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CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DE ESTUDIOS AVANZADOS

DEL INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

UNIDAD ZACATENCO

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EDUCATIVA

Procesos de Selección de Recursos Digitales en Clases de

Geometría: Estudios de Caso con Profesores de Primaria

Tesis que presenta

Marisol Santacruz Rodríguez

para obtener el Grado de

Doctora en Ciencias

en la especialidad de

Matemática Educativa

Directores de la Tesis:

Dra. Ana Isabel Sacristán Rock (directora)

Dr. François Pluvinage (co-director)

Ciudad de México Agosto de 2019

AGRADECIMIENTOS

Quiero dar mis especiales agradecimientos a la Dra. Ana Isabel Sacristán, mi

directora de tesis, por toda su orientación, dedicación, apoyo y amistad en la realización de

mi doctorado. Igualmente, agradezco al Dr. François Pluvinage, codirector de mi tesis, por su

acompañamiento en la realización de este trabajo.

Al Dr. Luc Trouche, muchas gracias por recibirme durante mi estancia académica en

Francia, y por sus aportes e ideas para el desarrollo de mi tesis.

Mis sinceros agradecimientos al resto de mis sinodales, Dra. Ivonne Sandoval,

Dra. Teresa Rojano, y Dr. Ulises Xolocotzin, por sus lecturas, retroalimentación a mi trabajo

e interés que mostraron en participar de mi proceso de formación.

Al Cinvestav, mil gracias por abrirme sus puertas. Muchas gracias al Departamento

de Matemática Educativa por darme la oportunidad de formarme junto a investigadores de

primera línea.

Igualmente, quiero agradecer a los profesores y escuelas que participaron en este

estudio, por darme el apoyo, logística y espacios necesarios para llevar a cabo mi

investigación.

Finalmente, quiero agradecer a Dios por su inspiración para realizar mi doctorado; a

mi familia, pareja y amigos que fueron mi apoyo durante todos estos años. Los llevo en el

corazón.

A todos, mil gracias.

Marisol.

4

AGRADECIMIENTO A CONACYT

Agradezco al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT)

por el apoyo económico que me proporcionó para la realización de

mis estudios de doctorado que culminan con el presente trabajo de

tesis de grado.

Becario 678019

5

RESUMEN

En la investigación presentada en este documento, estudiamos los procesos de

selección de recursos digitales que hacen profesores de primaria para su enseñanza de la

geometría. Nos interesó analizar cómo, y de qué maneras, los conocimientos profesionales de

los profesores se ponen en juego en estos procesos de selección.

Nuestro marco teórico se fundamentó en la Aproximación Documental de la Didáctica

(ADD) propuesta por Gueudet y Trouche (2009) y algunas ideas del modelo de los Espacios

de Trabajo Matemático (ETM) de Kuzniak (2011). Para desarrollar nuestro estudio, usamos la

metodología de investigación reflexiva de la ADD. Realizamos estudios de casos de cinco

profesores de escuelas primarias públicas en Colombia, a partir de observaciones de algunas

de sus clases, incluyendo sus planeaciones para éstas, así como entrevistas donde se aplicó

una técnica de introspección. Esta técnica consistió en estimular el recuerdo de los profesores

para que evocaran y representaran sus acciones durante la selección de recursos digitales para

su clase, mediante la elaboración de mapas de su “ruta-recorrida”. A través de esta

metodología, inferimos los esquemas de los profesores que orientaron su selección de recursos

digitales para sus clases.

Un resultado principal de esta investigación fue la identificación de “criterios de

selección” (de contenido matemático, curriculares, de características didácticas del recurso,

cognitivos y ergonómicos, entre otros) de los profesores del estudio, los cuales se

manifestaron en sus procesos de selección de recursos digitales para sus clases .

Consideramos que este tipo de estudios sobre la selección de recursos pueden orientar

el desarrollo de programas de formación de profesores y dar pistas importantes a quienes

diseñan recursos y los ponen a disposición de los profesores.

6

ABSTRACT

In the research presented in this document, we studied the processes of selection of

digital resources carried out by primary school teachers for teaching geometry. We were

interested in analyzing how, and in what ways, the professional knowledge of teachers is

involved in these selection processes.

Our theoretical framework was based on the Documentational Approach to Didactics

(DAD) proposed by Gueudet and Trouche (2009) and on some ideas of the Mathematical

Work Spaces (MWS) model of Kuzniak (2011). To develop our study, we used the ADD's

reflective investigation methodology. We conducted case studies of five public elementary

school teachers in Colombia using observations of some of their classes, including how they

planned these, as well as interviews where an introspection technique was applied. This

technique consisted in stimulating a memory recall of the teachers so that they could evoke

their actions when selecting digital resources for their class, and represent these in maps of

their “selection paths”. Through this methodology, we inferred the schemes of the teachers

underlying their selection of digital resources for their classes.

A main result of this research was the identification of “selection criteria” (of

mathematical content, of curricular content, of didactical characteristics of the resource,

cognitive and ergonomic, among others) of the participating teachers, involved in their

selection processes of digital resources for their classes.

We believe that this type of study on the selection of resources can guide the

development of teacher training programs and provide important pointers to those who design

resources and make them available to teachers.

7

ÍNDICE

Agradecimientos .......................................................................................................................... 3

Agradecimiento a CONACYT .................................................................................................... 4

Resumen ...................................................................................................................................... 5

Abstract ........................................................................................................................................ 6

Índice ........................................................................................................................................... 7

Lista de Figuras ......................................................................................................................... 15

Lista de Tablas ........................................................................................................................... 19

PARTE I: INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 21

1. Introducción y planteamiento del problema .......................................................................... 22

1.1. La selección de recursos digitales para la clase ............................................................... 22

1.2. Objetivos y preguntas de investigación ........................................................................... 25

1.3. Estructura del documento ................................................................................................ 26

PARTE II: ANTECEDENTES Y MARCO CONCEPTUAL Y TEÓRICO ............................ 31

2. Una mirada a los recursos en la historia y en la educación matemática ................................ 32

2.1. Dos ejemplos y antecedentes del uso de recursos: Una mirada histórica ........................ 32

2.1.1. La representación del espacio tridimensional: el caso de la pintura del Renacimiento

................................................................................................................................................... 33

2.1.2. Recursos importantes para orientación y medición en la navegación ....................... 39

2.1.2.1. La brújula: instrumento de orientación ................................................................... 39

2.1.2.2. El astrolabio y el sextante: instrumentos de medición de ángulos, para determinar

la ubicación ................................................................................................................................ 43

2.1.2.3. El cronómetro marino: instrumento de medición de tiempo para determinar la

ubicación .................................................................................................................................... 45

2.1.2.4. La cartografía: recurso para la ubicación ................................................................ 46

2.2. Acerca del concepto de recurso en educación matemática .............................................. 51

2.2.1. Materiales (o recursos) manipulativos ....................................................................... 52

2.2.2. Conceptualizando los recursos en la educación matemática ..................................... 54

3. Las tecnologías digitales como recursos en educación matemática ...................................... 56

3.1. Los recursos como mediadores de la actividad humana .................................................. 59

ÍNDICE

8

3.2. Recursos y teoría de la actividad ..................................................................................... 59

3.3. Mediación semiótica usando recursos digitales .............................................................. 60

3.4. Situaciones didácticas: recursos en un milieu ................................................................. 61

3.5. Micromundos computacionales: entornos de aprendizaje con tecnologías digitales ...... 63

3.6. Sobre el concepto de “recurso digital” ............................................................................ 65

4. Miradas teóricas al conocimiento del profesor ..................................................................... 66

4.1. Modelos de los conocimientos profesionales del profesor .............................................. 67

4.1.1. La perspectiva de Shulman sobre los conocimientos de los profesores, el concepto de

PCK, y el modelo MKT de Ball y colegas ................................................................................ 67

4.1.2. El Modelo TPACK de Mishra y Koehler .................................................................. 70

4.1.3. El Modelo PTK de Thomas y colegas ....................................................................... 73

4.2. Los modelos de ETG Y ETM de Kuzniak y colegas ...................................................... 75

4.2.1. Paradigma geométrico ............................................................................................... 76

4.2.2. Los Espacios de Trabajo Geométrico (ETG) y Matemático (ETM) ......................... 78

4.3. Elementos principales para nuestro trabajo ..................................................................... 80

5. La enseñanza de la geometría en primaria ............................................................................ 83

5.1. Problemas en el aprendizaje y la enseñanza de la geometría .......................................... 83

5.2. Aspectos generales sobre la enseñanza de la geometría en primaria .............................. 84

5.3. El currículo de geometría en Colombia ........................................................................... 89

5.3.1. El sistema curricular y el desarrollo profesional en Colombia .................................. 89

5.3.2. Conocimientos específicos de geometría delineados en las orientaciones curriculares

................................................................................................................................................... 90

5.3.3. Las tecnologías digitales para la enseñanza de la geometría según las orientaciones

curriculares ................................................................................................................................ 91

6. El enfoque instrumental y la aproximación documental de la didáctica ............................... 93

6.1. El concepto de esquema .................................................................................................. 93

6.2. El Enfoque Instrumental: antecedente de la Aproximación Documental de la Didáctica

................................................................................................................................................... 97

6.2.1. La mediación instrumental ........................................................................................ 97

6.2.2. Las génesis instrumentales ........................................................................................ 98

6.3. El estudio del trabajo documental del profesor ............................................................. 101

6.3.1. Conceptualizando algunas ideas clave de la ADD .................................................. 102

ÍNDICE

9

6.3.2. Las génesis documentales ........................................................................................ 103

6.3.3. La orquestación de la clase ...................................................................................... 105

6.3.4. Líneas de investigaciones usando la ADD .............................................................. 107

6.4. Hacia una articulación, para nuestro estudio, entre ADD y ETM ................................ 109

7. La reflexión del profesor ..................................................................................................... 111

7.1. El proceso de reflexión en el individuo ......................................................................... 111

7.2. La reflexión del profesor ............................................................................................... 113

7.2.1. El pensamiento reflexivo según Dewey ................................................................... 113

7.2.2. Influencia del contexto en la práctica del profesor y en su reflexión ...................... 114

7.2.3. La reflexión en-la-acción ......................................................................................... 114

PARTE III: ASPECTOS METODOLÓGICOS Y DISEÑO DEL ESTUDIO ....................... 119

8. Metodología general del estudio.......................................................................................... 120

8.1. Hipótesis del trabajo ...................................................................................................... 120

8.2. Diseño general de la investigación ................................................................................ 121

8.3. Selección de los participantes y las escuelas ................................................................. 123

8.3.1. Descripción del municipio donde se llevó a cabo la investigación ......................... 124

8.3.2. Ingreso al servicio público docente de los profesores en Colombia ........................ 125

8.3.3. Criterios de elección de los profesores y las escuelas ............................................. 126

8.4. La recolección de datos ................................................................................................. 127

9. Desarrollo de la técnica de introspección ............................................................................ 129

9.1. Características teóricas de la técnica de introspección .................................................. 129

9.2. Aplicación de la técnica ................................................................................................. 131

9.3. Resumen de las características de la técnica de introspección ...................................... 132

PARTE IV: PRIMERA FASE – DISEÑO Y RESULTADOS ............................................... 133

10. Diseño de la Primera Fase de la investigación .................................................................. 134

10.1. Recolección de datos en la Primera Fase ..................................................................... 134

10.2. Selección de los participantes (y la escuela) de la Primera Fase ................................. 136

10.3. Detalles de la escuela seleccionada en la Primera Fase ............................................... 137

10.4. Caracterización de los dos profesores estudiados en la Primera Fase ......................... 138

10.5. Caracterización del grupo de profesores participantes de la Primera Fase ................. 140

11. Estudio de caso de Juan: Énfasis en los aspectos ergonómicos y didácticos del recurso . 141

ÍNDICE

10

11.1. Detalles del grupo de Juan y de la clase observada ..................................................... 141

11.2. Conocimientos geométricos y ETM de Juan sobre líneas abiertas y cerradas ............ 142

11.3. Selección por Juan del recurso para su clase ............................................................... 144

11.3.1. El recurso seleccionado por Juan ........................................................................... 144

11.3.2. Criterios de Juan, para la selección del recurso ..................................................... 145

11.4. Uso y orquestación por Juan del recurso en su clase................................................... 149

11.5. Reflexión de Juan después de la clase sobre el recurso y su orquestación.................. 152

11.6. Conclusiones del estudio de caso de Juan ................................................................... 152

12. Estudio de caso de Pedro (1ª parte): El recurso digital como un contexto para la

construcción y la exploración .......................................................................................... 154

12.1. Detalles del grupo, meta y clase observada de Pedro .................................................. 154

12.2. ETM de referencia con respecto a las metas del proyecto de aula de Pedro ............... 156

12.3. Conocimientos geométricos y ETM Personal de Pedro sobre la medida y la medición

................................................................................................................................................. 158

12.4. Selección por Pedro del recurso para su clase ............................................................. 159

12.4.1. El recurso seleccionado por Pedro ......................................................................... 159

12.4.2. Criterios de Pedro para la selección del recurso .................................................... 160

12.5. Uso y orquestación por Pedro del recurso en su clase ................................................ 164

12.6. Conclusiones del estudio de caso de Pedro ................................................................. 168

13. Estudio de caso colectivo .................................................................................................. 169

13.1. Organización del trabajo colectivo con el grupo de maestros ..................................... 169

13.2. Descripción de la experiencia y resultados ................................................................. 169

13.3. Conclusiones sobre el estudio de caso colectivo ......................................................... 173

14. Conclusiones de la Primera Fase de la investigación ........................................................ 175

14.1. Conocimientos profesionales y personales de los profesores que impactan su selección

de recursos digitales ................................................................................................................ 175

14.2. ETMs identificados de los profesores de la Primera Fase del estudio ........................ 176

14.2.1. Orientaciones y percepciones personales de los profesores que impactan su selección

de recursos digitales ................................................................................................................ 177

14.2.2. La selección de recursos y la orquestación de la clase: procesos complementarios 181

14.3. Criterios de selección de recursos digitales ................................................................. 183

14.3.1. Criterios similares de selección de recursos .......................................................... 183

ÍNDICE

11

14.3.2. Criterios adicionales de selección de recursos ....................................................... 185

14.4. Resumen de conclusiones de la Primera Fase ............................................................. 185

14.5. Hacia la Segunda Fase del estudio a partir de los resultados de la Primera Fase ........ 186

PARTE V: SEGUNDA FASE – DISEÑO Y RESULTADOS ............................................... 187

15. Diseño de la Segunda Fase de la investigación ................................................................. 188

15.1. Cambios en la metodología con base a los resultados de la Primera Fase .................. 188

15.2. Actividades de la Segunda Fase .................................................................................. 191

15.3. Recolección de datos en la Segunda Fase .................................................................... 193

15.4. Elección de los casos y variables del estudio .............................................................. 194

15.4.1. Criterios de elección de los participantes .............................................................. 195

15.4.2. Proceso de determinación de los participantes ...................................................... 195

15.4.3. Detalles de los profesores seleccionados ............................................................... 196

15.5. Proceso de análisis de los datos ................................................................................... 197

16. Estudio de caso de Laura: Recursos para enseñar estimación de longitudes .................... 201

16.1. Antecedentes y contexto profesional de Laura ............................................................ 201

16.2. Concepción de las clases de Laura .............................................................................. 202

16.3. Recursos seleccionados por Laura ............................................................................... 203

16.4. Uso y orquestación por Laura de los recursos en su clase ........................................... 208

16.5. Análisis del proceso de selección de Laura ................................................................. 212

16.5.1. Resultados de la aplicación de la técnica de introspección: Mapas de Laura sobre su

ruta-recorrida ........................................................................................................................... 212

16.5.2. Componentes del esquema de Laura para seleccionar recursos digitales .............. 215

16.5.3. Análisis de los conocimientos matemáticos de Laura involucrados en su proceso de

selección de recursos digitales ................................................................................................. 219

16.6. Conclusiones sobre el estudio de caso de Laura .......................................................... 221

17. Estudio de caso de Pedro (2ª parte): Recursos para diseñar en la clase de Geometría ...... 223

17.1. Antecedentes de Pedro y del contexto en el que labora ............................................... 223

17.2. El proyecto de aula “La casa de mis sueños” desarrollado por Pedro ......................... 224

17.3. Recursos seleccionados por Pedro para su proyecto de aula ....................................... 228

17.4. Análisis del proceso de selección de recursos (digitales) de Pedro ............................. 230

17.4.1. Resultados de la aplicación de la técnica de introspección: Mapas de Pedro sobre su

ruta-recorrida ........................................................................................................................... 231

ÍNDICE

12

17.4.2. Componentes del esquema de Pedro para seleccionar recursos digitales ............. 234

17.4.3. Paradigma geométrico relacionado con las invariantes operatorias de Pedro ....... 239

17.5. Conclusiones sobre el estudio de caso de Pedro ......................................................... 240

18. Estudio de caso de Miguel: Recursos para “hacer y aprender geometría” ........................ 243

18.1. Antecedentes de Miguel y del contexto en el que labora ............................................ 243

18.1.1. Detalles de la formación y experiencia docente de Miguel ................................... 243

18.1.2. Detalles de la escuela en la que Miguel trabajaba ................................................. 244

18.1.3. Clases desarrolladas por Miguel durante su periodo de seguimiento .................... 245

18.1.4. Metodología del seguimiento a Miguel ................................................................. 247

18.2. Sistema general de recursos de Miguel para su enseñanza de geometría en quinto grado

................................................................................................................................................. 249

18.2.1. Visita guiada a los recursos generales de Miguel .................................................. 250

18.2.2. Mapas del sistema general de recursos de Miguel ................................................ 252

18.2.3. Orquestación general de las clases de geometría de Miguel ................................. 257

18.2.4. Aporte del análisis del sistema general de recursos para nuestra investigación .... 259

18.3. Recursos seleccionados por Miguel para el desarrollo de su “taller” ......................... 260

18.3.1. Recursos (no-digitales) y actividades previos al taller .......................................... 260

18.3.2. Recursos y actividades del taller ........................................................................... 262

18.4. El “Taller sobre transformaciones geométricas usando GeoGebra” de Miguel .......... 262

18.4.1. Descripción general del taller de Miguel ............................................................... 263

18.4.2. Orquestación y uso de los recursos en el taller de Miguel .................................... 264

18.5. Análisis del proceso de selección del recurso digital del taller de Miguel .................. 268

18.5.1. Mapas de la “ruta-recorrida” hechos por Miguel .................................................. 269

18.5.2. Componentes del esquema de Miguel en la selección de su recurso digital para su

taller ......................................................................................................................................... 272

18.6. Paradigmas geométricos que orientaron, en Miguel, su proceso de selección de

recursos para la enseñanza de la geometría ............................................................................. 276

18.7. Conclusiones sobre el estudio de caso de Miguel ....................................................... 280

18.7.1. Sobre el sistema de recursos de Miguel ................................................................. 280

18.7.2. Sobre las rutas-recorridas por Miguel en su proceso de selección de recursos ..... 281

18.7.3. Sobre el esquema ESRD_M de Miguel para su selección de recursos ................. 282

18.7.4. Sobre los “paradigmas geométricos" de Miguel ................................................... 283

ÍNDICE

13

19. Estudio de caso de Sonia: Énfasis en las necesidades de sus estudiantes ......................... 285

19.1. Antecedentes y contexto profesional de Sonia ............................................................ 285

19.1.1. Detalles de la formación y experiencia docente de Sonia...................................... 285

19.1.2. Detalles de la escuela en la que Sonia laboraba ..................................................... 286

19.1.3. Detalles del seguimiento al trabajo de Sonia ......................................................... 286

19.2. Sonia y su sistema de recursos para su enseñanza de la geometría ............................. 287

19.2.1. Visita guiada de los recursos generales de Sonia .................................................. 287

19.2.2. Mapas del sistema general de recursos de Sonia ................................................... 291

19.3. Recursos seleccionados por Sonia y su orquestación .................................................. 295

19.4. Análisis del proceso de Sonia para seleccionar recursos (digitales) ............................ 299

19.4.1. Resultados de la técnica de introspección: “Rutas-recorridas” dibujadas por Sonia

................................................................................................................................................. 299

19.4.2. Componentes del esquema de Sonia para seleccionar recursos digitales .............. 303

19.5. Paradigmas geométricos que orientaron las acciones de Sonia ................................... 307

19.6. Conclusiones del estudio de caso de Sonia .................................................................. 308

20. Conclusiones de los resultados de la Segunda Fase .......................................................... 310

20.1. Sobre los sistemas de recursos de los profesores y la orquestación de la clase .......... 310

20.1.1. Acerca de los sistemas de recursos de los profesores ............................................ 310

20.1.2. Aportes a nuestro estudio del análisis de la orquestación de la clase .................... 312

20.2. Sobre las “rutas recorridas” por los profesores ............................................................ 313

20.3. Sobre los esquemas (y criterios) de selección de recursos digitales de los profesores, y

sus conocimientos involucrados .............................................................................................. 314

20.3.1. Criterios de selección de recursos .......................................................................... 315

20.3.2. Conocimientos profesionales y personales de los profesores que impactan su

selección de recursos digitales ................................................................................................. 316

20.3.3. Paradigmas geométricos que orientaron el proceso de selección de recursos de los

recursos .................................................................................................................................... 320

PARTE VI: CONCLUSIONES GENERALES ...................................................................... 323

21. Conclusiones ...................................................................................................................... 324

21.1. Resumen de los resultados del estudio ........................................................................ 324

21.1.1. Acerca de los recursos digitales seleccionados por los profesores ........................ 324

21.1.2. Criterios de los profesores para su selección de recursos ...................................... 326

ÍNDICE

14

21.1.3. Sobre la orquestación de la clase ........................................................................... 327

21.1.4. Conocimientos profesionales de los profesores relacionados con su selección de

recursos .................................................................................................................................... 329

21.1.5. Percepciones de los profesores participantes en el estudio sobre las actividades de

reflexión .................................................................................................................................. 333

21.2. Respuestas a las preguntas de investigación ............................................................... 334

21.3. Aportaciones del trabajo .............................................................................................. 336

21.4. Limitaciones del estudio y posibles líneas de investigación futuras ........................... 337

21.4.1. Sobre los profesores participantes ......................................................................... 337

21.4.2. Respecto al tema matemático y nivel de escolaridad estudiado ............................ 338

21.4.3. Sobre posibles aplicaciones de la técnica de introspección ................................... 339

21.5. Comentarios finales ..................................................................................................... 339

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................... 341

ANEXOS ................................................................................................................................. 355

Anexo A. Cuestionario C1 ................................................................................................. 356

Anexo B. Cuestionario C2 .................................................................................................. 358

Anexo C. Ejemplo de protocolo de entrevista a profesor ................................................... 360

Anexo D. Ejemplo de Protocolo de entrevista a director de escuela .................................. 362

Anexo E. Ejemplo de Protocolo de observación de planeación de clase ........................... 364

Anexo F. Ejemplo Protocolo de observación de clase ....................................................... 365

Anexo G. Palabras-código .................................................................................................. 367

Anexo H. Hojas de trabajo de Laura .................................................................................. 368

Anexo I. Proyecto de aula “La casa de mis sueños” ......................................................... 370

15

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1. Virgen en el trono con el Niño, ángeles y santos, en la Maestà de Duccio (1311) . 34

Figura 2.2. La escuela de Atenas de Rafael Sanzio (1512) ....................................................... 35

Figura 2.3. Los desposorios de la Virgen de Rafael Sanzio (1504) .......................................... 36

Figura 2.4. El perspectógrafo de Durero ................................................................................... 37

Figura 2.5. Brújula tradicional China (Período Han) ................................................................ 41

Figura 2.6. Fotografía del artefacto M-160 con escala en centímetros (Carlson, 1975) ........... 41

Figura 2.7. Orientación del fragmento M-160 de la “brújula olmeca” al flotar en líquido

(Carlson, 1975) .................................................................................................................. 42

Figura 2.8. Vector de orientación del fragmento M-160 de la “brújula olmeca” (Carlson, 1975)

........................................................................................................................................... 42

Figura 2.9. Astrolabio persa del S. XI ....................................................................................... 44

Figura 2.10. Sextante ................................................................................................................. 44

Figura 2.11. Cronómetro marino del S. XIX (1831-1836) ........................................................ 45

Figura 2.12. Mapamundi por Donnus Nicholas Germanus (1482) ........................................... 46

Figura 2.13. Proyección de Mercator ........................................................................................ 47

Figura 2.14. Mapa de Mercator de 1569: (a) planisferio completo compuesto (arriba) ; y (b)

detalle (abajo) de dos hojas mostrando parte de Norteamérica ......................................... 48

Figura 2.15. Planisferios Mercator trazados por: (a) Guiljelmo Blaeuw (1606) (arriba) y (b)

Daniel R. Strebe (2011) (abajo) ......................................................................................... 49

Figura 2.16. Ejemplos de bloques de Dienes............................................................................. 53

Figura 3.1. Situación didáctica (y situación a-didáctica). (Perrin-Glorian, 2009, p. 14)........... 63

Figura 3.2. Componentes de un micromundo (Hoyles & Noss, 1987) ..................................... 64

Figura 4.1. Mapa de dominio del Conocimiento Matemático para la Enseñanza (tomado de

Ball et al., 2008, p. 403; Hill et al., 2008, p. 377; y de Miranda, 2013, para las

traducciones) ...................................................................................................................... 69

Figura 4.2. Modelo TPACK ...................................................................................................... 71

Figura 4.3. Modelo MPTK (Clark-Wilson & Hoyles, 2017, p.31) ........................................... 74

Figura 4.4. El espacio de trabajo matemático y sus génesis (Kuzniak & Richard, 2014, p. 7) . 79

Figura 6.1. Mediaciones instrumentales en el sistema didáctico (Rabardel, 1999. Nuestra

traducción.) ........................................................................................................................ 98

Figura 6.2. Génesis instrumental (Adaptado de Trouche, 2003, 2004) ................................... 100

Figura 6.3. Génesis documentales (Adaptado de Gueudet & Trouche, 2009, p. 206 . Nuestra

traducción.) ...................................................................................................................... 104

LISTA DE FIGURAS

16

Figura 8.1. Diseño metodológico general de la investigación ............................................... 122

Figura 8.2 [27]. Momentos en cada fase y etapa de la investigación ...................................... 123

Figura 8.3. Imágenes del municipio de Yumbo (Colombia) ................................................... 124

Figura 10.1. Instalaciones de la escuela de la Primera Fase ................................................... 138

Figura 11.1. Escena de la clase de Juan de primer grado ........................................................ 141

Figura 11.2. Ejemplos de curvas abiertas y cerradas presentados por Juan ............................ 143

Figura 11.3. Interfaz del recurso seleccionado por Juan ......................................................... 145

Figura 12.1. Escena de la clase de Pedro de quinto grado ...................................................... 154

Figura 12.2. Trabajo previo de los estudiantes de Pedro ........................................................ 156

Figura 12.3. Interfaz de trabajo del recurso seleccionado por Pedro ...................................... 160

Figura 12.4. Pareja guía de la clase de Pedro .......................................................................... 166

Figura 13.1. Profesores interactuando con los recursos seleccionados por Juan y Pedro ....... 170

Figura 16.1. Escuela donde laboraba Laura ............................................................................ 202

Figura 16.2. Repositorio “Contenidos para Aprender” ........................................................... 204

Figura 16.3. Contenido digital seleccionado por Laura del repositorio “Contenidos para

Aprender” ........................................................................................................................ 205

Figura 16.4. Elementos de la “Guía para el docente” del “Contenido digital” que Laura

seleccionó ........................................................................................................................ 206

Figura 16.5. Actividades consideradas por Laura, del repositorio “Contenidos para Aprender”

......................................................................................................................................... 206

Figura 16.6. Captura del video seleccionado por Laura .......................................................... 207

Figura 16.7. Parte del interactivo seleccionado por Laura y relacionado al video ................. 207

Figura 16.8. Primera hoja de trabajo (imprimible) adaptada por Laura (ver Anexo H) , y

relacionada con el video y el interactivo correspondientes ............................................. 207

Figura 16.9. Estudiantes de Laura trabajando ......................................................................... 208

Figura 16.10. Actividad en las hojas de trabajo adaptadas por Laura ..................................... 210

Figura 16.11. Primera versión del mapa, dibujado por Laura, de su ruta-recorrida para su

selección de recursos para su clase .................................................................................. 213

Figura 16.12. Segunda versión del mapa, dibujado por Laura, de su ruta-recorrida para su


Figura 16.13. Última versión del mapa, dibujado por Laura, de su ruta-recorrida en su


Figura 17.1. Estudiantes de Pedro mostrando el resultado (maqueta) de su proyecto de aula 224

Figura 17.2. Estudiantes de Pedro trabajando en el diseño del plano de una casa, con Sweet

Home 3D.......................................................................................................................... 225

LISTA DE FIGURAS

17

Figura 17.3. Ejemplo de un plano producido por una pareja de estudiantes usando Sweet Home

3D .................................................................................................................................... 225

Figura 17.4. Actividad desarrollada por estudiantes de Pedro para su proyecto de aula ........ 227

Figura 17.5. Otra actividad desarrollada por estudiantes de Pedro para su proyecto de aula . 227

Figura 17.6. Ejemplo del tipo de información disponible en el repositorio “Finca Raíz” ...... 229

Figura 17.7. Primera versión del mapa, dibujado por Pedro, de su ruta-recorrida para su

selección de recursos para su proyecto de aula ............................................................... 231

Figura 17.8. Segunda versión del mapa, dibujado por Pedro, de su ruta-recorrida para su

selección de recursos para su proyecto de aula ............................................................... 232

Figura 17.9. Última versión del mapa, dibujado por Pedro, de su ruta-recorrida para su


Figura 18.1. Escuela donde laboraba Miguel .......................................................................... 245

Figura 18.2. Hoja de trabajo para el estudio de “sólidos geométricos”, propuesta por Miguel

......................................................................................................................................... 246

Figura 18.3. Ejemplo de un geoplano “convencional” (izquierda) y un geoplano “circular”

(derecha) realizados en la clase de Miguel ...................................................................... 247

Figura 18.4. Recursos para la enseñanza de la geometría en el salón de Miguel .................... 251

Figura 18.5. Primera versión del mapa de recursos de Miguel ............................................... 253

Figura 18.6. Versión final del mapa, hecho por Miguel, de su sistema de recursos ............... 254

Figura 18.7. Niño trabajando en el taller sobre transformaciones geométricas propuesto por

Miguel .............................................................................................................................. 264

Figura 18.8. Escena del “Taller sobre transformaciones geométricas usando GeoGebra” ..... 264

Figura 18.9. Ejemplos de las actividades propuestas en las hojas de trabajo del “Taller de

transformaciones geométricas con GeoGebra” de Miguel .............................................. 265

Figura 18.10. Primera versión del mapa, dibujado por Miguel, de su ruta-recorrida para su

selección de recursos para su taller .................................................................................. 269

Figura 18.11. Segunda versión del mapa, dibujado por Miguel, de su ruta-recorrida para su


Figura 18.12. Última versión del mapa, dibujado por Miguel, de su ruta-recorrida para su


Figura 18.13. Construcción del geoplano en la clase de Miguel ............................................. 277

Figura 18.14. Actividad en GeoGebra (con hoja de trabajo) sobre composición de

transformaciones, por un estudiante de Miguel ............................................................... 278

Figura 18.15. Detalle de la actividad en GeoGebra sobre composición de transformaciones,

por un estudiante de Miguel ............................................................................................ 279

Figura 19.1. Instalaciones de la escuela en la que Sonia laboraba .......................................... 286

Figura 19.2. Algunos libros de texto usados por Sonia ........................................................... 289

LISTA DE FIGURAS

18

Figura 19.3. Guía del maestro oficial, consultada por Sonia .................................................. 290

Figura 19.4. Recursos para “recortar, pegar o trazar” mencionados por Sonia ...................... 290

Figura 19.5. Videobeamer instalado frente al pizarrón en el salón de clases de Sonia ........... 291

Figura 19.6. Mapa, dibujado por Sonia, de su sistema de recursos ........................................ 293

Figura 19.7. Tema de “Medición” en la “Guía del Maestro”, consultado por Sonia para su

planeación de clases ........................................................................................................ 296

Figura 19.8. Actividades de estimación y medición propuestas por Sonia ............................. 296

Figura 19.9. Proyección de la hoja de trabajo en el tablero .................................................... 297

Figura 19.10. Video seleccionado por Sonia para su clase ..................................................... 297

Figura 19.11. Aspecto del applet seleccionado por Sonia para su clase ................................. 298

Figura 19.12. Escena de la clase de Sonia usando el applet de GeoGebra ............................. 299

Figura 19.13. Primera versión de Sonia de su mapa de su ruta-recorrida para seleccionar

recursos para sus clases ................................................................................................... 300

Figura 19.14. Segunda versión de Sonia de su mapa de su ruta-recorrida para seleccionar

recursos para sus clases ................................................................................................... 301

Figura 19.15. Ejemplo de uso de recursos de “recortar, doblar y pegar” en las clases de Sonia

......................................................................................................................................... 307

19

LISTA DE TABLAS

Tabla 5.1. Comparación entre elementos del modelo de espacio de Gálvez (1985) y de los

Espacios de Trabajo Geométrico de Houdement y Kuzniak (2006) ................................. 88

Tabla 8.1. Detalles del número de participantes y de los periodos de recolección de datos ... 123

Tabla 8.2. Características generales de las fuentes de datos ................................................... 128

Tabla 10.1. Instrumentos de recolección de información en la Primera Fase de la investigación

......................................................................................................................................... 135

Tabla 10.2. Criterios de selección de los casos de la Primera Fase de la investigación .......... 136

Tabla 10.3. Características generales del grupo de 30 maestros ............................................. 140

Tabla 11.1. Categorización de los criterios de selección del recurso digital (caso de Juan) ... 146

Tabla 11.2. Criterios de selección de un recurso digital en el caso de Juan ............................ 149

Tabla 11.3. Aspectos de la orquestación de Juan en su clase de grado primero ..................... 150

Tabla 11.4. Tipos de orquestación (interacciones) de Juan en su clase de grado primero ...... 151

Tabla 12.1. Fragmentos de la entrevista previa a la clase observada de Pedro ....................... 158

Tabla 12.2. Categorización de los criterios de selección del recurso digital (caso de Pedro) . 162

Tabla 12.3. Criterios de selección de un recurso digital (Pedro) ............................................. 163

Tabla 12.4. Aspectos de la orquestación de Pedro en su clase de grado quinto ...................... 165

Tabla 12.5. Niveles de orquestación propuestos por Pedro en su clase de grado quinto ........ 166

Tabla 13.1. Diseño de la sesión de reflexión colectiva (Primera Fase) ................................... 169

Tabla 14.1. Orquestación de la clase y usos del recurso en las clases de Juan y Pedro .......... 182

Tabla 14.2. Manifestaciones similares en los criterios de selección de recurso (Primera Fase)

......................................................................................................................................... 184

Tabla 15.1. Detalles de los momentos de la Segunda Fase de la investigación ...................... 192

Tabla 15.2. Instrumentos de recolección de información en la Segunda Fase ........................ 194

Tabla 15.3. Criterios y variables de estudio ............................................................................ 195

Tabla 15.4. Datos generales de los profesores participantes en la Segunda Fase ................... 197

Tabla 15.5[23]. Categorías de análisis .................................................................................... 199

Tabla 15.6. Sub-categorías de análisis .................................................................................... 200

Tabla 16.1. Aspectos de la orquestación de Laura en su secuencia de clases en primer grado

......................................................................................................................................... 211

Tabla 16.2. Componentes del Esquema de Selección de Recursos Digitales de Laura

(ESRD_L) ........................................................................................................................ 217

LISTA DE TABLAS

20

Tabla 17.1. Componentes del Esquema de Selección de Recursos Digitales de Pedro

(ESRD_P) ........................................................................................................................ 237

Tabla 18.1. Actividades del seguimiento a Miguel ................................................................. 249

Tabla 18.2. Aspectos de la orquestación de Miguel en su taller ............................................. 267

Tabla 18.3. Componentes del Componentes del Esquema de Selección de Recursos Digitales

de Miguel (ESRD_M) ..................................................................................................... 274

Tabla 19.1. Componentes del Esquema de Selección de Recursos Digitales de Sonia

(ESRD_S) ........................................................................................................................ 305

Tabla 21.1. Resumen de los recursos seleccionados por los profesores participantes en el

estudio ............................................................................................................................. 324

Tabla 21.2. Resumen de los criterios de selección de recursos tenidos en cuenta por los

profesores observados ..................................................................................................... 326

Tabla 21.3. Resumen de aspectos del uso y orquestación de los recursos por los profesores 328

Tabla 21.4. Conocimientos profesionales contenidos en cada criterio de selección ............... 330

Tabla Anexo G.5. Palabras-código utilizadas en el análisis de los datos ................................ 367

21

PARTE I: INTRODUCCIÓN

22

1. INTRODUCCIÓN Y PLANTEAMIENTO DEL

PROBLEMA

Consideramos que la selección de recursos (digitales) para la clase es un proceso

crítico en el trabajo del profesor. En este sentido, nos propusimos estudiar el proceso de

selección de recursos digitales para la enseñanza de la geometría que hacen profesores de

primaria. Igualmente, quisimos explorar cómo, para llevar a cabo este proceso de selección,

los profesores ponen en juego sus conocimientos profesionales (e.g. geométricos, didácticos,

curriculares, etc.) en sus procesos de integración a su práctica de recursos digitales.

1.1. LA SELECCIÓN DE RECURSOS DIGITALES PARA LA CLASE

En su práctica, los profesores de matemáticas usan recursos variados (e.g. libros de

texto, dispositivos digitales, representaciones, conceptos matemáticos, discusiones y

reflexiones en clase, etc.), con el propósito de que sus estudiantes aprendan. La selección de

qué recursos usar, o no, y cómo usarlos, responde a las intencionalidades del profesor en

cuanto al aprendizaje de sus estudiantes; a su formación y experiencia; y a los recursos

disponibles.

En este sentido, determinados usos de los recursos posibilitan u obstaculizan el

aprendizaje de las matemáticas, modifican las maneras en que los estudiantes aprenden y las

maneras como los profesores enseñan (Adler, 2000); es decir, afectan sus metas educativas, las

maneras como disponen u organizan su clase, y el tipo de situaciones de aprendizaje para los

estudiantes, etc. Por lo tanto, los recursos juegan un papel fundamental en la práctica de

profesores de matemáticas. Sin embargo, los profesores de ciertos niveles (e.g. primaria) o

entornos (e.g. rural) pueden no contar con una formación específica (disciplinar y didáctica)

para la enseñanza de las matemáticas; de allí que el uso de recursos, principalmente recursos

digitales, puede impactar sensiblemente en la enseñanza del profesor (Adler, 2000).

CAP. 1. INTRODUCCIÓN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

23

En relación con lo anterior, la investigación en educación matemática ha mostrado un

interés creciente por indagar la práctica del profesor de matemáticas, especialmente en

relación a los usos de los recursos digitales en el aula (Gueudet &Trouche, 2010); y así

proponer pistas que permitan repensar la formación inicial y continua de profesores (Clark-

Wilson, Robutti, Sinclair, 2014; Llinares, 2014; Trgalová & Jahn, 2013).

Al respecto, Artigue (2011) puntualiza la necesidad de que la investigación en

educación matemática indague en el trabajo de los profesores, con el propósito de comprender

las limitaciones de ciertas prácticas y las razones de éxito de otras. Al respecto, Artigue (2011)

enfatiza en que las prácticas de los profesores son dinámicas y se adaptan a las condiciones

(institucionales) y contexto de trabajo de cada profesor.

Por ejemplo, aunque muchos esfuerzos de autoridades educativas se concentran en

fomentar la integración de recursos digitales (e.g., Ministerio de Educación Nacional - MEN,

2002), promover cambios en las prácticas de los docentes no es cuestión sencilla, como señala

Sacristán (2017), y es común que los profesores sigan enseñando de maneras más

tradicionales, usando los recursos digitales de maneras que no cambian la forma de enseñar (o

incluso, usando exclusivamente recursos no-digitales en sus clases).

Consideramos que existen múltiples aspectos que afectan las prácticas de los

profesores, tales como sus conocimientos profesionales, el uso de los recursos disponibles para

la enseñanza (Adler, 2000), el currículo, la evaluación, la formación continua, las

oportunidades de trabajo colaborativo, la experiencia misma de los profesores a través de los

años (Rocha, 2018), los contextos institucionales en los cuales trabajan, así como su

participación en redes sociales (e.g. Facebook) en las que profesores pueden compartir

intereses comunes (Messaoui, 2018). Dichos aspectos afectan también las maneras en cómo

los profesores organizan los recursos que seleccionan (e.g. en sus computadoras personales) y

cómo los usan en clase (e.g. usos complementarios entre libros de texto y recursos digitales;

ver Messaoui, 2018).

Por otro lado, estimamos que el estudio de los procesos de selección de recursos

digitales es importante porque nos permite comprender los criterios y conocimientos de los

profesores sobre la calidad y usos de los recursos que consideran para su práctica – un área de

investigación aún poco estudiada y urgente en educación matemática (Trgalová & Jahn, 2013).

Más aún, este tipo de estudios sobre la selección de recursos pueden orientar el desarrollo de

CAP. 1 INTRODUCCIÓN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

24

programas de formación de profesores y dar pistas importantes a quienes diseñan recursos y

los ponen a disposición de los profesores.

En nuestro caso, nos cuestionamos sobre lo poco que sabemos de cómo los profesores

de primaria en Colombia seleccionan recursos digitales para enseñar geometría y qué

conocimientos profesionales se ponen en juego en este proceso, por lo que con este trabajo

investigamos esta cuestión. Consideramos la enseñanza de la geometría en la educación

primaria como un campo propicio para la realización de nuestro estudio debido a cuatro

razones fundamentales:

i) el amplio interés sobre el estudio didáctico de la geometría, sobre todo en la

educación primaria (Berthelot & Salin, 1992);

ii) las dificultades expresadas por profesores de primaria para su enseñanza (Bressan,

Bogisic & Crego , 2000);

iii) las recomendaciones de estudios internacionales (e.g. TIMSS, ICFES, 2010) que

sugieren atender aspectos relacionados con la enseñanza de la geometría en la

educación primaria (ver mayores detalles en la sección 5.1); y

iv) el impulso que recibió la enseñanza de la geometría gracias al desarrollo de

tecnologías de geometría dinámica (Sandoval, 2009).

Respecto a este último punto, el uso de recursos digitales, como la geometría dinámica,

en las clases de geometría es un tema que ha llamado la atención de investigadores

internacionales desde hace tiempo (e.g. Laborde y otros, 2006, quienes han destacado las

potencialidades didácticas de este tipo de recursos, pero también, la complejidad que implica

para los profesores su uso). Entre las potencialidades didácticas de la geometría dinámica

encontramos las siguientes:

i) su papel como una herramienta mediadora entre el conocimiento perceptivo y el

geométrico (Sandoval, 2009);

ii) el papel de herramientas como el arrastre (dragging) y su uso didáctico para el

desarrollo del razonamiento (Arzarello, Micheletti, Olivero & Robutti, 1998)

Consideramos que la complejidad del proceso de selección de recursos digitales para

enseñar geometría es un elemento interesante a indagar en el trabajo de profesores de primaria,

ya que éstos cuentan con una formación y práctica que tiende a no especializarse en la


25

enseñanza de las matemáticas, pero que se relaciona con otras disciplinas escolares (e.g. la

lengua materna o el arte).

1.2. OBJETIVOS Y PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN

De acuerdo con los aspectos señalados anteriormente, en esta investigación nos

interesaba profundizar en el estudio del proceso de selección, por parte de profesores de

primaria, de recursos digitales para sus clases de geometría. En este sentido, nuestros objetivos

de investigación eran:

Analizar el proceso de selección de recursos digitales para enseñar geometría de

profesores de primaria.

Identificar los conocimientos profesionales involucrados en ese proceso de selección

de recursos digitales por parte de esos profesores.

Así, nuestras preguntas de investigación se centraban en entender aspectos

relacionados al proceso de selección, por parte de profesores de primaria, de recursos digitales

para geometría, tales como

¿Qué criterios consideran los profesores durante ese proceso de selección de recursos

digitales, para su enseñanza de la geometría?

¿Qué conocimientos profesionales (e.g. didácticos, de contenido, del contexto en que

se dan las clases, etc.) se ponen en juego durante ese proceso? En particular, ¿cuál es el

papel de sus conocimientos geométricos?

¿Qué acciones están involucradas, y qué ruta o camino siguen los profesores, en ese

proceso de selección?

¿Qué de lo anterior es específico para el nivel de primaria y para enseñanza de la

geometría, y qué no?

Para dar respuesta a esas preguntas de investigación, y como veremos en el Capítulo 6,

en nuestra investigación, utilizamos la Aproximación Documental de la Didáctica (o ADD)

propuesta por Gueudet y Trouche (2009) como nuestro principal marco teórico para estudiar la

selección de recursos como parte del trabajo docente del profesor. En particular, hicimos nos

propusimos realizar una investigación reflexiva (Guin & Trouche, 2012) respecto al trabajo de

cinco profesores de primaria en Colombia (ver Capítulo 8). Utilizamos esa


26

investigación reflexiva para promover la mirada retrospectiva de cada uno de esos profesores,

respecto a su práctica (a través de la producción de mapas de sus recursos y selección de éstos)

como una estrategia de recolección de datos del proceso de selección de recursos digitales de

cada uno.

A partir de esos datos, analizamos las acciones de cada uno de los profesores

estudiados, para poder inferir sus esquemas –en el sentido de Vergnaud (1998) (ver sección

6.1)— que orientaban, para cada uno, su proceso de selección de recursos digitales para la

enseñanza de algún tema específico de geometría. Adicionalmente, utilizamos la idea de

paradigma geométrico –propuesta por Kuzniak (2011) (ver sección 4.2.1)— para profundizar

en nuestro análisis de los conocimientos profesionales de los profesores, incluidos en sus

respectivos esquemas de selección de recursos.

1.3. ESTRUCTURA DEL DOCUMENTO

A continuación, presentamos la estructura general de este documento, el cual está

dividido en las siguientes seis partes (con, en total, 21 capítulos), más un apartado de Anexos

(que contienen información complementaria del trabajo de investigación):

Parte I: INTRODUCCIÓN: Esta parte esta conformada por el Capítulo 0 de

introducción al trabajo presentado en el documento, donde presentamos el planteamiento

de nuestro problema, las preguntas y objetivos de esta investigación.

Parte II: ANTECEDENTES Y MARCO CONCEPTUAL Y TEÓRICO: Esta parte

incluye los siguientes capítulos:

En el Capítulo 2 se hace una mirada al papel de los recursos en la historia y en

la educación. Nos interesa realizar una revisión histórica para identificar

antecedentes de usos de recursos relacionados con aspectos geométricos, tales

como la perspectiva, la medición y la orientación, los cuales nos pudieran servir

para analizar las acciones de los profesores estudiados. Así, en ese capítulo,

discutimos algunos ejemplos históricos como el caso de la pintura en el

renacimiento (cuando se desarrolló la perspectiva), y el de recursos para la

orientación y navegación (como la brújula, el astrolabio, y la cartografía).


27

Posteriormente, presentamos el concepto de “recurso” en Educación Matemática,

que orienta el desarrollo de nuestro estudio.

En el Capítulo 3 continuamos el análisis de los recursos en educación

matemática pero centrándonos en la idea de las tecnologías digitales como

recursos (ya que nuestro interés de investigación es en la selección de recursos

digitales). Presentamos algunos antecedentes teóricos de los recursos digitales en

la investigación en nuestro campo. También, como la mediación (de herramientas)

es uno de los marcos teóricos más usuales para estudiar el papel de las tecnologías

digitales en la enseñanza, presentamos, en ese capítulo, este marco teórico así

como ideas relacionadas. Además, la idea de mediación hace parte de los

antecedentes teóricos de la ADD, que es el marco teórico principal de nuestra

investigación.

En el Capítulo 4 presentamos algunos de los modelos de conocimientos

profesionales de los profesores, ya que, como dijimos arriba, los conocimientos de

los profesores forman parte de sus esquemas de selección de recursos. En especial,

en ese capítulo, discutimos algunos elementos centrales de los modelos de

Espacios de Trabajo Matemático (ETM) de Kuzniak (2011) y colegas.

En el Capítulo 5, atendiendo nuestro interés de centrarnos en la selección de

recursos digitales para enseñanza de la geometría por profesores colombianos,

discutimos algunos aspectos generales de la enseñanza y del currículo de

geometría en Colombia, señalando algunas de las orientaciones sobre el uso de

tecnologías digitales en ese país.

En el Capítulo 6 presentamos el enfoque instrumental de Rabardel (1995)

como antecedente de la Aproximación Documental de la Didáctica (ADD) de

Trouche y colegas (e.g. Gueudet & Trouche, 2009), la cual constituye el marco

teórico central de nuestra investigación De esta última presentamos conceptos

como: esquema; documento; génesis documental y sistema de recursos.

En el Capítulo 7 discutimos algunas características del pensamiento reflexivo y

del proceso reflexivo de los profesores en su práctica docente. Esta revisión teórica

nos sirvió de fundamento para nuestra investigación reflexiva. En particular, la que

revisión que realizamos sobre la reflexión-en-la-acción (Schön, 1992) nos fue útil


28

para fundamentar el desarrollo de uno de nuestros principales instrumentos

metodológico (nuestra técnica de introspección) que presentaremos en el

Capítulo 9.

Parte III: ASPECTOS METODOLÓGICOS Y DISEÑO DEL ESTUDIO. Habiendo

dado en la parte anterior los antecedentes teóricos y conceptuales del trabajo, en esta

parte presentamos los aspectos metodológicos y de diseño de nuestro estudio, en los

siguientes dos capítulos:

En el Capítulo 8 presentamos el diseño metodológico general (incluyendo

métodos y procedimientos utilizados) de nuestra investigación, la cual se dividió

en dos fases.

En el Capítulo 9 discutimos el desarrollo de un instrumento metodológico que

llamamos “técnica de introspección”, la cual se fundamenta en algunas de las ideas

de la ADD y del pensamiento reflexivo del profesor, y que utilizamos para la

recolección de datos de nuestra investigación.

Parte IV: PRIMERA FASE – DISEÑO Y RESULTADOS. En esta parte presentamos

la metodología de la primera fase de nuestra investigación, dos estudios de caso de

profesores individuales, y un estudio de un grupo de 30 profesores de primaria en

Colombia. Así, esta parte consta de los siguientes capítulos:

En el Capítulo 10 presentamos los aspectos metodológicos concernientes a esta

fase: selección de los participantes y los procedimientos de recolección y análisis

de los datos.

En el Capítulo 11 presentamos el estudio de caso del profesor Juan y su

proceso de selección de recursos digitales para la enseñanza de las líneas

geométricas abiertas y cerradas, en primer grado de primaria.

En el Capítulo 12 presentamos el caso del profesor Pedro de quinto grado.

Pedro fue el único profesor de nuestro estudio que participó en ambas fases

(primera y segunda) de la investigación. Analizamos su proceso de selección de

recursos digitales para el desarrollo de un “proyecto de aula” en su clase de

geometría.


29

En el Capítulo 13 discutimos los resultados de un estudio de caso colectivo de

un grupo de profesores de primaria. Este estudio colectivo se hizo mediante la

aplicación de un taller en el que participaron 30 maestros de una misma escuela

(incluidos los profesores Juan y Pedro).

En el Capítulo 14 presentamos las conclusiones generales de la Primera Fase, a

partir de nuestro análisis del proceso de selección seguido por Juan y Pedro, y de

las discusiones y reflexiones durante el taller de 30 maestros.

PARTE V: SEGUNDA FASE – DISEÑO Y RESULTADOS. En esta parte

presentamos la metodología de la segunda fase de nuestra investigación, y estudios de

caso de 4 profesores (uno de ellos Pedro, que participó en la Primera Fase). Así, esta

parte consta de los siguientes capítulos:

En el Capítulo 15 se dan detalles de la metodología y actividades principales

realizadas en la Segunda Fase, y cómo éstas se determinaron a partir de los

resultados obtenidos en la Primera Fase.

En el Capítulo 16 presentamos el caso de la profesora Laura de primer grado.

En ese estudio de caso, analizamos el proceso de selección de recursos digitales de

Laura para la enseñanza de la estimación de longitudes.

En el Capítulo 17 presentamos la continuación del estudio de caso del profesor

Pedro (único participante en ambas fases del estudio). Su participación en la

Segunda Fase nos permitió profundizar en el estudio de los conocimientos

profesionales que este profesor puso en juego, mientras seleccionaba recursos,

particularmente digitales, para su enseñanza de la geometría en quinto grado.

En el Capítulo 18 presentamos el caso del profesor Miguel, quien también

enseñaba en grado 5º. Estudiamos el proceso de selección de recursos digitales de

Miguel para su enseñanza de las transformaciones geométricas.

En el Capítulo 19 presentamos el caso de la profesora Sonia, también de quinto

grado, y su proceso de selección de recursos para la enseñanza de la estimación,

medición y unidades de medida de longitud (múltiplos y submúltiplos del metro).

En el Capítulo 20 presentamos nuestras conclusiones generales de los

resultados que obtuvimos en la Segunda Fase de la investigación, a partir del


30

seguimiento en esta fase al trabajo de los cuatro profesores mientras seleccionan

recursos digitales para su enseñanza de la geometría.

PARTE VI: CONCLUSIONES GENERALES. En esta parte presentamos el

Capítulo 21 donde presentamos nuestras conclusiones generales de todo el estudio, los

aportes del trabajo, sus limitaciones, así como preguntas abiertas y proyecciones de esta

investigación doctoral.

31

PARTE II: ANTECEDENTES Y MARCO

CONCEPTUAL Y TEÓRICO

32

2. UNA MIRADA A LOS RECURSOS EN LA HISTORIA Y

EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA

En este capítulo se presenta una revisión de algunos aspectos de la literatura

relacionada con el concepto y uso de recursos para matemáticas, tanto en algunos momentos

históricos como en Educación Matemática. Sobresale el hecho de que la misma idea de

recurso aparece en trabajos de diferente naturaleza y con acercamientos diversos, situación

que enriquece la mirada sobre sus posibles usos en la clase.

Nos interesa en particular resaltar el papel de los recursos en campos relacionados con

el contenido geométrico que abordaron los profesores participantes en el estudio:

transformaciones geométricas, medida y medición (ver Partes IV y V de este documento). Por

ello, seleccionamos dos ejemplos históricos del uso de recursos que se relacionan con los

temas anteriores: el surgimiento de la geometría proyectiva en la pintura del Renacimiento

(antecedente del concepto de “transformación geométrica”), y el desarrollo de los

instrumentos de navegación en los siglos XV y XVI (utilizados para mediciones).

Posteriormente, presentaremos algunos referentes generales sobre la integración de

recursos en Educación Matemática y su investigación. Haremos un barrido, que no pretende

ser exhaustivo, de la idea de recurso: empezando con una mirada a los recursos manipulativos

(con una primera investigación reportada en la década de 1960), luego centrándonos más en el

concepto de recursos en educación matemática.

2.1. DOS EJEMPLOS Y ANTECEDENTES DEL USO DE RECURSOS: UNA MIRADA

HISTÓRICA

Aunque son notorios los desarrollos en educación matemática respecto al papel de los

recursos en la enseñanza y el aprendizaje, es importante poner en consideración la relación

entre recursos y el desarrollo de la ciencia y sus aplicaciones.

CAP. 2. UNA MIRADA A LOS RECURSOS EN LA HISTORIA Y EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA

33

Como nos recuerda Serres (2014), la historia nos muestra cómo el saber se ha

materializado en distintos momentos: por ejemplo, en relación con las tres grandes

invenciones que fueron la escritura, la imprenta y las tecnologías digitales, la humanidad pasó

de la palabra al papiro, del papiro al libro, y del libro a Internet. Así pues, la historia nos

enseña que los grandes cambios (sociales, tecnológicos y científicos) de la humanidad están

fuertemente relacionados con los recursos que desarrollamos y las maneras como los usamos.

Siguiendo con esta idea, y con el ánimo de enriquecer el marco conceptual de la

investigación, analizamos dos ejemplos que ilustran algunos aspectos histórico-

epistemológicos del uso de recursos, en particular cómo se han utilizado los recursos como

instrumentos geométricos en la historia: El primer ejemplo trata el caso de la geometría

proyectiva en el período del Renacimiento, alrededor del S. XV principalmente. El segundo

ejemplo se relaciona con la medición de ángulos y distancias en la navegación y el diseño de

mapas (cartografía).

2.1.1. La representación del espacio tridimensional: el caso de la pintura del

Renacimiento

Se considera que el período del Renacimiento es representativo en el desarrollo de las

matemáticas (Panofsky, 1999); y el ejemplo que escogimos constituye un caso paradigmático

del aporte de los recursos (como el perspectógrafo, del cual hablamos más abajo) y técnicas al

desarrollo de la geometría proyectiva, cuyos orígenes se remontan al siglo XV.

Durante la Edad Media, cuando se pintaba algo, lo que interesaba era el primer plano.

Así, el fondo de los cuadros quedaba difuso o lleno de colores (dorados u otros) que ayudaran

a fijar la vista en lo que realmente interesaba; mientras que, en el Renacimiento, de acuerdo

con Panofsky (1999), los pintores, especialmente los italianos, comenzaron a ser más

exigentes con el tratamiento del paisaje, la distancia, la disposición de los objetos y los efectos

de la luz. Así, los pintores renacentistas lograron rebasar el estatus de artesanos que habían

heredado de la Edad Media, buscando una mejor representación de la realidad, a partir de un

mayor conocimiento de las matemáticas y la física.

Hacia 1400, los artistas del renacimiento italiano alcanzaron una comprensión intuitiva

de la perspectiva y así consiguieron plasmar, en lienzos planos, los objetos y las figuras de

forma que sus aspectos tridimensionales fueran más realistas. Esto a diferencia de sus


34

antecesores de la Edad Media que trabajaban más motivados por la jerarquía social y religiosa

de sus personajes y a quienes representaban con una altura dependiente de su estatus social.

A manera de ejemplo, a continuación, presentamos un par de pinturas que nos

permiten apreciar la diferencia entre las representaciones pictóricas de la Edad Media (Figura

2.1) y las del Renacimiento (Figura 2.2). La Figura 2.1 corresponde a una obra del siglo XIV

de Duccio (ca. 1255-ca.1318), en la cual se representa en el centro a María cargando al Niño

con un tamaño evidentemente mayor (dado sus protagonismos como íconos religiosos) que el

de los personajes que los rodean.

Figura 2.1. Virgen en el trono con el Niño, ángeles y santos, en la Maestà de Duccio (1311)1

En contraste, en la Figura 2.2 se reproduce “La escuela de Atenas” de Rafael Sanzio

(1483-1520) en la que los personajes principales (Platón y Aristóteles) aparecen también al

centro de la composición, pero con un tamaño de igual proporción que los demás personajes

de la pintura.

1 Imagen tomada de: https://es.wikipedia.org/wiki/Maest%C3%A0_(Duccio)

https://es.wikipedia.org/wiki/Maest%C3%A0_(Duccio


35

Figura 2.2. La escuela de Atenas de Rafael Sanzio (1512)2

Al respecto, Cardona, Ocaña, Dussan y Cubillos (2006) resaltan que en el renacimiento

se consigue resolver el problema pictórico de cómo plasmar información tridimensional en un

lienzo plano, de manera que lo pintado se parezca a lo que realmente vemos. A partir de esta

búsqueda, se obtuvieron desarrollos importantes, en particular el de la perspectiva lineal.

Cardona y otros (2006) nos recuerdan que uno de los pioneros en buscar una

fundamentación geométrica para desarrollar la perspectiva lineal, fue León Batista Alberti

(1404-1472) quien, en 1435, en su libro Della Pittura (impreso en 1511, cuarenta años

después de la muerte de Alberti), intentó establecer reglas para representar la profundidad y la

distancia de tal manera que se reproduzca más fielmente, en lo pintado, lo que se ve.

El principio básico de Alberti supone que, entre la escena y el ojo, se interpone una

pantalla en posición vertical, llamada también velo (Panofsky, 1999). Aparecen líneas de fuga,

las cuales van desde el ojo hasta cada punto de la escena: Donde éstas atraviesan la pantalla,

Alberti imaginaba puntos que determinan lo que denominó una sección. El objetivo de la

sección es crear la misma impresión sobre el ojo que la escena misma, porque de una sección

provienen las mismas líneas de luz que las de la escena original. En consecuencia, el problema

de pintar en forma realista era obtener una sección verdadera sobre la pantalla o lienzo. Este

2 Imagen tomada de https://seordelbiombo.blogspot.com/2012/05/renacimiento-vs-barroco-de-la.html

el 19 de septiembre de 2018.

https://seordelbiombo.blogspot.com/2012/05/renacimiento-vs-barroco-de-la.html


36

fue un principio aún rudimentario, en el que la perspectiva lineal encontraría un asiento para

su posterior desarrollo.

Para ilustrar estas ideas del uso de la perspectiva lineal, presentamos, el ejemplo de la

pintura “Los desposorios de la Virgen” de Rafael Sanzio (ver Figura 2.3). En este caso, la

composición está realizada como si la escena se observara desde un único punto (justo al

frente de los personajes centrales). Nótese que las líneas (marcamos solo un par de ellas) que

cruzan el plano pictórico (y que se pueden apreciar principalmente en el piso) se encuentran en

el punto de fuga ubicado, en este caso, en el horizonte.

Figura 2.3. Los desposorios de la Virgen de Rafael Sanzio (1504)3

En resumen, algunos principios fundamentales de la perspectiva lineal son: la línea del

horizonte (situada a la altura del punto de vista u ojos del espectador), y los distintos puntos de

fuga (en los cuales convergen las rectas más sobresalientes de la figura). A la perspectiva

lineal también se le llama cónica, porque es mediante una proyección cónica que las rectas

paralelas convergen en el punto de fuga (Cardona et al., 2006).

3 Imagen recuperada de https://es.wikipedia.org/wiki/Los_desposorios_de_la_Virgen


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Por su parte, Leonardo da Vinci (1452-1519) resumió el papel de los elementos de

geometría Euclidiana en la perspectiva, de la siguiente manera: “Todos los problemas de la

perspectiva se hacen más claros por los cinco términos de los matemáticos, a saber: el punto,

la línea, el ángulo, la superficie y el sólido” (da Vinci, 1651 / trad. 1970, p. 42)

Fueron da Vinci, y posteriormente, y sobre todo, el pintor alemán Alberto Durero

(1471-1528), los que desarrollaron la matematización de la perspectiva (Cardona et al., 2006).

Como el pintor no mira a través del lienzo para determinar la sección, debe disponer de reglas

basadas en teoremas matemáticos que establezcan la forma de dibujarla.

Para ello se desarrollaron instrumentos como una máquina para dibujar llamada

perspectógrafo, y cuyo funcionamiento se exhibe en la Figura 2.4, que retoma elementos de la

semejanza para crear una imagen en perspectiva, teniendo en cuenta los principios de la

pintura y usando la sección de Alberti. El desarrollo de estos nuevos recursos de trabajo

matemático se derivó de aportes como los de la óptica de Euclides (ver Cardona et al., 2006),

y ponen de relieve los distintos usos y aplicaciones que los artistas renacentistas le dieron a la

geometría clásica.

Figura 2.4. El perspectógrafo de Durero4

4 Imagen recuperada de http://www.mat.ucm.es/~jesusr/expogp/maq.html


38

El descubrimiento de la perspectiva y la sección cimentó las bases matemáticas en la

que se asentaron nuevas formas y expresiones de la geometría (Cardona et al., 2006). En

particular, en el siglo XVII se recuperaron ideas de los matemáticos griegos (como las de las

secciones cónicas, por ejemplo). Y fue el matemático francés Gérard Desargues (1591-1661)

quien desarrolló aún más las ideas geométricas de la perspectiva mediante un novedoso punto

de vista: el de considerar que dos rectas paralelas que, por definición, no se cortan, en el

infinito sí lo hacen, creando así un punto donde se cortarían todas las rectas paralelas (Cardona

et al., 2006). Así, cuando observamos un cuadro en perspectiva, todas las líneas apuntan a un

punto, el del infinito. Es por ello por lo que Desargues se convirtió en uno de los pioneros del

desarrollo de la geometría proyectiva.

Esta idea fue mal recibida por los matemáticos del siglo XVII pues, en ese momento,

era impensable que dos rectas paralelas se intersectaran. Sin embargo, en el siglo XIX se

retomó y nació la geometría proyectiva, con tantas aplicaciones como la geometría clásica.

Desde entonces, los pintores han trabajado distintos tipos de perspectivas, las cuales, a su vez,

se relacionan con diversos aspectos de la geometría proyectiva: e.g. la perspectiva caballera, el

sistema cilíndrico oblicuo, la perspectiva axonométrica y el sistema cilíndrico ortogonal.

Otro elemento interesante durante el renacimiento fue la producción de textos que

enseñaban cómo las aplicaciones geométricas llevaron a avances de las técnicas pictóricas – lo

que Cardona et al. (2006) llaman la matematización de la pintura. Durero fue pionero en

buscar que los pintores aprendices se educaran conociendo y aplicando dichas técnicas (e.g., la

perspectiva) y escribió textos para ellos enseñando el modo de construir correctamente

distintos tipos de líneas, planos y cuerpos geométricos que luego el artista podía usar en sus

composiciones pictóricas. Así, los libros más reconocidos de Durero abordaron varios temas

fundamentales relacionados con distintas aplicaciones de la geometría: la medida,

construcciones geométricas (e.g. hélices, concoides, etc.), la tipografía y el estudio de la

proporción humana (Cardona et al., 2006).

En conclusión, consideramos que las aplicaciones de la geometría, como la perspectiva

en la pintura del Renacimiento, son un antecedente histórico importante del papel de los

recursos, que muestra cómo las necesidades de representación en el arte empujaron a estudiar

propiedades geométricas y a desarrollar nuevos instrumentos (e.g. el perspectógrafo) para

representar la realidad.


39

Por otro lado, nuestro análisis histórico nos llevó a considerar otros campos en los

cuales el uso de recursos condujo a desarrollos importantes. Tal es el caso del diseño de mapas

y la navegación, que presentamos a continuación.

2.1.2. Recursos importantes para orientación y medición en la navegación

La navegación es una de las actividades humanas más antiguas, que se puede entender

como el proceso de dirigir los movimientos de una nave (generalmente un barco o un avión)

desde un punto a otro de la Tierra (González & Medina-Hernández, 2009). La navegación

puede ser de varias formas dependiendo de la clase de nave que se utilice (González &

Medina-Hernández, 2009): marítima, submarina, aérea y espacial. Sin embargo, todos estos

tipos de navegación presentan similitudes y retos parecidos: por ejemplo, el de establecer, en

determinado momento, la posición geográfica de la nave , con la mayor exactitud posible, con

el objeto de calcular el rumbo a seguir y la ruta más acertada para llegar al destino.

Así, las diferentes necesidades de la navegación han conducido al diseño y uso de

sistemas (recursos) de navegación cada vez más sofisticados (García, 2008). Es decir, los

navegantes han necesitado contar con técnicas y recursos que les permita conocer la posición

de su embarcación, establecer la dirección o rumbo que pueden darle, la velocidad óptima,

conocer el tiempo que necesitan para llegar a su destino, y determinar dónde se encuentran en

un momento dado.

Llamamos instrumentos de navegación a los recursos utilizados por los pilotos

náuticos en su trabajo (García, 2008). La historia ha mostrado cómo, a partir de los primeros

instrumentos rudimentarios, los instrumentos de navegación han evolucionado con el tiempo.

A continuación, presentaremos algunos ejemplos de instrumentos de navegación y cómo, a

partir de su uso, se lograron avances en la medición de la distancia, los ángulos y el tiempo.

2.1.2.1. La brújula: instrumento de orientación

Uno de los instrumentos de navegación más importantes (y probablemente más

antiguos –González, 2006) es la brújula, ya que al señalar el norte magnético (cercano, aunque

no igual, al geográfico) se puede calcular el rumbo que lleva una embarcación. El origen de la

brújula es un tema ampliamente discutido que empezó en muchas culturas por un pedazo de

piedra-imán (hematita o magnetita) que flotaba en un recipiente con agua orientándose,


40

gracias al magnetismo terrestre, en dirección norte-sur. A partir de allí evolucionó a la forma

como la que conocemos hoy en día, usándose de manera intensiva en la navegación a partir

del S. XIV (González, 2006):

De su forma tradicional, compuesta por una aguja de hierro imantada que flotaba en

una vasija con líquido mediante un soporte, la brújula pasó a convertirse en una

aguja con eje de giro, colocada sobre una rosa de los vientos en la que iban marcados

los rumbos usados por los navegantes. (González, 2006, p. 142)

En el viejo mundo (Europa, Asia y África), el origen de la brújula generalmente se

atribuye a los chinos del período Han (206 a.C. – 220 d.C.) (ver más abajo; y Carlson, 1975);

posteriormente, los musulmanes introdujeron su uso en Europa (parece que llegó a Italia en el

S. XIII)5.

A la brújula tradicional china del periodo Han también se le conoce como “cuchara que

apunta al sur” (ver Figura 2.5): una cuchara (de piedra o cerámica) se balancea sobre una placa

de bronce pulido para girar libremente en respuesta a la atracción magnética (Carlson, 1975).

Este artefacto servía como instrumento de orientación para determinar el eje norte-sur; cabe

notar que la placa de bronce de la Figura 2.5 contiene una representación de la constelación

Osa Mayor (mediante la cuál también se determina la dirección norte). En particular, la

brújula tradicional china servía para aplicar los principios del Feng Shui en la armonización de

palacios, casas y tumbas que siempre debían orientarse hacia el sur (Carlson, 1975). Además,

en sus viajes (por tierra), aquellos Chinos utilizaba una “carroza magnética” con una figurita

humana que señalaba con el brazo la dirección sur (la dirección opuesta al frío norte siberiano,

que querían evitar por peligroso); estos usos inspiraron leyendas como la de la batalla que

libró un emperador chino en la que usó una “carroza magnética” para orientar la dirección que

debían de tomar sus tropas; es decir que usó ésta como instrumento de navegación terrestre

(Castelló, 2010).

5 Información tomada de: http://abcblogs.abc.es/espejo-de-navegantes/2017/06/30/la-brujula-un-

invento-decisivo-en-la-historia/


41

Figura 2.5. Brújula tradicional China (Período Han)6

En el nuevo mundo (América) también existen evidencias contundentes del desarrollo

de artefactos correspondientes a brújulas magnéticas, incluso con una antigüedad de casi un

milenio antes de las brújulas chinas. En particular se encontró, en San Lorenzo, Veracruz,

México, el artefacto M-160 (ver Figura 2.6) perteneciente a la cultura Olmeca del México pre-

hispánico (1400–1000 a.C.). Este artefacto corresponde a una barra rectangular de piedra-imán

(de 3.5 cm de longitud) finamente tallada, la cual Carlson (1975) considera es una brújula

flotante de imán natural auto-orientado. Carlson (1975) nota que el artefacto M-160

corresponde a un fragmento de una pieza más grande (de la cual se desconoce su paradero),

que, en su opinión, probablemente sería del doble de longitud.

Figura 2.6. Fotografía del artefacto M-160 con escala en centímetros (Carlson, 1975)

Carlson (1975) realizó distintas pruebas de flotación (sobre agua y mercurio) al

artefacto M-160; sus resultados muestran que la dirección del artefacto se desvía 35.5º

respecto al eje norte-sur (ver Figura 2.7).

6 Imagen recuperada de http: http://confuciomag.com/inventos-antigua-china

http://confuciomag.com/inventos-antigua-china


42

Figura 2.7. Orientación del fragmento M-160 de la “brújula olmeca” al flotar en líquido

(Carlson, 1975)

Carlson (1975) opina que la longitud del artefacto M-160 tiene que ver directamente

con su capacidad de auto-orientación; por tanto, su hipótesis es que si M-160 fuera del tamaño

de la pieza original, su orientación sería prácticamente en la dirección norte-sur; de hecho, este

autor señala lo siguiente al respecto:

Que M-160 puede ser usando hoy en día como un apuntador magnético directo es

indiscutible. La barra original completa pudo ciertamente haber apuntado cerca del

eje N-S magnético. La acanaladura funciona bien como una guía de observación

visual y el ligero ángulo que forma con el eje de la barra parece ser el resultado de

una calibración, más que un accidente. (Carlson, 1975, p. 26.)

Figura 2.8. Vector de orientación del fragmento M-160 de la “brújula olmeca” (Carlson, 1975)

En la Figura 2.8, Carlson (1975) define el vector del momento magnético M y sus

componentes en M-160:


43

La dirección de M es como si estuviera viendo al polo norte, y-z es el plano de

flotación de M-160, y el eje “z” es paralelo a la acanaladura semicircular. El

artefacto no está dibujado a escalas o en proporciones exactas. Carlson (1975, p. 22)

Carlson (1975) considera que, para lograr ese nivel de sofisticación en sus

construcciones, los Olmecas probablemente usaron las propiedades de la piedra-imán y

artefactos como el M-160, como instrumentos en sus construcciones. Carlson (1975) resalta

que los Olmecas, al igual que los chinos del período Han, estaban muy interesados en

construir sus centros ceremoniales orientados respecto al eje magnético norte-sur: al norte (en

el caso Olmeca) y al sur (en el caso chinos). Los Olmecas mezclaban sus conocimientos

astronómicos y geométricos tradicionales para construir sus centros ceremoniales orientados

exactamente 8º al oeste del norte, probablemente tomando como referencia (al igual que los

chinos) la constelación de la Osa Mayor (Carlson, 1975).

2.1.2.2. El astrolabio y el sextante: instrumentos de medición de ángulos, para

determinar la ubicación

Regresando al tema del uso de recursos en la navegación marina, otro de los

instrumentos que se utilizó ampliamente para ello fue el astrolabio plano (ver Figura 2.9),

antecesor del sextante (ver Figura 2.9), de acuerdo con González y Medina-Hernández (2009).

Según esos mismos autores, el astrolabio fue conocido por los egipcios y griegos desde el

siglo III a.C.; posteriormente fue introducido por los musulmanes y de allí se extendió su uso

por toda Europa (González & Medina-Hernández, 2009).

El astrolabio consiste en un círculo que se proyecta sobre el plano del ecuador (con el

centro de proyección en el polo sur). En el otro extremo consta de una regla móvil provista de

un anteojo, con la que se puede calcular la altura de un astro sobre el horizonte (González &

Medina-Hernández, 2009).


44

Figura 2.9. Astrolabio persa del S. XI7

Por otra parte, el sextante (ver Figura 2.10) es un instrumento que permite medir

ángulos entre dos puntos (generalmente un punto en el horizonte y el Sol). El nombre sextante

proviene de la escala del instrumento, que abarca un ángulo de 60 grados. Usando el sextante

y conociendo la elevación del Sol y la hora del día se puede determinar la latitud a la que se

encuentra la embarcación. Esta determinación se efectúa con bastante precisión mediante

cálculos matemáticos sencillos de aplicar (González, 2006).

Figura 2.10. Sextante8

7 Imagen tomada de http: https://es.wikipedia.org/wiki/Astrolabio

https://es.wikipedia.org/wiki/Astrolabio


45

2.1.2.3. El cronómetro marino: instrumento de medición de tiempo para

determinar la ubicación

Otro instrumento ampliamente usado en la navegación marítima es el cronómetro

marino: un reloj mecánico que sirve para determinar la longitud haciendo el cálculo de la

diferencia horaria, de la siguiente manera:

… el buque debía partir con un reloj que marcase la hora del meridiano del punto de

partida; ya en alta mar, mediante observaciones astronómicas, debía deducirse la

hora local del punto donde se hallaba situado el barco; de esta forma, la diferencia

entre esta hora y la marcada en el reloj, se traduciría directamente en la diferencia de

longitud entre la posición de la nave y el punto de partida. (González, 2006, p. 153)

Según González (2006), esta técnica fue inicialmente propuesta por Hernando Colón

en 1524; sin embargo, fue hasta el S. XIX que se desarrollaron cronómetros de alta precisión

sujetos por un sistema de cardanes que podían ser usados en alta mar (ver Figura 2.11):

Figura 2.11. Cronómetro marino del S. XIX (1831-1836)9

8 Imagen tomada de https://es.wikipedia.org/wiki/Sextante#/media/File:Sextant.jpg (Dominio público,

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=356267) 9 Imagen tomada de:

https://es.wikipedia.org/wiki/Cron%C3%B3metro_marino#/media/File:British_Museum_Marine_Chro

nometer.jpg

https://es.wikipedia.org/wiki/Sextante#/media/File:Sextant.jpg

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=356267


46

2.1.2.4. La cartografía: recurso para la ubicación

Existe una relación dialéctica entre cartografía y navegación: los datos aportados por

los navegantes y los desarrollos en los instrumentos de navegación, promovieron el desarrollo

de la cartografía, con la creación de mapas cada vez más precisos; de igual manera, este

desarrollo de la cartografía impulsó la navegación, el uso de nuevas rutas comerciales y la

exploración de zonas antes desconocidas (Cotter, 1986). Respecto al desarrollo de la

cartografía, nos interesa mostrar algunos mapas diseñados en distintos momentos históricos

para apreciar sus diferencias.

Un primer ejemplo (ver Figura 2.12) es un mapa de Donnus Nicholas Germanus

(1420-1490). Según González (2006), Germanus se inspiró en Ptolomeo (y en su teoría

geocéntrica) para realizar su cartografía, en la cual se representan Europa, parte de Asia y

África.

Figura 2.12. Mapamundi por Donnus Nicholas Germanus (1482)10

Según González (2006), los mapas o cartas náuticos del S. XV (como el de la Figura

2.10) fueron desarrollados a partir de los relatos e información que proporcionaban los

10 Imagen tomada de: https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=931728


47

navegantes, e intentaban “retratar” la forma de las costas. El principal objetivo de estos mapas

era que el piloto localizara el sitio de la costa por el que navegaba.

Como puede verse en el mapa de Germanus del Siglo XV (Figura 2.12), los mapas

anteriores al S.XVI, no estaban diseñados a escala, ni mantenían una adecuada proporción de

las distancias. Por tanto, no le permitían al piloto establecer la ubicación exacta de su navío.

Fue necesario que se desarrollaran nuevas técnicas cartográficas.

De hecho, en el siglo XVI, hubo notables avances en la cartografía, como lo resalta

González (2006), como, por ejemplo, los desarrollos del astrónomo flamenco Gerardus

Mercator (1512-1594) –originalmente llamado Gerard Kremer— quien propuso la

posteriormente llamada “proyección de Mercator” (ver Figura 2.13): una proyección cilíndrica

que se debe deducir matemáticamente, donde:

Los meridianos son líneas rectas verticales paralelas espaciadas por igual, y los

paralelos de latitud son líneas rectas horizontales paralelas cuya separación es cada

vez mayor a medida que aumenta su distancia con el ecuador. Esta proyección se usa

ampliamente para las cartas de navegación, porque cualquier línea recta en un mapa

de proyección de Mercator es una línea de rumbo verdadero constante que permite a

un navegador trazar un curso en línea recta. Sin embargo, es menos práctico para los

mapas del mundo porque la escala está distorsionada; las áreas más alejadas del

ecuador aparecen desproporcionadamente grandes. (The Editors of Encyclopaedia

Britannica, 2018; nuestra traducción)

Figura 2.13. Proyección de Mercator11

11 Imagen tomada de https://www.britannica.com/science/Mercator-projection (Editors of

Encyclopaedia Britannica, 2018).

https://www.britannica.com/science/Mercator-projection

https://www.britannica.com/editor/The-Editors-of-Encyclopaedia-Britannica/4419



48

Figura 2.14. Mapa de Mercator de 1569: (a) planisferio completo compuesto (arriba) 12; y (b)

detalle (abajo) de dos hojas mostrando parte de Norteamérica13

12 Mercator (1569/2018). Imagen tomada de:

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Mercator_1569.png&oldid=318663243 13 Detalles del mapa tomados de “Mercator 1569 world map” (Colaboradores de Wikipedia, 2019).

https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Mercator_1569_world_map&oldid=887658388

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Mercator_1569.png&oldid=318663243



49

Figura 2.15. Planisferios Mercator trazados por: (a) Guiljelmo Blaeuw (1606) (arriba)14 y (b)

Daniel R. Strebe (2011) (abajo)15

14 Blaeuw (1606/2018). Imagen tomada de:

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Nova-totius-terrarum-orbis-geographica-ac-

hydrographica-tabula.jpg&oldid=318663650 15 Strebe (2011/2019). Imagen tomada de:

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Mercator_projection_SW.jpg&oldid=3330554

23

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Nova-totius-terrarum-orbis-geographica-ac-hydrographica-tabula.jpg&oldid=318663650





50

La Figura 2.14 muestra el primer planisferio realizado usando la proyección de

Mercator, trazado por el mismo Gerardus Mercator en 1569. En la parte de arriba (a), se

muestra una imagen del planisferio completo (en su versión conocida como el mapa de

Basilea, Suiza), el cual está trazado en tres partes (tiras). En la parte de abajo (b), se observa

un fragmento de dicho mapa, mostrando parte de Norteamérica en detalle. Observando el

detalle mostrado en (b), y de acuerdo a lo expresado por Israel (2003), sospechamos que el

trazado de las líneas que convergen en varios puntos (ubicados en lo que sería el océano)

corresponden a elementos de la proyección de Mercator que mencionamos arriba. Como

puede verse al comparar la Figura 2.12 con la Figura 2.14, es ostensible el desarrollo de la

cartografía a lo largo de solo un siglo, y gracias a ese nuevo método.

La Figura 2.15 muestra una comparación entre planisferios realizados en siglos

diferentes. Ambos planisferios también fueron diseñados usando la proyección de Mercator,

pero usando datos diferentes de cada época. El planisferio (a) de la parte de arriba de la figura,

fue realizado por Guiljelmo Blaeuw en 1606; el planisferio (b) de la parte de abajo de la figura

corresponde a una versión reciente del Siglo XXI realizada por Daniel R. Strebe en 2011. Se

pueden apreciar las diferencias entre las dimensiones de los continentes y la ausencia de

algunos de éstos en la versión de 1606.

Dichos ejemplos cartográficos muestran cómo, gracias a nuevos viajes, el refinamiento

en el uso de los instrumentos de navegación y medición, y el surgimiento de nuevas técnicas

de representación, se lograron avances en el campo de la cartografía. Para nosotros, esto es un

ejemplo excelente de cómo el uso de recursos promueve desarrollos importantes. Así, con los

ejemplos históricos de los casos de la pintura e instrumentos de navegación de este apartado,

hemos querido ilustrar cómo, junto con el desarrollo de las tecnologías y los recursos, se han

ido desarrollando a la par técnicas y conocimientos matemáticos.

Dichos ejemplos también pueden ser relevantes en situaciones escolares. Al respecto,

señalamos el trabajo de Gálvez (1985) quien enfatiza en el diseño y uso de mapas, planos y

otras representaciones del espacio, en la enseñanza de primaria, para que lo estudiantes

aprendan a ubicarse y orientarse en la ciudad. Más consideraciones al respecto presentaremos

en el apartado 5.2

En término del papel de los recursos en el desarrollo de nuevos conocimientos, si

consideramos el aporte de hoy en día de las tecnologías digitales, hay que tener en cuenta


51

cómo dichos recursos digitales contribuyen también al desarrollo de las matemáticas, su

enseñanza y aprendizaje.

Al respecto, debemos de considerar cómo las tecnologías digitales pueden llegar a

transformar los contenidos de enseñanza; por ejemplo, al poner mayor énfasis en ciertas

cualidades dinámicas de los objetos (e.g. la prueba del arrastre en geometría dinámica); o las

dinámicas de aula (e.g. la discusión de ideas a partir de una búsqueda de información en

Internet).

En este sentido, en los apartados siguientes ahondaremos en antecedentes conceptuales

y teóricos para nuestra investigación relacionados con el uso de recursos y tecnologías

(digitales) en la educación matemática.

2.2. ACERCA DEL CONCEPTO DE RECURSO EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Como se vio en el apartado anterior, es innegable que la evolución de los humanos

como seres sociales y culturales ha ido acompañada de la evolución de las tecnologías, que la

misma cultura fomenta (Rabardel, 1995), y la cual se relaciona con todas las actividades

humanas (como el arte o la navegación marina).

El uso y manera de usar las tecnologías, las transforma en instrumentos y recursos de

nuestra actividad16. Como vimos con los ejemplos históricos del apartado anterior, cada

desarrollo tecnológico ha tenido un impacto en las maneras como representamos y nos

relacionamos con el mundo; es a través del uso de las tecnologías que éstas se convierten en

instrumentos o recursos. El lápiz y el papel, el signo “=”, el pizarrón, o el alfabeto, son

también tecnologías (y recursos) aunque a menudo se suele pasar este hecho por alto (Moreno,

2002). De hecho, la tecnología de la escritura es un ejemplo de un recurso importante para la

comunicación; una tecnología que Moreno (2002) señala como algo que llevó a una transición

cognitiva, al impulsar procesos, problemas y actividades cada vez más complejas.

En este sentido, Rabardel (1995) plantea que los análisis de las relaciones entre las

personas y las tecnologías deben de considerar las “actividades con instrumentos” (p. 24); es

decir, se debe poner el énfasis en las actividades humanas/culturales mediante las cuales, a lo

16 Según Rabardel (1995), el instrumento se refiere a una entidad cognitiva mixta que contempla el

“artefacto más sus esquemas de utilización” (p.49); que permiten usarlo “en situación”. Esta noción se

desarrollará en el siguiente capítulo como parte del marco teórico de nuestra investigación.


52

largo del tiempo, creamos, modificamos, adaptamos, e incluso, desechamos, distintas

tecnologías, según nuestros intereses, posibilidades y aspiraciones. Así, Rabardel (1995) tiene

una concepción mucho más humana – y “antropocéntrica”— de la tecnología; algo que valdría

la pena que nosotros tomáramos en cuenta al considerar el papel de las tecnologías en la

Educación Matemática.

En este apartado nos interesa presentar algunos antecedentes teóricos que han aportado

elementos conceptuales importantes para el estudio del papel de los recursos digitales en

educación matemática. Para ello, comenzamos con una mirada al uso de recursos, en general,

en educación matemática, presentando algunos resultados de investigaciones que

consideramos influyentes y cercanas a las intenciones de nuestro trabajo de investigación. Sin

embargo, debemos remarcar que en la mayor parte de las investigaciones que aquí reportamos,

no se alude a los recursos de manera directa: la mayoría de los autores se refieren a materiales,

herramientas, tecnologías, instrumentos o mediadores; sin embargo, nosotros consideramos

que, en muchos de los casos presentados, éstos se pueden considerar como recursos.

Concluiremos el apartado, presentando una conceptualización de recurso inspirada en

los aportes de Adler (2000) y la Aproximación Documental de la Didáctica (ADD), la cual

constituirá el eje central de nuestra investigación.

2.2.1. Materiales (o recursos) manipulativos

El uso didáctico de recursos en la enseñanza de las matemáticas se empieza a

desarrollar desde los años cincuenta y sesenta, con un enfoque muy centrado en la

incorporación de materiales manipulativos (no-digitales) en los currículos de matemáticas y

ciencias.

En esos primeros acercamientos, era común encontrarse referencias a los recursos

como materiales para la enseñanza (Garzón & Vega, 2011). Posteriormente esos materiales

fueron ganando mayor sentido al asociarse con actividades de manipulación por parte de los

estudiantes, sobre todo, de los estudiantes más pequeños: tal es el caso, por ejemplo, de los

manipulativos conocidos como “bloques de Dienes” (ver Figura 2.16) –ampliamente usados

en los primeros grados de escolaridad para el estudio inicial de las formas y el conteo—, y

para los cuales Dienes (1969) propuso una mirada teórica importante para sustentar su uso.


53

Figura 2.16. Ejemplos de bloques de Dienes17

Dienes (1969) plantea que las experiencias con diversos materiales manipulativos son

beneficiosas para el aprendizaje de las matemáticas; sugiere que los conceptos de los niños

evolucionan a través de la interacción directa con el ambiente y que son precisamente los

manipulativos los vehículos que permiten que esto suceda. Sus investigaciones constituyen un

antecedente para la idea más generalizada de recurso y sus usos.

En el trabajo de Garzón y Vega (2011), en Colombia, se hace una revisión histórica

sobre el uso de materiales para la enseñanza de las matemáticas, exhibiendo las maneras en las

que se promovió (principalmente durante las décadas de los 70’s y 80’s) la integración de

recursos (manipulativos) en los currículos, sobre todo de primaria, en muchos países (en

particular, en el currículo colombiano para la enseñanza de las matemáticas en primaria).

Posteriormente, a partir de los años 90’s principalmente, estos autores señalan que muchos

currículos de matemáticas a nivel internacional (incluido el colombiano) han recomendado y

promovido el uso de tecnologías digitales en educación secundaria y preparatoria (Garzón &

Vega, 2011).

Propuestas curriculares como PISA (2017) recomiendan prestar especial atención a la

calidad y disponibilidad de los “recursos” con el fin de apoyar la práctica de los profesores.

Sin embargo, en este tipo de propuestas siempre se alude a la “materialidad” de los recursos

(e.g. libros de texto, bibliotecas escolares o materiales manipulables), sin considerar otros

tipos de recursos, como, por ejemplo, los gestos o discurso del profesor. De hecho, la

17 Imagen recuperada de: http://recreandomiaula.blogspot.mx/2014/11/aprendemos-matematicas-con-

los-bloques.html


54

investigación en Educación Matemática de las últimas dos décadas ha ampliado cada vez más

la concepción de “recurso”: por ejemplo, para estudiar el trabajo del profesor (e.g. en la

Aproximación Documental de la Didáctica de Trouche, Gueudet y Pepin, 2018). A

continuación, presentamos algunos elementos de esta mirada ampliada del concepto de

recurso, fundamental para nuestro trabajo de investigación.

2.2.2. Conceptualizando los recursos en la educación matemática

Como mencionamos anteriormente, los “recursos” no aluden únicamente a “materiales

para la enseñanza”. De hecho, Adler (2000) propone una re-dimensión del concepto de

recurso: considera que un recurso es todo aquello que da sentido y proyecta el trabajo del

profesor. Por ende, esta autora contempla que los recursos que el profesor tiene a su

disposición, y que pueden ser usados con intenciones didácticas, son de varios tipos:

materiales, humanos y culturales (es decir, los recursos pueden ser tanto materiales, como

simbólicos). Adler (2000) también resalta el papel crucial del profesor para acompañar el uso

de recursos.

Siguiendo las ideas de Adler (2000), Pepin, Gueudet y Trouche (2009) entienden los

recursos como artefactos18 propios del trabajo del profesor; los cuales son concebidos,

seleccionados, adaptados, re-combinados y usados con intencionalidades didácticas explícitas.

Para estos autores (Pepin, Gueudet & Trouche, 2009) el concepto de recursos, y sus usos, es

central para el análisis de trabajo del profesor; por ello han desarrollado una aproximación

teórica muy profunda basada en el Enfoque Instrumental de Rabardel (1995): la Aproximación

Documental de la Didáctica (ADD). Ésta se enfoca hacia el estudio de una parte de la práctica

docente, la cual Pepin, Gueudet y Trouche (2009) denominan el “trabajo documental” del

profesor, y que incluye las interacciones de éste con recursos diversos. En la ADD se definen

ideas tales como la de “documento” (los recursos junto con las ideas y conocimientos del

profesor sobre cómo usarlos); y “génesis documental” (el proceso de emergencia y evolución

de documentos), entre otras. Debido a que estas teorías son un componente fundamental de

nuestra investigación, las discutiremos a profundidad en los capítulos siguientes.

18 Como se verá en los capítulos siguientes, artefacto se concibe en el sentido de Rabardel (1995) como

una herramienta material o simbólica que proviene de la cultura y que puede ser utilizada (o no) en

distintas situaciones.


55

Regresando al tema de los recursos, el estudio del uso de éstos es bastante amplio, y en

muchos casos contempla el papel de las tecnologías digitales. Autores como Ruthven (2014)

señalan que las tecnologías digitales pueden llegar a constituirse en recursos para la clase, en

la medida en que se logre la integración de éstas en la práctica del profesor. Desde nuestro

punto de vista, la idea de Ruthven (2014) de considerar las tecnologías digitales como recursos

es sumamente útil pues nos permite relacionar el uso potencial de “recursos digitales” con la

práctica de los profesores.

En el siguiente capítulo abordaremos más ampliamente el tema de los usos de las

tecnologías digitales como recursos en Educación Matemática. En él examinaremos algunas

investigaciones que proponen ideas como la “mediación” de herramientas (y del profesor) en

el aprendizaje; así como otras que contemplan el diseño de entornos de aprendizaje integrando

tecnologías digitales.

56

3. LAS TECNOLOGÍAS DIGITALES COMO RECURSOS

EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Cuando a finales de los 80s y en la década de los 90’s se dio el rápido desarrollo de las

tecnologías computacionales y digitales, muchos currículos de matemáticas a nivel

internacional comenzaron a integrar el uso de recursos digitales en las clases, y se dio un auge

en la investigación en torno a la influencia y el papel de las tecnologías digitales en la

enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas (e.g. Hoyles & Noss, 1987; Kaput & Roschelle,

1999; Artigue, 2011, y aportes posteriores como los de Lagrange, 2000; Margolinas, 2002;

entre muchos otros). Pero debido a la enorme cantidad de investigación en torno a ese tema,

tomar un referente universal para describir toda esta producción, no es tarea sencilla. Dos

referentes principales que ejemplifican la relación entre recursos (para la enseñanza de las

matemáticas) y tecnologías digitales, se encuentran en los trabajos de Artigue, Bottino, Cerulli

y otros (2007) y de English, Bartolini Bussi, Jones, Lesh y Tirosh (2002). A continuación

revisaremos ambos trabajos.

Por un lado, Artigue, Bottino, Cerulli y otros (2007) señalan que hay dos grandes tipos

de investigaciones relacionadas con el impacto de los desarrollos tecnológicos en la clase:

Las investigaciones interesadas en las maneras en cómo se enseñan y se aprenden las

matemáticas usando tecnologías digitales;

Investigaciones (e.g. Haspekian & Artigue, 2007) que se centran en cómo las

dinámicas de la clase impactan sobre las tecnologías mismas.

Respecto a estas últimas, Artigue, Bottino, Cerulli y otros (2007) señalan que es

notorio que cada vez se desarrollan más dispositivos concebidos y diseñados atendiendo a

necesidades particulares de las clases: por ejemplo, dispositivos que ponen en juego algún

contenido matemático específico; o que proponen un cierto tipo de ambiente (o interfaz); o

aquellos que proveen un abanico de diferentes posibles tareas matemáticas que se pueden

realizar con ellos, de acuerdo a las edades, niveles o competencias de los usuarios potenciales.

CAP. 3. LAS TECNOLOGÍAS DIGITALES COMO RECURSOS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

57

Sin embargo, resaltan que las investigaciones en Educación Matemática han ido más allá del

estudio de los dispositivos (y sus potencialidades) abarcando temas tan cruciales como la

estructuración o diseño de ambientes o entornos de aprendizaje (que incluye el diseño de

actividades o situaciones de aprendizaje) y el papel del profesor (e. g., como mediador)

cuando se integran tecnologías digitales en la clase.

Por su parte, English y otros (2002) proponen una mirada general de los desarrollos del

campo y analizan los usos de las tecnologías digitales desde muchas perspectivas. Al respecto,

nosotros resaltamos tres elementos fundamentales del uso de las tecnologías digitales: (i) por

los estudiantes, (ii) por los profesores, y (iii) en términos de los contextos u ambientes de

aprendizaje.

Respecto a los estudiantes, English y otros (2002) señalan que muchas

investigaciones son reiterativas en que la simple disponibilidad de dispositivos de última

tecnología, así como la conectividad, no garantizan que los estudiantes aprendan

matemáticas (algo que también señalan Jacobson & Kozma, 2000). Sin embargo,

English y otros (2002) resaltan que la aparición de las tecnologías digitales en la clase

brinda oportunidades a los estudiantes para interactuar con las matemáticas y ampliar su

comprensión de estas.

En relación con los profesores, English y otros (2002) señalan que el uso de

tecnologías digitales en la clase puede proporcionar muchas oportunidades para

apropiarse, aplicar, e implementar nuevas experiencias de enseñanza de las matemáticas,

así como brindar otro tipo de espacios de desarrollo profesional. Sin embargo, estas

oportunidades no suelen ser acogidas en muchas aulas de matemáticas y muchos

profesores se muestran aun resistentes al uso de herramientas tecnológicas. Al respecto,

Lesh, Lovitts y Kelly (2000) resaltan la importancia de contar con currículos de

matemáticas que enfaticen el uso de tecnologías digitales en la clase.

Respecto a los contextos de aprendizaje (también llamados entornos u ambientes de

aprendizaje), English y otros (2002) citan a Kaput y Roschelle (1999) para señalar que la

integración de tecnologías digitales puede considerarse como una estrategia para

democratizar el acceso a matemáticas poderosas, proporcionando así, a los estudiantes,

el acceso a ideas y formas de razonamiento que tradicionalmente son consideradas más

allá de sus niveles de desempeño. En este mismo sentido, nosotros podemos citar a


58

Papert (1981) quien plantea que las computadoras pueden servir como instrumentos que

permitan el acceso (temprano) de los niños a “ideas poderosas”. Estas ideas las

desarrollaremos en mayor detalle en el siguiente apartado.

Por su parte, Bueno-Ravel y Gueudet (2008) abordan el tema del diseño didáctico de

los recursos digitales, y señalan que quien diseña un recurso digital, establece una serie de

funcionalidades didácticas de acuerdo con un marco teórico de referencia; sin embargo, las

funcionalidades didácticas otorgadas por el profesor que usa el recurso pueden ser diferentes

de aquellas concebidas por el diseñador inicial.

Al respecto, English (2002) considera que la potencialidad de las tecnologías digitales

para el aprendizaje de las matemáticas no depende exclusivamente de sus características o

rasgos internos, sino que depende profundamente del contexto en el que la actividad tiene

lugar; es decir, depende de cómo se estructuran y organizan los ambientes o entornos de

aprendizaje y las situaciones o actividades que se le proponen a los estudiantes.

Ya sea en relación con el uso de las tecnologías digitales, o no, el contexto juega un

papel fundamental en el aprendizaje de los alumnos. De hecho, en el último siglo, varios

eruditos han puesto énfasis en esto. Vigotsky (1985) resaltó el papel de la cultura, del

lenguaje, así como de la mediación de herramientas en el aprendizaje. Por otro lado,

Brousseau (1986) desarrolló la Teoría de las Situaciones Didácticas para estudiar los procesos

de aprendizaje de las matemáticas tomando en cuenta el contexto escolar.

Para continuar nuestra revisión sobre los usos de los recursos digitales en educación

matemática, a continuación, abordaremos varias ideas teóricas importantes ya señaladas

anteriormente: En primer lugar, revisaremos la noción de mediación, que ha sido fundamental

para concebir y estudiar cómo integrar el uso de herramientas digitales en la enseñanza y el

aprendizaje. Posteriormente, profundizaremos en la idea de “situación” desarrollada por

Brousseau (1986). Hacia el final del capítulo, para estudiar la estructuración de entornos

computacionales de aprendizaje, presentamos la idea de micromundo (como la desarrollaron

Noss y Hoyles, 1996).


59

3.1. LOS RECURSOS COMO MEDIADORES DE LA ACTIVIDAD HUMANA

Como se vio en el capítulo anterior, las herramientas juegan un papel fundamental en

la evolución de la actividad humana, y por supuesto, de la cultura. Esta “no neutralidad” de las

herramientas (Rabardel, 1995) ha sido ampliamente estudiada en el campo de la psicología

cognitiva. Rabardel (1999) menciona dos ejemplos paradigmáticos al respecto: por un lado,

este autor señala los trabajos de Piaget, en los que la acción del sujeto (que incluye el uso de

herramientas) es un elemento fundamental en la construcción del conocimiento; y, por otro

lado, también señala los aportes de Vigotsky, en los que las funciones psíquicas superiores se

relacionan con la historia social y cultural.

Vigotsky (1985) señala que la actividad (humana) es contextualizada y culturalmente

determinada; por tanto, es la historia cultural la que proporciona mediadores (en el sentido de

herramientas culturales o signos) que los sujetos usamos para relacionarnos con los objetos de

conocimiento. El mediador (herramienta, instrumento o recurso) le permite al sujeto construir

conocimiento. En este sentido, Rabardel (1999) considera que:

La mediación instrumental aparece en las propuestas de Vigotsky como un concepto

central para pensar y analizar las modalidades por las cuales los instrumentos

influencian la construcción del saber. (Rabardel, 1999, p. 2)

Ya en el campo de las tecnologías digitales en Educación Matemática, Noss y Hoyles

(1996) señalan que la mediación tiene fuertes vínculos con el conocimiento puesto en juego,

con las maneras en que los estudiantes aprenden y con las prácticas de los profesores; por ello

consideran que la mediación de una herramienta (digital) involucra la creación de un canal de

comunicación entre el profesor y el estudiante.

A continuación, profundizamos sobre la idea de mediación, principalmente enfocada

en su relación con la actividad humana que involucra el uso de herramientas materiales,

simbólicas o signos.

3.2. RECURSOS Y TEORÍA DE LA ACTIVIDAD

Como señalamos arriba, uno de los conceptos asociados a la idea de mediación

(Vigotsky, 1985) es el de actividad o trabajo; la cual, según Nardi, (1996) es entendida como

formas de hacer, dirigida a un objeto, un propósito. En este sentido, la teoría de la actividad,


60

según Nardi (1996), proporciona un modelo para describir la estructura de cualquier activad

humana junto con las transformaciones que experimenta durante su evolución.

Este modelo asigna un rol de mediación crucial a las herramientas culturales, las reglas

y la división de labores en términos de las relaciones entre sujeto y objeto, entre sujeto y

comunidad, y entre comunidad y objeto (i.e. las relaciones que caracterizan cualquier

actividad humana).

En esta perspectiva, Nardi (1996) considera que las herramientas forman parte de un

ambiente cooperativo. Cuando un estudiante usa alguna herramienta (e.g. digital), sus

aprendizajes son estructurados por la naturaleza de la actividad misma. De allí la importancia

de identificar las funcionalidades didácticas de una herramienta (o recurso) a través de la

definición de sus modalidades de uso en el contexto de una actividad basada en la cooperación

de todos los participantes.

En conclusión, la teoría de la actividad reconoce que, para considerar la integración de

herramientas digitales a la enseñanza se debe prestar especial atención a sus potencialidades

de interacción, comunicación y visualización. Esta misma apreciación la comparten otras

miradas teóricas como la mediación semiótica (Bartolini Bussi & Mariotti, 2008) que

desarrollaremos a continuación.

3.3. MEDIACIÓN SEMIÓTICA USANDO RECURSOS DIGITALES

Una vertiente importante en el estudio del papel de los recursos, principalmente

recursos digitales, en Educación Matemática, es la de la mediación semiótica; la cual se deriva

principalmente de las ideas de Vigotsky (1985) y de la teoría de la actividad (Nardi, 1996). En

esta perspectiva se señala que un aspecto clave a tener en consideración, es cómo usar

mediadores –como las tecnologías digitales— de tal manera que se promueva el aprendizaje

matemático de los estudiantes.

En particular, Bartolini-Bussi y Mariotti (2008) explican la mediación en términos de

fomentar la relación entre los alumnos y los conocimientos matemáticos; igualmente resaltan

que el profesor tiene papel de mediador, y usa los recursos digitales para fomentar el

aprendizaje a través del “andamiaje” (en el sentido de Bruner, 1990; citado por Bartolini-Bussi


61

y Mariotti, 2008). Para ello, estas autoras consideran que es importante identificar las

funcionalidades didácticas de los recursos digitales integrados a la clase.

La clave de la mediación semiótica, según Bartolini-Bussi (1996), parte de considerar

que los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas suceden principalmente a

nivel semiótico, dependiendo de los signos, que pueden ser derivados de los recursos digitales

considerados. En este sentido, los significados son arraigados en la experiencia

fenomenológica del estudiante, pero pueden evolucionar, bajo la mediación del profesor, por

medio de estrategias especiales de comunicación, tales como, emplear la información (signos)

que proveen los recursos digitales para proponer situaciones diseñadas ad hoc, que le permiten

al profesor promover discusiones relevantes en la clase.

En conclusión, para Bartolini Bussi y Mariotti (2008) es particularmente importante

estudiar qué clases de signos (que podrían ser palabras, gráficas, tablas, fórmulas, entre otros)

aporta un determinado recurso digital, y considerar su capacidad de retroalimentación como

un elemento importante en el aprendizaje.

La idea de “retroalimentación” forma parte de la Teoría de las Situaciones Didácticas,

de Brousseau (1986), de quien, a continuación, presentaremos algunas ideas que nosotros

consideramos importantes de tener en cuenta cuando se piensa en el diseño o concepción de

entornos de aprendizaje que consideran la integración de recursos digitales.

3.4. SITUACIONES DIDÁCTICAS: RECURSOS EN UN MILIEU

Buena parte de las investigaciones en Educación Matemática interesadas en la

estructuración de entornos de aprendizaje (computacionales o no-computacionales) toman en

consideración la Teoría de las Situaciones Didácticas o TSD (Brousseau, 1986) como un

marco teórico importante. Aquí reseñamos algunos elementos y aportes de la TSD.

De acuerdo a la TSD, el aprendizaje ocurre a partir de una continua interacción entre el

sujeto y el milieu. Brousseau (1986) define el milieu como un entorno didáctico (que incluye

al profesor), el cual debe poder movilizar los conocimientos que se desea que adquiera el

estudiante a partir de una “situación” puesta en juego. El milieu debe ser un entorno capaz de

retroalimentar y propiciar la evolución de las acciones del estudiante: Cada acción del sujeto


62

en el milieu, es seguida por una “retro-acción” (retroalimentación) del entorno, la cual permite

la adaptación y evolución de los conocimientos y acciones del estudiante.

En este sentido, Brousseau (1986) considera que el aprendizaje sucede a través de una

adaptación del sujeto al milieu. Para ello, este autor retoma la noción de contrato didáctico de

Chevallard (1980, citado por Brousseau, 1986) para explicar las condiciones y acuerdos

(implícitos o explícitos) que pueden establecerse a partir de la intención didáctica del milieu,

los cuales pueden incluir el papel de los recursos en la clase (e.g. momentos en los que

determinados recursos se pueden usar para validar una idea o conjetura).

Una forma de aplicar esta idea clave de milieu al dominio del uso de recursos

(digitales) en la educación matemática, es la de considerar el recurso o herramienta digital

como un elemento del milieu o entorno de aprendizaje; es decir, la interacción entre el sujeto

con el medio, que incluye la herramienta digital, convierte a esta última, a través de sus “retro-

acciones”, en fuente de aprendizaje.

Perrin-Glorian (2009) resalta cómo la TSD le otorga un papel primordial al profesor: el

de seleccionar, adaptar y proponer situaciones didácticas (en el contexto del milieu) que

movilicen la actividad matemática del estudiante al integrar tecnologías digitales. Para lograr

esto, el profesor tiene que comunicar (o abstenerse de comunicar) información, métodos,

heurísticas y preguntas, de la manera que considera apropiada.

Sin embargo, el profesor no actúa solo u aislado; Perrin-Glorian (2009) señala que, de

acuerdo con la TSD, el trabajo del profesor se incluye como parte del milieu y depende del

tipo de “situación” que se proponga en éste: didáctica o “a-didáctica”. Una “situación

didáctica” se entiende como un conjunto de relaciones (explícitas o no) entre estudiantes, el

milieu y el profesor (lo que incluye el contrato didáctico) con la finalidad de lograr que los

estudiantes aprendan (Brousseau, 1986). En el caso de una “situación a-didáctica,” esta es una

donde predomina la interacción entre el estudiante y el entorno de aprendizaje (milieu) sin una

intervención didáctica directa por parte del profesor: el estudiante actúa sobre el milieu, y a su

vez éste aporta retroalimentaciones para que las acciones del estudiante evolucionen

(Brousseau, 1986). Una interpretación de estas ideas es dada por Perrin-Glorian (2009) –ver

Figura 3.1:


63

Figura 3.1. Situación didáctica (y situación a-didáctica). (Perrin-Glorian, 2009, p. 14)

Ideas como milieu y situación, desarrolladas en los trabajos de Brousseau (1986), son

retomadas por autores como Hoyles y Noss (1987). En el caso de estos autores, éstos usan esas

ideas para pensar en el diseño (o estructuración) de entornos de aprendizaje (en particular los

llamados “micromundos” –ver más abajo), que incluyen la mediación de herramientas

digitales y consideran la importancia del papel del profesor en el aprendizaje. A continuación,

presentaremos algunas de sus ideas, haciendo especial énfasis en los componentes, que según

Hoyles y Noss (1987) son fundamentales en la estructuración de micromundos.

3.5. MICROMUNDOS COMPUTACIONALES: ENTORNOS DE APRENDIZAJE CON

TECNOLOGÍAS DIGITALES

El diseño de entornos de aprendizaje en los cuales se contempla el papel mediador de

las tecnologías digitales (y del profesor) es un campo de estudio bastante amplio en Educación

Matemática. Hoyles y Noss (1987) fueron algunos de los pioneros en considerar la

interrelación entre conocimiento-aprendizaje-enseñanza cuando un recurso digital se integra a

la clase; esto autores ampliaron la idea de micromundo que Papert (1981) inicialmente

describió como una “incubadora de ideas”: un ambiente interactivo de aprendizaje que permite

al usuario realizar operaciones sobre objetos y que favorece que los estudiantes puedan,

construir y compartir ideas.


64

Hoyles y Noss (1987) amplían y enriquecen la idea de micromundo como compuesto

por cuatro componentes interrelacionados que conforman un entorno de aprendizaje para la

exploración de ideas matemáticas. Dichos componentes son (ver Figura 3.2):

El componente estudiante: alude a los procesos de aprendizaje de los alumnos, sus

entendimientos y comprensiones parciales sobre los conceptos bajo exploración o

estudio.

El componente técnico: involucra las herramientas (digitales) y las representaciones

que proveen, mediante las cuales los estudiantes exploran y expresan sus ideas.

El componente pedagógico: involucra las estrategias de enseñanza, actividades

propuestas a los estudiantes e intervenciones didácticas. En relación con estas últimas,

Hoyles y Noss (1987) consideran que las intervenciones didácticas a cargo del profesor

son fundamentales para mediar el aprendizaje de los estudiantes.

El componente contextual: da cuenta del ambiente social y físico en el que se

desarrolla la clase.

Figura 3.2. Componentes de un micromundo (Hoyles & Noss, 1987)

Hoyles y Noss (1987) resaltan las intervenciones del profesor, como un elemento

fundamental en el componente pedagógico; en este sentido, estos autores señalan lo siguiente:

El profesor también tiene la responsabilidad de fomentar el uso de tanto la actividad

intuitiva como la reflexiva, y de orientar a los alumnos hacia el desarrollo de sus


65

propios procesos metacognitivos; es decir, fomentar la predicción, la reflexión y la

evaluación. (Hoyles & Noss, 1987, p. 589; nuestra traducción)

A manera de conclusión podemos decir que esta importancia que Hoyles y Noss

(1987) atribuyen al trabajo del profesor, previamente también lo habíamos considerado en las

investigaciones de Bartolini Bussi y Mariotti (2008) sobre mediación semiótica y en las

propuestas de Brousseau (1986) sobre la TSD. El papel del profesor también ha sido también

ampliamente estudiado en otros marcos teóricos como la Aproximación Documental de la

Didáctica o ADD (Gueudet & Trouche, 2009) en relación con el uso de recursos, la cual

constituye el principal marco teórico de nuestra investigación (ver Capítulo 5).

3.6. SOBRE EL CONCEPTO DE “RECURSO DIGITAL”

Partiendo del concepto de “recurso” que presentamos en la sección 2.2.2, y las

consideraciones anteriores sobre el papel de las tecnologías digitales en la educación

matemática, presentamos ahora nuestro concepto operativo de “recurso digital”.

Es claro que un recurso digital es aquel que incluye medios digitales que favorecen

diversas formas de interacción. En general, los recursos digitales implican el uso de una

computadora o dispositivo móvil. También el uso de Internet se enmarca dentro de los

recursos digitales. En nuestro caso nos referimos al término “digital” diferenciándolo del

término “Tecnologías de la Información y la Comunicación” o TIC (Palmas-Pérez, 2018). Así

pues, “recurso digital” alude a las maneras en las que los profesores se relacionan con las

tecnologías y las maneras en cómo las usan respondiendo a intencionalidades didácticas

específicas.

Para el caso de la enseñanza de las matemáticas en educación primaria, Hernández-

Jacquez y Gutiérrez-Rodríguez (2016) señalan que es común que este tipo de recursos

incluyan tecnologías multimedia (e.g. imagen, texto, animación, sonido, video y simulaciones,

etc.).

En el siguiente capítulo presentamos algunas miradas teóricas al conocimiento de los

profesores, especialmente, aquellos conocimientos relacionados con el uso de tecnologías

digitales para enseñar matemáticas, y más particularmente, geometría.

66

4. MIRADAS TEÓRICAS AL CONOCIMIENTO DEL

PROFESOR

Se recuerda que el objetivo de esta investigación es indagar el proceso de selección de

recursos digitales que hacen profesores de primaria para la enseñanza de la geometría;

consideramos que este proceso involucra conocimientos profesionales sobre la geometría, su

enseñanza y las tecnologías digitales, entre otros aspectos. Por tal razón, en este capítulo

presentamos brevemente algunos modelos teóricos que estudian los conocimientos

profesionales de los profesores.

Comenzamos explicando modelos sobre los tipos de conocimientos profesionales que

requieren o ponen en juego los profesores en sus prácticas docentes, tales como el concepto

del Conocimiento Pedagógico del Contenido de Shulman (1986). Luego presentamos otros

modelos que toman en cuenta los conocimientos de los profesores cuando trabajan con

tecnologías digitales, tales como el modelo del Conocimiento Tecnológico del Contenido

Pedagógico o TPACK (por sus siglas en inglés), propuesto por Mishra y Koehler (2006); y el

modelo del Conocimiento Pedagógico de la Tecnología o PTK (por sus siglas en inglés),

propuesto por Thomas y Palmer (2014), específico para la enseñanza de las matemáticas.

Posteriormente, consideramos el modelo de los Espacios de Trabajo Matemático o

ETM propuesto por Kuzniak y Richard (2014), y principalmente su idea de paradigma

geométrico útil para comprender el punto de vista epistémico del profesor (las maneras en que

éste entiende la geometría y su enseñanza), cuando selecciona y pone en juego recursos

(principalmente digitales) para su clase de geometría.

CAP. 4. MIRADAS TEÓRICAS AL CONOCIMIENTO DEL PROFESOR

67

4.1. MODELOS DE LOS CONOCIMIENTOS PROFESIONALES DEL PROFESOR

4.1.1. La perspectiva de Shulman sobre los conocimientos de los profesores, el

concepto de PCK, y el modelo MKT de Ball y colegas

El interés por estudiar el conocimiento y la práctica del profesor no ha sido

desarrollado de manera exclusiva desde un solo punto de vista. Diversas investigaciones han

reflexionado y propuesto modelos teóricos para analizar conocimientos profesionales muy

específicos del profesor. En particular, Shulman (1986, 1987/2005) analiza los conocimientos

necesarios para la enseñanza o “conocimiento base para la enseñanza” planteando lo siguiente:

Comenzamos un análisis sobre el conocimiento base para la enseñanza e,

inmediatamente, surgen diversas preguntas relacionadas: ¿Qué conocimiento base?

¿Conocemos lo suficiente sobre la enseñanza como para sustentar un conocimiento

base? ¿Acaso la enseñanza no supone poco más que un estilo personal, habilidad

para comunicarse, cierto conocimiento de la materia y la aplicación de los resultados

de investigaciones recientes sobre la enseñanza efectiva? (Shulman, 1987/2005, p. 7)

Atendiendo a este tipo de cuestionamientos, Shulman (1986) propone tres19 categorías

de conocimientos del profesor:

El Conocimiento del Contenido de la Materia Específica (Subject Matter Content

Knowledge) se refiere al conocimiento temático del profesor respecto a su materia de

enseñanza. Incluye las comprensiones del profesor sobre la organización (hechos,

estructuras, definiciones, proposiciones) de la disciplina que enseña.

El Conocimiento Pedagógico (o Didáctico20) del Contenido (Pedagogical Content

Knowledge – PCK, por sus siglas en inglés) engloba el conocimiento “para la

enseñanza” del profesor sobre las teorías y estrategias de enseñanza (representaciones,

ejemplos, explicaciones, analogías que usa el profesor). Incluye las comprensiones del

profesor sobre el aprendizaje, las dificultades de los estudiantes y cómo afrontarlas en el

aula. En Shulman (1987/2005), explica que ese tipo de conocimiento constituye una

“especial amalgama entre materia y pedagogía que constituye una esfera exclusiva de

los maestros, su propia forma especial de comprensión profesional” (p. 11).

19 Posteriormente, en Shulman (1987/2005), el autor propuso una nueva categorización de la base de

conocimientos del profesor, en siete categorías, pero aquí ya no discutimos. 20 En varias publicaciones en español, se traduce PCK como “Conocimiento Didáctico del Contenido”

(CDC) (e.g. Shulman 1987/2005; Pinto Sosa & González Astudillo, 2008).


68

El Conocimiento Curricular (Curricular Knowledge) se refiere al conocimiento

sobre los programas educativos, temas y tópicos de acuerdo el nivel de enseñanza, y los

“materiales para la enseñanza”. Incluye el conocimiento del profesor sobre cómo usar

estos materiales en circunstancias particulares.

Shulman (1986) explica que este tipo de conocimiento, el Conocimiento Curricular, es

el que permite al profesor construir formas de comunicación y representación para la

enseñanza. Y puesto que el Conocimiento Curricular incluye los conocimientos del profesor

respecto a los “materiales para la enseñanza”, el uso de recursos se enmarca dentro de ese tipo

de conocimiento. Al respecto, Shulman (1986) destaca que:

El currículo determina las características de los “materiales para la enseñanza”, así

como sus “indicaciones y contraindicaciones” de uso.

El uso de materiales (textos, software, materiales visuales) se relaciona con la

“preparación de la enseñanza” por parte del profesor.

Se espera que un “profesor profesional” esté familiarizado con los materiales

curriculares y su uso en clase.

Este Conocimiento Curricular, en modelos posteriores, como los de Ball y colegas

(Ball, Thames & Phelps, 2008; Hill, Ball y Schilling, 2008), se considera enmarcado dentro

del Conocimiento Pedagógico del Contenido (PCK) –ver Figura 4.1.

Cabe enfatizar que este tipo de conocimiento, el de PCK, se considera una de las

contribuciones principales de Shulman, quien “distinguió entre el contenido como se estudia y

aprende en contextos disciplinares y esa ‘amalgama especial de contenido y pedagogía’ [el

PCK]” (Ball, Thames & Phelps, 2008; p. 389; traducido del inglés).

Ball y colegas (Ball, Thames & Phelps, 2008; Hill, Ball y Schilling, 2008) propusieron

lo que llamaron un refinamiento de las categorías iniciales de Shulman (1986) de

Conocimiento del Contenido de la Materia Específica y de Conocimiento Pedagógico del

Contenido (PCK), para desarrollar, en el campo de la Educación Matemática, un modelo o

“mapa de dominio” (Figura 4.1) del Conocimiento Matemático para la Enseñanza

(Mathematical Knowledge for Teaching o MKT):


69

Figura 4.1. Mapa de dominio del Conocimiento Matemático para la Enseñanza (tomado de

Ball et al., 2008, p. 403; Hill et al., 2008, p. 377; y de Miranda, 2013, para las traducciones)

La Figura 4.1muestra los seis elementos que conforman el modelo de Conocimiento

Matemático para la Enseñanza (MKT). Ball et al. (2008) explican que:

El lado izquierdo del óvalo, corresponde Conocimiento del Contenido de la

Materia (Subject Matter Knowledge) el cual describe cómo el conocimiento matemático

que se utiliza para enseñar también se usa en muchas otras profesiones u ocupaciones.

Este conocimiento incluye:

El Conocimiento Común del Contenido (Common Content Knowledge o

CCK);

el Conocimiento del Horizonte del Contenido (Horizon Content Knowledge)

–también llamado Conocimiento en el Horizonte Matemático (Knowledge at the

Mathematical Horizon) por Hill, Ball y Schilling (2008)— el cual se refiere a

cómo se relacionan los temas matemáticos entre sí, incluido en el currículo de

matemáticas (Ball et al., 2008); y

el Conocimiento Especializado del Contenido (Specialized Content

Knowledge o SKC).


70

El lado derecho del óvalo corresponde al Conocimiento Pedagógico del Contenido

(Pedagogical Content Knowledge o PCK), el cual es retomado de Shulman (1986), por

lo que incluye las maneras en que el profesor organiza, representa y expone los temas en

su clase. Ball et. al. (2008) refinan el PCK para incluir:

Conocimiento del Contenido y de los Estudiantes (Knowledge of Content

and Students o KCS);

Conocimiento del Contenido y de su Enseñanza (Knowledge of Content and

Teaching o KCT); y

Conocimiento del Contenido y del Currículo (Knowledge of Content and

Curriculum).

Hemos mencionado un antecedente fundamental para el estudio de los conocimientos

del profesor en la perspectiva de Shulman (1986), particularmente respecto al PKC, y su

extensión en el modelo MKT propuesto por Ball et al. (2008). En las siguientes secciones

seguiremos profundizando en aspectos puntuales del conocimiento del profesor,

particularmente, cuando se integran tecnologías digitales en la enseñanza.

4.1.2. El Modelo TPACK de Mishra y Koehler

Otros autores que refinaron las ideas de Shulman (1986) sobre el conocimiento

pedagógico del contenido (PCK) del profesor, fueron Mishra y Koehler (2006) quienes

extendieron el PCK para incluir el papel de las tecnologías digitales para la enseñanza.

Así, estos autores, consideran a la enseñanza como una práctica que requiere diferentes

tipos de conocimiento especializados (e.g pedagógicos, tecnológicos y de contenido), que los

profesores ponen en juego en diferentes contextos. Proponen analizar las interrelaciones entre

los tres componentes principales de los entornos de aprendizaje: contenido, pedagogía y

tecnología (analógica y digital) para redimensionar el conocimiento del profesor. Como

resultado de esto, Mishra y Koehler (2006) proponen un modelo llamado Conocimiento

Pedagógico y Tecnológico del Contenido (Technological Pedagogical and Content

Knowledge – TPACK o TPCK por sus siglas en inglés), cuya premisa es que el conocimiento

de los profesores que integran tecnología a sus clases es de naturaleza variada: complejo,

multifacético y situado.


71

Según Mishra y Koehler (2006), el modelo TPACK (ver Figura 4.2) toma en cuenta: lo

que los profesores saben, lo que deben saber y cómo podrían adquirirlo. Para esto, muestran

cómo el desarrollo profesional de los profesores (que involucra formación continua,

colaboración y diseño de entornos de aprendizaje) promueve el desarrollo de TPACK. Según

estos autores, el TPACK incluye, pero no se limita, al conocimiento del profesor sobre: las

representaciones y conceptos que las tecnologías digitales movilizan; las estrategias de

enseñanza usando tecnologías digitales; y, el conocimiento de lo que los estudiantes pueden

hacer y aprender con este tipo de herramientas tecnológicas.

Figura 4.2. Modelo TPACK21

Los componentes del TPACK, señalados por Mishra y Koehler (2006) son:

El Conocimiento sobre el Contenido (Content Knowledge o CK) es el saber que el

profesor ha construido sobre la disciplina que enseña. Este conocimiento incluye

conceptos, teorías, ideas, y pruebas, así como prácticas.

El Contenido Pedagógico (Pedagogical Knowledge o PK) es el conocimiento que

tienen los profesores sobre los procesos, prácticas y métodos de enseñanza. Este

conocimiento se refiere a la comprensión de cómo aprenden los estudiantes, las

21 Imagen tomada de http://tpack.org


72

estrategias de manejo de clase, y la planificación de clases y evaluación de los

aprendizajes de los estudiantes.

El Conocimiento Pedagógico del Contenido (Pedagogical Content Knowledge o

PCK) se refiere a los vínculos entre el currículo, la pedagogía, y la evaluación de los

aprendizajes de los alumnos. Más específicamente, se refiere al trabajo de planeación de

la enseñanza, incluyendo el desarrollo de condiciones en el aula para promover el

aprendizaje y el diseño de estrategias de evaluación y seguimiento al aprendizaje.

El Conocimiento Tecnológico (Technological Knowledge o TK) se refiere a las

comprensiones de los profesores sobre las tecnologías de la información y la

comunicación, para aplicarlas en su trabajo, en su vida cotidiana, así como su capacidad

para adaptarse a los cambios tecnológicos. Este conocimiento implica reconocer las

maneras en cómo las tecnologías digitales pueden promover, o impedir, la consecución

de una meta.

El Conocimiento Tecnológico Pedagógico (Technological Pedagogical Knowledge

o TPK) representa un modo de comprender cómo la enseñanza y el aprendizaje pueden

cambiar cuando tecnologías particulares están siendo usadas de maneras particulares.

Esto tipo de conocimiento le permite al profesor conocer las posibilidades y limitaciones

pedagógicas de ciertas herramientas tecnológicas. Igualmente, el TPK posibilita que el

profesor proponga diseños y estrategias pedagógicas que sean disciplinarmente y

cognitivamente apropiadas. Para construir el TPK, es necesaria una comprensión

profunda de las limitaciones y posibilidades de las tecnologías y de los contextos

disciplinares en las cuales funcionan.

Los Conocimientos Tecnológicos y Pedagógicos del Contenido (Technological

Pedagogical Content Knowledge o TPACK) son una forma emergente de saberes que

van más allá de los tres componentes nucleares (contenido, pedagogía y tecnología); se

refieren a la comprensión que surge de la interacción entre los saberes de contenido,

pedagogía y tecnología. TPACK requiere que el profesor tenga una comprensión de las

tecnologías y de la pedagogía que le permita usar las tecnologías para representar

conceptos, enseñar contenidos y comunicar ideas. TPACK también implica que el

profesor sepa cómo la tecnología puede ayudar a abordar algunos de los problemas que

atraviesan los estudiantes. Por tanto, TPACK implica que el profesor tenga en cuenta los


73

conocimientos previos de los alumnos, las teorías de conocimiento, y las maneras cómo

las tecnologías pueden ser usadas para la enseñanza.

Aunque el modelo TPACK es ampliamente usado en el ámbito educativo para estudiar

la integración de tecnologías digitales en distintos contextos, no se enfoca en la enseñanza o el

aprendizaje específico de las matemáticas. Por ello, otros autores, como Thomas y Palmer

(2014), han desarrollado modelos del conocimiento profesional de los profesores que se

centran en el papel de las tecnologías digitales en educación matemática. A continuación,

presentamos el modelo PTK de Thomas y Palmer (2014).

4.1.3. El Modelo PTK de Thomas y colegas

Enfocándose en la enseñanza de las matemáticas en particular, Thomas y Hong (2013)

y, posteriormente, Thomas y Palmer (2014) propusieron un nuevo marco teórico –desarrollado

de manera paralela, pero diferente, al TPACK— para describir el conocimiento de los

docentes en torno a la integración de tecnologías digitales en educación matemática: el modelo

del Conocimiento Pedagógico y Tecnológico (Pedagogical Technological Knowledge o

PTK, por sus siglas en inglés).

Tomando en cuenta algunas ideas de Shulman (1986); Brousseau (1986); Ball, Hill y

Bass (2005); Mishra y Koehler (2006); Guin y Trouche (2009) y Shoenfeld (2011), entre

otros, Thomas y Palmer (2014) propusieron su modelo PTK para describir el conocimiento de

los profesores respecto a la integración de tecnologías digitales en la clase de matemáticas. La

Figura 4.3 describe ese modelo PTK, también llamado MPTK por Clark-Wilson y Hoyles,

(2017) quienes explican que añadieron lo de “Matemático”, por claridad, para crear

Mathematical Pedagogical Technology Knowledge o MPTK, asumiendo que para Thomas y

Hong (2013) el contexto general era el matemático.


74

Figura 4.3. Modelo MPTK (Clark-Wilson & Hoyles, 2017, p.31)

Thomas y Palmer (2014) señalan que existen principalmente tres factores que se

combinan para producir el Conocimiento Pedagógico y Tecnológico (PTK): (i) el

Conocimiento Matemático para la Enseñanza (Mathematical Knowledge for Teaching o

MKT) – tomado de las ideas de Deborah Ball (e.g. Ball et al., 2005, citado por Thomas &

Palmer, 2014); (ii) las génesis instrumentales respecto a las tecnologías digitales; y (iii)

factores intrínsecos como las orientaciones personales del profesor, su confianza y creencias

(las cuales incluyen, su percepción de la naturaleza del conocimiento matemático y cómo

debería aprenderse la matemática).

Una de las características del modelo de Thomas y Palmer (2014) es que se resalta el

Conocimiento Matemático para la Enseñanza (MKT), y extiende el concepto de PCK de

Shulman (1986). En el modelo PTK, el MKT abarca la forma de estructurar el contenido por

el profesor, así como su discurso y actividades en el aula para crear una situación didáctica, en

este caso, integrando recursos digitales. El Conocimiento Matemático para la Enseñanza

incluye al Conocimiento Pedagógico (Pedagogical Knowledge o PK), y al Conocimiento

Matemático del Contenido (Mathematical Content Knowledge o MCK) el cual considera la

especificidad (matemática y pedagógica) del contenido que se está enseñando.


75

La segunda característica del modelo MKT, es que utiliza la teoría de la génesis

instrumental de Rabardel (1995) –la cuál nosotros discutimos en el capítulo 5, sección 6.2–en

relación a cómo una herramienta se transforma en un instrumento didáctico; eso permite tomar

en cuenta cómo los profesores se apropian de las tecnologías digitales para su práctica.

En cuanto a la tercera característica del modelo MKT, en torno a las orientaciones

personales de los profesores, Thomas y Palmer (2014) señalan que esas orientaciones y

creencias constituyen un componente central de su conocimiento profesional. Al respecto,

hacen especial énfasis en: (i) las creencias de los profesores sobre el valor de las tecnologías

digitales y su papel en el aprendizaje de las matemáticas; (ii) las percepciones de los

profesores sobre la naturaleza del conocimiento matemático y cómo debería aprenderse la

matemática; y (iii) aspectos afectivos, como la confianza –la cual consideran como una

variable crítica en los procesos de integración de tecnología en las clases de matemáticas.

Así, en el modelo de Thomas y Palmer (2014), se especifica el conocimiento

matemático como un componente de los conocimientos profesionales de los profesores,

resaltando la importancia de la especificidad del contenido matemático a enseñar como un

elemento fundamental dentro de los conocimientos profesionales del profesor. En este sentido,

en nuestra investigación incluimos aspectos de orden epistemológico sobre la naturaleza de la

geometría escolar, que debieran ser parte de los conocimientos profesionales del profesor.

Para ello, retomamos, específicamente, el modelo de los Espacios de Trabajo

Geométrico (ETG), posteriormente ampliado a Espacios de Trabajo Matemático (ETM),

propuesto por Kuzniak y colegas (Houdement & Kuzniak, 2006; Kuzniak, 2011) del cual

retomamos algunas ideas, tales como la de “paradigma geométrico” que posteriormente

incluiremos en el análisis de los datos.

4.2. LOS MODELOS DE ETG Y ETM DE KUZNIAK Y COLEGAS

Consideramos que una mirada compleja al uso de recursos en la clase de geometría

implica consideraciones epistemológicas, didácticas y cognitivas. En la sección 4.1.1

habíamos presentado el modelo de Conocimiento Matemático para la Enseñanza (o MKT) de

Ball et al. (2008), en el que se hace énfasis en los conocimientos del profesor, entre los que se

encuentran el Conocimiento del Contenido de la Materia y el Conocimiento Pedagógico del

Contenido (PCK). De esos dos, en particular nos interesan, para la enseñanza particular de la


76

geometría, respectivamente, el Conocimiento Especializado del Contenido, y el Conocimiento

del Contenido y su Enseñanza. Así, en esta sección nos enfocamos en el conocimiento

especializado del contenido geométrico, del profesor, y su conocimiento del contenido

geométrico y su enseñanza. Para ello, utilizamos algunas ideas teóricas de los Espacios de

Trabajo Matemático (ETM), particularmente la de paradigma geométrico que propone

Kuzniak (2011), que nos es útil para analizar el “punto de vista epistémico del profesor” –es

decir, la naturaleza de la geometría que el profesor moviliza en su clase a través del tipo de

trabajo que propone a sus estudiantes.

4.2.1. Paradigma geométrico

En nuestro estudio nos interesa analizar los conocimientos profesionales que el

profesor pone en juego mientras selecciona recursos para su clase de geometría en primaria;

para ello es importante tener en cuenta algunas consideraciones epistemológicas sobre la

geometría escolar. En particular Kuzniak y colegas (Houdement & Kuzniak, 2006; Kuzniak,

2011; Kuzniak & Richard, 2014) han realizado aportes teóricos sobre la naturaleza de la

geometría escolar.

Para nuestro estudio, tomamos en cuenta, particularmente, el concepto de “paradigma

geométrico” que propone Kuzniak (2011). Para este autor un paradigma geométrico constituye

una manera de interpretar la naturaleza de la geometría, y orienta la acción del profesor, a

partir de acuerdos teóricos y metodológicos compartidos por una comunidad a la cual

pertenece ese profesor (Kuhn, 1995, citado por Kuzniak, 2011). En esta perspectiva, los

paradigmas dependen de condiciones culturales específicas para constituirse en teorías que

guían la observación, métodos y criterios, los cuales permiten la construcción de nuevos

conocimientos (Kuhn, 1995, citado por Kuzniak, 2011).

Así, un paradigma geométrico, en el sentido de Kuzniak (2011), incluye los diferentes

“puntos de vista” del profesor que coexisten en su enseñanza de la geometría, los cuales

asumen diferentes significados dependiendo de la situación en la clase, y frecuentemente

resultan en variaciones didácticas y epistémicas (i.e. cambios en la naturaleza de la geometría

que se moviliza en el aula) durante su práctica. Kuzniak (2011) distingue varios paradigmas en

la enseñanza de la geometría:


77

Geometría (natural o) elemental: la cual corresponde a la geometría sobre objetos

reales con un uso intensivo de la intuición. Esta geometría incluye actividades como el

trazado de gráficas usando distintos tipos de instrumentos, así como el uso de la

medición y la aproximación para realizar validaciones o comprobaciones.

Geometría axiomática natural o modelizante: la cual se refiere a un esquema de la

realidad que se nutre de la experiencia de la geometría elemental. Aquí los axiomas se

enuncian, aunque la axiomatización no esté completa; y se promueve el uso del lenguaje

geométrico (símbolos) y el desarrollo de demostraciones no rigurosas.

Geometría axiomática verbal o formal: la cual implica un uso intensivo de la lógica

y del razonamiento hipotético-deductivo. Cuenta con una axiomática coherente y

completa, con una organización temática.

Respecto a los distintos tipos de paradigmas geométricos que coexisten en la

enseñanza, Houdement y Kuzniak (2006) señalan distintos fenómenos didácticos; entre ellos,

las posibles “rupturas” entre una geometría y otra. Por ejemplo, cuando el profesor usa

términos como “prueba o demostración”, dicho término puede tener un significado para el

profesor y otro para sus estudiantes. Para el profesor “demostración” puede significar tener en

cuenta, así sea parcialmente, los axiomas y producir un razonamiento más o menos basado en

la deducción. Para los estudiantes, “demostración” puede significar probar mediante

mecanismos como la medición que algo es evidente por sí mismo. Mientras el profesor

entiende “demostración” desde el paradigma de la geometría axiomática natural, sus

estudiantes están anclados en el paradigma de la geometría elemental. Este tipo de rupturas y

tensiones, constituyen, desde la perspectiva de Houdement y Kuzniak (2006), un problema

didáctico.

Los distintos paradigmas que coexisten en la clase de geometría y los problemas

didácticos persistentes en la enseñanza de esta disciplina, son analizados por Houdement y

Kuzniak (2006) desde el modelo de los Espacios de Trabajo Geométrico (ETG), que

posteriormente se amplió en el modelo de los Espacios de Trabajo Matemático (ETM) por

Kuzniak (2011). El modelo de los ETM, al igual que su predecesor (el modelo de los ETG), se

fundamenta en la idea de Trabajo Matemático como eje central de la actividad matemática en

el aula. A continuación, desarrollamos estos conceptos.


78

4.2.2. Los Espacios de Trabajo Geométrico (ETG) y Matemático (ETM)

De acuerdo a Houdement y Kuzniak (2006) los paradigmas geométricos arriba

señalados relacionan la actividad del estudiante de geometría con la de un geómetra; una

actividad que se lleva a cabo en un ambiente constituido por objetos visibles y tangibles

(dibujos, instrumentos de dibujo, etc.) y objetos conceptuales (las definiciones y teoremas).

Estos autores definen un Espacio de Trabajo Geométrico (ETG) de la siguiente manera:

Designaremos bajo el término de espacio de trabajo geométrico (ETG), al ambiente

organizado por y para el geómetra de manera a articular, de manera idónea, los tres

componentes siguientes:

- un conjunto de objetos, eventualmente materializados en un espacio real y local;

- un conjunto de artefactos que serán las herramientas e instrumentos al servicio del

geómetra, y finalmente

- un referente teórico eventualmente organizado en un modelo teórico.

(Houdement & Kuzniak, 2006; pp. 184-185. Nuestra traducción del francés).

Como se mencionó arriba, la idea de ETG se amplió posteriormente en la de Espacio

de Trabajo Matemático (ETM):

La noción general de Espacio de Trabajo Matemático (ETM) amplía la noción de

espacio de trabajo para la geometría, introducida por Kuzniak y Houdement

(Kuzniak, 2006) en el estudio de la didáctica de este ámbito. […] El espacio

concebido de esta manera designa un ambiente pensado y organizado que facilita el

trabajo de los individuos [estudiantes] al resolver problemas matemáticos.

(Kuzniak & Richard, 2014; p. 6)

Kuzniak y Richard (2014) explican que la idea de Espacios de Trabajo Matemático

sirve para “comprender mejor lo que, desde el punto de vista didáctico, se pone en juego

alrededor del trabajo matemático en un marco escolar” (p. 6).

La perspectiva de los modelos de ETM se basa, no sólo en la idea de paradigma, sino

también en la idea de “trabajo”. Para Kuzniak y Richard (2014), el “trabajo” corresponde a

una actividad racional orientada a objetivos particulares y haciendo uso de instrumentos

específicos. En el caso de la educación matemática, interesa entonces el estudio de la actividad

matemática en doble sentido: el aprendizaje de los estudiantes y la organización de la

enseñanza por parte del profesor.

De manera general, un ETM se articula en dos niveles o planos, “uno de naturaleza

epistemológica, en relación estrecha con los contenidos matemáticos del ámbito estudiado y,

el otro, de naturaleza cognitiva, que concierne al pensamiento del sujeto que resuelve tareas


79

matemáticas” (Kuzniak & Richard, 2014, p. 6). Estos dos planos son descritos por Kuzniak

(2011) como:

Plano cognitivo: Es el nivel en el que prevalecen procesos asociados con: la

visualización, la representación de objetos en el espacio, la construcción (que incluye el

uso de artefactos) y la prueba como proceso discursivo.

Plano epistemológico: Es el nivel centrado fundamentalmente en los contenidos

matemáticos estudiados en la clase y en la cual se consideran las representaciones

(signos), artefactos y un marco referencial-teórico basado en definiciones y propiedades.

Sin embargo, estos planos (cognitivo y epistemológico) aunque “paralelos” no se

encuentran disociados. Las múltiples génesis (semiótica, instrumental y discursiva) los

articulan y les dan sentido, tal como se muestra en la Figura 4.4, a continuación:

Figura 4.4. El espacio de trabajo matemático y sus génesis (Kuzniak & Richard, 2014, p. 7)

En este sentido, otra caracterización de los ETM tiene que ver con la naturaleza e

intencionalidades de éste. Kuzniak y Richard (2014) reconocen tres tipos de ETM:

ETM de referencia: el cual se caracteriza por ser institucional; su principal referente

es el currículo escolar.


80

ETM idóneo o adecuado22: el cual es una adaptación, para la enseñanza, del ETM

de referencia. Se hace evidente en los libros de texto, hojas de trabajo de los estudiantes,

etc. Este tipo de ETM involucra de manera más directa el trabajo del profesor.

ETM personal: el cual es un ETM a nivel del individuo y es de carácter cognitivo

relacionado con un individuo dado (profesor o estudiante). En el caso de un profesor, su

ETM personal se refiere a las disposiciones y maneras en las que contribuye al

desarrollo de los ETM de sus estudiantes.

Uno de los fines del modelo de los ETM es considerar la diversidad de trabajo

matemático en el aula, tanto por el profesor, como por el estudiante (Kuzniak & Richard,

2014). En el caso de la enseñanza de la geometría, el trabajo matemático del profesor se hace

evidente en los paradigmas geométricos visibles en su práctica, lo que finalmente constituye

una expresión más de su conocimiento profesional.

4.3. ELEMENTOS PRINCIPALES PARA NUESTRO TRABAJO

En general, la revisión presentada a lo largo de este capítulo respecto a los

conocimientos profesionales del profesor, muestran que éstos son de diversos tipos y

dependen de la especificidad del tema a enseñar y de los contextos en los que el profesor

trabaja. En esa revisión también se hace explícito el papel de diversos recursos (materiales,

herramientas, instrumentos u artefactos) en el trabajo del profesor.

De las consideraciones presentadas aquí, retomamos las siguientes para nuestro trabajo

(donde analizamos los conocimientos profesionales que el profesor pone en juego mientras

selecciona recursos digitales para su clase de geometría):

Conocimientos profesionales del profesor para su enseñanza. Shulman (1986)

considera que este tipo de conocimiento requiere que el profesor elabore y use

materiales en su clase teniendo en cuenta aspectos como el currículo y las necesidades

de aprendizaje de sus estudiantes. Aquí también tenemos en cuenta algunos aspectos del

modelo Conocimiento Matemático para la Enseñanza (MKT) propuesto por Ball et al.

22 En la versión en español del artículo de Kuzniak y Richard (2014), los autores hablan de “ETM

idóneo”, traducción de la versión en francés de “ETM idoine”, pero en la versión en inglés aparece

como “adequate ETM”. Nos parece que decir “ETM adecuado” transmite mejor el significado de este

ETM, por lo que en el resto del nuestro trabajo, nos referiremos a éste como “ETM adecuado”: i.e., un

ETM que el profesor adecua como algo apto para la enseñanza.


81

(2008), particularmente: el Conocimiento Especializado del Contenido, y el

Conocimiento del Contenido y su Enseñanza. Estos tipos de conocimiento son

importantes para nuestro trabajo porque permiten analizar los aspectos que el profesor

tiene en cuenta mientras selecciona un recurso para su clase.

Conocimientos del profesor sobre las tecnologías digitales y cómo usarlas para la

enseñanza. Mishra y Koehler (2006) consideran que es importante que el profesor

conozca las posibilidades y limitaciones de las tecnologías digitales y de su uso en la

clase. Por su parte, Thomas y Palmer (2014) señalan, además, que se requiere considerar

los conocimientos pedagógicos y matemáticos que les permitan a los profesores usar las

tecnologías digitales en la clase de matemáticas. Estas ideas teóricas nos dan pistas sobre

la importancia de los conocimientos matemáticos y pedagógicos o didácticos

(relacionados con la enseñanza de las matemáticas) en los procesos de selección de

recursos digitales para la enseñanza.

Orientaciones personales del profesor. Thomas y Palmer (2014) resaltan el papel

de las percepciones y creencias que tiene el profesor respecto al uso de recursos digitales

para la enseñanza de las matemáticas. Estos autores nos brindan pistas útiles para

considerar aspectos intrínsecos, en el conocimiento del profesor, que se movilizan

mientras éste selecciona recursos para la enseñanza.

Conocimientos profesionales sobre la geometría escolar y ETG/ETM. En nuestro

trabajo es fundamental identificar conocimientos especializados del profesor –sobre la

geometría, su naturaleza y enseñanza— que orientan su proceso de selección de

recursos. Así, siguiendo las ideas teóricas de los conocimientos arriba expuestos, en

particular los de Conocimiento Especializado del Contenido y el de Conocimiento del

Contenido y su Enseñanza, del modelo MKT del Conocimiento Matemático para la

Enseñanza (Ball et al., 2008) buscamos definir éstos para la enseñanza de la geometría.

Para ello nos son útiles las ideas de Kuzniak (2011), quien considera en su teoría ETM

que, dependiendo del paradigma geométrico que el profesor pone en juego, es posible

determinar el tipo de actividad geométrica que se desarrolla en la clase.

En el siguiente capítulo 5, profundizamos en aspectos de este conocimiento profesional

de los profesores sobre la geometría escolar en el nivel primaria, ya que éste será un referente

importante para el análisis de los datos de nuestra investigación (ver Partes IV y V de este


82

escrito): al seleccionar recursos para su clase, los profesores participantes en nuestro estudio

tuvieron que poner en juego sus conocimientos profesionales de geometría (sus ETM).

Posteriormente, en el capítulo 6, puesto que un tema central de nuestro trabajo es cómo

el profesor selecciona recursos para la enseñanza, abordamos algunas ideas teóricas para el

estudio de la interacción profesor-recursos: En particular, abordamos el enfoque instrumental

de Rabardel (1995), donde se plantea cómo un artefacto (o recurso) se transforma en

instrumento; y la Aproximación Documental de la Didáctica (ADD) mediante la cual se

estudia el trabajo del profesor y su uso de recursos.

83

5. LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN PRIMARIA

Recordamos que nuestro estudio se enfoca en la selección de recursos para la

enseñanza de la geometría, por profesores colombianos de primaria. Por ello, en este capítulo

presentamos brevemente algunos aspectos sobre la enseñanza de geometría en educación

primaria y los lineamientos curriculares de Colombia al respecto.

Para el estudio del proceso de selección de recursos para enseñar geometría en

Colombia, consideramos importante tener en cuenta algunos aspectos relacionados con la

enseñanza de ésta en general y en ese país. Para ello, a continuación, llevamos a cabo una

breve discusión respecto a la enseñanza de la geometría y sus principales dificultades,

principalmente, en la educación primaria.

5.1. PROBLEMAS EN EL APRENDIZAJE Y LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA

Diversas investigaciones señalan que continúan persistiendo dificultades en el

aprendizaje de los estudiantes de la geometría, tal como exhiben los desempeños de los

estudiantes en pruebas estandarizadas. Resultados internacionales, reportados por el Estudio

Internacional de las Tendencias en Matemáticas y Ciencias (TIMSS23), en Colombia, México

y Chile –analizados, respectivamente, por el Instituto Colombiano para el Fomento de la

Educación Superior (ICFES, 2010); por el Instituto Nacional para la Evaluación de la

Educación (INEE, 2011); y por la Agencia de la Calidad de la Educación (2011)— evidencian

que las actividades que con menor frecuencia realizaron los estudiantes, entre los seis a los

catorce años, se relacionan con el trabajo con figuras, líneas y ángulos para resolver

problemas.

En parte, esto puede deberse a debilidades en la enseñanza de la geometría, que

repercute en el aprendizaje de los estudiantes. En el caso de Colombia, el análisis realizado

por TIMSS (ICFES, 2010) señala que la enseñanza de la geometría aparece relegada a un

23 http://www.timss.org/

CAP. 5 LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN PRIMARIA

84

lugar de poca importancia: los profesores no consideran importante enseñarla, se le dedican

pocas horas de trabajo y los escasos contenidos geométricos trabajados, sobre todo a lo largo

de la educación primaria, se reiteran cada año, sin mayor cambio en su extensión y

complejidad (ICFES, 2010).

Este mismo informe también señala que profesores de primaria manifestaron recibir

una débil preparación para enseñar matemáticas, la cual está por debajo de la media

internacional. Igualmente, los profesores expresaron sentirse menos preparados para enseñar

tópicos de geometría y medición, en comparación con otros tópicos de las matemáticas

escolares, tales como números y presentación de datos.

Por ello, ese mismo análisis de TIMSS (ICFES, 2010) sugiere atender la formación de

profesores de educación primaria, y prestar atención a aspectos relacionados con la enseñanza

de la geometría en los primeros grados de escolaridad, recomendando que se preste especial

atención a tópicos relacionados con formas geométricas, las transformaciones geométricas y la

medición.

Teniendo en cuenta estas consideraciones respecto a los problemas en el aprendizaje y

la enseñanza de la geometría; a continuación discutimos algunos aspectos generales en la

enseñanza de esta disciplina en el nivel de la educación primaria.

5.2. ASPECTOS GENERALES SOBRE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN

PRIMARIA

En el capítulo anterior discutimos la importancia de los conocimientos profesionales

específicos que los profesores requieren para la enseñanza. En ese sentido, consideramos que

para nuestro estudio es importante determinar algunos de los conocimientos geométricos que

son fundamentales para que el profesor de primaria pueda realizar su trabajo de enseñanza de

la geometría.

En el Capítulo 1 habíamos mencionado algunos aspectos generales sobre la enseñanza

de la geometría, que aquí profundizamos. Bkouche (2009) señala que la geometría se

constituyó históricamente alrededor de dos grandes problemáticas: la medición de magnitudes,

principalmente longitudes, superficies y volúmenes; y la representación plana de objetos del

espacio. Estos aspectos históricos de la geometría, se relacionan, según este autor, con la

existencia de dos aproximaciones predominantes en su enseñanza:

CAP. 5. LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN PRIMARIA

85

Concebir la geometría como una ciencia empírica que se ocupa de estudiar las

propiedades de las figuras geométricas como los sólidos y las superficies.

Concebir la geometría como una ciencia hipotético-deductiva, lo cual se enfoca en

la construcción de razonamientos y pruebas.

Este autor plantea que estas aproximaciones de la geometría escolar no necesariamente

se excluyen, ni se restringen la una a la otra, sino que habitan en la “epistemología implícita”

del profesor.

Para el caso de la educación primaria, Bkouche (2009) considera que el saber

geométrico de los profesores corresponde a la geometría elemental, en la cual se concibe la

geometría fundamentalmente como una ciencia empírica y se estudian problemas relacionados

con la forma, la congruencia y la semejanza.

Otros autores como Pérez (2007) también han reflexionado sobre la naturaleza de la

geometría escolar; en particular, este autor ha señalado la importancia de los aspectos

“intuitivos” de la geometría que son comunes en la escuela primaria y secundaria. Estos

aspectos intuitivos se relacionan con características visuales de las figuras que muchas veces

se constituyen en un obstáculo para el estudio de la geometría desde un punto de vista

hipotético-deductivo.

Por otro lado, Bkouche (2009) –quien considera que los programas actuales de los

currículos, en particular el de su país (Francia), son “inconsistentes” con el desarrollo histórico

de la disciplina, y conllevan a exigencias inútiles en la enseñanza (p. 86) – propone algunos

principios fundamentales a tener en cuenta para la enseñanza de la geometría:

enfatizar en las características físicas de la geometría elemental (el estudio de las

formas),

reconocer la importancia del carácter hipotético-deductivo de la geometría (promover

la demostración como una estrategia para la comprensión de las ideas geométricas), y

abordar problemas centrales en el estudio de la geometría (congruencia, forma,

transformaciones e invariantes).

Otro aspecto que nosotros consideramos bastante central en la enseñanza de la

geometría, es el desarrollo del pensamiento espacial. Algunos autores (e.g. Gálvez, 1985;

Berthelot & Salin, 1992) se han enfocado en esto.


86

Gálvez (1985), en particular, investigó en qué medida la escuela podría ayudar a los

niños a ubicarse y orientarse en la ciudad. Como señalan Berthelot y Salin (1992), Gálvez

(1985) fue influenciada por la perspectiva piagetiana sobre el aprendizaje, y mostró que el

problema (de que los niños aprendieran a ubicarse y orientarse en la ciudad) no se podía

reducir a hacer simples recomendaciones o comentarios a los docentes para la enseñanza de la

geometría. De hecho, Gálvez (1985) mostró la complejidad del desarrollo del “pensamiento

espacial”. Para esta autora, el pensamiento espacial es aquel que le permite al sujeto adaptar

sus propios mecanismos de orientación, construcción y usar planos, mapas u otro tipo de

representaciones, aprender a hacer preguntas (e.g. cómo plantear una pregunta, a quién e

interpretar la información) y aprender a dar información e instrucciones a otro.

Gálvez (1985) explica que una de las variables que determina el desarrollo de las

nociones espaciales es el tamaño del espacio –es decir, sus dimensiones físicas, como su

“extensión”. De acuerdo a lo anterior, esta autora propuso un modelo conceptual que presenta

distintos “tamaños del espacio” de acuerdo a las distintas interacciones que el sujeto puede

llegar a tener con el espacio; éstos son: microespacio, mesoespacio y macroespacio:

El microespacio.

Corresponde a un sector del espacio próximo al sujeto y que contiene objetos

accesibles tanto a la visión, como a la manipulación […] En este sector el sujeto

puede mover el objeto o moverse a sí mismo prácticamente en cualquier dirección

[…] [El] trabajo escolar impone cierta reestructuración del microespacio al

introducir dos direcciones ortogonales para orientar el papel (y también otros

materiales) sobre el mesabanco.

(Gálvez, 1985; p. 49-50)

El mesoespacio.

Es una parte del espacio accesible a una visión global, obtenida a partir de

percepciones sucesivas, pero con desfases temporales mínimos. Contiene objetos

fijos, no manipulables. Como un ejemplo de mesoespacio, podemos citar el espacio

que contiene a un inmueble, que puede ser recorrido por el sujeto, tanto interior,

como exteriormente. […] En el mesoespacio, puesto que los objetos permanecen

fijos, funcionan como puntos de referencia para el sujeto (en nuestro ejemplo, los

muebles, puertas, paredes), mientras que el sujeto sí puede desplazarse, pero con

restricciones […]

(Gálvez, 1985; p. 52)

El macroespacio.

Corresponde a un sector del espacio, cuya dimensión es tal que solo puede abarcarse

a través de una sucesión de visiones locales, separadas entre sí por desplazamientos

del sujeto sobre la superficie terrestre. En el macroespacio es imposible obtener una

visón global simultánea del sector del espacio con el que se interactúa, a menos que

el sujeto se eleve en el aire […] Al igual que en el mesoespacio, en el macroespacio


87

los objetos permanecen fijos, es el sujeto el que se desplaza. Para orientar sus

desplazamientos debe construir una representación global del macroespacio, ligando

sus visiones parciales para recuperar la continuidad del espacio recorrido.

(Gálvez, 1985; p. 54)

Gálvez (1985) explica que para poder tener una visión global del mesoespacio, de

manera cotidiana no tenemos la posibilidad de elevarnos en el aire; sin embargo, anota que “a

nivel técnico, la fotografía aérea es un recurso habitual para la cartografía” (p. 54). Este

ejemplo de Gálvez (1985) se relaciona con el papel de los recursos (en este caso la fotografía

aérea) que habíamos discutido en la sección 2.1.2.4. para el caso de la construcción de mapas

y planos; en esa sección, explicamos la relación dialéctica entre cartografía y actividades que

requieren orientación en el espacio, tales como la navegación. El ejemplo de Gálvez (1985) se

puede considerar una extensión de lo que habíamos presentado en esa sección, ejemplificando

cómo cartógrafos de distintas épocas usan los recursos, técnicas y datos a su disposición.

Resulta interesante relacionar el modelo del espacio propuesto por Gálvez (1985) con

las ideas de Houdement y Kuzniak (2006) sobre Espacios de Trabajo Geométrico (ETG)

presentadas en el apartado 4.2. Efectivamente ambos trabajos comparten una base

epistemológica respecto a la naturaleza de la geometría, y también comparten una base

didáctica al fundamentarse en algunas de las ideas de Brousseau (1986) – ver sección 3.4. Así

pues, en la Tabla 5.1 presentamos una breve comparación entre las ideas de Gálvez (1985) y

las de Houdement y Kuzniak (2006), relacionando cada “tamaño del espacio” con un

paradigma geométrico. Advertimos que esta comparación es parcial, enfocada únicamente en

algunos aspectos comunes entre ambos: el papel de la manipulación para el aprendizaje, la

importancia de la visualización para favorecer el razonamiento geométrico, y la necesidad de

realizar representaciones cada vez más sofisticadas de los objetos geométricos.

Esta comparación nos permite inferir que cuando un profesor promueve el paradigma

de la geometría elemental en su clase, lo más probable es que acuda a objetos geométricos

pertenecientes al microespacio y recursos acorde a éste (e.g., papel, tijeras, doblado, etc.); y

así, entre mayor sea el “tamaño del espacio” se requiere de un paradigma geométrico (y de

recursos) que dependa menos de la intuición y requiera más razonamiento. De allí podemos

concluir que cada “tamaño del espacio” requiere de recursos específicos que permitan la

realización de un trabajo adecuado de acuerdo al paradigma geométrico de referencia.


88

Tabla 5.1. Comparación entre elementos del modelo de espacio de Gálvez (1985) y de los

Espacios de Trabajo Geométrico de Houdement y Kuzniak (2006)

Tamaños del

espacio

(Gálvez, 1985)

Paradigmas

geométricos

(Houdement &

Kuzniak, 2006)

Comparación

Microespacio Geometría

(natural o)

elemental

Ambas ideas se relacionan directamente con la

experiencia del sujeto con su espacio “más próximo”, a

través de la visualización, su intuición y manipulación

que se puede hacer sobre objetos reales y tangibles.

Mesoespacio Geometría

axiomática natural

o modelizante

Aquí se enfatiza en cómo la experiencia del sujeto en el

“nivel” anterior le permite desarrollar representaciones

cada vez más sofisticadas de los objetos geométricos. A

este nivel es necesario el uso de ciertos símbolos para

denotar ideas geométricas.

Macroespacio Geometría

axiomática verbal o

formal

A este nivel se requiere que el sujeto desarrolle una

amplia capacidad de visualización y razonamiento.

Regresando al tema del uso de los recursos para el desarrollo del pensamiento espacial,

Gálvez (1985) recomienda el uso de materiales manipulativos y otros recursos para la

enseñanza de la geometría en primaria. De hecho, los profesores (sobre todo en primaria)

suelen tener una larga tradición en el uso de recursos (e.g. materiales concretos, etc.) en sus

clases, como lo han mostrado diversas investigaciones (e.g. Alsina, 1991).

Por otro lado, algunos recursos digitales son cada vez más populares (e.g. geometría

dinámica). Al respecto, es interesante observar la existencia, en muchos países e

internacionales, de repositorios de recursos digitales de matemáticas (para todos los niveles

educativos), así como de comunidades de profesores que crean y comparten ese tipo de

recursos (incluyendo de geometría e.g. www.geogebratube.org).

Diseños de los currículos en distintas partes del mundo han tomado en cuenta el papel

de los recursos digitales en la enseñanza de la geometría, y Colombia (país en el cual trabajan

los profesores que hicieron parte de este estudio) no es excepción. Al igual, las

consideraciones sobre pensamiento espacial de Gálvez (1985), también han sido tenidas en

cuenta para esos diseños, específicamente en el currículo colombiano. A continuación,

presentamos algunos aspectos del currículo de geometría en Colombia.

http://www.geogebratube.org/


89

5.3. EL CURRÍCULO DE GEOMETRÍA EN COLOMBIA

5.3.1. El sistema curricular y el desarrollo profesional en Colombia

Uno de los aspectos que hay que tener en cuenta, es que el currículo en Colombia no es

centralizado, sino que corresponde a cada Institución Educativa (conformada por varios

planteles de educación básica, secundaria y media) diseñar sus propios planes y programas de

estudio, de acuerdo con las necesidades de su comunidad y contexto. Para ello, las

instituciones deben guiarse por orientaciones curriculares establecidas por el Ministerio de

Educación Nacional (MEN) de Colombia. Esas orientaciones curriculares se estructuran en

varios documentos o “normas técnicas curriculares”, publicados por el MEN. Las principales

orientaciones curriculares para el área de Matemáticas son: los Lineamientos Curriculares de

Matemáticas (MEN, 1998); los Estándares Básicos de Competencias del Área de Matemáticas

(MEN, 2006) y los Derechos Básicos de Aprendizaje o DBA (MEN, 2017) .

En vista de que cada Institución Educativa diseña su propia propuesta educativa y

currículo institucional (i.e., planes de área), se promueve el desarrollo profesional de los

docentes. Por ello, las autoridades educativas colombianas vienen proponiendo, desde años

atrás, varias iniciativas para apoyar el desarrollo profesional de los profesores:

Ampliación de la oferta de programas de formación continua (sobre todo en el uso de

recursos digitales) y dotación de tecnologías digitales en las escuelas24.

Cambios y orientaciones curriculares25, incluyendo algunos que recomiendan el uso

de recursos digitales (Ministerio de Educación Nacional – MEN, 1998, 2017).

24 En los últimos años los profesores colombianos han tenido una oferta considerable de programas de

formación con énfasis en el uso de tecnologías digitales en la escuela (y en la clase de matemáticas),

tales como: “Computadores para Educar”, “Entre pares”, “Ciudadano Digital”, “Tecnologías digitales

para todos - Tit@”; así como la creación de Centros de Innovación Educativa Regional (CIER); entre

otras iniciativas, las cuales muchas veces están acompañadas con dotación de dispositivos como

computadores, tabletas, aulas digitales, etc. 25 Los últimos cambios curriculares fueron en noviembre de 2017, cuando el Ministerio de Educación

Nacional (MEN) lanzó “mallas de aprendizaje” (estructuras o planes curriculares) para niños de 1º a 5º

de primaria en las áreas de Lenguaje, Matemáticas, Ciencias Naturales y Ciencias Sociales. El

propósito de éstas es apoyar a los profesores dándoles orientaciones (curriculares y didácticas) sobre

qué deben aprender los niños en cada grado escolar y qué tipo de actividades pueden desarrollar en el

aula. Más información en http://aprende.colombiaaprende.edu.co/es/node/89839

http://aprende.colombiaaprende.edu.co/es/node/89839


90

Aplicación de pruebas censales para los estudiantes26 que constituyen referentes para

que las escuelas diseñen sus planes de mejoramiento.

Evaluaciones anuales del desempeño de los profesores.

Modificaciones en cómo se organizan las escuelas en una zona (e.g. fusión de

planteles educativos) con el objeto de promover el trabajo colaborativo de los docentes.

5.3.2. Conocimientos específicos de geometría delineados en las orientaciones

curriculares

En la actualidad, la enseñanza de la geometría aparece con renovado interés en los

currículos de matemáticas, tanto en Colombia, como a nivel internacional. Según la propuesta

de los “lineamientos” (MEN, 1998), y siguiendo algunas de las ideas de Gálvez (1985), el

aprendizaje de la geometría debe llevar al desarrollo del pensamiento espacial, el cual está

conformado por un conjunto de procesos que permiten construir y manipular representaciones

de los objetos geométricos, lo cual implica que el estudiante tenga la capacidad para encontrar

relaciones, realizar transformaciones, entre otras acciones. Para el desarrollo del pensamiento

espacial, MEN (1998) sugiere que, en los primeros años de escolaridad, los profesores

propongan actividades que fomenten el desarrollo de conceptos: por ejemplo, actividades

corporales o de interacción con el entorno, donde el estudiante se desplace en distintas

direcciones (e.g. camine en líneas rectas o curvas, lo que fomenta el desarrollo de los

conceptos de esas líneas), o toque superficies (para preparar el concepto de área).

Estas ideas sobre pensamiento espacial, que se expresan en MEN (1998), provienen de

los aportes de Vasco (1992) sobre “sistemas geométricos”; a continuación señalamos algunas

de las ideas de este autor al respecto.

Vasco (1992) propone que los sistemas geométricos contribuyen a explorar y

representar el espacio. Como parte del análisis que este autor hace de dichos sistemas

geométricos, él señala la existencia de una dicotomía entre lo “estático” y lo “dinámico” en la

naturaleza de la geometría que impacta su enseñanza. Por un lado, están las relaciones

“estáticas” en la geometría euclidiana: como el paralelismo, la perpendicularidad y

26 Las Pruebas Saber se aplican a todos los estudiantes escolarizados en grados 3º, 5º, 7º, 9º (cada tres

años) y 11º (cada año) en las áreas de Lenguaje, Matemáticas, Ciencias Naturales, Ciencias Sociales y

Competencias Ciudadanas. Más información en http://www.icfes.gov.co/index.php#


91

demostraciones a partir de trazos y prolongaciones de las figuras. Por otro lado, está el aspecto

de “dinamismo”; al respecto Vasco (1992) cita el cuarto postulado euclidiano sobre la

igualdad de todos los ángulos rectos, el cual, según este autor, toma sentido si visualizamos la

rotación de una recta sobre otra, hasta que los cuatro ángulos sean iguales.

Esta dicotomía, entre lo estático y lo dinámico, según Vasco (1992) está vinculada con

la noción de transformación geométrica; y propone una visión (epistemológica y didáctica) de

las transformaciones como aplicaciones en el plano, las cuales se pueden enseñar propiciando

actividades (como las mencionadas en el currículo, discutidas arriba) como caminar en línea

recta, girar el cuerpo o el uso de distintos recursos como el doblado de papel.

En nuestro estudio, tuvimos en cuenta estas ideas sobre el “desarrollo del pensamiento

espacial”, propuestas en el currículo colombiano, porque nos permitieron analizar parte de los

conocimientos profesionales de los profesores al seleccionar recursos para su clase de

geometría en primaria.

5.3.3. Las tecnologías digitales para la enseñanza de la geometría según las

orientaciones curriculares

Otras orientaciones curriculares en Colombia, tales como MEN (2002), han

considerado el papel que juegan las tecnologías digitales en la enseñanza de las matemáticas.

En el caso de la geometría, MEN (2002) señala que, con el auge de las tecnologías digitales,

han surgido nuevas herramientas para el trabajo y enseñanza de la geometría, por lo que es

importante que los profesores las conozcan y utilicen. En particular, MEN (2002) resalta el

papel de los programas de geometría dinámica, los cuales pueden proporcionar potentes

posibilidades de representación y así, contextos de aprendizaje interesantes.

Para MEN (2002), los programas de geometría dinámica se basan en el estudio de las

figuras geométricas, las relaciones entre ellas y sus propiedades. A partir de la construcción de

figuras geométricas se pueden promover actividades con los estudiantes como la exploración y

manipulación de los objetos geométricos.

De hecho, Bressan, Bogistic y Crego (2000) señalan el creciente énfasis, en currículos

de matemáticas de muchos países del mundo, por integrar, a través del uso de tecnologías

digitales, el valor empírico e intuitivo de la geometría. Colombia no es excepción de esto:

MEN (2002) señala que los estudiantes que trabajen habitualmente con geometría dinámica


92

puedan avanzar en su comprensión y conocimiento de la geometría de una manera distinta a la

que seguirían si utilizan ambientes tradicionales.

Lo anterior implica que la necesidad de que los profesores tengan una formación

docente que les permita usar las tecnologías digitales en sus clases. Por ello, MEN (2002)

plantea, de manera general, que es importante la formación permanente y continuada de los

docentes, para que éstos aprovechen el potencial educativo que brindan las tecnologías

digitales. MEN (2002) también propone que esa formación docente debe estar centrada en la

reflexión de los profesores sobre su propia práctica. Esta sugerencia de MEN (2002) en

promover la reflexión de los profesores para el uso de tecnologías digitales, es un antecedente

importante para nuestro estudio, donde utilizamos la reflexión del profesor como un elemento

para comprender su práctica (ver Capítulo 7).

Teniendo en cuenta estas consideraciones respecto a la enseñanza de la geometría,

además de las presentadas en capítulos anteriores sobre los conocimientos profesionales de los

profesores (en particular aquellos involucrados en la integración de las tecnologías digitales en

su práctica), en el siguiente capítulo continuamos con el desarrollo de nuestro marco teórico

presentando algunos conceptos fundamentales del enfoque instrumental de Rabardel (1995) y

la Aproximación Documental de la Didáctica de Gueudet y Trouche (2009).

93

6. EL ENFOQUE INSTRUMENTAL Y LA APROXIMACIÓN

DOCUMENTAL DE LA DIDÁCTICA

En el capítulo anterior se presentó la idea de Espacio de Trabajo Matemático la cual

utilizamos en nuestra investigación para el análisis de los datos (como se verá en la parte de

Resultados y su Análisis). Otro referente teórico fundamental para nuestra investigación es el

de la Aproximación Documental de la Didáctica o ADD (Gueudet & Trouche, 2009), el cual

discutimos en este capítulo.

Comenzamos presentando dos antecedentes fundamentales de la ADD: el concepto de

“esquema” que alude a cómo los sujetos organizan y usan sus conocimientos en distintas

situaciones; y el Enfoque Instrumental de Rabardel (1995). Posteriormente discutimos otros

conceptos centrales en la ADD que son los de documento, génesis documental y orquestación.

6.1. EL CONCEPTO DE ESQUEMA

Como señalamos arriba, unos de los antecedentes fundamentales de la ADD (que

proviene del enfoque instrumental de Rabardel, 1995, el cual discutimos más abajo), es el

concepto de esquema. Este concepto ha sido ampliamente discutido en campos tan diversos

como la filosofía, la psicología y la didáctica. Por ejemplo, en un artículo de la Enciclopedia

Británica, se define al concepto de esquema, en las ciencias sociales, como:

estructuras mentales que un individuo utiliza para organizar el conocimiento y

guiar los procesos cognitivos y el comportamiento. Las personas usan esquemas […]

para categorizar objetos y eventos basados en elementos y características comunes y

así interpretar y predecir el mundo. La nueva información se procesa de acuerdo con

cómo encaja en esas estructuras mentales o reglas.

(Michalak, 2014, párrafo 1; nuestra traducción)

A continuación, profundizamos en el concepto de esquema, revisando algunas ideas de

Kant (1787/1928), Piaget (1977), Vergnaud (1990, 1998, 2013) y Rabardel (1995) sobre el

mismo. En general, es común aceptar que uno de uno de los primeros en hablar de este

CAP. 6 EL ENFOQUE INSTRUMENTAL Y LA APROXIMACIÓN DOCUMENTAL DE LA DIDÁCTICA

94

concepto fue Kant (1787/1928), quien estudió la naturaleza de la “razón humana” en el

desarrollo de la ciencia.

Kant propuso la idea de esquema cuando buscaba analizar las maneras en cómo la

mente humana logra cierto entendimiento de los productos de la razón. Según Kant

(1787/1928), el entendimiento contiene elementos intelectuales y elementos sensibles. Kant

(1787/1928) señala que los esquemas corresponden a nuestras formas de entendimiento,

desarrollados mediante un proceso de “esquematización”.

En particular, Kant (1787/1928) definió esquema como algo que restringe el

entendimiento y que es la condición “formal y pura de la sensibilidad” (p. 346), añadiendo que

“esquematismo” es el proceso de entender con esos esquemas. Así, el proceso de

esquematización se refiere al proceso de entendimiento (filosófico) que se puede tener de los

conceptos puros, y que le permiten al sujeto avanzar en su camino hacia la construcción del

juicio, y a lo que Kant (1787/1928) llamó el “esquema trascendental” (p. 143).

Posteriormente, investigadores como Piaget (1977) continuaron profundizando en el

concepto de esquema desde sus perspectivas teóricas. Piaget (1977), en su indagación sobre la

génesis del conocimiento en el sujeto y en el desarrollo de su “teoría constructivista del

aprendizaje,” redimensiona el concepto kantiano de esquema basándose en la idea de

adaptación.

Piaget (1977, citado por Delgado, 1998, p. 25), define esquema de la siguiente manera:

Llamaremos esquemas de acciones a lo que, en una acción es de tal manera

transponible, generalizable o invariante de una situación a la siguiente, o dicho de

otra manera lo que hay de común en las diversas repeticiones o aplicaciones de la

misma acción (Piaget, 1977, p. 8-9).

Posteriormente, Vergnaud (1990) retoma la tradición piagetiana para profundizar en el

concepto de esquema desde el campo de la didáctica; para ello propone que no es posible

pensar en el concepto de esquema independientemente del de situación.

De acuerdo con Vergnaud (1990), una situación27 corresponde a un conjunto o

combinación de tareas relacionadas entre sí. Para Vergnaud, los sujetos aprenden a enfrentarse

27 El concepto de “situación” de Vergnaud (1990) no debe confundirse con el de “situación didáctica”

de Brousseau (1986) que habíamos presentado anteriormente (ver sección 3.1.2); este último se refiere

a un entorno didáctico (dirigido al estudiante) concebido explícitamente para el aprendizaje. Por su

CAP. 6. EL ENFOQUE INSTRUMENTAL Y LA APROXIMACIÓN DOCUMENTAL DE LA DIDÁCTICA

95

a distintos tipos de situaciones, de manera que éstas moldean la acción y el pensamiento del

sujeto.

Por otro lado, para Vergnaud (1990), un esquema corresponde a una organización

“invariante” de la actividad del sujeto para enfrentarse a una situación específica. Aquí lo

invariante se refiere a la manera en cómo se organizan los conocimientos, no a la conducta del

sujeto. Así pues, los esquemas dependen de la situación, de la intención y competencia del

sujeto, por tanto, no es algo predefinido.

Este autor considera que un esquema no sólo organiza las acciones del sujeto sino

también el pensamiento o conceptualización subyacente; para ello, incluye la idea de

“proposición” (Vergnaud, 1998) con el propósito de modelar los procesos de

conceptualización. Una proposición es una declaración que puede tener valor de verdad para el

sujeto de acuerdo con la situación; las proposiciones están contenidas en los esquemas a

manera de “invariantes operatorias".

A continuación, presentamos los componentes de los esquemas, de acuerdo con

Vergnaud (1998, 2013):

Metas de acción, y posibles sub-metas, las cuales son ordenadas secuencial y

jerárquicamente por el sujeto. Estas metas incluyen posibles anticipaciones del sujeto

frente a una situación (e.g. anticipaciones respecto al objetivo de una tarea, sus efectos y

etapas intermedias de realización). Estas metas y sub-metas, generalmente corresponden

a la “parte intencional” del esquema.

Reglas de acción, que le permiten al sujeto tomar y controlar información de la

situación a la que se enfrenta, lo cual le posibilita generar sus secuencias de acciones.

Estas reglas de acción generalmente se expresan en la forma “si… entonces…”.

Invariantes operatorias, las cuales corresponden a los conocimientos (en términos

de proposiciones que pueden tener distinto valor de verdad) contenidos en el esquema y

que le permiten al sujeto reconocer y captar información sobre la situación. Estos

conocimientos no necesariamente son explícitos, ni conscientes para el sujeto. Las

invariantes operatorias son de dos tipos: conceptos-en-acto y teoremas-en-acto.

parte, Vergnaud considera la idea de situación en un sentido mucho más amplio, incluyendo mayor

diversidad de actividades, incluso las no-escolares.


96

Concepto-en-acto es conocimiento considerado por el sujeto como relevante

de acuerdo con la situación; es decir, corresponde a una proposición considerada

por el sujeto como pertinente. Es algo que le permite al sujeto categorizar y

seleccionar información; es decir, identificar objetos, propiedades y relaciones.

Sirve para analizar la situación e identificar los teoremas-en-acto.

Teorema-en-acto es una proposición considerada como verdadera por el sujeto

cuando éste actúa, según las particularidades de la situación. Sirve para inferir, de

la información disponible y relevante, las metas y reglas apropiadas.

Posibilidades de inferencia: se refiere a las posibles adaptaciones que puede realizar

el sujeto frente a una variedad de situaciones. Estas adaptaciones le permiten al sujeto

calcular posibles anticipaciones a partir de las informaciones (de la situación) y del

sistema de invariantes operatorios (conocimientos) de los que dispone.

Por su parte, Rabardel (1995) retoma las ideas de Piaget (1977) y Vergnaud (1990)

sobre esquema, para la construcción de su enfoque instrumental en el campo de la ergonomía

cognitiva. Este autor enfatiza que mientras el sujeto usa “instrumentos” (ver siguiente sección)

para enfrentarse a diversas situaciones, puede desarrollar esquemas de utilización. Estos

esquemas le permiten al sujeto organizar la estrategia de resolución de la situación; disponer

de los conceptos y teorías que subyacen a dicha estrategia; y movilizar los medios (técnicos y

conceptuales) que le permiten poner su estrategia en marcha. Los esquemas de utilización

corresponden a invariantes operatorias de acción; las cuales son asimilados y adaptadas a la

estructura cognitiva del sujeto (Rabardel, 1999).

Drijvers y Gravemeijer (2005) subrayan que los esquemas de utilización definidos por

Rabardel (1995, citado por Drijvers & Gravemeijer, 2005) emergen y evolucionan de manera

bidimensional relacionándose con aspectos técnicos y conceptuales, donde:

Las posibilidades y restricciones del artefacto moldean el desarrollo conceptual del

sujeto.

El uso que el sujeto hace del artefacto, lo modifica y personaliza.

Si bien, Rabardel (1995) reconoce que la construcción de esquemas de utilización

corresponde primordialmente a la actividad cognitiva individual del sujeto –una dimensión

“privada” del conocimiento—, también reconoce la dimensión “social” de dichos esquemas,


97

ya que considera que los esquemas se desarrollan a partir de la interacción del sujeto con su

medio colectivo, social y cultural.

En el siguiente apartado continuaremos profundizando en las ideas de Rabardel (1995)

y su enfoque instrumental.

6.2. EL ENFOQUE INSTRUMENTAL: ANTECEDENTE DE LA APROXIMACIÓN

DOCUMENTAL DE LA DIDÁCTICA

Como se vio en el capítulo anterior, la irrupción de una gran cantidad y variedad de

herramientas (sobre todo digitales), en las aulas de clase, promovió el desarrollo de diversas

investigaciones en Educación Matemática como el enfoque instrumental en Educación

Matemática (Rabardel 1999, Guin & Trouche 2002), el cual fue desarrollada a partir de los

aportes de Rabardel (1995) en el campo de la ergonomía cognitiva.

A partir de un enfoque antropocéntrico (i.e. centrado en el sujeto), Rabardel (1995)

plantea que los instrumentos, por ser desarrollos de la historia social y cultural de la

humanidad, presentan una fuerte influencia en la actividad el sujeto. El punto de vista de

Rabardel (1995) retoma los aportes de Vigotsky (1985) sobre mediación, desarrollando lo que

él llama “mediación instrumental”, optando por una postura que contempla aspectos culturales

y técnicos para estudiar la relación entre las personas y tecnologías. Rabardel (1995) considera

que los seres humanos (su actividad y cultura) son fundamentales en el desarrollo de las

tecnologías; por tanto, señala que es importante desarrollar ideas teóricas (como la de

mediación instrumental) y metodológicas en diversos campos, más allá de sólo enfocarse en

los aspectos técnicos (de organización y funcionamiento) de las herramientas.

6.2.1. La mediación instrumental

Rabardel (1995) propone la idea de “mediación instrumental” como una noción teórica

capaz de explicar las complejas relaciones entre los seres humanos, las tecnologías y sus usos.

Al respecto, este autor considera la mediación instrumental como un concepto central para

pensar las modalidades por las cuales los instrumentos constituyen formas que posibilitan la

construcción del conocimiento.

El concepto de mediación instrumental (Rabardel, 1995) se fundamenta en las ideas de

Vigotsky (1985) sobre actividad, mediación y herramientas. Como resaltan Drijvers y


98

Gravemeijer (2005), un asunto central en el trabajo de Vigotsky es la idea que las herramientas

median entre la actividad humana y el ambiente. Las herramientas pueden ser artefactos

materiales (e.g. calculadoras o computadoras) o herramientas cognitivas (e.g. el lenguaje

natural o los símbolos algebraicos).

Posteriormente, Rabardel (1999) retoma teorías didácticas (e.g. la de contrato didáctico

de Brousseau 1986) y reconoce las posibilidades de las tecnologías digitales para la educación

matemática y opta por una mirada didáctica del papel que pueden jugar los instrumentos a

través de su mediación en el aprendizaje (y en la enseñanza).

Para ello, Rabardel (1999) pone el énfasis en el impacto de la mediación de los

instrumentos en la clase de matemáticas (ver Figura 6.1): Las principales mediaciones

instrumentales en el sistema didáctico se centran en las relaciones del instrumento con la

naturaleza transpuesta del saber matemático, con las acciones del profesor y con la actividad

matemática del estudiante.

De esta manera, la idea de mediación es un fundamento para el desarrollo de uno de

los elementos principales del enfoque instrumental: la génesis instrumental. Aspectos centrales

de esta idea se pondrán a consideración en el siguiente apartado.

Figura 6.1. Mediaciones instrumentales en el sistema didáctico (Rabardel, 1999. Nuestra

traducción.)

6.2.2. Las génesis instrumentales

La aproximación instrumental permite establecer una diferenciación fundamental entre

artefacto e instrumento (Trouche, 2003); así mismo, introduce la categoría de génesis

instrumental para dar cuenta del proceso de emergencia o “desarrollo” de un instrumento en el

sujeto.


99

Para Rabardel (1995), el artefacto se entiende como una herramienta material o

simbólica. Mientras que considera al instrumento como una entidad mixta construida y

apropiada por el sujeto. Así, un instrumento está compuesto por un artefacto (con sus

condiciones, restricciones, potencialidades y limitaciones), y sus respectivos esquemas de

utilización (entendidos como invariantes que forman parte de las competencias del usuario).

El artefacto es una herramienta provista por la cultura (i.e. un producto de la historia

social de la humanidad). Esta influencia cultural del artefacto hace que no sea posible

considerarlo como una entidad “neutra”; al contrario, el artefacto (dadas sus condiciones en

términos de restricciones) ejerce una fuerte influencia en la actividad del sujeto (el cual puede

usar, o no, el artefacto).

Estos dos aspectos se reflejan en la diferencia (y complementariedad) entre

instrumentación e instrumentalización, procesos centrales en el desarrollo de las génesis

instrumentales.

De acuerdo con Rabardel (1995), las génesis instrumentales dan cuenta de la

apropiación de un artefacto (por parte de un sujeto) y se construyen a partir de un proceso

doble, complementario y simultáneo de instrumentación e instrumentalización:

Los procesos de instrumentación son aquellos orientados hacia el sujeto. Por ejemplo,

la emergencia y evolución de esquemas de utilización; la asimilación y acomodación

dichos esquemas respecto a nuevos artefactos o situaciones, etc.

Los procesos de instrumentalización están dirigidos hacia el artefacto; corresponden a

la selección, agrupación, producción, modificación e institución de funciones, etc.

Trouche (2003, 2004) presenta una visión diagramática (que nosotros adaptamos en la

Figura 6.2) de la génesis instrumental de Rabardel, haciendo énfasis en que es un proceso que

se desarrolla a lo largo del tiempo y en situaciones o contextos específicos.

Aunque la génesis instrumental es considerada frecuentemente como un proceso

personal, Trouche (2004) enfatiza en que los esquemas de utilización también pueden

considerar aspectos colectivos (e.g. cuando un profesor comparte con sus estudiantes sus

modos de uso de un instrumento). Dichos aspectos colectivos de las génesis instrumentales

dependen, en buena medida, del uso didáctico que el profesor hace de los instrumentos que

integra a la clase (y las maneras en cómo lo hace).


100

Figura 6.2. Génesis instrumental (Adaptado de Trouche, 2003, 2004)

Esa preponderancia del uso didáctico que el profesor hace de los instrumentos en la

clase también es considerada por Rabardel (1999) cuando llama la atención sobre la

integración de artefactos a la clase: Rabardel explica que los artefactos no deben solamente ser

introducidos durante el proceso de enseñanza, sino que el profesor debe contemplar a priori

qué artefactos pueden llegar a desarrollarse colectivamente como instrumentos de actividad

matemática en la clase.

Consideraciones como las anteriores, han promovido el estudio de las génesis

instrumentales en Educación Matemática. En general, los investigadores se han centrado en el

rastreo de las huellas de los fenómenos de instrumentación e instrumentalización y su

vinculación con asuntos centrales de la teoría de situaciones didácticas de Brousseau (1986),

tales como el contrato didáctico. Este tipo de estudios tiene como asuntos de interés el análisis

de nuevos fenómenos didácticos relacionados con el uso de recursos digitales en la enseñanza

y el aprendizaje de las matemáticas.

En particular, algunas investigaciones (e.g. Artigue, 2002) se han centrado en cómo se

lleva a cabo la integración de instrumentos en las clases de matemáticas y los retos a los que se


101

enfrentan los docentes en dicho proceso (i.e. las dificultades de los profesores para realizar una

integración efectiva de los instrumentos).

Es a partir de las investigaciones que empezaron a ocuparse del estudio del trabajo del

profesor, combinado con la aproximación instrumental, que surge la Aproximación

Documental de la Didáctica (Guin & Trouche, 2002), la cual discutiremos a continuación.

6.3. EL ESTUDIO DEL TRABAJO DOCUMENTAL DEL PROFESOR

La Aproximación Documental de la Didáctica (ADD), propuesta por Pepin, Gueudet y

Trouche (2009), y discutida más recientemente en Trouche, Gueudet y Pepin (2018), estudia el

trabajo documental del profesor; es decir, analiza el conjunto de actividades profesionales que

realiza el profesor en interacción con recursos. De allí que, a través de la ADD, se investiguen

y lleven a cabo actividades tan diversas como: el diseño de recursos; la selección de recursos a

usar en la clase; la adaptación y/o re-diseño de recursos de terceros; la disposición y gestión

didáctica de los recursos, y la orquestación de la clase; el trabajo colaborativo entre docentes;

las reflexiones de los docentes sobre su práctica; etc.

Este trabajo documental, o “documentación” del profesor, se desarrolla en ámbitos

profesionales del profesor muy susceptibles a ser modificados por la organización del sistema

educativo, el currículo y la evaluación. La idea del trabajo documental también puede

representarse como la “valija o maleta” (o conjunto) de recursos, de usos y de conocimientos,

que desarrolla el profesor para sus clases:

La “valija documental” … se basa en una metáfora: el producir un documento de

enseñanza es como un viaje. Para prepararse para su viaje, el maestro reúne recursos,

los trabaja, los enriquece en cada etapa.

(Trouche, 2014, párrafo 2).

Según Trouche (2010), la ADD se fundamenta en las siguientes teorías didácticas:

La teoría de las situaciones didácticas, donde se destacan las ideas de situación y

medio (Brousseau, 1986).

La teoría antropológica de lo didáctico, donde se destaca la noción de institución y

praxeologías (Chevallard, 1992).

La teoría de los campos conceptuales, donde se destaca la noción de esquema

(Vergnaud, 1996).


102

Trouche (2010) también señala que el origen de la ADD se puede relacionar con dos

aspectos fundamentales:

Una conceptualización de recurso como cualquier cosa (material o simbólica) que

constituye, tomando las ideas de Adler (2000, citada en Trouche, 2010), un camino –un

“re-curso”— en la práctica del profesor, con la connotación de “volver a cursar”.

Los estudios sobre las interacciones entre el profesor y el currículo, como los

desarrollados por Remillard (2005, citada en Trouche, 2010) en los que se resalta el

papel del contexto (e.g. estructura del sistema educativo, políticas educativas,

necesidades educativas de los estudiantes) y el de los libros de texto (y sus diferentes

usos) en la práctica de los profesores.

Para continuar profundizando sobre las ideas centrales de la ADD, a continuación

presentaremos algunos de sus conceptos e ideas fundamentales que utilizaremos el desarrollo

de nuestro marco teórico, tales como los de: “documento”; génesis documental, sistema de

recursos; y sistema documental.

6.3.1. Conceptualizando algunas ideas clave de la ADD

Como habíamos señalado anteriormente (en la sección 2.2.2), entendemos por recurso,

todo aquello que los profesores usan en su trabajo (como señalan Gueudet & Trouche, 2009).

Por ejemplo, en la ADD, consideramos recursos a: los lineamientos y orientaciones

curriculares; materiales, software y tecnologías que se usen en el aula o para la enseñanza y

aprendizaje; hojas de trabajo o de talleres; planeaciones de clase y cuadernos de anotaciones

de los docentes; discusiones con colegas; etc. La naturaleza material y/o simbólica de los

recursos hace que su diversidad sea amplia; y su “orquestación”, un proceso muy complejo.

El concepto de orquestación (Trouche, Gueudet & Pepin, 2018) hace uso de la

analogía del profesor como director de orquesta, y, se refiere a la implementación de una

configuración didáctica en la clase, lo cual incluye la disposición, organización y manejo

didáctico que el profesor hace de los artefactos. Este concepto lo discutiremos con mayor

profundidad en el siguiente apartado.

Otro concepto clave en la ADD, es el de documento, el cual resulta de la interacción

del profesor con los recursos, a través de su trabajo documental (Gueudet & Trouche, 2011).


103

Se considera que un documento es aquello que da sentido al uso de recursos por parte de los

profesores (i.e. planes de clase, notas de campo, reflexiones de los profesores, etc.).

De manera análoga a cómo se define “instrumento” en la génesis instrumental de

Rabardel (1995) (ver sección 4.2.1), Gueudet y Trouche (2009) consideran que un documento

lo construye el profesor (es decir, no es algo que se le proporcione) a través de un proceso de

génesis documental (ver siguiente sección) y está constituido por uno o varios recursos junto

con sus respectivos esquemas de utilización. Estos esquemas de utilización surgen cuando el

profesor usa los recursos y pone en práctica sus conocimientos profesionales involucrados. Al

respecto Gueudet y Trouche (2011) señalan que los esquemas de utilización son estructuras

cognitivas que orientan el uso de los recursos.

Otro concepto fundamental en la ADD (Gueudet & Trouche, 2009) es el de sistema.

Retomando ideas de Rabardel y Bourmaud (2005), Gueudet y Trouche (2009) sostienen que

los documentos desarrollados por los profesores en su actividad profesional constituyen un

sistema. En esta perspectiva, se consideran dos sistemas fundamentales en el trabajo de los

profesores: sus sistemas de recursos y sus sistemas documentales.

El sistema de recursos (Gueudet & Trouche, 2009, 2010) corresponde al conjunto

(más o menos organizado) de recursos que el profesor usa para realizar su realizar su trabajo;

es un sistema dinámico que evoluciona (y se modifica) a lo largo del tiempo y está

estrechamente vinculado al sistema de conocimientos profesionales o experiencia documental

(Wang, 2018) del profesor. El sistema de recursos de un profesor generalmente está

organizado según jerarquías que el mismo profesor elabora (e.g. recursos para enseñar temas

específicos o recursos para preparar la clase).

El sistema documental de un profesor está conformado por su sistema de recursos

junto con sus respectivos esquemas de utilización (Gueudet & Trouche, 2009). Así pues, los

documentos elaborados por el profesor en su práctica, mediante procesos de génesis

documental –ver sección 4.2.3— se desarrollan según las particularidades de su actividad

profesional, en situaciones y contextos institucionales específicos (Trouche, 2018).

6.3.2. Las génesis documentales

Pepin, Gueudet y Trouche (2013) introducen una relación dialéctica entre recursos y

documentos a través de un proceso de génesis documental, entendida como el proceso


104

(extenso y continuo a lo largo del tiempo) de constitución de un documento a partir de los

recursos disponibles (ver Figura 6.3).

Estos autores precisan que las génesis documentales proporcionan un documento para

enseñar, el cual evoluciona en la medida en que se refinan los conocimientos profesionales de

los profesores y que posteriormente influyen en génesis adicionales. De esta manera, como se

ve en la Figura 6.3, en una génesis documental, existe una interacción continua entre los

conocimientos del profesor y el uso que hace (y su apropiación) de los recursos, definiéndose

dos procesos de instrumentación y la instrumentalización, análogos a, y basados en, los de la

génesis instrumental de Rabardel (1995). Al respecto, Trouche, Gueudet y Pepin (2018)

precisan que, en la génesis documental:

Los procesos de instrumentación son aquellos orientados hacia el maestro; y dan

cuenta de la emergencia y evolución de sus esquemas de utilización sobre los recursos.

Los procesos de instrumentalización están dirigidos hacia el recurso (a manera de

artefacto) y corresponden a la selección, modificaciones y adaptaciones que el profesor

hace del recurso para ser usado.

Figura 6.3. Génesis documentales (Adaptado de Gueudet & Trouche, 2009, p. 206 . Nuestra

traducción.)

En la aproximación documental, las génesis se desarrollan a través de diferentes

contextos para el mismo objetivo; ellas son procesos en curso: un documento en particular

produce recursos que pueden estar comprometidos en un trabajo de documentación adicional.


105

Así, los profesores (de manera individual o colectiva) pueden desarrollar sistemas de recursos,

así como sistemas de documentación.

En este orden de ideas, se destaca la importancia de estudiar los procesos de

documentación tanto individual como colectiva. En relación a este aspecto colectivo, Gueudet

y Trouche (2010) enfatizan la importancia de considerar la labor colectiva de los profesores y

su interacción con conjuntos de recursos. Precisamente, uno de los méritos que se reconocen al

trabajo de Gueudet y Trouche (2010), es que abordan de manera fundamentada el asunto del

“uso colaborativo” de los recursos.

De esta manera, las génesis documentales individuales se complementan con las

génesis colectivas en comunidades de práctica. Esto tiene, por tanto, consecuencias para el

desarrollo profesional de los docentes. Más aún, ciertas condiciones de colaboración pueden

permitir que los profesores, como parte de su trabajo documental, se conviertan en diseñadores

activos de propuestas de enseñanza. De hecho, Gueudet y Trouche (2010) proponen adoptar

una perspectiva que considere que los profesores no son usuarios pasivos, sino “usuarios

creativos” – i.e. diseñadores– que comparten sus propios recursos.

Otro aspecto del trabajo documental (y que también influye en las génesis

documentales) es el ya señalado anteriormente de “orquestación” de la clase, y de los recursos

dentro de ésta. De esto hablamos a continuación.

6.3.3. La orquestación de la clase

El concepto de orquestación ha ido evolucionando a lo largo del tiempo. Como señala

Trouche (2018), existen dos grandes momentos para entender (complementariamente) el

concepto de orquestación. En Trouche (2002), la orquestación se refería a la organización,

disposición y uso didáctico de los artefactos en la clase, con el propósito de acompañar las

génesis instrumentales de los estudiantes. Trouche (2018) señala que, posteriormente, el

concepto de orquestación se enriqueció con los aportes de Drijvers (2010) quien considera el

papel activo del profesor y de los estudiantes en la clase, e introduce la idea de didactical

performance (o desempeño didáctico) para explicar las distintas modificaciones, ajustes y

cambios a las configuraciones didácticas, que se hacen en respuesta a los sucesos de la clase.

En todo caso, el concepto de orquestación siempre se entiende relacionado con la

gestión didáctica del profesor de los elementos de su clase: sus participantes, los recursos


106

dispuestos y el tipo de situación que se le propone a los estudiantes. Como señala Trouche

(2002), para la orquestación, hay cuatro elementos fundamentales:

Un conjunto de individuos: generalmente un profesor (o un equipo de profesores) y

un grupo de estudiantes.

Un conjunto de objetivos: los cuales se relacionan con la intencionalidad de la clase,

el tipo de tareas a desarrollar y las condiciones bajo las cuales se desarrolla el trabajo.

Dichos objetivos se encuentran generalmente orientados por las necesidades

curriculares.

Una configuración didáctica: esta categoría engloba la estructura general del

dispositivo. Es una configuración flexible de acuerdo con el diseño de las secuencias

didácticas que se pretenden movilizar en el contexto de la clase.

Un conjunto de modos de aprovechamiento de dicha configuración: éstos

incluyen lo señalado por Chevallard (1992, citado en Trouche, 2002), de una

coordinación entre los recursos físicos (e.g. el hardware), los recursos didácticos (e.g.

software didáctico) y un sistema de aprovechamiento didáctico.

De esta manera, a través de la orquestación se pueden orientar los objetivos, la

organización y la disposición de los artefactos. Trouche (2004) considera especialmente el

papel de los artefactos en la orquestación; señalando que la orquestación es más que una suma

de artefactos en la clase, dado que la introducción didáctica de artefactos promueve el

desarrollo de nuevos instrumentos, y, por tanto, impacta la configuración didáctica propuesta,

el trabajo del profesor y el de los estudiantes.

Drijvers y otros (2010) también resaltan que una intención explícita de la orquestación

es la de propiciar la emergencia de instrumentos (a través de génesis instrumentales) que

medien la actividad matemática de los estudiantes. Por su parte, Rabardel (1999) señala que

para promover las génesis instrumentales en la clase es importante tener en cuenta dos

aspectos fundamentales: por un lado, los tiempos de construcción de conocimientos

matemáticos; y, por otro, los tiempos de evolución de las génesis instrumentales individuales y

colectivas de los estudiantes (Rabardel, 1999).

De hecho, Trouche (2004) considera que, mediante la orquestación, se movilizan en la

clase, no solo aspectos individuales, sino también aspectos de carácter social y colectivo, que


107

influyen de manera directa en los procesos de génesis instrumental de los estudiantes. Es por

lo anterior que Drijvers y otros (2010) consideran necesario profundizar en el análisis de tres

elementos de la orquestación: la configuración didáctica, los modos de explotación y el

desempeño didáctico (didactical performance). Como resultado, esos autores identificaron que

existe un repertorio de orquestaciones instrumentales: unas centradas en los estudiantes y otras

centradas en el profesor.

De acuerdo a las anteriores consideraciones, Trouche (2002), considera que el

concepto de orquestación constituye una herramienta teórica importante para investigar el

trabajo de los profesores, particularmente, las maneras cómo éstos organizan y disponen la

clase, incluyendo su trabajo con recursos variados.

De igual manera, muchas investigaciones actuales se basan en la Aproximación

Documental de la Didáctica para estudiar el trabajo documental de los profesores, y cómo

éstos interactúan con los recursos. En el siguiente apartado presentamos algunas de las líneas

de investigación que se han desarrollado usando la ADD.

6.3.4. Líneas de investigaciones usando la ADD

A partir de una revisión desarrollada por Gueudet y Trouche (2010), estos autores

identificaron una variedad de perspectivas de las investigaciones que usan ADD, las cuales

son:

El seguimiento de las génesis documentales de los profesores, para entender su

práctica y desarrollo profesional.

El estudio del papel de los colectivos (e.g. escuelas, asociaciones y/o comunidades de

práctica de profesores, etc.) en el desarrollo de las génesis documentales de los

profesores.

El análisis de las circunstancias bajo las cuales los profesores pueden ser diseñadores

de recursos, o participar en procesos de concepción colaborativa de recursos.

El estudio de los recursos en términos de: su contenido matemático y pedagógico; su

diseño; y cómo son organizados y orquestados esos recursos por los profesores.

El análisis del impacto del uso de recursos sobre el aprendizaje de los estudiantes.


108

En términos generales, Gueudet y Trouche (2010) concluyen que las investigaciones

que usan la ADD proporcionan miradas diferentes para analizar las interacciones entre los

profesores y los recursos, y las implicaciones de estas interacciones para el desarrollo

profesional de los profesores.

En relación a investigaciones en torno a la integración en la enseñanza y aprendizaje de

las matemáticas de recursos digitales, en particular, Bueno-Ravel y Gueudet (2008) señalan

que muchas de ellas se han ocupado de asuntos como:

La emergencia de nuevos recursos: e.g. los recursos digitales y en línea.

El uso que hacen los profesores de los recursos digitales.

Los fenómenos colectivos de génesis, usos y concepción de recursos digitales para la

enseñanza de las matemáticas.

Respecto a los recursos en línea, Bueno-Ravel y Gueudet (2008) señalan que, debido a

que la producción de dichos recursos se expande mundialmente, es importante reconocer,

comprender y anticipar las diferencias y vínculos de éstos recursos con los que se usan

habitualmente en la escuela. Sus investigaciones han priorizado el estudio de las bases de

datos o repositorios de recursos en línea, las calculadoras gráficas y los tableros digitales. Este

tipo de investigaciones proponen que la acción didáctica sea en términos del diseño y

concepción de nuevos recursos y la evaluación de los recursos existentes.

En todo caso, consideramos que las líneas de investigación que presentamos

anteriormente, convergen en la idea (que ya habíamos abordado previamente en el Capítulo 3)

de que la proliferación de recursos digitales en la era digital implica cambios en el trabajo

documental de los profesores en relación al uso de recursos. Lo anterior, requiere que, de

alguna manera, el profesor ponga en juego distintos conocimientos profesionales según su

contexto de enseñanza, tal como señalamos anteriormente en el capítulo anterior.

Por tanto consideramos importante relacionar las ideas de la ADD con las teorías y

modelos de conocimientos de los profesores, en particular con algunas ideas del modelo de los

Espacios de Trabajo Matemático (ETM) de Kuzniak y Richard (2014) y que revisamos en la

sección 4.2. A continuación presentamos una reflexión sobre esto último, intentando

identificar posibles complementariedades y conexiones teóricas entre ideas del modelo de los

ETM (particularmente la de paradigmas geométricos) con ideas de la ADD.


109

6.4. HACIA UNA ARTICULACIÓN, PARA NUESTRO ESTUDIO, ENTRE ADD Y ETM

Nos interesa realizar una articulación, para nuestro estudio, entre la Aproximación

Documental de la Didáctica (ADD) y los Espacios de Trabajo Matemático (ETM): En

particular, queremos articular los aspectos epistemológicos sobre la geometría escolar y su

enseñanza (que resalta el modelo de los ETM), en el análisis de las génesis documentales de

los profesores (particularmente, respecto a los esquemas que los profesores movilizan mientras

seleccionan recursos digitales para enseñar geometría en sus clases de primaria). Para dicha

articulación, también identificamos ideas teóricas que se intersectan entre ambos marcos

teóricos o que son complementarias.

Un primer aspecto interesante es que, tanto ETM, como ADD, se basan en algunas

ideas de la “didáctica fundamental” de Brousseau (1986). Aunque esta fundamentación no es

igual en cada marco teórico28, esta conexión nos interesa en nuestro estudio porque nos

permite conectar dos elementos en nuestro análisis: el papel de los aspectos epistémicos (en el

sentido de Brousseau, 1986) con el trabajo documental del profesor, en particular, en la

selección de recursos digitales para la enseñanza de la geometría.

Otro aspecto compartido entre ambos marcos teóricos es que toman en cuenta, de

manera explícita, el papel de los instrumentos para lo cual cada uno retoma el trabajo de

Rabardel (1995). Gueudet y Trouche (2009) explican que usan las ideas de artefacto,

instrumento y génesis instrumental para fundamentar, a manera de analogía sus

conceptualizaciones sobre recurso, documento y génesis documental. En el modelo de los

ETM, Kuzniak y Richard (2014) consideran que también a las génesis instrumentales,

considerando que es a través de éstas que se pueden hacer operatorios los artefactos en

procesos como la construcción (geométrica).

Un tercer aspecto compartido entre ADD y ETM, es la idea de trabajo, entendido éste

como un conjunto de actividades orientadas a un propósito (Nardi, 1966):

En el caso de la ADD, el concepto de trabajo se explicita en la noción de “trabajo

documental del profesor”, la cual Trouche, Gueudet y Pepin (2018) definen como las

28 Por un lado, en ETM se retoman ideas de Brousseau (1986) sobre el papel de las consideraciones

epistemológicas (respecto a la naturaleza del saber a enseñar) en los estudios didácticos; por otro lado,

en la ADD, se retoman conceptos más puntuales de Brousseau (1986), como el de situación o milieu

para estudiar aspectos del trabajo documental de profesor.


110

múltiples y variadas interacciones del profesor con los recursos. Para estos autores, el

trabajo documental del profesor se desarrolla a partir de las génesis documentales de

éste. Para analizar el desarrollo de las génesis documentales, Gueudet y Trouche (2009)

retoman el concepto de esquema de Vergnaud (1990).

En el caso de ETG/ETM, la noción de trabajo, propuesta por Houdement y Kuzniak

(2006), contempla objetos (empíricos y teóricos), instrumentos, y finalidades. Así, las

finalidades (didácticas) del trabajo del profesor están definidas por la elección del

paradigma geométrico que le sirve de marco referencial teórico (ETM de referencia).

Estas ideas de Houdement y Kuzniak (2006) sobre “trabajo” se acercan al concepto de

“trabajo documental del profesor”, ya que contemplan los instrumentos como recursos

para el profesor, cuyo uso se hace con intenciones explícitas en un contexto

determinado.

De todo lo anterior, la articulación entre esquema y paradigma, es de los aspectos más

importantes para nosotros; de allí surge una hipótesis de trabajo para nuestra investigación

(ver sección 8.1): consideramos que el modelo de ETM de Kuzniak (2011) puede aportar

elementos epistemológicos, sobre la geometría escolar, útiles para el análisis del proceso de

selección de recursos por los profesores. Más específicamente, consideramos que es posible

utilizar la idea de “paradigma” del modelo ETM, para analizar las invariantes operatorias

contenidas en los posibles esquemas (ver sección 6.1) de selección de recursos digitales por

parte de los profesores para su clase geometría.

Es por lo anterior que, en nuestro trabajo, nosotros retomamos el modelo de los

Espacios de Trabajo Matemático (ETM) que propone Kuzniak (2011) como una ventana a la

comprensión del trabajo documental del profesor en su selección de recursos para la

enseñanza de la geometría.

Además de los aspectos epistemológicos que abordamos en esta sección, hay otros

elementos del trabajo documental del profesor que nos interesa discutir, entre ellos, la

reflexión del profesor. En el siguiente capítulo presentamos algunas ideas teóricas respecto a

la reflexión del profesor que nos fueron útiles para nuestra investigación, como se verá en la

Parte III de Aspectos Metodológicos.

111

7. LA REFLEXIÓN DEL PROFESOR

En este capítulo nos interesa discutir algunas ideas sobre la reflexión del profesor, la

cual es un elemento importante para estudiar el trabajo documental de éste. De hecho, como se

verá en secciones posteriores de este escrito (e.g. ver capítulo 9 en la Parte III de Aspectos

Metodológicos), en nuestro estudio desarrollamos y utilizamos una técnica de introspección

para la cual utilizamos conceptos, que discutimos ahora, relacionados con la reflexión del

profesor.

La reflexión del profesor es un elemento que le permite a éste orientar, adaptar y

enriquecer su interacción con los recursos que usa. Gueudet y Trouche (2012) explican que

fomentar la “mirada retrospectiva” del profesor es una de las características de la

“investigación reflexiva”, la cual se ocupa explícitamente del estudio de las interacciones entre

los profesores y los recursos que usan.

Antes que nada, queremos puntualizar que la mayor parte de la literatura sobre la

reflexión del profesor se concibe para la formación y desarrollo profesional de los profesores;

sin embargo, en nuestra investigación no estamos interesados en formar a los profesores, sino

en estudiar su práctica. Aún así, dicha literatura es útil para analizar el pensamiento reflexivo

del profesor como una expresión de sus conocimientos profesionales.

Consideramos que el desarrollo del pensamiento reflexivo (en el sujeto) es un tema

importante a discutir, previo a presentar algunas ideas teóricas sobre la reflexión del profesor.

A continuación, revisamos algunas ideas sobre la importancia del pensamiento reflexivo en el

desarrollo del individuo.

7.1. EL PROCESO DE REFLEXIÓN EN EL INDIVIDUO

La reflexión constituye una de las maneras en que construimos conocimientos. Freire

(1966/1997) considera que las personas se desarrollan plenamente a través de las palabras, el

CAP. 7. LA REFLEXIÓN DEL PROFESOR

112

diálogo y la reflexión; y es justamente el diálogo el que posibilita un encuentro entre las

personas para transformarse a sí mismas y transformar sus realidades.

Distintos autores han abordado el tema de la reflexión desde una perspectiva cognitiva.

Dewey (1910/1989) se preguntaba por las maneras cómo pensamos los sujetos y acerca del

papel de la reflexión en esos procesos de pensamiento; por su parte, Piaget (1975/1985)

indagaba sobre el desarrollo de la inteligencia, y para esto propuso el concepto de “abstracción

reflexiva” como un elemento central en el aprendizaje.

Dewey (1910/1989) planteaba que el pensamiento reflexivo es una de las funciones

principales de la inteligencia y un producto muy refinado de la cognición. Coincidimos con

Dewey en que el pensamiento reflexivo permite que los sujetos reconsideren sus ideas previas

dándole “vueltas en su cabeza y tomárselo en serio con todas sus consecuencias” (Dewey,

1989; p. 21) .

Una de las características del pensamiento reflexivo de Dewey (1910/1989) es su base

en la premisa de que el individuo busca entender los fenómenos a través de la búsqueda de

relaciones cada vez más agudas y precisas.

Esta idea se acerca a los planteamientos de Piaget (1975/1985) quien estudió la

cognición tomando en cuenta la idea de abstracción reflexiva o reflexiblidad. Con una mirada

desde la psicología del desarrollo (y el aprendizaje), Piaget (1975/1985) propuso que la

reflexibilidad consiste en la capacidad de la persona para construir conocimiento a partir de

comprender y hacer inferencias respecto a las relaciones entre los objetos.

De esta manera, podemos entender que la abstracción reflexiva se presenta como una

actividad cognitiva compleja que posibilita la construcción coordinada (muchas veces

consciente) mediante la cual se integran nuevos conocimientos a los ya construidos (Piaget,

1975/1985). Así, la abstracción reflexiva no se basa en acciones simples, sino en acciones

coordinadas que implica el conocimiento de las acciones mismas y sus relaciones con otras

acciones o con sus consecuencias.

En la siguiente sección abordamos la reflexión del profesor y la idea de reflexión-en-

la-acción propuesta por Schön (1992).

CAP. 7 LA REFLEXIÓN DEL PROFESOR

113

7.2. LA REFLEXIÓN DEL PROFESOR

7.2.1. El pensamiento reflexivo según Dewey

Dewey (1910/1989) sostenía que la reflexión constituye una fuerza transformadora de

la sociedad (y de la educación), asumiendo los profesores como profesionales reflexivos

capaces de analizar su práctica y aprender de ella.

Según este autor, el pensamiento reflexivo requiere desarrollarse a partir de dos

elementos fundamentales: un estado de duda (análisis de la realidad) y un estado de búsqueda

(investigación) que conlleva a que el sujeto desarrolle una postura reflexiva (idea

posteriormente refinada por Perrenoud, 2004). Para el desarrollo del pensamiento reflexivo,

Dewey (1910/1989) señaló ciertas actitudes profesionales que propician la reflexión.

Las actitudes profesionales que Dewey (1910/1989) propuso para propiciar la reflexión

en el profesorado son las siguientes tres:

Apertura intelectual, o dicho coloquialmente “mantener una menta abierta”. Implica

que el profesor sea capaz de escuchar a otras personas (colegas, estudiantes, padres de

familia) y comprender las situaciones desde distintas perspectivas.

Responsabilidad intelectual. Se refiere al principio de que el profesor, como actor

social, debe considerar las consecuencias de sus acciones (en el aula, en su escuela o

comunidad). También es un llamado a reconocer los efectos sociales y políticos de sus

actuaciones y las de las instituciones o grupos a los cuales pertenece. Perrenoud (2004)

se refiere a esto bajo la idea de implicaciones críticas de la práctica reflexiva.

Entusiasmo. Se refiere a la capacidad de prestar atención a posibles alternativas que

permitan transformar las realidades de la escuela: Ser consciente de que mantener una

apertura y responsabilidad intelectual son elementos intrínsecos de la profesión docente.

Dewey (1910/1989) también reconoció que en la reflexión del profesor hay un aspecto

social, aludiendo a la influencia de “tradiciones” (costumbres y los métodos usualmente

utilizados) en la escuela y en la práctica de la enseñanza. Es decir, el contexto social e

institucional en el que se desenvuelve el profesor afecta su práctica y, por ende, también

influencia su reflexión.


114

7.2.2. Influencia del contexto en la práctica del profesor y en su reflexión

Según Freire (1966/1997), la educación es una práctica social que se desarrolla en

escenarios institucionales específicos, por tanto, está condicionada por el medio social y las

historias personales de quienes hacen parte de ella.

Otros autores, también se han interesado en la influencia del contexto institucional en

la enseñanza, particularmente, en la enseñanza de las matemáticas. Chevallard (1994), y

posteriores investigadores (e.g. Bosch & Gascón, 2004), definen la dimensión institucional

como el conjunto de condiciones y restricciones que determinan el trabajo del profesor.

Chevallard (1994) señala que esta “dimensión institucional” en la cual el profesor desarrolla

su trabajo puede llevar a condicionar y potenciar su práctica.

Y como señaló Dewey, las condiciones sociales tienen injerencia y validan el

pensamiento y acciones del profesor (Dewey, 1910/1989), por lo que el contexto social

enmarca la reflexión. Por otro lado, Freire (1966/1977) señala que la reflexión del profesor se

desarrolla en contextos culturales, sociales e institucionales específicos, dependiendo de los

grupos colectivos en los que cada profesor participa. Así, tanto Dewey (1910/1989) como

Freire (1966/1997) señalan las implicaciones del contexto social para el desarrollo de su

pensamiento reflexivo; y el papel de la situación específica del profesor para comprender su

práctica y su reflexión. Estos son aspectos que consideramos importantes para nuestro estudio,

tal como se verá en la sección 7.5.

Una vez reconocida la naturaleza situada (cultural, social e institucional) de la

reflexión, continuamos profundizando en los conceptos de reflexión del profesor y

pensamiento reflexivo; para ello retomamos, en particular, algunas ideas de Schön (1992) –

quien también considera que las condiciones sociales determinan la reflexión del profesor y

sus posibilidades de desarrollar pensamiento reflexivo— y quien propone el modelo de

reflexión-en-la-acción que presentamos a continuación.

7.2.3. La reflexión en-la-acción

Schön (1992) plantea su modelo de reflexión-en-la-acción partiendo de la idea de que

la reflexión depende de la situación particular de cada profesor.


115

Para el desarrollo de su modelo, Schön (1992) distingue la reflexión del pensamiento

reflexivo, considerando la reflexión como un producto refinado del intelecto, y el pensamiento

reflexivo del profesor como el proceso mediante el cual los profesores transforman su práctica.

Así pues, Schön (1992) define la reflexión como la capacidad (i.e. competencia) del profesor

para analizar su práctica y modificarla dependiendo de la situación. Este autor señala que los

profesores competentes son aquellos que son capaces de aprender de su práctica a través de un

proceso sistemático de reflexión. La competencia en la práctica se relaciona directamente con

el conocimiento profesional (académico y práctico) y su habilidad para aprender mientras

desarrollan su trabajo. Para Schön (1992) la reflexión es una forma de conocimiento que

orienta la acción del profesor, fundamentada ésta en el análisis, donde el conocimiento teórico

(académico) es un instrumento para la misma reflexión. Por otro lado, Schön (1992) define el

pensamiento reflexivo del profesor como el proceso mediante el cual los profesores son

capaces de transformarse a sí mismos, mediante el diálogo de saberes y el trabajo

colaborativo.

Así, para este autor, el profesor que desarrolla su pensamiento reflexivo se denomina

“profesor reflexivo”, y es aquel capaz de desarrollar “pensamiento en la práctica” que le

permite enfrentarse a problemas de naturaleza práctica en medios complejos.

Para dar cuenta del pensamiento en la práctica, Schön (1992) plantea su modelo de

reflexión-en-la-acción mediante el cual se desarrolla la competencia del profesor para

manejar la complejidad del salón de clases y enfrentarse a sus diversas problemáticas. El

proceso de la reflexión-en-la-acción se considera útil para que el profesor aprenda a identificar

problemáticas y buscar estrategias y soluciones. Schön (1992) propone tres niveles de

reflexión para desarrollar pensamiento en la práctica:

Primer nivel: Conocimiento-en-la-acción.

Segundo nivel: La reflexión-en-la-acción y durante la acción.

Tercer nivel: La reflexión-sobre-la-acción, y reflexión sobre la reflexión-en-la-

acción.

El conocimiento-en-la-acción es el componente de primer nivel encargado de la

dirección de la acción o saber hacer. Se trata de un conocimiento tácito (presente y evidente)

que se va desarrollando a lo largo de la experiencia y que involucra saberes teóricos, prácticos


116

(de la experiencia), prejuicios, vivencias personales, inseguridades, miedos y valores. En

resumen, en el conocimiento-en-la-acción se distinguen dos tipos de conocimiento:

El conocimiento teórico, académico o proposicional; y

el conocimiento-en-la-acción desarrollado en la práctica profesional, el cual aparece

en forma de estrategias utilizadas, en la manera de definir las situaciones y en la

comprensión que se tenga de las mismas.

La reflexión-en-la-acción y durante la acción (i.e., que ocurre durante la acción)

corresponde a un conocimiento de segundo nivel, que viene marcado por la inmediatez del

momento y la captación in situ de las variables y matices de la situación. Se trata del

pensamiento producido, por la persona, sobre lo que hace (y cómo lo hace).

La reflexión-en-la-acción, aunque consciente, carece de sistematicidad y

distanciamiento del profesor respecto a sus acciones, para un análisis de la práctica; sin

embargo, permite que el profesor reoriente su acción y responda a planteamientos no

considerados previamente. Una de las cualidades de la reflexión-en-la-acción es que cuestiona

al conocimiento-en-acción (de primer nivel) y conduce a la experimentación sobre la práctica.

La reflexión-sobre-la-acción, y la reflexión sobre la reflexión-en-la-acción,

corresponden al conocimiento de tercer nivel, el cual implica un análisis a posteriori sobre las

características de la acción y constituye un proceso esencial en su desarrollo profesional.

Estos niveles de reflexión propuestos por Schön (1992) son considerados por otros

autores, como Parada Pluvinage y Sacristán (2013), quienes proponen un modelo para ayudar

a los profesores a reflexionar sobre la actividad matemática que promueven en sus clases. Para

esto, Parada Pluvinage y Sacristán (2013) plantean la existencia de tres momentos decisivos en

la reflexión del profesor:

La reflexión previa a la enseñanza: la cual incluye aspectos de la planificación de la

enseñanza que comprende la definición de los propósitos de enseñanza, el diseño (o

adaptación de las tareas) los recursos a considerar y las orquestaciones instrumentales a

poner en acto.

Reflexión-en-la-acción: la cual se establece en acto, y se refiere a la forma en cómo

el profesor toma decisiones, conduce el aprendizaje y la capacidad de responder a

situaciones inesperadas de la clase.


117

Reflexión retrospectiva: se trata del análisis e interpretación de la experiencia y que

puede dar lugar a realizar modificaciones en los propósitos de enseñanza, el diseño (o

adaptación de las tareas) y de los recursos considerados.

Las ideas de Parada Pluvinage y Sacristán (2013) son útiles para nuestro trabajo

porque nos brindan algunas pistas que tenemos en cuenta para el diseño metodológico de

nuestra investigación (ver Capítulo 7).

En conclusión, la reflexión del profesor constituye un elemento importante de su

práctica, particularmente, en su trabajo documental; implica que el profesor ponga en juego

sus conocimientos profesionales, los cuales pueden ser de distinta naturaleza. Nosotros

retomamos aspectos relacionados con las ideas anteriormente expuestas para el desarrollo de

nuestra técnica de introspección (que se presenta en el capítulo 9) partiendo de esa premisa de

que los profesores pueden tener una postura crítica hacia su práctica. En esa perspectiva, como

veremos más adelante, nosotros intentamos promover el pensamiento reflexivo sobre el

trabajo documental del profesor (el cual incluye la preparación de clases, el registro de su

trabajo en un diario de campo, discusiones con colegas, producción de reportes, difusión de

sus experiencias, etc.).


118

119

PARTE III: ASPECTOS METODOLÓGICOS Y

DISEÑO DEL ESTUDIO

120

8. METODOLOGÍA GENERAL DEL ESTUDIO

En esta sección se presentan las características metodológicas del estudio y el diseño

de la investigación; esto incluye, las fases de la investigación, los criterios de selección de los

participantes, así como los instrumentos de recolección de la información.

Recordamos que este estudio se ocupa de analizar el proceso de selección, de recursos

digitales, principalmente, que hacen profesores de primaria para enseñar geometría en

Colombia. Para ello, retomamos algunos elementos teóricos de la Aproximación Documental

de la Didáctica (ADD) de Gueudet y Trouche, (2009), tales como los de sistema de recursos

y de esquema (Vergnaud, 1990). Por otro lado, también tenemos en cuenta la idea de

paradigma que propone Kuzniak (2011) en el marco de los Espacios de Trabajo Matemático

(ETM).

Nuestro análisis hizo el seguimiento al trabajo documental de varios profesores de

primaria, y usa la metodología de la investigación reflexiva, que proponen Gueudet y

Trouche (2012), para analizar el proceso de selección de recursos. Más específicamente, para

comprender las acciones de los profesores y los conocimientos profesionales que se movilizan

en su selección de recursos, diseñamos y desarrollamos una técnica de introspección (ver

sección 7.5) que estimula la reflexión del profesor y nos permitió recabar los datos para

nuestro análisis. A través de dicha metodología, pudimos inferir los esquemas de los

profesores cuando seleccionan recursos (digitales y no digitales) para su enseñanza de la

geometría.

8.1. HIPÓTESIS DEL TRABAJO

La primera de nuestras hipótesis de trabajo es que es posible inferir los esquemas de

los profesores para enfrentarse a la situación de seleccionar recursos (digitales) para sus clases

de geometría en primaria. Pensamos que el diálogo teórico entre el concepto de esquema

CAP. 8. METODOLOGÍA GENERAL DEL ESTUDIO

121

(Vergnaud, 1998), y el de paradigma de Kuzniak (2011), nos permite profundizar en el

análisis de cómo se ponen en juego los conocimientos profesionales del profesor en la

selección y uso de recursos. De manera particular, consideramos que el análisis de los

esquemas del profesor (e.g. esquema para selección de recursos) está vinculado con la idea de

paradigma geométrico en la cual el profesor se desenvuelva para una clase específica.

Así, otra hipótesis es que las invariantes operatorias incluidas en el esquema de un

profesor para seleccionar de recursos (respecto a un tema específico) están vinculadas con el

(o los) paradigma(s) que orientan su práctica.

8.2. DISEÑO GENERAL DE LA INVESTIGACIÓN

El diseño metodológico de esta investigación es predominantemente exploratorio,

descriptivo y cualitativo. Utiliza estudios de caso (Stake, 2000), en los que se siguen aspectos

de la investigación reflexiva (Gueudet & Trouche, 2012). Así pues, en nuestro estudio nos

enfocamos en la particularidad de cada profesor participante, tomando en cuenta, en sus

respectivos estudios de caso, los antecedentes y contexto en los que el profesor trabaja.

Según Gueudet y Trouche (2012) la investigación reflexiva incluye varias estrategias

(o técnicas) para la recolección de datos como: hacer un seguimiento a largo plazo de la

práctica del profesor; llevar a cabo un análisis de la colección de recursos que el profesor usa;

promover la mirada retrospectiva del profesor, por ejemplo, a través de la producción de

mapas o diagramas en los que el profesor representa su sistema de recursos (parte de lo que

llamamos nuestra técnica de introspección –ver sección 7.5).

Así pues, en nuestra investigación utilizamos todas esas estrategias, realizando un

seguimiento de largo plazo, de entre dos años y tres meses, de cada uno de los profesores

participantes.

Como puede verse en la Figura 8.1, el diseño metodológico del estudio se fundamenta

en cuatro elementos, principalmente:

El problema y objetivos de investigación que orientan el desarrollo de la

investigación hacia la selección de recursos digitales por parte de profesores de primaria

para enseñar geometría.

CAP. 8 METODOLOGÍA GENERAL DEL ESTUDIO

122

Las “unidades de análisis”, es decir los conceptos provenientes del marco teórico, que

nos permiten identificar patrones y características en los datos y realizar el análisis de

los mismos mediante un proceso de categorización. Algunas de nuestras principales

unidades de análisis fueron los conceptos de: recurso, documento y esquema.

Realización de estudios de casos divididos en dos fases: Primera (piloto) y Segunda

(principal).

Categorías (y sub-categorías) que surgen a partir de los datos y su análisis.

Figura 8.1. Diseño metodológico general de la investigación

El trabajo de campo de la investigación se dividió en dos grandes fases:

Primera Fase: esta fase, que nos sirvió de fase piloto, consistió de dos etapas:

Etapa uno: Estudios de caso de dos profesores de primaria de Colombia. Su

propósito fue validar las unidades de análisis, los instrumentos de recolección

de la información y el procedimiento de tratamiento de los datos.

Etapa dos: Estudio de caso colectivo de un grupo de treinta maestros de

primaria (incluidos los dos maestros de la primera etapa). Su propósito era

complementar la información recabada en la etapa uno y tomar decisiones

organizativas para la Segunda Fase.


123

Segunda Fase: Una vez evaluados los avances de la Primera Fase, 17 meses después,

se desarrolló la Segunda Fase con cuatro maestros de primaria (uno de los de la Primera

Fase, y otros tres).

Cada fase y etapa tuvo cuatro momentos, descritos en la Figura 7.2:

Figura 8.2 [27]. Momentos en cada fase y etapa de la investigación

La Tabla 8.1 muestra detalles del número de participantes y de los periodos de la

recolección de datos, in situ, en cada una de las fases principales de investigación:

Tabla 8.1. Detalles del número de participantes y de los periodos de recolección de datos

Participantes Periodo de recolección de

datos, in situ

Primera

Fase

Un profesor de Primer Grado (Juan)

Un profesor de 5º Grado (Pedro)

Un grupo de treinta maestros

(todos de la misma escuela que Juan y Pedro

2015: 7 semanas

(entre julio y septiembre)

Segunda

Fase

Una profesora de Primer Grado (Laura)

Tres profesores de 5º Grado (Pedro, Miguel y Sonia)

2017-2018: 11 semanas

(entre octubre y febrero)

8.3. SELECCIÓN DE LOS PARTICIPANTES Y LAS ESCUELAS

En nuestro estudio, se hizo un estudio de caso de cinco profesores de primaria, en

servicio en escuelas de la región de Cali en Yumbo, en el departamento de Valle, Colombia.

Por ello, comenzamos esta sección presentando una breve descripción de ese municipio, para

proporcionar un contexto general del ambiente de trabajo y social de los profesores.

1.•Establecimiento de criterios de selección de los casos (de los participantes).

•Diseño de instrumentos de recolección de información.

2.

•Recolección de datos in situ: aplicación de instrumentos de recolección de información; observaciones de clase (y de planeación en la Fase Principal); videograbaciones; etc.

3.•Análisis de los datos.

4.•Organización de los resultados del análisis y conclusiones de la fase.


124

8.3.1. Descripción del municipio donde se llevó a cabo la investigación

Yumbo (ver Figura 8.3) es un municipio industrial del Departamento del Valle del

Cauca (en el sur-occidente de Colombia), que cuenta con más de 2000 empresas (entre

pequeñas, medianas e internacionales) dedicadas principalmente a la alimentación, químicos y

papel. Es un municipio con menos de 200 000 habitantes (casi todos en su área urbana) que se

encuentra a 11 Km. de Cali (capital del departamento)29.

Parque central de Yumbo30 Industria cervecera en Yumbo31

Figura 8.3. Imágenes del municipio de Yumbo (Colombia)

En este municipio se ofrece educación desde pre-escolar a universidad. De acuerdo con

la información publicada en la página web de la Secretaría de Educación Yumbo (2019a), el

municipio cuenta con 4 escuelas preescolares, 47 escuelas de primaria (que ofrecen un grado

de preescolar obligatorio) y 13 escuelas de bachillerato y media (preparatoria). Además cuenta

con una sede regional de la Universidad del Valle (carreras profesionales), el Sena (educación

técnica y para el trabajo) y sedes de dos universidades privadas. Cabe señalar que todas las

escuelas (pre-universitarias) tienen el mismo tipo de instalaciones, mobiliario, incluso

uniforme. Sin embargo, cada escuela desarrolla plan de estudios, de acuerdo a sus

necesidades.

Según los resultados de los años 2016 y 2017 (publicados por el Instituto Colombiano

para la Evaluación de la Educación – ICFES, 2017) de la “Prueba Saber 11”–evaluación

29 Información tomada de https://es.wikipedia.org/wiki/Yumbo 30 Imagen tomada de

https://losmejoressitiosdecolombia.weebly.com/uploads/4/0/1/9/40196141/971292160.jpg?762 31 Imagen tomada de http://www.elpais.com.co/valle/zona-industrial-de-yumbo-buscara-su-

modernizacion.html

https://es.wikipedia.org/wiki/Yumbo

https://losmejoressitiosdecolombia.weebly.com/uploads/4/0/1/9/40196141/971292160.jpg?762

http://www.elpais.com.co/valle/zona-industrial-de-yumbo-buscara-su-modernizacion.html

http://www.elpais.com.co/valle/zona-industrial-de-yumbo-buscara-su-modernizacion.html


125

nacional que se hace a todos los estudiantes de grado 11º (último grado de escolaridad previo a

la Universidad) en las áreas de matemáticas, lenguaje (inglés es opcional), ciencias naturales

(biología, química y física) y ciencias sociales (geografía, historia y filosofía)— el nivel de

desempeño de los estudiantes yumbeños es bajo-medio en todas las áreas evaluadas,

críticamente en matemáticas.

Dado que los profesores yumbeños ingresan al servicio público docente por medio de

un concurso público, a continuación describimos en qué consiste este ingreso a la carrera

docente por parte de los profesores en Colombia.

8.3.2. Ingreso al servicio público docente de los profesores en Colombia

En Colombia, a partir del año 2000, todos los profesores del nivel preescolar, básica

primaria, básica secundaria y media (preparatoria) que ingresan a la carrera docente (para ser

profesor con una plaza de tiempo completo), lo hacen a través de un “Concurso público de

méritos docentes” (MEN, 2019).

El “concurso de méritos” consiste en la realización de una prueba escrita que evalúa

conocimientos básicos, conocimientos según la especialidad del aspirante y conocimientos

pedagógicos. Si el aspirante logra el puntaje mínimo requerido en la prueba, es llamado a

entrevista personal y para validar que cumple con los requisitos (su título universitario,

experiencia docente, etc.). Los resultados de la prueba escrita, la entrevista y la validación de

requisitos son ponderados en un puntaje final. De acuerdo a este puntaje, el aspirante es

asignado como profesor en una escuela pública.

Una vez el profesor ingresa a la “carrera docente” tiene un período de prueba de un

año. Posterior a eso ya se le otorga el estatus de “profesor de carrera”. Todos los profesores de

carrera son de tiempo completo, con nombramiento indefinido y gozan de los servicios

sociales, bonificaciones y prestaciones de Ley según su profesión (MEN, 2019) .

Una particularidad de los docentes que ingresan por “concurso” es que son objeto de

una “evaluación de desempeño docente”. Obligatoriamente, cada año (al menos dos veces al

año), su jefe inmediato les realiza una evaluación basada en un protocolo (i.e. rúbrica)

proporcionado por el MEN (2018). En esta evaluación se valoran aspectos como: su práctica

docente (aquí se consideran aspectos de “innovación educativa”), su participación en las

actividades y proyectos de la escuela, su participación en programas de formación de


126

profesores, su capacidad de resolución de conflictos escolares y relaciones inter-personales,

entre otros.

Además de esto, si el profesor desea aspirar a mejoramiento salarial (ascenso en el

escalafón nacional), debe acreditar la culminación de estudios de posgrado (especializaciones,

maestrías o doctorados) y cierto puntaje promedio en sus “evaluaciones de desempeño”.

Vale la pena aclarar que todos los profesores que participaron en nuestra investigación

son “profesores de carrera”, nombrados mediante “concurso público” con su respectivo

“período de prueba" aprobado.

8.3.3. Criterios de elección de los profesores y las escuelas

Los criterios generales para elegir los profesores participantes en el estudio fueron:

Participación voluntaria.

Profesor, en servicio, de primaria en una escuela pública. (Se querían escuelas

públicas ya que éstas son más representativas de las condiciones sociales generales en

donde se desempeñan la mayoría de los docentes).

Interés en la enseñanza de la geometría, porque es el tema específico que escogimos

estudiar en esta investigación.

Uso regular de tecnologías digitales en su práctica; porque nuestro foco de estudio era

la selección de recursos digitales para la enseñanza, por lo que era importante que los

profesores seleccionados sí usaran esas tecnologías de manera regular.

Interés en su desarrollo profesional (e.g. participación en proyectos o posgrados) lo

que crea entusiasmo por su participar en investigaciones como la nuestra; y actitudes

profesionales que nos facilitaran el proceso de obtención de datos, tales como: capacidad

de analizar su práctica, responsabilidad intelectual frente a su trabajo y facilidades de

comunicación.

Para lo anterior, se buscaron escuelas

donde los maestros tuvieran algún acceso a recursos digitales (un uso alto, en el caso

de la Primera Fase – ver capítulo 10), lo que implicaba que esas escuelas contaran con la

infraestructura necesaria para ello; y


127

se contara con accesibilidad a la escuela para realizar la investigación, con

consentimiento de los maestros y padres de familia.

Aunque inicialmente (en la Primera Fase de la investigación) se quería que los

profesores tuvieran amplia experiencia docente (de al menos de 10 años), para la Segunda

Fase se modificó ese criterio por cuestiones prácticas, dado que no fue posible encontrar otros

profesores de esas características. Por ello, en esa Segunda Fase, algunos de los profesores

participantes contaban con menor experiencia docente.

Así, para la selección de los profesores participantes, intervinieron razones prácticas.

Además de la experiencia docente, también se quería originalmente tener una selección de

profesores que fueran representativos de los diversos grados de primaria. Sin embargo, solo

fueron profesores de primer y quinto grados quienes accedieron a participar en la

investigación y que cumplían con los criterios de selección antes descritos.

Así, los profesores participantes en cada fase, y de los cuales se realizaron estudios de

caso, fueron (pseudónimos):

En la Primera Fase, dos profesores de la misma escuela: Juan de primer grado y

Pedro de quinto grado (los detalles de estos profesores se dan en la sección 10.4).

En la Segunda Fase, participaron cuatro profesores, cada uno de una escuela

diferente: Miguel, Sonia y Pedro de quinto grado; y Laura de primer grado (los detalles

de estos profesores se dan en la Parte V de este documento: capítulos 17 al 20).

Así, en total fueron cinco profesores participantes en el estudio, en cuatro escuelas

diferentes del municipio de Yumbo. Los detalles de los participantes y de las escuelas se darán

en las descripciones de las fases y/o de cada estudio de caso.

8.4. LA RECOLECCIÓN DE DATOS

La recolección de datos para realizar la investigación se realizó a partir de distintas

fuentes (ver Tabla 8.2):


128

Tabla 8.2. Características generales de las fuentes de datos

Fuentes Características

Observaciones de la

planeación de clases

Incluye el análisis (por parte de los investigadores) de la bitácora del

profesor (llamado en Colombia: “parcelación”) con detalles de su plan

de clase.

Observaciones de clase Incluye el análisis de los recursos usados por el profesor.

Entrevistas al profesor En estas entrevistas, realizadas antes y después de las clases observadas,

se promovió, a través de una técnica de introspección –ver abajo— la

mirada retrospectiva del profesor para que analizara su práctica. Parte de

ello fue la producción de mapas o diagramas por parte del profesor,

como se describe a continuación.

Así pues, se realizaron observaciones, tanto de las planeaciones de clase, como de

algunas clases, de cada uno de los profesores participantes. Esto se complementó con

entrevistas antes y después de las clases observadas. Fue durante las sesiones de entrevistas

posteriores a las clases, que aplicamos nuestra técnica de introspección (descrita en la

siguiente sección).

Todas las sesiones observadas de planeaciones de clases, y de clases, así como las

entrevistas, fueron videograbadas y posteriormente transcritas. De cada sesión de observación

y entrevista, se transcribió lo que cada profesor estudiado hacía y decía, así como las

participaciones de los estudiantes con los que interactuaba. También se tomaron fotografías de

escenas, y recolectaron recursos y materiales (e.g. páginas web, fotocopias, etc.) usados por el

profesor; éstos se utilizaron en las entrevistas para estimular la reflexión e introspección de los

profesores, mediante la técnica que describimos en la siguiente sección.

Para el análisis de los datos se utilizaron las transcripciones de las observaciones de

clase, entrevistas, etc.; y se realizó una triangulación de las fuentes para una posterior

segmentación y priorización de los datos. Posteriormente, se realizaron categorías (y sub-

categorías) para su análisis, lo que se presentará en las Partes IV y V de este escrito (ver

capítulos 11 a 19).

A continuación, presentamos el desarrollo de la técnica de introspección que

utilizamos como una de las principales fuentes de datos para nuestra investigación.

129

9. DESARROLLO DE LA TÉCNICA DE

INTROSPECCIÓN

Para promover lo que Gueudet y Trouche (2102) denominan la mirada retrospectiva

del profesor, en este estudio utilizamos una técnica de introspección, como instrumento

metodológico de investigación, la cual se fundamenta en algunas de las ideas sobre el

pensamiento reflexivo del profesor que expusimos en el capítulo anterior.

9.1. CARACTERÍSTICAS TEÓRICAS DE LA TÉCNICA DE INTROSPECCIÓN

La principal característica de este instrumento es que promueve la reflexión e

introspección por parte de los docentes mediante la estimulación de la evocación de acciones

en situaciones particulares (Gass & Mackey, 2000).

Nuestra técnica de introspección se fundamenta en algunas ideas presentadas en el

capítulo 7 sobre la reflexión del profesor; tales como:

La reflexión alude a la capacidad o competencia del profesor para analizar su práctica

y modificarla o adaptarla dependiendo de la situación (Schön, 1992).

La reflexión del profesor se entiende como un producto de su pensamiento (Dewey,

1910/1989) por medio del cual, el profesor le da sentido a su trabajo.

La acción conlleva conocimiento, lo que Schön (1992) considera conocimiento-en-la-

acción; el cual puede llegar a ser explícito promoviendo la reflexión sobre-la-acción.

El diálogo es una de las maneras de desarrollar y explorar el pensamiento reflexivo

del profesor, incluyendo sus acciones y conocimientos subyacentes (Freire, 1966/1997).

El contexto personal (Freire, 1966/1997) e institucional (Chevallard, 1994) en el cual

el profesor desarrolla su trabajo documental.

CAP. 9 DESARROLLO DE LA TÉCNICA DE INTROSPECCIÓN

130

El papel de las actitudes profesionales de la reflexión propuestas por Dewey

(1910/1989), especialmente la apertura intelectual que le permite al profesor ampliar sus

perspectivas y comprensión sobre su propia práctica.

Asimismo, para el desarrollo de este instrumento tomamos en cuenta los principios de

la investigación reflexiva (Gueudet & Trouche, 2012), como, por ejemplo, el seguimiento del

trabajo documental del profesor a “largo plazo”, dentro y fuera de su salón de clases y la

posibilidad de que los profesores realicen miradas retrospectivas de su práctica.

Igualmente, consideramos algunas ideas de Rocha (2016, 2018), tales como retomar la

palabra “mapa” como una representación que realiza el profesor, a través de dibujos o

diagramas, de aspectos de su trabajo documental (e.g., mapas de su sistema de recursos). De

acuerdo a Rocha (ibíd.), las características de este “mapeo” son: que los profesores mismos

son los que realizan sus mapas reflexivos a través de una estimulación ofrecida por los

investigadores (ya que realizar este “mapeo” no es una “actividad natural” de los profesores);

y que sea un “mapeo progresivo” (para contar con varias versiones del mapa hecho por el

profesor).

Las anteriores consideraciones teóricas nos permitieron aplicar una técnica de

introspección, que utilizamos para recabar información sobre la práctica y trabajo documental

de cada profesor (además de ayudarnos a organizar y analizar los datos), y así comprender la

selección que hacen éstos de recursos (digitales) para enseñar geometría.

El uso de la técnica –ver más abajo— consiste en “estimular” la introspección y la

reflexión de cada profesor, durante las entrevistas, a partir de información (textual u

audiovisual) tomada de la propia práctica del profesor. Como se dijo anteriormente, grabamos

las entrevistas, clases y demás interacciones de cada profesor con los investigadores, tomamos

fotografías de escenas, recursos usados por el profesor o recolectamos materiales usados (e.g.

páginas web, fotocopias, etc.). Como en nuestro estudio nos enfocamos en el proceso

documental de selección de recursos, priorizamos todas las interacciones en las cuales los

profesores (participantes en la investigación) aludían directa o indirectamente sobre este tema.

Así, los datos fueron clasificados de acuerdo a cuánto aludían a nuestro tema de interés (i.e., la

selección de recursos para la clase). Posteriormente, las entrevistas y grabaciones fueron

transcritas, segmentadas, codificadas y analizadas por los investigadores para elegir extractos

CAP. 9. DESARROLLO DE LA TÉCNICA DE INTROSPECCIÓN

131

de la información que se presentarían a los profesores para estimular su reflexión (Vollstedt,

2015), como se describe a continuación.

Los profesores siempre estaban enterados del propósito de la investigación y del

funcionamiento de la técnica de introspección; además se les invitaba a que profundizaran en

la reflexión sobre su práctica como un ejercicio profesional importante.

9.2. APLICACIÓN DE LA TÉCNICA

Como mencionamos arriba, el estimulo de la reflexión del profesor, se realiza a partir

de información (textual u audiovisual) tomada de su propia práctica –fotografías o extractos de

videos de las planeaciones de clase, de episodios de clase, de los recursos seleccionados para

la clase, etc.—que se presenta al profesor generalmente una semana después de recabada esa

información. La información y extractos presentados se relacionaban con nuestro tema de

interés, siendo previamente analizados y priorizados para promover la reflexión del profesor,

de acuerdo a lo señalado por Vollstedt (2015).

Esa información le permite al profesor evocar, a posteriori, sus acciones, pensamientos

y acciones en un momento, situación o actividad específica, y de esa manera re-construir la

ruta “vivida” o “recorrida” en su proceso de selección de recursos. Al interactuar el profesor

con la información presentada, se le pide que realice una representación esquemática (un

diagrama o mapa reflexivo –Rocha, 2018) de la ruta que recorrió, y acciones que tomó, para

seleccionar determinados recursos para su clase (su ruta-recorrida), acompañada de

explicaciones verbales.

Las producciones de los profesores (e.g. mapas, diagramas, textos, conversaciones),

obtenidas mediante su trabajo reflexivo e introspectivo, constituyen un recuerdo estimulado

(Calderhead, 1981) que evoca parte de sus sistemas documentales: en particular, acciones

particulares mediante las cuales se pueden definir las rutas (rutas-recorridas) que los

profesores siguen en su selección de recursos.

Posteriormente, el análisis de esas producciones y rutas-recorridas en la Segunda Fase

de la investigación (ver Parte V), nos permitió inferir los esquemas de selección de recursos de

cada profesor, tomando en cuenta su “historia” (Vollstedt, 2015) –es decir, el contexto

personal e institucional en el que trabaja y dónde se llevó a cabo la selección de recursos.

CAP. 9 DESARROLLO DE LA TÉCNICA DE INTROSPECCIÓN

132

Considerando la reflexión del profesor como una expresión de sus conocimientos

profesionales, el desarrollo de una técnica de introspección nos permitió recabar datos sobre

las acciones y pensamientos de los profesores, e inferir, a partir de ellos, los conocimientos

profesionales involucrados en sus procesos de selección. Para inferir estos conocimientos

profesionales de los profesores usamos el concepto de esquema de Vergnaud (1990), para lo

cual la técnica que usamos resulto ser muy útil.

9.3. RESUMEN DE LAS CARACTERÍSTICAS DE LA TÉCNICA DE INTROSPECCIÓN

A continuación presentamos un resumen de algunas características de la técnica de

introspección, aplicada, específicamente en nuestro caso, para evocar el proceso de selección

de recursos de los profesores. Así, esta técnica:

Permite analizar las acciones y conocimientos del profesor en la situación específica

de su trabajo documental que es la selección de recursos.

En su aplicación, se define como ruta-recorrida a la representación esquemática del

camino transitado y evocado por el profesor durante su selección de recursos digitales.

Los mapas de la ruta-recorrida hechos por cada profesor se obtienen mediante una

estimulación específica: al profesor se le ofrecen fotos, videos u otros elementos que le

permitan evocar sus acciones y pensamientos mientras selecciona ciertos recursos para

su clase.

La información contenida en los mapas de la ruta-recorrida son acompañados por las

explicaciones respectivas del profesor; ello nos brinda datos que permiten inferir

elementos del esquema que orienta la selección de recursos por parte del profesor.

133

PARTE IV: PRIMERA FASE – DISEÑO Y

RESULTADOS

134

10. DISEÑO DE LA PRIMERA FASE DE LA

INVESTIGACIÓN

Como se mencionó arriba, la Primera Fase del estudio consistió de dos etapas.

Etapa uno: Estudios de caso individuales de dos profesores de primaria:

Juan y Pedro (ver sección 10.4, más abajo).

Etapa dos: Estudio de caso colectivo de un grupo de treinta maestros de

primaria (ver sección 10.5, más abajo), incluidos los dos maestros de la etapa

uno.

Cada etapa de la Primera Fase se tuvo en cuenta para la realizó de nuestros análisis y

se desarrolló en los cuatro momentos descritos en la Figura 7.2 del capítulo anterior

(Establecimiento de criterios de selección de los participantes, y diseño de instrumentos;

Recolección de datos; Análisis de datos; y Organización de los resultados).

10.1. RECOLECCIÓN DE DATOS EN LA PRIMERA FASE

Los instrumentos de recolección de información en esta Primera Fase se presentan en

la Tabla 10.1 donde se da su propósito (qué información se quería obtener con cada uno) y

algunos ejemplos de la información que se busca. Dichos instrumentos fueron:

Un cuestionario inicial que pretendía indagar sobre la formación inicial y continuada

de los profesores, así como su experiencia profesional y práctica de aula;

Observación de clases: se observaron (y video grabaron) 3 clases de geometría del

profesor Juan (primer grado) –una de ellas usando recursos digitales, que es la que se

reporta en la sección 11.1–; y 4 clases de geometría del profesor Pedro (quinto grado) –

una de ellas con recursos digitales, que es la se reporta en la sección 12.1. Cada clase

con recursos digitales tuvo una duración aproximada de dos horas.

CAP. 10. DISEÑO DE LA PRIMERA FASE DE LA INVESTIGACIÓN

135

Entrevistas a cada profesor, antes y después de cada clase observada:

Al profesor Juan se le hicieron cuatro entrevistas (tres antes de clase analizada y

una posterior)

Al profesor Pedro se le hicieron tres entrevistas (una antes de la clase observada

y dos posteriores).

Un taller de “experiencias de selección de recursos para enseñar geometría” con todo

el grupo de 30 maestros de la escuela (ver capítulo 13, donde Juan y Pedro presentaron

sus criterios de selección de recursos y experiencias. En este taller (videograbado) se

realizó un ejercicio de reflexión en torno a lo compartido para obtener otros criterios y

experiencias de selección por parte de los demás profesores.

Tabla 10.1. Instrumentos de recolección de información en la Primera Fase de la investigación

Instrumento Propósito Ejemplos de preguntas o

información buscada

Cuestionario Determinar un perfil general de los participantes:

formación, experiencia, acceso a tecnologías

digitales en su escuela, etc.

Formación inicial

Años de experiencia docente

Programas cursados en uso

de tecnología

Entrevista

antes de clase

Se entrevistó a cada uno de los dos profesores con

el objeto de indagar tres aspectos fundamentales:

1. su experiencia en el uso de tecnologías

digitales,

2. sus criterios de selección de recursos

digitales,

3. sus propósitos de uso de recursos en la clase

de geometría.

¿Qué tipo de experiencia

tiene en el uso de tecnología

para enseñar matemáticas?

¿Qué criterios considera al

seleccionar un recurso para

trabajar en clase?

Entrevista

post-clase

Se entrevistó a cada uno de los dos profesores con

el objeto de profundizar en las selecciones y

decisiones que el profesor tomó en la clase.

¿Qué pretendía con esa

organización de la clase?

¿Cree que el recurso

respondió a sus propósitos?

Notas de

campo

Notas tomadas por la investigadora durante las

observaciones de las clases y las entrevistas.

Descripción general de la clase

y de la gestión del profesor.

Taller Se llevó a cabo un taller con el grupo de treinta

maestros de la escuela, donde Juan y Pedro

presentaron su experiencia de selección de

recursos para enseñar geometría, y los demás

profesores compartieron sus propias experiencias.

¿Qué tipo de recursos llevan

a sus clases y por qué?


136

10.2. SELECCIÓN DE LOS PARTICIPANTES (Y LA ESCUELA) DE LA PRIMERA FASE

En la Primera Fase de este trabajo se llevó a cabo el estudio de dos profesores de

primaria (Juan y Pedro), que trabajan en una escuela pública en Colombia.

Aunque en el capítulo anterior se habían dado criterios generales para la participación

de los profesores en el estudio, los criterios específicos para la elección de la escuela y

maestros participantes en la Primera Fase, fueron los siguientes (Tabla 10.2):

Tabla 10.2. Criterios de selección de los casos de la Primera Fase de la investigación

Escuela

(1)

Profesores

(2 casos de estudio)

Grupo de profesores

(30 maestros)

Contar con políticas

institucionales que favorecen

la integración de tecnologías

digitales a las clases.

Proveer la infraestructura

necesaria para que profesores

y estudiantes puedan usar

recursos digitales.

Profesores de primaria en servicio

Interés en enseñanza de la geometría

Experiencia docente de más de 10

años.

Amplia participación en programas de

formación integración de tecnologías

digitales.

Experiencia en integración de recursos

digitales en la clase de matemáticas.

Profesores de primaria

Todos pertenecientes a

la misma escuela.

Conocimientos

básicos en tecnologías

digitales.

A continuación explicamos las razones que sustentan los criterios de selección

presentados en la Tabla 8.2.

Se requería de una escuela donde los maestros tuvieran acceso de manera habitual a

recursos digitales, lo que implica que cuente con infraestructura necesaria para ello.

Nos interesaba que tanto la escuela, como los maestros, fuesen usuarios activos de los

recursos para poder estudiar estos usos espontáneos de los maestros en sus clases.

También nos importaban cuestiones de orden práctico:

accesibilidad a la escuela para realizar la investigación y consentimiento de los

maestros para participar del estudio. Lo anterior implicaba tener permiso para

acceder a documentación institucional (planes de clase, textos usados por los

maestros, etc.) y para videograbar las clases (con el consentimiento de los padres

de familia)

consentimiento y disponibilidad de los maestros a participar en el estudio (ser

observados, entrevistados, etc.).


137

En cuanto a los dos profesores que participaron en la Primera Fase y de quienes se

realizaron los estudios de caso, éstos se seleccionaron atendiendo a su amplia experiencia

docente. En esa etapa (la Primera Fase) se quería que los profesores tuvieran al menos 10 años

de experiencia docente, porque así era posible estudiar conocimientos profesionales más

establecidos (que los profesores han desarrollado a lo largo de un tiempo considerable) sobre

la enseñanza de la geometría y el uso de recursos digitales. Inicialmente queríamos explorar

las selecciones y usos que hacen de recursos digitales, profesores con experiencia de trabajo

en el aula con ese tipo de recursos. También consideramos importante recoger información

acerca de cómo usan los recursos digitales, profesores que han participado en procesos de

formación de este tipo de recursos y que los usan regularmente en sus clases.

Respecto a cómo se escogió el grupo de treinta profesores del cual se llevó a cabo el

estudio de caso colectivo, las razones de selección fueron que todos fueran profesores (en

servicio) de primaria de la misma escuela para que contaran con la misma accesibilidad al uso

de los recursos digitales y así fueran colegas de los profesores Juan y Pedro. Al tener un grupo

grande, de treinta profesores, se aseguraba contar con maestros de distintas edades,

formaciones y experiencias, lo que enriquecería los posibles datos obtenidos en esa fase de la

investigación.

10.3. DETALLES DE LA ESCUELA SELECCIONADA EN LA PRIMERA FASE

La escuela en la que se llevó a cabo la Primera Fase de la investigación es una

institución educativa pública, urbana, laica, que atiende población mixta proveniente

principalmente de un estrato socioeconómico medio-bajo. Esta escuela ofrece educación en los

niveles de Preescolar, Básica (primaria y secundaria), Media Técnica (preparatoria), con

énfasis en Gestión Empresarial. La escuela orienta sus esfuerzos pedagógicos en favorecer el

desarrollo individual y social del ciudadano, potenciando sus capacidades comunicativas,

científicas, deportivas y artísticas.

El plantel de la escuela (ver Figura 10.1) cuenta con veintinueve (29) aulas de clase,

una sala de artística, una sala de sistemas, un laboratorio, espacios para rectoría, una

coordinación, una secretaría y pagaduría, un restaurante escolar, una cancha, un kiosco y un

polideportivo.


138

Figura 10.1. Instalaciones de la escuela de la Primera Fase

La propuesta pedagógica de la escuela, de acuerdo a documentos de la misma escuela

(Consejo Directivo, 2011), entiende la educación como un proceso constante, adoptando un

modelo pedagógico sociocultural desde la perspectiva de la teoría histórica cultural, inspirada

en los trabajos de Vigotsky, donde se prioriza el papel mediador del docente y la colaboración,

como pilares pedagógicos.

La escuela considera que el trabajo con recursos digitales supone un cambio en el

currículo escolar y permite a los maestros realizar sus propias propuestas de actividades

didácticas con el uso de tecnologías digitales.

Por otro lado, el área de matemáticas de la escuela no solo considera los referentes

pedagógicos institucionales arriba citados, sino que además destaca el impacto que tienen las

tecnologías digitales en el aprendizaje de las matemáticas y en la transformación de las

prácticas de los profesores.

10.4. CARACTERIZACIÓN DE LOS DOS PROFESORES ESTUDIADOS EN LA

PRIMERA FASE

La selección de los dos profesores Juan y Pedro, participantes en la Primera Fase,

obedeció a que son profesores interesados en continuar con su desarrollo profesional

participando en varios programas de formación de profesores y que desde hace algunos años

ya usan habitualmente recursos digitales en sus clases. En general, la mayoría de los

profesores de la escuela seleccionada para nuestro estudio, han tomado algunas de las

capacitaciones auspiciadas por el estado (a nivel nacional, departamental, municipal), tales


139

como las de los siguientes programas: Computadores para Educar; Entre pares; Ciudadano

Digital; Tecnologías digitales para todos - Tit@; diplomados de los Centros de Innovación

Educativa Regional (CIER); entre otras iniciativas. Cabe señalar que muchos de esos

programas vienen acompañados de dotación de dispositivos a los docentes participantes, tales

como: computadores, tabletas, aulas digitales, etc. De esta manera, se han puesto a disposición

de los profesores, una gama considerable de recursos digitales.

A continuación se presenta el perfil de los maestros de primaria que participaron en la

Primera Fase de la investigación: Juan y Pedro (pseudónimos):

Juan tenía a su cargo un grado primero en la jornada de la tarde. Es maestro

normalista, licenciado en educación básica con énfasis en tecnología e informática. Con

experiencia docente de 14 años (todos en primaria), 6 de ellos en grado primero

(enseñando todas las asignaturas) en la escuela en la que labora actualmente. Ingresó al

servicio docente por concurso público de méritos. Se destaca por su amplia participación

en proyectos institucionales (e.g. miembro del consejo académico; diseño de la página

web de la escuela) y sus aportes al equipo de trabajo de profesores de grado primero. En

general, Juan se considera un entusiasta del uso de los recursos digitales en las clases de

matemáticas y expresa que con la integración de este tipo de herramientas los profesores

pueden transformar su trabajo de aula.

Pedro es maestro normalista, licenciado en matemáticas con énfasis en computación,

y tecnólogo en sistemas. Además de su trabajo como maestro, también ha laborado

como técnico haciendo reparaciones de equipos de cómputo. Tiene una experiencia

docente de 9 años (en primaria y secundaria); los últimos 3 años ha trabajado como

profesor de matemáticas (en la escuela participante en el estudio) en grados 4º y 5º.

Pedro participa ampliamente en redes virtuales de profesores de matemáticas y en

proyectos institucionales de integración de tecnologías digitales (dado que este profesor

también participa en la Segunda Fase de la investigación, se dan más detalles de éste en

el capítulo 17).


140

10.5. CARACTERIZACIÓN DEL GRUPO DE PROFESORES PARTICIPANTES DE LA

PRIMERA FASE

Como se había mencionado anteriormente, en la segunda etapa de la Primera Fase, se

trabajó con un grupo amplio de 30 maestros de primaria, todos pertenecientes a la misma

escuela, que incluía a Juan y Pedro.

Este grupo de 30 maestros contaba con seis maestros para cada uno de los cinco grados

(de 1º a 5º) de primaria. De manera general, todos los maestros tenían conocimientos básicos

en tecnologías digitales, y tienen acceso al uso de recursos digitales en su escuela. Sin

embargo, no todos usaban este tipo de recursos en sus clases, o lo hacían con poca frecuencia.

Algunas características generales del grupo se presentan en la Tabla 10.3.

Con este grupo de maestros se realizó un taller de retroalimentación de los resultados

obtenidos en los casos de Juan y Pedro, que sirvió para ampliar los datos obtenidos.

Tabla 10.3. Características generales del grupo de 30 maestros

Edades

24 años – 63 años.

Promedio de edad: 37 años

Años de experiencia docente 2 años – 37 años.

Promedio de años de experiencia docente: 16 años

Grupos a cargo De 1º a 5º grados de primaria. 6 maestros por grado.

Perfil de formación Licenciados en educación primaria (12)

Licenciados en matemáticas (3)

Licenciados en lenguaje y comunicación (5)

Ingenieros (8)

Psicólogos (2)

Turno laboral Mañana: 15 maestros

Tarde: 15 maestros

En el siguiente capítulo se presentan los análisis de los resultados de la Primera Fase,

del proceso de selección de recursos digitales, por parte de los profesores Juan y Pedro, para

enseñar geometría en primer y en quinto grado respectivamente.

141

11. ESTUDIO DE CASO DE JUAN: ÉNFASIS EN LOS

ASPECTOS ERGONÓMICOS Y DIDÁCTICOS DEL

RECURSO

El primer caso que vamos a presentar de la Primera Fase de esta investigación

corresponde a Juan, profesor de grado primero. El grupo de alumnos de Juan de ese grado, lo

componían 43 niños y niñas, con edades de 6 y 7 años.

Aquí describimos y analizamos el proceso de selección y uso de recursos digitales que

Juan propuso para una clase de geometría cuya meta de aprendizaje era que sus estudiantes

diferenciaran entre líneas geométricas abiertas y cerradas.

11.1. DETALLES DEL GRUPO DE JUAN Y DE LA CLASE OBSERVADA

Figura 11.1. Escena de la clase de Juan de primer grado

Se observó una clase de geometría correspondiente al tercer trimestre del año escolar.

La clase de geometría se desarrolló en un aula (laboratorio de cómputo) que cuenta con 50

computadoras, acceso a Internet en todos los equipos y cañón de proyección (ver Figura 11.1).

CAP. 11. ESTUDIO DE CASO DE JUAN: ÉNFASIS EN LOS ASPECTOS ERGONÓMICOS Y DIDÁCTICOS DEL RECURSO

142

11.2. CONOCIMIENTOS GEOMÉTRICOS Y ETM DE JUAN SOBRE LÍNEAS

ABIERTAS Y CERRADAS

La primera decisión de Juan, tuvo que ver con la meta de aprendizaje propuesta a sus

estudiantes: que diferenciaran entre líneas geométricas abiertas y cerradas; previamente habían

trabajado algunas figuras poligonales reconociendo vértices y lados.

En la primera entrevista (de tres), previa a la clase observada, se le preguntó a Juan

sobre el contenido geométrico de “líneas abiertas y cerradas” que pensaba poner en juego. A

continuación presentamos un fragmento de dicha entrevista:

Entrevistadora: ¿Qué es una línea abierta?

Juan: Yo entiendo que las líneas abiertas son aquellas cuyos extremos no son un

vértice… o que no tienen ningún vértice.

Entrevistadora: ¿Podrías darme un ejemplo?

Juan: Sí [hace una búsqueda en Internet –ver abajo]… mira estas son líneas

abiertas y cerradas [ver Figura 5.2]

Entrevistadora: Pero, ¿en qué se diferencian?

Juan: … mira [señalando a una figura en la pantalla], esta línea no tiene vértices

Entrevistadora: Pero, y estas intersecciones entre los lados de estas figuras

[señalando un ejemplo de línea abierta], ¿no es un vértice?

Juan: No, los vértices son solo en las figuras cerradas.

La búsqueda en Internet que Juan hizo durante la entrevista, para acompañar su

argumento, la hizo en Google usando las palabras clave: “líneas abiertas primaria”. Así obtuvo

algunas imágenes de las que seleccionó la mostrada en la Figura 11.2 para defender su

argumento de que solamente las líneas cerradas tienen vértices. Así, los señalamientos de Juan

en esa entrevista, se refieren únicamente a curvas simples (unidimensionales y planas).


143

Figura 11.2. Ejemplos de curvas abiertas y cerradas presentados por Juan32

Analizando lo anterior, pudimos hacer una primera determinación del espacio de

trabajo matemático (ETM) personal de Juan, en el que residen sus definiciones de “líneas

cerradas” y “líneas abiertas”, confundiendo a las líneas cerradas con líneas poligonales. Los

datos dan evidencia de algunas dificultades en su ETM personal:

Juan no consideró, de manera explícita, que segmentos de línea rectos son casos

particulares de curvas; por tanto, considera “líneas” y “curvas” como objetos

diferenciados.

Respecto a las líneas presentadas en la Figura 11.2, Juan tampoco consideró el hecho

de que en la intersección de varios segmentos de recta en las figuras abiertas, también se

encuentran vértices.

Juan parece haber considerado a los vértices como una propiedad exclusiva de las

líneas cerradas.

Juan no parece haber tenido claridad respecto a la idea de línea poligonal.

32 Imagen recuperada de http://www.conmishijos.com/uploads/tareas_escolares/ficha-lineas-abiertas-

cerradas.jpg

http://www.conmishijos.com/uploads/tareas_escolares/ficha-lineas-abiertas-cerradas.jpg

http://www.conmishijos.com/uploads/tareas_escolares/ficha-lineas-abiertas-cerradas.jpg


144

Este tipo de consideraciones nos parecen indicativas de que Juan no toma en cuenta los

elementos del currículo escolar (el cual forma parte del ETM de referencia) respecto al

introducción de “ideas topológicas” en edades tempranas; por tanto no se adentra en una

discusión de los aspectos matemáticos allí involucrados.

Un profesor de primaria, aunque no se espera que tenga un conocimiento muy refinado

de la geometría, al trabajar con las ideas de “abierto y cerrado”, debe considerar que las

figuras se clasifican de acuerdo a sus propiedades o cualidades; esas cualidades determinan la

“diferenciabilidad” entre una figura u otra, y pueden ser intuitivas (Pérez, 2007). En el caso de

Juan, aunque él sabe distinguir entre líneas abiertas y líneas cerradas, no logra expresar las

propiedades que caracterizan cada una de esas figuras (a pesar de repetidas preguntas al

respecto de nuestra parte), por lo que su conocimiento se queda en el nivel intuitivo; además

tiene una concepción aparentemente no del todo correcta, respecto a los conceptos de “línea

cerrada” y “vértice” (i.e., cuando Juan dice que solo las líneas cerradas tienen vértices).

11.3. SELECCIÓN POR JUAN DEL RECURSO PARA SU CLASE

La selección que hizo Juan del recurso para la clase que observamos, obedecía a varios

criterios, los cuales presentamos y discutimos más abajo, en la sección 11.3.2

11.3.1. El recurso seleccionado por Juan

El tema de la clase de Juan era el de líneas geométricas abiertas o cerradas. Para

abordar ese tema, Juan seleccionó un recurso libre –“Juego de curvas abiertas y cerradas”33

(ver Figura 11.3)— el cual es un software educativo en línea y gratuito, dirigido a niños

alfabetizados entre 6 y 7 años que permite manipular objetos para cumplir ciertas condiciones

(tareas).

Juan encontró ese recurso en un repositorio en internet

(http://www.mundoprimaria.com) que ha utilizado en otras ocasiones. Juan señaló que este

repositorio es de sus favoritos porque ofrece recursos organizados por grados de escolaridad y

temáticas, lo que le facilita la búsqueda mediante correspondencias entre lo que se quiere

trabajar en clase y lo proporcionado por el recurso.

33 http://www.mundoprimaria.com/juegos-matematicas/juego-curvas-abiertas-y-cerradas/

http://www.mundoprimaria.com/


145

Para interactuar con el recurso, el usuario debe seleccionar y arrastrar figuras de líneas

abiertas o cerradas dependiendo de las consignas propuestas en el recurso: si la respuesta es

correcta, el recurso envía un mensaje con una palomita; si la respuesta es errónea, envía un

mensaje de respuesta errónea y propone una nueva tarea.

Figura 11.3. Interfaz del recurso seleccionado por Juan

11.3.2. Criterios de Juan, para la selección del recurso

La selección que hizo Juan del recurso para abordar el tema de líneas geométricas

abiertas o cerradas, obedecía a varios criterios, algunos de los cuales se relacionaban con el

tipo de orquestación que pretendía llevar a cabo en su clase: por ejemplo, Juan quería que cada

estudiante trabajara inicialmente solo y después realizar una plenaria para validar los

conocimientos construidos por los niños. También quería que el recurso: (i) fuera de fácil

acceso, en línea; (ii) que los niños lo pudieran manipular fácilmente, con mucha retro-

alimentación; y (iii) que tuviera un tratamiento cercano a lo que venían trabajando en clase.

Así, inferimos que Juan tenía varios criterios de selección, los cuales definimos y

clasificamos de acuerdo a varios tipos: de coherencia curricular y cognitiva; relacionados

con las características didácticas o de contenido matemático o geométrico que se buscan

en el recurso; y con las características técnicas y de accesibilidad del recurso (criterio

ergonómico), y su procedencia. Esta categorización la presentamos en la Tabla 11.1; los

detalles, evidencias y explicaciones de cómo se determinaron esos criterios, se discuten más

abajo.


146

Tabla 11.1. Categorización de los criterios de selección del recurso digital (caso de Juan)

Tipo de criterio

de selección

Definición Particularidades en el caso de Juan

Curricular Se refiere al propósito o meta de

enseñanza del profesor, y su

coherencia con las orientaciones

curriculares (nacionales e

institucionales)

Juan busca coherencia entre lo trabajado

previamente en clase y el contenido del

recurso.

Cognitivo Se refiere a cómo el recurso

puede apoyar el aprendizaje de los

alumnos.

Juan busca que el recurso atienda las

necesidades de aprendizaje de los

estudiantes, sus ritmos de aprendizaje y su

escolaridad previa.

Características

didácticas

Se refiere a las características

didácticas que aporta el recurso.

Juan considera el tipo de tareas o

actividades que presenta el recurso, cómo el

recurso estructura y ordena las tareas, y los

posibles tipos de respuesta de los usuarios a

las tareas del recurso.

Contenido

matemático

(Contenido

geométrico)

Alude al contenido matemático,

en este caso geométrico, que

facilita el recurso para las

actividades que los estudiantes

desarrollan con éste.

Juan considera el tipo de información

geométrica (visual) que el recurso

proporciona al estudiante.

Ergonómico


técnicas y de procedimiento del

recurso. También incluye

características de la interfaz, la

disposición y funciones de las

herramientas.

Contempla anticipaciones de Juan sobre el

uso que sus estudiantes puedan darle al

recurso y posibles dificultades sobre su uso

por parte de los alumnos.

Procedencia El recurso seleccionado debe

provenir de una fuente confiable

y/o conocida por el profesor.

Juan considera que los repositorios de

universidades, entidades gubernamentales y

páginas usadas por profesores son fuentes

confiables de recursos.

Para su clase, Juan estableció lo que llamamos una meta “local” de aprendizaje para

sus estudiantes: La meta era abordar un tema específico y restringido para reforzar los

conocimientos de sus estudiantes respecto a las diferencias entre líneas geométricas abiertas y

cerradas). Esta meta orientó la selección del recurso que hizo Juan para una clase particular.

Pero como su meta solo involucra acciones y procesos relacionados con esa clase específica y

a corto plazo, y no con objetivos más amplios o de más largo plazo, consideramos que tanto la

meta, como la selección del recurso son “locales”.

Para su clase, Juan estableció lo que llamamos una meta “local” de aprendizaje para

sus estudiantes: La meta era reforzar sus conocimientos respecto a las diferencias entre líneas


147

geométricas abiertas y cerradas. Esta meta orientó la selección del recurso que hizo Juan para

una clase particular. Pero como su meta solo involucra acciones y procesos relacionados con

esa clase específica, y no con objetivos más amplios o de más largo plazo, consideramos que

tanto la meta, como la selección del recurso, fueron “locales”.

Los criterios de selección de Juan están interrelacionados y se orientaron por esa meta.

Más aún, consideramos que Juan estableció un principio estructurador para adecuar un ETM

para su clase: Para él era importante que el recurso seleccionado tuviera dinámica de “juego”

con una alta retroalimentación de manera que los niños se percaten si están generando

respuestas correctas y corregir sus errores (criterios cognitivos y de características didácticas

del recurso). En la entrevista posterior a la clase analizada Juan señala:

“En mis clases, para mí, es importante que los niños aprendan a ser autónomos,

que trabajen ellos mismos, que compartan entre ellos, conversen y que se enfrenten

a actividades que sean motivadoras… la metodología [del recurso] debe ser bien

didáctica, con mucha retroalimentación para que el niño aprenda, como dice

Brousseau, el matemático, para que se enfrente a las actividades y de ese mismo

enfrentamiento los niños aprendan. Y eso con la tecnología es mucho más fácil

porque ellos están acostumbrados a eso”.

(Juan, fragmento de entrevista; nuestro énfasis).

A partir de lo expresado por Juan, y de sus acciones, inferimos ese principio

estructurador y didáctico subyacente que busca que el recurso presente una situación que

movilice conocimientos en el estudiante mediante una amplia retroalimentación a las acciones

de los niños para poder reforzar los conocimientos que allí se construyen. Este principio era

importante para Juan: en este caso, para que los niños aprendieran de la retroalimentación y de

sus errores. También quería que los niños pudieran trabajar de manera autónoma con el

recurso (para que cada niño trabajara solo en la primera parte de la orquestación de la clase).

Consideramos a los principios anteriores como de tipo “interacción estudiante–recurso” (ver

sección 11.4 y Tabla 11.4).

Consideramos que este principio orientó la selección de Juan y determinó la esencia de

la orquestación que propuso en su clase. Allí, los criterios cognitivos y de características

didácticas, fueron los que principalmente orientaron su selección.

Respecto a los criterios curriculares, Juan quería que el recurso fuera coherente con las

directrices curriculares nacionales (MEN, 1998): Como se discutió en el apartado 5.3, de


148

acuerdo con el currículo colombiano de geometría, los estudiantes necesitan desarrollar el

pensamiento espacial a través de la representación, manipulación y transformación de objetos

geométricos; ese currículo también propone, como orientación didáctica, que los estudiantes

exploren el espacio a través del movimiento (MEN, 1998). Juan consideraba que el recurso

que seleccionó para su clase podía facilitar, en sus alumnos, el desarrollo de los conocimientos

y las habilidades que sugiere el currículo:

“… lo que quiero es que los niños avancen en su pensamiento espacial,

que muevan [arrastren] cosas, que interactúen [...] como dice el plan de

estudios. Que no solo trabajen con figuras muertas sino también con cosas

dinámicas, que se relacionen, que jueguen con las figuras para aprender...

Por eso me gusta trabajar con la tecnología [digital] para que puedan

moverse, mirar varias cosas y aplicar lo que habíamos visto en clase.”

(Juan, fragmento de entrevista)

El fragmento anterior exhibe también aspectos relacionados con el criterio de

características didácticas del recurso porque describe algunos tipos de tareas del recurso para

la clase de geometría como, por ejemplo, explorar el dinamismo de las figuras geométricas

modificando algunas de sus propiedades o explorándolas mediante el “arrastre”. Asimismo,

los comentarios de Juan de querer que el recurso fuera uno libre, que facilitara la interacción y

manipulaciones de los niños (“mover”, “mirar”), y que proporcionara retroalimentación,

indican que Juan consideraba criterios ergonómicos (técnicos o de procedimiento, y de

accesibilidad).

Un elemento interesante en el caso de Juan es que, durante las entrevistas, este profesor

no hizo explícitos criterios respecto al contenido geométrico del recurso; inferimos que eso se

debe a que el recurso trataba directamente el tema geométrico bajo estudio. Por otro lado, el

aspecto de contenido geométrico es expresado de manera indirecta en otros criterios como, por

ejemplo, en los criterios cognitivos, donde el profesor alude al aprendizaje de conceptos

geométricos en términos de “adecuar el contenido geométrico de acuerdo a la edad y

escolaridad de sus estudiantes”.

La Tabla 11.2 resume y ejemplifica (con detalles adicionales), los criterios de selección

de Juan, en aparente orden de importancia (de más a menos):


149

Tabla 11.2. Criterios de selección de un recurso digital en el caso de Juan

Meta local de aprendizaje

Reforzar conocimientos de los estudiantes respecto a las diferencias entre líneas geométricas abiertas y

cerradas.

Criterios de selección del recurso por Juan Tipo de criterio

El recurso debe proveer tareas que sean atractivas según su grado escolar

— característica que Juan llama “metodología”. Juan señala:

"[El recurso] debe tener una metodología adecuada porque no todos

los [recursos] son buenos [...] y deben ser buenos para la edad de los

niños".

El recurso debe proporcionar oportunidades para el aprendizaje y

variedad de posibles interacciones (con el recurso y con los

compañeros), y debe dar retroalimentación a los estudiantes en términos

de sus acciones:

“El recurso debe tener una buena estrategia para que los niños

aprendan… que los niños puedan arrastrar, interactuar… que los niños

puedan hacer las actividades por su cuenta y luego uno puede venir a

reforzar".

Características

didácticas

El contenido temático del recurso debe corresponder con el trabajo

previo del profesor y con las orientaciones curriculares. Juan señala:

“El currículo nos pide trabajar en situaciones en que el estudiante

tenga que mover las cosas, arrastrarlas, así, por toda la pantalla.

"El tema debe estar de acuerdo con lo que estamos trabajando en clase"

Curricular

Recurso en línea, gratuito, de fácil acceso y uso para los niños. Juan

señala:

“ Yo no quiero [un recurso] que los niños no sepan usar ... Yo busco

algo que sea fácil... parecido a los que los niños usan en los celulares o

en las tabletas”

Ergonómico

El recurso debe provenir de una fuente confiable para el profesor. Juan

señala:

"Me fijo si [el recurso] fue publicado por una institución reconocida,

como una universidad o algo similar ... lo que me da confianza de que

es de buena calidad ... y que otros maestros lo usan y lo recomiendan".

"Prefiero buscar [el recurso] en sitios especializados para la escuela

primaria"

Procedencia

El contenido geométrico movilizado en el recurso debe ser adecuado, de

acuerdo con la edad de los niños y su escolarización. Juan señala:

"No quiero que los niños se confundan con demasiadas cosas que no

pueden entender con su edad”.

Geométrico-cognitivo

11.4. USO Y ORQUESTACIÓN POR JUAN DEL RECURSO EN SU CLASE

En su clase, Juan primero reforzó la diferenciación conceptual entre líneas abiertas y

cerradas con algunos ejemplos dibujados en el pizarrón y le anunció a los niños lo que iban a


150

trabajar en el recurso, estableciendo las normas de trabajo en la clase (la forma de

orquestación): que los estudiantes primero trabajaran individualmente y después se socializara

el trabajo conjunto. Así, consideramos que la orquestación que Juan hizo de su clase

involucró los siguientes aspectos, los cuales elaboramos en la Tabla 11.3:

la meta que el profesor fijó para esta clase, la cual llamamos meta “local” de

aprendizaje;

la gestión de los recursos y artefactos disponibles;

la tarea propuesta a los estudiantes a través del uso del recurso; y

la organización de la clase.

Tabla 11.3. Aspectos de la orquestación de Juan en su clase de grado primero

Aspectos de la

orquestación de

Juan

Descripción

Propósito educativo:

Definición de la meta

de aprendizaje

El profesor define el propósito de esta clase específica (por lo que lo

consideramos de tipo “local”) donde la meta es: Reforzar el

aprendizaje de los alumnos sobre las diferencias entre líneas

geométricas abiertas y cerradas.

Gestión de los

recursos y artefactos

disponibles

El recurso seleccionado se utilizó en una sola clase (i.e. fue una

selección de tipo “local”), junto con artefactos como: un proyector de

video, la pizarra y (en el caso de los estudiantes) lápiz y papel.

Organización de la

clase

Juan organizó su clase en dos partes: primero, trabajo individual,

seguido de una discusión colectiva en el aula.

Trabajo individual de

los alumnos

(orquestación a

través del recurso)

El recurso proporciona la tarea a seguir por los estudiantes (quienes

tenían que identificar las figuras que cumplen con una condición –ser

abiertas o cerradas). Como el recurso proporciona información sobre

las acciones de los estudiantes (respuesta correcta o incorrecta), éstos

trabajan de manera individual y autónoma.

Discusión colectiva Cuando los niños empezaron a utilizar una estrategia de “ensayo y

error” para resolver la tarea propuesta en el recurso, el profesor

decidió pasar a la discusión con todo el grupo para socializar algunos

de los conocimientos que se estaban construyendo.

Así, la orquestación de Juan involucró tres tipos de organización de la clase:

interacciones “estudiante-recurso”, “profesor-recurso-estudiante” y “profesor-recurso-grupo”,

las cuales forman parte de lo que Drijvers et al. (2013) llaman el desempeño didáctico

(didactical performance) del profesor:


151

Primero los niños trabajaron individualmente con el recurso, en sus computadores

propios: la “interacción estudiante-recurso”.

Durante ese trabajo, Juan circulaba por el aula, e iba ayudando a estudiantes

individuales si tenían dificultades, haciéndoles preguntas u observaciones: la

“interacción profesor-recurso-estudiante”.

Luego, al final de la clase, Juan reunió a todos los niños al frente del salón y trabajó

directamente él con el recurso, usando una computadora conectada a un proyector. Los

niños participaron dando respuestas. De esta manera, el maestro esperaba "fortalecer" la

tarea propuesta en el recurso, haciendo preguntas a sus estudiantes y dando

explicaciones o ejemplos adicionales. Aquí se establece la interacción: “profesor-

recurso-grupo".

La Tabla 11.4 resume las interacciones que Juan orquestó en su clase:

Tabla 11.4. Tipos de orquestación (interacciones) de Juan en su clase de grado primero

Tipos de orquestación

(interacciones)

Desempeño didáctico y uso del recurso por Juan

Estudiante-recurso El profesor propone una organización de la clase en la que se enfatiza el

trabajo individual: cada estudiante cuenta con una computadora para

trabajar y debe asumir como propio el trabajo propuesto.

El conocimiento se valida a partir de la acción de los niños sobre el

recurso. La retroalimentación que el recurso le ofrezca a los niños es

central.

Profesor-recurso-

estudiante

Juan interacciona con varios estudiantes de manera individual. Sus

acciones son: checar el trabajo de los niños, hacer preguntas (y

responderlas), hacer aclaraciones y validar conocimientos. Juan usa la

información que obtiene de esta interacción para hacer intervenciones a

toda la clase (recomendaciones o sugerencias), o sea, para nutrir el

siguiente tipo de orquestación, la “interacción profesor-recurso-grupo".

Profesor-recurso-grupo Juan reúne a la clase y usa una computadora conectada a un proyector.

Va seleccionando estudiantes para que exhiban su trabajo frente al

grupo. Juan no resuelve las tareas, pero sí hace preguntas al niño que

presenta frente al grupo.

Juan valida conocimientos a partir de las intervenciones de los

estudiantes y hace una síntesis en el pizarrón. Los niños transcriben esa

síntesis en sus cuadernos.


152

11.5. REFLEXIÓN DE JUAN DESPUÉS DE LA CLASE SOBRE EL RECURSO Y SU

ORQUESTACIÓN

En la entrevista posterior a la clase aquí analizada, Juan consideró que su orquestación

fue adecuada. Sin embargo, el profesor se percató de las limitaciones y debilidades de la tarea

que el recurso proporcionaba a sus estudiantes: es decir, Juan se dio cuenta que la estrategia

principal que siguieron los niños para resolver la tarea fue la de ensayo y error. Esta estrategia

de los estudiantes se basó en la retroalimentación de "correcto o incorrecto" que daba el

recurso y que los niños usaron como información para escoger la figura correcta, sin

necesariamente considerar aspectos geométricos que determinaban si la figura era abierta o

cerrada. Cuando el profesor se percató de que los niños estaban usando el “ensayo y error”,

decidió que ya no tenía sentido que los niños continuaran individualmente con la actividad, y

que era el momento de iniciar la socialización (una “interacción profesor-recurso-grupo”).

Juan expresó explícitamente su preocupación al respecto de las limitaciones del

recurso, explicando que esta fue la razón por la cual la tarea fue seguida por una discusión

colectiva:

“... como maestro, uno tiene la responsabilidad de asegurarse de que los niños

aprendan. La herramienta [el recurso que seleccionó] puede ayudar, pero no

puede hacer todo ... al final de la clase, hago una discusión en clase con los niños,

uso la herramienta y trabajo con ellos para reforzar ideas, para que todo esté claro

y terminar bien la clase”.

(Juan, fragmento de entrevista).

11.6. CONCLUSIONES DEL ESTUDIO DE CASO DE JUAN

Analizando las declaraciones de Juan en las entrevistas y sus acciones en clase,

inferimos que los elementos que orientaron su proceso de selección y uso del recurso digital,

fueron su ETM personal; y el tipo de ETM adecuado (i.e., adaptado didácticamente por Juan

para su clase):

Respecto al ETM personal de Juan, éste incluye, primeramente, los conocimientos

profesionales de Juan sobre las características de las líneas abiertas y cerradas y otros

conceptos relacionados (e.g. vértice y segmento de recta). Por otro lado, también incluye

sus consideraciones didácticas sobre la enseñanza del tema geométrico de su clase, su


153

entendimiento de las orientaciones curriculares al respecto, y el uso de recursos digitales

para esa enseñanza.

Respecto al ETM adecuado por Juan para su clase: Él determina qué conocimientos

geométricos son los que se van a poner en juego en su clase y qué características de los

mismos se van a enfatizar. Además, establece una meta “local” de aprendizaje para sus

estudiantes, y un principio estructurador que se relaciona con todos sus criterios de

selección.

Estos aspectos que orientan el proceso de selección de Juan, involucran:

Criterios que Juan puso en juego para seleccionar el recurso digital para su clase.

La orquestación que Juan hizo de su clase usando ese recurso seleccionado.

A continuación presentamos el siguiente caso analizado en la Primera Fase de la

investigación (el caso del profesor Pedro de quinto grado).

154

12. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (1ª PARTE): EL

RECURSO DIGITAL COMO UN CONTEXTO PARA LA

CONSTRUCCIÓN Y LA EXPLORACIÓN

A continuación presentamos el segundo caso de estudio de la Primera Fase, sobre el

profesor Pedro y su clase de geometría de quinto grado. Pedro fue el único profesor de nuestro

estudio que participó en ambas fases (Primera y Segunda) de la investigación; por tanto,

presentaremos el análisis de su caso en las dos partes respectivas a cada fase. En este capítulo

presentamos la primera parte relacionada con los datos que se tomaron en la Primera Fase. La

segunda parte (correspondiente a los datos recabados durante la Segunda Fase, un año y medio

después de la Primera Fase) se discute en el capítulo 17.

12.1. DETALLES DEL GRUPO, META Y CLASE OBSERVADA DE PEDRO

Para la Primera Fase, la clase de Pedro estaba conformada por un grupo de 46 niños y

niñas de grado quinto, con edades entre 10 y 11 años.

Figura 12.1. Escena de la clase de Pedro de quinto grado

CAP. 12. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (1ª PARTE): EL RECURSO DIGITAL COMO UN CONTEXTO PARA LA CONSTRUCCIÓN Y LA

EXPLORACIÓN

155

La meta de aprendizaje, propuesta por Pedro para el periodo en el que se ubicaba la

clase observada, no se restringía a esa única clase, sino que abarcaba un conjunto de clases de

geometría, en un rango de dos meses (durante el segundo trimestre del año escolar), por medio

de un “proyecto de aula” llamado “La casa de mis sueños”34 (ver Anexo I, y también la

sección 17.1) que implicaba el diseño de una casa culminando en la construcción de una

maqueta de ésta. Para el desarrollo de este proyecto, los estudiantes tenían que llevar a cabo

mediciones de figuras planas. Al ser una meta de aprendizaje a largo plazo con diversas

actividades, categorizamos a esa meta como global (una meta “global” de aprendizaje). La

meta, en sí, de Pedro, era el estudio de algunas magnitudes, como longitud, área y ángulos, sus

unidades de medida, su medición y la estimación de medidas.

En este caso, el profesor Pedro estableció lo que llamamos una meta “global” de

aprendizaje para sus estudiantes: La meta era abordar varios temas relacionados entre sí (e.g.

medidas, medición y comparación de longitudes, áreas y ángulos) a lo largo de un periodo de

varias semanas. Esta meta orientó la selección del recurso que hizo Pedro, buscando que el

recurso seleccionado se usara en varias clases y para diversas actividades. Como su meta

involucra tanto objetivos específicos como generales, relacionados con acciones, procesos y

actividades diversos, a mediano y largo plazo, consideramos a esa meta y a la selección del

recurso como “globales”.

En particular, Pedro quería que sus estudiantes pudieran comprender cuáles atributos

de los objetos son mensurables (e.g. la distancia, la amplitud angular y la superficie); y que

ellos identificaran unidades que les permitan hacer determinadas mediciones (ver sus

comentarios contenidos en la Tabla 12.1). La clase analizada (ver Figura 12.1) se insertaba en

ese “proyecto de aula”.

Una de las características del proyecto “La casa de mis sueños” es que los estudiantes

debían de trabajar colaborativamente en parejas. Siguiendo algunas indicaciones y requisitos

general que el profesor propuso (e.g. la medida del área total que debía ocupar la casa), cada

34 El proyecto de aula “La casa de mis sueños” (ver Anexo I) originalmente fue definido por la M.en C.

Myrian Vásquez Vásquez, durante un programa de formación docente en matemáticas en la escuela de

Pedro, durante los años 2012-2015. Después de esa formación, Pedro continuó con la implementación

de ese proyecto de aula en su práctica docente, adaptándolo. En la sección 17.2presentamos mayores

detalles sobre este proyecto y su desarrollo por parte del profesor Pedro.


EXPLORACIÓN

156

pareja de estudiantes diseñó el plano de una casa, según su gusto, y realizaron varias

actividades que los llevaran a elaborar una maqueta de su casa.

En la clase anterior a la observada, los niños ya habían construido el plano de la casa

en su cuaderno (ver Figura 12.2). En la clase observada, Pedro trabajó cambios de escalas con

sus estudiantes. La actividad consistió en que parejas de alumnos modificaran la escala del

plano trabajado en la clase previa, pero ahora usando un recurso digital (Sweet Home 3D, ver

más abajo), y con éste visualizaran el nuevo plano en las ventanas 2D y 3D del recurso.

Figura 12.2. Trabajo previo de los estudiantes de Pedro

12.2. ETM DE REFERENCIA CON RESPECTO A LAS METAS DEL PROYECTO DE

AULA DE PEDRO

Como parte de nuestro análisis identificamos dos elementos importantes en el ETM de

referencia de Pedro: (i) los aspectos de las orientaciones curriculares que él tiene en cuenta

para desarrollar su proyecto de aula y (ii) las metas que el profesor establece para dicho

proyecto.

Respecto a las orientaciones curriculares que Pedro tuvo en cuenta, identificamos que

sus acciones estaban ancladas en las orientaciones del MEN (1998, 2006) sobre el estudio de

las magnitudes y su medida; el desarrollo del pensamiento métrico; y el pensamiento espacial.

De acuerdo a esto, Pedro estableció dos tipos de metas:


EXPLORACIÓN

157

Como se dijo antes, la meta del “proyecto de aula” era el diseño de una casa, cuya

meta “global” de aprendizaje era que sus estudiantes aprendieran a identificar

magnitudes, medirlas, reconocer sus respectivas unidades de medida y realizar procesos

de medición. Llamamos “global” a esta meta ya que incluye actividades y procesos que

se desarrollan a largo plazo, en un periodo aproximado de dos meses (para mayores

detalles ver Tabla 12.1).

La meta “local” de aprendizaje es la correspondiente a la clase que analizamos. Esta

meta era que los niños aprendieran a hacer cambios de escala en un plano. Llamamos

“local” a esta meta ya que incluye actividades y procesos que se desarrollan en una sola

clase.

Como habíamos mencionado en el apartado 5.2, Berthelot y Sali (1992) señalan que el

aprendizaje del cambio de escalas (en representaciones planas) implica el desarrollo de

procesos de ubicación y orientación a distintos niveles. Asimismo, y como también

mencionamos en el apartado 5.2, Gálvez (1985) caracteriza tres distintos “tamaños del

espacio” de acuerdo a las distintas las interacciones que el sujeto puede llegar a tener con el

mismo: microespacio, mesoespacio y macroespacio.

En el caso de la clase de Pedro es notorio cómo el tipo de actividades que propone a

sus estudiantes involucra actividades en dos de los niveles propuestos por Gálvez (1985):

A nivel de microespacio: Pedro propuso actividades que involucran el espacio

próximo (e.g. tomar en cuanta objetos del salón de clases), la visualización de objetos

próximos (e.g. usando la vista 3D del recurso seleccionado para la clase), y el tener

control de dichos objetos (e.g. poder modificar el tamaño de objetos mediante las

herramientas disponibles en el recurso) .

A nivel de mesoespacio: Como el mesoespacio tiene extensión (Gálvez, 1985 –ver

sección 5.2), las nociones de distancia entre objetos y ángulo, cobran importancia, y se

debe tener una “visión global” que le permite al sujeto representar el espacio desde

distintos puntos de referencia (objetos fijos que sirven para ubicar otros objetos). En este

caso, al proponer Pedro el proyecto del diseño y construcción del plano de una casa, esto

implicaba actividades de medición de distancias, áreas y ángulos; y ,los niños tenían que

establecer o tomar en cuenta, distintos puntos de referencia (e.g. una pared o una puerta)

y orientarse de acuerdo a ellos (teniendo así una visión global).


EXPLORACIÓN

158

Todas estos elementos que pudimos inferir en nuestras observaciones de la clase de

Pedro, se relacionan con los conocimientos geométricos del profesor que analizamos a

continuación.

12.3. CONOCIMIENTOS GEOMÉTRICOS Y ETM PERSONAL DE PEDRO SOBRE LA

MEDIDA Y LA MEDICIÓN

Respecto al ETM personal de Pedro (sus conocimientos de geometría y su enseñanza),

se observa cierto grado de claridad en identificar y describir los aspectos geométricos

involucrados en su clase: magnitud, medida, medición de longitudes y superficies. En las

entrevistas (antes y después de la clase aquí analizada), Pedro mostró que sus conocimientos

de geometría de su ETM personal, le daban claridad sobre el contenido matemático que iba a

abordar en la clase, así como del aporte del recurso digital. Este ETM personal de Pedro

contemplaba algunos conceptos relacionados con la medida y la medición.

Como ejemplo de ello, en la Tabla 12.1, se muestran fragmentos de la entrevista previa

a la clase observada, donde Pedro dejó claro algunos de estos elementos de su ETM, respecto

al tema que propuso para su clase:

Tabla 12.1. Fragmentos de la entrevista previa a la clase observada de Pedro

Cuestión Fragmento

Comentarios

(Elementos del ETM de

Pedro)

Proyecto

de aula

Entrevistadora: ¿Cuál es su propósito con este proyecto?

Pedro: … con este proyecto de aula yo busco que los

niños aprendan a diferenciar qué se puede medir y

que cosas no… por ejemplo, que puedo medir las

magnitudes… como la distancia… pero que no

puedo medir cosas abstractas… como el amor…

También quiero que aprendan a usar las unidades

de medida, a hacer aproximaciones, cambios de

escala, leer un plano, usen herramientas para

poder las cosas que van a ir metiendo en sus

casas.

Pedro expresa conocimientos

sobre las magnitudes y su

medida. Específicamente

señala las características de

una magnitud en términos de

“qué se puede medir y qué

no”. Además, expresa

algunas ideas de actividades

relacionadas con la medición,

por ejemplo, la estimación y

el uso de instrumentos.


EXPLORACIÓN

159

Usos del

recurso

digital

Entrevistadora: ¿Qué aporta el uso de este recurso

digital que va a usar en el proyecto?

Pedro: … pues tiene unas herramientas muy buenas para

identificar las unidades que los niños le deben

poner a una medida; los niños se tienen que fijar

bien en qué unidad para cada magnitud… porque

es muy común que confundan centímetros, con

centímetros cuadrados, y esas cosas, son confusas

para ellos… Lo que busco es que puedan asignar

la unidad de medida correcta… y que la usen y

vean como queda la casa usando las unidades

correctas.

Pedro señala la meta de

aprendizaje para los

estudiantes a través del

proyecto a desarrollar. Dicha

meta es coherente con los

conocimientos sobre

magnitudes y su medida que

el profesor había

contemplado anteriormente.

Tema

geométrico

Entrevistadora: Entonces, ¿van a trabajar con varias

magnitudes?

Pedro: Solo con distancia y áreas… superficies planas y

ángulos. Cosas sencillas que sean de la vida

misma de los niños.

El profesor determina con

qué magnitudes van a

trabajar en el proyecto; da

algunas razones que

justifican su elección.

Tema

geométrico

Entrevistadora: Como profesor, ¿qué tiene usted en

cuenta cuando está hablando de magnitudes como

la longitud?

Pedro: …cuando uno tiene dos o más segmentos, pues

puede ver sus características; que pueda hacer

que uno los compare… Uno, lo primera que

piensa, es compararlos por el tamaño… ese

tamaño… saber qué tan largo es… es la

longitud… Así, uno puede saber si un segmento es

más grande que otro, o de igual tamaño… Para

eso me sirve el recurso: vos podés comparar, ya

sea así, de ojo, o midiendo.

Pedro expresa algunas

consideraciones didácticas

sobre la enseñanza de las

magnitudes y su medida;

resalta algunos

procedimientos para la

comparación de magnitudes.

12.4. SELECCIÓN POR PEDRO DEL RECURSO PARA SU CLASE

Como mencionamos arriba, en la clase observada Pedro propuso continuar el diseño de

la casa usando un recurso digital.

12.4.1. El recurso seleccionado por Pedro

Para lograr que sus estudiantes alcanzaran la meta “global” de aprendizaje definida por

Pedro, éste propuso el proyecto que hemos descrito anteriormente del diseño de una casa, para

lo cual buscó una herramienta que le permitiera a sus estudiantes realizar las diversas


EXPLORACIÓN

160

requeridas por el proyecto (e.g. el diseño de planos). El recurso que seleccionó fue

Sweet Home 3D35 (ver Figura 12.3).

Figura 12.3. Interfaz de trabajo del recurso seleccionado por Pedro

Sweet Home 3D es un software gratuito para el diseño arquitectónico de casas y diseño

de interiores. Contiene una serie de herramientas para construir, medir, adaptar y modificar

objetos de una casa (e.g. puertas, ventanas, muebles). Otra de sus características es que

permite hacer visualizaciones 2D y 3D de los objetos que se van construyendo. En la Figura

12.3 puede observarse la apariencia general del recurso.

Teniendo en cuenta esas características, la selección del recurso de Pedro satisfacía sus

necesidades, es decir, sus criterios subyacentes, los cuales discutimos a continuación.

12.4.2. Criterios de Pedro para la selección del recurso

A partir de lo expresado por Pedro en las entrevistas (antes y después de la clase

observada), y de nuestras observaciones de su clase, pudimos inferir y categorizar sus criterios

de selección del recurso. Primero, al insertarse el recurso en un proyecto de carácter “global”,

como señalamos arriba, consideramos que también la selección del recurso fue "global" (a

35 Sweet Home 3D se encuentra disponible en http://www.sweethome3d.com/

http://www.sweethome3d.com/


EXPLORACIÓN

161

diferencia de "local", como en el caso de Juan), porque Pedro quería que ese recurso pudiera

usarse en varias clases. De hecho, Pedro expresó el requisito de que el recurso tuviera

características amplias para así poderse usar en distintas actividades y en múltiples clases, y

satisficiera sus criterios didácticos (e.g. que el recurso facilite la exploración y la construcción,

así como el trabajo colaborativo).

Así, inferimos los criterios de selección de Pedro (Tabla 12.2 y Tabla 12.3), usando las

categorías generales según el tipo de criterio: Curricular, Cognitivo, Características didácticas,

Contenido Geométrico y Ergonómico que ya habíamos definido previamente para el caso de

Juan (ver sección 11.3.2): En el caso de Pedro, inferimos que sus principales criterios de

selección del recurso estaban relacionados con el contenido matemático o geométrico y con

las características didácticas que se buscan en el mismo. Pedro también definió otros

requisitos para el recurso, asociados a los dos criterios anteriores; en particular, buscaba que el

programa (el recurso) tuviera ciertas características relacionadas con el criterio ergonómico,

tales como que incluyera comandos o herramientas para llevar a cabo mediciones, o para

visualizar en 2D y 3D. En resumen y de manera general, para Pedro el recurso debía tener las

siguientes características:

(i) Debía facilitar el aprendizaje del tema de la medición de longitudes, áreas y ángulos

(que se aplicaría en la construcción, visualización y verificación de la construcción de la casa a

través del recurso digital) –criterios de contenido matemático (geométrico), de tipo cognitivo y

de características didácticas del recurso.

(ii) Contar con herramientas para medir distintas magnitudes, hacer cambios de unidad

de medida y de escala, –criterios ergonómico y de contenido matemático.

(iii) Y ser una tecnología que permitiera que los estudiantes trabajaran mayormente de

forma autónoma en sus creaciones y medidas (y el profesor fuera solo un apoyo) pero que, a la

vez, facilitara el trabajo colaborativo (Pedro dijo explícitamente eso, ya que quería que los

estudiantes trabajaran en parejas) –criterios de características didácticas del recurso y de tipo

ergonómico

La Tabla 12.2 resume los criterios de selección de Pedro. Las evidencias de cada

criterio, se presentan más abajo, en la Tabla 12.3.


EXPLORACIÓN

162

Tabla 12.2. Categorización de los criterios de selección del recurso digital (caso de Pedro)

Tipo de criterio

de selección

Definición Particularidades en el caso de Pedro

Curricular Se refiere a los propósitos o

metas de enseñanza del profesor

y su coherencia con las

orientaciones curriculares

(nacionales e institucionales).

Pedro contempla algunas recomendaciones del

currículo sobre la enseñanza de las magnitudes

y su medida y el desarrollo del pensamiento

métrico.

Cognitivo Se refiere a cómo el recurso

puede apoyar los aprendizajes de

los alumnos.

Pedro busca que el recurso facilite el

razonamiento respecto a las características de

las figuras, a través de la construcción y

visualización (procesos ubicados en el plano

cognitivo de los ETM por Kuzniak & Richard

(2014) – ver sección 4.2.2) .

Características

didácticas



Pedro busca que cada pareja de estudiantes

pudiera trabajar de manera autónoma con el

recurso, pero que al a vez el recurso permitiera

el trabajo colaborativo. También considera las

maneras cómo el recurso puede integrarse con

las actividades de su proyecto de aula.

Contenido

matemático

(contenido

geométrico)

Alude al contenido matemático,

en este caso geométrico, que

facilita el recurso durante las


desarrollan con éste.

Pedro considera cómo el recurso facilita

trabajar con magnitudes y su medida,

incluyendo, por ejemplo, el manejo de

equivalencias entre unidades de una misma

magnitud.

Ergonómico Se refiere a las características

técnicas y de procedimiento del

recurso. También incluye

características de la interfaz, la

disposición y funciones de las

herramientas.

Pedro toma en cuenta el tipo de herramientas

con las que cuenta el recurso (e.g., para medir,

trazar, modificar), las características visuales

de la interfaz incluyendo las posibilidades de

visualización en 2D y 3D de las

construcciones hechas por los estudiantes.

A partir de las entrevistas y acciones de Pedro, inferimos los criterios que orientaron su

proceso de selección del recurso digital para su clase. Consideramos que, en el caso de Pedro,

todos los criterios fueron importantes, aunque los asociados con el contenido matemático

(contenido geométrico) y las características didácticas del recurso fueron los más

predominantes, y de éstos dependieron los otros criterios.


EXPLORACIÓN

163

Respecto a los criterios matemáticos, podríamos interpretar la postura de Pedro así: es

un proyecto de geometría, por tanto, los recursos que vamos a usar deben servir para hacer

geometría”, lo cual determinó la naturaleza de los criterios ergonómicos, curriculares y

cognitivos. Los criterios asociados a las características didácticas del recurso se asocian más

con la intención del profesor de que el recurso facilitara que sus estudiantes compartieran

ideas y se apoyaran mutuamente, lo que constituyó un principio estructurador basado en el

trabajo colaborativo.

Respecto a los criterios curriculares, Pedro menciona de manera explícita la necesidad

de responder a las demandas del currículo, especialmente a las de los Estándares Básicos de

Competencias (MEN, 2006) señalando su interés por trabajar aspectos del pensamiento

métrico: que los estudiantes puedan comparar las características mensurables de los objetos,

usar determinadas unidades de medida de acuerdo a la situación y hacer equivalencias entre

ellas, todo lo anterior en un contexto de la “vida diaria”.

Un poco relacionado con lo anterior identificamos los criterios cognitivos, estando

éstos enfocados en el razonamiento que puede facilitar el combinar visualización en 2D y en

3D, con lo que el profesor busca que el recurso le permita a sus estudiantes identificar las

características mensurables de las figuras, realizar estimaciones, construir el plano de la casa y

comprobar (monitorear) si este quedó bien hecho

La Tabla 12.3 presenta evidencias de los tipos de criterios (de contenido matemático o

geométrico; de características didácticas; curricular; y cognitivo) considerados por Pedro para

su selección del recurso digital:

Tabla 12.3. Criterios de selección de un recurso digital (Pedro)

Meta “global” de aprendizaje:

Identificar magnitudes, medirlas, reconocer sus respectivas unidades de medida y realizar procesos de

medición.

Criterio de selección usado por Pedro Tipo de criterio

La tarea que los niños desarrollan usando el recurso debe tener buen

contenido geométrico. Pedro señala:

"… es la clase de geometría, el proyecto es de geometría, el software debe

traer cosas de geometría y que se vean, que los niños sepan que están

usando los conceptos de la clase”.

Contenido

matemático

(contenido

geométrico)


EXPLORACIÓN

164

El recurso debe facilitar la exploración y la construcción de los estudiantes.

Pedro señala:

"La idea de trabajar con Sweet Home, es que los niños vean qué cosas se

pueden medir, cuáles no, cómo mido cada cosa, qué unidades de media

debo usar y así van mirando, van probando, ensayan, se equivocan y van

aprendiendo… y van a aplicar eso en algo concreto… en la construcción de

algo que ellos mismos hacen a su gusto, con sus conocimientos”

Trabajo colaborativo. Pedro señala:

"Las tecnologías son para que los niños aprendan a trabajar con su

compañero, hacer trabajo colaborativo… a mi me gusta que una pareja de

ellos se haga adelante y que todos vean su trabajo, porque eso les sirve de

guía y a mí me ayuda porque ven cómo se hacen las cosas y los que van

más atrasados tiene un modelo para hacer lo suyo”.

Características

didácticas

Las tareas desarrolladas usando el recurso deben ser coherentes con las

orientaciones del currículo:

“Uno verifica antes cómo es que se hacen las cosas con el software para

poder explicarle a los niños, tratando uno de ver que los que los niños van

a hacer es lo que dicen los estándares, lo que nos dicen en las reuniones…

que usen las medidas en contextos reales, para su vida, que no se trata de

memorizar fórmulas de conversión sino de aplicar los conocimientos, que

distingan las magnitudes unas de otras y sepan usarlas dependiendo de los

que están haciendo.”

Curriculares

Al facilitar la visualización en 2D y 3D, el recurso apoya el razonamiento

respecto a las características de las figuras, a través de la construcción y

visualización. Pedro señala:

"[Al] ver la construcción en 3D y ven como queda [los alumnos] dicen:’ uy,

esa pared nos quedó muy larga, hay que medir otra vez y recortarla 2

metros’”

Cognitivo

El recurso debe proveer de herramientas variadas y facilitar la visualización

en 2D y 3D. Pedro señala:

"Lo que más me gusta de Sweet Home es que los niños van haciendo su

plano… hay bastantes herramientas para hacer las paredes, las puertas

todo, y luego ver la construcción en 3D y ven como queda”

El recurso debe ser apto para ser usado en varias clases y con varios

propósitos. Pedro señala:

"... Yo quiero un software que pueda usar de varias maneras, de muchas

formas, porque lo vamos a trabajar mucho tiempo, entonces queremos

hacer muchas cosas con él”

Ergonómico

12.5. USO Y ORQUESTACIÓN POR PEDRO DEL RECURSO EN SU CLASE

Para su clase, Pedro planificó previamente sus metas, actividades específicas para sus

estudiantes, seleccionó los materiales y recursos necesarios, y previó la forma en que se

organizaría su clase. Así, Pedro concibió un ETM adecuado, orquestado de manera que se


EXPLORACIÓN

165

promoviera el trabajo colaborativo de los estudiantes: una pareja compartía su trabajo en el

proyector (pareja guía), mientras los demás alumnos trabajaban en pequeños grupos (parejas)

con el profesor checando el trabajo de cada pareja, haciendo intervenciones que todo el grupo

escuchara.

Así, consideramos que la orquestación que Pedro hizo de su clase involucró los

siguientes aspectos, elaborados en la Tabla 11.3:

las metas de Pedro: la global de su proyecto de aula, y la local para esta clase;

la gestión de los recursos y artefactos disponibles (en este caso, incluyendo el uso del

recurso digital propuesto por Pedro para su proyecto de aula);

la tarea propuesta a los estudiantes a través del uso del recurso; y


Tabla 12.4. Aspectos de la orquestación de Pedro en su clase de grado quinto

Aspectos de la

orquestación de Pedro

Descripción

Propósito educativo:

Definición de las metas

de aprendizaje

El profesor define dos tipos de metas:

Meta “global” de aprendizaje: identificar magnitudes, medirlas,

reconocer sus respectivas unidades de medida y realizar procesos de

medición.

Meta “local” de aprendizaje: realizar cambios de escala en un plano.

Organización de la clase:

trabajo colaborativo

Pedro organizó su clase para que el trabajo de una “pareja guía” se

compartiera al resto del grupo, mientras los demás estudiantes trabajaban

en parejas de manera colaborativa y autónoma. El profesor apoyaba el

trabajo de cada pareja y hacía observaciones generales al grupo.

Gestión de los recursos y

artefactos disponibles

El profesor planeó usar el recurso seleccionado en varias clases y en

distintas actividades (i.e. fue una selección de tipo “global”), junto con

artefactos como: un proyector de video, la pizarra y (en el caso de los

estudiantes) lápiz, papel y regla graduada. Para el uso del recurso digital

en la clase observada, el profesor estableció que los estudiantes usaran (en

parejas) el recurso durante toda la clase, con una pareja de estudiantes

conectada a un proyector para guiar a los demás.

Propuesta de actividades

didácticas apoyadas en el

recurso digital

Pedro orquestó su clase en base a lo que pensaba que aportaría el uso del

recurso digital a su clase: apoyar las construcciones geométricas de los

estudiantes (en el diseño de una casa). En esta clase en particular, propuso

la actividad de cambiar escalas en el plano de la casa y verificar que se

cumplieran los requisitos (en cuanto a las medidas que debían de contener

el plano de la casa).


EXPLORACIÓN

166

Así, la orquestación de Pedro involucró tres tipos de organización de la clase (ver

Tabla 12.5) organizada en cuatro tipos de orquestación: interacciones “pareja de estudiantes-

recurso”, “pareja guía-recurso-grupo”, “profesor-recurso-parejas de estudiantes” y “profesor-

recurso-grupo”, las cuales forman parte de lo que Drijvers et al. (2013) llaman el desempeño

didáctico (didactical performance) del profesor. La Tabla 12.5 resume las interacciones que

Pedro orquestó en su clase:

Tabla 12.5. Niveles de orquestación propuestos por Pedro en su clase de grado quinto

Tipos de orquestación

(interacciones)

Desempeño didáctico y uso del recurso por Pedro

Parejas de estudiantes-recurso El profesor planteó la tarea a realizarse en parejas. Cada pareja

contaba con acceso al recurso propuesto para la clase.

Pareja guía– recurso–grupo En la parte delantera de la clase, una pareja de alumnas sirvieron de

guía exhibiendo todo su trabajo al grupo, a través de un proyector.

El profesor usaba la información obtenida en esta interacción para

ejemplificar formas de trabajo a todo el grupo para así orientar la

actividad general de la clase.

Profesor– recurso– parejas de

estudiantes

El profesor interactuaba con los pequeños grupos (las parejas).

Hacía preguntas, daba orientaciones y hacía correcciones.

Aprovechaba para evaluar el avance del trabajo de cada grupo de

estudiantes.

Profesor – recurso - grupo El profesor hacía uso directo del recurso para dar instrucciones

generales a la clase sobre cómo usarlo o introducir algún ejemplo u

aclaración.

Figura 12.4. Pareja guía de la clase de Pedro


EXPLORACIÓN

167

Teniendo en cuenta los niveles de orquestación que Pedro propuso en su clase,

identificamos que este profesor estableció un principio didáctico colaborativo para su clase y

este principio orientó su proceso de selección del recurso. Pedro seleccionó una herramienta

universal que le permitiría promover interacciones diversas entre los estudiantes y el recurso, y

propuso una configuración didáctica que contemplaba el papel de una “pareja guía” (ver

Figura 12.4) para orientar y apoyar el trabajo de los demás estudiantes y el suyo propio como

maestro. Para ello, Pedro seleccionó a dos estudiantes para que conformaran la “pareja guía”,

considerando su desempeño académico en la clase y que su participación fuera voluntaria.

Esta configuración de la clase que planteó Pedro, nos recuerda la configuración

propuesta por Trouche (2004) en la que un “estudiante sherpa” proyecta su trabajo en una

calculadora gráfica ante toda la clase; lo cual sirve como una referencia o guía para lo

estudiantes y para el profesor mismo. Trouche (2004) considera que este tipo de orquestación

favorece la gestión colectiva de los procesos de génesis instrumental, ya que lo que el

“estudiante sherpa” hace con su calculadora le permite al profesor obtener información sobre

los esquemas de acciones instrumentadas que están construyendo los estudiantes.

En el caso de Pedro, la pareja guía, como en el caso relatado por Trouche (2004),

también proyectaba su trabajo ante toda la clase, servía de referencia a sus compañeros y el

profesor aprovechaba esta situación para hacer orientaciones y explicaciones a toda la clase o

a algunos estudiantes particularmente. En la orquestación de Pedro estaba permitida la

interacción entre estudiantes, así que algunos de ellos aprovechaban para hacerle preguntas a

la “pareja guía”, y también se hacían preguntas o solicitaban ayuda entre ellos mismos o al

profesor.

En conclusión, nuestros análisis muestran que los conocimientos profesionales de

Pedro sobre la geometría; su enseñanza y aprendizaje; lo señalado por el currículo; así como

otros adicionales (en particular, sus conocimientos sobre las tecnologías digitales), orientan su

posible orquestación de la clase y por tanto sus criterios de selección de recursos. En la

siguiente sección presentamos nuestras conclusiones sobre cómo estos conocimientos del

profesor (desde la perspectiva de los ETM) se relaciona con el proceso de selección de

recursos seguido por Pedro.


EXPLORACIÓN

168

12.6. CONCLUSIONES DEL ESTUDIO DE CASO DE PEDRO

Analizando las declaraciones de Pedro en las entrevistas y sus acciones en clase,

inferimos que los elementos que orientaron su proceso de selección y uso del recurso digital,

fueron los tres niveles del ETM (el ETM de referencia, su ETM personal y el tipo de ETM

adecuado, es decir, adaptado didácticamente por Pedro para su clase):

Respecto al ETM de referencia: Éste está influenciado por las orientaciones

curriculares que propone el MEN (1998, 2006) sobre el estudio de las magnitudes y su

medida y el desarrollo del pensamiento métrico y el pensamiento espacial. A partir de

estas orientaciones, Pedro determinó las metas de aprendizaje para sus estudiantes: una

meta “global” de aprendizaje relacionada con su proyecto de aula, y una meta “local” de

aprendizaje para su clase.

Respecto al ETM personal de Pedro: Incluye las consideraciones didácticas del

profesor sobre el desarrollo del pensamiento métrico (e.g. el papel del diseño como

estrategia didáctica), el uso de recursos digitales y su entendimiento de las orientaciones

curriculares.

Respecto al ETM adecuado por Pedro para su clase: Teniendo en cuenta lo

anterior, Pedro determinó qué conocimientos matemáticos (geométricos) eran los que se

iban a poner en juego en su clase y qué características de éstos se iban a enfatizar. En

base a eso, el profesor propuso las actividades que realizarían sus estudiantes, con qué

recursos o artefactos iban a trabajar y cómo los iban a usar, proponiendo también una

cierta configuración didáctica (basada en múltiples interacciones entre el recurso, los

estudiantes y él mismo).

Estos aspectos que orientaron el proceso de selección de Pedro, involucraron:

Criterios que Pedro puso en juego para seleccionar el recurso digital para su clase.

La orquestación que Pedro hizo de su clase usando ese recurso seleccionado, la cual

promovió el trabajo colaborativo de los estudiantes.

En el siguiente apartado presentamos el estudio del caso colectivo que realizamos en la

Primera Fase.

169

13. ESTUDIO DE CASO COLECTIVO

Como se mencionó en el capítulo 10, la segunda etapa de la Primera Fase fue un

estudio de caso colectivo de un grupo de treinta profesores de primaria, que incluía a los

profesores Juan y Pedro (participantes en la primera etapa), con quienes ya se había trabajado

previamente.

13.1. ORGANIZACIÓN DEL TRABAJO COLECTIVO CON EL GRUPO DE MAESTROS

Meses después de haber trabajado con Juan y Pedro, organizamos una reunión (i.e.

taller de profesores) con el grupo de 30 profesores de primaria de su escuela (ver Capítulo 10),

para reflexionar colectivamente sobre la importancia de contar con criterios de selección de

recursos digitales. Para esto, se propuso que Juan y Pedro compartieran con el grupo de

profesores, sus experiencias y el análisis hecho de su trabajo con recursos. El diseño

metodológico de la reflexión retrospectiva llevada a cabo por el grupo de profesores constó de

tres momentos en una sesión de 6 horas (ver Tabla 13.1):

Tabla 13.1. Diseño de la sesión de reflexión colectiva (Primera Fase)

Introducción a la

experiencia

Narración por Juan y Pedro de sus experiencias y reflexiones sobre su

selección de recursos digitales.

Preguntas de los participantes y reflexión colectiva inicial.

“Re-cursando” la

experiencia

Proyección de videos de las clases de Juan y Pedro.

Debate respecto a la orquestación del recurso seleccionado.

Conclusiones del

análisis

Conclusiones del análisis colectivo de la experiencia de Juan y Pedro.

Reflexiones colectivas sobre la selección de los recursos digitales:

¿qué criterios adicionales se deben considerar?

13.2. DESCRIPCIÓN DE LA EXPERIENCIA Y RESULTADOS

Aquí presentamos algunos resultados del estudio de caso colectivo donde el grupo de

30 profesores reflexionó sobre la selección y uso de recursos que Juan y Pedro hicieron en las

clases que nosotros observamos.

CAP. 13. ESTUDIO DE CASO COLECTIVO

170

En un primer momento, se hizo la introducción a la experiencia de Juan: éste narró que

había seleccionado un recurso libre (“Juego de curvas abiertas y cerradas” –ver sección

11.3.1) para el estudio de las líneas geométricas abiertas y cerradas, tomado de un repositorio

(http://www.mundoprimaria.com/juegos-matematicas) que él consideraba de sus favoritos,

porque ofrece recursos dispuestos en grados de escolaridad y temáticas, lo que le facilita su

búsqueda.

Durante su narración, Juan expresó que antes de seleccionar el recurso, había tomado

en cuenta el tipo de organización que pretendía proponer en su clase: que cada estudiante

trabajara inicialmente solo, para después compartir y validar los conocimientos que

construyeron los niños, de forma plenaria.

En el caso de Pedro, su narración resaltó la selección del recurso que utilizó (Sweet

Home 3D –ver sección 12.4.1) como un software gratuito para el diseño arquitectónico de

casas e interiores que contiene una serie de herramientas para construir, medir, adaptar y

modificar objetos de una casa (e.g. puertas, ventanas, muebles). Pedro señaló que para él fue

importante proponer una organización de la clase basada en el trabajo colaborativo entre

pequeños grupos y el grupo completo. Pedro explicó que le interesó establecer un tipo de

trabajo colaborativo en la clase y la selección del recurso responde a esa intención.

En el segundo momento, que llamamos “re-cursando la experiencia”, el grupo de

profesores interactuó con los recursos seleccionados por sus colegas (ver Figura 13.1).

Figura 13.1. Profesores interactuando con los recursos seleccionados por Juan y Pedro

http://www.mundoprimaria.com/juegos-matematicas


171

Durante este segundo momento, a sugerencia mía, la discusión se centró en los

aspectos matemáticos y didácticos del recurso. Para los profesores, el contenido matemático

del recurso pareciera ser transparente y no ameritar mayor discusión. Nuestra hipótesis frente a

este fenómeno tiene que ver con el conocimiento matemático de los mismos profesores que no

les facilita el tener una mirada crítica y propositiva al respecto. Los profesores debatieron

sobre los criterios ergonómicos y su importancia. Una profesora de grado 3º opinó:

“Lo primero que hay que ver es si eso [el recurso] se puede usar, porque uno

puede encontrar maravillas, pero valen plata, o no se puede usar en los

computadores de la escuela… primero, hay que ver que sirva y que uno lo pueda

usar y los niños. Porque hay cosas complicadas y uno va a gastar un montón de

tiempo en eso y no vale la pena.” (Profesora de tercer grado)

Este tipo de opiniones fueron compartidas por todos los participantes. Los profesores

estuvieron de acuerdo en que los criterios ergonómicos (técnicos, de disponibilidad y

accesibilidad, y de funcionamiento) del recurso, son fundamentales. Al respecto, estuvieron de

acuerdo con los criterios de Juan y Pedro, pero agregaron que es importante considerar la

posibilidad de trabajar con recursos que puedan usarse en diferentes tipos de dispositivos

(tanto en PCs, como en celulares o tabletas); reflexionaron sobre la portabilidad del recurso y

la posibilidad de trabajar con tecnologías digitales en espacios distintos al salón de clases o la

sala de Informática (e.g. la biblioteca o el patio). Los profesores también discutieron la

importancia de que el uso de los recursos digitales, en general, no se restrinja solo a una única

asignatura, sino que se usen en varias, así como en distintas actividades de la vida escolar (e.g.

el uso de Facebook para apoyar el desarrollo de actividades culturales).

Un aspecto relevante que se debatió tuvo que ver con la disponibilidad de recursos para

la enseñanza de la geometría en primeros grados. Los profesores estuvieron de acuerdo en que

no son abundantes los recursos para estos grados (ni de la mejor calidad), lo que conlleva a

que los profesores estén más limitados. Aquí se resaltó la pertinencia de tener criterios de

procedencia del recurso y de la importancia de los portales sugeridos por las autoridades

educativas (e.g. www.colombiaaprende.edu.co). Este aspecto nos parece muy importante: que

los profesores cuenten con una oferta de recursos avalados por las autoridades educativas y

expertos, que les permita hacer selecciones más seguras y pertinentes ya que son propuestas

realizadas. Al respecto, los profesores del estudio dijeron sentirse más cómodos cuando

seleccionan recursos de fuentes institucionales.


172

Finalizada esta discusión, Juan y Pedro presentaron sus reflexiones finales sobre el uso

de recursos digitales en sus clases. En su reflexión final, Pedro hizo hincapié en la necesidad

de tener claridad en el propósito educativo del recurso: ¿Para qué y cómo usar el recurso?

Algunos participantes respondieron que el cómo usar los recursos, depende también de

los conocimientos que tienen los niños de las tecnologías (que pueden ser más avanzados que

los de los profesores), y la dinámica propia de la clase:

“uno les lleva actividades con tecnología y no se sabe qué va a pasar porque los

muchachos la pueden manejar mejor que uno… hay que estar preparado para

todo”. (Profesora de quinto grado).

En todo caso, existió un consenso en que es muy importante tener una planeación

didáctica porque permite tener una “carta de navegación” de la clase, como señaló un

profesor:

“Uno no puede llegar al salón sin saber qué es lo que va a hacer. Desde la Normal

le enseñan a usted cómo planear la clase y qué recursos usar; eso no es nuevo…

Pero, si usted está preparado y tiene una buena carta de navegación: ah, ya sabe

cómo van a ser las cosas y le salen mejor.” (Profesor de cuarto grado)

Continuando con la discusión, los profesores pasaron al tema de la pericia del profesor

para hacer búsquedas eficaces (e.g. saber usar motores de búsqueda de internet) y ser capaz de

prever qué pueden aprender los estudiantes cuando trabajan con el recurso:

“Eso de buscar el recurso no es tan fácil. Uno aprende con el tiempo dónde hay

cosas que le sirvan… o también otro compañero te puede decir que usó eso, de tal

página, y uno mira a ver. Pero, entre más uno busca, aprende, y viendo el recurso

se imagina que pueden hacer los muchachos… para que clase le puede servir”.

(Profesora de segundo grado)

Otro punto que analizaron los profesores tuvo que ver con la organización de la clase.

De manera general, insistieron que una organización colaborativa es la más deseable, pero no

siempre es posible. También hablaron de que debía haber variedad en la organización del

trabajo y en las actividades:

“es que debe haber de todo, que trabajen en grupo, o en solitario, o con los

papás… para que haya variedad y aprendan a hacer cosas distintas”

(Profesora de primer grado)


173

Finalmente, los profesores anexaron otros criterios a los ya propuestos: por ejemplo,

consideraron criterios éticos, como que el recurso no debe incitar a la violencia o la

discriminación, resaltando la responsabilidad social del profesor en sus procesos de selección

de recursos para la clase:

“no debe movilizar mensajes nocivos para los niños. En internet hay de todo,

incluso videos de cosas que no son aptas para los niños. Hay que tener cuidado con

eso”. (Profesora de segundo grado)

13.3. CONCLUSIONES SOBRE EL ESTUDIO DE CASO COLECTIVO

Observamos que los profesores no acostumbran a reflexionar retrospectivamente (a

posteriori) sobre sus experiencias de enseñanza. La reflexión es un proceso complejo de la

actividad profesional del profesor que va más allá de dar una opinión, y que necesita de un

ambiente propicio para su desarrollo (Parada, Figueras & Pluvinage, 2011).

En este caso, fue necesario contar con la narración de colegas y utilizar documentos

(tales como videos y materiales escritos), así como la orientación de un investigador

participante, para suscitar discusiones respecto a qué criterios se consideran cuando se

selecciona un recurso digital para la clase de geometría.

Sin embargo, a partir de las declaraciones de los profesores, inferimos que los

profesores se concientizaron más sobre la importancia de contar con criterios claros que

orienten sus procesos de selección. Asimismo, los profesores resaltaron la importancia de

discutir y compartir (como lo hicieron en el taller) en sus grupos de trabajo para cada grado,

criterios de selección de recursos digitales; además de contar con recursos compartidos.

Aparentemente, los profesores también se percataron de que la selección de un recurso

requiere poner en práctica su conocimiento profesional e implica decisiones que impactarán

fundamentalmente su trabajo.

Un resultado notorio es que los criterios ergonómicos y de procedencia del recurso

fueron los más considerados por los profesores; mientras que los criterios de contenidos

matemáticos y de características didácticas no fueron casi discutidos, por lo que fue necesario

que la investigadora los invitara a hablar de ellos.

El hecho de que los profesores se enfoquen, al menos inicialmente, en los aspectos

ergonómicos y de procedencia del recurso quizás se deba a que la mayor parte de cursos de


174

formación de profesores, relacionados con recursos digitales, que se les ha ofrecido a estos

maestros hacen énfasis en cuestiones técnicas (e.g., aprender a manejar determinado software)

dejando de lado los aspectos de contenido.

Respecto a la formación de profesores, nosotros consideramos que ésta debe buscar

que los profesores de primaria fortalezcan sus conocimientos matemáticos (geométricos) que

se fomentan al usar ciertos recursos como, por ejemplo, la geometría dinámica para explorar

las propiedades de las figuras geométricas. Un énfasis en los aspectos del contenido, en un

programa de formación dirigido a profesores de primaria, permitiría que éstos tomen más en

cuenta sus conocimientos matemáticos para realizar sus consideraciones didácticas (entre ellas

la selección de recursos para sus clases) para su enseñanza de las matemáticas y, en general,

en su práctica docente.

Por otro lado, la etapa de estudio colectivo de la Primera Fase de la investigación, nos

permitió identificar la importancia de la reflexión del profesor como una estrategia

metodológica para obtener datos valiosos respecto al proceso de selección de recursos; por

tanto, decidimos tener en cuenta el aspecto de la reflexión del profesor como un elemento

importante en el diseño metodológico de la Segunda Fase del estudio.

Adicionalmente, esta etapa nos permitió obtener datos adicionales sobre los

conocimientos profesionales de los profesores. Particularmente, nos hizo posible identificar un

tipo de criterio de selección de recursos, que ni Juan o Pedro habían considerado previamente:

nos referimos al criterio ético, es decir, el que toma en cuenta lo relacionado con la

responsabilidad social del profesor al seleccionar recursos para su clase.

En la siguiente sección presentamos las conclusiones finales de la Primera Fase de la

investigación, la cual toma en cuenta los análisis de los casos de Juan, de Pedro y del taller con

el grupo de profesores que acabamos de presentar.

175

14. CONCLUSIONES DE LA PRIMERA FASE DE LA

INVESTIGACIÓN

En el desarrollo de esta Primera Fase, nuestra intención era obtener información sobre

la práctica de los maestros al seleccionar tecnologías digitales (no necesariamente analizando

la efectividad de ese uso). Al analizar el proceso de selección seguido por Juan y Pedro, y las

discusiones y reflexiones durante el taller de 30 maestros, aprendimos que diferentes tipos

criterios de selección de recursos –matemáticos (geométricos), características didácticas,

curriculares, cognitivos, ergonómicos y de procedencia del recurso– adquieren más o menos

importancia según los objetivos didácticos del docente.

En nuestro análisis también identificamos cómo estos “tipos de criterios” expresan, en

términos de Ball, Thames y Phelps (2008), conocimientos profesionales especializados de los

profesores, que se van construyendo a lo largo del tiempo y que son importantes para la

apropiación de los recursos digitales. A continuación, empezamos con esto.

14.1. CONOCIMIENTOS PROFESIONALES Y PERSONALES DE LOS PROFESORES

QUE IMPACTAN SU SELECCIÓN DE RECURSOS DIGITALES

Aquí presentamos nuestras conclusiones respecto a los conocimiento profesionales de

los profesores que identificamos durante su proceso de selección de recursos digitales para sus

clases de geometría. En la Primera Fase de la investigación, obtuvimos datos que nos

permitieron inferir algunos de esos conocimientos profesionales especializados: por ejemplo,

los “tipos de criterios de selección” que mencionábamos anteriormente, además de otros

aspectos como las “orientaciones personales de los profesores” que Thomas y Palmer (2014)

mencionan en su modelo PTK. Nuestro análisis de dichos conocimientos profesionales tomó

en consideración, además, algunos aspectos del modelo de los ETM, como presentamos a

continuación.

CAP. 14. CONCLUSIONES DE LA PRIMERA FASE DE LA INVESTIGACIÓN

176

14.2. ETMS IDENTIFICADOS DE LOS PROFESORES DE LA PRIMERA FASE DEL

ESTUDIO

El marco teórico propuesto Kuzniak y Richard (2014) nos permitió hacer un análisis de

los conocimientos de los profesores respecto a los tres niveles de los ETM: de referencia,

personal del profesor y adecuado.

Respecto al ETM de referencia es notorio cómo el currículo (en particular los

lineamientos propuestos en MEN,1998), orientaron el proceso de selección de los profesores.

Tanto Juan, como Pedro, expresaron las ideas (sus conocimientos) del currículo que cada uno

de ellos tomaba en cuenta; y su requerimiento que las tareas desarrolladas usando el recurso

fueran coherentes con las orientaciones del currículo y el trabajo previo desarrollado durante

la clase.

En cuanto al ETM personal, nuestros datos nos permitieron inferir qué conocimientos

de Juan y Pedro sobre la geometría y su enseñanza, incluyen aspectos de orden matemático

(geométrico) que orientan el proceso de selección del recurso y su orquestación. Otros

aspectos del conocimiento profesional, relacionados con el ETM personal de cada profesor,

tienen que ver con sus consideraciones didácticas sobre la enseñanza de la geometría, las

cuales se cristalizan en sus requerimientos para el recurso a seleccionar para su clase

(requerimientos correspondientes al criterio de características didácticas). En este ETM

personal también consideramos que se encuentran los conocimientos del profesor sobre las

tecnologías digitales, los cuales a su vez pueden orientar sus criterios ergonómico, y de

procedencia, para seleccionar su recurso digital.

Respecto al ETM adecuado, a partir del análisis realizado, concluimos que éste

incluye conocimientos del profesor sobre el aprendizaje de los estudiantes (correspondientes al

criterio cognitivo) que junto con sus consideraciones didácticas determinan, en mayor medida,

el tipo de ambiente de aprendizaje que él concibe para su clase. Lo anterior incluye el tipo de

actividad que el profesor le propone a sus estudiantes y el papel que le asignó al recurso digital

en la orquestación de su clase. Consideramos que el ETM adecuado es aquel que pone en

juego todos sus conocimientos profesionales y en buena medida informa sobre el proceso de

selección realizado por el profesor.


177

De manera general, consideramos que la mirada de los ETM, enfatiza, principalmente,

los aspectos más “formales” del conocimiento profesional del profesor: su conocimiento del

contenido a enseñar y cómo enseñarlo.

En esta fase de la investigación, nos centramos en analizar los conocimientos de los

profesores atendiendo a los tres niveles de los ETM, como presentamos arriba. Sin embargo,

consideramos que es importante profundizar aún más en el conocimiento matemático

(geométrico) del profesor: Por ello, y teniendo en cuenta los resultados de la Primera Fase, en

la Segunda Fase de la investigación, decidimos introducir la idea de “paradigma” que

menciona Kuzniak (2011) para profundizar en las consideraciones de orden epistemológico

que el profesor tiene sobre la geometría y cómo éstas se relacionan con su proceso de

selección de recursos.

Por otro lado, en nuestro análisis también consideramos otro tipo de conocimientos

profesionales relacionados con las orientaciones personales y percepciones personales de los

profesores sobre el uso de recursos digitales; ese tipo de consideraciones las presentamos en el

siguiente apartado.

14.2.1. ORIENTACIONES Y PERCEPCIONES PERSONALES DE LOS PROFESORES

QUE IMPACTAN SU SELECCIÓN DE RECURSOS DIGITALES

Thomas y Palmer (2014), en su modelo PTK con relación a los conocimientos

involucrados en el uso de recursos digitales para la enseñanza (ver sección 4.1.3), señalan que

las orientaciones y percepciones de los profesores son un componente importante de su

conocimiento profesional. Desde nuestra perspectiva, nosotros consideramos que esas

orientaciones y percepciones también impactan el proceso selección de recursos, al influir en

los criterios de selección que los profesores ponen en juego.

Por ello, llevamos a cabo un análisis sobre las orientaciones personales de los

profesores, el cual, siguiendo las ideas de Thomas y Palmer (2014), dividimos: (i) las

creencias de los profesores sobre el valor de las tecnologías digitales y su papel en el

aprendizaje de las matemáticas; (ii) las percepciones de los profesores sobre la naturaleza del

conocimiento matemático y cómo debería aprenderse la matemática; (iii) los aspectos

afectivos, como la confianza; y (iv) otras percepciones adicionales.

Así, para los casos estudiados en la Primera Fase, inferimos lo siguiente:


178

(i) Respecto a las creencias de los profesores sobre el papel de las tecnologías

digitales en el aprendizaje de las matemáticas particularmente de la geometría:

Identificamos que para Juan y Pedro, esta creencias se hacen explícitas cuando

describen sus criterios de tipos ergonómico, y de características didácticas de selección de un

recurso digital para su clase.

Por ejemplo, en el caso de Pedro, éste señala que las “[l]as tecnologías son para que

los niños aprendan a trabajar con su compañero”; en este caso, Pedro tiene la creencia de que

las tecnologías digitales pueden promover el trabajo colaborativo entre los estudiantes, y toma

eso en cuenta para su selección y orquestación del recurso y la clase.

En el taller con el grupo de profesores también se hicieron presentes otras creencias

relacionadas con el uso de las tecnologías digitales y su papel en la enseñanza: Por ejemplo,

una profesora expresó que al usar estas tecnologías en la clase, el profesor debe estar

preparado para afrontar muchos imprevistos: “uno les lleva actividades con tecnología y no se

sabe qué va a pasar … hay que estar preparado para todo”. Otros comentarios fueron en el

sentido de que los profesores pueden usar los recursos digitales de diversas maneras: por

ejemplo, algunos profesores recomendaban trabajar con recursos que se puedan usar en

diferentes tipos de dispositivos (tanto en PCs, como en celulares o tabletas), o en espacios

distintos al salón de clases o la sala de Informática (e.g. la biblioteca o el patio); y que el uso

de los recursos digitales se aproveche en distintas actividades escolares sin, en general,

restringirse a una única asignatura.

(ii) Respecto a las percepciones de los profesores sobre la naturaleza del

conocimiento matemático:

A través de nuestro análisis usando los distintos niveles de los ETM (Kuzniak y

Richard, 2014), como señalamos al final de la sección anterior, pudimos percatarnos que los

criterios de orden matemático (geométrico), influyen en buena medida en el proceso de

selección del recurso. En particular notamos que las percepciones de Juan y Pedro sobre la

naturaleza del conocimiento matemático (geométrico), se relacionan con distintos criterios de

selección de recursos –como los de los tipos de cognitivos y de consideraciones didácticas.

También observamos que las percepciones de Juan y Pedro sobre la naturaleza del

conocimiento matemático, influyeron en sus consideraciones de orden didáctico (cómo, cada


179

uno de ellos entendía, debería aprenderse geometría usando recursos digitales). Por ejemplo,

Juan señaló lo siguiente, respecto al uso de recursos digitales en la clase:

"Cuando uno mete un juego didáctico tecnológico, a la clase, hay que fijarse qué

van a hacer los niños con ese juego, porque a veces los juegos [recursos digitales]

traen cosas que no van con el grado de los niños, porque son difíciles o los niños

no las conocen […] No quiero que los niños se confundan con demasiadas cosas

que no pueden entender con su edad”

(Profesor de quinto grado, fragmento de intervención)

Allí estaba expresando parte de sus percepciones sobre si son adecuados para los niños,

según su edad y nivel de escolaridad, los contenidos matemáticos facilitados en las actividades

con un cierto recurso digital.

(iii) Respecto a los aspectos afectivos que tiene cada profesor al usar tecnologías

digitales:

Uno de los aspectos que pudimos vislumbrar en la configuración didáctica y en las

maneras en que Juan y Pedro orquestaron sus respectivas clases, fue el “gusto” de los

profesores, y el que perciben en sus estudiantes, por utilizar tecnologías digitales en sus clases.

Por ejemplo, Juan expresa:

“A mi me gusta trabajar con juegos, interactivos y cosas que le llaman la atención

a los niños […] Ya llevo unos tres años haciendo esas cosas, y a ellos les gusta, a

mí también porque se sale uno de la rutina del salón y aprende allí con ellos.”

(Juan, en entrevista posterior a la clase observada)

También inferimos, de manera implícita en sus percepciones favorables, que este

profesor, al igual que Pedro, siente un nivel de confianza suficiente para integrar las

tecnologías digitales a su práctica docente.

(iv) Respecto a otros tipos de percepciones de los profesores:

Una percepción generalizada entre los profesores, fue en el sentido de percibirse

menos hábiles en el manejo de la tecnología que sus alumnos. Por ejemplo, una profesora

expresó que “los muchachos la pueden manejar [la tecnología] mejor que uno”, aseveración

que fue compartida por todo el grupo de profesores.


180

Sin embargo, algunos profesores expresaron que esa misma situación de “saber menos

que los estudiantes” respecto al uso de tecnologías digitales, también podía ser una

oportunidad de formación para los profesores:

“Claro, ellos saben más de estas cosas tecnológicas y de los celulares y eso y con

ellos uno aprende porque ellos le enseñan a usted que está viejo. Lo bueno, es que

podemos aprovechar eso, dándoles qué hacer en la clase: ‘Vea, mi hijo, conecte el

videobeam, ponga esto o haga lo otro…’. [O sea,] ayudarse de los muchachos. A

ellos le encanta sentirse útiles y uno va aprendiendo, porque de eso se trata: de

aprender”. (Profesora de tercer grado)

Otra percepción de los participantes del taller (incluidos Juan y Pedro), fue en relación

a la falta de disponibilidad de recursos; es decir, señalaban no contar con una oferta suficiente

(ni de la mejor calidad, y menor que en otros niveles educativos) de recursos digitales para

enseñar matemáticas a nivel de la primaria. Al respecto, una de las profesoras señaló:

“Para primaria siempre hay muchos materiales y ayudas didácticas, pero no tanto

de estas cuestiones tecnológicas. Empezando que en los cursos, al menos lo que nos

dan a nosotros, siempre ponen ejemplos del bachillerato con GeoGebra y

programas así”. (Profesora de quinto grado)

Finalmente, también identificamos, en el taller, la percepción de la importancia de la

planeación de la clase: los profesores señalaron que la planeación de la clase es muy

importante para orientar su trabajo docente:

“Uno no puede llegar al salón sin saber qué es lo que va a hacer. . […] Pero, si

usted está preparado y tiene una buena carta de navegación: ah, ya sabe cómo van

a ser las cosas y le salen mejor […]. En la planeación de la clase usted mira las

actividades, el tiempo, mira los recursos, los materiales para los niños, usted

repasa el tema, se prepara.” (Profesor de cuarto grado)

Nosotros inferimos que la planeación de la clases es un momento importante en el

trabajo del profesor, en el que éste toma decisiones, tales como decidir qué recurso seleccionar

para su clase y determinar de qué maneras los va a usar.

En la siguiente sección profundizamos sobre los usos de los recursos en la clase y su

orquestación por Juan y Pedro, los cuales consideramos se relacionan con sus procesos de

selección.


181

14.2.2. LA SELECCIÓN DE RECURSOS Y LA ORQUESTACIÓN DE LA CLASE:

PROCESOS COMPLEMENTARIOS

Nuestros resultados en la Primera Fase muestran que los profesores seleccionan sus

recursos digitales pensando (i.e., previendo, anticipando) en su futura orquestación de la clase.

Así pues, llegamos a la conclusión de que no es posible estudiar los procesos de selección sin

tener en cuenta la orquestación que el profesor hace la clase.

En nuestro análisis identificamos que existen conocimientos de los profesores que se

constituyen en lo que Vergnaud (1998, 2003) reconoce como “anticipaciones”, es decir,

conocimientos que le permiten al sujeto reconocer las características de una situación

particular, establecer metas de acción e inferencias (i.e. adaptaciones de su acciones) respecto

a una variedad de situaciones más o menos parecidas.

En nuestros análisis evidenciamos que mientras el profesor está seleccionando un

recurso digital, realiza diversas anticipaciones respecto a la orquestación de la clase. Estas

anticipaciones orientan en buena medida el proceso de selección.

Al respecto, encontramos que las principales anticipaciones de los profesores (e.g. los

aspectos que toman en cuenta para su orquestación), tienen que ver con la configuración

didáctica y de la gestión de los artefactos disponibles. Por ejemplo, en el caso de Juan, este

profesor quería una configuración didáctica donde cada estudiante trabajara individualmente

y, posteriormente, se realizara una socialización; en el caso de Pedro, el profesor buscó una

organización de la clase basada en el trabajo colaborativo. En ambos casos, los profesores

primero determinaron cómo querían usar el recurso y después buscaron y seleccionaron un

recurso que les permitiera desarrollar lo que tenían previsto.

Consideramos que ambos profesores, Juan y Pedro, usaron el recurso digital que cada

uno seleccionó, para promover interacciones diversas de trabajo en la clase, como el trabajo

individual, en parejas o colaborativo. Asimismo, ambos profesores buscaron que el recurso

digital proveyera algún tipo de retroalimentación que apoyara el aprendizaje de los

estudiantes. La Tabla 14.1 resume los usos del recurso (la orquestación) que ambos profesores

propusieron para las clases que nosotros observamos.

182

Tabla 14.1. Orquestación de la clase y usos del recurso en las clases de Juan y Pedro

Usos del recurso Descripción Ejemplos de la clase de Juan Ejemplos de las clase de Pedro

Organizar y

disponer la clase

Introduce, presenta ideas

matemáticas.

[A todos los niños, mientras ellos leen la

pantalla] “¿Cómo se llama el juego? ‘Juego de

curvas abiertas y cerradas.’ Ese es el tema de

la clase de hoy… lo que ya vimos la semana

pasada, ¿se acuerdan?

“… estamos trabajando las áreas… eso lo empezamos

a ver en la clase de geometría… hoy vamos a hacer

una actividad usando áreas…”

Asigna reglas de trabajo

en la clase y modos de

participación.

“Primero, cada uno va a trabajar solo con su

computador. Yo los voy ayudando… Al final de

clase, vamos a reunirnos todos y revisar qué

fue lo que hicimos… ustedes van a salir al

frente […] yo escojo quiénes salen acá

adelante.”

“… van a trabajar conectadas al videobeam para

que todos puedan ver cómo se hace la actividad”.

Retroalimentar las

acciones de los

estudiantes

Resume, ejemplifica y

resalta ideas importantes.

“… esto que vemos (señalando la pantalla) son

ejemplos de líneas cerradas, recordemos qué

es una línea cerrada…”

[A un niño:] “Eso que acabás de hacer es calcular el

área de la sala; ¿qué tanto mide la sala de la casa?,¿

qué tan grande es?, ¿qué tanto espacio ocupa?”

Indaga y corrige

procedimientos de los

estudiantes.

[A un niño:] “El juego te está diciendo que

tuviste un error, vas a la flecha de acá, se

devuelve y lo vuelve a hacer.”

“Mira lo que … están haciendo, debes devolverte y

corregir tu trabajo… las paredes deben ser

perpendiculares”.

Institucionalizar

conocimientos

matemáticos

Valida conocimientos de

los estudiantes.

[A un niño, frente a todo el grupo:]

“Muy bien… tiene la razón, una línea abierta,

porque este punto [señala el pizarrón] no es

vértice.”

“Como no podemos hacer el plano de la casa en su

tamaño real, porque no nos cabría aquí en el salón,

para usamos la escala. En este caso, Sweet Home nos

dice: haga una escala de reducción [señala una

herramienta del software], que es hacer el mismo

plano de la casa pero más pequeñito, pero con la

misma forma.”

Clausura, cierra la clase. [A un niño frente a todo el grupo:] “Pase a

hacer el juego y entre todos vamos a ver si está

bien o tenés que corregir algo, con eso ya

terminamos la clase por hoy.”

“Cuando terminen el plano, guardan y cierran.

Seguimos la próxima clase…. No olviden guardar en

su memoria [USB]”

183

En conclusión, los procesos de selección de recursos para la clase y la orquestación de

la clase, son procesos del trabajo documental del profesor, que se complementan y nutren el

uno al otro.

14.3. CRITERIOS DE SELECCIÓN DE RECURSOS DIGITALES

Como se vio en los capítulos anteriores, Juan y Pedro presentaron cada uno su proceso

particular de selección de recursos para su clase. Por supuesto, esto se debe a que cada uno se

encuentra en una situación diferente: el grado que enseña (uno enseña primer grado y el otro

quinto grado), las necesidades educativas de sus estudiantes, su propia experiencia, etc. Sin

embargo, al contrastar a estos profesores que se encontraban en situaciones diferentes, aunque

fue posible discernir criterios diferenciados que dependían del propósito educativo de sus

clases, también observamos que hay ciertos criterios que se manifiestan de manera similar, a

pesar de las diferencias; a continuación discutimos esos criterios similares.

14.3.1. Criterios similares de selección de recursos

En las entrevistas previas y posteriores a la clase analizada, y durante el taller con el

grupo de 30 maestros, Juan y Pedro describieron sus criterios para seleccionar los recursos que

usarían en sus clases de geometría. Es notorio que, de manera general, ambos profesores

exhibieron criterios que se manifiestan de manera similar (e.g., en cuando a gratuidad y

accesibilidad de los recursos).

En particular, ambos profesores tenían requisitos ergonómicos generales similares

(sobre aspectos técnicos y de procedimiento): por ejemplo, ambos buscaban que los recursos

fueran libres, fáciles de usar y que pudieran tener acceso a ellos en sus escuelas. Durante el

taller colectivo con los profesores (que incluía a Juan y Pedro), también se destacó a esos

mismos criterios ergonómicos como importantes en los procesos de selección de recursos

digitales para las clases.

Por otro lado, Juan y Pedro también expresaron la necesidad de que los recursos

digitales contaran con lo que los profesores perciben como “buenas características didácticas”:

por ejemplo, ser “adecuado y ajustado” a la edad (palabras de Juan); o satisfacer las

necesidades educativas de los estudiantes, y las de la orquestación que el profesor desea poner

en juego.


184

Igualmente, ambos profesores consideraron aspectos del contenido matemático

(geométrico) del recurso, coincidiendo en cuestiones generales, tales como que el recurso hace

explícitos elementos del tema de matemáticas a abordar (en este caso, de geometría).

Asimismo, Juan y Pedro también expresaron criterios curriculares similares, tales

como el requisito de que el recurso se relacione con las metas de enseñanza del profesor y se

pueda tener coherencia con las orientaciones curriculares.

La Tabla 14.1 resume los criterios similares en los casos de Juan y Pedro y su

respectiva definición, en orden descendiente de cuánto los dos profesores concurrieron en los

criterios:

Tabla 14.2. Manifestaciones similares en los criterios de selección de recurso (Primera Fase)

Criterio de

selección

Definición Criterios similares de Juan y Pedro

Ergonómico Se refiere a las características técnicas

y de procedimiento del recurso.

También incluye características de la

interfaz, la disposición y funciones de

las herramientas.

El recurso debe:

ser gratuito,

de fácil acceso, y

de uso fácil para los estudiantes.

Curricular Se refiere a los propósitos o metas de

enseñanza del profesor y su coherencia

con las orientaciones curriculares

(nacionales e institucionales).

El contenido temático del recurso debe

corresponder:

con las orientaciones curriculares, y

con el trabajo previo de la clase.

Características

didácticas



Las actividades desarrolladas por los

estudiantes usando el recurso deben de:

proporcionar algún tipo de

retroalimentación al estudiante, y

posibilitar diversas interacciones en la

clase (e.g. con el recurso; con los

compañeros).

Contenido

matemático

(contenido

geométrico)

Alude al contenido matemático, en

este caso geométrico, que facilita el

recurso durante las actividades que los

estudiantes desarrollan con éste.

Las actividades que los niños desarrollan

usando el recurso debe hacer explícito el

contenido geométrico.

Cognitivo Se refiere a cómo el recurso puede

apoyar los aprendizajes de los

alumnos.

El recurso debe proporcionar oportunidades

para el aprendizaje de los estudiantes.

Consideramos que estas manifestaciones similares en los procesos de selección de

recursos digitales por profesores en situaciones diferentes, es información valiosa respecto a

los conocimientos profesionales que se ponen en juego al integrar tecnologías digitales en la


185

práctica docente. Este hallazgo nos permite sospechar que existen aspectos generales que se

repiten en los procesos de selección de los profesores.

14.3.2. Criterios adicionales de selección de recursos

Sin embargo, en otros aspectos del proceso de selección del recurso digital y su

orquestación, cada profesor siguió enfoques muy diferentes, como se ha descrito

anteriormente según las particularidades en cada caso.

En esta sección planteamos algunos criterios adicionales que detectamos en algunos (si

bien, no todos) los casos. Éstos se relacionan con la procedencia y la función social de los

recursos digitales para la enseñanza (en este caso, de las matemáticas en educación primaria).

Por ejemplo, Juan (pero no Pedro) toma en cuenta el criterio de procedencia del

recurso (este criterio surgió también en el estudio de caso colectivo, es decir en el taller

con los maestros). En el caso de Juan, éste considera que los recursos deben de proceder

de una fuente “confiable”; otros maestros (incluido Pedro) expresaron estar de acuerdo

con Juan y señalaron que, preferiblemente, los recursos deben de provenir de

repositorios oficiales. Este criterio se podría considerar un criterio de tipo ergonómico,

aunque también es una consideración didáctica.

Otro criterio que surgió, fue el que llamamos el criterio ético. Identificamos este tipo

de criterio durante el desarrollo del estudio colectivo, donde los profesores señalaron la

importancia de que el recurso no incite al comportamiento agresivo, que no incluya

cuestiones como la discriminación, etc. Este criterio no se refiere a un contenido

temático particular, sino que se relaciona con aspectos de ética y de valores; es decir,

con la función social del recurso y de la práctica docente.

14.4. RESUMEN DE CONCLUSIONES DE LA PRIMERA FASE

Podemos decir que los procesos de selección seguidos por Juan y Pedro, además de las

reflexiones y comentarios durante el taller con maestros, ilustran las maneras en que

profesores con algo de experiencia en la integración de tecnologías digitales, seleccionan

recursos que utilizarán y orquestarán en sus clases. Como vimos anteriormente, nosotros

concluimos que los profesores realizan la selección de recursos de acuerdo a la orquestación

que desean realizar de su clase: por ejemplo, la configuración didáctica de ésta, incluyendo el


186

papel del recurso en las interacciones sociales de la clase (e.g. profesor-recurso-pareja de

estudiantes).

En conclusión, identificamos que diferentes criterios de selección de recursos –de

contenido matemático (geométrico), curriculares, de características didácticas, cognitivos,

ergonómicos y de procedencia del recurso– adquieren más o menos importancia según los

objetivos o metas didácticos del docente (que, como vimos, pueden ser locales o más

globales). Esta selección de recursos implica decisiones y acciones que pertenecen al

conocimiento profesional construido a lo largo del tiempo, y por lo tanto es algo que debería

ser abordado en los programas de capacitación de maestros.

14.5. HACIA LA SEGUNDA FASE DEL ESTUDIO A PARTIR DE LOS RESULTADOS

DE LA PRIMERA FASE

En la Primera Fase de la investigación, obtuvimos datos que nos permitieron inferir los

“criterios de selección” de recursos, de los profesores analizados. Partiendo de la premisa de

que los conocimientos profesionales de los profesores orientan sus procesos de selección de

recursos para la clase, tratamos de analizar éstos. Para ello, en la Primera Fase, un enfoque que

tomamos fue analizar los conocimientos profesionales de los profesores atendiendo a los tres

niveles de los ETM presentados anteriormente. También identificamos que las “orientaciones

personales de los profesores” que Thomas y Palmer (2014) mencionan en su modelo PTK,

influyen en los “criterios de selección”.

Sin embargo, los resultados de esa fase nos indicaron que es necesario profundizar más

en la práctica del profesor y su trabajo documental, para lograr inferir, con mayor detalle, el

tipo de conocimiento profesional (e.g., el conocimiento matemático o geométrico) que los

profesores de primaria ponen en juego mientras seleccionan recursos digitales para la

enseñanza de la geometría. Para ello, como describiremos en la sección 15.1, en la Segunda

Fase propusimos utilizar una técnica de introspección (ver sección 9.2) para hacer seguimiento

al trabajo documental individual de los profesores y obtener datos que nos permitieran inferir

posibles “esquemas”, en el sentido de Vergnaud (1998, 2013); y para analizar esos posibles

“esquemas”, propusimos utilizar la idea de “paradigma” de Kuzniak (2011).

A continuación presentamos el desarrollo de la Segunda Fase de la investigación en la

cual hacemos el seguimiento a cuatro profesores de primaria.

187

PARTE V: SEGUNDA FASE – DISEÑO Y

RESULTADOS

188

15. DISEÑO DE LA SEGUNDA FASE DE LA

INVESTIGACIÓN

En este capítulo se dan detalles de la metodología y actividades principales realizadas

en la Segunda Fase, y cómo éstas se determinaron a partir de los resultados obtenidos en la

Primera Fase. Comenzamos presentando los cambios que realizamos en la metodología con

base en los resultados obtenidos en la fase anterior.

15.1. CAMBIOS EN LA METODOLOGÍA CON BASE A LOS RESULTADOS DE LA

PRIMERA FASE

En la Segunda Fase se realizaron varios cambios en la metodología, a partir del análisis

del desarrollo y de los resultados de la Primera Fase de la investigación. A continuación

explicamos dichos cambios en términos de: los criterios para escoger los participantes del

estudio; de su seguimiento; y de cómo obtener mayor información, a través de la técnica de

introspección descrita en el capítulo 9, de los procesos de selección de recursos de los

profesores:

Cambios en los criterios de elección de los casos a estudiar: En la Primera Fase se

quería que los profesores a estudiar tuvieran al menos 10 años de experiencia docente;

en esta fase consideramos trabajar con profesores que contaran con distinta experiencia

docente, con el fin de ampliar el número de casos a estudiar (ver Tabla 15.3).

Cambios en los criterios de elección de la escuela en la cual trabajaban los

profesores participantes en el estudio: En la Primera Fase se quería que la, o las,

escuelas participantes fueran escuelas públicas, que su participación fuese voluntaria, y

que dispusieran de recursos digitales en sus instalaciones. Todos esos criterios se

mantuvieron en la Segunda Fase. Sin embargo, en la Primera Fase también se había

puesto como requisito que las escuelas contaran con políticas internas que promovieran

el uso de tecnologías digitales; pero este criterio se desechó en la Segunda Fase con el

CAP. 15. DISEÑO DE LA SEGUNDA FASE DE LA INVESTIGACIÓN

189

propósito de contar con la participación de profesores de un mayor número de escuelas

y, por tanto, representantes de diversas situaciones (ver Tabla 15.3).

Cambios metodológicos para enfocarse en el seguimiento de profesores

individuales. Otra modificación es que en la Segunda Fase no se realizó ningún estudio

de caso colectivo (como el taller de reflexión colectiva con los 30 maestros de la Primera

Fase); solo estudios de caso individuales: de los profesores Laura, Pedro, Miguel y Sonia

(ver sección 15.4.3). Nuestro propósito, en esta fase, era profundizar en el trabajo

documental de los profesores estudiados, por tanto nos centramos en inferir “sus

esquemas de selección de recursos digitales para la enseñanza de algún tema de

geometría en determinado grado de primaria”. Adicionalmente, en los dos últimos casos

(de los profesores Miguel y Sonia) también estudiamos su “sistema de recursos para la

enseñanza de la geometría” (debido a la oportunidad que se nos presentó de un largo

seguimiento a Miguel); este último análisis nos proporcionó datos adicionales para

complementar el análisis del proceso de selección de recursos de los profesores.

Tiempo de trabajo con los profesores observados: En la Primera Fase se trabajó

con los dos profesores (Juan y Pedro) durante 7 semanas, periodo en el que se les

hicieron entrevistas y se les observó en clases (3 en total de Juan; 4 de Pedro; aunque

solo durante una, a cada uno, con uso de recursos digitales). En cambio, en la Segunda

Fase, el tiempo de trabajo con los profesores individuales se amplió hasta 11 semanas,

periodo donde se les entrevistó aplicando una técnica de introspección (ver abajo); y se

les hizo seguimiento, no solo mediante observaciones a sus clases, sino a sus sesiones de

planeación.

Producción de “mapas” por parte del profesor: En esta fase, retomamos uno de

los elementos de la investigación reflexiva, propuesto por Gueudet y Trouche (2012): la

producción de representaciones esquemáticas o “mapas” por parte del profesor mismo

(Rocha, 2016). Mediante la realización de estos “mapas reflexivos” el profesor puede

representar aspectos de su trabajo documental (e.g. su proceso de selección de recursos).

En esta fase, analizamos dos tipos de mapas hechos por los profesores: (i) Mapas en los

cuales los profesores representaban su “sistema de recursos”. Y (ii) mapas en los cuales

los profesores representaban su proceso, o “ruta-recorrida”, de selección de recursos.

Estos dos tipos de mapas se diferencian entre sí, en el sentido que representan aspectos


190

distintos del trabajo documental del profesor: (i) su sistema de recursos; y (ii) su proceso

de selección de recursos (su ruta-recorrida). Además:

(i) En la producción de los mapas de sistemas de sus recursos, los profesores

“nombran” los recursos que usan para su enseñanza y los organizan en categorías.

Para la producción de este tipo de mapas el profesor reflexiona sobre su enseñanza

durante una “visita guiada” en la cual enseña los recursos que usa para su

enseñanza. En nuestro estudio, estos mapas constituyen una representación de los

“artefactos” de su sistema de recursos.

(ii) Para la producción de los mapas de sus rutas-recorridas, los profesores

evocan (a posteriori) sus acciones y pensamientos del proceso de selección, y los

representan en esos mapas. Para estimular al profesor a que evoque y recuerde

sus acciones y conocimientos, aplicamos la técnica de introspección, como

explicamos a continuación.

Uso de una técnica de introspección: A diferencia de la Primera Fase, en la

Segunda Fase, durante muchas de las entrevistas, se aplicó la técnica de introspección

que describimos en la sección 9.2. Esta técnica de introspección consistió en estimular al

profesor (mediante fotos o videos principalmente) para que evocara proceso de selección

(su ruta-recorrida) mientras seleccionaba recursos en una situación específica y

produjera mapas de rutas-recorrida (mapas tipo ii). Esta técnica se aplicó con el

propósito de obtener datos que nos permitieran inferir los esquemas de utilización (en

particular, las “invariantes operatorias”) que los profesores pusieron en juego en su

selección de recursos digitales para sus clases. Cabe señalar que la producción de los

mapas de sistemas de recursos (mapas tipo i), no requiere aplicar la técnica de

introspección ya que no requiere evocar eventos o acciones pasadas; al contrario, el

profesor solamente reflexiona sobre su enseñanza “aquí y ahora” durante las visitas

guiadas.

Cambios en la metodología de análisis: En esta fase no realizamos un análisis del

ETM completo (como se hizo en la Primera Fase) porque quisimos enfocarnos en otros

aspectos del análisis. Lo que hicimos fue profundizar en el estudio de las “invariantes

operatorias” contenidas en los esquemas de los profesores, para ello, utilizamos la idea

de “paradigma geométrico” que propone el modelo de los ETM de Kuzniak (2011).


191

En la siguiente sección presentamos mayores detalles de las actividades que realizamos

en la Segunda Fase de la investigación.

15.2. ACTIVIDADES DE LA SEGUNDA FASE

La Segunda Fase de la investigación se llevó a cabo en los cuatro momentos descritos

en la Figura 8.2 del capítulo 8, cuyos detalles, en esta fase, fueron:

1. Determinación y aplicación de criterios e instrumentos para seleccionar los

profesores participantes; y diseño de otros instrumentos de recolección de datos:

Establecimiento de criterios de selección de los profesores

participantes: que fueran profesores de primaria; con participación

voluntaria, e ,interés en la enseñanza de la geometría: que usaran recursos

digitales en su enseñanza; y que tuvieran interés en su desarrollo

profesional (ver más detalles en la sección 15.4).

Diseño de instrumentos: los cuales incluyeron cuestionarios, y

protocolos de entrevistas y de observación de clases.

Verificación de qué profesores cumplían con los criterios de selección

para participar en el estudio, y la selección de los profesores que

participaron.

2. Recolección de datos:

Para caracterizar y contextualizar los casos a estudiar, a través de la

aplicación de un cuestionario (el C2 –ver anexo B); una o dos entrevistas

previas al profesor (dependiendo del caso); y una visita a la escuela (que

incluyó una entrevista al director de la escuela).

Para el seguimiento al trabajo documental de los profesores, se

incluyeron las siguientes actividades (ver Tabla 15.1.):

Exploración: para identificar qué recursos usaba regularmente cada

profesor para su enseñanza de la geometría y qué tipo de criterios

consideraba en su proceso de selección.

Aplicación de la técnica de introspección: para obtener datos acerca del

proceso de selección de recursos de los profesores. Esta tuvo dos etapas:


192

Focalización: para inferir el esquema de selección.

Profundización: se promueve la mirada retrospectiva

del profesor y el análisis de su práctica con el objeto

de complementar nuestros datos sobre su proceso de

selección de recursos.

3. Análisis de datos.

4. Organización de los resultados del análisis y conclusiones de la fase.

En la siguiente Tabla 15.1, se dan los detalles de cada uno de esos momentos de la

Segunda Fase:

Tabla 15.1. Detalles de los momentos de la Segunda Fase de la investigación

Momentos de la

Segunda Fase

Descripción

Establecimiento y

aplicación de

criterios e

instrumentos de

selección de los

casos.

Diseño de otros

instrumentos de

recolección de

datos.

Establecimiento de criterios de selección de los profesores participantes en el

estudio, ampliándolos con respecto a la Primera Fase de la investigación (ver

sección 15.1).

Diseño de instrumentos para recolectar información: cuestionarios;

protocolos de entrevistas; y protocolos de observación de clases.

Aplicación del cuestionario C1 para la selección inicial de los casos a

estudiar: este cuestionario se aplicó a 17 maestros de tres escuelas públicas

en Colombia (ver Anexo A: Cuestionario C1 de identificación de casos de

estudio).

Selección de los profesores de los casos a estudiar: a partir del grupo de 17

maestros, se seleccionaron 4 maestros participantes a seguir en la Segunda

Fase de la investigación.

Determinación de las variables del estudio: se identificaron diferencias entre

los profesores participantes en el estudio: años de experiencia docente,

acceso a recursos digitales en sus escuelas, etc.

Recolección de

datos

Caracterización y contextualización de los casos a estudiar

Se identifican las características de cada profesor participante en el estudio,

tales como: su formación, experiencia, y contexto en el cual trabajo.

Para ello aplicamos el cuestionario C2 (ver Anexo B: Cuestionario C2 de

caracterización de casos de estudio).

Realizamos una o dos visitas iniciales a cada profesor en su escuela para

conocer el contexto en el que trabajaba. Se hizo una primera entrevista a

cada profesor para recolectar datos adicionales sobre aspectos generales de

su formación, experiencia profesional y ambiente de trabajo.

A partir de lo anterior, se definió una caracterización y contextualización de

los casos.


193

Seguimiento del trabajo documental de los profesores participantes

Mediante el desarrollo de las actividades de exploración, y de aplicación de la

técnica de introspección con sus etapas de focalización y profundización:

Observación de la planeación que cada profesor hizo para sus clases de

geometría.

Observación de clases de geometría de cada profesor.

Entrevistas a cada profesor antes y después de las clases observadas, con

duración de entre 15 y 75 minutos.

Durante las entrevistas post-clase, mediante la técnica de introspección:

Mapeo del proceso de selección de recursos: aplicamos la técnica de

introspección para promover la producción de “rutas recorridas” por

parte de cada profesor.

Mapeo del sistema de recursos de los profesores Miguel y Sonia.

Análisis de los

datos

Realizamos el análisis de los datos (por cada caso estudiado) mediante su

codificación y categorización, enfatizando tres aspectos:

Caracterización general del proceso de selección de recursos

Determinación de las situaciones de selección de recursos por parte de cada

profesor participante.

Análisis de los conocimientos profesionales del profesor a partir de inferir

sus esquemas de selección de recursos digitales; incluye inferencias de

invariantes operatorias categorizadas como criterios de selección de recursos

digitales para la enseñanza de la geometría.

Discusión de los resultados obtenidos a la luz de ideas teóricas propuestas en

algunos modelos de conocimiento del profesor.

15.3. RECOLECCIÓN DE DATOS EN LA SEGUNDA FASE

Los instrumentos de recolección de información para cada una de las etapas

anteriormente descritas de la Segunda Fase, fueron los siguientes:

Cuestionarios a maestros:

El cuestionario C1 nos sirvió para identificar qué profesores cumplían con los

requerimientos para participar en el estudio. (Ver Anexo A).

El cuestionario C2 nos sirvió para obtener datos iniciales de la práctica del

profesor y el contexto en el cual trabaja. (Ver Anexo B).

Protocolos de entrevistas:

Entrevistas a profesores observados para profundizar en su proceso de

selección de recursos digitales. (Ver Anexo C)


194

Entrevistas a directores de escuelas para obtener información general sobre la

escuela y el contexto en el que se encuentra. (Ver Anexo D).

Protocolos de observaciones de los profesores seleccionados:

de sus sesiones de planeación para sus clases de geometría (ver Anexo E);

de sus clases, en sí, de geometría (ver Anexo F).

Fuentes documentales, especialmente documentos usados o producidos por los

profesores observados

Notas de campo llevadas por la investigadora en la cual se realizaba un análisis in

situ, y se registraban las impresiones e interpretaciones de lo observado.

En la Tabla 15.2, se resumen y detallan estas fuentes de información.

Tabla 15.2. Instrumentos de recolección de información en la Segunda Fase

Fuentes de información Descripción

Cuestionarios a maestros Se usaron los cuestionarios C1 y C2 para seleccionar los casos. Son

cuestionarios que indagan información general del profesor y su

práctica.

Entrevistas (a maestros

observados y directores de

escuelas)

Las entrevistas semi-estructuradas pretendían explorar y profundizar la

práctica del profesor, reconocer su contexto y la dimensión institucional

en la cual trabaja.

Observación del trabajo

documental del profesor

Se observaron y videograbaron sesiones de planeación de clases,

selección de recursos para usar en clase, momentos reflexivos del

profesor (antes o después de una clase particular) y reuniones de

profesores

Observación de clases Se observaron, videograbaron y tomaron fotografías de varias clases de

geometría de los profesores en las cuales hacían uso de recursos diversos

Fuentes documentales Documentos escolares y de profesores, programa curricular de

matemáticas de cada escuela, planes de clase, recursos, notas de los

profesores, diarios de campo de los profesores (llamados en Colombia

“parceladores”), cuadernos de estudiantes, etc.

Notas de campo Registro de la investigadora, in-situ de acciones, situaciones o

comentarios, a partir de las observaciones realizadas.

15.4. ELECCIÓN DE LOS CASOS Y VARIABLES DEL ESTUDIO

En esta sección presentamos cómo fue el proceso que realizamos para la elección de

los profesores participantes en esta fase del estudio; iniciamos presentando los respectivos

criterios de elección y las variables que distinguen a los diferentes participantes.


195

15.4.1. Criterios de elección de los participantes

En esta sección describimos los criterios de elección de los participantes del estudio

(incluyendo la elección de las escuelas a los que ellos pertenecían, junto con las variables que

se tomaron en cuenta; ver Tabla 15.3:

Tabla 15.3. Criterios y variables de estudio

Criterios de elección de los profesores

participantes en el estudio

Variables de los profesores

Profesores de primaria

Participación voluntaria

Uso de recursos digitales en la enseñanza

Enseñanza de la geometría

Interés en su desarrollo profesional

Uso de recursos digitales:

muy poco, de vez en cuando, regularmente o

intensivamente

Participación en cursos y programas de

formación de profesores:

nunca, de vez en cuando, regularmente o

intensivamente

Criterios de elección de las escuelas

participantes en el estudio

Variables de las escuelas

Escuelas públicas, urbanas

Participación voluntaria

Dispone de recursos digitales para el uso de

los profesores (e.g. computadores, internet,

etc.)

Calidad de los recursos disponibles en la

escuela

Disponibilidad de tiempos y espacios para el

trabajo colaborativo de los profesores

Además de los aspectos señalados arriba (y señalados también en la sección 8.3 del

capítulo de metodología general), para la selección de los participantes de la Segunda Fase,

tuvimos en cuenta los resultados de la Primera Fase y, por tanto, decidimos buscar profesores

de primaria que contaran con distinta formación y experiencia. Lo anterior lo decidimos así,

porque nos interesa estudiar el trabajo de profesores en situaciones y contextos institucionales

diversos, con el fin de identificar posibles aspectos de sus procesos de selección que se

manifiesten de manera similar.

15.4.2. Proceso de determinación de los participantes

Con la ayuda de varios directores de las escuelas de Yumbo, contactamos a 17

profesores de primaria que podrían estar interesados en participar en nuestros estudio. A este

grupo inicial de profesores se les facilitó impreso el cuestionario C1 (ver Anexo A) para

identificar si cumplían con los criterios de selección de los participantes que habíamos

determinado previamente. De este grupo de 17 profesores, solamente 9 contestaron el


196

cuestionario C1. Los resultados del cuestionario C1 nos mostraron los siguientes aspectos

generales:

4 maestros, que enseñaban en el primer ciclo de la primaria (1º a 3º), expresaron que

no enseñaban geometría.

6 maestros señalaron que no integraban a sus clases ningún tipo de recurso digital;

incluso una profesora expresó que ese tipo de recursos no era adecuado para niños del

primer ciclo de la primaria (1º a 3º) en el cual ella enseñaba.

De los 6 maestros que señalaron que no trabajaban con recursos digitales, 5 maestros

expresaron que no tenían acceso a este tipo de tecnologías en sus escuelas por:

Falta de equipo (4 maestros): en el caso de dos maestros, su escuela no

había sido beneficiaria de equipos digitales; en el caso de los otros dos, la

escuela entregó los equipos digitales a los niveles de secundaria y media

(preparatoria), pero no a primaria; y,

Falta de electricidad (1 maestro): la escuela no contaba con un sistema

óptimo de electricidad en ese momento.

Los resultados obtenidos en este cuestionario nos mostraron que, de los 9 maestros

que contestaron el cuestionario C1, solo 3 profesores (Laura, Sonia y Miguel) cumplían con

los criterios para participar en el estudio. El profesor Pedro que participó en la Primera Fase ya

había dado su consentimiento de continuar.

Vale la pena señalar que el hecho de que se traten de profesores de los grados primero

y quinto, no fue intencional. De hecho, se hubiera querido tener profesores de todos o más

grados de primaria, pero los mencionados fueron los únicos profesores de los que llenaron el

cuestionario, que cumplieron con los requisitos para participar en nuestra investigación.

15.4.3. Detalles de los profesores seleccionados

Así, a partir del proceso de elección de los profesores (y sus respectivas escuelas)

participantes en el estudio, finalmente resultaron seleccionados, de primer y quinto grado (al

igual que en la Primera Fase), cuatro profesores (pseudónimos), cada uno de una escuela

diferente:


197

De primer grado: Laura

De quinto grado: Pedro (quien participó en la Primera Fase), Miguel y Sonia.

En la Tabla 15.4 se presentan los datos generales de los cuatro profesores que

participaron en la Segunda Fase de la investigación, y el tiempo durante el cual les hicimos

seguimiento:

Tabla 15.4. Datos generales de los profesores participantes en la Segunda Fase

Nombre Edad Género Experiencia

docente

(en años)

Formación

inicial

Formación de

posgrado

Grado de

enseñanza

observado

Tiempo de

seguimiento

Laura 27 Fem. 4 Licenciada en

primaria

Estudiante

especialista en

promoción de

lectura

1º 5 semanas;

3 clases

observadas;

4 entrevistas

Pedro 38 Masc. 9 Normalista,

Lic. en Matemáticas,

Tecnólogo en

Sistemas y

Computación

Ninguna 5º

9 semanas;

6 clases

observadas;

9 entrevistas

Miguel 56 Masc. 28 Normalista, Ingeniero Magíster en

Enseñanza de las

ciencias y las

matemáticas

5º 11 semanas;

9 clases

observadas;

16 entrevistas

Sonia 32 Fem. 11 Normalista,

Lic. en Educación

Matemática

Estudiante

maestría en

educación

matemática

5º

8 semanas;

4 clases

observadas;

7 entrevistas

Mayores detalles de cada uno de estos profesores se presentaran en los capítulos

siguientes (correspondientes a cada uno de ellos).

En la siguiente sección presentamos cómo se realizó el proceso del análisis de los datos

que obtuvimos de los profesores participantes en la Segunda Fase de la investigación.

15.5. PROCESO DE ANÁLISIS DE LOS DATOS

Para el análisis de los datos realizamos el siguiente proceso:

1. Análisis in situ: En el lugar y momento de recolección de datos, se realizó un

primer análisis a partir de las impresiones e interpretaciones de la investigadora

sobre cómo fue el proceso de recursos, tomando notas de campo al respecto.


198

2. Transcripción de los datos y organización preliminar de éstos.

3. Segmentación en episodios: identificación de segmentos con información

relevante a partir de las transcripciones de las entrevistas, clases grabadas,

notas de campo, etc.

4. Triangulación de los datos: Comparación de datos obtenidos a través de

diversos instrumentos para verificar la coherencia de la información recabada.

5. Codificación de los datos: Identificación de “palabras-código” a partir de los

datos para determinar categorías de análisis

6. Determinación de categorías: a partir de los códigos y una articulación con el

marco teórico, se determinaron categorías para los datos.

7. Categorización de los datos: Estructuración de los datos según las categorías (y

sub-categorías) de análisis propuestas

8. Foco del análisis: Análisis profundo de los casos mediante un diálogo entre

temas emergentes de los datos, y las categorías de análisis

9. Redacción del informe

A partir del proceso anterior, se determinaron cuatro categorías de análisis presentes en

los datos recogidos durante el trabajo de campo:

Selección de recursos para la clase (SR)

Usos de recursos digitales (UR)

Sistema de recursos del profesor (SRP)

Trabajo documental del profesor (D)

La Tabla 15.5 presenta estas categorías emergentes, su respectivo código y la

definición de cada una:


199

Tabla 15.5[23]. Categorías de análisis

Categoría Código Definición

Selección de

recursos para la

clase

SR Incluye:

conocimientos de los profesores sobre cómo usar los recursos,

sus comprensiones e

intencionalidades,

en cuanto al currículo y el aprendizaje de sus estudiantes.

Estas intencionalidades dependen de su formación, experiencia,

expectativas profesionales y de los recursos disponibles.

Usos de

recursos

digitales

UR Incluye:

las intencionalidades didácticas de los profesores;

la organización y disposición de los recursos; y

las maneras como el profesor conduce la clase y gestiona las

situaciones propuestas a los estudiantes y los modos de

participación.

Éstos están representados por la orquestación que proponen los

profesores:

qué recurso usar,

con qué intención,

cómo ponerlo en juego,

cuando, y

para qué.

Sistema de

recursos del

profesor

SRP Alude al conjunto organizado de:

recursos,

conocimientos, y

actividades profesionales

sobre los recursos (y como usarlos), necesarios para que un maestro

actúe y lleve a cabo su práctica.

Aspectos del

trabajo

documental del

profesor

D El trabajo documental del profesor se relaciona con los aspectos

institucionales y el currículo. Implica actividades profesionales

como:

seleccionar, organizar, adaptar y reelaborar recursos,

el análisis y reflexiones del profesor sobre su práctica, y,

el trabajo colaborativo con otros colegas.

Una vez identificadas las cuatro categorías centrales de la investigación (SR, UR, SRP

y D), se identificaron, mediante “palabras-código” (ver Anexo G) que se definieron para el

análisis de los datos, varias sub-categorías dadas en la siguiente Tabla 15.6:


200

Tabla 15.6. Sub-categorías de análisis

Categorías Sub-categorías

Selección de recursos digitales

para la clase

Criterios de selección de recursos para enseñar geometría

Rutas-recorridas por el profesor en su proceso de selección

Usos de los recursos digitales Recursos para enseñar geometría

Recursos para planificar la enseñanza de la geometría

Orquestación y ETM adecuados propuestos por los profesores

Sistema de recursos del profesor Recursos disponibles para la clase de geometría

Organización de los recursos disponibles

Calidad de los recursos

Aspectos del trabajo

documental del profesor

Trabajo colaborativo

Actividades del trabajo documental

Conocimientos sobre cómo usar los recursos

En los siguientes capítulos se presentan los estudios de caso de los profesores

participantes en la Segunda Fase y sus respectivos análisis.

201

16. ESTUDIO DE CASO DE LAURA: RECURSOS PARA

ENSEÑAR ESTIMACIÓN DE LONGITUDES

El primer caso que vamos a presentar de la Segunda Fase corresponde a Laura,

profesora de primer grado en una escuela pública del municipio de Yumbo. Comenzamos

dando un contexto de los antecedentes y ambiente de trabajo (escuela) de Laura, y luego

describimos el estudio de caso de esta profesora. En ese estudio de caso, analizamos el

proceso de selección de recursos digitales de Laura para la enseñanza de la estimación de

longitudes.

16.1. ANTECEDENTES Y CONTEXTO PROFESIONAL DE LAURA

En el momento del estudio, Laura era una profesora de 27 años, con 4 años de

experiencia docente, todos en grado primero y en la misma escuela. Es licenciada en

Educación Primaria con énfasis en Lenguaje, e ingresó a la carrera docente por concurso

público.

Laura ha participado en varios programas o cursos de formación de profesores; de

hecho, durante el estudio, estaba cursando, una especialización docente en promoción de la

lectura. Entre los cursos que tomó, habían varios sobre el uso de tecnologías digitales en la

enseñanza en general (no exclusivamente en la enseñanza de las matemáticas):

Particularmente, un par de meses antes de la toma de datos, Laura había tomado un

“Diplomado de formación docente sobre el uso de tecnologías digitales para la enseñanza”;

este Diplomado había tenido una duración de dos meses y fue ofrecido por el Centro de

Innovación Educativa Regional del Suroccidente (CIER-Sur).

Laura labora en una escuela (ver Figura 16.1) del municipio de Yumbo, ubicada en una

zona de ladera de un cerro, que ofrece Educación Primaria exclusivamente (grados 1º a 5º) a

estudiantes de una zona vulnerable de ese municipio, atendiendo aproximadamente a 500

estudiantes en dos jornadas: mañana y tarde.

CAP. 16. ESTUDIO DE CASO DE LAURA: RECURSOS PARA ENSEÑAR ESTIMACIÓN DE LONGITUDES

202

Como se dijo arriba, Laura impartía clases de primer grado en esa escuela (jornada

tarde); también pertenecía al Consejo Académico de la escuela (i.e., un comité técnico-

pedagógico). Durante el estudio, el grupo de primer grado de alumnos de Laura, lo

componían 42 niños y niñas, con edades de 6 y 7 años.

Figura 16.1. Escuela donde laboraba Laura

16.2. CONCEPCIÓN DE LAS CLASES DE LAURA

El seguimiento a Laura se desarrolló durante 5 semanas (entre noviembre 2017 y enero

de 2018) en las cuales observamos 3 clases. En ese año escolar 2017-2018, Laura inicialmente

había planeado dedicar una hora a la semana para su clase de geometría, pero luego no pudo

cumplirlo: muchas semanas tuvo que dedicar tiempo a otras actividades o asignaturas. Laura

señaló que iba a “aprovechar la oportunidad” de participar en nuestra investigación, para

retomar sus clases de geometría durante las siguientes semanas y selecciona un tema

geométrico que ella considera adecuado para sus estudiantes. La profesora consideraba,

además, que el uso de tecnologías digitales en su clase de geometría iba a generar entusiasmo

en sus estudiantes, lo que en parte, fue una de sus razones para introducir ese tipo de recursos

a su clase. Al respecto, Laura señaló:

“No hemos tenido mucho tiempo de dar las clases de geometría… porque me he

dedicado más la lectura y a lo de la escritura y matemáticas… los números, la

suma, la resta, esas cosas. Pero quiero aprovechar esta oportunidad para

dedicarme un poquito a geometría y [a] este tema de la medida. Me gusta [este

tema] porque aplican lo que saben ya de los números y es algo muy de la realidad


203

de los niños, de su vida diaria. Por eso me quiero dedicar a lo de geometría ahora.

Yo estoy segura que les va a gustar mucho porque además vamos a usar

tecnologías y,¡uf!, seguro eso los anima un montón”.

(Entrevista a Laura)

Durante las semanas que le hicimos seguimiento, propuso una secuencia de tres clases

de geometría, las cuales desarrolló durante dos semanas. En esa secuencia de clases, Laura se

propuso enseñar la estimación de medidas de longitud. Previamente, durante el año escolar,

Laura había trabajado, en sus clases de geometría, algunas características de las figuras

geométricas (círculo, triángulo y cuadrado).

16.3. RECURSOS SELECCIONADOS POR LAURA

En nuestro seguimiento, identificamos que Laura habitualmente usaba en sus clases de

geometría los siguientes recursos: libros de texto para planear la clase y para seleccionar

actividades para sus estudiantes (hojas de trabajo); imágenes descargadas de internet que

usaba para diseñar hojas de trabajo para sus estudiantes o para proyectar durante la clase; y el

pizarrón acompañado de una regla graduada.

Además de esos recursos no-digitales, para trabajar su secuencia de tres clases sobre la

estimación de longitudes, Laura utilizó, como recurso digital, un repositorio oficial36 llamado

“Contenidos para Aprender” (también conocido como “Cápsulas educativas digitales”) en el

cual se ofrecen “contenidos digitales” (i.e. recursos digitales para el profesor) en las áreas de

Matemáticas, Lenguaje y Ciencias para todos los grados de Primaria, Secundaria y Media

(preparatoria). Estos contenidos digitales fueron concebidos de acuerdo a las orientaciones

curriculares de los Derechos Básicos de Aprendizaje o DBA (MEN, 2016).

El repositorio “Contenidos para aprender” (ver Figura 16.2 ) está organizado de la

siguiente manera:

Inicialmente, se presenta una interfaz (Figura 16.2 , izquierda) que presenta tres

niveles educativos: Básica Primaria, Básica Secundaria, y Media.

36 Contenidos digitales desarrollados por el MEN (Colombia) como parte de su estrategia

“Colombia Aprende”. La información aquí presentada fue tomada de:

http://aprende.colombiaaprende.edu.co/sites/default/files/naspublic/ContenidosAprender/index

.html

http://aprende.colombiaaprende.edu.co/es/contenidoslo

http://aprende.colombiaaprende.edu.co/sites/default/files/naspublic/ContenidosAprender/index.html

http://aprende.colombiaaprende.edu.co/sites/default/files/naspublic/ContenidosAprender/index.html

http://aprende.colombiaaprende.edu.co/es/contenidoslo


204

Al ingresar al nivel educativo de interés, se despliegan las opciones de grado (Figura

16.2 , centro): 1º a 5ª en el caso de primaria.

Al seleccionar el grado de interés, se presentan opciones para seleccionar el área

(Figura 16.2 , derecha): Matemáticas, Ciencias o Lenguaje.

Figura 16.2. Repositorio “Contenidos para Aprender”

Una vez el usuario ingresa al área de su interés según el grado, se le presenta,

numerado el listado de DBA (ver Figura 16.3).

Para cada DBA, se presentan los “objetos digitales de aprendizaje” que el repositorio

tiene disponibles. Cada uno de estos “objetos” o “cápsulas” consta de:

Guía para el docente: archivo en pdf, dirigido al profesor, que incluye los objetivos de

aprendizaje y sugerencias didácticas para el uso de los contenidos digitales

Introducción: video sobre el tema dirigido a los estudiantes.

Objetivos: un interactivo dirigido para los niños en el que se les anuncia qué

van a aprender en determinado contenido digital.

Desarrollo: se presentan las actividades digitales para los niños.

Resumen: interactivo que recoge las principales ideas trabajadas en el contenido.

Tarea: actividad digital para que los niños realicen en casa.

Actividades imprimibles: hojas de trabajo para los estudiantes.

Laura utilizó dicho repositorio porque lo había conocido y utilizado durante el

“Diplomado de formación docente sobre el uso de tecnologías digitales para la enseñanza” que

había cursado un par de meses antes. También le gustaba la “organización curricular” de ese

repositorio, y que el contenido corresponde exactamente a lo que propone MEN (2016, 2017)

e incluye materiales para el profesor y hojas de trabajo para sus estudiantes. Al respecto, Laura

señaló:


205

“Hicimos el Diplomado del CIER y por eso quiero aplicar de lo que aprendí

porque nos enseñaron a usar contenidos digitales, cómo usarlos en la clase, y todo

eso. Quiero usar de esos contenidos digitales en la clase para que los niños hagan

cosas distintas. Además le ayuda mucho a uno como profesor, porque le dicen [en

el diplomado]: ‘vean, estas son las actividades, así están organizadas’, y uno

escoge lo que más le guste.”

“Me encanta la organización de este portal, porque está todo lo que nos pide el

Ministerio, por cada materia, grado y entonces uno entra y, vea, aparecen los

contenido por cada “Derecho de Aprendizaje”. No tengo que ir y buscar en mil

partes, sino que aquí le dan a uno todo organizadito y listo… Están los contenidos,

pero también imprimibles para los niños, la guía del profesor. Esta vaina está

completa y, para uno que no es especialista en lo de matemáticas, ayuda mucho…

te orienta, le dice cómo hacer las actividades.” (Entrevista a Laura)

Al entrar al repositorio, Laura seleccionó, la opción de Grado 1º Matemáticas,

particularmente, el contenido “Derecho Básico de Aprendizaje 8”, que se refiere a la

estimación de medidas de longitud (ver Figura 16.3):

Figura 16.3. Contenido digital seleccionado por Laura37 del repositorio “Contenidos para

Aprender”

Para poder seleccionar cuáles de los recursos disponibles en el repositorio, iba a

utilizar, y para planear sus clases, Laura consultó y tomó en cuenta la “Guía para el docente”

37 Las imágenes del repositorio “Contenidos para Aprender”, que presentamos en este escrito,

corresponden a capturas de pantalla del computador personal de Laura, realizadas durante las sesiones

de observación de planeación de clases y entrevistas.


206

correspondiente al contenido “Derecho Básico de Aprendizaje 8” de estimación de medidas de

longitud (ver Figura 16.4).

Figura 16.4. Elementos de la “Guía para el docente” del “Contenido digital” que Laura

seleccionó

De todas las actividades propuestas y descritas en la “Guía para el docente”, Laura

decidió enfocarse en la comparación de objetos del entorno, estimación de longitudes y

ordenar objetos según su longitud. La meta de aprendizaje que Laura estableció para su

secuencia de clases fue que los niños compararan objetos mediante la estimación de longitudes

(para, por ejemplo, poder decir “más largo que”) y ordenarlos (e.g. organizar los objetos del

más grande al más pequeño). Esta meta de Laura fue una adaptación de la información que se

encontraba en la guía. En la Figura 16.5, se muestran algunas de las actividades ofrecidas por

el repositorio y que Laura tuvo en cuenta:

Figura 16.5. Actividades consideradas por Laura, del repositorio “Contenidos para Aprender”

Así, a partir de las sugerencias didácticas dadas en la “Guía para el docente”, Laura

seleccionó para su secuencia de clases, un conjunto de recursos digitales y no-digitales


207

relacionados: un video38 (Figura 16.6), una actividad interactiva39 (Figura 16.7) y unas hojas de

trabajo (imprimibles) para los estudiantes (Figura 16.8; versión completa en Anexo H).

Figura 16.6. Captura del video seleccionado

por Laura

Figura 16.7. Parte del interactivo seleccionado

por Laura y relacionado al video

Figura 16.8. Primera hoja de trabajo (imprimible) adaptada por Laura (ver Anexo H) , y

relacionada con el video y el interactivo correspondientes

38 Recurso disponible en:

http://aprende.colombiaaprende.edu.co/sites/default/files/naspublic/ContenidosAprender/G_1/M/M_G

01_U04_L01/M_G01_U04_L01_01_01.html 39 Recurso disponible en:


01_U04_L01/M_G01_U04_L01_03_01.html

http://aprende.colombiaaprende.edu.co/sites/default/files/naspublic/ContenidosAprender/G_1/M/M_G01_U04_L01/M_G01_U04_L01_01_01.html





208

Posterior a este proceso de planeación, que incluyó la selección de los recursos con los

que iba a trabajar, Laura desarrolló sus tres clases; la clase final ocupó prácticamente toda la

jornada escolar del día en que la desarrolló. En la Figura 16.9 se muestra una escena de esta

última clase de Laura, en la que los niños estaban trabajando comparación de longitudes (“más

largo que”, “más corto que”, “igual de largo que”) para posteriormente ordenar los objetos del

más largo al más corto. En esta clase los niños estaban trabajando con una de las hojas de

trabajo (“imprimibles”) que la profesora seleccionó del repositorio.

Figura 16.9. Estudiantes de Laura trabajando

16.4. USO Y ORQUESTACIÓN POR LAURA DE LOS RECURSOS EN SU CLASE

Como ya hemos mencionado anteriormente, en nuestro estudio nos interesa dar cuenta

de la orquestación en la medida en que ésta informa sobre el proceso de la selección de

recursos por cada profesor. Específicamente, en el caso de Laura, como parte de su Esquema

de Selección de Recursos Digitales de Laura (o ESRD_L) – ver siguiente sección 16.5–, ella

anticipó la configuración didáctica de sus clases e incluso realizó posibles inferencias para

clases futuras. Esas anticipaciones de Laura se relacionan con su orquestación de las clases

que presentamos a continuación.

En su secuencia de clases, Laura se enfocó en el estudio de la comparación de

longitudes; para ello hizo uso de la complementariedad de las actividades presentadas en el

video, en el interactivo y en las hojas de trabajo. A continuación presentamos un resumen de

lo ocurrido en las clases observadas de Laura:

En la primera clase, la profesora les expresó a los niños que iban a trabajar varias

clases sobre la medida y les describió qué tipo de actividades iban a realizar. En esa


209

clase, inicialmente, Laura les pidió a los niños realizar saltos en el salón y que

intentaran comparar quien saltaba más alto, o quien saltaba más lejos; los niños

expresaron que no sabían con certeza quién lo había hecho. Utilizando esas

experiencias como punto de partida, Laura introdujo un video del repositorio oficial

(ver Figura 16.6, arriba), en el cual se presentan algunas situaciones de comparación de

longitudes en un contexto deportivo. Laura dispuso a sus estudiantes en la parte central

del salón, sentados en el piso, observando la proyección del video; el sonido lo

reprodujo por medio de bocinas (que ella misma trajo de su casa). Posterior a la

presentación del video, Laura hizo una socialización con todo el grupo sobre lo que

vieron allí, escribiendo en el pizarrón, un pequeño resumen (de dos líneas),de las ideas

del video, que los niños transcribieron a su cuaderno. De tarea para realizar en casa,

Laura pidió a los niños que recortaran y pegaran “barritas de papel” organizadas de la

más larga a la más corta.

En la segunda clase, Laura contó con el apoyo de cinco madres de familia. La

profesora inició su clase recordando a los niños lo que habían trabajando la clase

pasada (en la semana anterior) y recogió los cuadernos de los niños para revisar la

tarea. Hecho eso, organizó a los niños en parejas y les entregó un computador portátil

por pareja. Ayudada por las madres de familia, Laura les indicó a los niños cómo

ingresar al recurso digital que iban a trabajar en la clase, y les dio indicaciones

generales sobre su uso. En esta ocasión, el recurso seleccionado correspondía a un

“contenido interactivo”40, ligado al video, que proponía una secuencia de actividades a

los niños (ver Figura 16.7, arriba). Estas actividades estaban contextualizadas en las

escenas del video y correspondían a tareas de comparación del longitudes, y

organización de mayor a menor o viceversa. Los niños desarrollaban la secuencia de

actividades, pasando de una a otra, ayudados por las madres de familia y la profesora.)

En la tercera y última clase, Laura les propuso a los niños trabajar con un conjunto

de hojas de trabajo (imprimibles), ligadas al video y al interactivo, que facilitaba el

repositorio. Como estos imprimibles (en formato pdf) incluyen un total de 25

40 Este recurso se encuentra disponible en:


01_U04_L01/M_G01_U04_L01_03_01.html




210

actividades para los niños, Laura imprimió todo el documento, y recortó y pegó

determinadas actividades, según sus intereses, para diseñar sus propias hojas de trabajo

de 9 actividades (ver Anexo H). La Figura 16.8 (arriba) muestra la primera página de

las hojas de trabajo adaptadas por Laura. Otra actividad se muestra en la Figura 16.10.

En esta tercera clase, Laura dedicó casi todo el tiempo a una actividad de comparación

de longitud de objetos en situaciones del “mundo real”, donde no se utilizan unidades

de medida y la validación es “a ojo” con comparaciones visuales (“ostensiva” en

términos de Kuzniak, 2011). Así explicó la actividad a sus alumnos:

Figura 16.10. Actividad en las hojas de trabajo adaptadas por Laura

“Vamos a mirar la actividad número 4. ¿Ven que es de lo mismo que vimos en el

video? Vamos a hacer lo mismo que allí nos mostraron: ordenar los saltos de los

niños. Lo vamos a hacer así: del más corto, al más largo. Miren, es como hicimos

con el interactivo el otro día, ¿se acuerdan niños? Comparamos las barritas y le

ponemos un número: le ponemos 1 al más corto; luego, le ponemos 2 al que sigue;

y así, hasta llegar al 4”. (Laura hablando a sus estudiantes en clase)

Así pues, en la orquestación que hizo Laura de sus clases, propuso situaciones a sus

estudiantes relacionadas con actividades del mundo real, particularmente, en el contexto de las

competencias deportivas. Esta decisión de querer ligar las actividades con el mundo real,

también estuvo presente en su proceso de selección del recurso y se hizo explícita en la

orquestación de la clase a través de lo que Laura decía a sus estudiantes:


211

“Estamos viendo cómo usar las medidas. El video nos mostró el ejemplo de los

deportes ¿a quién le gustan los deportes? A todos nos gustan, ¿verdad? Pues, así

como usamos medidas para saber qué deportista salta más largo, así, igualito,

usamos las medidas cuando vamos al supermercado y pesamos las frutas o cuando

vamos con la modista y nos toman medidas del cuerpo con el metro ¿Ustedes han

ido a la modista?” (Laura hablando a sus estudiantes en clase)

Así, consideramos que la orquestación que Laura hizo de sus clases, involucró los

siguientes aspectos (ver Tabla 16.1):

las metas (propósitos educativos) de Laura;

la gestión de los recursos y artefactos disponibles;

las actividades propuestas a los estudiantes a través del uso de los recursos; y


Tabla 16.1. Aspectos de la orquestación de Laura en su secuencia de clases en primer grado

Aspectos de la

orquestación de

Laura

Descripción

Definición de las

metas de aprendizaje

Laura define una única meta de aprendizaje para su secuencia de tres clases:

Realizar estimaciones de medidas de longitud, que permitiera a los niños

comparar objetos (e.g. “más largo que”) y ordenarlos (e.g. “organizar

objetos del más grande al más pequeño”).

Organización de la

clase

Laura dispuso sus clases de distintas maneras:

Clase 1:

Realización de actividades corporales (saltos) para comparar alturas.

Todo el grupo de estudiantes, sentados en el piso, observa la proyección

del video.

Socialización de ideas del video con todo el grupo.

Cada estudiante transcribe el texto que Laura escribió en el pizarrón.

Clases 2 y 3:

Cada estudiante realiza estimaciones de medidas de longitud para

comparar objetos (e.g., “más largo que”) y ordenarlos (e.g. organizar

objetos del más grande al más pequeño), mediante el interactivo (clase 2)

y mediante las hojas de trabajo (clase 3)


212

En el siguiente apartado presentamos nuestro análisis del proceso de selección de

recursos digitales seguido por Laura.

16.5. ANÁLISIS DEL PROCESO DE SELECCIÓN DE LAURA

16.5.1. Resultados de la aplicación de la técnica de introspección: Mapas de Laura

sobre su ruta-recorrida

Mediante la aplicación de la técnica de introspección, Laura realizó varias versiones de

sus mapas de “ruta-recorrida” para seleccionar recursos digitales para sus clases de geometría.

Estos mapas iban acompañados por las explicaciones y reflexiones de Laura, los cuales nos

aportaron datos para poder inferir el esquema de selección de recursos digitales de Laura para

enseñar estimación de longitudes a su grupo de primer grado.

Durante la realización de esos mapas, Laura centró su reflexión en sus acciones como

maestra y cómo puede ayudar a que sus estudiantes. Laura se considera como una profesora

que tiene los conocimientos necesarios para realizar su trabajo, pero al mismo tiempo expresó

su interés de aprender a partir de su práctica. En cuanto al uso de recursos, Laura resaltó la

importancia de que los profesores cuenten con un universo amplio de recursos que les

permitan desarrollar mejor su trabajo. A partir de su reflexión, Laura logró darse cuenta que

muchos de los recursos que ella (y sus colegas de primer grado) usan regularmente pueden

limitar o proyectar los aprendizajes de los estudiantes.

Gestión de los

recursos y artefactos

disponibles

La profesora estableció las siguientes maneras de usar los recursos en la clase:

El pizarrón para apoyar el trabajo durante todas las clases

El video para introducir la secuencia de clases y conectar las actividades

diarias de los niños y el tema geométrico

El “contenido interactivo” para que los niños trabajaran en parejas durante

la segunda clase

Las hojas de trabajo para trabajo individual en la tercera clase

Propuesta de

actividades didácticas

apoyadas en el

recurso digital

Las actividades propuestas en el “contenido interactivo” estaban relacionadas

con las situaciones que se presentaban en el video y con las que

posteriormente se presentaron en las hojas de trabajo. Estas actividades del

tipo “selecciona qué personaje saltó más largo o qué objeto es más ancho”

están enfocadas en la estimación de la longitud y la comparación de objetos

uno respecto a otro.


213

“Eso de quedarse trabajando con un libro de texto y nada más, está muy mal. Los

profesores debemos usar las cosas del entorno, tener materiales, varias fuentes

para consultar… En eso, la página de los DBA ayuda mucho.

“A mi me gusta aprender, y donde uno más aprende es en salón de clase, porque

allí es que se da cuenta si tiene los conocimientos para ser buen maestro… Yo creo

que sí tengo buenos conocimientos pero que falta mucho, por eso voy a los cursos,

pregunto a los compañeros, uno busca su manera. […]

“Cuando uno empieza a pensar en los recursos que usa, –uy— se da cuenta que

como profesor, actúas de manera automática y no te ponés a mirar qué cosas estás

usando… Para grado primero, uno como se contenta con cosas muy básicas y eso

tampoco es bueno porque como que limita a los niños a lo más básico. Mire estos

contenidos digitales. Esto, es muy complejo: que ¿qué cosa es la medida y eso? Y

uno, con una idea tan vaga de la matemática.” (Entrevista a Laura)

Posteriormente, nuestro análisis del proceso de Laura para seleccionar recursos,

particularmente digitales, para sus clases sobre la estimación de longitudes de primer grado, se

enfocó en inferir la ruta-recorrida por la profesora, usando la técnica de introspección (ver

sección 9.1). Mediante la aplicación de esa técnica, Laura pudo reconstruir su ruta-recorrida.

Esta ruta-recorrida nos permitió evidenciar las “huellas del trabajo documental” de Laura en la

selección de los recursos que usó en sus clases.

Figura 16.11. Primera versión del mapa, dibujado por Laura, de su ruta-recorrida para su

selección de recursos para su clase

En la primera versión del mapa de su ruta-recorrida (Figura 16.11), dibujado por

Laura, la profesora explicitaba solo algunos elementos generales de su proceso de selección de


214

recursos entorno a tres grandes momentos : (i) “‘Planeo’, entonces, miro qué recursos puedo

usar.” (ii) “‘Busco’, porque tengo mis razones (didácticas) para escoger.” (iii) “‘Uso’,

entonces, puedo trabajar con tecnología en mi clase.” Laura explicó que hizo su selección del

recurso digital pensando en su orquestación posterior: “uno no puede escoger un recurso

tecnológico para la clase si no tiene idea de cómo lo va a usar”.

En su segunda versión del mapa (Figura 16.12), Laura identificó que era importante

para ella tomar el “tema de enseñanza” como punto de partida. Al respecto Laura señaló: “Lo

primero para buscar un recurso es tener en cuenta el tema a enseñar, porque no es lo mismo

buscar algo para matemáticas que para lenguaje; es totalmente diferente”.

Figura 16.12. Segunda versión del mapa, dibujado por Laura, de su ruta-recorrida para su

selección de recursos para su clase

A medida que su reflexión avanzaba, Laura empezó a notar cosas interesantes: que

tiende a usar recursos que ya ha usado antes, o que se parecen en algo a los que ya ha usado; y

así identificó que, en sus procesos de selección, siempre tiene en cuenta cosas más o menos

similares. En ese momento, Laura empezó a evidenciar la existencia de tres “hitos reflexivos”

en su proceso de selección de recursos, diciendo: “planeo, busco y uso” recursos; y en la

última versión de su mapa (Figura 16.13), donde representaba su ruta-recorrida, mostraba esos

hitos (lado derecho de la figura), como momentos decisivos para su selección. En nuestro

análisis identificamos que estos hitos corresponden a “oportunidades de aprendizaje para el

profesor” y son de vital importancia en la retroalimentación de su práctica.


215

“En la planeación de la clase, me debo detener en varios puntos… Yo les llamo

hitos porque son como puntos clave, puntos de inflexión para mí. Si ya los tengo

definidos, ¡listo! Ya tengo como un panorama de mi plan, de mi clase, y de qué

recursos voy a integrar.” (Entrevista a Laura)

También, mediante su proceso reflexivo, Laura empezó a pensar en otros elementos

importantes: Además de sus tres grandes “hitos reflexivos”, agregó al mapa (Figura 16.13)

otros elementos, tales como preguntas (en el lado izquierdo de su mapa) y flechas de conexión

(con explicaciones adicionales) sobre cada una de sus acciones evocadas para seleccionar

recursos.

Figura 16.13. Última versión del mapa, dibujado por Laura, de su ruta-recorrida en su selección

de recursos para su clase

16.5.2. Componentes del esquema de Laura para seleccionar recursos digitales

A partir de los elementos en los mapas de su ruta-recorrida, así como otros datos

obtenidos en las entrevistas a Laura, y la observación de su planeación y ejecución de sus

clases de geometría, pudimos inferir algunos de sus conocimientos profesionales sobre los

recursos digitales y cómo los usaba Laura. En particular, pudimos inferir el Esquema de

Selección de Recursos Digitales de Laura (que llamamos ESRD_L), el cual se hizo en

términos de los elementos constitutivos de los esquemas (situación, metas, anticipaciones,

reglas de acción, invariantes operatorias, y posibilidades de inferencia) de los cuales nos habla

Vergnaud (1998, 2013) y que nosotros presentamos en la sección 6.1:


216

La situación en la que se encontraba Laura tenía las siguientes características: ella

sabía que iba a seleccionar recursos digitales para una secuencia de tres clases de

geometría para las que había determinado el tema de enseñanza (estimación de medidas

de longitud); para ello se guió por las orientaciones curriculares de los DBA (MEN,

2016) y las usó como punto de partida. Laura resaltó que la selección de recursos

digitales no es necesariamente una práctica usual para un profesor de primer grado; al

respecto señaló: “Uno siempre busca materiales para sus clases, pero no siempre uno

hace esa búsqueda pensado en estos recursos tecnológicos; no es lo primero que te

viene a la cabeza si usted es profe de primero”.

Las metas de Laura en el proceso de selección de recursos digitales, son claras, en el

sentido en que, al aceptar participar en el estudio, ella intencionalmente se enfocó usar y

buscar ese tipo de recursos. Sin embargo, ella consideraba que también hay que tener en

cuenta recursos no-digitales que se puedan usar de manera complementaria a los

digitales. Laura señaló: “Voy a buscar un recurso tecnológico, OK, pero solo con eso no

puedo hacer la clase, se necesitan otras cosas, otras tareas, tengo que mirar eso

también”. Además, Laura parecía también tener como meta, ver cómo iba a adaptar los

recursos (digitales y no digitales) para su clase.

En cuanto a sus anticipaciones, identificamos dos elementos importantes: Por un

lado, Laura anticipó que iba a usar el uso del repositorio oficial, y que ese repositorio

estaría alineado con las orientaciones curriculares; por tanto priorizó el uso de ese

repositorio en su proceso de selección. Por otro lado, Laura anticipó posibles

configuraciones didácticas de sus clases, particularmente, las maneras en como iba a

usar los recursos seleccionados.

Las reglas de acción de Laura parten de sus consideraciones sobre las orientaciones

curriculares (MEN, 2016): “Esto es lo primero que tengo que tener en cuenta, lo que me

dice el Ministerio”. A partir de este punto de partida, se despliegan sus acciones

posteriores: por ejemplo, el priorizar el repositorio oficial para su búsqueda (aunque

existen disponibles otros repositorios oficiales que Laura también conoce –e.g., los que

se presentan en la página de “Colombia aprende”41).

41 http://aprende.colombiaaprende.edu.co/es/docentes


217

Las invariantes operatorias de Laura corresponden a sus conocimientos

profesionales, los cuales orientan su proceso de selección de recursos digitales.

Presentamos, más abajo, estas invariantes organizadas como conceptos-en-acto

(categorizados como criterios de selección de recursos) y teoremas-en acto (ver la Tabla

16.2, abajo).

A partir de sus invariantes operatorias, las posibilidades de inferencia de Laura se

basan en sus señalamientos de cómo podía aplicar sus conocimientos en otras posibles

situaciones similares (e.g., al seleccionar recursos para otras clases de matemáticas, o

incluso de otras asignaturas). Al respecto, Laura expresó: “Con todo este trabajo, como

que te haces un panorama general de cómo buscar los recursos tecnológicos, no solo

para estas clases, sino también para otras de matemáticas o de las demás materias”.

A continuación, en la Tabla 16.2, presentamos un resumen (y detalles adicionales) de

los componentes del esquema de selección de recursos digitales de Laura (ESRD_L):

Tabla 16.2. Componentes del Esquema de Selección de Recursos Digitales de Laura (ESRD_L)

Situación En su salón de clases, Laura estaba planeando una secuencia de tres clases de geometría

sobre la estimación de medidas de longitud en su clase de primer grado. Para lograr este

trabajo, tenía varias opciones para seleccionar diversos recursos (digitales o no digitales)

disponibles en el repositorio oficial.

Metas Meta general:

Seleccionar recursos digitales para su secuencia de tres clases de geometría sobre

estimación de longitudes.

Sub-metas:

Identificar qué recursos (digitales y no-digitales) disponibles en el repositorio oficial,

son adecuados para sus clases.

Adaptar los recursos seleccionados según su planeación de las clases.

Anticipa-

ciones

Laura anticipó que realizaría su selección tomando el repositorio oficial como punto

de partida, y que, al tratarse de un repositorio oficial, éste estaría alineado con las

orientaciones curriculares. Laura señaló:

“En el CIER me dijeron que este portal es muy bueno, que está hecho basado en

los DBA y que está pensado en los maestros, así que allí voy a buscar lo que voy a

usar en las clases.”

Laura anticipó una posible configuración didáctica de su clase mientras seleccionaba

los recursos que usaría. Al respecto Laura señaló:

"Tengo que ver cómo es que voy a usar estos contenidos en mis clases…; eso se

hace al mismo tiempo: miras el recurso y vas pensando cómo usarlo, es como el

chip del profesor.".


218

Reglas de

acción

Pasos seguidos por Laura al planificar sus clases y seleccionar los recursos a usar:

Paso 1: Considera las orientaciones curriculares (DBA) dadas en MEN (2016), como

punto de partida.

Paso 2: Prioriza los recursos recomendados por las autoridades educativas.

Paso 3: Selecciona, de entre las recomendaciones de las autoridades, el repositorio

oficial para buscar recursos para su clase.

Paso 4: Revisa el repositorio e identifica una posible meta de aprendizaje para sus

estudiantes.

Paso 5: Selecciona los recursos que va a usar en sus clases.

Paso 6: Prevé aspectos de la configuración didáctica de su clase, y determina qué

recursos usar en cada clase.

Invariantes

operatorias:

Conocimientos

-en-acto

Conocimientos-en-acto de Laura, categorizados como “criterios de selección” de

recursos digitales para sus clases. Estos criterios se presentan en el orden de importancia

que inferimos les dio Laura:

Procedencia: el recurso debe provenir de una fuente oficial; si es así, el recurso es

adecuado para ser usado en clase.

Curricular: el recurso debe estar alineado con las orientaciones curriculares (lo cual

se cumple automáticamente, al tener procedencia oficial).

Características didácticas: las actividades propuestas en los recursos seleccionados

deben de abordar la temática de la clase y complementarse entre ellos. (Lo cual se

cumple al tener, los recursos, procedencia oficial alineada con las orientaciones

curriculares; sin embargo, Laura también tomó decisiones de selección y adaptación).

Contenido matemático (geométrico): el uso de actividades relacionadas con la

medición como “estimar, comparar, ordenar” en actividades que sean cercanas a la

vida diaria de los niños (e.g. el deporte).

Cognitivos: el recurso debe apoyar y facilitar el aprendizaje de los estudiantes sobre

las medidas y cómo usarlas en actividades como el deporte.

Afectivo: el recurso debe generar entusiasmo en los estudiantes.

Invariantes

operatorias:

Teoremas-en-

acto

En algunas de las entrevistas Laura señalaba los siguientes teoremas-en-acto:

Criterio de procedencia: “La gente que trabaja en el ministerio sabe de las

cuestiones pedagógicas, son un equipo muy grande y trabajan con las universidades,

hacen pruebas de los contenidos con maestros… si eso ya sale publicado es porque

es muy bueno.”

Criterios procedencia (y de características didácticas): “Yo no soy especialista en

matemáticas… pero, si leo la guía del profesor y allí me explican bien cómo hacer

las cosas, cómo trabajar las actividades con los niños, ya tengo mucha ganancia…

porque la cápsula es para ayudarle a uno a enseñarle a los niños, es un apoyo.”

Criterio curricular:

“Si yo tengo claro qué me piden los DBA, entonces puedo buscar los recursos más

adecuados. Pero, primero, yo como maestra, debo saber qué deben aprender los

niños y cómo deben hacerlo.”

“Esto es lo primero que tengo que tener en cuenta, lo que me dice el Ministerio.”

Criterios de características didácticas (y de procedencia): “Las actividades, yo las

organizo como quiero en mi clase, pero también depende de cómo vengan en la

cápsula; y, bueno, yo supongo que el que hizo la cápsula, como es especialista en


219

matemáticas, sabe cómo deben ser las actividades, en qué orden, que unas

actividades se complementan con otras… pero yo, como maestra, soy al final la que

ve como las usa… sí, y en qué orden.”

Criterios de contenido matemático (geométrico) y cognitivo:

“Yo quiero enfocarme en que los niños comparen, y sepan cómo lo están haciendo, y

entonces pongan un orden; así, yo tengo todas estas cosas, las puedo ordenar de más

largo a más corto.”

“No es fácil saber que un centímetro es una parte pequeñita de un metro, eso es

complicado. Por eso yo empiezo con cosas más fáciles, así, de estimar, de ordenar

objetos, y después ellos irán aprendiendo más.

Criterio afectivo: “Yo estoy segura que les va a gustar mucho porque además

vamos a usar tecnologías y,¡uf!, seguro eso los anima un montón.”

Posibilidades

de inferencia

El proceso de selección de recursos, le permite a Laura anticipar características generales

de futuros procesos de selección de recursos digitales para clases de matemáticas (no

necesariamente geometría) y otras asignaturas.

16.5.3. Análisis de los conocimientos matemáticos de Laura involucrados en su

proceso de selección de recursos digitales

A continuación, profundizamos en relación a los conocimientos profesionales de Laura

sobre su tema de enseñanza: la estimación de magnitudes en primer grado –i.e., sobre sus

invariantes operatorias sobre características didácticas del recurso y contenido matemático o

geométrico, que corresponderían al conocimiento matemático para la enseñanza o MKT (Ball

et al., 2008): Para Laura era importante reconocer lo que MEN (1998) denomina “la función

social de la medición” en la cual se reconoce que los sistemas de medida nos han permitido

construir el mundo tal y como lo conocemos (comercializar, construir, movilizarnos, etc.).

Para esta profesora, esta era una consideración didáctica central. Además, Laura señaló que

sus estudiantes (de una edad aproximada de 6 años) estaban en una edad propicia para

desarrollar conocimientos y habilidades sobre la medida:

“Los niños a esta edad están dispuestos a aprender todas las cosas que tengan que

ver con medir, con contar, con usar el metro; eso les encanta porque ellos lo ven

cuando van al supermercado o cuando el médico los pesa. En esta edad, ellos

tienen sus capacidades al cien, para mirar y aprender de eso; por eso, para mí es

importante que relacionen esto que vemos en la clase, con su vida, con lo que

hacen con su mamá, con su familia”. (Entrevista a Laura)

Los señalamientos de Laura, se relacionan con aspectos de los conocimientos de los

profesores sobre medida y medición propuestos por Chamorro (2013): Tomando en


220

consideración los estudios sobre la medida de Piaget, Chamorro (2003) señala que la

apropiación de la magnitud, la medida y la unidad (de medida) son procesos que se desarrollan

en los estadios sensorio-motrices. En estos estadios, las acciones más dominantes

corresponden a la observación, la capacidad de identificar patrones y el lenguaje –todas

acciones fundamentales para el desarrollo del pensamiento lógico-matemático.

A partir de las acciones de Laura durante sus clases, fue posible inferir algunos de sus

conocimientos profesionales sobre la medida: mientras ella orquestaba su clase, proponía

actividades de estimación de medidas de longitud (e.g., “más largo que”), de comparación

(e.g., “este objeto es más largo que aquel”) y de ordenamiento (e.g., “organizar objetos del

más grande al más pequeño”). En todas estas actividades, inferimos que la idea que Laura

tenía del proceso de estimación era como una actividad mental que se realiza “a ojo”, es decir

sin el uso de instrumentos, ni unidades de medida.

Lo anterior corresponde con lo que Laura considera: que la medida de una cantidad de

magnitud no es una acción espontánea, ni fácil, sino que debe aprenderse. Al respecto, ella

señaló:

“No es fácil saber que un centímetro es una parte pequeñita de un metro, eso es

complicado. Por eso yo empiezo con cosas más fáciles, así de estimar de ordenar

objetos y después ellos irán aprendiendo más.”

Chamorro (2003) explica que la adquisición del concepto de medida requiere de la

experiencia del sujeto y de una serie de tareas relacionadas con estimaciones, clasificaciones y

seriaciones. Sin embargo, esta autora destaca que todas estas tareas, parten de establecer el

atributo o la cantidad de magnitud con la cual se va a medir. En el caso de Laura, esta

profesora no considera ideas sobre “cantidad de magnitud”, pero sí expresa algunas cuestiones

sobre las cualidades de los objetos que podemos medir:

“Leyendo la guía del profesor, me doy cuenta que tengo que hablarle a los niños

sobre las cualidades mensurables de los objetos; o sea, lo que uno le puede medir a

algo. Eso así no se entiende mucho, pero yo lo que voy a hacer es dar ejemplos;

creo que esa es la manera más fácil. (Entrevista a Laura)


221

16.6. CONCLUSIONES SOBRE EL ESTUDIO DE CASO DE LAURA

La evocación de la ruta-recorrida por Laura, mediante la aplicación de la técnica de

introspección, nos permitió inferir el proceso de selección de recursos digitales de esta

profesora. La representación de Laura en sus mapas “evoluciona” en la medida en que tiene la

oportunidad de reflexionar de una manera más sistemática sobre sus acciones, pensamientos y

los conocimientos allí involucrados.

En dicho proceso se visibilizó la variedad y complejidad de conocimientos

profesionales especializados de Laura, incluidos en su esquema para seleccionar recursos de

acuerdo a una situación específica (su ESRD_L), y se explicitan, particularmente, en sus

invariantes operatorias (conocimientos-en-acto y teoremas-en-acto). Categorizamos los

conocimientos-en-acto como “criterios de selección de recursos”. En esta categorización

inferimos un criterio, para el caso de Laura, que no se había presentado en la Primera Fase de

la investigación; nos referimos al criterio afectivo relacionado con la posibilidad de que el

uso del recurso genere entusiasmo entre los estudiantes.

En cuanto a los conocimientos de Laura sobre su tema de enseñanza (su MKT),

concluimos que la comprensión que Laura tiene de las orientaciones curriculares fue

indispensable para orientar su proceso de selección de recursos digitales. Aunque sabemos que

medir y estimar medidas son dos procedimientos distintos, éstos mantienen una estrecha

relación y se complementan entre sí. Laura, atenta a las orientaciones curriculares que le

sirven de punto de partida para su proceso de selección, optó por enfocarse en actividades de

estimación, aún sin tener muy claro las sutilezas de los conceptos matemáticos allí

involucrados. Para Laura, la medida, es un conocimiento social complejo, y por ello, considera

que su enseñanza escolar es importante.

Por otro lado, la orquestación de Laura nos permitió observar cómo muchos de sus

criterios de selección se manifiestan en las maneras como Laura organiza y dispone su clase y

el tipo de actividad que promueve en sus estudiantes: por ejemplo, en su interés en que las

actividades desarrolladas en sus clases tengan una fuerte relación con la “vida diaria” de los

niños (algo necesario en primer grado de primaria).


222

En el siguiente capítulo presentamos el seguimiento al caso de otro profesor que

participó en el estudio: el profesor Pedro de quinto grado, del cuál ya habíamos hecho un

primer estudio de caso en la Primera Fase (ver capítulo 12) .

223

17. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (2ª PARTE):

RECURSOS PARA DISEÑAR EN LA CLASE DE

GEOMETRÍA

El profesor Pedro es el único participante de la Primera Fase (ver Capítulo 12) que

también participó en la Segunda Fase del estudio, aproximadamente un año y medio después

de su participación en la Primera Fase. Su participación en la Segunda Fase, permitió

profundizar en el estudio de los conocimientos profesionales que Pedro pone en juego,

mientras selecciona recursos, particularmente digitales, para su enseñanza de la geometría en

5º grado.

Comenzamos complementando sobre lo mencionado en la Primera Fase (en el

Capítulo 10), en relación a los antecedentes y contexto laboral de Pedro.

17.1. ANTECEDENTES DE PEDRO Y DEL CONTEXTO EN EL QUE LABORA

En el momento de la Segunda Fase, Pedro contaba con 38 años de edad, y 11 años de

experiencia docente. Su formación incluye ser:

Normalista egresado de la Escuela Normal Departamental;

Licenciado en matemáticas con énfasis en computación de la Universidad Santiago

de Cali; y

Tecnólogo en Sistemas y Computación del Servicio Nacional de Aprendizaje

(SENA).

Además de su trabajo como docente de nivel primaria en la escuela José María

Córdoba de Yumbo, Pedro también trabajaba como profesor catedrático en educación superior

en el SENA-Yumbo impartiendo clases de: “Álgebra lineal y geometría analítica”;

“Algoritmos y estructuras de datos” y “Sistemas operativos” a estudiantes de las carreras

tecnológicas que el SENA-Yumbo ofrece. Al respecto, Pedro señaló que:

CAP. 17. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (2ª PARTE): RECURSOS PARA DISEÑAR EN LA CLASE DE GEOMETRÍA

224

“Estar con el SENA es una gran oportunidad porque estoy más al día en los

desarrollos en tecnologías computacionales y eso me ayuda mucho como profesor

acá en la escuela [primaria], ya sea para colaborar en los proyectos como soporte

técnico pero también dando asesoría a la institución…Para mí, ambos trabajos se

complementan, hacen que yo tenga una mirada más amplia y eso me gusta”.

(Entrevista a Pedro).

Un aspecto interesante de la escuela en la que Pedro trabaja como maestro de primaria

tiene que ver con el trabajo colaborativo y la formación de profesores. En particular, la

institución, durante los años 2011-2015, desarrolló un programa de formación y asesoría a los

profesores de primaria (quienes participaron en el taller que reportamos en el Capítulo 13). En

este programa de formación, se apoyó la aplicación de proyectos de aula en todos los grados

de primaria (1º a 5º). Para el caso particular de 5º grado, uno de los proyectos desarrollados

fue el de “La casa de mis sueños” (ver Anexo I), el cual Pedro siguió desarrollando, con

algunas modificaciones y adaptaciones, como se describe en la siguiente sección 17.2.

17.2. EL PROYECTO DE AULA “LA CASA DE MIS SUEÑOS” DESARROLLADO POR

PEDRO

Como se dijo en la sección 12.1, el proyecto de aula “La casa de mis sueños” (ver

Anexo I) implicaba el diseño de una casa, culminando en la construcción de una maqueta de

ésta (ver Figura 17.1).

Figura 17.1. Estudiantes de Pedro mostrando el resultado (maqueta) de su proyecto de aula


225

Para el desarrollo de este proyecto, los estudiantes tenían que trabajar con planos de

una casa, lo que implica llevar a cabo mediciones de figuras planas. Al igual que en su

proyecto (año 2015-16) de la Primera Fase, en el desarrollo de su proyecto (año 2016-17) de la

Segunda Fase, Pedro utilizó el software Sweet Home 3D para que sus estudiantes, trabajando

en parejas, diseñaran el plano de una casa (ver Figura 17.2 y Figura 17.3). Pedro explicó cómo

era este proyecto y cómo lo fue adaptando:

“Al principio el proyecto estaba más apegado a que los niños trabajaran con los

planos y la información de las revistas [inmobiliarias] y que se basaran en eso

para hacer su casa. Y las actividades estaban como más dirigidas. Ahora partimos

de allí pero yo no les doy las cosas. Ellos buscan en Internet yo les digo dónde y

ellos mismos escogen las cosas. Nosotros teníamos una asesora y ella nos enseñaba

cómo hacer las actividades con los niños, cómo desarrollar el proyecto, todo;

teníamos reuniones, analizábamos clases. Eso me gustaba, me parecía bien, pero el

proyecto fue cambiando, porque yo lo hago, año tras año, y siempre uno mete

cosas nuevas. Por ejemplo: lo de trabajar con Sweet Home, eso fue idea mía. Lo de

hacer la socialización en el patio de la escuela, y los padres de familia, también yo

lo metí también –este es el primer año que se hace…: le pusimos de nombre la

“Feria de la Finca Raíz y vivienda”…; así como hacen en las exposiciones, los

niños actúan como si fueran arquitectos, ingenieros y te quieren vender su idea de

la casa. Todo eso no estaba antes en el proyecto… yo creo que ha cambiado

mucho.” (Entrevista a Pedro)

Figura 17.2. Estudiantes de Pedro trabajando

en el diseño del plano de una casa, con Sweet

Home 3D

Figura 17.3. Ejemplo de un plano producido por

una pareja de estudiantes usando Sweet Home

3D


226

Para el desarrollo del proyecto (año 2016-17), Pedro planeó una secuencia de ocho

actividades a desarrollarse en un período aproximado de dos meses. Estas actividades

implicaban el estudio del número en contextos de medida; construcción de planos; cambios de

escala; uso de coordenadas; estudio de los conceptos de perímetro y área; la elaboración de

maquetas y su presentación ante la comunidad educativa (Figura 17.1) donde las parejas de

estudiantes explicaban el proceso de diseño de su casa.

Como toda esta secuencia de actividades requería un tiempo considerable, además de

la hora semanal que correspondía a la asignatura de “Geometría”, Pedro utilizó horas

adicionales de la asignatura de “Matemáticas”. Justamente, el tema de los tiempos fue una de

las mayores preocupaciones de Pedro, ya que el proyecto abarcaba “más del tiempo

destinado”, en el programa escolar, al estudio de las magnitudes, su medida y medición. Al

respecto, Pedro señaló:

“¿Cuál es mi gran preocupación cuando se piensa en un proyecto como este? Los

tiempos, porque pensado, abarcaría lo que resta del tercer período, y el cuarto. Y

eso es más de lo estipulado a los conceptos que deben verse dentro del pensamiento

métrico. Pero igual, yo le apuesto al proyecto y tomo tiempos de la otra clase o me

acomodo con los muchachos. “ (Entrevista a Pedro)

A continuación presentamos la planeación propuesta por Pedro:

Actividad No. 1. Reconocimiento e interpretación del número en distintos contextos.

(Análisis numérico de por lo menos 6 proyectos de 10 que oferta la página de

mayor interés para los niños y niñas una vez se hayan reconocido).

Actividad No. 2. Ubicación espacial en planos y mapas de los proyectos. (Sistemas

de coordenadas e interpretación de planos, análisis de valorización según zona

para Cali u otras ciudades).

Actividad No. 3. Medida de superficies planas, recubrimiento con m2 en físico y con

el Sweet Home. (Concepto de área: medida de la superficie del salón como

parámetro de comparación con relación a la superficie de los proyectos).

Actividad No. 4. Área de superficies planas vs. Área construida. (Concepto de área

construida para el caso de los inmuebles a analizar, tomar de ejemplo tres

proyectos: Palo Verde, Lagos de Verde Alfaguara y Brisas de los Álamos Sauces.

Ideal visitar un proyecto en la pagina web).

Actividad No. 5. Cálculo de área de superficies planas usando Sweet Home.

(Formula numérica y varios ejemplos a partir de los distintos proyectos donde se

formalice el cálculo numérico una vez conocidas las dimensiones).

Actividad No. 6. Perímetro y área de una superficie plana. (Concepto de perímetro y

su interrelación con el concepto de área. Medida del perímetro del salón. Cálculo

de superficies a escala de su área y perímetro).


227

Actividad No. 7. Reevaluación de los proyectos para la elección de “La casa de mis

sueños”. Sustentación de las características del inmueble retomando el análisis

numérico y de valorización realizado por las parejas.

Actividad No. 8. Elaboración de las maquetas y socialización a la comunidad

educativa.

(Información textual proporcionada por el profesor Pedro, 2017)

Las Figura 17.4 y Figura 17.5 muestran el trabajo de algunos estudiantes al llevar a

cabo actividades del proyecto (de las presentadas arriba).

Figura 17.4. Actividad desarrollada por estudiantes de Pedro para su proyecto de aula

Figura 17.5. Otra actividad desarrollada por estudiantes de Pedro para su proyecto de aula


228

Un comentario que queremos hacer del trabajo de Pedro tiene que ver su propuesta de

trabajar elementos de una enseñanza basada en proyectos. Al respecto, Pedro señaló:

“Lo de trabajar con proyectos de aula es una idea que surgió acá entre

todos en la escuela y hasta tuvimos cursos [formación] para eso, porque

queríamos que los niños se metieran como más en su aprendizaje, que fueran

más activos, [y] contar más con las familias […] Este proyecto [‘La casa de

mis sueños’] parte de que los niños tengan sus ideas y hagan las cosas a su

gusto; uno les va enseñando, pero ellos son los que hacen el trabajo; lo mío

es más como ayudarles.” (Entrevista a Pedro)

Teniendo en cuenta lo señalado por Pedro, consideramos que su propuesta del proyecto

de aula “La casa de mis sueños”, es afín a aspectos propuestos por Papert (1981), tales como

que el estudiante se involucre en actividades y proyectos de construcción de objetos externos y

compartibles. Como hemos visto anteriormente, Pedro en su proyecto propone que los niños

construyan el diseño de una casa que luego presenten a su comunidad; un proyecto donde

Pedro actúa más como mediador (él también señaló: “yo les ayudo, les doy ideas, pero el

trabajo es de ellos”). Papert (1981) consideraba que este tipo de proyectos hacen más

comprensibles los conceptos abstractos. Pedro, de igual manera, considera que es importante

que los niños trabajen en un proyecto “en que se sientan motivados porque lo hacen según sus

ideas y sus gustos”; esta idea se relaciona con los planteamientos de Papert (1981) sobre que

los niños aprenden mejor cuando construyen objetos que les interesan personalmente.

Ahora bien, para la implementación de su proyecto de aula, Pedro usó determinados

recursos; la selección de estos recursos, como discutiremos en la siguiente sección, tuvo que

atender aspectos de la enseñanza basada en proyectos que el profesor adoptó, donde los

estudiantes tenían que construir el plano de su casa.

17.3. RECURSOS SELECCIONADOS POR PEDRO PARA SU PROYECTO DE AULA

En el desarrollo de su proyecto de aula (el diseño de una casa), Pedro integró distintos

tipos de recursos no-digitales y digitales: lápiz y papel; regla graduada; el pizarrón; proyector

o videobeamer; materiales para la construcción de maquetas; editor de diapositivas (i.e.,

PowerPoint); y, en particular, el recurso digital Sweet Home 3D42 (ver la descripción de este

42 http://www.sweethome3d.com/


229

recurso en la sección 12.4.1) para producir planos de casas (la Figura 17.3 presenta un ejemplo

del tipo de planos que produjeron los estudiantes de Pedro, trabajando en parejas, durante el

proyecto de aula, usando el recurso digital Sweet Home).

Pedro también consideró otras opciones de recursos digitales (e.g. GeoGebra) para las

actividades de construcción geométrica de sus estudiantes. Sin embargo, seleccionó trabajar

con Sweet Home 3D debido a las características del mismo, así como su experiencia previa

con el recurso como usuario del programa fuera del ámbito escolar para hacer arreglos en su

casa:

“El proyecto también se podría hacer con GeoGebra, claro, pero yo prefiero el

Sweet porque tiene cosas que GeoGebra no tiene, por ejemplo: pasar así de fácil de

la vista 2D a la 3D, eso en GeoGebra es más complicado; además tampoco tiene

las herramientas para diseño arquitectónico y ese es el punto en que Sweet es

fuerte. […]

Trabajamos con Sweet en este proyecto el año pasado y me gustó. Creo que los

muchachos aprendieron mucho y funcionó muy bien […] Yo lo conocí casi como

accidente: estaba haciendo arreglos en mi casa y busqué algo para hacer el plano

y me encontré con este programa y vi que era libre y todo eso, y dije “uy, esto me

sirve para el proyecto de la ‘Casa de mis sueños’ […] entonces empecé a usarlo y

pensando que lo podía meter al proyecto y funcionó muy bien”

(Entrevista a Pedro)

Figura 17.6. Ejemplo del tipo de información disponible en el repositorio “Finca Raíz”

Otro de los recursos digitales seleccionados por Pedro para integrar a su proyecto fue

páginas de Internet, particularmente la página web43 de una organización (Finca Raíz) que

43 https://www.fincaraiz.com.co/inmobiliarias/cali/

https://www.fincaraiz.com.co/inmobiliarias/cali/


230

agrupa las principales empresas inmobiliarias de Cali y su área metropolitana. La Figura 17.6

presenta un ejemplo del tipo de información proporcionada por el repositorio “Finca Raíz”

para la ciudad de Cali; allí se muestran algunos de los proyectos de vivienda disponibles en

diferentes zonas de la ciudad y datos adicionales.

De este repositorio, Pedro les propuso a sus estudiantes que retomaran información

para el diseño de sus casas: e.g., distribución de los cuartos; tamaños de los espacios de la

casa; ideas sobre la arquitectura y diseño de interiores; precios; zonas en las que están

ubicadas las casas, etc. Con esta información, las parejas de estudiantes complementaron sus

planos realizados en Sweet Home 3D y realizaron un presentación en PowerPoint, llamada

“proyecto de vivienda” que socializaron ante la comunidad educativa junto con la presentación

de sus maquetas.

Así, tenemos que Pedro, en esta fase, hizo una selección de recursos digitales

dependiendo del uso didáctico que anticipó para cada uno:

Recursos digitales para “diseñar en la clase de geometría”: Sweet Home 3D. Este

es el único recurso digital que Pedro había incluido para el proyecto de aula, en el año

escolar anterior (como observamos en la Primera Fase del estudio).

Recursos digitales para que los estudiantes encuentren información para el

diseño de sus planos: Página Web de “Finca Raíz”.

Recursos digitales para que los estudiantes socialicen sus resultados del proyecto

de aula: PowerPoint.

En la siguiente sección presentamos nuestro análisis de este proceso de selección de

recursos digitales realizado por el profesor Pedro.

17.4. ANÁLISIS DEL PROCESO DE SELECCIÓN DE RECURSOS (DIGITALES) DE

PEDRO

En la Segunda Fase, el seguimiento al caso de Pedro se hizo durante 9 semanas

(observadas), en las cuales observamos 6 clases de geometría, 3 sesiones de planeación de

clases y realizamos 9 entrevistas (2 antes de la observación de clases y 7 post-clase) (ver

sección 15.4.3).


231

Durante las 7 entrevistas post-clase, se aplicó la técnica de introspección. En cada una

de esas entrevistas, Pedro realizó una versión de sus mapas de selección de recursos digitales

para sus clases de geometría, acompañándolos con sus explicaciones (y reflexiones). De esta

manera, obtuvimos datos que nos permitieron inferir el esquema de selección de recursos

digitales de Pedro; en particular, sus invariantes operatorias.

17.4.1. Resultados de la aplicación de la técnica de introspección: Mapas de Pedro

sobre su ruta-recorrida

En la primera versión de su mapa de su “ruta recorrida” (Figura 17.7), Pedro identificó

tres momentos en su proceso de selección de recursos: (i) “Definir objetivos”. (ii) “Definir el

software”. Y (iii) “definir la clase”. Pedro resaltó que el proceso de selección de recursos es

un proceso dinámico, donde el profesor aprende a adaptarse según los recursos que tiene

disponibles, lo que lo puede llevar incluso hasta a modificar sus objetivos de enseñanza. Al

respecto, Pedro señaló:

“Para mí, así es cómo yo selecciono lo recursos: Primero, defino los objetivos –

que quiero hacer esto, o lo otro, y que vamos a ver estos temas, etc. Después, ah,

pues uno mira qué software le ayuda para lograr esos objetivos, o hasta puede que

cambie los objetivos un poco, todo depende […] del recurso que usted encuentre y

cómo lo puede aprovechar. Para mí es un proceso cambiante, usted se va

adaptando. Al final, ya define cómo va a ser la clase […] define bien las

actividades.” (Entrevista a Pedro)

Figura 17.7. Primera versión del mapa, dibujado por Pedro, de su ruta-recorrida para su

selección de recursos para su proyecto de aula

En la segunda versión de su mapa (Figura 17.8), Pedro agregó detalles adicionales. Por

ejemplo, introdujo numeración a sus actividades en el proceso de selección de recursos e


232

incluyó el “tema matemático” como punto de partida del proceso. Además, especificó que su

“definición de los objetivos” se refiere a determinar “qué es lo que va a enseñar”. Para Pedro,

este último punto es vital para “definir cuál va a ser el software que voy a usar”. Finalmente,

Pedro incluyó la “organización del trabajo” de la clase como una consideración adicional en su

proceso de selección. Al respecto, Pedro señaló:

“Mi esquema ahora está como más completo. Primero, ya parto del tema

matemático, de allí a los objetivos […] esos objetivos sobre qué voy a enseñar, sí,

sobre de qué va a ser la clase. Ya de allí defino mejor el software y miro, ahora sí,

cómo es que voy a organizar el trabajo de los muchachos: que va a ser en grupo,

que van a hacer una socialización, y yo defino cómo se va a hacer todo eso.”

(Entrevista a Pedro)

Figura 17.8. Segunda versión del mapa, dibujado por Pedro, de su ruta-recorrida para su

selección de recursos para su proyecto de aula

En la última versión de su mapa (ver Figura 17.9), hay varios elementos a tener en

cuenta y que Pedro enfatizó al explicar su ruta: la necesidad de contar, a la hora de escoger un

recurso digital para la clase, con criterios matemáticos y didácticos claros (considerando

aspectos relacionados sobre el uso del recurso en la clase). Al respecto, Pedro señaló:

“Lo primero, para escoger un recurso, un material para la clase, lo que sea, es

tener claro qué voy a enseñar: Cuál es el tema matemático que vamos a trabajar y

cómo se conecta con otros temas –con temas de la vida real o con otras cosas de

las matemáticas. Pero para eso, el profesor debe de conocer bien el tema que va a

enseñar, para poder entender todas esas conexiones. Otra cosa que yo puse es lo de

los objetivos de la clase, o de las clases: allí voy a decir qué voy a enseñar, cómo

lo voy a hacer y qué recursos voy a usar –recursos humanos, espacios, tecnologías,

todo. Ya después, escoger el software no es tan complicado, por que yo ya sé qué es

lo quiero y quiero que sea ¡motivante! Para que los muchachos se animen a

trabajar, y como el Sweet es un programa que usan los arquitectos en la vida real,

entonces ellos se proyectan y se apersonan de su proyecto.”


233

[…]

“Hay que mirar varias cosas: por ejemplo, si los niños pueden usar el Sweet aquí

o en la casa y que sea gratis, por si no, cómo? También mirar qué herramientas

tiene el software, porque yo busco algo que les sirva a los niños para construir,

para hacer su casa, no es como un Paint o algo así, sino que tenga herramientas

de matemáticas”.

[…]

“Ya después usted mira qué le va poner de trabajo a los niños, mi idea es que ellos

usen el Sweet en varias cosas: para medir, para trazar el plano, cambiar la

escala, hacer todo el diseño arquitectónico, tomar medidas, y eso. Pero no es

dejarles el software allí no más, yo les tengo que decir qué vamos a hacer y cómo

lo vamos a hacer: trabajando en parejas, compartiendo el aprendizaje, para eso

es que vale la pena trabajar con estas vainas tecnológicas”.

(Entrevistas a Pedro; énfasis añadidos)

Así pues, Pedro seleccionó el recurso dependiendo de si puede adaptarse a sus

objetivos: lo que implica, en este caso, que el recurso disponga de herramientas (criterio de

orden ergonómico) para el diseño y la medición (criterio de contenido matemático); que el uso

didáctico del recurso promueva el trabajo colaborativo (criterio de características didácticas) y

luego define otros requerimientos (en particular, el criterio afectivo: que el recurso sea

“agradable” y “motivante”) y otros de orden ergonómico (e.g. que el recurso sea de libre

acceso).

Figura 17.9. Última versión del mapa, dibujado por Pedro, de su ruta-recorrida para su selección

de recursos para su clase


234

17.4.2. Componentes del esquema de Pedro para seleccionar recursos digitales

A partir de los datos obtenidos en las entrevistas a Pedro, de sus mapas de su ruta-

recorrida, y de la observación de su planeación y ejecución de sus clases de geometría,

pudimos inferir su Esquema de Selección de Recursos Digitales (ESRD_P). Este análisis

(resumido en la Tabla 17.1), se hizo en términos de los elementos constitutivos de los

esquemas de los cuales nos habla Vergnaud (1998, 2013) –ver sección 6.1: situación, metas,

anticipaciones, reglas de acción, invariantes operatorias, y posibilidades de inferencia.

Cabe señalar que Pedro construyó su situación con base a su experiencia con

situaciones similares en años anteriores donde ya había aplicado el proyecto de aula

de manera parecida (como en la Primera Fase —ver capítulo 12). Lo anterior explica

muchas de las acciones de Pedro, por ejemplo, las adaptaciones que realizó a su

proyecto de aula; también explica por qué el profesor seleccionó los recursos en

términos de su experiencia habiéndolos usado antes.

Las metas de Pedro se enfocaron en su selección de recursos digitales. Esta

selección, Pedro la realizó pensando en qué tipo de actividades sus estudiantes

pudieran llevar a cabo con el recurso seleccionado, y en cómo este recurso puede

integrarse en el desarrollo de su proyecto de aula.

Las anticipaciones de Pedro se enfocaron en configuraciones didácticas

“globales”; en el sentido en que implican tiempos, espacios y actividades diversas a

lo largo de una tiempo considerables. Tanto en la Primera (ver sección 12.5) como en

la Segunda fases, el profesor anticipó configuraciones didácticas “globales” en las

cuales consideró el tipo de actividad a realizar por sus estudiantes: En la Primera

Fase, estas anticipaciones estaban más ligadas a la meta “global” de aprendizaje, la

cual orientó la orquestación que hizo de sus clases. En esta Segunda Fase,

identificamos que estas anticipaciones “globales” fueron más complejas que las

identificadas en la Primera Fase, ya que el profesor consideró la gestión de una

variedad mayor de recursos (digitales y no digitales); también consideró cómo los

estudiantes iban a usar esos recursos y cómo todo lo anterior contribuiría al desarrollo

del proyecto de aula. Por ejemplo, el profesor consideró de qué maneras los

estudiantes iban a usar la información que tomaran de la página web de Finca Raíz


235

(ver sección 17.3) para el diseño de sus planos en Sweet Home 3D; y cómo iban a

usar estos planos para construir sus maquetas y diapositivas para la presentación ante

la comunidad educativa.

Teniendo en cuenta los anterior, las reglas de acción de Pedro tomaron como

punto de partida, y basaron su planeación, en las actividades del proyecto,

contemplando posibles modificaciones al mismo, sobre todo en términos de los

recursos digitales que pretendía seleccionar. Aquí es interesante notar que el profesor,

desde la Primera Fase, expresó su interés en “trabajar con tecnologías digitales” y,

por tanto, sus reglas de acción correspondían a esa intencionalidad.

En cuanto a sus invariantes operatorias hay varios elementos a considerar. Cabe

señalar que varios de los “criterios de selección” de Pedro, que habíamos inferido en

su seguimiento en la Primera Fase del estudio (ver capítulo 12), continuaron, pero se

modificaron en términos de la importancia que Pedro les otorgó en esta Segunda

Fase.

Primero, Pedro señaló: “Como lo usé [Sweet Home 3D] el año pasado, ya sé

que hacer con él,” lo cual indica que su experiencia previa con el recurso (como

usuario del recurso fuera del ámbito escolar y como profesor que usó el recurso

en un proyecto de aula) le ha dado conocimientos (así como un cierto nivel de

confianza) que orientaron su acción y decisión de usar el recurso (i.e., Pedro ya

sabe qué puede hacer con el recurso).

En esta Segunda Fase, Pedro señaló que para él era ahora más importante

que antes, el uso didáctico del recurso (el criterio de características didácticas),

las tareas de diseño y construcción geométricos por parte de los alumnos usando

el recurso (criterio de contenido matemático), y las maneras en que el recurso

puede apoyar y facilitar el aprendizaje de sus estudiantes (criterio cognitivo).

En cambio habló menos de criterios como el curricular (había ya

identificado previamente de qué manera el uso del recurso se relaciona con las

orientaciones del currículo) y el ergonómico (ya que ya conocía bastante bien las

características técnicas el recurso). Inferimos que estos dos criterios se

mantuvieron más o menos igual que en la Primera Fase, aunque no se hablara

tanto de ellos.


236

Sin embargo, entre los criterios ergonómicos, Pedro contempló

adicionalmente en esta ocasión, que el recurso también pudiera usarse en casa.

Esto lo había mencionado en la Primera Fase, pero sin darle mucha importancia,

mientras que en la Segunda Fase pareció valorarlo mucho más.

Otra invariante operatoria que inferimos en Pedro durante la Segunda Fase,

tuvo que ver con el criterio afectivo, en el sentido de que para él era importante

que el uso del recursos digital principal (el Sweet Home) fuera “motivante” para

los estudiantes. Este tipo de creencias positivas (orientaciones personales)

respecto al uso de recursos digitales, se basaron en su experiencia previa que le

había dado confianza en lo que se podía hacer y lograr con el recurso en sus

clases.

Finalmente, identificamos que en el caso de Pedro, sus posibilidades de

inferencia se relacionan con sus orientaciones personales y percepciones (Thomas &

Palmer, 2014) respecto a la integración de tecnologías digitales a la enseñanza. Por

ejemplo, Pedro creía en que trabajar con tecnologías digitales puede permitirle

innovar en su trabajo; a partir de eso, inferimos que el podría buscar otras maneras de

usar los recursos digitales que ha usado antes, en versiones futuras de su proyecto de

aula (o fuera de él), tales como el de Sweet Home 3D, u otros recursos como la

geometría dinámica o videos de YouTube. Al respecto Pedro señaló:

“¿Cómo pienso usar esto [Sweet Home 3D], en el futuro? A ver, ¿de que lo sigo

usando para el proyecto? sí, claro […] Trabajar con tecnologías… como que te

da la oportunidad de innovar, ¿no?, de cambiar lo que siempre hacés como

profesor y eso me gusta, me hace sentir bien… porque ves que a los muchachos

les gusta, es motivante para ellos […] Como que te abre la mente para trabajar

más con tecnologías, ¿no? […] dependiendo, con GeoGebra, con cosas de

YouTube, con OVAs [Objetos Virtuales de Aprendizaje]”

(Entrevista a Pedro, énfasis añadido)

A continuación, en la Tabla 17.1, resumimos los elementos arriba descritos del

esquema ESRD-P de Pedro. (En la sección 17.4.3 presentaremos un análisis más detallado de

los conocimientos matemáticos de Pedro involucrados en su proceso de selección).


237

Tabla 17.1. Componentes del Esquema de Selección de Recursos Digitales de Pedro (ESRD_P)

Situación En su salón de clases, Pedro planeó varias clases de Geometría para su proyecto de

aula “La casa de mis sueños”.

Experiencia previa del profesor (derivada de haber sido usuario del recurso fuera del

ámbito escolar; y de haberlo utilizado el recurso en el año escolar previo).

Para ese proyecto, tuvo varias opciones para seleccionar diversos recursos (digitales y

no digitales) –en particular mencionó GeoGebra— de las cuales seleccionó Sweet

Home 3D (ver sección 17.3) como recurso para “diseñar en la clase de geometría”.

Pedro también consideró incluir actividades adicionales con otros recursos digitales,

en su proyecto de aula, que no había desarrollado en ocasiones anteriores (ver sección

17.2), por ejemplo, el uso de una página web para que los estudiantes tomaran

información.

Metas Meta general:

Seleccionar recursos digitales que sus estudiantes puedan utilizar para el desarrollo

de su proyecto de aula de acuerdo a sus criterios (ver invariantes operatorias, abajo).

Sub-metas:

Adaptar los recursos seleccionados de acuerdo a su planeación de las actividades del

proyecto.

Prever una configuración didáctica “global” que involucra distintos recursos

digitales.

Anticipa-

ciones

Pedro señaló:

" Yo ya he hecho [enseñanza] con proyectos varios años: conozco qué materiales

usar, así que tengo una idea previa de cómo van a funcionar las actividades. Pero

de todas formas, este año quiero hacer cosas nuevas; entonces, por eso, tengo que

cambiar cosas, mirar la logística de la socialización y cómo es que vamos a usar

Sweet Home para que los niños presenten."

Pedro anticipó modificaciones en la realización de sus actividades del proyecto,

respecto a años anteriores.

Pedro anticipó posibles configuraciones didácticas (dentro y fuera del salón de

clases) que involucraran recursos digitales y recursos no-digitales.

Reglas de

acción

Paso 1: revisar el plan de las actividades del proyecto

Paso 2: realizar posibles modificaciones al plan de actividades del proyecto

Paso 3: identificar qué actividades del proyecto requerían el uso de recursos digitales.

Paso 4: prever posibles configuraciones didácticas “globales” (dentro y fuera del

salón de clases) que incluyeran recursos digitales y no-digitales.

Invariantes

operatorias

Conocimientos

-en-acto

Conocimientos-en-acto de Pedro categorizados como “criterios de selección”. Los

presentamos según el orden de importancia que inferimos que Pedro les otorgó:

Características didácticas: el uso didáctico del recurso debe promover el trabajo

colaborativo.

Contenido matemático (geométrico): El recurso debe facilitar tareas de diseño y

construcción por parte de los alumnos.

Cognitivo: el recurso debe apoyar y facilitar el aprendizaje de los estudiantes

Ergonómico: el recurso digital debe ser gratuito, fácil de instalar y de usar (en la

escuela y en la casa) por los niños.

Afectivo: el uso del recurso debe de ser motivante para los estudiantes.

Curricular: el recurso debe estar alienado con las orientaciones curriculares.

Invariantes Teoremas-en-acto. En algunas de las entrevistas Pedro señalaba:


238

operatorias

Teoremas-en-

acto

Características didácticas:

- “Como lo usé el año pasado, ya sé que hacer con él.”

- "Quiero que el uso de la tecnología sea para el trabajo en grupo de los niños; me

gusta trabajar con parejas [de estudiantes], para hablar sobre lo que están

haciendo, para que se ayuden entre ellos, igual los papás les ayudan, los otros

compañeros, hasta los papás aprendieron a usar el programa. "

Contenido matemático (geométrico):

- "La idea es que, al trabajar con Sweet, es que los niños pueden ver qué cosas se

pueden medir y qué cosas no se pueden, y que prueben diferentes funciones para

hacerlo”.

- “Lo que quiero que los niños aprendan es a usar la geometría: que construyan,

diseñen, hagan medidas, comparen cosas y apliquen lo que vemos en las clases, que

corrijan sus planos, los ajusten según los parámetros que yo les doy.”

- "Debemos prestar atención a la parte matemática: asegurarse de que no haya

errores o contenidos que no correspondan al nivel de los niños ... si [las

matemáticas] son demasiado complicadas, puede confundirlos."

Cognitivo: “De lo que más me gusta del Sweet es lo de la vista 3D, que los niños

pasan fácil del plano 2D a la vista 3D y entonces allí miran si están haciendo bien

las cosas y cómo va quedando su casa.”

Criterio ergonómico: "Busco un software que sea útil para muchas cosas, porque

estamos trabajando en un proyecto largo, entonces yo quiero algo que se adapte a lo

que queremos hacer en el proyecto.”

Afectivo: “Ya después, escoger el software no es tan complicado, por que yo ya sé

qué es lo quiero y quiero que sea ¡motivante! Para que los muchachos se animen a

trabajar, y como el Sweet es un programa que usan los arquitectos en la vida real,

entonces ellos se proyectan y se apersonan de su proyecto”.

Curricular: “Sobre todo que apliquen, como dicen los Estándares y el currículo,

que apliquen sus conocimientos y no que repitan como loros, sino que hagan las

cosas, así como lo hace un ingeniero o un arquitecto en la vida común y corriente."

Posibilidades

de inferencia

Las posibilidades de inferencia de Pedro se relacionaban con sus percepciones favorables

sobre el papel de las tecnologías digitales en su enseñanza; al respecto, Pedro podría

inferir:

posibles usos del recurso digital (Sweet Home ·3D) en versiones posteriores de su

proyecto de aula.

posibles usos que podría darle a otros recursos digitales (e.g. geometría dinámica o

videos de YouTube) en actividades del proyecto de aula o fuera de él.

En la siguiente sección presentamos nuestro análisis de los conocimientos matemáticos

de Pedro involucrados en sus invariantes operatorias y que orientan su proceso de selección de

recursos digitales.


239

17.4.3. Paradigma geométrico relacionado con las invariantes operatorias de

Pedro

A continuación, profundizamos en relación a los conocimientos profesionales de Pedro

sobre su tema de enseñanza: las magnitudes y su media en quinto grado –i.e., sobre sus

invariantes operatorias o criterios de: contenido matemático (geométrico); de

características didácticas del recurso, cognitivo y curricular— que corresponderían al

conocimiento matemático para la enseñanza o MKT (Ball et al., 2008).

Recordamos que este análisis lo realizamos orientados por las ideas de Kuzniak (2011)

sobre “paradigmas geométricos” los cuales, según este autor, vinculan las consideraciones

epistemológicas del profesor, con la enseñanza que éste hace de la geometría. Así, aquí

profundizamos en los paradigmas relacionados con las invariantes operatorias de Pedro

presentadas arriba.

Desde la Primera Fase (ver sección 12.3), Pedro había expresado algunos de sus

conocimientos sobre las magnitudes y su medida. Específicamente, este profesor definía las

características de una magnitud, en términos de “qué se puede medir y qué no”. Además,

expresaba algunas ideas respecto a actividades relacionadas con la medición como, por

ejemplo, el papel de la estimación y el uso de instrumentos.

En las invariantes operatorias de Pedro, es posible inferir cómo sus conocimientos

respecto a las magnitudes y su medida se relacionan con el paradigma de la geometría

natural o elemental (Kuzniak, 2011), aquella geometría que opera sobre los objetos reales y

requiere de un uso intensivo de la intuición y del lenguaje para expresar las ideas. Así, este

paradigma se manifestó en las invariantes operatorias de Pedro cuando él hablaba del tipo de

actividad geométrica que deseaba promover en su clase y de sus propósitos educativos (“que

los estudiantes apliquen lo que aprenden”); también cuando expresaba que “los niños deben

de medir para saber que están haciendo las cosas bien”.

En nuestro análisis pudimos inferir que las invariantes operatorias de Pedro están

fuertemente relacionadas con los siguientes tres elementos de la geometría elemental:

La actividad geométrica priorizada por Pedro en sus clases fue el diseño de planos

arquitectónicos. Esta actividad se relaciona con la “construcción geométrica” ya que

requiere definir procesos o procedimientos que involucran objetos geométricos (e.g.


240

puntos y segmentos de recta). Así pues, se favorece el trazo de gráficos en papel,

ordenador o maquetas (Kuzniak, 2011).

Para apoyar estos procesos de construcción, Pedro contemplaba el uso de recursos

digitales y no digitales, la cual es una característica de la geometría elemental: el uso de

instrumentos (Kuzniak, 2011).

El profesor evidentemente enfatizaba actividades que implican la medida y la

medición como fuente de validación. El profesor tenía la intención de evocar situaciones

“de la vida común y corriente” de los niños en su clase de geometría y de acuerdo a

ello, promovía razonamientos de validación empírica: el profesor promovía que los

niños hicieran uso de pruebas “ostensivas”, es decir, aquellas relacionadas con el mundo

real y sensible (Kuzniak, 2011).

En las anteriores consideraciones es notorio cómo Pedro tomaba en cuenta aspectos

relacionados con la función social de la medición, particularmente, en la construcción de

viviendas. Lo anterior, le permitió al profesor el juego de ir y volver entre el modelo y la

realidad (Kuzniak, 2011), donde prevalecen las actividades de aproximación y medición.

En la siguiente sección presentamos algunas conclusiones de esta segunda parte del

estudio de caso de Pedro, haciendo énfasis, en el análisis de las invariantes operatorias de este

profesor.

17.5. CONCLUSIONES SOBRE EL ESTUDIO DE CASO DE PEDRO

Para el estudio de este proceso, la evocación de la ruta-recorrida por Pedro, mediante la

aplicación de la técnica de introspección, nos permitió analizar su proceso de selección de

recursos digitales, así como inferir el esquema asociado.

Por un lado, las representaciones y explicaciones de Pedro en sus mapas evolucionaron

de manera que permitieron que se manifestaran sus conocimientos profesionales sobre la

selección de recursos digitales para su proyecto de aula.

Por ejemplo, en esta segunda parte del estudio de caso de Pedro, al igual que en la

Primera Fase de la investigación, se hicieron evidentes algunas de sus orientaciones personales

sobre el uso de tecnologías digitales en la enseñanza (Thomas y Palmer, 2014). En este caso el


241

profesor expresaba sus creencias sobre el valor de las tecnologías: para promover el trabajo

colaborativo (criterio de características didácticas del recurso), como algo motivante (criterio

afectivo) y que le permitiría innovar en su práctica docente (posibilidad de inferencia), etc.

Siguiendo las ideas de Thomas y Palmer (2014), concluimos que estas percepciones de Pedro

redundan en sus niveles de confianza para la integración de tecnologías digitales en su

enseñanza. Este tipo de orientaciones personales se hicieron presentes en buena parte del

proceso de selección de recursos de Pedro.

También notamos cómo el proceso se hizo mucho más complejo en esta Segunda Fase

de la investigación, ya que Pedro contempló recursos digitales para “hacer geometría” y otros

recursos digitales que apoyaban las actividades del proyecto, como las páginas web para

consulta de información y PowerPoint para que los alumnos presentaran sus proyectos. Como

hemos mencionado anteriormente, el profesor realizó su selección del recurso digital pensando

en la orquestación que iba a hacer de éste; en este caso, Pedro anticipó que su orquestación iba

a involucrar varios recursos digitales y no-digitales (páginas web, Sweet Home 3D,

PowerPoint, maquetas), lo que determinaba los usos específicos de esos recursos en

actividades diversas de su proyecto de aula (e.g. consultar información, diseñar un plano,

hacer una presentación).

En cuanto a los componentes del esquema de Pedro para seleccionar recursos de

acuerdo a una situación específica (su ESRD_P), particularmente, sus invariantes operatorias

(conocimientos-en-acto y teoremas-en-acto), observamos, por ejemplo que sus criterios de

características didácticas, contenido matemático (geométrico) y cognitivo fueron

determinantes para orientar su proceso de selección ya que Pedro les otorgaba mayor

importancia.

En relación con esos criterios de Pedro, notamos que se relacionaban con aspectos del

paradigma de la geometría elemental (o natural) descrito por Kuzniak (2011): En particular,

Pedro hacía énfasis en el trazo de gráficos y en el uso de la medida para validar las

construcciones (contenido matemático) que son algunas de las características que Kuzniak

(2011) identifica en la geometría elemental. Pedro. también decidió que los niños trabajaran en

parejas “para que hablen de lo que están haciendo” (criterio de características didácticas); y

promovió el razonamiento visual en 2D y 3D (criterio cognitivo), lo cuál corresponde a otras


242

de las características de ese paradigma mencionadas por Kuzniak (2011): el uso del lenguaje

natural para explicar las ideas geométricas, y el énfasis en procesos como la visualización.

En el siguiente capítulo presentamos el seguimiento al caso de otro profesor que

participó en el estudio: el profesor Miguel de quinto grado y su proceso de selección de

recursos digitales para enseñar transformaciones geométricas en quinto grado.

243

18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA

“HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”

El tercer caso que vamos a presentar en la Segunda Fase corresponde al profesor

Miguel, quien enseñaba en grado 5º. Comenzamos describiendo algunos antecedentes de este

profesor y el contexto escolar en el que trabajaba.

18.1. ANTECEDENTES DE MIGUEL Y DEL CONTEXTO EN EL QUE LABORA

18.1.1. Detalles de la formación y experiencia docente de Miguel

El profesor Miguel que contaba con 56 años en el momento del estudio, tenía una

trayectoria profesional amplia, casi toda en primaria y secundaria. Algunos detalles de su

formación profesional (y personal), se reseñan a continuación:

Oriundo del municipio de Yumbo, cursó estudios de bachillerato en la Normal de

Zarzal (otro municipio a 3 horas de Yumbo), obteniendo el título de Maestro Bachiller.

Se desempeñó como profesor en escuelas primarias y programas nocturnos de

primaria para adultos en Yumbo en modalidad de contrato por 20 años.

Obtuvo el título de Ingeniero en Sistemas y Computación de la Universidad Santiago

de Cali en 2005 (programa sabatino).

Obtuvo el título de Maestría en Enseñanza de las Ciencias y las Matemáticas en 2011.

Ingresó a la carrera profesional docente por concurso de méritos en 2010 y a partir de

ese momento laboró en la escuela primaria donde realizamos el estudio. En el periodo

del estudio, llevaba 8 años enseñando grado 5º en la jornada de la mañana en esa misma

escuela.

Además de la docencia ejerce el oficio de ebanista.

CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”

244

Se consideraba como un profesor entusiasta del uso de recursos digitales en la clase y

participaba en grupos y proyectos (tales como el del Programa Ondas-Colciencias44 y el del

Instituto GeoGebra Cali) relacionados con sus temas de interés.

Miguel no trabajaba solo: él y su compañera María45 (seudónimo), con quien se veía

todos los días, llevaban a cabo trabajo colaborativo, compartiendo materiales y conversando

sobre sus experiencias durante los 5 años previos al estudio. Miguel valoraba mucho el

conocimiento profesional de María, sobre todo en temas curriculares y didácticos, y expresaba

haber aprendido mucho trabajando con ella. En esta investigación, aunque nos centramos en el

trabajo documental de Miguel e hicimos un estudio de caso individual, reconocemos la

importancia de su trabajo colaborativo. De hecho, como mencionamos abajo, la escuela de

Miguel promovía el trabajo colaborativo entre los docentes.

18.1.2. Detalles de la escuela en la que Miguel trabajaba

La escuela donde laboraba Miguel cuando realizamos su seguimiento, es una ubicada

en el centro del casco urbano de Yumbo (ver Figura 18.1). Ésta es una institución, pública,

urbana, mixta que atiende estudiantes de estrato socio-económico medio-bajo en los grados de

preescolar a quinto. Casi la totalidad de sus estudiantes continúan a educación secundaria (en

instituciones de básica secundaria) y finalizan la educación media (bachillerato). Un 30%

(aproximadamente) de sus egresados ingresan a la universidad. De acuerdo a información

proporcionada por la directora de la escuela (comunicación personal), el proyecto educativo de

esa escuela se considera afín las ideas socio-culturales en educación y promueve el trabajo

colectivo entre maestros y estudiantes; y es una escuela reconocida en su comunidad como una

de alto desempeño académico. En esa escuela se estimula el trabajo colaborativo entre

profesores (e.g. reuniones, equipos de trabajo, diseño de recursos curriculares, etc.).

La organización usual de las clases en esa escuela es en “grupos nucleares” es decir,

que el grupo de estudiantes (en cada clase) es organizada en grupos (o “núcleos”) de cinco

estudiantes que se mantienen, en su mayoría, durante todo el año escolar.

44 https://www.colciencias.gov.co/cultura-en-ctei/ondas 45 María no quiso participar en nuestro estudio.


245

Figura 18.1. Escuela donde laboraba Miguel

18.1.3. Clases desarrolladas por Miguel durante su periodo de seguimiento

A Miguel le hicimos seguimiento durante 11 semanas46, en el año escolar 2016-17.

Durante este periodo este profesor desarrolló sus clases semanales de geometría tal cual las

tenía planeadas; es decir, no alteró, ni adaptó el desarrollo de su trabajo a raíz de nuestra

observación.

En esas 11 semanas, Miguel abordó tres temáticas en sus clases de geometría:

(i) sólidos geométricos (SG), (ii) construcción de geoplanos (GP) y (iii) transformaciones

geométricas (TG), en un “taller” con GeoGebra. De estos temas abordados por Miguel

solamente su “taller” contaba con el uso de recursos digitales. Cada temática se desarrolló en

tres clases cada una.

(i) La secuencia de 3 clases sobre sólidos geométricos (SG) ocurrió de la siguiente

manera:

En la primera clase, Miguel hizo una presentación oral, recordando a sus estudiantes

(que ya habían abordado inicialmente ese tema en 4º grado) algunas de las principales

características de los sólidos geométricos; particularmente, Miguel destacó los

componentes (lados, vértices, aristas) de los sólidos y su clasificación según su número

de lados.

En la segunda y tercera clases, Miguel propuso a sus estudiantes, una secuencia de

27 actividades dispuestas en 4 hojas de trabajo (con las que ya había trabajado en años

anteriores) – ver Figura 18.2. Cada niño contaba con sus propias hojas de trabajo, pero

46 En el caso de Miguel tuvimos la oportunidad única de que el profesor (y su escuela) nos permitieran

hacer un mayor tiempo de seguimiento a su trabajo.


246

trabajaban apoyándose en su grupo nuclear. Miguel les iba explicando las actividades a

sus estudiantes pasando por los grupos o haciendo intervenciones para toda la clase.

Miguel planteó esta secuencia de clases de manera “conceptual” dado que en años

escolares pasados; al respecto dijo: “Ya hicieron los sólidos con palillos y cartulina;

ahora, solo quiero reforzarles lo teórico”. Al final de la tercera clase Miguel hizo un

repaso general de los temas.

Figura 18.2. Hoja de trabajo para el estudio de “sólidos geométricos”, propuesta por Miguel

(ii) En las 3 clases sobre construcción de geoplanos (GP), Miguel propuso trabajar

dos tipos de geoplanos: el geoplano convencional y el geoplano circular. La Figura

18.3 muestra ejemplos de esos geoplanos realizados por los estudiantes en la clase de

Miguel. El objetivo de Miguel en esta secuencia de tres clases era “reforzar los temas

de ángulos y propiedades de los polígonos” y permitía a sus estudiantes repasar temas

y desarrollar ciertas habilidades motrices (para tener una mayor precisión en los

movimientos de la mano y poder manejar herramientas como la regla o el


247

transportador, etc.) como veremos en la sección 18.3.1.

Miguel consideraba que este trabajo servía de antecedente para la realización del taller

sobre transformaciones geométricas que le siguió (ver a continuación).

Figura 18.3. Ejemplo de un geoplano “convencional” (izquierda) y un geoplano “circular”

(derecha) realizados en la clase de Miguel

(iii) Al final de la secuencia de clases sobre geoplanos, Miguel anunció a sus

estudiantes el “Taller sobre transformaciones geométricas usando GeoGebra”

(TG), el cual sería abordado en las siguientes tres clases en la “sala de sistemas”. Los

estudiantes de Miguel ya habían trabajado previamente con GeoGebra a lo largo del

año escolar. Los detalles de esta secuencia de clases dedicada al “taller” se presentan en

la sección 18.4.1 más adelante.

18.1.4. Metodología del seguimiento a Miguel

Como mencionamos arriba, a Miguel le hicimos seguimiento durante 11 semanas,

donde observamos:

4 planeaciones de clase (una para SG, una para GP, y dos para TG),

9 clases de geometría (tres de cada tema),

y le realizamos 16 entrevistas (principalmente antes y después de las 9 clases

observadas –ver Tabla 18.1.)


248

Como habíamos mencionado anteriormente en la sección 15.1, además de inferir el

esquema de selección de recursos digitales de Miguel para la enseñanza de las

transformaciones geométricas en quinto grado, el largo seguimiento de 11 semanas también

nos permitió, adicionalmente, estudiar su sistema de recursos para la enseñanza de la

geometría en general. Consideramos que el estudio del sistema de recursos de Miguel es algo

que aporta datos que complementan el análisis de la selección de recursos por parte del

profesor.

El seguimiento a Miguel lo realizamos de la siguiente manera:

1. Cuando Miguel abordó el tema de sólidos geométricos (SG), observamos una sesión

de Miguel planeando su clase y 3 de sus clases de Miguel (sin recursos digitales)

sobre el tema; asimismo, le realizamos 3 entrevistas.

2. Cuando Miguel abordó la construcción de geoplanos (GP), observamos una sesión

de planeación de clases y 3 clases de sus clases de geometría (sin recursos

digitales); le realizamos 4 entrevistas al profesor para estudiar su sistema de

recursos para la enseñanza de la geometría (ver sección 18.2 abajo).

3. Cuando Miguel abordó su “Taller sobre transformaciones geométricas usando

GeoGebra” (TG), observamos 2 sesiones de planeación de clases, 3 clases de

geometría (ver sección 18.4.1) y 6 entrevistas. Cada una de las clases ocupaban casi

la totalidad de la jornada escolar (aproximadamente 5 horas cada una).

4. Posterior a la observación de clases del “Taller sobre transformaciones geométricas

con GeoGebra” realizamos otras 3 entrevistas a Miguel para la aplicación de la

técnica de introspección.

La Tabla 18.1 resume las actividades de seguimiento realizadas cada semana (de las 11

semanas) en que observamos el trabajo de Miguel. En esta tabla se muestra cuándo se realizó

cada actividad de seguimiento. Particularmente, las entrevistas aparecen codificadas47 de

acuerdo al profesor, al número de entrevista, y a los diferentes temas que fueron: Sistema de

Recursos (SR); Selección de Recursos Digitales (SRD) y Orquestación de la clase (OC). Por

ejemplo, la entrevista codificada como EM2-SR representa:

47 Esta codificación sólo la mostramos, para beneficio del lector, para el caso de Miguel, debido al alto

volumen de entrevistas que se le realizaron a él.


249

E (entrevista)

M (Miguel)

2 (número consecutivo de entrevista)

SR (tema de la entrevista en este caso, Sistema de Recursos – SR)

Tabla 18.1. Actividades del seguimiento a Miguel

Semana de

seguimiento

Observación de planeación

de clases

Clases

(y tema)

observados

Entrevistas

previas a clases

observadas

Entrevistas

posteriores a

clases observadas

1 1 (EM1-SR)

2 1 (sólidos geométricos -SG) 1 (SG) 1 (EM2-OC)

3 1 (SG)

4 1 (SG) 1 (EM4-OC)

5 1 (geoplanos - GP) 1 (GP) 1 (EM3-SR) 1 (EM5-SR)

6 1 (GP) 1 (EM6-OC)

7 1 (GP) 1 (EM7-SR)

8 1 (transformaciones -TG) 1 (TG) 1 (EM8-SRD) 1 (EM9-OC)

9 1 (TG) 1 (TG) 1 (EM10-SRD) 1 (EM11-SRD)

10 1 (TG) 1 (EM12-SRD) 1 (EM13-OC)

11 3 (EM14-SRD,

EM15-SRD,

EM16-SRD)

Cabe señalar que durante este periodo de seguimiento, Miguel solamente usó recursos

digitales en la implementación de su “Taller sobre transformaciones geométricas” (que

presentaremos en la sección 18.5). Sin embargo, como señalamos arriba, consideramos útil e

informativo analizar todo el sistema de recursos de Miguel para enseñar geometría en general,

lo cual presentamos a continuación.

18.2. SISTEMA GENERAL DE RECURSOS DE MIGUEL PARA SU ENSEÑANZA DE

GEOMETRÍA EN QUINTO GRADO

Utilizamos la idea de “sistema de recursos” que proponen Gueudet y Trouche (2009)

para referirnos a todos los recursos, en este caso usados por Miguel durante su enseñanza de la

geometría en quinto grado. Durante sus 20 años de experiencia docente, Miguel ha

consolidado un sistema de recursos que incluye los siguientes recursos nombrados por el

profesor: talleres para estudiantes, recursos curriculares, reportes, videos, presentaciones en

diapositivas, imágenes, recursos digitales, instrumentos para construir (regla, escuadras,


250

compás), interacciones con colegas e investigadores, etc. Con el paso del tiempo, Miguel ha

ido guardando los recursos que usa y varios de ellos aparecen dispuestos para su uso en su

salón de clase (ver Figura 18.4, más abajo).

Como explicamos anteriormente, aprovechamos la oportunidad de poder tener un largo

seguimiento a Miguel, para estudiar su sistema de recursos los cuales nos podrían informar

sobre:

qué tipo de recursos ha seleccionado Miguel anteriormente;

qué recursos privilegia Miguel durante su enseñanza y por qué;

algunos conocimientos profesionales específicos de Miguel respecto a los recursos

que usa; y, principalmente,

los criterios de selección de recursos que Miguel toma en cuenta.

El obtener datos adicionales sobre esos aspectos nos sirve para profundizar en el

estudio del proceso de selección de recursos de Miguel. Para recolectar esos datos, realizamos

dos tipos de actividades, mediante 4 entrevistas a Miguel (las cuales aparecen en la Tabla 18.1

con el código SR): (i) en la primera entrevista (EM1-SR), Miguel nos mostró los recursos que

usa en su clase en una “visita guiada”; y (ii) en otras 3 siguientes entrevistas (no secuenciales:

EM3-SR; EM5-SR y EM7-SR) sobre el tema de sistema de recursos, Miguel creó

representaciones o “mapas” de los recursos que utiliza para enseñar geometría.

18.2.1. Visita guiada a los recursos generales de Miguel

En la primera entrevista (EM1-SR), al profesor le pedimos que nos realizara una visita

guiada por su salón de clases y nos enseñara los recursos, materiales o manipulativos que usa

para su enseñanza de la geometría. En la Figura 18.4. podemos ver algunos ejemplos de los

recursos que Miguel nos enseñó durante la visita guiada por su salón de clases.

En esta primera entrevista (EM1-SR), Miguel nombró los recursos que habitualmente

usa en sus clases de geometría, y también nos mencionó que tenía pleno acceso (un día a la

semana) a la sala de computación donde hay equipos para cada estudiante y servicio de

Internet (aunque limitado). Al respecto de los recursos que Miguel utilizaba para su enseñanza

de la geometría, él señaló:


251

“Además de GeoGebra, usamos el geoplano, el manejo de las escuadras… Yo, en

casi todas mis clases, uso mis presentaciones [en PowerPoint], además, porque es

una ayuda para uno, para los estudiantes y queda el registro de lo que ví con ellos.

[…]

Para trabajar en el tablero, uso las escuadras de 60 y 90 [grados]. También uso

papel para origami o cosas de arte pero de geometría. Hacemos dibujo técnico

para usar las escuadras, el transportador, el compás… Voy sacando actividades de

los libros o de Internet […]

Conecto mi computador al videobeam [proyector] y voy explicando con el

GeoGebra. […]

Este es un modelo del triángulo de Pitágoras, eso también lo explico pero sencillo

para que los niños lo entiendan, pero lo ven, lo mueven, poco a poco van

entendiendo”. (Entrevista EM1-SR a Miguel)

Figura 18.4. Recursos para la enseñanza de la geometría en el salón de Miguel

Podemos resumir y clasificar estos recursos mencionados por Miguel, de la siguiente

manera:

Recursos para construir: papel, regla y compás, escuadras de 90º y 60º,

transportador, geoplanos; así como el recurso digital GeoGebra.

Recursos para apoyar el desarrollo de sus clase: su computadora personal,

proyector (videobeamer), actividades tomadas de libros de texto o Internet,

presentaciones de diapositivas.

Recursos que “modelan” conceptos geométricos: e.g., modelo de una “prueba” del

teorema de Pitágoras, poliedros hechos con origami.


252

Semanas después de la visita guiada, en una de las ultimas entrevistas a Miguel

(EM11-SRD), señaló que para él era importante que todos los recursos que usa para enseñar

geometría, ayuden a sus estudiantes en la conceptualización:

“Todo lo que hacemos en clase –con GeoGebra, con el geoplano, con las planchas

de dibujo técnico, todo— es para apoyar la conceptualización, que el niño tenga

ejemplos, que trabaje sobre los mismos conceptos en todo lo que se haga… Ya

después, para los últimos meses del año, empezamos a trabajar problemas

sencillos, pequeños, para que se aplique lo que hemos visto.”

(Entrevista EM11-SRD a Miguel)

Por tanto, inferimos que Miguel prioriza un sistema de recursos que cumpla,

primordialmente, con los criterios cognitivo, de contenido matemático y de características

didácticas de selección de recursos.

A continuación presentamos los mapas hechos por Miguel de su sistema de recursos.

18.2.2. Mapas del sistema general de recursos de Miguel

Como habíamos mencionado en la sección 15.1, en nuestra investigación le pedimos a

los profesores que produjeran dos tipos de representaciones esquemáticas o “mapas”: (i) unos

para representar los recursos que usan (su sistema de recursos) para su enseñanza (solamente

en los casos de Miguel y Sonia –ver capítulo 19); y (ii) otros mapas que para representar su

proceso de selección de recursos. Aquí describimos las producciones de Miguel respecto al

primer tipo de mapas.

Cabe recordar (como mencionamos en la sección 15.1) que para la producción de los

mapas que representan sus sistemas de recursos, no aplicamos la técnica de introspección ya

que, para su elaboración, no se requiere de un recuerdo estimulado, ni de evocar acciones

pasadas; solamente se requiere que, durante la visita guiada (ver arriba), el profesor se ubique

en el “aquí y ahora” de su enseñanza e identifique qué recursos usa para luego representarlos

en mapas.

Así pues, después de la visita guiada que nos hizo Miguel, le pedimos a este profesor,

durante la entrevista EM3-SR, que realizara un mapa que representara los recursos que usaba

para su enseñanza de la geometría. Una vez realizado su mapa le pedimos que nos explicara

los elementos del mismo y detalles adicionales.


253

Para la realización de sus “mapas de su sistema de recursos”, le pedimos a Miguel que

identificara todos los recursos que usa para sus clases de geometría. La consigna para Miguel

era que escribiera, dibujara o hiciera un diagrama de los recursos que usaba; para ello le

sugerimos el uso de colores, flechas u otros conectores para diferenciar o ligar las ideas, y usar

notitas para incluir sus comentarios cuando explicaba sus mapas. Durante la entrevista, Miguel

gustaba de hacer borradores de sus mapas y allí mismo pulirlos , para añadir elementos

adicionales o realizar correcciones. Así surgieron las distintas versiones de sus mapas de

sistema de recursos.

En las primeras representaciones, o mapas, de Miguel sobre su sistema de recursos (ver

Figura 18.5), Miguel enlistó los recursos (materiales) que usaba con mayor frecuencia en sus

clases en su salón habitual de clases, sin tener en cuenta los recursos de la sala de

computación. Mientras Miguel realizaba la primera versión (Figura 18.5) de su “mapa de

sistema de recursos” (durante la entrevista EM3-SR), señaló que contaba con los recursos

básicos para la clase, aunque reconocía que recursos como las tabletas electrónicas podrían ser

muy convenientes.

Figura 18.5. Primera versión del mapa de recursos de Miguel

“Yo tengo lo necesario para dar mis clases, lo que uno necesita… Lo que necesito,

se lo pido a los niños, o a un compañero, a la directora de la escuela, o a los

padres de familia… Como llevo dando varios años, grado quinto, uno va

recogiendo material, lo que le sirve… Ahora toda la información de la escuela es

por el computador, todo: que los planes, las circulares, todo se lo mandan a uno

por allí… el correo electrónico, la plataforma de evaluación, la página web de la

escuela, Facebook, hasta WhatsApp. Para mi, la educación va cambiando y uno lo


254

tiene que entender y ser parte del cambio. Las tabletas son buenas, usar Internet en

la clase –que ahorita no tenemos—, todo son cosas que uno debe aprovechar.”

(Entrevista EM3-SR a Miguel)

Lo interesante en estas primeras reflexiones de Miguel (puestas como notitas de papel

sobre su mapa –ver Figura 18.5) fue, por ejemplo, su insistencia en el protagonismo de los

recursos digitales y en que es trabajo del profesor sacarle provecho a los recursos que usa.

Para Miguel era importante que se les suministren materiales a los estudiantes (que contengan

situaciones atractivas) y que la clase no sea solamente el discurso del profesor.

Aquí surge un punto importante en el análisis: reconocer qué potenciales recursos tenía

disponibles Miguel, en términos de oportunidades de acceso a recursos, que aún no eran parte

de su sistema de recursos. Al respecto, durante la entrevista EM5-SR, Miguel enfatizó el papel

del Internet como una oportunidad importante para disponer de recursos variados, pero

teniendo en cuenta varios criterios: el idioma de muchos de los recursos disponibles, la

demanda cognitiva involucrada en el recurso y criterios ergonómicos (e.g. recurso libre y fácil

de usar para el profesor y los estudiantes).

Figura 18.6. Versión final del mapa, hecho por Miguel, de su sistema de recursos


255

“Tener los materiales, los recursos para trabajar es muy importante, pero también

uno debe saber qué hacer con lo que tiene. ¿De qué me sirve tener aquí un

computador si no lo sé usar? De nada… Yo busco cómo usar el geoplano, como

sacarle el provecho con los niños, cómo hacer la clase más dinámica con

GeoGebra… Para mí, aprender a usar GeoGebra fue muy importante… todavía

estoy aprendiendo, veo tutoriales, hago cosas… Porque no se trata de yo usar el

GeoGebra, y que los niños me vean y digan “que bonitas las cosas que hace el

profesor”; se trata de que ellos lo usen, que ellos mismos aprendan… Para eso se

necesitan las hojas de trabajo, así sean unas instrucciones copiadas en el tablero,

pero que guíen a los niños en los que deben hacer, paso a paso”.

(Entrevista EM5-SR a Miguel)

En su última versión del mapa de su sistema de recursos (Figura 18.6), realizado

durante la entrevista EM7-SR, Miguel incluyó información adicional:

Hizo evidentes algunas orientaciones curriculares: en el mapa puso “Planes de área”

(de su escuela) y el Proyecto Educativo Institucional (PEI). Al respecto, Miguel explicó

verbalmente: “nosotros hicimos el plan de área tomando lo que dice el Ministerio y

miramos de allí qué es lo mejor para nosotros” (EM7-SR).

Incluyó recursos “históricos” (en el mapa puso: “Mis archivos históricos”), tales

como sus planeaciones de años pasados y cuadernos (propios de él, así como de algunos

de sus ex-estudiantes). Lo anterior lo relacionó con su capacidad de ser “ordenado” y

“guardar” materiales que ha usado a lo largo de sus años de experiencia: en el mapa

señaló “Soy ordenado” y en otra parte “Guardo lo que hago”; también añadió una notita

donde decía “Con los años uno va guardando las cosas y las usa”.

Incluyó un recurso “no material”: el trabajo colaborativo con sus compañeros

docentes: en el mapa puso una notita “Soy favorecido porque tengo un excelente grupo

de compañeros”; también escribió “cosas buenas comparto”. Al respecto, Miguel

explicó: “Sin recursos humanos no podemos hacer nada. Una de las claves del éxito de

esta escuela es el trabajo en grupo, que nos ayudamos, compartimos, hacemos las cosas

por consenso” (EM7-SR).

En su listado de recursos “materiales” nombró herramientas de construcción, recursos

digitales (GeoGebra e Internet) y recursos para apoyar sus clases (videobeamer,

parlantes o sonido y fotocopias u hojas de trabajo).


256

Una vez realizado su mapa, durante la entrevista (EM7-SR), Miguel explicó su proceso

de “guardar o conservar” determinados recursos; también señaló las maneras en que consigue

los recursos que usa, y el papel de la escuela en este proceso. Al respecto, Miguel expresó lo

siguiente:

“A medida que vas enseñando, vas guardando material; las cosas buenas usted las

conserva y las usa otra vez y las va mejorando cada año… a mi me gusta yo hacer

mis cosas, ese es el trabajo de uno… y te vas haciendo a los materiales; uno los

hace [e.g., los geoplanos] con los estudiantes, otros se van consiguiendo, pero eso

no es trabajo solo mío, sino también de la escuela que le pregunta al profesor:

‘vea, ¿usted qué necesita?’” (Entrevista EM7-SR a Miguel)

En estas declaraciones de Miguel, hay varias cosas interesantes. Primero, reconocía

que es trabajo del profesor diseñar recursos, irlos mejorando, adaptando; que son recursos

perfectibles y re-utilizables. También expresaba estrategias para acceder a los recursos,

hacerlos en clase (como hizo el geoplano con sus estudiantes), o contar con el apoyo de la

escuela. Este último es un elemento que Miguel siempre resaltaba.

Por otro lado, algunos elementos interesantes de esta última versión del mapa del

sistema de recursos de Miguel, es la existencia de dos grandes categorías de recursos:

Recursos para planear la clase — e.g., el proyecto educativo de la escuela, el plan

anual de matemáticas de la escuela, planeaciones de años anteriores, cuadernos, etc.). En

el mapa aparecen éstos a la izquierda en color negro; al respecto Miguel señaló: “éstos

de acá me sirven para planear las clases, para saber a dónde quiero llegar, qué temas

debo ver y cuál es la mejor manera de hacerlo” (EM7-SR)

Recursos para hacer geometría durante la clase con énfasis en herramientas para

construir (e.g., regla, escuadras, GeoGebra). En el mapa aparecen éstos arriba, a la

derecha, en color azul; al respecto Miguel señaló: “éstos de aquí son los materiales para

hacer las construcciones; en primer lugar están las herramientas, GeoGebra y estas

otras cosas también sirven para construir” (EM7-SR).

En nuestro análisis identificamos que estas dos grandes categorías de recursos de

Miguel obedecen a la intencionalidad que él le otorga a cada uno. Para organizar los recursos

en su mapa, Miguel se preguntaba: “¿para qué uso cada cosa? ¿para qué la necesito?” A


257

partir de su reflexión, inferimos que Miguel era consciente de que podía disponer de varios

recursos para su clase y de otros posibles que podría incluir en el futuro.

Finalmente, Miguel señaló que normalmente los profesores no se detienen a

reflexionar sobre los recursos que utilizan y eso los limita. Sin embargo reconoció cómo,

reflexionar sobre los recursos, le ayuda a “actualizarse”; así como compartir y colaborar con

otros profesores, le sirve para determinar qué recursos usar. Al mismo tiempo señaló que, más

importante que los recursos, es la organización y ambiente de la clase:

“Es que lo mejor es que uno mire que todo esté organizado en el salón, que los

niños se sientan cómodos y que el ambiente sea agradable… Uno no se detiene a

pensar sobre los recursos que puede usar, sino que se va como limitando,

acostumbrando. Pero si uno analiza, se da cuenta y ve [si] esto también me sirve o

esto otro, y así, mejor, porque se va actualizando... puede compartir con otros

profesores o recibir de ellos ayuda.” (Entrevista EM7-SR a Miguel)

En la siguiente sección presentamos cómo Miguel orquestó sus clases.

18.2.3. Orquestación general de las clases de geometría de Miguel

Miguel expresó un principio didáctico para el uso general de recursos en sus clases

regulares de geometría, explicando que se necesita complementariedad entre los recursos

puestos en juego (regla, escuadras, compás, geoplano, GeoGebra):

“Hacemos el trabajo en tres partes: Primero, se hace la parte teórica; nosotros

trabajamos conceptos como adyacentes, opuestos, perpendiculares. Y luego de que

hemos hecho ejemplos, construcciones con escuadras y todo. [Finalmente] vamos

con GeoGebra y vemos más ejemplos y construcciones que ya hemos visto y saben

cómo hacer.” (Entrevista EM9-OC a Miguel)

Así pues, Miguel planteó que sus clases regulares de geometría generalmente se

desarrollaban dividiendo el trabajo en tres momentos:

1. El profesor exponía un tema geométrico (explicaba, hacía y respondía preguntas) y

ejemplificaba usando recursos no-digitales (pizarrón, etc.) y digitales (videos,

GeoGebra). Específicamente hacía énfasis en lo conceptual, trabajando sobre

gráficos (en el pizarrón, mediante imágenes estáticas, proyectando videos, o en

GeoGebra usando un proyector videobeamer). Miguel se esforzaba en que sus

estudiantes participaran en la clase y tomaba en cuenta sus contribuciones.


258

2. Miguel proponía ejercicios a sus estudiantes (principalmente de construcción)

usando recursos como lápices de colores, regla, escuadras, papel o imágenes

proyectadas con un videobeamer. Hacía explícito los procedimientos de

construcción con el objetivo de favorecer la conceptualización (de ideas

geométricas) de sus estudiantes. Los primeros ejemplos, habitualmente, los

presenta él; otras veces convocaba la participación de estudiantes para que lo

acompañaran en el pizarrón.

3. Miguel proponía ejercicios en GeoGebra, adaptando los procedimientos de

construcción ya trabajados en lápiz y papel. En esa instancia, Miguel prefería darle

mayor autonomía a los estudiantes. Al final, el profesor gustaba hacer

socializaciones para que los estudiantes presentaran sus trabajos. Cabe señalar que

Miguel hacía uso de GeoGebra a lo largo del año escolar (es decir, no solo durante

el “Taller de transformaciones geométricas con GeoGebra”).

Como ya se mencionó más arriba, la organización usual de las clases en esa escuela era

en “grupos nucleares” de 5-6 niños que se mantenían todo el año escolar. Para la construcción

de geoplanos, Miguel dispuso que sus estudiantes trabajaran en sus “grupos nucleares”

habituales; aunque cada estudiante tenía asignada la realización de su propio geoplano. Miguel

nos explicó que así se le hizo más fácil pasar por cada grupo nuclear y explicar el proceso de

construcción de geoplanos:

“Al inicio de la clase, uno les explica a los muchachos qué vamos a hacer, pero

después toca pasar grupo por grupo e irles ayudando, explicándoles cómo tomar

las medidas, cómo acomodar el transportador, hasta cómo agarrar el martillo, allí

que me vean cerquita.” (Entrevista EM6-OC a Miguel)

En relación a cómo Miguel organizaba su clase, recalcamos lo citado en la sección

anterior, donde él mencionó que tener una buena organización y disposición de los recursos

contribuye a que el ambiente de la clase sea mejor: “Es que lo mejor es que uno mire que todo

esté organizado en el salón, que los niños se sientan cómodos y que el ambiente sea

agradable…” (EM7-SR).


259

18.2.4. Aporte del análisis del sistema general de recursos para nuestra

investigación

Arriba describimos el sistema de recursos usados por Miguel, y algo de su

orquestación, durante su enseñanza de la geometría en quinto grado. Siguiendo las ideas de

Gueudet y Trouche (2009), sabemos que los conocimientos profesionales de Miguel inciden

en este sistema de recursos; además, este sistema de recursos es parte fundamental del

sistema documental del profesor (conformado por su sistema de recursos junto con sus

respectivos esquemas de utilización).

Así pues, el estudio del sistema de recursos informa sobre los esquemas de utilización

de los recursos por los profesores; estos esquemas, a su vez, orientan los procesos de selección

de recursos (ver sección 18.5.2). En este caso, a partir del análisis del sistema de recursos de

Miguel, inferimos los siguientes aspectos de su proceso de selección de recursos:

Identificamos que Miguel seleccionó recursos con distintos propósitos: recursos para

planear su clase; recursos para hacer geometría durante la clase; y recursos para apoyar

el desarrollo de sus clases.

Observamos que Miguel incluyó recursos digitales para cada uno de esos propósitos:

Internet (para planear su clase), GeoGebra (para hacer geometría durante la clase) y

presentaciones de diapositivas (para apoyar sus clases).

Identificamos que Miguel hace un uso recurrente de recursos digitales durante sus

clases a lo largo del año escolar.

Inferimos que Miguel priorizó aspectos de orden matemático en su sistema de

recursos; eso nos hace suponer que sus criterios de contenido matemático (geométrico)

fueron importantes en su proceso de selección. Eso nos anuncia algunas posibles

características que podrían tener sus teoremas-en-acto relacionados con las maneras en

que Miguel entiende la geometría y su enseñanza.

También pudimos inferir que Miguel seleccionaba recursos pensando en el uso

didáctico de éstos; eso no hace sospechar que sus criterios de características didácticas

estuvieron relacionados con la capacidad del recurso para apoyar procesos como la

construcción geométrica o la conceptualización.


260

Metodológicamente, estos datos obtenidos previo a nuestra aplicación de la técnica de

introspección nos fueron muy provechosos porque nos ayudaron a:

Tener hipótesis particulares sobre las posibles invariantes operatorias de Miguel,

particularmente, las referidas a las consideraciones epistemológicas de este profesor

sobre la geometría y su enseñanza.

Alimentar, a priori, nuestro listado de palabras-código con las que esperábamos

analizar los datos obtenidos a partir de la aplicación de la técnica (ver Anexo G).

Hacer una buena elección de los videos o fotografías con las cuales estimularíamos

los recuerdos de Miguel sobre su ruta-recorrida de selección de recursos, al aplicar,

posteriormente, la técnica de introspección.

En conclusión, las consideraciones anteriores nos ayudaron a realizar el análisis del

proceso de selección de recursos de Miguel, que presentaremos más adelante (ver sección

18.5). Antes de eso, en la siguiente sección, presentamos los recursos que Miguel seleccionó

para el desarrollo de su “Taller para la enseñanza de las transformaciones geométricas en

quinto grado”.

18.3. RECURSOS SELECCIONADOS POR MIGUEL PARA EL DESARROLLO DE SU

“TALLER”

En esta sección presentamos los recursos seleccionados por Miguel, tanto para la

preparación del taller (para actividades previas al taller), como para la implementación del

mismo.

18.3.1. Recursos (no-digitales) y actividades previos al taller

Como parte de la configuración didáctica para el taller con Geogebra, Miguel

consideraba importante que los estudiantes trabajaran previamente en ambientes de lápiz y

papel, con el geoplano, y posteriormente, en el ambiente digital.

Según Miguel, el trabajo de construcción de geoplanos, servía de antecedente a la

realización del taller sobre transformaciones geométricas:

“Con los geoplanos repasamos varios temas que después vamos a volver a ver en

el taller… Por ejemplo, vemos las propiedades de los polígonos, que tienen lados,

vértices, que se clasifican según su número de lados… Esos polígonos los hacemos


261

con el geoplano. También vemos todo lo de ángulo porque, para hacer el geoplano

circular, necesitan usar el transportador y medir ángulos; allí aprovechamos para

repasar la clasificación de ángulos… y todo eso lo vamos a tocar en el taller.”

(Entrevista EM6-OC a Miguel)

Así pues, los objetivos de Miguel de llevar a cabo la secuencia de clases del geoplano,

era:

El repaso de temas como el de propiedades de los polígonos y ángulos que servirían

para desarrollar las actividades del taller sobre transformaciones. (Criterio de contenido

matemático de selección del recurso de construcción de un geoplano).

El desarrollo de habilidades motrices, para tener una mayor precisión en los

movimientos de la mano y así poder manejar herramientas como la regla o el

transportador, u otras, como un martillo. (Criterio ergonómico de selección del recurso

de construcción de un geoplano):

“[La construcción del geoplano] sirve de repaso y así trabajamos otras maneras

de hacer construcciones, de trabajar la motricidad, de usar las herramientas. Para

hacer el material, los niños deben usar bien la regla y el transportador, medir con

cuidado, saber usar un martillo, puntillas, concentrarse”.


Adicionalmente, durante la entrevista previa a la implementación del taller (EM8-

SRD), Miguel tuvo la idea de incluir otra actividad previa al taller en la que los estudiantes

realizaran movimientos con su cuerpo (motricidad gruesa y fina; y manejo del espacio –e.g

girar el cuerpo 90º a la derecha). Miguel decidió incluir esta actividad previa ya que sus

estudiantes iban a usar el concepto de ángulo durante el taller (en las actividades sobre

rotaciones) y consideraba que éste es un concepto complejo para sus estudiantes: por tanto, él

quería ayudarles a afianzar sus ideas previas al respecto.

De esta manera, recursos seleccionados previos al taller, eran los del trabajo en

ambientes de lápiz y papel, las actividades de construcción del geoplano, y el recurso del

trabajo corporal.


262

18.3.2. Recursos y actividades del taller

Para el desarrollo de su taller, Miguel tomó varias decisiones importantes respecto a la

configuración didáctica de éste (las cuales observamos durante la primera sesión de planeación

del taller):

las actividades del taller debían de desarrollarse usando GeoGebra;

para realizar estas actividades, los niños contarían con hojas de trabajo (ver Figura

18.9); y,

una vez finalizadas las tres clases destinadas al taller, los niños debían enviar sus

archivos digitales de su trabajo realizado en el taller, al correo electrónico del profesor.

Haciendo énfasis en que era importante considerar el uso de recursos para realizar

construcciones geométricas, Miguel dijo lo siguiente, donde explica por qué seleccionó

GeoGebra para su taller de transformaciones geométricas:

“Es que es geometría y solo se puede hacer con herramientas, la que sea, eso

depende de usted […] Para el taller, usamos GeoGebra […] porque es un software

especial para geometría […] Los mismos pasos que se hacen con regla y compás,

así igual se hacen en GeoGebra, solo que con GeoGebra es más fácil seguir el

orden: si va a hacer una traslación, primero hace el triángulo, luego el vector,

luego aplica la traslación al triángulo de acuerdo al vector. En eso ayuda

GeoGebra: en que se hace con más lógica la construcción.”


Todos estos recursos (GeoGebra, lápiz y papel, etc.) que seleccionó Miguel para su

taller, y previo a éste, forman parte del sistema general de recursos que utilizaba Miguel para

sus clases de geometría.

A continuación presentamos los detalles del taller, implementado por Miguel.

18.4. EL “TALLER SOBRE TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS USANDO

GEOGEBRA” DE MIGUEL

Como mencionamos arriba, Miguel desarrolló un proyecto en quinto grado titulado

“Taller sobre transformaciones geométricas usando GeoGebra”. Aquí, analizamos con más

detalle este taller ya que fueron las únicas clases, durante el periodo de seguimiento, donde


263

Miguel utilizó un recurso digital (GeoGebra). Comenzamos describiendo las principales

características de dicho taller.

18.4.1. Descripción general del taller de Miguel

Este “taller” (como el profesor, generalmente, se refería a éste) era un proyecto o

secuencia didáctica que Miguel impartió a sus estudiantes sobre transformaciones en el plano,

donde los niños desarrollaron tareas sobre traslaciones, rotaciones, simetrías y teselaciones

(sumas o composiciones de las transformaciones anteriores).

Este fue el segundo año en que Miguel impartió este taller. Inicialmente se lo había

suministrado su colega de grado en la escuela, María (a quien se lo habían enseñado en la

universidad) y ambos lo adaptaron (seleccionando tareas para los niños y complementado

algunas consignas). En ese año escolar anterior (2015-16), Miguel y María planearon su

implementación para cuatro sesiones de clase de 2 horas cada una (para un total de 8 horas de

trabajo aproximadamente) y lo pusieron en práctica.

En el siguiente año escolar (2016-17 –cuando nosotros realizamos el seguimiento),

Miguel llevó a cabo su taller de manera individual y decidió trabajarlo, en esa ocasión, durante

más tiempo: en 3 clases (jornadas escolares), con duración aproximada de 4 horas cada una

(para un total de 12 horas de trabajo aproximadamente). Estas fueron las 3 “clases” que

observamos. Al respecto, Miguel explicó:

“Este año prefiero trabajarlo en tres clases, pero largas; nos tomamos toda la

mañana. Porque para hacer el taller los muchachos necesitan más tiempo; ellos se

demoran haciendo las construcciones y, mientras, yo voy viendo y ayudando. Así se

nos pasa la mañana, no es una cosa que se pueda hacer corriendo.”


Miguel propuso (también por iniciativa individual) que el taller fuera desarrollado

usando GeoGebra apoyándose en hojas de trabajo. El desarrollo del taller lo hizo en la “sala de

sistemas” (ver Figura 18.7) para así poder utilizar GeoGebra. También propuso (a diferencia

del año anterior) que el contenido del taller fuera inter-disciplinar: involucrando geometría,

artes y computación. Para Miguel, éste era un proyecto importante que además pensaba

compartir en una próxima reunión del Instituto de GeoGebra de Cali, Colombia.


264

Figura 18.7. Niño trabajando en el taller sobre transformaciones geométricas propuesto por

Miguel

18.4.2. Orquestación y uso de los recursos en el taller de Miguel

Miguel impartió su taller hacia el final del año escolar; Miguel consideraba que, hacia

el final del año escolar, los niños ya tienen las capacidades para enfrentarse a un trabajo más

autónomo y colaborativo; por ello, en el “taller”, Miguel propuso que el trabajo de los

alumnos fuera en parejas (ver Figura 18.8).

Figura 18.8. Escena del “Taller sobre transformaciones geométricas usando GeoGebra”

Las tareas que Miguel propuso en su taller (con algunas variaciones) fueron del tipo:

“construye una figura”, “aplica una transformación”, “arrastra la figura”, “mide” (lados o

ángulos), “describe qué sucede”. Al final del taller, Miguel propuso algunas tareas respecto a


265

la congruencia entre figuras que están relacionadas mediante una transformación o

composición de transformaciones (tema incluido en ese año escolar).

Figura 18.9. Ejemplos de las actividades propuestas en las hojas de trabajo del “Taller de

transformaciones geométricas con GeoGebra” de Miguel

En las tareas de su taller, Miguel puso énfasis en su interés por los procedimientos y la

conceptualización (en términos de que los niños sepan describir propiedades geométricas): al

respecto señaló que “es importante que los niños conceptualicen” (ver también al final de la

sección 18.2.1); con ello, Miguel se refería a que quería que sus alumnos identificaran,

describieran, caracterizaran propiedades o relaciones, y que aprendieran a construir siguiendo


266

procedimientos. La Figura 18.9 presenta la primera página de las 4 hojas de trabajo que

conforman el taller propuesto por Miguel; como se había mencionado antes, y en palabras de

Miguel (EM9-OC), las tareas del taller estaban “hechas para hacerse con GeoGebra, todas”

y, según él, pretendían ser lo suficientemente claras para orientar el trabajo de sus estudiantes.

Miguel consideraba que las actividades de construcción “son procedimientos”

(EM9-OC) que mantienen una estructura más o menos parecida tanto en lápiz y papel (usando

regla y compás), como en GeoGebra. En cuanto a las construcciones en GeoGebra, Miguel

expresó que “no es que sean más fáciles” sino que, dado que los niños tienen cierta

experiencia previa trabajando en lápiz y papel “pueden hacer lo mismo con GeoGebra”

(EM11-SRD). Respecto a lo que consideraba el profesor que aporta GeoGebra a su clase,

Miguel señaló:

“Para mí, lo que aporta GeoGebra son las herramientas especiales de geometría;

por ejemplo: “inserte un vector”. Los niños, aunque tiene una idea vaga, ven qué

es un vector y van entendiendo más, porque incluso les dice “vector a” y allí

empiezan a manejar las palabras geométricas”. (Entrevista EM11-SRD a Miguel)

En las actividades del taller, además de las construcciones, Miguel les pedía a sus

estudiantes: “arrastren ciertos objetos para observar alguna propiedad” y les decía “observa

qué pasó después de que arrastraste” (observaciones de la primera clase del taller, semana 8 de

seguimiento). Algunos estudiantes lograban describir algunos efectos de las transformaciones

sobre las figuras geométricas. Por ejemplo, como presentamos a continuación, una niña

explicaba a Miguel, lo que observó después de aplicar una traslación a un triángulo:

“Si pongo encima este triángulo, son igualitos; parecen uno, ¿si ve? […] Muevo

esta flechita, así, más grande o más chiquita […] y entonces, se mueve el triángulo

de acá.” (Comentarios de una niña en la primera clase del taller)

Para cerrar su taller, en la última de las tres clases, Miguel realizó una jornada de

socialización donde los estudiantes expusieron sus trabajos pasando al frente y mostrando qué

habían hecho con GeoGebra. Miguel aprovechó esas intervenciones de sus alumnos para

aclarar algunas ideas. Al final de la clase, Miguel hizo un cierre del taller retomando las ideas

más importantes que sus estudiantes habían mencionado anteriormente.

Así pues, la orquestación que Miguel hizo de sus clases durante su taller, involucró los

siguientes aspectos:


267

Los propósitos educativos de Miguel en su taller;

su organización de la clase.

su gestión de los recursos y artefactos disponibles;

las actividades propuestas a los estudiantes en las hojas de trabajo.

Consideramos que esta orquestación cumplía con lo señalado en el punto 3 de la

sección 18.2.3, ya que durante el taller se privilegió un trabajo más autónomo de los

estudiantes haciendo énfasis en actividades de construcción y en el uso del arrastre para

verificación de propiedades. La orquestación y uso de GeoGebra en ese taller fue de la

siguiente manera:

Como se dijo anteriormente, durante el taller, Miguel dispuso que sus estudiantes

trabajaran con GeoGebra en parejas, para que “entre ellos se ayuden” (EM9-OC).

Miguel usó GeoGebra en su taller para que sus estudiantes hicieran construcciones.

“Construir” para Miguel equivalía a plantear, seguir y/o describir un procedimiento

“paso a paso” (EM13-OC). Miguel consideraba esta misma idea de “construcción” tanto

para geometría dinámica o para ambiente lápiz y papel (e.g. regla y compás o sólo

regla).

Miguel propuso actividades en su taller que implicaban el uso del arrastre en

GeoGebra para que sus estudiantes pudieran “comprobar que si dos figuras eran iguales”

(EM9-OC). Este tipo de tareas se limitaban a que los estudiantes describieran sus

observaciones.

La Tabla 18.2 resume los principales aspectos de la orquestación de las clases de

Miguel durante la implementación de su taller:

Tabla 18.2. Aspectos de la orquestación de Miguel en su taller

Aspectos de la

orquestación

de Miguel

Descripción

Propósitos

educativos de

Miguel

Miguel determinó tres metas de aprendizaje para sus estudiantes:

Describir las principales características de las transformaciones geométricas:

traslaciones, rotaciones, simetrías y teselaciones.

Reconocer los efectos de estas transformaciones sobre las figuras geométricas.

Explicar procedimientos de construcción utilizando lenguaje verbal (natural) y

lenguaje simbólico.


268

En el siguiente apartado presentamos nuestro análisis del proceso de selección de

recursos digitales seguido por Miguel para el “Taller sobre transformaciones geométricas

usando GeoGebra”.

18.5. ANÁLISIS DEL PROCESO DE SELECCIÓN DEL RECURSO DIGITAL DEL

TALLER DE MIGUEL

Como explicamos antes, para indagar sobre el proceso de proceso de selección de

recursos digitales seguido por Miguel para su taller, utilizamos la aplicación de la técnica de

Organización de

la clase

Miguel dispuso sus tres clases de la siguiente manera:

Trabajo en la “sala de sistemas” para disponer de computadoras, donde cada una

contaba con GeoGebra.

Uso de toda la jornada escolar para desarrollar las actividades del taller.

Trabajo de los estudiantes en parejas.

Al inicio de cada clase Miguel introducía el trabajo a realizar ese día y realizaba

recomendaciones generales.

Durante la clase, Miguel recorría el salón de clases haciendo observaciones o

ayudando a los estudiantes que lo requieran.

Al final de cada una de las clases, Miguel hacía un “cierre” para recoger las

ideas más importantes y hacer indicaciones a sus estudiantes.

Gestión de los

recursos y

artefactos

disponibles

Cada pareja de estudiantes disponía de un computador (con GeoGebra) y de un

juego completo de las 4 hojas de trabajo del taller.

Cada estudiante disponía de su cuaderno de geometría, y de lápiz y papel, para

realizar diagramas o dibujos auxiliares si lo considera necesario.

En la tercera y última clase del taller, Miguel dispuso de un proyector

(videobeamer) para que algunos de sus estudiantes (que él seleccionaba)

pudieran presentar su trabajo frente a sus compañeros.

Una vez finalizado el taller, cada pareja de estudiantes debía enviar sus archivos

digitales de sus actividades realizadas, al correo electrónico del profesor (se les

daba un plazo de un día adicional para realizar ese envío).

Propuesta de

actividades

didácticas

apoyadas en el

recurso digital

Las hojas de trabajo propuestas por Miguel contenían un total de 27 tareas,

todas para realizarse usando GeoGebra.

Cada tarea de “construcción” involucraba un procedimiento a realizar en

GeoGebra; esos procedimientos eran explicados paso a paso para que los

estudiantes los siguieran (e.g., ver Figura 18.9).

Las tareas propuestas en las hojas de trabajo eran de la forma: “sigue estas

instrucciones para aplicar una transformación”; después, arrastra “algún objeto

en la pantalla” y describe lo que observas.

Las tareas propuestas en el taller hacían énfasis en el uso de lenguaje simbólico

geométrico.


269

introspección (ver sección 9.2) para que el profesor evocara sus acciones y las representara en

mapas de su “ruta recorrida” para seleccionar recursos para su taller. Iniciamos mostrando

esos mapas de la ruta-recorrida por Miguel.

18.5.1. Mapas de la “ruta-recorrida” hechos por Miguel

Como resultado de la aplicación de la técnica de introspección, Miguel produjo varias

versiones de mapas que representaban su ruta-recorrida durante su proceso de selección de

recursos. Como mencionamos en la sección 15.1 de metodología, las rutas-recorridas se

diferencian de los mapas de sistemas de recursos en el sentido que representan el proceso de

selección y surgen a partir de un recuerdo estimulado, del profesor; de allí que sean mapas

“evocados” a posteriori por el profesor.

A continuación analizamos los mapas de las rutas-recorridas por Miguel, cuando

seleccionó el recurso digital GeoGebra para su taller.

Figura 18.10. Primera versión del mapa, dibujado por Miguel, de su ruta-recorrida para su

selección de recursos para su taller

La primera versión del mapa de ruta recorrida (Figura 18.10) fue hecha por Miguel

después de la segunda clase del taller, durante la entrevista EM10-SRD. Para Miguel, el punto

de partida son los recursos que “tiene a mano”; a partir de ello, su proceso de selección se

enfocaba en “buscar materiales” que orientaran las actividades dirigidas a sus estudiantes. Al

respecto, Miguel señaló la importancia de “organizar el material” en el sentido de adaptar un

recurso para su clase.

“Es partir de lo que hay a la mano. Tengo mi salón, mis cosas que están aquí y

tengo Internet. Entonces se trata de llevar un orden: Primero es buscar materiales:


270

tengo el GeoGebra, más o menos sé que puedo hacer con él, pero necesito las

actividades para que los muchachos trabajen. Eso ya no es tan fácil de buscar

porque hay que pensar en organizar ese material para mi grupo”.


A partir de este primer mapa, notamos que las representaciones de Miguel parecían

describir su proceso de selección a manera de un “diagrama de flujo” que en las siguientes

versiones se fue modificando. La segunda versión del mapa de la ruta-recorrida por Miguel

(Figura 18.11) fue realizada una semana después de la planeación, durante la entrevista

EM12-SRD (en la semana en que ocurrió el taller).

Figura 18.11. Segunda versión del mapa, dibujado por Miguel, de su ruta-recorrida para su


En esa ocasión Miguel añadió varios elementos de su mapa: amplió las características

de su búsqueda; resaltó la importancia de complementar, adaptar y transformar recursos según

sus “conveniencias”, que interpretamos como sus propósitos educativos. Miguel también

señaló algunas características de las actividades que le propuso a sus estudiantes (e.g. que

contaran con instrucciones claras). Para Miguel su proceso de selección de recursos era parte

del “mejoramiento continuo” de su práctica. Respecto a lo anterior, Miguel señaló:

“Bueno, inicio mi búsqueda mirando qué tengo, lo evalúo, si hay algo que sirve,

pues ya miro. Entonces, combino cosas nuevas que voy encontrando con lo que ya

tenía y allí lo que hice es combinar, mirar qué nos conviene más. Organicé las

actividades del taller, metí cosas nuevas, claro, pero mantuve más o menos lo

mismo. Cuando ya tuve eso, me fijé en que las actividades para los muchachos


271

fueran bien claras, concretas, bien explicadas, así, paso a paso. Todo eso es para

el mejoramiento continuo, es un proceso, vas conociendo cada vez más”.


En la última versión del mapa dibujado por Miguel (ver Figura 18.12) durante la

entrevista EM14-SRD realizada una semana después del fin del taller, observamos un

elemento importante: el profesor recalcó la importancia de llevar a cabo una buena selección

de recursos para usar en la clase. Miguel prefería tener tiempo para revisar materiales de años

pasados que consideraba exitosos, y adaptarlos según consideraba necesario; señaló que era su

responsabilidad preparar recursos de calidad para la clase.

“Uno, como profesor, tiene que hacer bien su trabajo, preparar la clase,

prepararse uno sobre el tema… Hay que mirar antes qué cosas se van a hacer,

cómo las vamos a hacer y eso debe mirarse antes... Yo guardo lo que me sirve.

Como no es primera vez que doy grado quinto, es más fácil saber qué cosas sí

puedo usar y cuáles no… Trato de guardar mucho material en mi computador

porque es más fácil y rápido para buscar, para organizar y para cambiar cualquier

cosa que uno vea que se debe cambiar”.


Figura 18.12. Última versión del mapa, dibujado por Miguel, de su ruta-recorrida para su



272

18.5.2. Componentes del esquema de Miguel en la selección de su recurso digital

para su taller


obtenidos en las entrevistas a Miguel, y la observación de su planeación y ejecución de sus

clases de geometría, pudimos inferir algunos de sus conocimientos profesionales sobre los

recursos digitales y cómo los usaba Miguel. Al igual que para los otros profesores, dicho

análisis lo hicimos en términos de los elementos constitutivos de los esquemas que presenta

Vergnaud (1998, 2013): metas, anticipaciones, reglas de acción, invariantes operatorias y

posibilidades de inferencia. Al esquema de Selección de Recursos Digitales de Miguel lo

denominamos ESRD_M, cuyas componentes describimos a continuación:

La situación de Miguel presenta varias características: primero, Miguel decidió

“reciclar” unas hojas de trabajo o “taller” que ya había trabajado previamente; pero

también decidió hacerlo con algunas modificaciones a las mismas. La principal

modificación que Miguel había previsto para dichas actividades consistió en que todas

las tareas del taller se realizarían con el uso de GeoGebra.

La meta general de Miguel en su esquema, es clara: deseaba buscar un recurso (o

varios) para una secuencia de clases (taller de geometría); para eso estableció varias sub-

metas relacionadas con esa acción. Aquí se destacan dos cosas: por un lado, (i) que el

uso del recurso a seleccionar debía contribuir al alcance de los propósitos educativos que

Miguel había propuesto para su taller (ver Tabla 18.2); y (ii) la necesidad de adaptar, re-

combinar y complementar el recurso seleccionado con las hojas de trabajo de las que

Miguel ya disponía previamente.

Las anticipaciones de Miguel se organizaron en dos tipos: (i) Aquellas relacionadas a

cualidades deseables del recurso a seleccionar (criterios cognitivo, y de características

didácticas; curriculares, y ergonómicos). Y (ii) aquellas relacionadas con los posibles

cambios que considere realizar a las hojas del trabajo que van a acompañar el uso del

recurso digital durante el taller.

En relación a las anticipaciones del primer tipo, Miguel anticipaba ciertas actividades a

trabajar con GeoGebra que estuvieran relacionadas con las maneras como este recurso

puede llegar a promover la conceptualización de ideas geométricas de sus estudiantes


273

(criterio de características didácticas) y que siguieran las orientaciones del currículo

(aspectos de orden curricular).

En relación a lo segundo, Miguel consideraba que seleccionar recursos no es una tarea

fácil para el profesor, ya que existe una oferta abundante de recursos disponibles y eso

requiere entonces que el profesor haga una selección con detenimiento.

Las reglas de acción de Miguel se dividen en: (i) reglas de búsqueda de información

y (ii) reglas de control. Las reglas de búsqueda de información orientaban su acción en

términos de aquello que es posible hacer para realizar la selección. Las reglas de control

eran útiles para darle orientación a la acción del profesor en esta selección de recursos

digitales para su taller.

Las invariantes operatorias constituyen la médula del ESRD_M y corresponden a

los conocimientos (explícitos o implícitos) contenidos en el esquema que le permitió a

Miguel orientar su acción para dar cuenta de la situación en la que se encontraba. Las

invariantes operatorias de Miguel (conocimientos-en-acto y esquemas-en-acto) tuvieron

que ver con:

sus consideraciones epistemológicas sobre la geometría; particularmente sus

ideas sobre qué es construir en geometría, las cuales corresponden al criterio de

contenido matemático del recurso;

su manera de entender las orientaciones curriculares, en especial el énfasis que

MEN (1998) propone de que los estudiantes describan los efectos de las

transformaciones sobre las figuras geométricas, lo cual corresponde al criterio

curricular;

sus consideraciones didácticas sobre el aporte del recurso a los procesos de

conceptualización de los estudiantes, lo cual corresponde al criterio de

características didácticas del recurso; y,

el papel que Miguel asigna a la visualización, en especial mediante el uso del

arrastre en geometría dinámica, lo cual corresponde al criterio cognitivo.

Consideramos que estas invariantes operatorias de Miguel estuvieron regidas por el

paradigma de la geometría elemental (Kuzniak, 2011): Por ejemplo, Miguel exhibió un

conocimiento-en-acto cuando sostuvo que los niños de 5º grado no requieren aprender


274

explícitamente la axiomática de la geometría que están trabajando (euclidiana); al mismo

tiempo sostuvo que, como profesor, sí debe de saber dicha axiomática y tenerla en

cuenta en las actividades que propone en clase. Este es un acuerdo central en el

paradigma de la geometría elemental y un conocimiento fundamental en la acción de

Miguel.

Finalmente, identificamos que las posibilidades de inferencia de Miguel se

relacionaban con:

El “reciclaje” que el profesor puede hacer, en el futuro, del taller y los recursos

para éste, haciendo algunas modificaciones. Miguel señaló que “pienso seguir

usando el taller, pero debo seguir haciéndole cambios” (EM15-SRD ).

sus anticipaciones sobre esas futuras modificaciones del taller, por ejemplo

incluyendo más actividades artísticas;

la importancia de re-combinar y complementar los recursos para sus próximas

implementaciones del taller. Al respecto, Miguel señaló: “Podría mirar qué otras

cosas puedo usar para mejorar el taller: de pronto algo con doblado de papel

para las simetrías; no sé, tengo que pensar bien en eso para el próximo año”

(EM15-SRD).

A continuación, en la Tabla 18.3, resumimos nuestro análisis del Esquema de

Selección de Recursos Digitales de Miguel (ESRD_M) para su taller sobre transformaciones

geométricas en 5º grado:

Tabla 18.3. Componentes del Componentes del Esquema de Selección de Recursos Digitales de

Miguel (ESRD_M)

Situación En su salón de clases, Miguel planeó una secuencia de cuatro clases para enseñar

transformaciones geométricas (traslación, rotación, simetría axial y teselaciones) a sus

estudiantes de 5º grado. Para lograr este trabajo, tuvo varias opciones para seleccionar

recursos (digitales y no digitales).

Metas Meta general:

Seleccionar uno o varios recursos para su taller sobre transformaciones

geométricas.

Sub-metas:

Identificar recursos que sean adecuados según sus propósitos educativos para su

taller (ver Tabla 18.2).

Adaptar los recursos seleccionados pensando en el aprendizaje de los estudiantes

(demanda cognitiva vinculada al recurso).

Re-combinar y complementar los recursos seleccionados (configuración didáctica).


275

Anticipaciones Debe existir coherencia curricular entre el contenido del recurso seleccionado, lo

que se ha trabajado anteriormente y lo que se trabajará a continuación.

El recurso debe promover la conceptualización de ideas geométricas con

actividades interesantes, y que favorezcan la participación de los estudiantes.

Pueden existir diversos recursos disponibles, lo que hace difícil hacer una

selección; por eso es mejor tomarse tiempo para hacer la selección.

Los cambios a realizar a las hojas del trabajo que van a acompañar el uso del

GeoGebra durante el taller.

Reglas de

acción

Paso 1: Miguel consulta los recursos que tiene a mano (e.g. libros de texto)

Paso 2: Si tiene acceso a internet, prefiere usarlo para hacer alguna consulta sobre el

tema que va a tratar en su clase.

Paso 3: En sus consultas, Miguel prefiere recursos que provengan de una fuente

oficial.

Paso 4: Miguel revisa que exista coherencia entre las actividades que puede realizar

con el recurso y las orientaciones del currículo.

Invariantes

operatorias

Conocimientos-

en-acto

Conocimientos-en-acto de Miguel, categorizados como “criterios de selección” de

recursos digitales para sus clases. Estos criterios se presentan en el orden de importancia

que inferimos les dio Miguel:

Criterio de contenido matemático (geométrico): las tareas desarrolladas en los

recursos seleccionados deben abordar de promover la “construcción geométrica”.

Criterio Cognitivo: el uso del recurso debe enfatizar actividades como la

visualización y la prueba del arrastre en geometría dinámica, para promover el

razonamiento de los estudiantes.

Criterio de Características Didácticas del recurso: el recurso debe tener

características que los niños exploren las ideas geométricas y así ayuden a

promover los procesos de conceptualización.

Criterio Curricular: el recurso debe estar alineado con las orientaciones

curriculares, principalmente con lo relacionado con el desarrollo de la enseñanza de

las transformaciones geométricas (MEN, 1998).

Invariantes

operatorias

Teoremas-en-

acto

Teoremas-en-acto (comentarios de Miguel):

Criterios de contenido matemático (geométrico):

“La axiomática de la geometría no debe ser explícita para el estudiante, pero el

profesor debe tenerla en cuenta.” (EM15-SRD)

Criterios cognitivos y de contenido matemático (geométrico):

“Cuando los niños están trabajando con GeoGebra, ellos deben de saber qué tema

están viendo, saber qué es lo que están aprendiendo, para que no sientan que lo

que hacen con tecnología está por fuera de la clase, sino que hace parte de la clase

y eso les ayuda a conectar las ideas.” (EM16-SRD)

“Los estudiantes necesitan aprender a construir usando herramientas,

herramientas de geometría y eso ahora, en esta época moderna, nos lleva a las

tecnologías.” (EM8-SRD)

“Para favorecer la conceptualización, los niños necesitan trabajar con las figuras,

tocarlas, sentirlas, visualizarlas en su mente.” (EM16-SRD)

“El arrastre me sirve para probar si una construcción está bien hecha.” (EM8-

SRD)

“La geometría dinámica promueve la visualización.” (EM8-SRD)


276

Criterios de características didácticas y de contenido matemático (geométrico):

“Si uso GeoGebra es para que los niños construyan, hagan geometría, vayan

conceptualizando. En eso, GeoGebra les ayuda mucho porque les va enseñando

cómo se llaman las cosas y cómo es el proceso de irlas haciendo.” EM15-SRD

“Con el mismo GeoGebra, los niños van aprendiendo a hacer las

transformaciones, porque el programa les exige que tengan en cuenta los objetos

que necesitan para hacerlas.” (EM8-SRD)


“Si selecciono un recurso, entonces debe ir acorde al currículo de la escuela; si

selecciono recursos parecidos a los que usualmente uso en clase, entonces es más

fácil adaptarlos para mi enseñanza” (EM16-SRD)

Posibilidades de

inferencia

Las posibilidades de inferencia de Miguel se relacionaban con:

El "reciclaje" que puede hacer de los recursos en el futuro; haciendo algunas

modificaciones.

sus anticipaciones sobre las futuras modificaciones al recurso,

la importancia de complementar los recursos que usó para sus próximas

implementaciones del taller.

18.6. PARADIGMAS GEOMÉTRICOS QUE ORIENTARON, EN MIGUEL, SU PROCESO

DE SELECCIÓN DE RECURSOS PARA LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA

La geometría dominante en la selección de Miguel de los recursos que usaba,

corresponde principalmente al paradigma de la geometría (natural o) elemental (Kuzniak,

2001), dado que Miguel promovía razonamientos de validación empírica (i.e., que se

relacionaran con la experiencia sensorial de los niños “en el mundo real”), por medio de la

superposición de figuras (mediante el arrastre) y la medición. En varias ocasiones (e.g.

observaciones de clase o entrevistas) fue posible reconocer que Miguel ponía énfasis en

actividades propias del paradigma de la geometría elemental (Kuzniak, 2011): en este

paradigma, la actividad está estrechamente ligada con el mundo real, donde la fuente de

validación es lo sensible, donde es posible el juego modelo-realidad y es muy importante la

medida, la aproximación y la estimación.

Miguel propuso en su taller actividades propias de la geometría elemental, tales como:

el uso de instrumentos (esencial en esta geometría) tales como regla y compás para la

construcción del geoplano (ver Figura 18.13); un uso intensivo de gráficos (en GeoGebra) y de

actividades como “arrastrar” para hacer “pruebas ostensivas” (i.e. a “ojo) de que dos figuras

eran congruentes.

En las clases de Miguel, aún no se hacía explícito el paso a la geometría axiomática

natural, aunque el profesor expresó (en la entrevista EM13-OC) que le interesaba preparar a


277

sus estudiantes para que en un futuro pudieran trabajar con sistemas axiomáticos; lo anterior

explica la insistencia de Miguel, en sus clases, por que sus estudiantes “conceptualicen”: es

decir, identifiquen, describan, caractericen propiedades o relaciones geométricas usando

lenguaje verbal acompañado de algunos elementos del lenguaje simbólico propio de la

geometría.

Figura 18.13. Construcción del geoplano en la clase de Miguel

Sin embargo, podemos inferir que se encuentran presentes algunos elementos de la

geometría axiomática natural en el taller desarrollado por Miguel, cuando éste realizó

modificaciones (durante la observación de planeación de clases—previo a la implementación

del taller) a las tareas contenidas en las hojas de trabajo.

En estas modificaciones, el profesor incluyó algunos elementos de la geometría

axiomática natural:

Miguel enfatizó en un mayor uso del lenguaje simbólico en las consignas de las

tareas, incluidas en las hojas de trabajo del taller. Por ejemplo:

“Para hacer Rotación (R) debe seleccionar el triángulo ABC, luego el punto O y al final

el ángulo a.” (Segmento de la tarea 12 de las hojas de trabajo).

Miguel enfatizó en que sus estudiantes describieran la congruencia como propiedad

invariante y lo comprobaran por medio de la “prueba del arrastre”. Por ejemplo:

“Después de aplicar la simetría, cómo son las figuras ABCDE y A´B´C´D´? Arrastra las

figuras para comprobarlo.” (Segmento de la tarea 19 de las hojas de trabajo).


278

Figura 18.14. Actividad en GeoGebra (con hoja de trabajo) sobre composición de

transformaciones, por un estudiante de Miguel


279

Miguel incluyó, durante el taller, algunas tareas para trabajar la composición (o suma)

de transformaciones en GeoGebra, donde se hace énfasis en describir el procedimiento

de construcción “paso a paso” (Figura 18.14).

En esas tareas, Miguel decidió que se mostrara, en GeoGebra, la notación simbólica

(e.g., A, A') de cada punto de la figura denotados y también decidió incluir los ejes de

coordenadas de GeoGebra (ver Figura 18.15).

Figura 18.15. Detalle de la actividad en GeoGebra sobre composición de transformaciones, por

un estudiante de Miguel

Las hojas de trabajo correspondientes también presentan algunos elementos del

lenguaje propio de la geometría (“línea poligonal”, “polígono”, “línea” “ángulo de

120º”), como se ve en la hoja de trabajo de la tarea 22 sobre composición (o suma) de

rotaciones, mostrada en la Figura 18.14 y transcrita a continuación:

Ahora, vamos de nuevo al comando Poligonal

[…]

y tracemos una línea que parta de uno de los extremos, al otro lado de la figura,

conformada por tres puntos, así: […]

Recuerden cerrarla donde partieron […]

Luego, esa línea poligonal que hicimos vamos a rotarla, pero ahora con un ángulo

de 120º entorno a cada uno de los extremos, así: […]

Obtenemos algo así: […]

Sigamos repitiendo hasta llegar a esto […]

Ahora vamos [al comando] Polígono […]

y formamos un polígono con todos los puntos del contorno de la figura.

Uno por uno, así […]

(Tarea 22 sobre composición o suma de rotaciones, del taller de Miguel)


280

18.7. CONCLUSIONES SOBRE EL ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL

Contar con un mayor tiempo de seguimiento al trabajo de Miguel, nos permitió

estudiar su sistema de recursos para la enseñanza de la geometría, su orquestación de las clases

con mayor profundidad, así como poder llevar a cabo una aplicación mucho más detallada de

la técnica de introspección.

Iniciamos presentando nuestras conclusiones sobre el sistema de recursos de Miguel.

18.7.1. Sobre el sistema de recursos de Miguel

En cuanto a nuestro estudio del sistema de recursos de Miguel para su enseñanza de la

geometría en quinto grado, encontramos que Miguel seleccionó recursos con distintos

propósitos: (i) recursos para planear su clase; (ii) recursos para hacer geometría durante la

clase y (iii) recursos para apoyar el desarrollo de sus clases. Para cada uno de esos propósitos,

Miguel señaló recursos digitales como, respectivamente, Internet, GeoGebra y presentaciones

de diapositivas, de los cuales hacía un uso habitual a lo largo del año escolar.

En cuanto a nuestro análisis de los mapas, realizados por Miguel, de su sistema de

recursos (Figura 18.6), pudimos identificar que el profesor consideró el papel de las

orientaciones curriculares en su enseñanza; incluyó recursos “históricos” como sus

planeaciones de años pasados y cuadernos; además de lo que Gueudet, Pepin y Trouche

(2012) llaman “recursos vivos”, tales como el trabajo colaborativo con sus compañeros

docentes.

En su sistema de recursos, Miguel también nombró recursos que le sirven de

herramientas para apoyar la construcción geométrica, incluyendo recursos digitales y no-

digitales. La importancia que le da Miguel al manejo de herramientas, tales como regla y

compás, escuadras, el geoplano y GeoGebra, se relaciona lo discutido en la sección 2.1 dónde

hicimos una reseña histórica de los recursos: En esa sección señalábamos cómo el uso de uso

de ciertas herramientas (e.g. el perspectógrafo o la brújula) modifican las maneras de hacer

geometría, se integran a los conocimientos de esta disciplina y tienen un lugar importante en el

desarrollo de conocimientos geométricos nuevos; como la perspectiva o la orientación,

respectivamente en nuestros ejemplos. Para Miguel, el uso de recursos como el geoplano o


281

GeoGebra, también forman parte de cómo se hace geometría; y es una de las razones por las

cuales las enfatiza en su sistema de recursos.

Respecto a los recursos no-digitales, incluidos en su sistema de recursos, en particular

el geoplano (previo a la implementación del taller), identificamos cómo en la selección de

éste, Miguel enfatizaba los criterios de orden matemático relacionados con las posibilidades de

construcción de figuras geométricas al utilizar este recurso no-digital.

En conclusión, este estudio sobre el sistema de recursos de Miguel, nos permitió inferir

que Miguel priorizaba aspectos de orden matemático en su sistema de recursos. Esto nos

brindó hipótesis sobre la influencia de cómo Miguel entiende la geometría y su enseñanza, en

sus invariantes operatorias (incluidas en su esquema ESRD_M) dónde priorizaría los criterios

de contenido matemático (geométrico) para la selección de los recursos de su taller. Gracias a

ello, nos brindó la oportunidad de una aplicación mucho más contextualizada de la técnica de

introspección para la producción por Miguel de sus mapas de las rutas-recorridas.

18.7.2. Sobre las rutas-recorridas por Miguel en su proceso de selección de

recursos

En cuanto a las rutas-recorridas representadas por Miguel en sus mapas (sección

18.5.1), identificamos cómo la reflexión que hizo este profesor durante la aplicación de la

técnica de introspección, lo llevó a refinar aspectos importantes de su proceso de selección.

En la última versión del mapa dibujado por Miguel (ver Figura 18.12), durante la

entrevista EM14-SRD realizada una semana después del fin del taller, observamos un

elemento importante: el profesor recalcó la importancia de llevar a cabo una buena selección

de recursos para usar en la clase, señalando que era su responsabilidad preparar recursos de

calidad para la clase.

Al respecto, Miguel prefería revisar materiales de años pasados que consideraba

exitosos, y adaptarlos según consideraba necesario. Al respecto, señaló: “Yo guardo lo que

me sirve. Como no es primera vez que doy grado quinto, es más fácil saber qué cosas sí puedo

usar y cuáles no” (EM14-SRD). En varias ocasiones Miguel subrayó la importancia de

“reciclar” recursos que él consideraba le podrían seguir siendo útiles en el futuro. En otros

momentos, también mencionó la necesidad de adaptar y hacer modificaciones a estos recursos

reciclados, para continuar mejorándolos.


282

Otro aspecto que nos llamó la atención fue el énfasis de Miguel hizo respecto a la

manera en que regularmente los profesores seleccionan recursos en su práctica. Miguel señaló

que normalmente los profesores no se detienen a reflexionar sobre los recursos que utilizan y

que eso los limita; a partir de esa reflexión, él mismo señaló la importancia de detenerse a

pensar sobre los recursos que se van a usar en las clases. A partir de este tipo de declaraciones

de Miguel, consideramos que es importante fomentar (e.g., en el desarrollo profesional) que

los profesores reflexionen sobre los recursos que usan para su enseñanza.

18.7.3. Sobre el esquema ESRD_M de Miguel para su selección de recursos

Nuestro análisis de los mapas de las rutas-recorridas de Miguel nos aportó datos para

inferir el Esquema de Selección de Recursos Digitales de Miguel (ESRD_M), descrito en la

sección 18.5.2. Este esquema se relacionó con las acciones de Miguel para seleccionar

recursos para su taller, a través de adaptar, re-combinar y complementar recursos previamente

utilizados por él. A continuación presentamos un resumen de algunos de los componentes de

ese esquema:

Las anticipaciones de Miguel estuvieron enfocadas a cómo implementaría su taller

en ese año escolar. Ello implicaba analizar las modificaciones necesarias a lo

previamente diseñado e implementado un año antes, incluyendo cómo la integración de

GeoGebra para todas las actividades del taller requería adaptaciones de su orquestación

y de las hojas de trabajo del taller.

En cuanto a las invariantes operatorias, tuvimos la oportunidad de estudiarlas con

mayor profundidad. Las invariantes operatorias que más sobresalieron en el caso de

Miguel fueron: criterios cognitivos; criterios de características didácticas; criterios

curriculares; y, principalmente, criterios de contenido matemático (geométrico).

Criterio Cognitivo: el uso del recurso debe enfatizar actividades como la

visualización y la prueba del arrastre en geometría dinámica, para promover la

conceptualización de los estudiantes.

Criterio de Características Didácticas: el recurso debe permitir que los

estudiantes realicen construcciones geométricas y favorecer sus procesos de

conceptualización.


283

Criterio Curricular: el recurso debe estar alineado con las orientaciones

curriculares, principalmente con lo relacionado con la enseñanza de las

transformaciones geométricas (MEN, 1998).

Criterios de Contenido matemático (geométrico): Como mencionamos más

arriba, para Miguel no es posible pensar la actividad geométrica

independientemente de las herramientas que la acompañan y definen; en este

sentido, reconoce que GeoGebra es una herramienta que facilita el aprendizaje de

la geometría y la realización de construcciones geométricas: “Con GeoGebra es

más fácil seguir el orden: si va a hacer una traslación, primero hace el triángulo,

luego el vector, luego aplica la traslación al triángulo de acuerdo al vector”

(EM9-OC).

Así, identificamos que estos criterios se orientaban por las consideraciones

epistemológicas de Miguel o sus paradigmas geométricos, lo cual describimos en

la siguiente sección 18.6.

Las posibilidades de inferencia de Miguel se relacionaban con el reciclaje que

podría hacer, en el futuro, del taller y los recursos para éste, haciendo algunas

modificaciones adicionales, por ejemplo, la de incluir más actividades de orden artístico.

18.7.4. Sobre los “paradigmas geométricos" de Miguel

Como ya señalamos antes, en nuestro análisis pudimos identificar aspectos

epistemológicos (como los presentados arriba) que influenciaban las invariantes operatorias de

Miguel incluidas en su esquema ESRD_M. En particular, inferimos que estas invariantes

operatorias (criterios) estaban relacionadas fundamentalmente con aspectos de la geometría

elemental (Kuzniak, 2011); pero también incluían algunas características de la geometría

axiomática-natural (ibíd.)

En particular, encontramos que el paradigma de la geometría elemental es el que

orientó fundamentalmente las acciones de Miguel en su proceso de selección de recursos, así

como su orquestación de sus clases. Ese paradigma de la geometría elemental que orientó las

acciones de Miguel, se manifestó en su interés de trabajar con modelos próximos de la

realidad (como su modelo concreto del teorema de Pitágoras que nos enseñó durante la visita


284

guiada); y el desarrollo de la intuición espacial, por ejemplo en su énfasis en la motricidad

(precisión en los movimientos de la mano).

Para Miguel hay una conexión epistemológica entre la geometría, y el uso intensivo de

herramientas para la construcción geométrica (lo que corresponde al paradigma de la

geometría elemental). Esto se manifestó, en su proceso de selección, en sus criterios de

contenido matemático (geométrico); por ejemplo, cuando mencionaba: “Es que es geometría y

solo se puede hacer con herramientas, la que sea, eso depende de usted […] Para el taller,

usamos GeoGebra” (EM9-OC).

Miguel también incorporó algunos elementos del paradigma de la geometría

axiomática-natural (Kuzniak, 2011), tales como el uso del lenguaje simbólico propio de la

geometría. Por ejemplo, en las modificaciones que Miguel hizo de las hojas de trabajo del

taller, Miguel insistió en usar lenguaje simbólico para describir “paso a paso” las

construcciones geométricas (ver sección 19.5). En ese mismo sentido, en la orquestación del

taller, también notamos ese interés de Miguel por promover actividades más cercanas a la

geometría axiomática-natural, cuando le insistía y le daba ejemplos a sus estudiantes, de

explicar sus razonamientos haciendo uso de propiedades geométricas.

En el siguiente capítulo presentamos el seguimiento al último caso presentado en este

documento: el de la profesora Sonia de quinto grado y su proceso de selección de recursos

digitales para enseñar estimación, medición y unidades de medida de longitud (múltiplos y

submúltiplos del metro).

285

19. ESTUDIO DE CASO DE SONIA: ÉNFASIS EN LAS

NECESIDADES DE SUS ESTUDIANTES

El último caso que vamos a presentar corresponde a la profesora Sonia, de quinto

grado. Para presentar este caso primero vamos a describir algunos aspectos del contexto

escolar y, posteriormente, presentaremos el análisis de su proceso de selección de recursos

para sus clases de geometría.

19.1. ANTECEDENTES Y CONTEXTO PROFESIONAL DE SONIA

19.1.1. Detalles de la formación y experiencia docente de Sonia

La profesora Sonia durante el periodo de seguimiento, contaba con 32 años de edad y

tenía una experiencia de 11 años de docencia, todos en primaria y los tres anteriores a nuestro

estudio, enseñando quinto grado. Sonia se consideraba una profesora en constante proceso de

formación, interesada en el estudio de la Educación Matemática y entusiasta del uso de

tecnologías digitales en la clase de matemáticas. Algunos detalles de su formación profesional

(y personal), se reseñan a continuación:

Sonia es originaria del municipio de Cali

Cursó estudios de bachillerato en la Normal Nacional de Señoritas de Cali,

donde obtuvo el título de Maestra Bachiller. Luego, en 2011, obtuvo su título de

Licenciada en (Enseñanza de las) Matemáticas con énfasis en educación primaria;

donde su trabajo de grado se enfocó en la enseñanza del sistema de numeración

decimal en primer grado.

En el periodo de seguimiento, estudiaba una Maestría en Educación Matemática

(modalidad enseñanza) y su trabajo de grado estaba enfocado en el diseño de una

CAP. 19. ESTUDIO DE CASO DE SONIA: ÉNFASIS EN LAS NECESIDADES DE SUS ESTUDIANTES

286

secuencia didáctica para fortalecer la ideas de número y sistemas numéricos en

quinto grado.

Ingresó a la carrera profesional docente por concurso de méritos desde 2013 en

la escuela en la que trabajaba durante nuestro estudio (ver siguiente sección).

19.1.2. Detalles de la escuela en la que Sonia laboraba

La escuela en la que Sonia laboraba (ver Figura 19.1) mientras participaba en nuestro

estudio, es una escuela pública, urbana, mixta; de las más antiguas de su municipio (fundada

en 1941), la cual atiende estudiantes desde grado Transición (grado obligatorio de preescolar),

primaria, secundaria y media técnica (preparatoria). Actualmente la escuela cuenta con un

equipo de 51 maestros y atiende más de 1,500 estudiantes organizados en dos jornadas

(mañana y tarde). Esa escuela atiende población vulnerable, por lo que muchos niños están en

riesgo de deserción del sistema escolar.

Figura 19.1. Instalaciones de la escuela en la que Sonia laboraba

Los maestros de esa escuela trabajan organizados en grupos por grados, coordinados

por un maestro; el grupo de quinto grado está conformado por cinco maestros y, en el

momento del estudio, era coordinado por Sonia. Las principales actividades de este grupo

eran: diseño curricular, selección de textos y materiales, seguimiento a la evaluación de los

estudiantes y detección de casos de estudiantes vulnerables.

19.1.3. Detalles del seguimiento al trabajo de Sonia

A esta profesora le hicimos seguimiento durante 5 semanas durante las cuales

observamos:


287

3 clases de geometría sobre el tema de estimación, medición y unidades de medida de

longitud (múltiplos y submúltiplos del metro).

2 sesiones de planeación de clases (previas a dos de las clases observadas –la primera

y la tercera)

3 entrevistas previas las clases observadas

3 entrevistas posteriores a cada una de las clases observadas

Dado que hicimos el seguimiento a Sonia justo después de Miguel (de quien

estudiamos su sistema de recursos para la enseñanza de la geometría), decidimos también

hacer un estudio del sistema de recursos de Sonia. Así pues, aunque tuvimos solo 5 semanas

de seguimiento con la profesora Sonia, pudimos realizar un análisis más completo de su

trabajo documental, al: (i) estudiar su sistema de recursos para la enseñanza de la geometría; e

(ii) inferir su esquema de selección de recursos digitales para la enseñanza de la medida y

medición de longitudes en quinto grado.

19.2. SONIA Y SU SISTEMA DE RECURSOS PARA SU ENSEÑANZA DE LA

GEOMETRÍA

Para el estudio del sistema de recursos de Sonia, al igual que en el caso de Miguel, le

pedimos a esta profesora que nos hiciera una “visita guiada” y luego produjera mapas de los

recursos que usaba para su enseñanza de la geometría. Iniciamos presentando la visita guiada

que Sonia nos hizo a su a salón de clases enseñándonos los recursos que usaba.

19.2.1. Visita guiada de los recursos generales de Sonia

En la primera entrevista (previa a la clase observada y con una duración aproximada de

dos horas), al igual que a Miguel, le pedimos a Sonia que nos realizara una visita guiada por su

salón de clases y nos enseñara los recursos que usaba para su enseñanza de la geometría. Sonia

inició la visita señalando que se consideraba a sí misma como una profesora interesada en su

desarrollo profesional; por tanto, se describía abierta a considerar nuevas estrategias y recursos

que le permitieran enriquecer su clase y promovieran el aprendizaje de sus estudiantes.

“Si uno no se prepara, no estudia, pues no mejora como maestro, no avanza. Y en

la universidad te van enseñando cosas nuevas y eso a mí me encanta. Me encanta

probar cosas nuevas diferentes. Uno, como profe, no puede cerrarse a la banda,


288

sino [debe] mirar qué otras cosas, materiales, actividades, podría meter en mis

clases”. (Entrevista a Sonia)

Durante su planeación de clases, dependiendo de las necesidades educativas de sus

estudiantes, Sonia gustaba de revisar los recursos que tenía disponibles y los iba modificando.

“Primero, me fijo en cómo mis niños pueden avanzar; no puedo soltarles un

montón de cosas, sino [deben ir] despacio, con ayuda. Entonces, este…, planeo mi

clase, me pongo un objetivo, y me preparo con los materiales, con las actividades,

con el apoyo que voy a tener; pero pensando en ellos y en su dificultades, porque

aquí nos llegan niños con muchos problemas y yo me tengo que adaptar a eso”.

(Entrevista a Sonia)

A través de su experiencia docente, Sonia había recopilado recursos variados

(conformando un sistema de recursos). Empezaremos presentando los libros escolares que

Sonia mencionó durante la visita guiada. Al respecto, Sonia señaló:

“Para matemáticas tengo tres libros para consulta. Este libro de aquí [A] es de

universidad y me sirve a mí para tener bien claros los temas, los ejemplos, las

definiciones. Es un libro más para mí, como profe. […] Estos otros dos libros: el

[B] de Santillana y el de Norma [C] son libros de matemáticas para 5º. Me gusta

mucho el libro de Norma [C] porque trae un cuadernillo de ejercicios y es súper

bueno para sacar fotocopias, trae modelos de evaluaciones, talleres de repaso. Del

otro libro saco ejercicios, ideas de otras cosas”. (Entrevista a Sonia)

En la Figura 19.2, podemos ver, a la izquierda, algunos ejemplos de los libros de texto

presentes en el salón de clases de Sonia; y al lado derecho, presentamos la portada del libro A

de nivel universitario que mencionó Sonia en la entrevista. De esos tres textos escolares que

Sonia mencionó, nos llama la atención la existencia de un libro que sirve de referente para la

profesora: el libro “A” –Curso de Geometría Métrica (Puig, 1986)— de nivel universitario,

del cual ella toma información para la preparación de sus clases. Respecto a los dos libros

restantes, el “B” –Rutas matemáticas 5 (Martínez, 2016) — y el “C” –Avanza Matemáticas 5

(Silva, Báez & Sarmiento, 2016)— Sonia enfatizaba en el uso de un “cuadernillo de

ejercicios”, anexo al libro de texto “C”, del cual gustaba tomar (y fotocopiar) hojas de trabajo

para sus estudiantes.


289

Figura 19.2. Algunos libros de texto usados por Sonia

Continuando con la visita, Sonia señaló que, además de los libros de texto

mencionados anteriormente, también contaba con textos escolares adicionales. Uno era la

Guía del Maestro (MEN, 2013) producida por el Ministerio de Educación Nacional en el

marco del “Programa Todos a Aprender” (PTA) 48. Sonia contaba con un ejemplar de esta guía

y comentó que lo usaba en la planeación de sus clases, ya que esta guía contiene elementos de

las orientaciones curriculares y sugerencias didácticas que ella ha utilizado previamente. Al

respecto Sonia señaló:

“Esta guía del docente es de mucha ayuda para mí porque no es solo

material para los estudiantes, es material para mí: trae los estándares, la

planeación de los temas, sugerencias didácticas, sugerencias de actividades

[…] Cuando voy a iniciar un tema nuevo, casi siempre miro primero esta

guía porque es muy útil […] Acabamos de ver el tema de polígonos y de allí

saqué muchas ideas para mi clase” (Entrevista a Sonia)

En la Figura 19.3 se observan detalles de la “Guía del maestro” oficial que Sonia

consultaba para la preparación de sus clases; presentamos la portada y un ejemplo del

contenido (sobre polígonos) que ella mencionó en la entrevista:

48 Programa “Todos a Aprender”: https://www.mineducacion.gov.co/1621/w3-propertyvalue-

48336.html

https://www.mineducacion.gov.co/1621/w3-propertyvalue-48336.html

https://www.mineducacion.gov.co/1621/w3-propertyvalue-48336.html


290

Figura 19.3. Guía del maestro oficial, consultada por Sonia

Otros recursos mencionados por Sonia durante la visita guiada fueron “Todo lo que me

sirva para recortar, pegar o trazar” como hojas de trabajo (fotocopias), reglas, papel y lápiz,

pegamento, tijeras. En la Figura 19.4 mostramos ejemplos de estos recursos:

Figura 19.4. Recursos para “recortar, pegar o trazar” mencionados por Sonia

Sonia también mencionó recursos digitales durante su visita guiada. Señaló que

contaba con un videobeamer (ver Figura 19.5) en su salón de clases (instalado frente a su

pizarrón) y una computadora personal con conexión a Internet que usaba con regularidad en

sus clases. Sonia resaltó la importancia de la visualización en el aprendizaje de la geometría y

cómo los recursos digitales le ayudan a trabajar con representaciones visuales en sus clases. Al

respecto, Sonia señaló:

“Tenemos el videobeam; yo conecto mi equipo. Tengo Internet. Hemos hecho cosas

con GeoGebra. O pongo imágenes que se proyectan en el tablero [pizarrón] y allí


291

encima voy explicando, o pongo el pdf de algún libro, etc. Como geometría es tan

visual, el videobeam lo uso en casi todas las clases porque se ponen las imágenes

con colores, o ven las figuras en GeoGebra moviéndose; [así] es más fácil para

ellos [los estudiantes] entender”. (Entrevista a Sonia)

Figura 19.5. Videobeamer instalado frente al pizarrón en el salón de clases de Sonia

Al final de la visita guiada, Sonia señaló la necesidad de digitalizar (en su computadora

personal) la mayor parte de los materiales que usaba; en su opinión, eso le facilitaba su

organización, búsqueda, acceso y adaptación de esos recursos:

“Para mi es importante que los niños y los padres de familia vean un trabajo bien

hecho. Si les voy a dar [hojas de trabajo] que no sea cualquier fotocopia, sino un

material organizado, con los logos de la escuela y bien presentado, hecho en

computador… Yo prefiero tener todo en formato digital porque lo puedo guardar

mejor y cambiarlo según lo que necesito. [Luego] le pongo más preguntas o le

quito otras, o le meto más indicaciones, cada año uno tiene [hojas de trabajo] más

organizad[a]s”. (Entrevista a Sonia)

19.2.2. Mapas del sistema general de recursos de Sonia

Al final de la visita guiada que nos hizo Sonia, le pedimos a esta profesora que

realizara un mapa que representara (escribiendo, dibujando o haciendo un diagrama) los

recursos que usaba para su enseñanza de la geometría. Una vez realizado su mapa le pedimos

que nos explicara los elementos del mismo y detalles adicionales. En el caso de Sonia solo

tuvimos una sola versión (Figura 19.6) de su mapa de sistema de recursos.

Durante esta entrevista, Sonia expresó que esta actividad (de hacer el mapa) resultó ser

para ella una reflexión importante, ya que, en su opinión, resumía la planeación de su clase.


292

“Este mapa es como planear la clase, porque pienso en todo lo que necesito: qué

recursos voy a usar, cómo lo voy a utilizar en mi clase, para qué… hacer esto es

muy importante, es como otra forma de hacer la planeación, como más visual.”


Para Sonia, su planeación de la clase incluía determinar qué recursos usar, cuándo y

cómo usarlos. Sin embargo, Sonia expresó que, en un solo mapa, no es posible representar

todos los recursos relacionados con su enseñanza, sino que se requieren, en palabras de Sonia,

establecer “niveles de mapas” de acuerdo a la especificidad de cada uno. Estos “niveles”

mencionados por Sonia corresponden a unas categorías que la profesora estableció para

organizar su sistema de recursos. Al respecto, ella señaló:

“Primero hay que pensar a un nivel meta, donde van los recursos que son como

más generales, lo que se usa en cualquier clase, pues, sin importar el tema.

Después, vendría el nivel de los recursos para enseñar geometría, porque esos son

más específicos; por ejemplo, GeoGebra, eso es para geometría; regla y compás,

esos son recursos solo para la clase, este es un nivel de los recursos para la clase

de geometría. Y habría un nivel muy pequeñito de recursos especiales para enseñar

un tema: por ejemplo, un taller [hojas de trabajo], eso es para una clase, para un

tema específico y para nada más [Entonces] estos mapas van así por niveles.

[…]

Por eso es que es tan importante planear la clase, porque vas viendo qué recursos

usar, desde lo más general, hasta lo más específico. […] Allí es donde usted

prepara las actividades didácticas, piensa en los recursos, etc.”


Así pues, Sonia dividió los recursos que utilizaba, en tres “niveles”, que re-definimos

nosotros como los siguientes (usando datos dados por Sonia en las entrevistas):

Recursos tipo I: compuestos por recursos generales, i.e., los que son

fundamentales para la enseñanza (e.g. el pizarrón, lápiz y papel, etc.).

Recursos tipo II: recursos especializados para la enseñanza de la geometría

(e.g., regla y compás, geometría dinámica).

Recursos tipo III: recursos muy enfocados a un situación particular, ya sea un

tema específico de enseñanza o una problemática de aprendizaje (e.g., una hoja de

trabajo, un video, un applet).

Esta organización que Sonia propuso de su sistema de recursos, corresponde a sus

intencionalidades y maneras de organizar la enseñanza, tomando en cuenta aquellos elementos


293

que ella considera al planear su trabajo. La planeación era para Sonia, una actividad

fundamental que le permitía prever las estrategias de enseñanza y los recursos a usar.

En el mapa que Sonia hizo de su sistema de recursos para enseñar geometría (Figura

19.6) podemos observar varias características que ella también explicó durante la entrevista: el

primero es que para Sonia esta representación correspondía a un nivel macro; el segundo, la

existencia de ligas entre varios elementos de su sistema; y, el tercero, la explicitación del

sentido y usos de algunos de los recursos allí representados, particularmente, los recursos

curriculares:

“Este mapa, para mí, es de la enseñanza de geometría, así de forma global. Mirá

que no me sirve para la enseñanza de otra cosa, del lenguaje por ejemplo; no, allí

metería otras cosas. Aquí hay cosas que son solo de la clase de geometría y nada

más […]: por ejemplo los planes de clase, o lo de los rompecabezas, las reglas, eso

de geometría.

[…]

¿Ves? Esta flecha conecta todo lo del currículo con los recursos para preparar la

clase, las actividades. Y también conecta con estos materiales que son para los

niños. Todo se va juntando.

[…]

El currículo, como que orienta todo lo demás, te sugiere qué hacer, y de allí usted

ya busca las actividades, los manipulativos, todo lo demás, pero eso [el currículo]

va primero.”

Figura 19.6. Mapa, dibujado por Sonia, de su sistema de recursos


294

En el mapa se puede observar que Sonia organizó los recursos que usaba en cuatro

grandes categorías:

recursos para planear (ya sea la clase, o actividades específicas), ubicados en el

mapa arriba a la izquierda;

recursos dirigidos a los estudiantes; es decir, recursos para apoyar el aprendizaje

(e.g. talleres, fotocopias), ubicados en la izquierda abajo;

recursos curriculares, ubicados a la derecha, y relacionados con los recursos para

planear y los recursos para los estudiantes; y,

recursos manipulativos, ubicados abajo.

Al respecto, un aspecto interesante, antes mencionado, son las conexiones o ligas que

Sonia representó usando flechas en su mapa. Estas flechas relacionan algunas categorías del

sistema. Al respecto, explícitamente en este mapa (Figura 19.6), Sonia señaló las relaciones

entre: “recursos curriculares”, “recursos para planear”, y “recursos dirigidos a los estudiantes”.

En estas conexiones son evidentes las maneras en que Sonia consideraba las relaciones entre

distintos grupos de recursos.

Para Sonia, el corazón del mapa de su sistema de recursos son los recursos

curriculares; en su opinión, es a partir del currículo (nacional e institucional) que es posible

organizar y darle sentido a las demás categorías del sistema. Algunas ideas del currículo son

retomadas por Sonia en varios momentos: la insistencia del currículo en los procesos de

visualización (pensar acerca de las figuras y sus propiedades); la recomendación de usar

recursos digitales; y la importancia de la exploración. Esas fueron algunas de las ideas que

Sonia recuperó del currículo y que se explicitan en sus criterios de selección de recursos:

“De lo que me dicen los estándares, para mí lo más importante es lo de la

visualización, que los niños desarrollen pensamiento visual […] que piensen sobre

las propiedades de las figuras que están viendo. […] También te recomiendan usar

tecnologías digitales; yo trato de hacerlo lo más que puedo, en la medida de mis

posibilidades aquí [en la escuela …] que exploren las figuras, que las midan, las

volteen, que jueguen con ellas, las hagan grandes o pequeñas y vean qué es lo que

pasa”. (Entrevista a Sonia)

Como parte de nuestro análisis también tuvimos en cuenta el papel que Sonia le

asignaba a los recursos digitales en su sistema. Éstos aparecen explícitamente en la categoría


295

de recursos para planear, donde la profesora explicó que usaba recursos digitales para

planear su clase “Uno aprovecha y busca en Google a ver qué hay que pueda traer para la

clase”.

También es llamativa la mención que hizo Sonia, en esa categoría de recursos-para-

planear, del uso de algunas redes sociales (e.g, Facebook) como espacios de interacción con

colegas, y mediante los cuales puede compartir información y materiales.

“Yo estoy en varios grupos de Facebook […] de maestros. Allí ponen información,

artículos, noticias, materiales, en fin, muchísimas cosas que te sirven. También

conoce otros profes de otras partes, se comentan las publicaciones; hay como

cierta interacción.” (Entrevista a Sonia)

En la siguiente sección presentamos los recursos que Sonia seleccionó para una

secuencia de tres clases de geometría respecto a un tema específico: estimación, medición y

unidades de medida de longitud (múltiplos y submúltiplos del metro).

19.3. RECURSOS SELECCIONADOS POR SONIA Y SU ORQUESTACIÓN

Sonia decidió trabajar el tema de medición y unidades de medida de longitud en una

secuencia de tres clases de dos horas aproximadamente cada una. En esta secuencia de clases,

Sonia decidió usar dos recursos digitales: un video de YouTube y un applet de GeoGebra, así

como recursos no-digitales: una hoja de trabajo y recursos para “recortar, trazar y pegar” que

presentaremos más abajo.

En la planeación de su primera clase de la secuencia de tres, Sonia decidió consultar el

manual oficial Guía del Maestro (MEN, 2013) que nos había enseñado durante la visita

guiada, sobre el tema que iba a abordar: “Medición” (ver Figura 19.7). Éste fue su punto de

partida. Especialmente, Sonia se fijó en las recomendaciones de las orientaciones curriculares

(los “Estándares”) ubicadas a la izquierda de la figura; y en las sugerencias didácticas,

ubicadas a la derecha arriba.

A partir de dicha consulta, Sonia diseñó hojas de trabajo (Figura 19.8) que le propuso a

sus estudiantes. Éstas incluían algunas actividades, donde solo se utilizarían manipulativos

concretos (i.e., no-digitales), de estimación de longitudes mediante comparaciones de líneas

con igual longitud, aunque distinta forma. Durante el desarrollo de esta primera clase, Sonia

hizo una introducción general al tema y luego presentó las hojas de trabajo a sus estudiantes,


296

Posteriormente, introdujo el uso de la cinta métrica para que los niños agregaran marcas a una

tira de papel.

Figura 19.7. Tema de “Medición” en la “Guía del Maestro”, consultado por Sonia para su

planeación de clases

Figura 19.8. Actividades de estimación y medición propuestas por Sonia


297

Para apoyar el desarrollo de la actividad, Sonia proyectó la hoja de trabajo en el

pizarrón y usaba esta información visual (estática) para explicar la actividad o hacer

indicaciones sobre la misma

Figura 19.9. Proyección de la hoja de trabajo en el tablero

En la segunda clase, Sonia decidió introducir algunas ideas del sistema métrico

decimal; en ese momento consideró usar recursos digitales, tales como un video de YouTube49

(Figura 19.10) que lo seleccionó debido a que tenía un lenguaje que ella consideraba sencillo y

accesible para sus estudiantes.

Figura 19.10. Video seleccionado por Sonia para su clase

“Como los niños ya hicieron estimaciones usando su propia regla, hecha por ellos

mismos, ya tienen idea de qué es la medida y cómo es la técnica para hacer la

49 Recurso disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=kzrplJ1jvko


298

medición. Yo no quiero que la clase se vuelva: ‘aprenderse la tabla de

equivalencias’; sino que ellos mismos caigan en cuenta de eso… Primero,

presentarles un video sobre qué es la medición, las medidas de la longitud…

porque yo les puedo explicar, pero que ellos vean el video es más motivante, luego

yo les profundizo las cosas importantes.” (Entrevista a Sonia)

Posteriormente, en una tercera clase, una semana después, Sonia usó un applet en

GeoGebra (ver Figura 19.11 y Figura 19.12), para hacer una “presentación ostensiva”50, en el

sentido de Martínez y Porras (1997), de la equivalencia en el sistema métrico51 y haciendo

pasar a algunos alumnos para que tuvieran la oportunidad de interactuar con el applet. Los

principales criterios de Sonia para la selección del applet fueron de orden didáctico-cognitivo:

la visualización, la aplicación de las equivalencias y la interacción estudiantes-recursos. En

particular quería que el applet promoviera que los estudiantes pudieran medir longitudes por

medio de una regla graduada, y también que presentara representaciones gráficas de las ideas

geométricas.

La búsqueda de este applet la realizó Sonia en un portal especializado de recursos de

GeoGebra, haciendo una búsqueda concienzuda acerca del tipo de recurso que quería

encontrar. En este caso vemos unos criterios de selección refinados, y un sistema de recursos

enfocado en una situación específica del trabajo documental de la profesora.

Figura 19.11. Aspecto del applet seleccionado por Sonia para su clase

50 51 Recurso disponible en: https://www.geogebra.org/m/qYHjHDAf

https://www.geogebra.org/m/qYHjHDAf


299

Figura 19.12. Escena de la clase de Sonia usando el applet de GeoGebra

19.4. ANÁLISIS DEL PROCESO DE SONIA PARA SELECCIONAR RECURSOS

(DIGITALES)Para profundizar en el análisis del proceso de Sonia (su ruta-recorrida)

para la selección de recursos digitales para su enseñanza del tema de estimación, medición y

unidades de medida de longitud (múltiplos y submúltiplos del metro), aplicamos la técnica de

introspección de investigación. Mediante esa técnica, le propusimos a Sonia mapear su ruta de

selección de los recursos digitales usados en sus clases (applet de GeoGebra y video de

YouTube).

19.4.1. Resultados de la técnica de introspección: “Rutas-recorridas” dibujadas

por Sonia

Durante la entrevista posterior a la primera clase observada, estimulamos los recuerdos

de Sonia para que produjera un mapa (Figura 19.13) de su ruta-recorrida para la selección de

sus recursos, presentándole un video de la sesión en la cual ella buscaba el video de YouTube y

después el applet por Internet (sesión de planeación de clase observada hacía una semana

antes).


300

Figura 19.13. Primera versión de Sonia de su mapa de su ruta-recorrida para seleccionar

recursos para sus clases

La primera versión del mapa de la ruta-recorrida de Sonia, para seleccionar recursos

digitales para su secuencia de tres clases, se divide en cuatro apartados: (i) “Revisar libros de

texto”; (ii) “Escoger actividades”; (iii) “Acomodar las actividades” y, (iv) “Aplicar las

actividades”. A continuación presentamos detalles de cada apartado:

(i) En la parte “Revisar libros de texto”, ubicada arriba en el mapa, Sonia, además de

los textos escolares, agregó “parcelador” refiriéndose a su bitácora diaria de clases.

Esta primera revisión le sirvió a Sonia de punto de partida para “buscar actividades” y

además “saber cuál es el plan que voy a tener en mi clase, qué he visto antes, y para

dónde quiero ir” (Entrevista a Sonia).

(ii) En la parte “Escoger actividades”, Sonia se refería a seleccionar actividades de los

textos escolares o de Internet: “Como ya tengo un plan, ya busco en los libros o en

Internet qué actividades van acorde a mi plan, al tema de la clase, al grado”

(Entrevista a Sonia).

(iii) En la parte “Acomodar las actividades”, Sonia destacó la necesidad de

“acomodar”, en el sentido de adaptar, las actividades que seleccionó: “Ya uno mira, por

ejemplo, yo dije: ‘primero miramos el video, lo socializamos, conversamos,’ y de allí,

paso a GeoGebra para comprobar cosas de las que se decía en el video; así las

actividades van acomodadas” (Entrevista a Sonia).


301

(iv) En la parte “Aplicar las actividades”, ubicada abajo en el mapa, Sonia se refería a

cómo preveía sea su posible orquestación de la actividades en la clase: “Ya cuando

vaya a aplicar el applet, allí en la clase voy a ver cómo sacarle más el jugo”.

Dos semanas después, durante la entrevista posterior a la tercera (y última) clase

observada, Sonia realizó su segunda versión de su mapa de ruta-recorrida (Figura 19.14).

Mientras nos explicaba su ruta-recorrida, Sonia agregaba detalles al mapa, como la

numeración y algunas explicaciones.

Figura 19.14. Segunda versión de Sonia de su mapa de su ruta-recorrida para seleccionar

recursos para sus clases

En este mapa de ruta-recorrida, es notorio el interés de Sonia por organizar sus

acciones en bloques de actividades consecutivas (que aparecen numerados del 1 al 4 al margen

izquierdo del mapa):

En el bloque 1 de su mapa, Sonia señaló dos actividades:

“Revisar el plan”, es decir, las orientaciones curriculares, sobre todo en términos de

“competencias” y sugerencias metodológicas (ella escribió “metodología” en su mapa).

“Reviso mi parcelador,” es decir, su bitácora de seguimiento de clases. Su propósito

de esto era identificar qué temas había visto antes y posibles dificultades de sus


302

estudiantes. Para Sonia era importante ubicar su selección de acuerdo a lo que ya había

hecho anteriormente y hacia donde quería ir con sus estudiantes.

En el bloque 2 de su mapa, Sonia destacó dos actividades:

“Revisar mis libros de texto actuales”, para buscar “definiciones, ejemplos y

actividades”. Sonia explicó: “Porque traen actividades nuevas más en términos de

los estándares, de competencias.”

“Busco si tengo talleres [hojas de trabajo], fotocopias, actividades” acorde a lo que

ella “busca que aprendan sus estudiantes”; es decir, acorde a sus propósitos

educativos.

En el bloque 3 de su mapa, Sonia también escribió:

“Busco actividades con TICS” refiriéndose a recursos digitales que se pueden

encontrar en “Google, blogs de maestros y páginas de Facebook”.

En esta “búsqueda” Sonia señaló que es importante “mirar cómo acomodarlas”

refiriéndose a las adaptaciones y complementariedad entre los recursos.

En el bloque 4 de su mapa Sonia señaló:

“Evalúo si las actividades sí van con el plan” refiriéndose al plan de matemáticas

de su escuela y

realizar “cambios o mejoras”, en el sentido de modificar y adaptar las actividades

según las necesidades educativas de sus estudiantes.

Entre las explicaciones de Sonia sobre su mapa, es interesante que la profesora

contemplaba el papel de los recursos no-digitales en su selección de un recurso digital. Para

Sonia era importante contar con material complementario (e.g. hojas de trabajo) que sirviera

para apoyar el trabajo con el recurso digital que estaba buscando.

Así pues, en esta ruta-recorrida es notoria la interacción de Sonia con distintos tipos de

recursos ya contenidos en su sistema de recursos, y la importancia de adaptar los recursos

seleccionado a la enseñanza. Nos llama la atención que en su bloque 3, referente a “Busco

actividades con TICS”, Sonia incluyó redes sociales y blogs de maestros (los cuales no había

mencionado antes en su sistema de recursos). En la entrevista, Sonia explicó que las redes

sociales le son útiles para “acceder a información” como “artículos, noticias, materiales,


303

[…] muchísimas cosas que te sirven”; y además le sirven como espacios de “interacción” con

otros colegas.

Una de las características de la ruta-recorrida de Sonia es la importancia que le da a las

necesidades educativas de sus estudiantes:

“Yo no puedo escoger una actividad que los niños no puedan hacer, que sea difícil

o que no entiendan, yo me pongo en los zapatos de ellos y analizo qué dificultades

pueden tener, qué es lo que van a aprender y qué es lo que van a hacer”

(Entrevista a Sonia).

19.4.2. Componentes del esquema de Sonia para seleccionar recursos digitales


obtenidos en las entrevistas a Sonia, y la observación de su planeación y ejecución de su

secuencia de tres clases, pudimos inferir algunos de sus conocimientos profesionales sobre los

recursos digitales y cómo los usaba. Al igual que para los otros profesores que presentamos

anteriormente, dicho análisis lo hicimos en términos de los elementos constitutivos de los

esquemas que presenta Vergnaud (1998, 2013): situación, metas, anticipaciones, reglas de

acción, invariantes operatorias y posibilidades de inferencia.

Al esquema de Selección de Recursos Digitales de Sonia lo denominamos ESRD_S,

cuyas componentes describimos a continuación:

La situación de selección de Sonia fue bastante específica: ella buscó recursos

digitales que se complementaran con un trabajo previo realizado en una hoja de trabajo

(que incluía recursos no-digitales), durante la primera clase, de la secuencia de tres, para

la enseñanza de la estimación, medición y unidades de medida de longitud (múltiplos y

submúltiplos del metro).

Las metas de Sonia se relacionaban con seleccionar recursos digitales para una

secuencia de clase para enseñar estimación y medición de longitudes. Como sub-metas,

Sonia se propuso identificar un repositorio que permitiera el acceso a recursos de alta

calidad (ergonómica y didáctica). Al respecto Sonia señaló: “Uno no puede escoger

cosas de cualquier parte; aquí en GeoGebraTube[52] usted sabe que hay cosas de cierta

calidad, va mirando y escogiendo, pero va como más a la fija”. Otras de sus sub-metas

52 Repositorio digital donde profesores comparten recursos de GeoGebra: www.geogebratube.org

http://www.geogebratube.org/


304

se enfocaron en adaptar los recursos seleccionados pensando en el aprendizaje de sus

estudiantes y en complementar el uso de los recursos digitales seleccionados con los

recursos-no-digitales que había trabajando en su primera clase (de la secuencia).

Sus anticipaciones se relacionaron fundamentalmente con dos aspectos:

(i) Anticipaciones respecto a cómo habría de adaptar y complementar las actividades con

recursos digitales y no-digitales en el desarrollo de su secuencia de clases.

(ii) Prever cómo sería su posible orquestación de la clase, enfatizando en cómo podría

usar los recursos digitales (el video y el applet) de una manera más efectiva: “Ya cuando

vaya a aplicar el applet, allí en la clase, voy a ver cómo le saco más el jugo”.

Las invariantes operatorias que inferimos como parte del esquema de Sonia para

seleccionar recursos digitales para su clase, se centraron en las maneras como ella

entendía el papel de la estimación (de cantidades de longitud), de la equivalencia, el

sentido de las unidades de medida y el uso de geometría dinámica en el aprendizaje de

sus estudiantes.

Dichas invariantes muestran el interés de Sonia por focalizar su enseñanza de acuerdo

a las necesidades educativas de sus estudiantes, que en su caso se refería a promover la

comprensión del sistema métrico, más allá de que sus estudiantes simplemente se

aprendieran las fórmulas de equivalencia entre unidades de medida.

Sus criterios para seleccionar los recursos digitales (video de YouTube y applet de

GeoGebraTube), en el orden de importancia que inferimos en las acciones de Sonia

fueron:

Criterio de características didácticas: el contenido del recurso debe promover

la comprensión del sistema métrico, particularmente, el funcionamiento de las

equivalencias de unidades de medida.

Criterio Cognitivo: el recurso debe contener información que sea adecuada

para el nivel y comprensión de sus estudiantes.

Procedencia del recurso: el recurso debe provenir de sitios reconocidos por su

calidad; Sonia prefería repositorios usados regularmente por otros maestros.

Criterio de contenido matemático (geométrico): el recurso debe contener

información que adecuada sobre las magnitudes y su medida.


305

Curricular: el recurso debe estar orientado por las sugerencias de los

Estándares Básicos de Competencias (MEN, 2006) sobre el desarrollo del

pensamiento métrico.

Las posibilidades de inferencia de Sonia se enfocaron en cómo los recursos digitales

podrían apoyar el aprendizaje de estudiantes con dificultades. Al respecto Sonia señaló:

“Todo esto me da ideas de como puedo usar las tecnologías para ayudarle a mis

niños que tengan dificultades, que están atrasados o que se sienten desmotivados

con las matemáticas. Porque viendo videos, haciendo cosas con GeoGebra o con

otras herramientas, ellos pueden nivelarse en muchos temas.”


En la Tabla 19.1 resumimos nuestro análisis del Esquema de Selección de Recursos

Digitales de Sonia (ESRD_S) para su enseñanza de la estimación, medición y unidades de

medida de longitud (múltiplos y submúltiplos del metro):

Tabla 19.1. Componentes del Esquema de Selección de Recursos Digitales de Sonia (ESRD_S)

Situación En su salón de clases, Sonia planeó dos clases para continuar su secuencia de enseñanza

sobre la estimación y medición de longitudes en grado quinto. Sonia ya había ejecutado

una clase anterior para introducir el tema (usando recursos manipulativos) y en las dos

clases siguientes pretendía usar recursos digitales. Para lograr este trabajo, tuvo varias

opciones para seleccionar esos recursos.

Metas Meta general: Seleccionar recursos digitales para una secuencia de clase para enseñar

estimación y medición de longitudes.

Sub-metas:

Identificar un repositorio que permitiera el acceso a recursos alta calidad

(ergonómica y didáctica).

Adaptar el recurso seleccionado pensando en el aprendizaje de los estudiantes

(demanda cognitiva vinculada al recurso).

Re-combinar y complementar el recurso seleccionado con recursos-no-digitales ya

contemplados en su enseñanza (configuración didáctica).

Anticipaciones El recurso seleccionado se debería articular muy bien con los recursos-no-digitales

ya contemplados.

Sonia prevé cómo sería su orquestación de la clase para sacar el mejor provecho

posible al uso de los recursos digitales.

Reglas de

acción

Inferimos el siguiente orden en las acciones de Sonia:

1. “Primero, tener definido el tema. [Así] ya tengo más o menos idea de qué buscar y

qué tipo de cosas quiero llevar al aula”

2. “Si consulto primero los recursos curriculares y libros de texto que uso voy a tener

una mejor idea de qué estoy buscando”

3. “Si hago mi búsqueda en GeoGebraTube voy a encontrar mejores cosas allí

[…]así, en cualquier otra parte”

4. “Para saber si el recurso es bueno, primero veo el video, cómo que lo estudio,

analizo qué es lo que dice.”


306

Invariantes

operatorias

(Conocimientos-

en-acto)

Conocimientos-en-acto de Sonia, categorizados como “criterios de selección” de

recursos digitales para su secuencia de clases. Estos criterios se presentan en el orden de

importancia que inferimos les dio Sonia:

Criterio de características didácticas: el contenido del recurso debe promover la

comprensión del sistema métrico, particularmente, el funcionamiento de las

equivalencias de unidades de medida.

Criterio Cognitivo: el recurso debe contener información que sea adecuada para el

nivel y comprensión de sus estudiantes.

Procedencia del recurso: el recurso debe provenir de sitios reconocidos por su

calidad.

Criterio de contenido matemático (geométrico): el recurso debe contener

información que sea adecuada, sobre las magnitudes y su medida.

Curricular: el recurso debe estar orientado por las sugerencias de los Estándares

Básicos de Competencias (MEN, 2006) sobre el desarrollo del pensamiento

métrico.

Invariantes

operatorias

(Teoremas-en-

acto)

Sonia señaló:

Criterio de características didácticas:

“De nada sirve que los niños se aprendan las tablas de equivalencia del sistema

métrico, si eso no tiene sentido para ellos.”

“Para mi es muy importante la estimación porque es la experiencia de los niños

intentando medir por sus propios medios, calculando a ojo, haciendo sus propios

cálculos.”

“Uno de mis objetivos es que los niños puedan relacionar la longitud con las

unidades de medida que van con ella, que no se confundan entre kilómetro y

kilogramo, que sepan que son cosas distintas.”

“Usando GeoGebra los niños pueden estimar, medir, mover, hacer cosas diferentes

pero en una actividad controlada que no sea mover por mover puntos sino que sea

guiada y que les quede claro que están estudiando”.

“Como ya tengo un plan, ya busco en los libros o en Internet qué actividades van

acorde a mi plan, al tema de la clase, al grado.”

Criterios cognitivos:

“Yo busco algo que sea acorde a los que mis niños saben, que se adapte a sus

necesidades.”

“De nada me sirve traerles algo que ellos no van a entender, [i.e.,] con un lenguaje

que sea raro para ellos.”

Criterios de contenido matemático (geométrico):

“Miré el video con mucho cuidado porque hay muchos errores, y hay que verificar

que se les presente a los niños contenidos que sean correctos”“

“El applet debe manejar bien las equivalencias, porque cómo les voy a enseñar yo

a ellos si esto tiene errores; no puedo.”


“Los Estándares me dicen que para desarrollar el pensamiento métrico me enfoque

en la estimación, en el funcionamiento del sistema, no en aprenderse las fórmulas.

Yo quiero que el video vaya de acuerdo con eso.”


307

Procedencia del recurso:

“Uno no puede escoger cosas de cualquier parte, aquí en GeoGebraTube usted

sabe que hay cosas de cierta calidad, va mirando y escogiendo, pero va como más

a la fija [a lo seguro].”

Posibilidades de

inferencia

Sonia tendría la posibilidad de inferir cómo usar los recursos digitales para atender las

necesidades educativas de estudiantes que tengan dificultades en el aprendizaje o

necesiten regularizarse.

19.5. PARADIGMAS GEOMÉTRICOS QUE ORIENTARON LAS ACCIONES DE SONIA

En el caso de Sonia es evidente que sus invariantes operatorias se encontraban

alineadas con el paradigma de la geometría elemental descrito por Kuzniak (2011). Por

ejemplo en la Figura 19.15 podemos observar el uso que Sonia hizo de los recursos para

recortar, doblar y pegar.

Figura 19.15. Ejemplo de uso de recursos de “recortar, doblar y pegar” en las clases de Sonia

Así pues, las principales acciones de Sonia relacionadas con las características de este

paradigma fueron que:

Priorizó el uso del lenguaje natural para explicar las ideas geométricas.

Enfatizó en el uso de representaciones gráficas, por ejemplo, en el uso del applet.

Presentó la medición como una actividad recurrente en la vida cotidiana y con un

amplio uso social.


308

Enfatizó en actividades de estimación “a ojo” de cantidades de longitud.

Los razonamientos que se movilizarían en clase se basan a la experiencia.

Todas las formas de validación fueron empíricas.

A continuación presentamos nuestras conclusiones del estudio de caso de Sonia.

19.6. CONCLUSIONES DEL ESTUDIO DE CASO DE SONIA

Nuestro estudio del sistema de recursos de Sonia estuvo muy influenciado por la

experiencia que adquirimos en el seguimiento hecho a Miguel. En este caso no contábamos

con la misma cantidad de tiempo; sin embargo, logramos obtener datos útiles para nuestro

estudio.

Un aspecto importante de los datos de Sonia fue los “niveles” de sistemas de recursos

que señaló ella en sus mapas. Estos niveles nos fueron muy útiles para comprender la

organización del sistema de recursos de esta profesora para su enseñanza de la geometría,

además de permitirnos inferir algunos de sus conocimientos profesionales.

Algo útil para nuestro estudio fue el papel que Sonia le confería a los textos escolares

en su sistema de recursos y que, en muchos casos, le sirvieron de punto de partida para su

proceso de selección de recursos. La variedad de textos escolares de Sonia –en términos de:

textos para su consulta sobre temas matemáticos; textos “guía del docente”; y textos para

tomar actividades— nos señaló la importancia que esta profesora le daba a los aspectos de

orden matemático y didáctico a su proceso de selección de recursos.

Otro aspecto que nos llamó la atención en el mapa del sistema de recursos de Sonia, es

su mención de redes sociales que sirven a los profesores como espacio para interactuar con

otros colegas, compartir información y acceder a recursos, principalmente, digitales.

En cuanto a los mapas realizados por Sonia de su ruta-recorrida pudimos identificar las

maneras en que esta profesora le daba secuencialidad a sus acciones, partiendo de referentes

como los libros de texto, hasta llegar a la adaptación y complementariedad que Sonia hacía

entre los recursos no-digitales y los recursos digitales en su secuencia de clases.

A partir de la información contenida en los mapas de la ruta-recorrida de Sonia,

pudimos comprender sus acciones para seleccionar recursos digitales para sus clases, y, a

partir de allí, inferir su esquema (ESRD_S) donde se muestra su intencionalidad como


309

profesora (metas), y la secuencialidad y organización de su proceso de selección (reglas de

acción), además de las otras componentes de ese esquema.

Respecto a las invariantes operatorias de Sonia pudimos dar cuenta de cómo sus

criterios de características didácticas, cognitivos y de procedencia fueron predominantes en

su proceso de selección. En este sentido resaltamos que, para Sonia, el contenido del recurso

debe promover la comprensión del sistema métrico; contener información que sea adecuada

para el nivel y comprensión de sus estudiantes; así como proceder de un sitio o repositorio

confiable y usado por maestros (e.g. GeoGebraTube).

En cuanto al paradigma geométrico que se relaciona con las invariantes operatorias de

Sonia, evidenciamos las maneras en que el paradigma de la geometría elemental (Kuzniak,

2011) se hace presente en varias de las acciones de Sonia: el énfasis en que el video que buscó

tuviera un lenguaje sencillo para sus estudiantes; y que el applet promoviera que los

estudiantes pudieran medir longitudes por medio de una regla graduada, y presentara

representaciones gráficas de las ideas geométricas.

En el siguiente capítulo presentamos las conclusiones finales de la Segunda Fase de la

investigación, la cual toma en cuenta los análisis de los casos de Laura, de Pedro, de Miguel y

el de Sonia que acabamos de discutir.

310

20. CONCLUSIONES DE LOS RESULTADOS DE LA

SEGUNDA FASE

A continuación presentamos nuestras conclusiones de los resultados que obtuvimos en

la Segunda Fase de nuestra investigación. Como ya se ha mencionado antes, durante esta fase,

le hicimos seguimiento al trabajo de cuatro profesores de primaria mientras seleccionan

recursos digitales para su enseñanza de la geometría. Iniciamos presentando las conclusiones

sobre el análisis que hicimos de los sistemas de recursos de los profesores y de la orquestación

de sus clases, y sobre cómo lo anterior informa sobre el proceso de selección de recursos

digitales.

20.1. SOBRE LOS SISTEMAS DE RECURSOS DE LOS PROFESORES Y LA

ORQUESTACIÓN DE LA CLASE

20.1.1. Acerca de los sistemas de recursos de los profesores

Como hemos mencionado antes, en el caso de los profesores Miguel y Sonia tuvimos

la oportunidad de analizar sus sistemas de recursos para la enseñanza de la geometría, lo cual

nos informó sobre algunos aspectos de su proceso de selección de recursos.

En el caso del sistema de recursos de Miguel para enseñar geometría (ver sección 18.2)

encontramos los siguientes aspectos:

Miguel consideró que las orientaciones curriculares dadas por el MEN (1998) eran un

referente útil para planear la clase.

Incluyó recursos que él llamó “históricos”, es decir recursos que había usado antes y

que consideraba podría seguir usando en el futuro.

CAP. 20. CONCLUSIONES DE LOS RESULTADOS DE LA SEGUNDA FASE

311

Nombró recursos que enfatizaban aspectos matemáticos, lo que lo llevó a priorizar

recursos que fueran útiles para realizar construcciones geométricas, tales como, regla y

compás, escuadras, geoplano y GeoGebra.

Consideró recursos “de apoyo”: es decir, que le sirvieran para “apoyar sus clases”

tales como, videobeamer, parlantes o bocinas, y fotocopias u hojas de trabajo.

Señaló como recurso al trabajo colaborativo con sus compañeros docentes (lo que

sería un “recurso vivo” en el sentido de Gueudet, Pepin y Trouche (2012).

En el caso del sistema de recursos de Sonia, encontramos que ella dividió los recursos

que utilizaba para su enseñanza de la geometría, en tres “niveles”. Estos niveles expresaban las

maneras que tenía Sonia de organizar su enseñanza (ver sección 19.2.2). En nuestro análisis

re-definimos estos tres niveles de la siguiente manera:

Recursos tipo I: recursos generales para la enseñanza (e.g pizarrón,

videobeamer).

Recursos tipo II: recursos especializados para la enseñanza de la geometría

(e.g., regla y compás, geometría dinámica, recursos curriculares).

Recursos tipo III: recursos para la enseñanza de un tema específico (e.g., una

hoja de trabajo, un video, un applet).

En síntesis, los sistemas de recursos de Miguel y Sonia para su enseñanza de la

geometría contaban con recursos de distintos tipos (curriculares, de apoyo para la clase, etc.)

de manera que manifestaban los propósitos educativos de cada profesor y sus maneras de

entender la geometría y su enseñanza.

Estos análisis de los sistemas de recursos de los profesores Miguel y Sonia, fue útil

para nuestro estudio porque nos permitió:

Identificar que durante su enseñanza de la geometría, los profesores seleccionaban

sus recursos de acuerdo a los propósitos que eran prioritarios para cada uno de ellos:

mientras Miguel prefería seleccionar recursos que le fueran útiles para “hacer

geometría” en su clase, como el geoplano o GeoGebra, Sonia prefería seleccionar

recursos que le sirvieran para planear la clase, por ejemplo los libros de texto.

Observar cómo, y qué tan frecuentemente, los profesores se refieren a los recursos

digitales al describir los recursos que usan para su enseñanza, y a partir de ello, inferir


312

qué tanto usan estos recursos en su práctica. Por ejemplo, Miguel mencionó que usaba

GeoGebra de manera regular durante el año escolar, mientras que Sonia señaló que

prefería usar de manera regular videos.

Inferir qué aspectos de orden matemático, didáctico o curricular se evidencian en los

sistemas de recursos de los profesores. Eso nos permitió prever, parcialmente, algunos

de sus criterios de contenido matemático (geométrico), características didácticas y

curriculares que luego se hicieron evidentes en su proceso de selección de recursos.

20.1.2. Aportes a nuestro estudio del análisis de la orquestación de la clase

Por otro lado, la orquestación de la clase que realizaron todos los profesores a los que

les hicimos seguimiento en la Segunda Fase, también nos informó sobre aspectos del proceso

de selección de recursos digitales. Particularmente, los profesores seleccionaban recursos

digitales para sus clases, pensando en cómo iban a usarlos; es decir, anticipando su

configuración didáctica de la clase, e “imaginando” cómo iba a ser su orquestación de la

misma. En otras palabras, los profesores, para su orquestación, tenían anticipaciones que les

servían para seleccionar sus recursos. Estas anticipaciones concebían posibles adaptaciones o

modificaciones a los recursos; así como maneras de integrar esos recursos en la configuración

didáctica y orquestación de la clase.

También consideramos que la orquestación que hicieron los profesores, usando los

recursos digitales que habían seleccionado, involucró los siguientes aspectos (ver Tabla 16.1):

Los propósitos educativos de cada profesor que variaban de acuerdo al grado de

escolaridad, el tema de la clase, las necesidades educativas de sus estudiantes; pero que

también dependía de las consideraciones del profesor sobre la geometría. Mientras que

profesores como Laura y Sonia tenían propósitos “locales” relativos a determinadas

clases (ver secciones 16.4 y 19.3, respectivamente); Pedro y Miguel expresaban

propósito “globales” en los que se involucraban procesos y actividades que requerían

mucho más tiempo (ver secciones 17.3 y 18.2.3, respectivamente). Estos propósitos

fueron determinantes para la selección de recursos que realizaron los profesores; así

pues, Pedro y Miguel prefirieron seleccionar recursos que les permitieran realizar

distintos tipos de actividades, mientras que Laura y Sonia seleccionaron recursos para un


313

uso más “local”, es decir, para un uso más específico en una sola clase (e.g. Laura y

Sonia seleccionaron videos que utilizaron en una única clase).

La gestión de los recursos y artefactos disponibles manifestaba muchas de las

anticipaciones realizadas previamente por los profesores durante su selección de los

recursos y exhibía las maneras en que complementaban el uso de distintos tipos de

recursos durante la clase. Por ejemplo, Sonia contempló, durante su proceso de

selección, cómo iba a usar sus recursos y en qué momentos de la clase, comenzando en

una primera sesión (ver sección 19.3) con una hoja de trabajo (recurso no-digital),

complementando esa actividad en sesiones posteriores haciendo, respectivamente, un

uso demostrativo del video y del applet de GeoGebra, pero también invitando a algunos

de sus estudiantes a interactuar con el applet delante del resto del grupo.

Las actividades propuestas a los estudiantes, a través del uso de los recursos,

mostraban el tipo de actividad geométrica que los profesores promovían en su clase, con

énfasis, ya fuera en actividades de construcción geométrica (como Miguel o Pedro) (ver

secciones 18.4.2 y 12.5, respectivamente), o para la comprensión de ideas geométricas

en contextos no geométricos (como Laura) (ver sección 16.4).

La organización de la clase manifestaba las anticipaciones que habían tenido los

profesores al seleccionar sus recursos (digitales o no), de cómo disponer y gestionar esos

recursos en las actividades de sus estudiantes.

Además de lo anterior, a través del análisis de la orquestación identificamos algunos

aspectos de las invariantes operatorias que los profesores ponían en juego mientras

seleccionaban recursos (ver sección 20.3 abajo). Por ejemplo, pudimos inferir algunos de los

criterios de selección de los recursos que los profesores consideraban importantes; por

ejemplo, que el uso del recurso en la clase promoviera la conceptualización de los estudiantes

(criterio cognitivo), o que el recurso se pudiera usar de manera independiente por parte de los

estudiantes (criterio ergonómico).

20.2. SOBRE LAS “RUTAS RECORRIDAS” POR LOS PROFESORES

La aplicación de la técnica de introspección nos permitió dar cuenta de la existencia de

ciertos conocimientos profesionales específicos de los profesores representados en sus mapas


314

de sus rutas-recorridas, las cuales nos permitieron inferir el esquema de selección de recursos

digitales de cada profesor. En general, los profesores señalaron que la aplicación de esta

técnica les permitió reflexionar sobre su práctica, particularmente, respecto a la importancia de

la selección de los recursos para la clase.

En las versiones de los mapas hechas por los profesores, encontramos los siguientes

aspectos comunes:

Todos los profesores consideraron el currículo –las orientaciones curriculares

proporcionadas por el MEN (1998, 2006, etc.) o el plan de área de su escuela—como un

elemento más o menos importante en su proceso de selección de recursos.

Todos los profesores recalcaron la importancia de llevar a cabo una buena selección

de recursos para usar en la clase, señalando que era su responsabilidad docente preparar

recursos de calidad para la clase.

Uno de los puntos de partida más recurrentes para los profesores fue el considerar

“qué es lo que estaban buscando” y qué recursos “tenían a mano”; y, a partir de esa

información, determinar cómo iba a ser su proceso de selección.

Al respecto, todos los profesores señalaron que era importante revisar materiales de

años pasados que consideraban exitosos, y adaptarlos según fuera necesario. En

particular, aludieron a la idea de “reciclar” recursos que consideraban les habían sido

útiles en el pasado o que les podrían seguir siendo útiles en el futuro.

Casi todos los profesores consideraron muy importante contar con recursos

complementarios (e.g. hojas de trabajo para sus estudiantes) para acompañar el uso

didáctico de los recursos digitales. Sólo Pedro, por la naturaleza de su proyecto de aula

(ver sección 17.2), no sintió la necesidad de utilizar esos recursos complementarios.

20.3. SOBRE LOS ESQUEMAS (Y CRITERIOS) DE SELECCIÓN DE RECURSOS

DIGITALES DE LOS PROFESORES, Y SUS CONOCIMIENTOS INVOLUCRADOS

Hemos mencionado que, a partir de nuestra aplicación de la técnica de introspección,

pudimos inferir los esquemas que orientaron la selección de recursos de estos profesores, en

particular las invariantes operatorias contenidas en ellos. Categorizamos estas invariantes

operatorias de acuerdo a los criterios de selección de recursos que habíamos identificado


315

previamente en la Primera Fase del estudio. En particular, nuestro intento por identificar y

categorizar los conocimientos profesionales de los profesores nos permitió reconocer la

variedad de conocimientos profesionales involucrados, conocimientos que constituían

conocimientos-en-acto (Vergnaud, 1998) ya que los profesores los consideraban como

conocimientos relevantes de acuerdo a las características de la situación en la que se

encontraban realizando dicha selección.

20.3.1. Criterios de selección de recursos

Al analizar el proceso de selección de cada uno de los profesores de la Segunda Fase,

pudimos categorizar a manera de criterios de selección, estos conocimientos-en-acto, los

cuales resumimos a continuación, en orden descendiente de cuánto los profesores concurrieron

en los criterios:

Criterio de contenido matemático (geométrico): El contenido del recurso debe

facilitar la exploración de ideas geométricas y/o promover actividades de construcción

matemática (geométrica) por parte de los alumnos.

Criterio de características didácticas del recurso: Se refiere a las características

didácticas que aporta el recurso, el cual debe incluir o facilitar actividades que aborden

la temática de la clase.

Criterio cognitivo: el recurso debe apoyar y facilitar el aprendizaje de los estudiantes

sobre el tema abordado en la clase. Además debe contar con un lenguaje que sea

apropiado para los niños y promover procesos como la conceptualización y la

visualización.

Criterio curricular: el contenido del recurso debe estar alineado con las

orientaciones curriculares del MEN o con el plan de área de matemáticas de la escuela.

Criterio afectivo: el uso recurso debe generar entusiasmo o motivación entre los

estudiantes.

Criterio ergonómico: Se refiere a las características técnicas y de procedimiento del

recurso. En este caso, los profesores buscaban recursos gratuitos, fáciles de instalar y de

usar en la clase, o fuera de ella.


316

Criterio de procedencia del recurso: este criterio puede considerarse un sub-

criterio del criterio ergonómico y se refiere a que el recurso debe provenir de una

fuente confiable, ya sea un repositorio oficial o uno que sea ampliamente usado y

bien considerado por los profesores.

Al igual que en la Primera Fase, consideramos que estas manifestaciones de

conocimientos profesionales similares en los procesos de selección de recursos digitales por

profesores, en situaciones diferentes, implican que existen aspectos generales que se repiten en

los procesos de selección de los profesores. A continuación realizamos una síntesis de los

conocimientos de los profesores de la Segunda Fase, que inferimos estuvieron involucrados en

sus procesos de selección de recursos.

20.3.2. Conocimientos profesionales y personales de los profesores que impactan

su selección de recursos digitales

En esta fase, obtuvimos datos que nos permitieron inferir algunos de los

“conocimientos profesionales especializados” de los profesores involucrados en sus procesos

de selección de recursos para la clase. Así, a partir del análisis de los datos en esta fase,

podemos resumir los conocimientos profesionales de los profesores a los que les hicimos

seguimiento, de acuerdo a los principales elementos que conforman el modelo de

Conocimiento Matemático para la Enseñanza (MKT) de Ball, Thames y Phelps (2008):

Respecto al Conocimiento del Contenido de la Materia (Subject Matter

Knowledge), este tipo de conocimiento se manifestó cuando los profesores tomaban en

cuenta criterios de contenido matemático (geométrico) en su proceso de selección de

recursos digitales –por ejemplo, cuando consideraban qué tipo de tareas geométricas

(contenidas en los recursos) eran adecuadas para sus estudiantes de acuerdo al grado

escolar en que desarrollaban su enseñanza.

Así pues, no nos sorprendió encontrar diferencias entre los profesores que

trabajaban en grados distintos, aunque abordaran el mismo tema de enseñanza,

como por ejemplo, Laura de primer grado, y Sonia de 5º, quienes trabajaron ambas

el tema de estimación y medición de longitudes:

En el caso de Laura (ver sección 16.5.3), en sus criterios matemáticos

(geométricos) se manifestaban algunos de sus conocimientos del contenido de


317

la geometría relacionados con lo que la profesora entendía por “magnitud” y

“cantidad”: como señalamos en esa sección 16.5.3, inferimos que para esta

profesora la noción de “magnitud” se refiere a las características de los objetos

que pueden ser medidas –por ejemplo, el largo de un salto—, mientras que la

“cantidad” se refiere a la medida. En sus clases de primer grado, Laura no

consideraba ideas sobre "cantidad de magnitud", pero sí expresaba algunas

cuestiones sobre las cualidades de los objetos que podemos medir. Estos

conocimientos de Laura se reflejaron cuando seleccionó recursos digitales para

su clase que abordaran situaciones de la vida cotidiana (como el deporte),

donde los niños realizaran actividades de estimación de medidas de longitud, de

comparación y de ordenamiento; y en todas esas tareas, inferimos que Laura

concebía el proceso de estimación como una actividad mental que se realiza “a

ojo”, es decir sin el uso de instrumentos, ni unidades de medida.

Mientras que, en el caso de Sonia (ver sección 19.4.2), profesora de 5º grado,

este tipo de conocimiento estaba asociado con cómo esta profesora concebía,

para sus clases, las características del sistema métrico decimal; estas

características se reflejaban en su insistencia en que sus estudiantes

comprendieran el sistema de equivalencias para medir la longitud (múltiplos y

submúltiplos del metro). Este conocimiento de Sonia se evidenció cuando

seleccionó recursos digitales cuyo contenido enfatizaba en el reconocimiento de

las características del sistema métrico.

Sin embargo, los profesores que más pusieron en juego sus conocimientos del

contenido de la geometría fueron Pedro y Miguel, ambos de 5º grado, ya que

manifestaron consideraciones epistemológicas sobre la naturaleza de la geometría,

que orientaron buena parte de su proceso de selección de recursos:

En el caso de Pedro, él concebía la geometría como algo que se aplica en

otros campos del conocimiento (como la ingeniería o la arquitectura) (ver

sección 17.4.3), e incluso, seleccionó un recurso digital (Sweet Home 3D) que

es usado por arquitectos y diseñadores en el desarrollo de su trabajo.

Mientras que en el caso de Miguel, su concepción de geometría partía de

considerar cómo las herramientas forman parte del quehacer de la geometría, lo


318

cual explica su selección de un recurso como GeoGebra donde se pueden

realizar distintos tipo de construcciones geométricas (ver sección 18.7.4).

Por otro lado, en las anticipaciones de los profesores y sus criterios de

características didácticas, se manifestaron algunos elementos de su Conocimiento

Pedagógico (o Didáctico) del Contenido (Pedagogical Content Knowledge):

Sus anticipaciones sobre cómo usar el recurso en la clase, son una

manifestación de los Conocimientos del Contenido y de su Enseñanza de los

profesores, ya que se refieren a cómo los profesores saben prever la disposición de

la clase y el tipo de trabajo que asignarían a sus estudiantes.

Sus criterios de características didácticas son expresiones de sus

Conocimientos Pedagógicos que les permitieron, a los profesores, determinar los

rasgos o particularidades del recurso y el uso didáctico que podría dársele. Por

ejemplo, en la sección 17.4.2 apuntábamos que Pedro señaló que el recurso digital

que usó (Sweet Home 3D) le permitía (gracias a ser multiplataforma y permitir el

trabajo independiente de los alumnos) promover el trabajo colaborativo de sus

estudiantes. Por su parte, Miguel sostenía que el recurso (GeoGebra) le ayudaba a

sus estudiantes a comprender mejor los procesos de construcción geométrica.

Por otro lado, los criterios curriculares y de contenido matemático de los

profesores son manifestaciones de sus Conocimientos del Contenido y del

Currículo.

Por ejemplo, para Laura (ver sección 16.5) ella sabía que los DBA (el

manual de Derechos Básicos de Aprendizaje –MEN, 2017) contenían los

lineamientos curriculares para la enseñanza del tema de “Estimación de

medidas de longitud” y por lo tanto partió de allí para su proceso de selección

(seleccionando recursos del repositorio oficial recomendado en los DBA); esto

también implicó tomar en cuenta criterios como el de procedencia (Laura dijo:

“el recurso debe provenir de una fuente oficial; si es así, el recurso es

adecuado para ser usado en clase”) y de características didácticas.


319

Por otro lado, Miguel (ver sección 18.5.2) sabía que GeoGebra podría

ayudar a sus estudiantes a lo que las orientaciones curriculares señalan como

“describir los efectos de las transformaciones sobre las figuras geométricas”

(MEN, 1998), y también sabía (conocimiento del contenido) que con

GeoGebra, los estudiantes pueden explorar cómo las propiedades de las figuras

se mantienen invariantes bajo transformaciones; estos conocimientos se

manifestaron en sus criterios de contenido matemático, curriculares y de

características didácticas por los que seleccionó GeoGebra para su taller.

Respecto al Conocimiento del Contenido y de los Estudiantes, identificamos

que este tipo de conocimiento se manifestó en los criterios cognitivos de los

profesores; sobre todo en términos de que los recursos seleccionados debían

apoyar y facilitar el aprendizaje de los estudiantes sobre la geometría.

En el caso de Laura (ver sección 16.5), ese apoyo se refería específicamente

al contenido de enseñanza; es decir, Laura buscaba que los recursos digitales

seleccionados le permitieran a sus estudiantes realizar actividades de “estimar,

comparar y ordenar” longitudes.

Otros profesores hicieron énfasis en procesos cognitivos propios del

pensamiento geométrico, por ejemplo, Pedro (ver sección 17.4.2) consideraba

cómo el recurso digital seleccionado les ayudaba a sus estudiantes con los

procesos de visualización, o con los procesos de conceptualización como en el

caso de Miguel (ver sección 18.5.2).

Otro aspecto en el que se manifestó el Conocimiento del Contenido y de los

Estudiantes, fue en la orquestación que realizaron los profesores de sus clases; ya

que mostraba cómo los profesores sabían organizar y exponer los temas en su

clase de acuerdo a las necesidades educativas de sus estudiantes.

Por ejemplo, Pedro (ver sección 17.3) orquestó sus clases a partir de sus

consideraciones sobre la importancia de que sus estudiantes fueran activos

durante su aprendizaje; al respecto, Pedro sabía qué tipos de actividades

podrían ser llamativas para sus estudiantes y cómo él podría ayudarles en caso

de que lo requirieran.


320

Por otro lado, en nuestro estudio también encontramos indicios del papel de aspectos

relacionados con las “orientaciones personales de los profesores” que Thomas y Palmer

(2014) mencionan en su modelo PTK:

Particularmente, en el caso de Pedro, pudimos dar cuenta de que las percepciones

“positivas” de Pedro respecto al uso de tecnologías digitales en la enseñanza (Thomas y

Palmer, 2014) redundan en sus niveles de confianza para la integración de tecnologías

digitales en su enseñanza. En ese caso, inferimos cómo este tipo de orientaciones

personales se hicieron presentes en buena parte de su proceso de selección de recursos:

Por ejemplo, cuando Pedro (ver sección 17.4.2) expresaba sus creencias sobre el valor

de las tecnologías: para promover el trabajo colaborativo (criterio de características

didácticas del recurso), como algo motivante (criterio afectivo) y que le permitiría

innovar en su práctica docente (posibilidad de inferencia), etc.

Relacionado con estos conocimientos profesionales, en particular con los

conocimientos de la materia (en este caso de la geometría) están los conocimientos

involucrados en los paradigmas geométricos definidos por Kuzniak (2011) que utilizamos en

nuestro análisis. A continuación resumimos algunos resultados de ese análisis.

20.3.3. Paradigmas geométricos que orientaron el proceso de selección de recursos

de los recursos

A partir del uso que hicimos de la idea de “paradigma geométrico”, propuesta por

Kuzniak (2011), pudimos profundizar en las consideraciones epistemológicas de los

profesores, sobre la naturaleza de la geometría , relacionadas con sus invariantes operatorias.

Debido a que los profesores analizados eran de nivel primaria, no es de sorprenderse

que el referente geométrico que orientó las acciones de los profesores, tanto en su selección de

recursos, como en la orquestación de sus clases, fue el de la geometría elemental, que

Kuzniak (2011) considera propia de la educación primaria.

Así pues, notamos cómo los profesores se centraban en actividades de la geometría

elemental, tales como, arrastrar, superponer, cortar, doblar y pegar. Las anteriores actividades

se encontraban muy relacionadas con el desarrollo de habilidades motrices que permiten a los

estudiantes tener una mayor precisión y coordinación en los movimientos de sus manos, y así,

poder manejar las herramientas necesarias para hacer geometría. También, encontramos que


321

los profesores manifestaron sus interés por trabajar con gráficos, incorporar modelos próximos

de la realidad de sus estudiantes; promover aspectos la intuición espacial, y promover un uso

amplio del lenguaje natural para explicar las ideas geométricas.

Aunque las actividades de todos estos profesores de primaria correspondían

principalmente al paradigma de la geometría elemental, el profesor Miguel incorporaba

también algunos elementos de la geometría axiomática natural (Kuzniak, 2011). En el caso

de este profesor se evidenció su interés por incluir algunos aspectos del lenguaje simbólico

propio de la geometría; además hacía énfasis por describir “paso a paso” las construcciones y

por promover que sus estudiantes explicaran sus razonamientos haciendo uso de propiedades

geométricas.

Las consideraciones anteriores corroboran los planteamientos de Kuzniak (2011) quien

plantea que la geometría elemental no rompe con la geometría axiomática natural, sino que

ambas se retroalimentan durante la enseñanza. Así pues, este autor considera que las

aproximaciones empíricas e hipotético-deductiva de la geometría, no se excluyen, ni se

restringen la una ni a la otra, tal como pudimos observar en el caso de Miguel.

En la siguiente parte del documento, presentamos las Conclusiones Generales del

trabajo, en la cual resumimos nuestras conclusiones de la Primera y la Segunda parte, además

de algunos aspectos adicionales.


322

323

PARTE VI: CONCLUSIONES GENERALES

324

21. CONCLUSIONES

A continuación presentamos las conclusiones generales sobre nuestro estudio de la

selección de recursos. Iniciamos presentando un resumen de los resultados que obtuvimos en

las dos fases del estudio.

21.1. RESUMEN DE LOS RESULTADOS DEL ESTUDIO

Presentamos el resumen (y síntesis) de los resultados de todo el estudio respecto a tres

puntos fundamentales: (i) los recursos seleccionados por los profesores, (ii) los criterios de

selección que los profesores manifestaron (sus invariantes operatorias), y (iii) los

conocimientos profesionales relacionados con el proceso de selección.

Cabe notar que para poder entender los procesos de selección de recursos por los

profesores participantes, e inferir los conocimientos (esquemas) involucrados, y sus criterios

de selección, nos fue muy útil promover la reflexión de los profesores, en particular, mediante

la aplicación de la técnica de introspección.

21.1.1. Acerca de los recursos digitales seleccionados por los profesores

Durante nuestro período de seguimiento, los profesores seleccionaron distintos tipos de

recursos digitales; en la Tabla 21.1 presentamos un resumen de dichos recursos y de las

principales características de los mismos que los profesores tuvieron en cuenta.

Tabla 21.1. Resumen de los recursos seleccionados por los profesores participantes en el estudio

Profesor Recursos

seleccionados

Características del recurso tomadas en cuenta por los profesores

Juan

1º

Juego

interactivo

Recurso en línea

Disponible en un repositorio de recursos especializado en la

educación primaria.

Recurso para la enseñanza de un tema específico

Provee alta retroalimentación a las acciones de los estudiantes

Permite el trabajo independiente del estudiante

325

Laura

1º

Video

Interactivo

Recursos disponibles en un repositorio educativo oficial.

Recursos para la enseñanza de un tema específico.

Se pueden descargar para trabajo off line.

Alta alineación del contenido del recurso con las orientaciones

curriculares.

Alta complementariedad entre el contenido del video y el del

interactivo.

Recursos acompañados por una “guía del docente”

Pedro

5º

Sweet Home

3D

Software libre de uso no-escolar

Multiplataforma; se puede trabajar off line

Útil para el diseño de planos arquitectónicos

Cuenta con herramientas de construcción (de planos) y medición.

Permite visualización de planos en 2D y 3D

Permite el trabajo independiente del estudiante.

El recurso se puede usar para la enseñanza de diversos temas y en

distintas actividades

Miguel

5º

GeoGebra Geometría dinámica

Software libre de uso escolar

Cuenta con herramientas especializadas de geometría (y medición)

Permite la construcción de figuras geométricas

Posibilita la exploración de propiedades por medio del arrastre

Incluye lenguaje simbólico de la geometría

El recurso se puede usar para la enseñanza de diversos temas y en

distintas actividades

Sonia

5º

Video

Applet de

GeoGebra

Recursos para la enseñanza de temas específicos

Uso en línea

Disponibles en repositorios ampliamente usados por profesores

Permiten una presentación ostensiva de las ideas geométricas

En el caso del applet, permite cierto nivel de interacción.

En resumen, tenemos dos grandes categorías de recursos digitales seleccionados por

los profesores a los que les hicimos seguimiento:

Recursos de “uso expedito” (Palmas, 2018) o “local”: como los videos, los

interactivos y el applet, los cuales corresponden a recursos cuyo contenido aborda una

temática específica de clase, hacen énfasis en una “presentación ostensiva” (Martínez y

Porras, 1997) de las ideas geométricas.

Recursos universales (GeoGebra) o de uso “global” (Sweet Home 3D o GeoGebra):

recursos que se pueden usar en proyectos o más de una clase, para la enseñanza de

diversas nociones geométricas, con énfasis en actividades de construcción geométrica.

326

21.1.2. Criterios de los profesores para su selección de recursos

Al analizar el proceso de selección de cada uno de los profesores durante la Primera y

la Segunda Fase del estudio, pudimos definir, a manera de criterios de selección, los

conocimientos-en-acto puestos en juego por dichos profesores.

A continuación, en la Tabla 21.3, resumimos estos criterios de selección, en orden

(descendiente) de hasta qué grado53 los profesores concurrieron en los criterios:

Tabla 21.2. Resumen de los criterios de selección de recursos tenidos en cuenta por los profesores

observados

Tipo de criterio de

selección

Definición general

Curricular El contenido del recurso debe estar alineado con las orientaciones curriculares

del MEN o con el plan de área de matemáticas de la escuela.

Contenido

matemático

(contenido

geométrico)

Alude al contenido matemático, en este caso geométrico, que facilita el

recurso durante las actividades que los estudiantes desarrollan con éste.

Características

didácticas

Se refiere a las características didácticas que aporta el recurso, el cual debe

incluir o facilitar actividades que aborden la temática de la clase.

Cognitivo Se refiere a cómo el recurso puede apoyar los aprendizajes de los alumnos.

Ergonómico Se refiere a las características técnicas y de procedimiento del recurso.

También incluye características de la interfaz, la disposición y funciones de las

herramientas.

Procedencia Este criterio puede considerarse un sub-criterio del criterio ergonómico y se

refiere a que el recurso debe provenir de una fuente confiable, ya sea un

repositorio oficial o uno que sea ampliamente usado y bien considerado por

los profesores.

Afectivo El uso recurso debe generar entusiasmo o motivación para el aprendizaje de

los estudiantes.

Ético El recurso no debe incitar al comportamiento agresivo o incluir cuestiones

como la discriminación, etc. Este criterio no se refiere a un contenido temático

particular, sino que se relaciona con aspectos de ética y de valores; es decir,

con la función social del recurso y de la práctica docente.

Adicionalmente queremos señalar que, relacionado con el primer criterio, el curricular,

en nuestro análisis también identificamos algunas maneras en que los profesores tomaron en

cuenta los libros de texto y las orientaciones curriculares como referentes o “puntos de

partida” para realizar su selección.

53 Para medir el orden de los criterios de selección de los profesores, contabilizamos cuántas veces los

profesores mencionaron algunas de las “palabras-código” que definimos (ver Anexo G), asociadas a

los criterios.

327

21.1.3. Sobre la orquestación de la clase

Nuestros resultados muestran que los profesores seleccionan sus recursos digitales

pensando en (i.e., previendo, anticipando) su futura orquestación de la clase. Así pues,

llegamos a la conclusión de que no es posible estudiar los procesos de selección sin tener en

cuenta la orquestación que el profesor hace de la clase (usando los recursos que seleccionó).

En nuestro análisis identificamos que existen conocimientos de los profesores que se

constituyen en lo que Vergnaud (1998, 2003) reconoce como “anticipaciones”, es decir,

conocimientos que le permiten al sujeto reconocer las características de una situación

particular, establecer metas de acción e inferencias (i.e. adaptaciones de su acciones) respecto

a una variedad de situaciones más o menos parecidas.

Al respecto, encontramos que las principales anticipaciones de los profesores, se

evidencian en su configuración didáctica de la clase (Trouche, 2002) y tienen que ver

principalmente con:

Los propósitos educativos que el profesor prevé para la clase y sus consideraciones

sobre cómo el uso didáctico del recurso digital, que está seleccionando, puede aportar

para alcanzar dichos propósitos.

Propuestas de actividades apoyadas en el recurso digital, donde los profesores prevén

cómo el recurso digital puede proveer algún tipo de información o retroalimentación que

pueda llegar a apoyar el aprendizaje de sus estudiantes

Las maneras como el profesor decide organizar y disponer la clase, de manera que

prevé de que forma puede usar el recurso digital para promover interacciones diversas de

trabajo en la clase, como el trabajo individual, en parejas o colaborativo.

La gestión de los artefactos que el profesor integra a la clase. En los casos de Juan,

Pedro y Miguel, ellos primero determinaron cómo querían usar el recurso en la clase y

después buscaron y seleccionaron un recurso que les permitiera desarrollar lo que tenían

previsto. Por su parte, Laura y Sonia primero consideraron las orientaciones curriculares y los

libros de texto, respectivamente, y después seleccionaron los recursos para sus clases.

Respecto a la organización de la clase, todos los profesores señalaron que, de manera

general, una organización colaborativa, complementada con trabajo individual, es la más

deseable. También hablaron de que debía haber variedad en la organización del trabajo y en

328

las actividades. Por ejemplo, en los casos de Laura, Pedro y Miguel, los profesores

propusieron una organización de la clase con los estudiantes trabajando colaborativamente.

Sin embargo, en el caso de Juan predominó una organización de clase basada en el trabajo

individual de los estudiantes. Mientras que, en el caso de Sonia, predominó una organización

expositiva con discusión colectiva en la clase (e.g., cuando todos los estudiantes observaban el

video y hablaban sobre ello).

Por otro lado, fue interesante observar cómo, durante la orquestación que los

profesores hacían de sus clases, convergían muchas de sus interacciones con recursos de

diversa naturaleza (e.g. libros de texto, applets, pizarrón, etc.).

En la Tabla 21.3 presentamos un resumen de los principales usos de los recursos y

cómo los profesores los orquestaron en clase.

Tabla 21.3. Resumen de aspectos del uso y orquestación de los recursos por los profesores

Usos del

recurso en clase

Gestión didáctica

del profesor

Ejemplos

Organizar y

disponer la clase

Introduce o presenta

ideas matemáticas.

Sonia: “En el video nos van a explicar cosas de la medición

de longitudes; ese es el tema que vamos a ver las siguientes

clases: cómo medir, ya sea usando una regla o un metro, la

longitud. Por ejemplo, la distancia de aquí a la puerta”.

Asigna reglas de

trabajo en la clase y

modos de

participación de los

estudiantes.

Juan: “Primero, cada uno va a trabajar solo con su

computador. Yo los voy ayudando… Al final de clase, vamos a

reunirnos todos y revisar qué fue lo que hicimos…: ustedes

van a salir al frente; […] yo escojo quiénes salen acá

adelante.”

Dispone los tiempos y

espacios en los que se

va a desarrollar la

clase

Pedro: “Hoy trabajamos aquí en la sala de sistemas, estas dos

horas, para que terminen de pulir sus planos y hacer las

presentaciones […] porque aquí tienen los computadores […]

La próxima clase ya nos pasamos al patio para hacer la

socialización y allá toca llevar los portátiles cargados para

que puedan mostrarle el trabajo a la gente.”

329

Apoyar el

aprendizaje de los

estudiantes

Ejemplifica y resalta

ideas geométricas

importantes.

Juan: “Esto que vemos [señalando la pantalla] son ejemplos

de líneas cerradas. Recordemos qué es una línea cerrada…”

Promueve la

participación de los

estudiantes

Laura: “Cada parejita va a ir trabajando con el interactivo.

Primero uno y luego el otro le ayuda; se van ayudando el uno

al otro y se van turnando el computador. Todos tienen que

trabajar”.

Corrige

procedimientos de los

estudiantes.

Miguel: [A una pareja de estudiantes:] “Les salió mal la

traslación porque ustedes deben de llevar un orden. Vea:

traslación, a este triángulo, usando este vector [mostrando y

explicando la traslación correcta]. El orden siempre es el

mismo porque, si no, GeoGebra traslada es el vector y

necesitamos es que traslade el triángulo. A ver, háganlo

ustedes, yo las miro.”

Sugiere a sus

estudiantes maneras

de usar el recurso

Pedro: “Como no podemos hacer el plano de la casa en su

tamaño real, porque no nos cabría aquí en el salón, para eso

usamos la escala. En este caso, Sweet Home nos dice: haga

una escala de reducción [señala una herramienta del

software], que es hacer el mismo plano de la casa pero más

pequeñito, pero con la misma forma.”

Institucionalizar

conocimientos

matemáticos

Valida conocimientos

de los estudiantes.

Sonia: [A un estudiante que manipula el applet delante de sus

compañeros:] “Mueva la escala de la regla a la unidad que

vaya con la medida… siga, siga… listo, allí está. Decímetros,

esa es la unidad que buscábamos, muy bien.”

Clausura, cierra la

clase.

Juan: [A un niño frente a todo el grupo:] “Pase a hacer el

juego y entre todos vamos a ver si está bien o tenés que

corregir algo. Con eso ya terminamos la clase por hoy.”

21.1.4. Conocimientos profesionales de los profesores relacionados con su

selección de recursos

Pudimos identificar que los resultados que obtuvimos en nuestro estudio se

relacionaban con algunos aspectos de los modelos de conocimiento profesional de los

profesores que habíamos presentado en el Capítulo 4.1.

En particular, como se describe en la siguiente Tabla 21.4, relacionamos los criterios

de selección de recursos con algunos aspectos del modelo del Conocimiento Matemático

para la Enseñanza (MKT) de Ball, Thames y Phelps (2008) (ver sección 4.1.1) y del modelo

de Conocimiento Pedagógico y Tecnológico del Contenido (TPACK) de Mishra y Koehler

(2006) (ver sección 4.1.2).

330

Tabla 21.4. Conocimientos profesionales contenidos en cada criterio de selección

Tipo de

criterio de

selección

Conocimientos

profesionales

(MKT)

Conocimientos

profesionales

(TPACK)

Explicación de cómo se manifiestan los

conocimientos profesionales en los

criterios de selección

Curricular Conocimiento

del contenido y

del Currículo

Conocimiento

del Contenido y

de su

Enseñanza

Conocimiento

Pedagógico

del Contenido

Estos conocimientos se manifiestan cuando

los profesores determinan si el contenido

del recurso que están seleccionando está

alineado con las orientaciones curriculares

del MEN o con el plan de área de

matemáticas de la escuela.

Los profesores saben priorizar qué aspectos

de las orientaciones curriculares desean

enfatizar en su clase con el uso de recursos

digitales, lo que manifiesta sus

conocimientos sobre los vínculos entre el

currículo y la pedagogía.

Contenido

matemático

(contenido

geométrico)

Conocimiento

del Contenido

de la Materia

Conocimiento

del Contenido y

de su

Enseñanza

Conocimiento

sobre el

Contenido

Estos conocimientos profesionales se

manifiestan en las consideraciones de los

profesores respecto al contenido geométrico

facilitado por el recurso durante las


desarrollarán con éste.

También puede incluir consideraciones

epistemológicas de los profesores: i.e., lo

que saben sobre la geometría y su

enseñanza en la educación primaria. Esas

consideraciones inciden en su selección de

determinado recurso.

Caracte-

rísticas

didácticas

Conocimiento

del Contenido

de la Materia

Conocimiento

del Contenido y

de su

Enseñanza

Conocimiento

del Contenido y

de los

Estudiantes

Conocimiento

Pedagógico

del Contenido

Conocimiento

Tecnológico

Pedagógico

Estos conocimientos se manifiestan en las

consideraciones e intencionalidades

pedagógicas (evidenciadas en la planeación

de la clase) de los profesores respecto a

cómo usar el recurso de la manera más

adecuada en su clase. Ello implica tomar en

cuenta las características didácticas que

aporta el recurso; se manifiestan así

conocimientos de los profesores sobre cómo

entienden que las tecnologías o un recurso

digitales pueden promover el aprendizaje;

sobre lo que saben que los niños pueden

hacer con esas tecnologías; y sobre otros

aspectos tecnológicos.

331

Ergonómico Conocimiento

del Contenido y

de su

Enseñanza

Conocimiento

Tecnológico

Pedagógico

Conocimiento

Tecnológico

Conocimiento

Tecnológico

Pedagógico


consideraciones de los profesores sobre las

características técnicas y de procedimiento

del recurso. Implica que los profesores

tengan en cuenta aspectos como las

características de la interfaz, la disposición

y funciones de las herramientas del recurso.

Incluye cómo conciben los profesores que

el recurso pueda ser accesible para sus

estudiantes y facilite su uso y aprendizaje.

Procedencia Conocimiento

del Contenido y

del Currículo

Conocimiento

Tecnológico

Pedagógico

Este criterio, que puede considerarse un

sub-criterio del criterio ergonómico,

manifiesta la conciencia de los profesores

de que no cualquier recurso puede ser

adecuado; y su capacidad de discernir y sus

conocimientos sobre cuáles fuentes pueden

ser confiable (e.g., repositorios oficiales;

blogs, redes sociales o sitios ampliamente

usados y bien considerados por otros

profesores, etc.). Implica tener la pericia y

conocimientos suficientes para realizar

búsquedas y selecciones adecuadas para sus

propósitos educativos.

Afectivo Conocimiento

del Contenido y

de los

Estudiantes

Conocimiento

Tecnológico

Pedagógico


consideraciones de los profesores sobre qué

tanto, y de qué maneras, el uso de un

recurso puede llegar a generar entusiasmo o

motivación para el aprendizaje de los

estudiantes.

Ético Conocimiento

del Contenido y

de los

Estudiantes

Conocimiento

del Contenido y

del Currículo

Conocimiento

Tecnológico

Pedagógico

Este criterio no manifiesta conocimientos

de los profesores sobre un tema de

enseñanza particular, sino que se relaciona

con aspectos de ética y de valores; es decir,

con la función social del recurso y de la

práctica docente: manifiesta sus

conocimientos sobre qué tan socialmente

apropiado puede ser el contenido de un

recurso digital. Incluye las consideraciones

de los profesores sobre aspectos formativos

éticos (incluidos en el currículo) y se

cristaliza en los requerimientos éticos del

profesor respecto a los recursos (e.g. que no

debe incitar al comportamiento agresivo o

incluir cuestiones como la discriminación).

332

Otro modelo de conocimiento profesional de los profesores, con el que relacionamos

los criterios de selección fue el modelo del Conocimiento Pedagógico y Tecnológico (PTK)

propuesto por Thomas y Palmer (2014) (ver sección 4.1.3). De este modelo nos interesó lo que

tiene que ver con el papel que juegan sus orientaciones personales (i.e., sus creencias y

percepciones que hacen parte de su conocimiento profesional) (Thomas y Palmer, 2014) en la

integración de tecnologías digitales en la enseñanza. Respecto a esas orientaciones personales,

en nuestro estudio encontramos que:

(i) Para Juan, Pedro y Miguel, sus creencias sobre el papel de las tecnologías en la

enseñanza de las matemáticas se manifiestan cuando describen sus criterios

ergonómicos y de características didácticas. Por ejemplo, cuando Pedro señaló que

un “buen uso del Sweet [Home], es muy bueno para que los niños aprendan”. Por

otro lado, en el estudio de caso colectivo (realizado durante la Primera Fase – ver

sección 13.2) también se manifestaron otras creencias: Por ejemplo, cuando una

profesora expresó que al usar estas tecnologías en la clase, el profesor debe estar

preparado para afrontar muchos imprevistos; esto lo relacionamos con aspectos de la

gestión didáctica (didactical performance) del profesor, que señalan Drijvers y otros

(2013).

(ii) Las percepciones de los profesores sobre la naturaleza del conocimiento

matemático, se manifestaron principalmente en los criterios de contenido

matemático (geométrico) que los profesores tenían en cuenta en su proceso de

selección, e influían en otros criterios. En menor medida, también notamos que las

percepciones de los profesores sobre la naturaleza de la geometría (sus

consideraciones epistemológicas), se relacionaban con otros criterios de selección de

recursos –como los cognitivos y de características didácticas del recurso.

(iii) En cuanto a los aspectos afectivos que tiene cada profesor al usar tecnologías

digitales, éstos los encontramos cuando Laura y Pedro señalaron que el recurso

seleccionado debe ser “motivante” para los estudiantes. En particular pudimos

vislumbrar el gusto de los profesores, y cómo percibían ellos el gusto también de sus

estudiantes, por utilizar tecnologías digitales en sus clases. Por otro lado, también

inferimos que los profesores tenían confianza suficiente para integrar las tecnologías

digitales a su práctica docente.

333

21.1.5. Percepciones de los profesores participantes en el estudio sobre las

actividades de reflexión

Como mencionamos en el diseño metodológico general de la investigación (ver

Capítulo 8), nuestro estudio no buscaba incidir directamente en la práctica de los profesores a

quienes les hicimos seguimiento durante este estudio. Sin embargo, nuestra intervención sí

afectó a los profesores. En particular, durante las entrevistas (en las discusiones en el taller

colectivo; y a raíz de la aplicación de la técnica de introspección) los maestros participantes

indicaron que las actividades de reflexión incidieron en su práctica. Al respecto, queremos

señalar algunas de las percepciones y opiniones de los profesores participantes:

Durante la Primera Fase en el estudio de caso colectivo (ver sección 13.3), observamos

que a partir de las reflexiones grupales de los profesores durante el taller, ellos se

concientizaron más sobre la importancia de contar con criterios claros que orientaran sus

procesos de selección. Aparentemente, estos profesores lograron percatarse de que la selección

de un recurso requiere poner en práctica su conocimiento profesional e implica decisiones que

impactarán fundamentalmente su trabajo.

Durante la Segunda Fase, y aplicando la técnica de introspección, en una de las

entrevistas donde Miguel explicaba su ruta-recorrida, éste señaló que normalmente los

profesores no se detienen a reflexionar sobre los recursos que utilizan, y expresó que eso

puede llegar a limitar su trabajo. Miguel enfatizó en que la reflexión que estaba llevando a

cabo le ayudó a “actualizarse”.

Señalamientos similares a los de Miguel expresó Pedro cuando, en una de sus últimas

entrevistas señaló cómo el seguimiento que habíamos hecho de su trabajo le había “enseñado

a que cada vez se puede ser mejor [maestro]”.

Por su parte, Laura y Sonia expresaron que su participación en nuestra investigación

promovió que usaran recursos digitales en su enseñanza de la geometría. Sonia señaló que su

experiencia en el estudio la “motivó” a incrementar su uso de recursos digitales en su

enseñanza. Por su lado, Laura señaló que aprovechó su participación en este estudio para

enseñar geometría, ya que era algo que había dejado de lado en su enseñanza.

334

21.2. RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN

A partir de los resultados arriba señalados de este estudio, podemos responder

brevemente las preguntas de investigación que habíamos planteado en la sección 1.2:

¿Qué criterios consideran los profesores durante su proceso de selección de recursos

(digitales) para la enseñanza de la geometría?

En nuestro estudio identificamos que los profesores participantes tuvieron en

cuenta distintos tipos de criterios de selección de recursos digitales: Curricular,

Contenido matemático (contenido geométrico), Características didácticas,

Ergonómico y Procedencia, Afectivo y Ético (ver Tabla 21.2.). Estos criterios se

manifestaban de manera diferente, dependiendo de la situación en la cada profesor

se encontraba: el grado escolar y tema de enseñanza, sus propósitos educativos y

los recursos que tenía disponibles para realizar su selección. Utilizamos la idea de

esquema, propuesta por Vergnaud (1998), para analizar dichos criterios, a manera

de invariantes operatorias, y así inferir de qué maneras estos criterios orientaron

los procesos de selección de los profesores.

¿Qué conocimientos profesionales (e.g. didácticos, de contenido, del contexto en que

se dan las clases, etc.) se ponen en juego durante el proceso de selección de recursos? En

particular, ¿cuál es el papel de sus conocimientos geométricos?

En la Tabla 21.4 de la sección 21.1.4 describimos los conocimientos

profesionales específicos que se manifestaron en los criterios de selección de

recursos (digitales) de los profesores. Estos conocimientos de los profesores se

relacionaron con el contenido geométrico (ver abajo), su enseñanza, el currículo,

las necesidades educativas de sus estudiantes y el uso que los profesores hacen de

los recursos digitales en sus clases. Además de lo anterior, identificamos que estos

criterios también manifestaban las creencias de los profesores sobre el papel de las

tecnologías en la enseñanza de la geometría, sus percepciones sobre la naturaleza

de la geometría y aspectos afectivos como su nivel de confianza para usar recursos

digitales en sus clases

En particular, identificamos que los conocimientos geométricos y

consideraciones de los profesores sobre la naturaleza de la geometría, y su

335

enseñanza, se manifestaron en sus criterios de contenido matemático

(geométrico), curricular y de características didácticas. Para realizar este

análisis, nos fue útil la idea de paradigma geométrico que propuesta por Kuzniak

(2011) para describir el referente geométrico que orientó el proceso de selección

de recursos de los profesores participantes

¿Qué acciones están involucradas, y qué ruta o camino siguen los profesores, en su

proceso de selección de recursos?

La técnica de introspección (ver sección 9.1) nos permitió analizar las rutas-

recorridas por los profesores mientras seleccionaban recursos digitales para sus

clases. Estos mapas de rutas-recorridas, hechos por los profesores, y acompañados

por sus explicaciones verbales, evidenciaron las acciones de los profesores durante

sus procesos de selección; además mostraron que dichas acciones son

intencionales, secuenciales y dependen de la situación en la que cada profesor se

encontraba. Lo anterior, nos ayudó a inferir los conocimientos (criterios de

selección) que los profesores ponían en juego durante estos procesos de selección.

¿Qué de lo anterior es específico para el nivel de primaria y para enseñanza de la

geometría? Y ¿qué no?

De todo lo anterior, encontramos que en los criterios de tipo curricular,

características didácticas y contenido matemático (geométrico), los profesores

manifestaron conocimientos profesionales de acuerdo con el tema geométrico de

enseñanza (de primaria) y el grado de escolaridad en el que cada uno laboraba.

En cuanto a los conocimientos exhibidos por los profesores para la enseñanza

de la geometría identificamos que éstos se relacionaban casi exclusivamente

(excepto en el caso de Miguel –ver sección 18.6) con el paradigma de la

geometría elemental (Kuzniak, 2011); esto no es sorprendente ya que su

enseñanza es de nivel de primaria. Así pues, los profesores seleccionaron

recursos digitales (y no-digitales) que les permitían realizar actividades de la

geometría elemental, tales como: trazar, arrastrar y superponer, trabajar con

gráficos, incorporar modelos próximos de la realidad de sus estudiantes; promover

aspectos la intuición espacial, y promover un uso amplio del lenguaje natural para

explicar las ideas geométricas.

336

Por otro lado, encontramos que los criterios de selección de recursos que los

profesores tuvieron en cuenta para su enseñanza de la geometría en primaria –en

particular, los de los tipos ergonómico, de procedencia, afectivo y ético; pero hasta

cierto punto o con las necesarias adaptaciones, también los de características

didácticas, de contenido matemático y curriculares—, se podrían encontrar en

casi cualquier nivel educativo, así como para la enseñanza de otros temas (de

matemáticas, pero posiblemente incluso para temas de otras disciplinas).

21.3. APORTACIONES DEL TRABAJO

Consideramos que este estudio aportó varios elementos a la disciplina de Educación

Matemática, como los que presentamos a continuación.

Un primer aporte del trabajo tiene que ver con el estudio, en términos de los esquemas

que propone Vergnaud (1998), de los conocimientos de los profesores puestos en juego

durante su el proceso de selección de recursos digitales para sus clases de geometría en

educación primaria. En este sentido, un aporte particular de nuestro trabajo, fue inferir las

invariantes operatorias que orientaban las acciones de los profesores durante sus procesos

de selección.

Otro aspecto específico de nuestro análisis, que queremos resaltar como un aporte de

este estudio a la Educación Matemática, es el uso que hicimos de la idea de paradigma

geométrico (Kuzniak, 2011) para profundizar en el estudio de las invariantes operatorias de

los profesores. Ese uso de las ideas de Kuzniak (2011) y de sus colegas (e.g. Kuzniak &

Richard, 2014), nos permitió analizar los conocimientos matemáticos (geométricos) de los

profesores contenidos en los esquemas que los profesores pusieron en juego durante su

proceso de selección de recursos para su enseñanza de la geometría.

Por otro lado, a reserva de que las situaciones en las que se encontraban los profesores,

durante su proceso de selección, no eran equiparables o comparables entre sí, pudimos

contrastarlas e identificar criterios que se manifestaron de manera similar durante dichos

procesos de selección. Así, logramos identificar aspectos de dichos criterios en los que los

profesores convergían (ver Tabla 21.2) para generar definiciones generales de esos criterios.

Así, el poder inferir y establecer los criterios involucrados en los procesos de selección de

337

recursos digitales por los profesores, es un aporte principal de nuestro estudio. Más aún, ya

que dichos criterios podrían extrapolarse a otros contextos, por ejemplo en otros niveles de

escolaridad o en la enseñanza de otros tópicos de las matemáticas escolares.

Adicionalmente, consideramos que nuestros resultados, en particular los criterios de

selección que definimos, pueden ser tomados en cuenta por quienes diseñan recursos digitales

para la enseñanza o para los interesados en programas de formación de profesores, ya sea para

la enseñanza de la geometría en educación primaria, o para la integración, a nivel general, de

tecnologías digitales en la enseñanza.

Otro aporte del trabajo tiene que ver con aspectos metodológicos. El desarrollo y uso

de una técnica de introspección (ver sección 9.3) nos permitió obtener datos suficientes para

inferir el esquema que los profesores pusieron en juego durante su proceso de selección de

recursos digitales. Consideramos que esta técnica introspectiva también se puede usar para

estudiar otros aspectos del trabajo documental de los profesores (e.g. su orquestación de la

clase), o incluso, podría usarse como parte de una estrategia formativa en el desarrollo

profesional de los docentes.

21.4. LIMITACIONES DEL ESTUDIO Y POSIBLES LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN

FUTURAS

21.4.1. Sobre los profesores participantes

Como mencionamos en las descripciones metodológicas de la Primera y Segunda Fase

de nuestra investigación (ver secciones 10.2 y 15.4, respectivamente), analizamos el trabajo de

una población muy específica de profesores: profesores colombianos; de educación primaria;

que laboraban en escuelas públicas y urbanas del municipio de Yumbo (Valle del Cauca).

Pero lo que es mucho más específico, y poco común en profesores de primaria de

muchos países y regiones de América Latina, es que estos profesores tenían bastante

capacitación y experiencia en el uso e integración de recursos digitales a su práctica: todos

nuestros participantes contaban con cursos de formación docente para el uso de tecnologías

digitales en la enseñanza y varios de ellos contaban con formación de post-grado (finalizada o

en curso); todos habían usado previamente recursos digitales en sus clases; y contaban con

cierto acceso a tecnologías digitales en sus escuelas. Además, estaban interesados en la

338

enseñanza de la geometría; y en su desarrollo profesional. Al respecto, debe de mencionarse

que los cinco profesores participantes (sin incluir a los maestros que participaron en el estudio

de caso colectivo descrito en el capítulo 13) habían ingresado al servicio docente mediante

concurso público de méritos (ver sección 8.3.2); por tanto, eran profesores de planta en sus

escuelas (“nombrados en propiedad”) y estaban sujetos a evaluaciones de desempeño docente,

las cuales promueven que los profesores usen tecnologías digitales en distintas actividades

escolares. Aunque esta última particularidad de la evaluación no es exclusiva de los profesores

participantes en este estudio, sí puede explicar buena parte del interés de los profesores por

integrar tecnologías digitales a sus clases; por mantener un interés en su proceso de desarrollo

profesional; y, por lo tanto, por participar voluntariamente en nuestro estudio.

Así pues, analizamos el proceso de selección de recursos digitales de una población

algo inusual de profesores, con un desarrollo profesional bastante avanzado y experiencia

previa, respecto al uso de tecnologías digitales para la enseñanza, y que trabajaban en

condiciones bastante favorecidas. Ello constituye una limitación en nuestro estudio porque no

nos permitiría generalizar nuestros resultados a una población mayoritaria. .

Por ello, sería interesante e importante, como línea de investigación futura, estudiar los

procesos y criterios de selección de recursos digitales, con otros grupos de profesores de

matemáticas (de primaria o secundaria), y así entender y poder generalizar más, cómo pueden

esos procesos y criterios.

21.4.2. Respecto al tema matemático y nivel de escolaridad estudiado

Al respecto de lo último mencionado, otra limitación de nuestra investigación fue que

en ella nos restringimos a la enseñanza de la geometría en educación primaria (decisión que

tomamos porque había necesidad de delimitar nuestra investigación). Por ello, sería

interesante, como nuevas líneas de investigación considerar los procesos de selección de

recursos digitales para la enseñanza de otros tópicos de las matemáticas escolares (ya sea en

primaria o en otros niveles escolares); o para la enseñanza misma de la geometría, pero en

otros niveles de escolaridad como la secundaria.

También podría ser interesante estudiar la selección, por parte de varios profesores de

un mismo grado de primaria o secundaria, de recursos digitales para un tema más específico

de las matemáticas (e.g. medición de ángulos; o suma de fracciones; etc.).

339

21.4.3. Sobre posibles aplicaciones de la técnica de introspección

Para todos los posibles estudios mencionados, también sería interesante considerar la

aplicación de la técnica de introspección (descrita en el Capítulo 9) para el análisis de cómo se

ponen en juego los conocimientos de los profesores en sus procesos de selección de recursos

(digitales).

Consideramos que la técnica de introspección, en particular la realización de mapas de

rutas-recorridas por parte de los profesores, también puede ser útil en otras investigaciones

interesadas en estudiar el trabajo documental de los profesores (e.g., como su orquestación de

la clase). Por ejemplo, podría usarse en el seguimiento a la evolución de los esquemas de

selección de recursos de un profesor particular (i.e., para llevar a cabo un análisis de la

“historia” de sus esquemas de selección), a través de la comparación de sus rutas-recorridas

antiguas vs. su ruta-recorrida más reciente.

Esta técnica de introspección también podría ser usada para indagar otros aspectos más

amplios del trabajo documental del profesor: por ejemplo, la integración de los recursos

digitales dentro del sistema de recursos del profesor. Otros posibles usos de dicha técnica

podrían estar relacionados con el estudio de los conocimientos profesionales de los profesores.

Por ejemplo, para indagar aspectos específicos de los componentes del Conocimiento

Pedagógico y Tecnológico (Pedagogical Technological Knowledge – PTK) propuesto por

Thomas y Hong (2013), incluyendo los conocimientos matemáticos (más generales)

involucrados en los procesos de selección de recursos de los profesores para su enseñanza de

la geometría; o los conocimientos de los profesores sobre el “mundo digital” en sus procesos

de génesis instrumental, entre otros.

Por otro lado, tomando en cuenta lo señalado en la sección 21.1.5, también se puede

considerar el uso de nuestra técnica de introspección como parte de un programa de formación

de profesores (i.e., como una estrategia de desarrollo profesional), lo que abre otras posibles

líneas de investigación.

21.5. COMENTARIOS FINALES

Para cerrar este documento queremos enfatizar en que la selección de recursos

(digitales y no-digitales) para la clase es un proceso crítico, en el sentido de prioritario, en el

340

trabajo del profesor. Es un proceso que hace parte de sus planeaciones regulares de clase y que

forma parte de la configuración didáctica que los profesores conciben para las mismas, por lo

que determina, de muchas maneras, su trabajo en el aula.

Aunque sabíamos que los profesores seleccionan recursos de acuerdo sus

intencionalidades –en cuanto al aprendizaje de sus estudiantes; a su formación y experiencia; y

a los recursos disponibles— realizamos este estudio enfocándonos en comprender sus

acciones y conocimientos profesionales involucrados en dichos procesos de selección,

particularmente, para la enseñanza de la geometría en educación primaria.

341

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

342

Adler, J. (2000). Conceptualizing resources as a theme for teacher education. Journal of

Mathematics Teacher Education, 3, 205–224.

Alsina, C. (1991). Materiales para Construir la Geometría. Colección matemáticas: Cultura y

aprendizaje. Madrid: Síntesis.

Artigue, M. (2002). Learning mathematics in a CAS environment: The genesis of a reflection

about instrumentation and the dialectics between technical and conceptual work.

International Journal of Computers for Mathematical Learning, 7, 3, 245−274.

Artigue M., Bottino R.M., Cerulli M. & al. (2007). Technology Enhanced Learning in

Mathematics: The cross-experimentation approach adopted by the TELMA European

Research Team. La Matematica e la sua didattica. 21.1, 67-74.

Artigue, M. (2011). La educación matemática como un campo de investigación y como un

campo de práctica: Resultados, desafíos. XIII Comité Interamericano de Educación

Matemática. 26-30 junio. Recife: CIAEM.

Arzarello, F., Micheletti, C., Olivero, F. & Robutti. O. (1998). Dragging in Cabri and

modalities of transition form conjectures to proofs in geometry. PME, 22, 2, 32-39.

Bachy, S. (2014). Tpdk, a New Definition of the Tpack Model for a University Setting,

European Journal of Open, Distance and E-Learning, 17, 2. DOI: 10.2478/eurodl-2014-

0017

Ball, D; Thames, M. & Phelps, G. (2008). Content Knowledge for Teaching : What Makes It

Special? Journal of Teacher Education, 59, 389.

Ball, D. L., Hill, H. C., & Bass, H. (2005). Who knows mathematics well enough to teach

third grade, and how can we decide? American Educator, Fall, 14–22–43–46.

Bartolini-Bussi M. (1996). Mathematical Discussion and Perspective Drawing in Primary

School. Educational Studies in Mathematics, 31,1-2, 11-41.

Bartolini-Bussi, M. & Mariotti, M. (2008). Semiotic mediation in the mathematics classroom:

artifacts and signs after a Vygotskian perspective. English, L; Bartolini-Bussi, M; Jones,

G; Lesh, R. & Tirosh, D. (Ed). Handbook of International Research in Mathematics

Education. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates. 746-805.

Berthelot, R. & Salin, M.H. (1992). L’enseignement de l’espace et de la géométrie dans la

scolarité obligatoire. Thése docteur spécialité Didactique des Mathématiques,

Université Sciences et Technologies Bordeaux I. Francais. Recuperado de

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00414065

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00414065

343

Bikner-Ahsbahs, A; Knipping, C. & Presmeg, N. (Ed.) (2015). Approaches to Qualitative

Research in Mathematics Education. Examples of Methodology and Methods.

Dordrecht: Springer.

Blaeuw, G. (1606/2018) Nova Totius Terrarum Orbis Geographica Ac Hydrographica

Tabula. [Imagen en línea]: File:Nova-totius-terrarum-orbis-geographica-ac-

hydrographica-tabula.jpg. (2018, Sept. 5). Wikimedia Commons, the free media

repository. Recuperado el 19 de marzo, 2019, 19:43 de

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Nova-totius-terrarum-orbis-

geographica-ac-hydrographica-tabula.jpg&oldid=318663650

Bosch, M. & Gascón, J. (2004). La praxeología local como unidad de análisis de los procesos

didácticos. Boletín del Seminario Interuniversitario de Investigación en Didáctica de las

Matemáticas. http://www.ugr.es/~jgodino/siidm/welcome.htm

Bueno-Ravel, L. & Gueudet, G. (2008). Online resources in mathematics: teachers’ genesis of

use, in D. Pitta-Pantazi, & G. Philippou, Proceedings of CERME 5, Larnaca, Chypre.

Bressan, A; Bogisic, B. & Crego, K. (2000). Razones para enseñar geometría en la educación

básica: mirar, construir, decir y pensar. Buenos Aires: Novedades educativas.

Brousseau, G. (1986). Fondements et méthodes de la didactiques des mathématiques.

Recherches en Didactique des Mathématiques, 7, 2, 33 - 115.

Bruner, J. (1990). Acts of meaning. Harvard University Press, 1990

Bkouche, R. (2009). De l’enseignement de la géométrie. REPERES-IREM, 76, 85-103.

Calderhead, J. (1981). Stimulated recall: a method for research on teaching. British Journal of

Educational Psychology, 51, 211-217.

Cardona, C; Ocaña, A; Dussan, N; Cubillos,S. & Ocaña, J. (2006). La geometría de Alberto

Durero. Estudio y modelación de sus construcciones. Bogotá: Universidad de Bogotá

Jorge Tadeo Lozano.

Carlson, J. (1975). Lodestone Compass: Chinese or Olmec Primacy? Science, 189, 4205, 753-

760.

Castelló, J. V. (2010). A través del tiempo: Inventos de la antigua civilización china que más

han influido en la humanidad. Revista Instituto Confucio, III(3), 56–65. Recuperado de

http://www.confucius-institute-magazine.com/revistas/spanish3/#1

Cerulli, M. (2004). Introducing pupils to algebra as a theory: L’Algebrista as an instrument of

semiotic mediation. PhD Thesis, Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Pisa.



http://www.ugr.es/~jgodino/siidm/welcome.htm

344

Cerulli, M. & Mariotti, M. (2003): Building theories: working in a microworld and writing the

mathematical notebook. Proceedings of the 2003 Joint Meeting of PME and PMENA,

181-188. College of Education, University of Hawai'i.

Cobb, P., Confrey, J., diSessa, A., Lehrer, R., Schauble, L. (2003). Design experiments in

educational research. Educational Researcher, 32, 1: 9 – 13.

Colaboradores de Wikipedia (2019, 14 de Marzo). Mercator 1569 world map [en línea].

Wikipedia, La enciclopedia libre, 2019. Recuperado el 18 de marzo, 2019, 04:07, de


88

Consejo Directivo (2011). Manual de Convivencia. Yumbo: Institución Educativa JMC.

Cotter, C. (1968). A history of nautical astronomy. London-Sydney-Toronto: Hollis & Carter.

Chamorro, M. (2003). Didáctica de las matemáticas para primaria. Madrid: Pearson-Prentice

Chevallard, Y. (1992). Fundamental concepts in didactics: Perspectives provided by an

anthropological approach. R. Douady, & A. Mercier (Eds.), Research in didactique of

mathematics, selected papers. 131−167. Grenoble: La Pensée Sauvage.

Chevallard, Y. (1994). Les processus de transposition didactique et leur théorisation. In G.

Arsac, Y. Chevallard, J.-L. Martinand, & A Tiberghien (Eds.). La transposition

didactique à l’épreuve (pp. 135-180). Grenoble: La Pensée Sauvage.

Clark-Wilson, A; Robutti, O. & Sinclair, N. (Ed.) (2014). The mathematics teacher in the

digital era. An international perspective of technology focussed professional

development. Dordrecht: Springer.

Clark-Wilson, A. & Hoyles, C. (2017). Dynamic technology for dynamic mathematics. Final

Report. London: UCL Institute of Education.

Creswell, J. (2007). Qualitative inquiry and research design: Choosing among five

approaches. Thousand Oaks: Sage Publication.

Da Vinci, L. (1970). Tratado de la pintura de Leonardo da Vinci. Barcelona: Teide.

Dewey, J. (1910/1989). Cómo pensamos. Nueva exposición de la relación entre pensamiento

reflexivo y proceso educativo. Barcelona, España: Paidós. Traducción del inglés.

Dienes, Z. (1969). Building Up Mathematics. London: Hutchinson Educational.

Drijvers, P. & Gravemeijer, K. (2005). Computer algebra as an instrument: Examples of

algebraic schemes. D. Guin, K. Ruthven & L. Trouche (Eds.). The didactical challenge

of symbolic calculators turning a computational device into a mathematical instrument

174−196. New York: Springer.



345

Drijvers, P; Doorman, M; Boon, P; Reed, H. & Gravemeijer, K. (2010). The teacher and the

tool: instrumental orchestrations in the technology-rich mathematics classroom.

Educational Studies in Mathematics. 75, 213–234. DOI 10.1007/s10649-010-9254-5.

Drijvers, P; Tacoma, S; Besamusca, A; Doorman, M; & Boon, P. (2013). Digital resources

inviting changes in mid-adopting teachers’ practices and orchestrations. ZDM, 45, 7,

987-1001.

Editors of Encyclopaedia Britannica (2018). Mercator projection. Encyclopædia Britannica,

inc. septiembre 11, 2018. https://www.britannica.com/science/Mercator-projection

English, L. (2002). Priority themes and issues in international research in Mathematics

Education. In English, L; Bartolini-Bussi, M; Jones, G; Lesh, R. & Tirosh, D. (2002).

Handbook of International Research in Mathematics Education. New Jersey: Lawrence

Erlbaum Associates.

Freire, P. (1997). Pedagogía de la autonomía. México: Siglo XXI. Traducción del portugués

de 1966.

García, J. (2008). El arte de llegar a puerto: Matemáticas y Navegación desde la antigüedad

hasta el siglo XVII. Marrero, I (Ed.). Descubrir las matemáticas hoy. Sociedad, Ciencia,

Tecnología y Matemáticas. Servicio de Publicaciones de la Universidad de La Laguna.

185-199.

Gass, S. M., & Mackey, A. (2000). Stimulated recall methodology in second language

research. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.

Garzón, D. & Vega, M. (2011). Los recursos pedagógicos en la enseñanza de la geometría.

Memorias XIII Comité Interamericano de Educación Matemática. Junio. Recife:

CIAEM.

Gálvez, G. (1985). El aprendizaje de la orientacion en el espacio urbano. Una proposicion

para la ensenanza de la geometria en la escuela primaria. Tesis de Doctorado, Centro

de Investigacion del IPN, México.

Goos, M. & Bennison, A. (2008). Surveying the technology landscape: Teachers‘ use of

technology in secondary mathematics classrooms. Mathematics Education Research

Journal, 20, 3, 102-130.

González, F. (2006). Del “arte de marear” a la navegación astronómiva: Técnicas e

instrumentos de navegación en la España de Edad Moderna. Cuadernos de Historia

Moderna. Anejos V. 135-166.

González, J. & Medina-Hernández (2009) Técnicas astronómicas de orientación e

instrumentos náuticos en la navegación medieval. Fortvnatae, 20, 17-29.


346

Gueudet, G. (2015). Le dispositif Pairform@nce, de l’expérimentation à la généralisation ?

Vers quel modèle de formation professionnelle continue pourrait-on aller? Comment

l’´etablissement scolaire pourrait-il entrer dans ce nouveau modèle? Conférence

nationale cultures numériques, éducation aux média et à l’information, 84-87, 2013,

Lyon, France.

Gueudet, G., Pepin, B., & Trouche, L. (Eds.). (2012). From Text to “Lived” Resources:

Mathematics Curriculum Materials and Teacher Development. doi: 10.1007/978-94-

007-1966-8

Gueudet, G. & Trouche, L. (2009). Towards New Documentation Systems for Teachers?

Educational Studies in Mathematics, 71, 3, 199-218.

Gueudet, G. & Trouche, L. (2010). Des ressources aux documents, travail du professeur et

genesis documentaires. Guedet. G. & Trouche. L. (Eds), Ressources Vives: le travail

documentaire des professeurs en mathématiques. Lyon: Presses universitaires de

Rennes.

Gueudet, G., & Trouche, L. (2012). Teachers’ work with resources: documentation geneses

and professional geneses. In G. Gueudet, B. Pepin, & L. Trouche (eds.), From Text to

‘Lived’ Resources: Mathematics Curriculum Materials and Teacher Development (pp.

23-41). NY: Springer

Guin, D. y Trouche, L. (2002). Mastering by the teacher of the instrumental genesis in CAS

enviroments: necessity of intrumental orchestation, Zentralblatt für Didaktik der

Mathematik, 34, 5, 204-211.

Guin, D. & Trouche L. (2007). Une aproche multidimensionnelle pour la conception

collaborative de ressources pédagogiques. En: Baron, M; Guin, D. & Trouche. L. (Eds.):

Environnements infomatisés et ressources pour l´apprentissage. 197-228.

Guin, D; Ruthven, K; Trouche, L. (eds.) (2004). The didactical challenge of symbolic

calculators: turning a computational device into a mathematical instrument. New York:

Springer.

Haspekian, M., & Artigue, M. (2007). L'intégration d’artefacts informatiques professionnels à

l'enseignement dans une perspective instrumentale: le cas des tableurs. Baron, M; Guin,

D. & Trouche, L. (Eds), Environnements informatisés et ressources numériques pour

l'apprentissage. Paris: Editions Hermès.

Hernández -Jacquez, L. y Gutiérrez-Rodríguez, D. (2016). Las tecnologías multimedia y su

relación con el aprendizaje de la matemática en alumnos de sexto grado de educación

primaria. Educación y ciencia, 5(45), 50–65.

347

Hill, H., Ball, D., & Schilling, S. (2008). Unpacking Pedagogical Content Knowledge:

Conceptualizing and Measuring Teachers' Topic-Specific Knowledge of Students.

Journal for Research in Mathematics Education, 39, 4, 372- 400. Stable URL:

https://www.jstor.org/stable/40539304

Houdement, C. & Kuzniak, A. (2006). Paradigmes géométriques et enseignement de la

géométrie. Annales de didactique et de sciences cognitives. 11, 175 – 193.

Hoyles, C. & Noss, R. (1987). Synthesizing mathematical conceptions and their formalization

through the construction of a Logo-base school mathematics curriculum. International

Journal of Mathematics education in science and technology, 18,4, 581-595.

Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación Educación – ICFES (2010).

Resultados de Colombia en TIMSS 2007. Resumen ejecutivo. Bogotá: Cadena.

Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación Educación – ICFES (2016/2017).

Resultados. http://www2.icfesinteractivo.gov.co/resultados.php

Instituto Nacional para la Evalaución de la Educación Educación –INEE (2003). Tercer

Estudio Internacional de Matemáticas y Ciencias Naturales (TIMSS): Resultados de

México en 1995 y 2000. México.

Israel, R. (2003, Enero 1). Mercator’s Projection. Recuperado de

http://www.math.ubc.ca/~israel/m103/mercator/mercator.html


Janvidist, U. (2009). On empirical research in the field of using history in mathematics

education. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 12, 1,

67-101.

Jaworski, B. (2008). Building and sustaining inquiry communities in mathematics teaching

development: Teachers and didacticians in collaboration. In K. Krainer & T. Wood

(Eds.), International handbook of mathematics teacher education, 3, 335–361.

Rotterdam: Sense Publishers.

Jacobson J, Kozma R. (2000). Innovations in science and mathematics education: Advanced

designs for technologies of learning. New Jersey: Lawrence Erlbaum

Juego de curvas abiertas y cerradas para niños de primaria. (n.d) Mundo Primaria. Recuperado

el 28 Octubre de 2015 de http://www.mundoprimaria.com/ juegos-matematicas/juego-

curvas-abiertas-y-cerradas.

Kaput, J. & Roschelle, J. (1999). The Mathematics of Change and Variation from a Millennial

Perspective: New Content, New Context. Hoyles, C., Morgan, C., & Woodhouse, G.

(Eds.). Rethinking the mathematics curriculum. London: Springer.


348

Kuzniak, A. (2006) Paradigmes et espaces de travail géométriques. Eléments d'un cadre

théorique pour l'enseignement et la formation des enseignants en géométrie, Canadian

Journal of Math, Science & Technology Education, 6:2, 167-187, DOI:

10.1080/14926150609556694.

Kuzniak A. (2011). L’Espace de Travail Mathématique et ses genèses. Annales de Didactique

et de Sciences Cognitives. 16, 9–24.

Kuzniak, A., & Richard, P. (2014). Espacios de trabajo matemático. Puntos de vista y

perspectivas. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa

(Relime), 17 (4-1), 5-39. doi 10.12802/relime.13.1741a. Recuperado de

http://relime.org/index.php/repositorio/volumen-17/numero-especial-17-4-

i/1704d1p/106-pdf-editorial-espacios-de-trabajo-matematico-puntos-de-vista-y-

perspectivas/file

Laborde, C., Kynigos, C., Hollebrands, K., & Strasser, R. (2006). Teaching and learning

geometry with technology. In A. Gutiérrez & P. Boero (Eds.), Handbook of research on

the psychology of mathematics education: Past, present and future, 273–304.

Rotterdam, The Netherlands: Sense Publishers.

Lagrange, J.B. (2000). L’ integration d’ instruments informatiques dans l’ enseignement: un

approche par les techniques, Educational Studies in Mathematics, 43, 1-30.

Lesh, R., Lovitts, B. & Kelly, A.E. (2000). Purposes and assumptions of this book. In Kelly,

A.E. & Lesh, R. (Eds.). Handbook of research design in mathematics and science

education. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

Llinares, S. (2000) Comprendiendo la práctica del profesor de matemáticas. Educaçao

matemática em Portugal, Espanha e Itália. Secçao de Educaçao Matemática da

Sociedade Pottuguesa de Ciencias de Educaçao, Lisboa.

Llinares, S. (2014). Experimentos de enseñanza e investigación. Una dualidad en la práctica

del formador de profesores de matemáticas. Educación Matemática. Marzo, 31-51.

Mariotti, M. (2002). Influences of technologies advances in students' math learning. English,

L. (ed.) Handbook of International Research in Mathematics Education, 695-723. New

Jersey: Lawrence Erlbaum Associates publishers.

Margolinas, C. (2002) Situations, milieux, connaissances : analyse de l’activité du professeur.

Actes de la 11ème Ecole d’Eté de Didactique des Mathématiques. París: La pensée

sauvage.

Margolinas, C. (2009). La importancia de lo verdadero y lo falso en la clase de matemáticas.

Bucaramanga: Ediciones Universidad Industrial de Santander.

http://relime.org/index.php/repositorio/volumen-17/numero-especial-17-4-i/1704d1p/106-pdf-editorial-espacios-de-trabajo-matematico-puntos-de-vista-y-perspectivas/file



349

Martínez, M. S. (2016). Rutas matemáticas 5. Bogotá: Editorial Santillana. ISBN:

9789582424527

Ministerio de Educación Nacional - MEN (1998). Lineamientos Curriculares. Matemáticas.

Bogotá: Magisterio.

Ministerio de Educación Nacional - MEN (2002). Seminario Nacional de Formación de

Docentes: Uso de Nuevas Tecnologías en el Aula de Matemáticas. Serie Memorias.

Enlace Editores Ltda. Bogotá, D.C.

Ministerio de Educación Nacional – MEN (2006). Estándares básicos de competencias:

Lenguaje, Matemáticas, Ciencias y Ciudadanas. Bogotá: Magisterio.

Ministerio de Educación Nacional – MEN (2013). Proyecto Sé. Guía del maestro

Matemáticas. Edición especial. 5º. Bogotá Ediciones SM.

Ministerio de Educación Nacional – MEN (2016). Derechos básicos de Aprendizaje (DBA).

Matemáticas. Bogotá: Imprenta Nacional.

Ministerio de Educación Nacional - MEN (2017). Mallas de aprendizaje. Matemáticas 5º

grado. Bogotá: Magisterio.

Ministerio de Educación Nacional - MEN (2018). Evaluación anual de desempeño de docentes

y directivos docentes. https://www.mineducacion.gov.co/1759/w3-article-

246098.html?_noredirect=1

Ministerio de Educación Nacional - MEN (2019). Adelante maestros. A la vanguardia

rectores. https://www.mineducacion.gov.co/1621/w3-propertyvalue-48460.html

Mercator, G. (1569/2018). Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium

Emendate Accommodata [Imagen en línea]: Mercator 1569.png (2018, Sept. 5).

Wikimedia Commons, the free media repository. Recuperado el 18 de marzo, 2019 de


663243

Messaoui, A. (2018). The complex process of classifying resources, an essential component of

documentation expertise. In Gitirana, V., Miyakawa, T., Rafalska, M., Soury-Lavergne,

S., & Trouche, L. (Eds.) (2018). Proceedings of the Re(s)sources 2018 international

conference. ENS de Lyon.

Mishra, P., y Koehler, M. J. (2006). Technological pedagogical content knowledge: A new

framework for teacher knowledge. Teachers College Record, 108, 6, 1017–1054.

Michalak, K. (2014, Dic. 19) Schema (cognitive). Encyclopaedia Britannica. Recuperado de

https://www.britannica.com/science/schema-cognitive



https://www.britannica.com/science/schema-cognitive

350

Miranda, M.L. (2013). Análisis del impacto de las necesidades y reformas curriculares del

siglo XXI en la didáctica de profesores de matemáticas del Nivel Medio Superior. Tesis

de doctorado. Cinvestav. Recuperado el 11 de marzo, 2019 de

http://www.matedu.cinvestav.mx/~asacristan/Tesistas/TesisMirandaFinalDic2013.pdf

Moreno, L. (2002). Evolución y tecnología. Seminario Nacional de Formación de Docentes:

Uso de Nuevas Tecnologías en el Aula de Matemáticas. Bogotá: Ministerio de

Educación Nacional.

Nardi, B. (1996). Context and consciousness: Activity theory and human–computer

interaction. Cambridge: The MIT Press.

Noss, R., & Hoyles, C. (1996). Windows on mathematical meanings: Learning cultures and

computers. Dordrecht: Kluwer.

Palmas, S. (2018). La tecnología digital como herramienta para la democratización de ideas

matemáticas poderosas. Revista Colombiana de Educación, 74, 109-132. doi:

10.17227/01203916.6900

Papert, S. (1981) Desafío a la mente. Computadoras y Educación. Buenos Aires: Galápago.

Parada, E., Pluvinage, F. & Sacristán, A. (2013). Reflexiones en una comunidad de práctica de

educadores matemáticos sobre los números negativos. Recherches en Didactique des

Mathématiques. 33,3, 233-266.

Panofsky, E. (1999). La perspectiva como forma simbólica. Barcelona: Tusquets.

Pepin, B., Gueudet, G. & Trouche, L. (2013). Re-sourcing teachers' work and interactions: a

collective perspective on resources, their use and transformation. ZDM Mathematics

Education, 45, 929-943.

Pérez, J. (2007). Geometría y topología. Granada: Universidad de Granada.

Perrenoud, P. (2004). Desarrollar la práctica reflexiva en el oficio de enseñar.

Profesionalización y razón pedagógica. Barcelona: Graó

Perrin-Glorian, M. (2009). Utilidad de la teoría de las situaciones didácticas para incluir los

fenómenos vinculados a la enseñanza de las matemáticas en las clases normales. Revista

Internacional Magisterio. 39. Junio - Julio.

Poisard, C., Bueno-Ravel, L., & Gueudet, G. (2011). Comprendre l’intégration de ressources

technologiques en mathématiques par des professeurs des écoles. Recherches en

didactique des mathématiques, 31(2), 151-189.

Piaget, J. (1985). The equilibration of cognitive structures. Chicago: University of Chicago

Press. Traducción del francés de 1975.

351

Piaget, J. y García R. (1982). Psicogénesis e historia de la ciencia. México: Siglo XXI.

Piaget, J. (1977) . Psicología y pedagogía. Barcelona: Ariel.

Pinto Sosa, J. E., & González Astudillo, M. T. (2008). El conocimiento didáctico del

contenido en el profesor de matemáticas: ¿una cuestión ignorada? Educación

matemática, 20(3), 83–100. Recuperado de

http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_abstract&pid=S1665-

58262008000300005&lng=es&nrm=iso&tlng=es

Puig, A. (1986). Curso de geometría métrica. Tomo I. Fundamentos. Madrid: Euler.

Rabardel P. (1995). Les hommes et les technologies, approche cognitive des instruments

contemporains. París: Armand Colin.

Rabardel, P. (1999). Eléments pour une approche instrumentale en didactique des

mathématiques. Actes de la dixième université d'été de didactique des mathématiques,

203-213.

Remillard, J. (2005). Examining key concepts in research on teachers’ use of mathematics

curricula. Review of Educational Research, 75, 2, 211–246.

Rocha, K. (2016). Uses of online resources and documentational trajectories: the cases of

Sésamath. 13th International Congress on Mathematical Education, Hamburg, 24-31

July 2016.

Rocha, K. (2018). Uses of Online Resources and Documentational Trajectories: the Case of

Sésamath. In L. Fan, L. Trouche, S. Rezat, C. Qi, & J. Visnovska (Eds.), Research on

Mathematics Textbooks and Teachers’ Resources: Advances and issues, 235–258. New

York: Springer.

Ruthven, K. (2014). Frameworks for Analysing the Expertise That Underpins Successful

Integration of Digital Technologies into Everyday Teaching Practice. Clark-Wilson, A;

Robutti, O. & Sinclair, N. (Ed.) The mathematics teacher in the digital era. An

international perspective of technology focussed professional development. Dordrecht:

Springer.

Sacristán, A. I. (2017). Digital technologies in mathematics classrooms: barriers, lessons and

focus on teachers. En E. Galindo & J. Newton (Eds.), Proceedings of the 39th annual

meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of

Mathematics Education, (pp. 90–99). Indianapolis: Hoosier Association of Mathematics

Teacher Educators. Recuperado de

http://www.pmena.org/pmenaproceedings/PMENA%2039%202017%20Proceedings.pdf

http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_abstract&pid=S1665-58262008000300005&lng=es&nrm=iso&tlng=es

http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_abstract&pid=S1665-58262008000300005&lng=es&nrm=iso&tlng=es

http://www.pmena.org/pmenaproceedings/PMENA%2039%202017%20Proceedings.pdf

352

Schön, D. (1992). La formación de profesionales reflexivos: hacia un nuevo diseño de la

enseñanza y el aprendizaje en las profesiones. Barcelona: Paidós.

Sandoval, I. T. (2009). La geometría dinámica como una herramienta de mediación entre el

conocimiento perceptivo y el geométrico. Educación Matemática, 21, 1, 5-27.

Secretaría de Educación Yumbo (2019a). Infraestructura educativa.

http://semyumbo.gov.co/gestion/infraestructura-educativa/

Secretaría de Educación Yumbo (2019b). Cobertura y calidad educativa.

http://semyumbo.gov.co/gestion/cobertura-y-calidad-educativa/

Serres, M. (2014). Pulgarcita. Barcelona: Gedisa.

Shulman, L. S. (1986). Those Who Understand: Knowledge Growth in Teaching. Educational

Researcher, 15, 2, 4-14.

Shulman, L. S. (1987/2005). Conocimiento y Enseñanza: Fundamentos de la Nueva Reforma.

Profesorado, Revista de Currículum y Formación del Profesorado, 9(2), 1–30.

Traducción de Shulman, L. (1987). Knowledge and Teaching: Foundations of the New

Reform. Harvard Educational Review, 57,1, 1-22. Recuperado de

https://recyt.fecyt.es/index.php/profesorado/article/view/42675

Silva Calderón, L.H; Báez Sánchez, A.D. & Sarmiento Díaz, M.I. (2016). Avanza

Matemáticas 5. Bogotá: Editorial Norma.

Strebe, D. R. (2011/2019) Mercator projection [Imagen en línea]:Mercator projection SW.jpg.

(2019, Enero 1). Wikimedia Commons, the free media repository. Recuperado el 19 de

marzo, 2019, 20:03, de

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Mercator_projection_SW.jpg&o

ldid=333055423.

Thomas, M. & Hong, Y. (2013). Teacher Integration of Technology into Mathematics

Learning. International Joumal of Technology in Mathematics Education, 20, 2, 69-84.

Thomas, M. & Palmer, J. (2014). Teaching with Digital Technology: Obstacles and

Opportunities. A. Clark-Wilson et al. (eds.), The Mathematics Teacher in the Digital

Era, Dordrecht: Springer. doi: 10.1007/978-94-007-4638-1_4,

Trouche, L. (2002). Genèses instrumentales, aspects individuels et collectifs. En: Guin, D. y

Trouche, L. (Ed) Calculatrices symboliques. Transformer un outil en un instrument du

travail mathématique: un probleme didactique. Grenoble: La Pensée Sauvage Editions.

Trouche, L. (2003). From artifact to instrument: Mathematics teaching mediated by symbolic

calculators. Interacting with Computers, 15, 6, 783−800.

http://semyumbo.gov.co/gestion/infraestructura-educativa/

http://semyumbo.gov.co/gestion/cobertura-y-calidad-educativa/

https://recyt.fecyt.es/index.php/profesorado/article/view/42675



353

Trouche, L. (2004). Managing the complexity of human/machine interactions in computerized

learning environments: Guiding students’ command process through instrumental

orchestrations. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 9, 3,

281−307.

Trouche, L. (2014). Documentation valise. Lyon, France: Educ Math. Recuperado de:

http://educmath.ens-yon.fr/Educmath/recherche/approche_documentaire/documentation-

valis

Trouche, L., & Drijvers, P. (2010). Handheld technology for mathematics education, flashback

to the future, ZDM, The International Journal on Mathematics Education, 42(7), 667-

681.

Trouche, L. & Drijvers (2014). Webbing and orchestration. Two interrelated views on digital

tools in mathematics education. Teaching Mathematics and Its Applications, 33, 193-

209. doi: 10.1093/teamat/hru014.

Trouche, L., Gueudet, G., & Pepin, B. (2018). Documentational approach to didactics. In S.

Lerman (Ed.), Encyclopedia of Mathematics Education. N.Y.: Springer.

doi:10.1007/978-3-319-77487-9_100011-1

Trouche, L., Gitirana, V., Miyakawa, T., Pepin, B., & Wang, C. (2019). Studying mathematics

teachers interactions with curriculum materials through different lenses: towards a

deeper understanding of the processes at stake. International Journal of Educational

Research 93, 53-67, retreived on February 21st at

https://doi.org/10.1016/j.ijer.2018.09.002

Trgalová, J. & Jahn, A. P. (2013). Quality issue in the design and use of resources by

mathematics teachers. ZDM Mathematics Education. 45, 973-986.

Thurston, W. (1994). On a proof and progress in mathematics. Bulletin of the American

Mathematical Society. 30, 2.

Vergnaud. G. (1990). La théorie des champs conceptuels. Récherches en Didactique des

Mathématiques, 10 (23): 133-170.

Vergnaud, G. (1998). Towards A Cognitive Theory of Practice. En A. Sierpinska & J.

Kilpatrick (Eds.), Mathematics Education as a Research Domain: A Search for Identity:

An ICMI Study Book 1. An ICMI Study Book 2 (pp. 227–240). doi: 10.1007/978-94-011-

5470-3_15

Vergnaud, G. (2013). Pourquoi la théorie des champs conceptuels? Infancia y Aprendizaje, 36,

2, 131-161. doi: 10.1174/021037013806196283

Vigotsky, L. (1985). Pensée et Langage. Paris : Editions Sociales.

http://educmath.ens-yon.fr/Educmath/recherche/approche_documentaire/documentation-valis

http://educmath.ens-yon.fr/Educmath/recherche/approche_documentaire/documentation-valis

https://doi.org/10.1007/978-94-011-5470-3_15

https://doi.org/10.1007/978-94-011-5470-3_15

354

Vollstedt, M. (2015). To See the Wood for the Trees:The Development of Theory from

Empirical Interview Data Using Grounded Theory. In Bikner-Ahsbahs, A; Knipping, C.

& Presmeg, N. (Eds.), Approaches to Qualitative Research in Mathematics Education.

Examples of Methodology and Methods. Dordrecht: Springer.

Wang, C. (2018). An exploration of Documentation Expertise through a collective lesson

preparation: A Chinese case of two mathematics teachers. In Gitirana, V., Miyakawa, T.,

Rafalska, M., Soury-Lavergne, S., & Trouche, L. (Eds.) (2018). Proceedings of the

Re(s)sources 2018 international conference. ENS de Lyon.

Wenger, E. (1998). Communities of practice: learning, meaning, and identity. Cambridge

University Press.

Wertchs, J. (1993). Voces de la mente. Madrid: Visor distribuciones.

Witzke, I., Struve, H., Clark, K. & Stoffels, G. (2016). ÜberPro – A seminar constructed to

confront the transition problem from school to university mathematics, based on

epistemological and historical ideas of mathematics. Journal of Educational Research,

2nd Thematic Issue, 66-93.

355

ANEXOS

356

ANEXO A. CUESTIONARIO C1

Datos personales y de contacto

Fecha__________________________

Nombre _________________________________________ Edad ________ Sexo ________

E-mail _____________________________________________________________

Teléfono ______________________ Celular __________________

Experiencia profesional

Nombre de la Escuela donde labora actualmente:______________________________

Años laborados en la escuela actual ________

Años de experiencia docente (considere toda su trayectoria) ________

Grados a cargo actualmente (marque con una x):

1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( ) Otros ( ) ¿Cuáles? _____________

Cantidad de estudiantes a cargo: _________

Asignaturas que tiene a cargo: Solo matemáticas ( ) Todas ( ) Algunas ( )

En caso de que sean algunas asignaturas, ¿cuáles son? ________________________________

Grupos/equipos/comités en las que usted participa en su escuela:

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Considera que en su escuela se hace un trabajo colaborativo entre profesores:

Si ( ) No ( )

Por favor, explique su respuesta:

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Formación

Marque con una X sus títulos obtenidos (puede seleccionar varias opciones):

Normalista ( )

Tecnólogo ( ) ___________________________________________________________

Licenciado ( ) ___________________________________________________________

Especialista ( )____________________________________________________________

Magíster ( ) ____________________________________________________________

Otro ( ) ____________________________________________________________

Actualmente está estudiando: S´ ( ) No ( )

Si respondió que Sí, especifique qué estudia:

____________________________________________________________________________

¿Ha realizado cursos, diplomados o capacitaciones sobre el uso de tecnologías digitales para la

enseñanza de las matemáticas? Sí ( ) No ( )

Por favor explique su experiencia con estos cursos o capacitaciones, sí los ha tenido

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

357

Participa en algún tipo de red/grupo/foro en modalidad virtual (e.g. grupos en Facebook) en el

cual se discutan, comenten o compartan aspectos relacionados con la enseñanza de las

matemáticas? Sí ( ) No ( )

Por favor, explique su experiencia con estas redes, grupos o foros, si ha participado en ellos:

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

¿Ha realizado cursos virtuales? Si ( )_ No ( )

Por favor explique su experiencia con cursos virtuales (de cualquier temática), sí los ha tenido.

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Enseñanza de la geometría

¿Enseña geometría a sus estudiantes? Sí ( ) No ( )

Indique el número de horas a la semana que corresponden a la clase de geometría ________

Uso básico de tecnologías digitales

¿Tiene computador personal en casa? Si____ No____

¿Tiene acceso a Internet en casa? Si____ No ____

¿Con qué frecuencia usa el computador? Mucho ____ A veces _____ Nunca ____

Califique de 1 a 5, siendo 5 la máxima calificación, su competencia para el uso del

computador. Por favor considere funciones como: uso de correo electrónico, procesadores de

texto, editores de dispositivas, video-llamadas, etc. Su calificación ______________

Justifique

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

¿Tiene acceso a un computador con internet en su escuela? Si____ No____

¿Usa tecnologías digitales en su escuela? Si____ No____

Por favor explique los usos que hace de tecnologías digitales en su escuela:

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Observaciones

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

358

ANEXO B. CUESTIONARIO C2

De antemano agradecemos su colaboración. Si requiere más espacio para contestar por favor

use el otro lado de la hoja (no olvide indicar el número de pregunta):

1. Nombre: ______________________________________________________________

2. ¿Cree que es importante integrar tecnologías digitales a la enseñanza en primaria?

Explique su respuesta

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

3. ¿Qué apoyos cree usted que necesita para usar tecnologías digitales en la enseñanza de

las matemáticas?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

4. ¿Usted participa o ha participado en algún equipo o grupo de trabajo (en su escuela o

fuera de ella) en el cual se discutan o se planeen acciones en relación con la enseñanza de las

matemáticas? Si su respuesta es afirmativa, por favor describa las actividades de dicho grupo.

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

5. ¿Qué fortalezas considera que tiene usted como profesor(a) para integrar tecnologías

digitales a la enseñanza?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

6. ¿Qué debilidades considera que tiene usted para integrar tecnologías digitales en la

enseñanza de las matemáticas?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

7. Por favor describa el ambiente de trabajo entre docentes de su escuela en relación con

la enseñanza. ¿Existe grupos de trabajo? ¿Hacen reuniones? ¿Llegan a algún tipo de acuerdos?

¿Se apoyan de alguna manera? ¿Existe trabajo colaborativo?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

8. ¿Qué lugar ocupa la enseñanza de la geometría en el Plan de Área de Matemáticas en

su escuela?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

9. ¿Cómo son sus clases de geometría? Por favor describa la dinámica de trabajo en su

clase, si lo prefiere presente un ejemplo.

359

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

10. Mencione recursos, manipulativos o materiales que sus estudiantes utilicen como parte

de su clase de geometría. ¿Para qué los usan? ¿Cómo los usan?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

11. ¿Qué tipo de actividades, trabajos, situaciones o tareas les propone ud. a sus

estudiantes en sus clases de geometría?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

12. ¿Ha usado recursos digitales en sus clases de geometría? Si si respuesta es afirmativa,

por favor, describa su experiencia

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Observaciones adicionales:

360

ANEXO C. EJEMPLO DE PROTOCOLO DE

ENTREVISTA A PROFESOR

Ejemplo de protocolo de entrevista (de la Segunda Fase) después de las clases

observadas No. 2 y 3.

Código de la entrevista: EM2-SR

Tipo de entrevista: semi-estructurada

Duración: 30 minutos

Número consecutivo: 5 (post-clase observada número dos).

Objetivo: Recolectar datos sobre los recursos digitales que el profesor usa para

planear sus clases regulares de geometría en quinto grado.

Introducción: En la entrevista pasada usted nos mostraba algunos de los recursos

que tiene en cuenta para planear sus clases de geometría, también nos comentaba

que en ocasiones hace “búsquedas en Internet”, me gustaría que hoy

profundizáramos más sobre ese tema:

No. Preguntas Objetivo de la pregunta

(Datos que se esperan recabar)

1 Respecto a esas consultas, que usted me

comenta que hace Internet para preparar sus

clases de geometría ¿Desde hace cuánto

tiempo usted las realiza?

Determinar desde hace cuánto el

profesor usa Internet para su

selección de recursos para la clase.

2 ¿Por qué lo hace? ¿Para qué? Indagar las intenciones y

justificaciones del profesor sobre

éstas búsquedas.

3 ¿Qué tan frecuentemente hace este tipo de

consultas?

Indagar la frecuencia con la que el

profesor hace búsquedas de

recursos por Internet.

4 ¿Hace estas consultas para preparar cada clase

de geometría o en casos específicos?

Identificar en qué casos el profesor

hace estas búsquedas.

5 ¿Dónde realiza estas consultas? ¿aquí en la

escuela, en casa o en otro lugar?

Caracterizar el proceso de búsqueda

de Miguel.

6 ¿Qué tipo de recursos o de información espera

encontrar en estas páginas web?

Indagar sobre qué expectativas

respecto a los recursos tiene

Miguel.

7 Podría darme ejemplos de qué tipo de páginas

web consulta.

Identificar los repositorios o sitios a

los que miguel accede para realizar

su selección de recursos.

361

8 Me podría mostrar (en la computadora) cuáles

son esas páginas web que usa para planear sus

clase de geometría?


los que Miguel accede para realizar

su selección de recursos

Y


de Miguel

9 Explíqueme, ¿qué hace usted en estas páginas

web? ¿cómo las usa?

10 ¿Siente que estas consultas en Internet le son

útiles? ¿Por qué? ¿De qué manera?



Miguel.

11 Me podría mostrar un ejemplo de recurso que

haya tomado de alguna página web para su

clase.


de Miguel.

12 ¿Tiene algún repositorio o página Web que sea

su favorita para sus clases de geometría? ¿Me

la muestra? ¿Por qué le gusta?


los que Miguel accede para realizar

su selección de recursos

13 Para su próxima clase, piensa consultar alguna

página Web o repositorio? ¿Cuál?



Miguel.

14 ¿Podría realizar una consulta mientras yo le

observo y le hago preguntas?


de Miguel

15 ¿Usa otras páginas Web? De otro tipo por

ejemplo, o para otra cosa.



Miguel.

16 ¿Desea comentarnos algo más o tiene alguna

pregunta?


de Miguel.

Fin de la entrevista.

362

ANEXO D. EJEMPLO DE PROTOCOLO DE

ENTREVISTA A DIRECTOR DE ESCUELA

Ejemplo de protocolo de entrevista (de la Segunda Fase) a director(a) de escuela.

Código de la entrevista: ED1

Tipo de entrevista: semi-estructurada

Duración: 60 minutos

Objetivo: Recolectar datos sobre el perfil de la escuela, los recursos disponibles, los

maestros, el perfil profesional de éstos y sus oportunidades de desarrollo profesional

Introducción: Saludo, agradecimiento, breve explicación del contenido de la

entrevista y de los temas a tratar.

Tema Preguntas

Perfil general de la escuela

¿Qué niveles atiende esta escuela?

¿Cómo están organizados los grupos?

¿Cuántos alumnos atiende esta escuela?

¿Cuántos alumnos son, más o menos, por grupo?

¿Cuál es el nivel socio-económico de los estudiantes?

¿Qué actividades de la escuela se desarrollan usando

tecnologías digitales?

¿Los maestros usan tecnologías digitales? ¿Cómo lo hacen?

¿La escuela tiene página web, redes sociales?

Perfil general de los profesores ¿Cuántos docentes laboran en esta institución?

¿Cuántos años de servicio tiene cada maestro?

¿Cuál es perfil académico de cada docente?

¿Cuántos profesores ingresaron al magisterio por concurso?

¿Cómo les va en las evaluaciones de desempeño a los maestros

de esta escuela?

¿Qué comisiones desempeñan los docentes además de la

atención a los grupos?

¿Hay alguna comisión relacionada con tecnologías digitales?

¿Qué maestros participan en esta comisión?

¿Qué temas se tocan en esta comisión?

Plan de estudios

Tiene esta escuela algún tipo de ideas o valores educativos o una

misión que sean particulares de la escuela?

En esta escuela, ¿se ha elaborado el PEI (Proyecto Educativo

363

Institucional)?

¿Quiénes elaboran la Planeación Institucional de la escuela?

¿Se han elaborado los planes de área?

¿Cuáles son algunos de los puntos más importantes del plan de área

de matemáticas?

¿Qué problemas se presentan con la aplicación del plan de área de

matemáticas?

¿El plan de área contiene geometría?

¿Se desarrolla algún tipo de proyecto o trabajo para la enseñanza

de la geometría?

Recursos disponibles

¿Cuenta esta escuela con servicio de energía eléctrica?

¿Con servicio de Internet?

¿Qué tipo de biblioteca y de otros recursos hay para los

estudiantes?

¿Qué ambientes, materiales y/o equipos tienen disponibles los

maestros?

¿Qué recursos tecnológicos tiene disponibles los profesores?

¿Cómo usan las tecnologías digitales en esta escuela para apoyar a

la enseñanza y el aprendizaje?

¿Con qué personal de apoyo cuenta el centro educativo?

Trabajo de los maestros

¿Que oportunidades de desarrollo profesional tienen los maestros?

¿De qué manera participan los docentes en los cursos de formación

continua?

¿Tienen acceso a los materiales que les proporciona el MEN?

¿Cómo colaboran los maestros entre ellos?

Se reúnen los maestros discutir temas educativos?

¿Han discutido algo sobre el uso de tecnologías digitales?

¿Han discutido algo sobre la enseñanza de las matemáticas?

¿Con que periodicidad convoca usted a reuniones del consejo

académico?

¿Quienes participan?

¿Qué temas tocan en estas reuniones?

Preguntas o comentarios adicionales:

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Fin de la entrevista

364

ANEXO E. EJEMPLO DE PROTOCOLO DE

OBSERVACIÓN DE PLANEACIÓN DE

CLASE

Fecha: _________________

Profesor observado: ____________________________________________________

Planeación de clase observada (del profesor) No.: ____________________

Tiempo de observación: _________________________________________________

Tema de la clase: ______________________________________________________

Contexto general de la planeación de clases hecha por el profesor:

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Propósito de la clase declarado por el profesor:

_______________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Recursos tomados en cuenta por el profesor para realizar su planeación:

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Hora Descripción de lo que pasó en la planeación Comentarios, notas e interpretaciones

de la observadora

Comentarios finales:___________________________________________________

365

ANEXO F. EJEMPLO PROTOCOLO DE

OBSERVACIÓN DE CLASE

Fecha: _________________

Profesor observado: _________________________________________________

Clase observada (del profesor) No.: ____________________

Tiempo de observación: ______________________________________________

Hora Descripción de lo que pasó en la clase Comentarios, notas e interpretaciones

de la observadora

Clase observada y contexto:

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Propósito de la clase declarado por el profesor:

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Recursos usados por el profesor en la clase:

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

366

Descripción de la disposición de los recursos usados en la clase:

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Descripción de la organización de la clase:

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Reglas de la clase:

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Tipos de interacción profesor-recursos-alumnos:

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Resumen de las estrategias didácticas usadas por el profesor:

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Resumen de la gestión didáctica del profesor:

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Comentarios finales:

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

367

ANEXO G. PALABRAS-CÓDIGO

Tabla Anexo G.5. Palabras-código utilizadas en el análisis de los datos

Categorías Sub-categorías Palabras-código para analizar los datos

Selección de

recursos digitales

para la clase

Criterios de selección

de recursos para

enseñar geometría

Razones, explicaciones, argumentos, conocimientos,

decisiones, selecciones, ETM personal del profesor,

paradigma geométrico, geometría elemental, geometría

axiomática natural, ergonómico, cognitivo, curricular,

geométrico.

Rutas-recorridas por el

profesor en su proceso

de selección

Huellas, actividades, caminos, pasos, pensamientos,

sentimientos, expectativas, reflexión, recuerdos,

introspección, discusiones, creencias.

Usos de los

recursos digitales

Recursos para enseñar

geometría

Libros de texto, guías, talleres, hojas de trabajo, materiales

manipulativos, software, videos, canciones, juegos,

computadores, tabletas, applets, internet, dispositivos,

situaciones, actividades, tareas.

Recursos para

planificar la enseñanza

de la geometría

Planes de clase, diarios de campo de los profesores,

recursos curriculares, cuadernos de estudiantes de años

anteriores, recursos diseñados o adaptados por el profesor,

recursos compartidos por otros colegas.

Orquestación y ETM

adecuados propuestos

por los profesores

Configuración didáctica, organización de la participación de

los estudiantes, disposición de los recursos, clase en acto,

conducción, gestión de la clase, ambiente de la clase,

actividades, situaciones propuestas en la clase, ETM

adecuado del profesor, paradigma geométrico

Sistema de

recursos del

profesor

Recursos disponibles

para la clase de

geometría

Materiales que ha usado el profesor previamente, recursos

que ha conocido en encuentros con maestros, manipulativos,

talleres, guías, búsqueda de nuevos recursos.

Organización de los

recursos disponibles

Criterios de organización de los recursos, recursos-madre,

recursos-hijos, jerarquía, niveles, clasificación de los

recursos según sus usos.

Calidad de los recursos Condiciones básicas de los recursos para usarse en clase,

acceso a recursos de calidad, recursos recomendados por

otros colegas o formadores.

Aspectos del

trabajo

documental del

profesor

Trabajo colaborativo Actas de reuniones de profesores, planes de área, comités de

trabajo, grupos, redes sociales, asistencia a eventos

académicos.

Actividades del trabajo

documental

Preparación de clases, parcelación, discusión con los colegas,

reportes, revisión, difusión de experiencias, compartir con

otros colegas.

Conocimientos sobre

cómo usar los recursos

Esquemas de utilización, invariantes operatorias,

conocimiento-en-acto, teorema-en-acto, maneras de usar el

recurso, potencialidades del recurso, limitaciones del recurso,

ETM personal del profesor, ETM de referencia.

368

ANEXO H. HOJAS DE TRABAJO DE LAURA

TALLER DE GEOMETRÍA

Nombre: _____________________________________________________ Actividad 1

Actividad 2

Actividad 3

369

Actividad 4

Actividad 5

Actividad 6

370

ANEXO I. PROYECTO DE AULA

“LA CASA DE MIS SUEÑOS”

Proyecto de aula diseñado y asesorado por la M. en C. Myriam Vásquez Vásquez.

Yumbo, 2012.

(Documento proporcionado por el profesor Pedro). Justificación El diseño de un plano arquitectónico y su correspondiente modelación en una maqueta exige desde el

punto de vista disciplinar, una aproximación a la relación número y la medida, en particular;

comprender el problema de la escala y el concepto de razón aritmética para guardar las proporciones de

las medidas representadas en contraste con las dimensiones del tamaño real de una casa. En el marco

del desarrollo de esta actividad entonces tanto profesores como alumnos enfrentaran la necesidad de

abordar la conversión de medidas de longitud en el campo de los números enteros y decimales,

relación área, superficie y perímetro, dominio y destreza del manejo de instrumentos de medida que

posibiliten una precisión de los trazos de las medidas estimadas, una comprensión espacial y

geométrica de las superficies representadas en el plano y la maqueta; conocimientos que en su mayoría

implican conocimientos geométricos derivados de la geometría plana a la geometría tridimensional. El

diseño de planos y maquetas al imponer una escala, necesariamente remite al estudio de una razón de

semejanza.

Entendiendo la complejidad de la actividad desde un punto de vista cognitivo, se iniciará en un primer

momento con el desarrollo de una competencia a movilizar como lo es la lectura e interpretación de

planos de casas de 1 y 2 pisos, para así posteriormente trazar el plano y reproducir la maqueta de la

casa a modelizar.

Otra condición indispensable para la participación y consecución de los propósitos formativos del

proyecto, es la consecución de los instrumentos y materiales requeridos clase a clase, para que cada

subgrupo pueda adelantar y progresar en la actividad propuesta.

PROPÓSITO

- Diseñar el plano y la maqueta de una casa de un piso conservando las exigencias matemáticas

y técnicas con el mayor rigor posible, de tal forma que los niños y niñas interrelacionen los

objetos de conocimiento numérico, geométrico y espacial puesto en juego en la modelación de

un diseño arquitectónico.

ACTIVIDAD No. 1: Lectura e interpretación de planos

Tiempo: 4 semanas

Los planos son representaciones gráficas que indican o marcan ubicaciones, desde una ciudad hasta

una casa. Su realización, junto a la de los mapas, es uno de los objetivos de la Cartografía. El plano se

diferencia del mapa en que para elaborarlo no es necesario realizar una proyección. Esto es, el

procedimiento matemático empleado para representar una superficie curva en una plana. Cada plano

debe llevar una escala y unos símbolos. La escala expresa el número de veces que un elemento ha sido

reducido para representarlo en el plano. Los símbolos nos indican los lugares representados. Estos

símbolos se llaman signos convencionales porque son aceptados por todas las personas y significan

siempre lo mismo (Apartado tomado de http://mateberri3.jimdo.com/).

http://mateberri3.jimdo.com/

371

Ejemplo:

Esta primera actividad implica acercar a los estudiantes a la lectura e interpretación de un plano de tal

forma que los niños y niñas logren capturar el sentido y la significación de los símbolos y

convenciones de los planos arquitectónicos: como los arcos de 90° que representan puertas, líneas

cruzadas para patios, rectángulos para camas y mobiliario, ventanas, etc. El plano anterior u otro

tomado como modelo debe ser fotocopiado y entregado a cada niño, el cual posteriormente con colores

de diferente tonalidad debe identificar símbolos y convenciones de los trazos en el plano. Esta

actividad implica un acompañamiento constante del profesor que debe tener proyectado a gran escala

en el tablero el plano leer e interpretar.

Esta actividad debe ser complementada ingresando a la siguiente página web y/o utilizando una revista

de propiedad raíz donde se describen las características básicas constructivas de una vivienda: área

total, área construida, área privada, área común, etc. (ver anexo No. 1 al final de la guía también).

http://construyehogar.com/uncategorized/diseno-y-planos-de-casas-de-dos-pisos-con-ideas-para-

construccion/;

Por último, será importante de ser posible que los niños y niñas que tengan acceso al plano de sus

viviendas hagan una reducción del mismo y lo presenten por subgrupos exhibiendo competencias de

lectura e interpretación del plano tomado de referencia.

ACTIVIDAD No. 2: Trazo del plano de una casa de un piso

Tiempo: 4 semanas

Una vez el niño captura la potencialidad de las representaciones a escala como los planos

arquitectónicos, se plantea la tarea de trazar el plano de una casa de un piso. Las condiciones del trazo

del plano implican tomar en consideración una escala de 1:30 cuyas dimensiones de la superficie

rectangular son 6 m de ancho y 12 m de largo. Se usa para esta actividad dos hojas de papel

milimetrado, las cuales se anexan en una relación 1 2/3.

Es importante que los niños y niñas tomen en consideración la dimensión del papel milimetrado ya

adjunto para así posteriormente delimitar la superficie del área total y el área a construir.

Los estudiantes deben usar escuadras, reglas y compas para realizar los diversos trazos. El plano a

trazar debe estar proyectado en el tablero para ser tomado como referencia. El trabajo constante del

maestro es verificar si los trazos conservan las medidas del plano original y las dimensiones de los

http://construyehogar.com/uncategorized/diseno-y-planos-de-casas-de-dos-pisos-con-ideas-para-construccion/

http://construyehogar.com/uncategorized/diseno-y-planos-de-casas-de-dos-pisos-con-ideas-para-construccion/

372

diversos espacios interiores delimitados, así como las convenciones y símbolos acordados previamente

a los trazos a realizar.

Como la actividad fundamental es reproducir un plano a escala, previo a cualquier trazo debe hacerse

una lectura e interpretación del plano de la casa concebido para la realización de la maqueta. Cada niño

y niña del subgrupo debe trazar su propio plano para valorar aspectos como precisión en los trazos,

aproximación, manejo de instrumentos, uso de símbolos y convenciones (ver Guía para Maquetas y

Planos).

ACTIVIDAD No. 3: Construcción de la maqueta de la casa de un piso

Tiempo: 5 s

Sobre una base de triplex o cartón cartulina estándar de 50 x 50 cm se empiezan a realizar las

actividades de alzada a tres dimensiones de los espacios representados en el plano. Se debe anticipar

previo a la actividad constructiva todos los materiales e instrumentos necesarios para el levantamiento

de las paredes y demás detalles constructivos que permitan tomar en consideración sus características

tridimensionales a la escala representada en el plano: grosor de las paredes, puertas, ventanas, y

concepción del techo que sea movible para poder observar la distribución de los espacios el día de la

socialización y presentación de las maquetas. Se deja a libertad del grupo de estudiantes agregar

detalles como árboles, mobiliario y materiales que enriquezcan de manera estética la presentación de la

maqueta. Si el subgrupo propone diseños alternativos para la construcción de la casa deben hacerse

estas modificaciones sobre el plano, conservando las dimensiones del área total de 6m x 12 m.

El cierre del proyecto implica la organización de una jornada de socialización al colectivo de

estudiantes de la escuela donde cada subgrupo sustente los aprendizajes logrados en el trazo del plano

y la construcción de la maqueta.

Diseño de apartamento pequeño de 29 metros cuadrados Vamos a ver los planos y el diseño de interiores de un departamento pequeño de solo 29 metros

cuadrados, en el primer piso se ubicó la zona social como la sala y la cocina -comedor, en el entrepiso

un dormitorio; el departamento está construido sobre terreno casi cuadrado y se maximizó cada

centímetro de espacio disponible.

Puedes guiarte en la remodelación o autoconstrucción de tu departamento, siguiendo los parámetros

de diseño de este modelo.

Plano del primer piso del mini departamento:

En la pequeña área rectangular de solo 29 metros cuadrados se tuvo que maximizar los espacios y

aprovechar la altura para crear un entrepiso donde se colocó el dormitorio (en el plano lo podemos ver

entre las líneas punteadas del número 1), el primer piso se ubicaron los servicios y el área social.

1. Pasadizo del ingreso principal (en la pared está el walking closet)

2. Sala

3. Cocina

4. Cuarto de baño

5. Dormitorio (ver segundo plano)

373

El mini departamento es casi cuadrado, el acceso principal lo vemos en la parte superior izquierda

Plano del segundo piso del mini departamento

El dormitorio se ubica en el mezanine o entrepiso, la altura de este espacio es de sólo 1.80, está debajo

del promedio óptimo de 2.20 o 2.40 de altura que debería tener, sin embargo es una solución cuando la

altura total del espacio a diseñar es de 3.70 y el área total es muy pequeña.

La zona del primer piso que queda más bajo es el pasadizo y la mitad del cuarto de baño, el resto del

primer piso tiene una gran altura.

En el mezanine o entrepiso sólo se diseñó el dormitorio (número 5)

Diseño de interiores del pequeño departamento en fotos

En el todo el pequeño departamento se empleó la madera rústica en los pisos (el diseño se basó en un

local antiguo), las paredes fueron pintadas de un color claro, para “bajar” un poco la altura del piso del

primer nivel y mejorar la iluminación se bajaron las luminarias a una escala adecuada, las líneas de

diseño son minimalistas.

374

Podemos ver el perfil de la pequeña escalera de madera y parte del diseño de la cocina

Diseño del kitchenet del pequeño apartamento

Los diseñadores de esta pequeña cocina emplearon el color blanco en las paredes que como sabemos

otorgan amplitud a los espacios, sin embargo le aplicaron el color negro a un muro que junto con las

sillas y las lámparas colgantes la hacen ver moderna, esta es la forma correcta de diseñar en espacios

muy reducidos.

Diseño de moderna y económica cocina bien iluminada a través de lámparas colgadas

(http://construyehogar.com/planos/diseno-de-departamento-pequeno-de-29-metros-cuadrados-

planos-y-fotos/)

http://construyehogar.com/planos/diseno-de-departamento-pequeno-de-29-metros-cuadrados-planos-y-fotos/

http://construyehogar.com/planos/diseno-de-departamento-pequeno-de-29-metros-cuadrados-planos-y-fotos/

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