elemento nilpotente.

� Si a ≠ 0 es nilpotente, entonces a es un divisor de cero.

� Si (A, +, ·) es un dominio de integridad y a ∈ A es nilpotente, entonces a = 0.

1137MATEMÁTICAS

X Definición

Sea (A, +, ·) un anillo y sea S un subconjunto de A, S ≠ ∅.

S es un subanillo de A si se verifica que S es un anillo respecto de las operaciones de A, es decir, si (S, +, ·) es un anillo.

Entre los subanillos del anillo A tenemos {0} y A que reciben el nombre de su-banillos impropios.

Caracterización de los subanillos:

Sea S ⊂ A.

S es un subanillo de A si y sólo si

1. ∀a, b ∈ S ⇒ a – b ∈ S. (S, +) es subgrupo de (A, +).

2. ∀a, b ∈ S ⇒ a · b ∈ S y b · a ∈ S.

Consecuencias:

1. Si el anillo (A, +, ·) es conmutativo, entonces el subanillo (S, +, ·) es conmu-tativo.

2. Si el anillo (A, +, ·) no tiene divisores de cero, entonces el subanillo (S, +, ·) no tiene divisores de cero.

3. Si el anillo (A, +, ·) posee elemento unidad, entonces no podemos afirmar que el subanillo (S, +, ·) posea elemento unidad.

Por ejemplo, el anillo (Z, +, ·) posee elemento unidad 1, pero el subanillo ((2· ), +, ·) no posee elemento unidad.

6.2.3. Ideal: clases de ideal

X Definición:

Sea (A, +, ·) un anillo y sea I un subconjunto de A, I ≠ ∅.

I es un ideal por la izquierda de A si se verifican:

1. ∀x, y ∈ I ⇒ x – y ∈ I. (I, +) es subgrupo de (A, +).

2. ∀a ∈ A, ∀x ∈ I ⇒ a · x ∈ I.

I es un ideal por la derecha de A si se verifican:

1. ∀x, y ∈ I ⇒ x – y ∈ I. (I, +) es subgrupo de (A, +).

2. ∀a ∈ A, ∀x ∈ I ⇒ x · a ∈ I.

I es un ideal bilátero de A si es ideal por la izquierda y por la derecha de A.

Consecuencias.

1. Si el anillo (A, +, ·) es conmutativo, entonces coinciden las definiciones de ideal por la izquierda, por la derecha y bilátero, y le llamamos ideal.

2. Todo ideal es subanillo.

38 TEMARIO

Veamos otras definiciones:

1. Sea (A, +, ·) un anillo y B, un subconjunto de A. Consideramos la familia {Ij / Ii ideal de A y B ⊂ Ij}; llamamos ideal engendrado por el subconjunto B al menor ideal de A que contiene a B, es decir, al ideal ∩

j ∈ J Ij de A.

2. Llamamos ideal principal al ideal engendrado por un subconjunto unitario del anillo, es decir, al ideal generado por un solo elemento llamado base del ideal. Se representa por (b), siendo b la base del ideal.

Consecuencia:

1. I0 = {0} = 0 · A = (0) es un ideal principal.

2. Si el anillo (A, +, ·) posee elemento unidad, entonces IA = A = I · A = (1) es un ideal principal.

3. Llamamos anillo principal a todo dominio de integridad en el que todos sus ideales son principales.

Recordemos que (, +, ·) es un anillo principal.

4. Sea (A, +, ·) un anillo y sea P un ideal de A, P ≠ A. P es un ideal primo de A si se verifica:

∀x, y ∈ A, si x · y ∈ P o y x ∈ P, entonces x ∈ P o y ∈ P

5. Sea (A, +, ·) un anillo y sea M un ideal de A; M ≠ A. M es un ideal maximal de A si:

M’ ideal, M ⊂ M’ ⊂ A, entonces M’ = M o M’ = A.

Recordemos que en los ideales maximales son los generados por los números primos (2), (3), (5), ...

6.2.4. Cuerpo y semicuerpo

X Definición

Un conjunto K en el que se han definido dos leyes de composición internas sim-bolizadas respectivamente por (+) y (·) se dice que tiene estructura de cuerpo para dichas operaciones cuando (K, +, ·) es un anillo unitario en el que el elemento cero no coincide con el elemento unidad y todo elemento distinto del cero es in-versible.

Si el anillo es conmutativo, se dice que el cuerpo es conmutativo.

Observación: Hay autores que al definir la estructura de cuerpo exigen «a priori» la conmutatividad del anillo. Nosotros adoptaremos, no obstante, la definición general, pero trabajaremos a lo largo de este tema con cuerpos conmutativos (en consecuencia, se utilizará, en algunos casos, el término cuerpo sobrentendiéndose que se trata de cuerpo conmutativo).

1139MATEMÁTICAS

Consecuencias:

a) El conjunto de los elementos del cuerpo distintos del cero, dotado con la ope-ración (·) inducida tiene estructura de grupo conmutativo.

b) Todo elemento del cuerpo, distinto del cero, es regular, puesto que por la defi-nición de cuerpo es inversible.

c) Todo cuerpo conmutativo es un dominio de integridad, por ser un anillo con-mutativo y unitario en el que todo elemento distinto del cero es regular (pro-piedad b)). De este último resulta que todo cuerpo no posee divisores de cero.

Propiedades:

Como todo cuerpo es un anillo con elemento unidad, gozará de las siguientes propiedades de anillos.

Por ser (K, +) un grupo:

a) El elemento 0 es único.

b) El opuesto de un elemento es único (llamamos opuesto de un elemento a ∈ K al simétrico respecto de la operación + y lo denotaremos por –a).

c) El opuesto del opuesto de un elemento coincide con él: –(–a) = a, ∀a ∈ K.

d) El opuesto de una suma es la suma de los opuestos: –(a + b) = (–a) + (–b) ∀a, b ∈ K.

e) Todo elemento de K es regular para la operación suma.

Por ser anillo unitario, entonces:

f) El elemento unidad es único.

g) Si un elemento a ∈ K es inversible, su simétrico también es inversible y se verifica (a–1)–1 = a.

h) Todo elemento inversible es regular para la operación. Además, se verifican todas las propiedades específicas de la estructura de anillo.

Otras definiciones:

1. Una parte K’ de K estable para las operaciones del cuerpo se dice que es un subcuerpo de K cuando K’ dotado con las operaciones inducidas por las de K tiene estructura de cuerpo.

K es el mayor subcuerpo de K y todo subcuerpo de K distinto de K se llama subcuerpo propio de K. Se dice que un cuerpo es primo si no contiene otro subcuerpo que él mismo.

Caracterización de los subcuerpos: una parte K’ de K es un subcuerpo del cuerpo K si y sólo si (K’, +) es un subgrupo de (K, +) y (K’ – {0}, ·) es un subgrupo del grupo (K – {O}, ·).

40 TEMARIO

2. Sea S un conjunto en el que están definidas dos operaciones internas simboliza-das respectivamente por (+) y (·); diremos que (S, +, ·) es un semicuerpo si:

� (S, +) es semigrupo abeliano.

� (S, ·) es un grupo.

� La operación (·) es distributiva respecto de la operación (+).

Si además la operación (·) es conmutativa, (S, +, ·) será un semicuerpo con-mutativo o abeliano.

Ejemplo de semicuerpo conmutativo es (Q+, +, ·), siendo Q+ el conjunto de los números racionales positivos.

6.2.5. Retículo: clases de retículo

Sea A un conjunto en el que se han definido dos operaciones o leyes de composi-ción interna simbolizadas respectivamente por * y (A, *, ) es un retículo si tales operaciones verifican las siguientes propiedades:

� Asociativa: (a * b) * c = a * (b * c)

(a b) c = a (b c) ∀a, b, c ∈ A

� Conmutativa: a * b = b * a

a b = b a ∀a, b ∈ A

� Idempotente: a * a = a

a a = a ∀a ∈ A

� Simplificativa (o de absorción): (a * b) a = a

(a b) * a = a ∀a, b ∈ A

Por ejemplo, (P(E), ∩, ∪) es un retículo.

X Principio de edualidad para retículos

La definición de retículo es tal que las dos operaciones que figuran en él tienen las mismas propiedades. Por tanto, por cada teorema que se verifique en un retículo, también se verifica su dual, es decir, aquél que se obtiene cambiando entre sí el símbolo de ambas operaciones.

X Elementos ínfimo y universal

Si en un retículo existen elementos neutros, al de la primera operación (*) se la llama ínfimo (i) y al de la segunda (), elemento universal (u).

Estos elementos cumplen, por tanto:

a * i = a a u = a

∀a ∈ A

a * u = u a i = i ��

��

��

1141MATEMÁTICAS

Clases de retículo:

a) Se llaman retículos distributivos los retículos que verifican las dos propieda-des distributivas siguientes:

a * (b c) = (a * b) (a * c)

a (b * c) = (a b) * (a c)

b) Se dice que un retículo (A, *, ) con elementos ínfimo y universal es un retículo complementario si para cada elemento a de A existe otro a

_, llamado comple-

mentario de a, que verifica:

a * a_ = u a a

_ = i

En todo retículo complementario se cumple:

i_ = u u

_ = i

∀a ∈ A a__ = a

Resumiendo todo lo dicho para retículos, podemos dar la siguiente definición:

Se llama álgebra de Boole a todo retículo distributivo y complementario.


Por comodidad de notación y escritura, continuamos simbolizando las operacio-nes que se definen por (+) y (·), respectivamente.

6.3.1. Estructura de semimódulo

Sea (A, +, ·) un semianillo unitario y (S, +) un semigrupo conmutativo con ele-mento neutro.

Definamos una operación externa en S con dominio de operadores el semianillo A, es decir, una aplicación definida por:

A × S → S

(a, s) → a · s = as; ∀a ∈ A, ∀x ∈ S

(se abrevia)

Y tal que dicha aplicación verifique las propiedades:

a t s a t a s

a b t a t b t

a b t a b t

t t

⋅ + = ⋅ + ⋅+ ⋅ = ⋅ + ⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ =

∀

( )

( )

( ) ( )

1

aa b A t s S, ; ,∈ ∀ ∈

42 TEMARIO

En estas condiciones, se dice que S es un semimódulo a la izquierda sobre A o con dominio de operadores A, o bien, un A-semimódulo por la izquierda.

Si la ley externa correspondiente estuviese definida por la derecha, se diría un A-semimódulo por la derecha.

Se simboliza (S, +, · A), o bien (A, S, +) o se expresa (S, +, ·) es un A-semimódulo por la izquierda o derecha según el caso.

En el caso de que el semianillo A sea conmutativo, se habla simplemente de semi-módulo con dominio de operadores A.

Ejemplos de semimódulo:

Sea el conjunto N de los números naturales. Sabemos que (N, +, ·) es un semiani-llo conmutativo con elemento unidad (monoide).

Consideremos el conjunto S de los segmentos generales, que es un semigrupo aditivo, conmutativo y con elemento neutro.

Definamos entonces la aplicación:

� N x S → S (n, x

_) → n · x

_; ∀n ∈ N, ∀ x

_ ∈ S

Es decir, a cada número natural n y a cada segmento general x_

le hace corresponde el segmento n · x

_ entendiendo por n · x

_ la suma de n segmentos iguales al:

x_

: n · x_

= + + +x x xn

... .( -sumandos)

� ��

Entonces, podemos garantizar (basta comprobar la verificación de las propiedades exigidas a la ley externa: distributivas respecto a los elementos de N y S, asocia-tiva doble y existencia de neutro) que: S es un N-semimódulo, o bien, S es un semimódulo con dominio de operadores N.

6.3.2. Estructura de módulo. Submódulo

Si en la estructura de semimódulo, cambiamos la hipótesis de partir de un monoi-de conmutativo (semigrupo conmutativo con elemento neutro) por la condición de tener un grupo conmutativo, permaneciendo inalterables el resto de las condi-ciones exigidas, la estructura resultante sería un A-módulo o un módulo sobre el anillo A.

Observación: Supondremos (A, +, ·) anillo conmutativo a fin de simplificar la terminología.

Podemos definir:

(M, +, ·A) es un A-módulo o módulo sobre el anillo A, si y sólo si:

� (A, +, ·): anillo unitario (conmutativo).

� (M, +): grupo conmutativo (observa la notación aditiva).

� Existe la aplicación A × M → M (a, m) → a · m = am

(se abrevia)

1143MATEMÁTICAS

tal que:

( )

( )

( ) ( )

a b m am bm

a m n am an

a b m a b m

m n

a b

+ ⋅ = +⋅ + = +⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ =

∀ ∈

1

, AA m n M; ,∀ ∈

Ejemplo de módulo:

Consideremos el conjunto [x] de todos los polinomio en la indeterminada x y coeficientes enteros y el anillo (, +, ·) de los números enteros. ( es anillo con-mutativo).

Sabemos que:

1. La suma de dos polinomios es un polinomio

2. La adición de polinomios es asociativa

1. (Z [x], +) es un grupo 3. La adición de polinomios es conmutativa

aditivo abeliano 4. Existe elemento neutro (el polinomio nulo

cuyos coeficientes son tyodos iguales a cero)

5. Cada polinomio tiene simétrico

2. Consideramos la aplicación (ley externa sobre [x] con dominio de operadores el anillo (, +, ·)).

� × [x] → [x]

(a, A (x)) → a · A (x); ∀ a ∈ , ∀ A(x) ∈ [x]

Vemos que con esta definición se verifica:

( ) ( ) ( ) ( )

( ( ) ( )) ( ) ( )

(

a b A x a A x b A x

a A x B x a A x a B x

a b

+ ⋅ = ⋅ + ⋅⋅ + = ⋅ + ⋅⋅ )) ( ) ( ( ))

( ) ( )

( ), ( ) [⋅ = ⋅ ⋅

⋅ =

∀ ∈ ∀ ∈A x a b A x

A x A x

a b A x B x z

1

, ; ]]

Por cumplir todas las propiedades reseñadas, decimos que [x] es un módulocon como dominio de operadores, o bien, un -módulo.

Veamos lo que se entiende por un submódulo.

Si M es un A-módulo y S es un bubmconjunto no vacío de M que es a su vez un A-módulo, entonces decimos que S es un bubmódulo de M.

��

��

��

44 TEMARIO

Condición necesaria y suficiente para que S ⊂ M sea un submódulo del A-módulo M es:

1. S ≠ ∅ / (S, +) sea grupo abeliano ⇔ ∀ x, y ∈ S ⇒ x – y ∈ S.

2. ∀ a ∈ A, ∀ x ∈ S ⇒ ax ∈ S.

Ejemplo:(Q[x], +, · ) es un -módulo, donde Q[x] es el conjunto de los polinomios en la indeterminada x con coeficientes racionales.

� [x] ⊂ Q[x] y [x] ≠ ∅

([x], +, · ) es un submódulo del -módulo (Q[x], +, · )

6.3.3. Estructura de espacio vectorial

La estructura de espacio vectorial se diferencia de la de un A-módulo en que en aquélla el dominio de operadores ha de ser un cuerpo.

Dicho en otros términos, todo A-módulo con dominio de operadores en un cuerpo se dice A-espacio vectorial o un espacio vectorial sobre A.

A la hora de simbolizarlo, se suele emplear la letra V para anillo y K para cuerpo. De esta forma, podemos definir:

(V, +, · K) es un K-espacio vectorial o un espacio vectorial sobre el cuerpo K si:

(V, +): grupo abeliano (conmutativo) denotado aditivamente.

(K, +, ·): cuerpo, tal que la operación o ley externa definida sobre V (suele llamarse multiplicación escalar): K × V → V

(k, v) → kv, ∀ k ∈ K, ∀ v ∈ V

verifica:

( )

( )

( ) ( )

k k v kv k v

k v w kv kw

k k v k k v

v v

+ ′ ⋅ = + ′⋅ + = +⋅ ′ ⋅ = ⋅ ′

⋅ =

∀

1

kk k K v w V, , ,′ ∈ ∀ ∈

Observaciones:1. Los elementos de V se llaman vectores, por el hecho de ser elementos de un

espacio vectorial (independientemente de su naturaleza); a los elementos del cuerpo K, se le llaman escalares, en contraposición a la terminología dada a los elementos de V.

2. Los elementos del espacio vectorial se representan, generalmente, por las úl-timas letras del abecedario con una flecha

u ,

w ,

v , ... o por medio de trazos gruesos u, w, v, etc. Los elementos del cuerpo por letras griegas, o cualquier letra de tipo normal (generalmente las primeras del abecedario) así: α, β, γ, a, b, c, k, etc.

1145MATEMÁTICAS

3. El signo + representa la adición de vectores (elementos de V) y también la adición de escalares (elementos de K).

4. El signo 0v

��, representa el elemento neutro de la adición en V; el símbolo 0, el

elemento neutro de la adición en K.

5. Es de advertir que en la definición de espacio vectorial intervienen cuatro ope-raciones:

− La adición y la multiplicación en K (recuerda que K es un cuerpo). − La adición en V (V es grupo aditivo). − La multiplicación escalar (ley, de composición externa en V con dominio de operadores en K).

6. Hay que destacar las dos propiedades distributivas de naturaleza bien diferente:

− La distributividad de la multiplicación escalar respecto de la adición de K. − La distributividad de la multiplicación escalar respecto a la adición de ele-mentos de V.

Ejemplo de espacio vectorial:

El ejemplo más sencillo de espacio vectorial es el propio conjunto de los nú-meros reales, tomando por V el grupo aditivo de los números reales (, +) y la multiplicación por escalares como la multiplicación definida en .Este es uno de los casos donde los mismos elementos actúan simultáneamente, de vectores (elementos de (, +)) y de escalares (elementos de (, +, ·)).

46 TEMARIO

BIBLIOGRAFÍA

BERBERIAN, S. K.: Linear Algebra. Oxford University Press. Oxford, 1992.

BIRKHOFF, G.; MAC LANE, S.: Álgebra Moderna. Ed. Vicens-Vives. Barcelona, 1985.

ETAYO, J. J.: Conceptos y métodos de la matemática moderna. Ed. Vicens-Vives. Barcelona, 1972.

GARCÍA, J.; LÓPEZ, M.: Álgebra lineal y geometría: teoría y práctica. Ed. Marfil. Alcoy, 1992.

GODEMENT, R.: Álgebra. Ed. Tecnos. Madrid, 1983.

1147MATEMÁTICAS

RESUMEN

Conceptos básicos de la teoría de conjuntos.

Estructuras algebraicas.

1. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS


Un conjunto es una colección de objetos diferentes que pueden ser concretos o abstractos. Los objetos que lo forman se denominan elementos.

Las formas más usadas para representar conjuntos son: diagrama lineal y diagrama de Venn o Conjuntos de Euler.


Se dice que el conjunto es un subconjunto de , o que está incluido en y lo denotaremos ⊂ si todo elemento de es elemento de Conjunto de las partes de un conjunto

Dado un conjunto universal U, se llama conjunto de las partes de U al que tiene por ele-mentos todos los subconjuntos de U. Lo designaremos por P(U).



Dados los conjuntos y de (), llamaremos intersección de A y B, y lo representaremos por ∩ , al conjunto formado por los elementos que pertenecen simultáneamente a y a .


Dados dos conjuntos y de (), llamamos unión de A y B, y lo representaremos por ∪ , al conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de dichos conjuntos, es decir, a o a .


Si ∈ (), se llama complementario de A respecto de al conjunto formado por todos los elementos de que no pertenecen a . Denotaremos al complementario de por A


Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A y B y lo denotamos por A – B al conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B.


Se llama diferencia simétrica de dos conjuntos A y B al conjunto A Δ B definido por:

A Δ B = (A – B) ∪ (B – A)

1

48 TEMARIO


El conjunto P(U) con las operaciones ∪, ∩, —, que cumple algunas propiedades.

2. PRODUCTO DE CONJUNTOS


Definimos: � Par ordenado es el objeto matemático formado por dos entes dados en un orden deter-

minado. Se simboliza (a, b). � Se dice que dos pares son iguales si y sólo si las componentes correspondientes son

iguales entre sí.


Se llama producto cartesiano de A y B, y se representa por A × B, al conjunto formado por todos los pares que se pueden obtener siendo la primera componente de A y la segunda de B.

3. RELACIONES BINARIAS

3.1. IDEAS GENERALES SOBRE UNA RELACIÓN BINARIA: PROPIEDADESDados dos conjuntos A y B, cualquier subconjunto del producto carte siano A × B define una relación entre los conjuntos A y B.


� Definición 1Una relación R definida en un conjunto A es de equivalencia si y sólo si verifica simul-táneamente las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

� Definición 2Llamamos clase de equivalencia de x ∈ A según la relación R (o tam bién módulo R), al conjunto de todos los elementos de A ligados a x mediante la relación R.


� Relación de preordenado. � Relación de orden parcial o simplemente de orden. � Relación de orden total. � Relación de orden estricto.

2

3

1149MATEMÁTICAS

4. APLICACIONES ENTRE DOS CONJUNTOS


Una correspondencia entre dos conjuntos, distintos o no, viene definida por la terna (A, B, G) o (G, A, B) en la que A y B son los conjuntos dados y G ⊂ A × B, tal que si (a, b) ∈ G, se dice que a se corresponde con b.

Al conjunto G ⊂ A × B se denomina grafo de la correspondencia.


Dada una correspondencia f: A → B, o bien f = (A, B, G), se dice que es una aplicación cuando todo elemento de A tiene una y sólo una imagen en B.

X Tipos de aplicación

a) Aplicación constante Sea la aplicación f: A → B. Se dice que f es una aplicación constante si ∀ x ∈ A, f(x) = c ∈ B. f es constante, si todo elemento de A tiene la misma imagen en B.b) Aplicación idéntica o identidad La aplicación f: A → A es la aplicación idéntica o identidad sobre A si ∀ x ∈ A, f(x) = x.c) Aplicación inyectiva Una aplicación f: A → B es inyectiva si cada elemento de B es imagen a lo más de un

elemento de A.d) Aplicación suprayectiva o exhaustiva Una aplicación f: A → B, se dice suprayectiva si todo elemento de B es imagen al me-

nos de un elemento de A.e) Aplicación biyectiva Una aplicación es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

5. CONCEPTO DE OPERACIÓN EN UN CONJUNTO

5.1. DEFINICIONES

Se llama operación entre dos conjuntos A y B con valores en C, ambos conjuntos no vacíos, a toda aplicación de A × B en C, por la que a todo par (a, b) ∈ A × B le hace co-rresponder un elemento c ∈ C.

Ley de composición interna y externa en A.

Parte estable o cerrada.


Propiedades asociactiva, conmutativa, distributiva y uniforme.

4

5

50 TEMARIO


� Elemento neutro. � Elemento simétrico. � Elemento regular. � Elemento idemotente.

6. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Cuando en un conjunto definimos una o más operaciones, se dice que hemos dotado al conjunto de una estructura algebraica.

Serán diferentes según las operaciones definidas y las propiedades que tengan estas ope-raciones.


Partimos, pues, de un conjunto sobre el que hemos definido una operación interna, que simbolizaremos por *.

� Semigrupo y monoide � Grupo


� Semianillo � Anillo � Ideal: clases de ideal � Cuerpo y semicuerpo � Retículo: clases de retículo


� Estructura de semimódulo � Estructura de módulo. Submódulo � Estructura de espacio vectorial

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