Expansión de Tripletes Repetidos en Enfermedades Neurodegenerativas Hereditarias
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CENTRO DE INVESTIGACION CIENTIFICA Y DE EDUCACION
SUPERIOR DE ENSENADA, BAJA CALIFORNIA
MR
PROGRAMA DE POSGRADO EN CIENCIAS
EN OPTICA
Estudio de procesos no-lineales en fibras opticas
multimodales.
Tesis
para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de
Maestro en Ciencias
Presenta:
Marıa del Rocio Camacho Morales
Ensenada, Baja California, Mexico
2015
Tesis defendida por
Marıa del Rocio Camacho Morales
y aprobada por el siguiente comite
Dra. Karina Garay Palmett
Codirector del Comite
Dr. Raul Rangel Rojo
Codirector del Comite
Dr. Anatoly Khomenko
Miembro del Comite
Dr. Eugenio Rafael Mendez Mendez
Miembro del Comite
Dr. Manuel Herrara Zaldıvar
Miembro del Comite
Dr. Pedro Negrete RegagnonCoordinador del Programa de
Posgrado en Optica
Dr. Jesus Favela VaraDirector de Estudios de Posgrado
Febrero, 2015
iii
Resumen de la tesis que presenta Marıa del Rocio Camacho Morales como requisitoparcial para la obtencion del grado de Maestro en Ciencias en Optica.
Estudio de procesos no-lineales en fibras opticas multimodales.
Resumen elaborado por:
Marıa del Rocio Camacho Morales
La generacion de senales no lineales en fibras opticas ha presentado interes debidoa sus multiples aplicaciones en areas como la metrologıa, la microscopıa, y la opticacuantica, entre otras. Particularmente, la generacion de pares y tripletes de fotones parasu aplicacion en el area de optica cuantica es posible por medio de la no linealidad detercer orden que presentan las fibras opticas. La eficiencia en la generacion de pares ytripletes de fotones depende del traslape espacial entre modos, sujeta a la condicion deconservacion de momento.
Recientemente, se han estudiado procesos opticos no lineales en las denominadasfibras microestructuradas. El control de la dispersion de los modos guiados y las grandeslongitudes de interaccion provistas por este tipo de fibras permite aumentar la eficienciade los procesos no lineales.
En este trabajo, exploramos una variedad de configuraciones que permiten cumplircon la condicion de empatamiento de fases en dos procesos parametricos no lineales detercer orden, la mezcla de cuatro ondas y la generacion de tercer armonico, en diferentesfibras microestructuradas. El calculo de las condiciones de empatamiento de fases mostrola posibilidad de estudiar procesos parametricos no lineales de tercer orden, por mediode un campo de bombeo centrado alrededor de 800 o bien 400 nm. De acuerdo a estosresultados, escogimos una fibra microestructurada para estudiar el proceso de generacionde tercer armonico, por medio del fundamental de un laser de Ti:Zafiro. Se observo lageneracion de dos senales principales en la region espectral del UV alrededor de 300nm y 340 nm. Interpretamos la generacion de ambas senales como senales de tercerarmonico que se propagan en modos espaciales de orden superior.
Palabras Clave: optica no lineal, fibras opticas, generacion de tercer armonico.
iv
Abstract of the thesis presented by Marıa del Rocio Camacho Morales as a partial requi-rement to obtain the Master of Science degree in Master in Sciences in Optics.
Study of nonlinear process in multimode fibers
Abstract by:
Marıa del Rocio Camacho Morales
The generation of nonlinear signals in optical fibers has showed interest due to theseveral applications in metrology, microscopy, quantum optics, among others. In particular,the generation of photon pairs and photon triplets, for applications in quantum optics, arepossible through the third order nonlinearity of optical fibers. The emission efficiency ofphoton pairs and photon triplets depends on energy and momentum conservation, andalso on the spatial overlap among the interacting fields.
Recently, nonlinear processes have been studied in the so called microstructured fi-bers. The controlled dispersion of the guided modes and the large interactions lengthsprovided by these fibers, permits the enhancement of nonlinear process.
In this work, we explore a variety of configurations to accomplish the phase matchingcondition for two third order nonlinear parametric processes, four wave mixing and thirdharmonic generation, in different microstructured fibers. The calculation of the phase mat-ching conditions showed the possibility for generating signals through third order nonlinearparametric processes, using a pump field around 800 nm or 400 nm. According to theseresults, we chose a microstructured fiber to study the third harmonic generation processusing the fundamental of a Ti:Saphire laser. We observed the generation of two main sig-nals in the UV spectral region around 300 nm and 340 nm. We interpret the generation ofthese two signals as third harmonic signals that propagate in high order spatial modes.
Keywords: nonlinear optics,fiber optics, third harmonic generation.
vi
Agradecimientos
Mi mayor agradecimiento es para mi familia. A mis padres por el amor y el carino
que me han brindado, que me acompana a donde quiera que voy. Por su confianza y
apoyo que me sostiene en cada paso que doy en la vida, por apoyarme en mis decisiones
y alentarme a seguir adelante, porque siempre que estan conmigo me siento en casa.
A mis hermanas Carolina y Monica, porque en ellas siempre encuentro una mano amiga
para continuar, un buen consejo, por alegrarme la vida, por recordarme cual es mi camino
y por su ejemplo de vida que siempre me invita a ser una persona mas completa.
A la familia Gomez por el apoyo incondicional y la ayuda que me brindaron desde que
los conocı, por tratarme como parte de la familia y acompanarme en momentos difıciles.
A la familia Cordova por abrirme las puertas de su casa y brindarme la oportunidad
de compartir con ellos, por los abrazos de chicos y grandes con los que me recibıan en
su casa.
A Margoth por todos los momentos y platicas significativas que compartimos, por la
franqueza de sus palabras que siempre me ayudaron a ver mas alla de lo inmediato, por
la risas con y sin sentido que tuvimos juntas.
A Enrique por su amistad y ayuda que me hicieron saber que siempre contaba con
alguien, por saber escucharme y entenderme, por los silencios que compartimos.
A Ivan, Daniel y Cristian por los momentos que compartimos en la maestrıa, por la
amistad y companerismo que nos unio durante las materias para hacernos los dıas mas
ligeros.
A mis companeros y amigos, Miriam, Citlali, Hector, Manuel, Daniel, Sergio, Ivan, Lalo,
Giovanni, por todas las platicas y momentos que compartimos dentro y fuera del CICESE.
vii
A Mony y Carlos, grandes amigos que conocı en Ensenada. Estoy segura que su
amistad continuara mas alla de Ensenada.
A mis profesores por todas las herramientas que me brindaron durante el ano de
materias, por sus ensenanzas y por compartirme su experiencia.
A mis codirectores de tesis: Dra. Karina Garay y Dr. Raul Rangel por su confianza y
por todo lo que me han aportado para crecer en mi formacion academica.
A mis companeros de laboratorio, Jacob, Jazmın, Carlos, Hector, Boni, por sus conse-
jos y ayuda durante mi trabajo en el laboratorio.
Al Dr. Israel por su ayuda y consejos dentro y fuera del laboratorio.
A los tencinos Marcos y Eliseo por la disposicion que mostraron para ayudarme en mi
trabajo. Por los consejos que me dieron para mejorar mi forma de trabajo.
A mi comite de tesis: Dr. Anatoly Khomenko, Dr. Eugenio Mendez y Dr. Manuel Herra-
ra, por sus comentarios y aportaciones a mi trabajo de tesis.
Al Dr. Santiago por el apoyo que me brindo durante mi ingreso a la maestrıa.
Al Centro de Investigacion Cientıfica y de Educacion Superior de Ensenada.
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologıa (CONACyT) por brindarme el apoyo
economico para realizar mis estudios de maestrıa.
viii
Tabla de contenidoPagina
Resumen en espanol iii
Resumen en ingles iv
Dedicatoria v
Agradecimientos vi
Lista de figuras ix
1. Introduccion 11.1. Objetivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Estructura de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Fibras opticas y procesos no lineales. 72.1. Fibras opticas y sus propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Propagacion lineal en fibras opticas. Atenuacion y dispersion. . . . . . 92.3. Fibras Microestructuradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1. Modelo teorico de la fibra microestructurada. . . . . . . . . . . 162.3.2. Expresiones del campo electromagnetico. . . . . . . . . . . . . 16
2.4. Procesos no lineales de tercer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5. Procesos parametricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.1. Mezcla de cuatro ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.2. Generacion de tercer armonico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6. Procesos no parametricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3. Propiedades de Empatamiento de Fases. 333.1. Calculo de la dispersion de velocidad de grupo. . . . . . . . . . . . . . 333.2. Calculo de empatamiento de fases para procesos parametricos. . . . 35
3.2.1. Empatamiento de fases para el proceso de FWM. . . . . . . . 393.2.2. Empatamiento de fases para el proceso de THG . . . . . . . . 47
4. Implementacion experimental y resultados. 554.1. Descripcion de la propuesta experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2. Caracterizacion del pulso de bombeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.1. Perfil espectral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2.2. Perfil temporal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3. Generacion de supercontinuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4. Generacion de senales en la region del espectro UV. . . . . . . . . . . 65
4.4.1. Variacion de la senal con cambios de potencia. . . . . . . . . . 684.4.2. Variacion de la senal con cambios de polarizacion. . . . . . . . 70
4.5. Analisis de los resultados obtenidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.6. Comparacion de resultados experimentales y teoricos. . . . . . . . . . 784.7. Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5. Resumen y conclusiones 86
Lista de referencias 89
ix
Lista de figurasFigura Pagina
1. Perdidas inducidas en una fibra optica mediante diferentes mecanismosfısicos (tomado de referencia Saleh y Teich, 1991). . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Propagacion de un pulso en un medio lineal dispersivo, en el regimen dedispersion normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3. Propagacion de un pulso en un medio lineal dispersivo, en el regimen dedispersion anomalo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4. Corte transversal de una MSF y sus correspondientes parametros geometri-cos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5. Esquema del proceso de mezcla de cuatro ondas con un bombeo dege-nerado. En el esquema las flechas que representan a los dos fotones debombeo se dibujaron con la misma longitud, para representar que ambosfotones tienen la misma frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6. Esquema del proceso de generacion de tercer armonico. . . . . . . . . . . 28
7. Representacion esquematica del esparcimiento Raman espontaneo. a) Ge-neracion de onda Stokes y b) Generacion de onda anti-Stokes. . . . . . . . 32
8. Curvas de la DVG en diferentes fibras. (a) Modos de propagacion HE1m
correspondientes a la fibra NL 1.8 730. (b) Modos de propagacion HE2m
correspondientes a la fibra NL 2.4 800. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9. Curvas de la DVG en diferentes fibras. (a) Modos de propagacion EH1m
correspondientes a la fibra NL 2.5 810. (b) Modos de propagacion EH2m
correspondientes a la fibra SC 5.0 1040. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
10. Diagrama de empatamiento de fases para la fibra NL 1.8 730 con los cuatrocampos propagandose en el modo HE12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
11. Diagrama de empatamiento de fases para la fibra NL 2.5 810 con los cuatrocampos propagandose en el modo HE13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
12. Diagrama de empatamiento de fases para la fibra NL 2.5 810 cuando losdos campos de bombeo se propagan en el modo HE11 y los dos camposgenerados en el modo HE11 y HE12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
13. Diagrama de empatamiento de fases para la fibra SC 5.0 1040 cuando loscuatro campos se propagan en el modo HE13. . . . . . . . . . . . . . . . . 44
14. Diagrama de empatamiento de fases para la fibra SC 5.0 1040 cuando losdos campos de bombeo se propagan en el modo HE11 y los dos camposgenerados en el modo HE12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
x
Lista de figuras (continuacion)
Figura Pagina
15. Valor de la funcion de desempatamiento de fases para la fibra NL 1.8 730,al permitir la propagacion del tercer armonico en los modos: (a) HE1m (b)HE2m (c) HE3m. La insercion muestra el valor de la funcion desempata-miento de fases sin considerar la fase no lineal (negro) y considerando lafase no lineal (rojo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
16. Valor de la funcion de desempatamiento de fases para la fibra NL 2.4 800,al permitir la propagacion del tercer armonico en los modos: (a) HE1m. (b)HE2m. (c) HE3m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
17. Valor de la funcion de desempatamiento de fases para la fibra SC 5.0 1040,al permitir la propagacion del tercer armonico en los modos: (a) HE1m. (b)HE2m. (c) HE3m.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
18. Diagrama del arreglo experimental para estudiar los procesos no linealesgenerados en la fibra NL 2.4 800. E1, E2, espejos; L, lente; F filtro; TFMtubo fotomultiplicador; FAV fuente de alto voltaje; PA preamplificador. . . . 57
19. Respuesta espectral tıpica del TFM HAMAMATSU R2557. . . . . . . . . . 58
20. Perfil espectral del laser Ti:Zafiro modelo Griffin. . . . . . . . . . . . . . . . 59
21. Diagrama del autocorrelador utilizado para medir el ancho temporal del pulso. 61
22. Traza de autocorrelacion de intensidad del campo de bombeo. . . . . . . . 62
23. Perfil espectral a la salida del laser Ti:Zafiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
24. Espectros a la salida de la fibra NL 2.4 800 en la region del visible e IRcercano: (a) al variar la potencia del campo de bombeo (b) el angulo derotacion de la fibra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
25. Perfil espectral del laser Ti:Zafiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
26. Espectros a la salida de la fibra NL 2.4 800 en la region del UV. . . . . . . . 67
27. Diagrama del arreglo experimental para estudiar el proceso THG. E1, E2,espejos; L, lente; F filtro; TFM tubo fotomultiplicador; FAV fuente de altovoltaje; TA-D tarjeta analogica-digital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
28. Espectros generados a la salida de la fibra NL 2.4 800 en la region del UVcon diferente perfil espectral del campo incidente en la fibra y condicionesde acoplamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
29. Arreglo experimental que permite controlar la potencia y la polarizacion delcampo proveniente del laser de Ti:Zafiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
xi
Lista de figuras (continuacion)
Figura Pagina
30. Espectros generados a la salida de la fibra en la region del espectro UV alvariar la potencia del campo incidente en la fibra. En la esquina superiorderecha se encuentra el perfil de intensidad a la salida de la fibra. . . . . . 70
31. Graficas Log-Log de la intensidad de la senales en funcion de la potenciadel campo incidente en la fibra: a) senal centrada alrededor de 300 nm. b)senal centrada alrededor de 340 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
32. Graficas de la intensidad de la senales en funcion de la polarizacion delcampo incidente en la fibra: a) senal centrada alrededor de 300 nm. b)senal centrada alrededor de 340 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
33. Imagenes del corte transversal de la fibra NL 2.4 800 adquiridas con unSEM a diferentes escalas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
34. Generacion de tercer armonico mediante la participacion de tres fotones debombeo con la misma longitud de onda: a) Diagrama de niveles de energıapara dicho proceso. b) Calculo de empatamiento de fases de dicho proceso. 75
35. Diagrama de niveles de energıa para el proceso de THG con un campo debombeo no degenerado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
36. Calculo de empatamiento de fases cuando el tercer armonico viaja en mo-dos de orden superior: a) modo EH13 (b) modo HE52 (c) modo EH51. . . . 78
37. a) Calculo de empatamiento de fases cuando el tercer armonico viaja en elmodo HE52. b) Espectro generado en la region del espectro UV. c) Corres-pondiente espectro del SC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
38. a) Calculo de empatamiento de fases cuando el tercer armonico viaja en elmodo EH51. b) Espectro generado en la region del UV. c) Correspondienteespectro del SC.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
xii
Lista de tablasTabla Pagina
1. Parametros de las cuatro fibras disponibles . . . . . . . . . . . . . . . 33
2. Valores asociados a las soluciones a la condicion de empatamientode fases para la fibra NL 1.8 730 cuando el tercer armonico viaja enun modo HElm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3. Valores asociados a la soluciones a la condicion de empatamiento defases para la fibra NL 2.4 800 cuando el tercer armonico se propagaen un modo HElm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4. Valores asociados a las soluciones a la condicion de empatamientode fases para la fibra SC 5.0 1040 cuando el tercer armonico sepropaga en un modo HElm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5. Parametros de la fibra NL 2.4 800 otorgados por el fabricante. . . . . 74
6. Valores asociados a las soluciones a la condicion de empatamientode fases para la fibra NL 2.4 800. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1
Capıtulo 1. Introduccion
El estudio de procesos no lineales es un campo de estudio de la optica que ha mostra-
do un gran desarrollo, tanto en la parte experimental como en la teorica. Sus aplicaciones
se extienden a diversas areas como medicina, biologıa, telecomunicaciones, entre otras.
Dependiendo del interes, a lo largo del estudio de estos procesos se han utilizado di-
ferentes materiales como: cristales no lineales, compuestos organicos, guıas de onda,
nanopartıculas, etc. En este trabajo se estudiaron procesos no lineales de tercer orden
en fibras opticas, debido a las grandes longitudes de interaccion que presentan, en com-
paracion con el uso de otros materiales como lo son cristales no lineales.
La mayorıa de las fibras opticas utilizadas en comunicaciones opticas estan hechas de
sılice fundida (SiO2), material que exhibe una atenuacion muy baja en la region espectral
alrededor de λ=1550 nm. Debido a que el coeficiente no lineal de este material es muy
bajo comparado con el de otros materiales, la intensidad de los procesos no lineales que
pudieran manifestarse es muy baja. No obstante, debido a la dependencia de estos pro-
cesos con la potencia del campo incidente y la longitud de interaccion entre los campos,
los efectos opticos no lineales a altos niveles de potencia optica no pueden ser ignorados,
en un segmento largo de fibra (Yariv y Yeh, 2007). El estudio del origen de los fenomenos
no lineales indica que la susceptibilidad electrica de segundo orden es diferente de cero
unicamente en materiales no centrosimetricos. Debido a la naturaleza centrosimetrica de
la matriz vıtrea del SiO2, la susceptibilidad electrica de segundo orden desaparece en las
fibras de sılice. Como resultado, las fibras opticas no exhiben, convencionalmente, efec-
tos no lineales de segundo orden (Agrawal, 2001). Tıpicamente, los procesos no lineales
de mas bajo orden en fibras opticas se derivan de la susceptibilidad no lineal (electronica)
de tercer orden, responsable de fenomenos como refraccion no lineal, mezcla de cuatro
ondas, generacion de tercer armonico, automodulacion de fase, esparcimiento Raman,
etc.
Hoy en dıa se utilizan fibras microestructuradas, tambien conocidas como fibras de
cristal fotonico, para el estudio de fenomenos no lineales, debido a que estas presentan
un valor mayor en el coeficiente no lineal efectivo en comparacion con el de las fibras con-
vencionales. Las fibras microestructuradas son una clase de fibras opticas en las que la
2
cubierta contiene un arreglo regular y periodico de agujeros rellenos de aire que corren a
lo largo de toda la fibra (Genty et al., 2002). Los agujeros de aire alrededor del nucleo dis-
minuyen el ındice de refraccion de la cubierta permitiendo guiar la luz al interior de la fibra
por el principio de reflexion total interna, como en las fibras opticas convencionales. La
diferencia entre el valor del ındice de refraccion de la cubierta y el nucleo es una cantidad
importante que determina algunas de las propiedades de una fibra optica, dicha diferen-
cia es representada por el valor del contraste dielectrico. En una fibra microestructurada
la disminucion en el valor del ındice de refraccion de la cubierta, y en consecuencia el au-
mento en el valor del contraste dielectrico, es tal que los modos guiados presentan un alto
confinamiento en el nucleo. El alto confinamiento de los modos guiados realza la intensi-
dad pico y permite aumentar, de esta forma, la eficiencia de los procesos no lineales. Otra
propiedad importante de las fibras microestructuradas es la posibilidad de obtener fibras
con caracterısticas de dispersion favorables para estudiar procesos no lineales. El control
de las propiedades de dispersion de la fibra se realiza por medio del diseno adecuado
de la geometrıa de la cubierta, es decir, por medio de una distribucion adecuada de los
agujeros de aire en esta. En las fibras convencionales de sılice la longitud de onda donde
la dispersion es cero, λZD, no puede estar por debajo de 1.28 µm (Francoy et al., 2010),
mientras que en las fibras microestructuradas λZD se puede recorrer desde el visible has-
ta el infrarrojo cercano (Bjarklev et al., 2003). Esta caracterıstica es muy relevante para el
desarrollo de aplicaciones basadas en optica no lineal, ya que permite utilizar como laser
de bombeo toda la gama de laseres que emiten en torno a 800 nm (Ti:Zafiro) o a 1µm
(Nd:YAG, o basados en Yb), al sintonizar la longitud de onda de cero dispersion de la fibra
alrededor de la longitud de onda central de los pulsos laser; disminuyendo de esta forma
el ensanchamiento de los pulsos causados por efectos de dispersion. En consecuencia,
la longitud de coherencia de las interacciones no lineales aumenta, debido a que es po-
sible conseguir un traslape temporal de dos pulsos opticos que se propagan a diferente
longitud de onda. Por otro lado, tambien es posible obtener fibras microestructuradas que
presentan dos valores diferentes de λZD (Husakou y Herrmann, 2001).
Las fuentes de luz no clasicas han sido ampliamente utilizadas en el area de me-
trologıa cuantica e informacion cuantica. El uso de tripletes de fotones (generados por
medio del proceso de conversion parametrico descendente) se ha propuesto como una
3
nueva herramienta para la optica cuantica y la optica no lineal (Douady y Boulanger, 2004;
Hubel et al., 2010); como el uso de pares de fotones (generados, entre otros, por medio
de mezcla de cuatro ondas) lo ha sido por aproximadamente 40 anos. La generacion de
tripletes de fotones es el proceso parametrico inverso a la generacion del tercer armonico
y requiere, por tanto, de las mismas condiciones de empatamiento de fases. Aumentar
la eficiencia (extremadamente pequena) del proceso de conversion parametrica descen-
dente constituye un reto significativo por resolver.
Por otro lado, modos de orden superior pueden tener aplicaciones en el estudio de
interacciones de luz con la materia. Los modos de orden superior soportados por la fibra
constituyen un recurso interesante para el estudio de interacciones de objetos, que pue-
den ser biologicos, con luz. Adicionalmente, el campo evanescente de un modo de orden
superior propagandose en una fibra de escalas nanometricas, podrıa producir una torca
sobre un objeto cercano, la cual se manifestarıa en un movimiento rotacional del objeto
alrededor de la fibra, si el modo exhibe momento angular orbital (McGloin et al., 1998).
En el caso del proceso de FWM la condicion de empatamiento de fases se cumple
para un intervalo de longitudes de onda. Ası, las diversas soluciones a la condicion de
empatamiento de fases definen una curva de empatamiento de fases. En el proceso de
FWM las curvas de empatamiento de fases estan relacionadas con los puntos λZD de la
fibra optica, observandose que la curva de empatamiento de fases se encuentra en las
vecindades de este punto. Para el caso particular en el cual dos λZD estan presentes,
la curva de empatamiento de fases se encuentra definida entre estos dos puntos. Ası, al
trabajar con modos de orden superior se hace posible trasladar las zonas espectrales en
las cuales se generan senales parametricas por mezcla de cuatro ondas, manteniendo las
propiedades que se presentan cuando el campo de bombeo y los campos generados se
propagan en el modo fundamental. La observacion de modos de orden superior en fibras
convencionales multimodales a traves del proceso no lineal de mezclado de cuatro ondas
fue reportado por primera vez por Stolen (Stolen y Leibolt, 1976), donde las componentes
Stokes y Antistokes fueron generadas en diferentes modos guiados.
Con respecto al proceso de THG, la amplia separacion espectral entre el campo de
bombeo y el campo generado impide cumplir la condicion de empatamiento de fases en
4
fibras monomodales, debido a efectos de dispersion. Mas aun, en fibras opticas multimo-
dales que se caracterizan por tener una pequena diferencia entre el valor del ındice de
refraccion del nucleo y la cubierta (fibras convencioneales), no es posible cumplir la con-
dicion de empatamiento de fases para el proceso de tercer armonico. Este tipo de fibras,
tambien conocidas como fibras de guiado debil, poseen un valor pequeno del contraste
dielectrico. La generacion de tercer armonico ha sido previamente observada en fibras de
cristal fotonico (Ivanov et al., 2006) o bien en fibras opticas adelgazadas (tapers) (Wie-
demann et al., 2010). En estos casos se observo que la senal de tercer armonico se
propaga en un modo de orden superior, mientras que la senal de bombeo se propaga
en el modo fundamental. Dicha configuracion modal permite cumplir con la condicion de
empatamiento de fases. El estudio del tercer armonico en tapers ha demostrado una alta
dependencia con el valor del diametro de la fibra, debido a la sensibilidad de la condicion
de empatamiento con este parametro. Por lo anterior, la conversion del tercer armonico
esta limitada por la condicion de empatamiento de fases, que se cumple unicamente en
la region de la cintura del taper. En la mayorıa de los casos la cintura del taper tiene una
longitud del orden de milımetros. En dicha region, se hace posible la interaccion entre el
campo fundamental y el campo del tercer armonico (Coillet y Grelu, 2012). Por otro lado,
el estudio del tercer armonico en fibras microestructuradas permite aumentar la eficiencia
del proceso cuando la condicion de empatamiento de fases se cumple a lo largo de toda
la fibra.
En el presente trabajo se propone estudiar los procesos no lineales generados a par-
tir de la interaccion de campos propagandose en distintos modos. La propagacion de
modos de orden superior en el estudio de fenomenos no lineales generados en fibras
microestructuradas presenta mayores alternativas, frente a la propagacion en el modo
fundamental. Concretamente, los procesos no lineales de interes para el presente tra-
bajo son los procesos parametricos: mezcla de cuatro ondas (FWM por sus siglas en
ingles Four Wave Mixing) y generacion de tercer armonico (THG por sus siglas en ingles
Third Harmonic Generation). En los procesos parametricos es necesario cumplir con la
condicion de empatamiento de fases (conservacion de momento) para obtener procesos
eficientes.
5
1.1. Objetivos.
El objetivo principal de la tesis es implementar tecnicas para la excitacion de modos
de orden superior en fibras microestructuradas y estudiar los procesos no lineales ori-
ginados por la interaccion de campos propagandose en diferentes modos transversales.
Particularmente, para el estudio de procesos parametricos no lineales de tercer orden se
fijaron los siguientes objetivos especıficos:
Identificar los modos de propagacion involucrados en el proceso no lineal generado.
Estudiar la dependencia de las senales generadas con cambios en la intensidad y
la polarizacion del campo incidente en la fibra.
1.2. Estructura de la tesis
La tesis que se presenta se ha estructurado en cinco capıtulos. Tras esta introduccion,
en el capıtulo 2 se describe el principio de funcionamiento y las principales caracterısticas
de una fibra optica. Se describen tambien las principales caracterısticas de la propaga-
cion lineal en fibras opticas y los principales problemas que presentan por efectos de
atenuacion y dispersion. Posteriormente, se describen las caracterısticas de una fibra mi-
croestructurada y su posible aproximacion a una fibra con un perfil de ındice escalonado;
dicha aproximacion permitira realizar calculos de interes para el presente trabajo. Final-
mente, se presenta una breve introduccion a los procesos no lineales de tercer orden,
con especial enfasis en los procesos parametricos de interes: mezcla de cuatro ondas y
generacion del tercer armonico.
En el capıtulo 3 se presentan calculos de la dispersion de velocidad de grupo de los
diferentes modos de propagacion que soportan las fibras microestructuradas. Posterior-
mente, se presentan los calculos de empatamiento de fases que mayor interes presen-
taron por su posible implementacion experimental con el laser de Ti:Zafiro. Primero se
presentaron los calculos para el proceso de FWM y posteriormente para el proceso de
THG en cuatro diferentes fibras disponibles en el laboratorio de Pulsos Ultracortos. En el
caso del proceso de THG se calculo el valor del coeficiente no lineal γ.
6
De acuerdo a los resultados de los calculos que presentamos en el capıtulo anterior,
en el capıtulo 4 se describe el arreglo experimental que se implemento para estudiar
el proceso de THG. Se presenta la caracterizacion temporal y espectral del campo de
bombeo proveniente del laser de Ti:Zafiro y posteriormente los espectros generados a la
salida de la fibra microestructurada. Los espectros incluyen la generacion de un super-
continuo y de senales en la region espectral del UV; las senales generadas en la region
del espectro UV fueron estudiadas con cambios en la polarizacion y la potencia del cam-
po acoplado a la fibra. Por ultimo, se presenta una discusion de los resultados obtenidos
experimentalmente y su comparacion con los calculos realizados.
Finalmente, en el capıtulo 5, se presentan un resumen y las conclusiones del presente
trabajo.
7
Capıtulo 2. Fibras opticas y procesos no lineales.
En este capıtulo se presentan las principales caracterısticas y propiedades de una fi-
bra optica, ası mismo se justifica el modelo teorico bajo el cual se realizaron los calculos
pertinentes a las fibras microestructuradas y se derivan algunas de las expresiones de di-
cho modelo. Por ultimo, se describe el origen de los procesos no lineales de tercer orden,
se describe brevemente algunos de ellos y se presentan algunas de las expresiones mas
importantes de los procesos parametricos no lineales de tercer orden.
2.1. Fibras opticas y sus propiedades.
Una fibra optica es una guıa de onda cilındrica que se caracteriza por el valor en el
ındice de refraccion del nucleo y la cubierta, n1 y n2 respectivamente, por la relacion que
se debe de cumplir entre ambos ındices n1 > n2, ası como por el valor del radio del
nucleo a. De acuerdo a la forma funcional del ındice de refraccion en el nucleo y en la
cubierta, las fibras opticas convencionales se clasifican principalmente en dos: fibras con
perfil de ındice escalonado y fibras con perfil de ındice gradual. En una fibra con perfil
de ındice escalonado el valor del ındice de refraccion es uniforme en el nucleo y tambien
en la cubierta, con un cambio abrupto (entre el valor de ambos ındices) en la interfaz
nucleo-cubierta. Por otro lado, en una fibra con perfil de ındice gradual, como su nombre
lo indica, el valor del ındice de refraccion varıa gradualmente desde un valor maximo en el
centro del nucleo hasta un valor mınimo en la interfaz nucleo-cubierta el valor del ındice
de refraccion del nucleo es mınimo.
Cuando un haz de luz incide en una fibra optica el haz es guiado dentro del nucleo
de la fibra, por el principio de reflexion interna total, siempre que el haz incida dentro del
cono de aceptacion de la fibra. El angulo θm = arcsen(NA) define el cono de aceptacion
de una fibra optica, en donde NA =√n21 − n2
2 es la apertura numerica de la fibra. Ası,
cuando un haz incide a un angulo menor a θm se dice que el haz incide dentro del cono
de aceptacion de la fibra y por tanto es guiado dentro del nucleo. Una fibra soporta un
determinado numero de modos de propagacion. Un modo es una distribucion del campo
cuyo perfil transversal y polarizacion se mantienen constante al propagarse. El parametro
V, tambien llamado frecuencia normalizada, permite calcular el numero de modos que
8
soporta la fibra; es ademas un parametro clave en la caracterizacion de una fibra. Su
valor depende de los parametros de la fibra y de la longitud de onda λ del haz incidente,
matematicamente se expresa como
V = κ0a√n21 − n2
2 =2π
λaNA. (1)
El numero de modos soportados por una fibra es funcion creciente de V. En una fibra
con un perfil de ındice escalonado (Seccion 2.3.1) se cumple que V < 2.405 para fibras
monomodales, en las que solo se propaga el modo fundamental. Para V > 2.405 la fibra
puede soportar la propagacion de dos o mas modos, en este caso la fibra se denomina
fibra multimodal (Agrawal, 2001). Para obtener fibras monomodales usualmente se redu-
ce el radio del nucleo de la fibra, por consiguiente la diferencia geometrica mas relevante
entre las fibras monomodo y multimodo viene dada por el tamano del nucleo. Para todo
modo guiado, a excepcion del modo fundamental, existe una longitud de onda de corte
λc. La longitud de onda de corte λc se refiere a una cota o lımite superior respecto a la
longitud de onda λ maxima que puede ser guiada a lo largo de la fibra. Cerca de la con-
dicion de corte la mayor parte de la energıa del correspondiente modo se propaga por
la cubierta, se trata de modos poco confinados. En las fibras opticas convencionales se
introducen elementos dopantes en el nucleo y/o en la cubierta, modificando ası el valor
del ındice de refraccion correspondiente. De esta forma, se logra aumentar el ındice de
refraccion del nucleo en comparacion con el de la cubierta, condicion necesaria para guiar
la luz por reflexion total interna. Los modos de propagacion de una fibra optica conven-
cional son usualmente referidos como modos LP , o bien modos linealmente polarizados.
Los modos LP son soluciones aproximadas al problema de un campo electromagnetico
propagante dentro de una fibra optica. La aproximacion supone que el campo tiene una
unica componente transversal. Esta aproximacion es valida en fibras opticas convencio-
nales en donde la diferencia entre el ındice de refraccion del nucleo n1 y la cubierta n2 es
muy pequena. Cuando la diferencia entre n1 y n2 es grande los modos de propagacion
son referidos como modos hıbridos. Las caracterısticas de estos modos seran tratadas
mas adelante.
Las propiedades opticas del medio que conforma a la fibra, incluyendo su atenuacion
9
y efectos de dispersion, son puntos claves para describir la transmision de pulsos de luz
a traves de una fibra optica. A continuacion se describen estas propiedades.
2.2. Propagacion lineal en fibras opticas. Atenuacion y dispersion.
En una fibra optica existen diversos mecanismos que dan lugar a perdidas de energıa,
las cuales se miden por medio de la atenuacion. La atenuacion en una fibra se debe a
aspectos propios de la fibra, atenuacion intrınseca, o bien a aspectos externos a ella, ate-
nuacion extrınseca. La atenuacion intrınseca, como su nombre lo indica, tiene su origen
en la naturaleza del material y por tanto esta presente en cualquier tipo de fibra. La absor-
cion ultravioleta e infrarroja y el esparcimiento Rayleigh y Raman, son algunos ejemplos
de los fenomenos fısicos que dan lugar a la atenuacion intrınseca. La molecula de SiO2,
material que compone a la mayorıa de las fibras opticas, presenta una banda de absorcion
en el IR mediano (debido a transiciones energeticas relacionadas con vibraciones termi-
cas) y otra banda de absorcion en el UV (debido a transiciones relacionadas con estados
energeticos electronicos y moleculares), induciendo perdidas en la fibra optica al trans-
mitir en estas regiones del espectro. Para explicar las perdidas debido al esparcimiento
Rayleigh debemos recordar que en cualquier material dielectrico, el ındice de refraccion
presenta pequenas inhomogeneidades distribuidas al azar debido a irregularidades mi-
croscopicas. Estas irregularidades se comportan como centros esparcidores discretos
cuando una onda luminosa incide sobre este medio. En una fibra optica, las inhomoge-
neidades presentes difunden la luz que atraviesa la fibra en todas direcciones (radiacion
Rayleigh). En consecuencia una parte de la energıa luminosa guiada por la fibra se pierde
por esparcimiento. Este fenomeno afecta mayoritariamente a longitudes de onda cortas
y esta relacionado con el caracter discreto del material aunque este sea modelado como
un medio dielectrico continuo (Saleh y Teich, 1991). La atenuacion extrınseca, al tener su
origen en aspectos externos a la fibra, es mas controlable. La presencia de impurezas o
la curvatura inducida en una fibra son algunos ejemplos que dan lugar a perdidas por ate-
nuacion de tipo extrınseco. Una pequena cantidad de impurezas puede inducir grandes
perdidas en la transmision. Las impurezas mas importantes que afectan las transmision
de un onda son los iones de OH, los cuales presentan un pico de absorcion principal al-
rededor de λ=1400 nm. En la figura 1 es posible observar las perdidas inducidas en una
10
fibra optica debido a los diferentes mecanismos fısicos mencionados anteriormente.
Ate
nuac
ión
de fi
bra
(dB
/Km
)
Longitud de onda (μm)
Figura 1: Perdidas inducidas en una fibra optica mediante diferentes mecanismos fısicos (tomadode referencia Saleh y Teich, 1991).
Por otro lado, cuando un pulso de luz se propaga a traves de un medio optico expe-
rimenta un fenomeno fısico conocido como dispersion. La dispersion tiene su origen en
la interaccion entre los electrones del medio y el campo incidente. En un medio optico, la
relacion de dispersion esta dada por
β(ω) = n(ω)ω
c, (2)
donde β(ω) y n(ω) son respectivamente, la constante de propagacion y el ındice de re-
fraccion a la frecuencia ω y c es la velocidad de la luz en el vacıo. Esta relacion indica
que cuando un pulso se propaga a traves de un medio cada frecuencia del pulso viaja a
diferente velocidad; en consecuencia se produce un ensanchamiento temporal del pulso
y la forma del mismo cambia.
En una fibra optica la dispersion tiene un papel crıtico en la propagacion de pulsos opti-
cos de corta duracion, debido a que las diferentes componentes espectrales asociadas
al pulso viajan a diferente velocidad; cada componente espectral viaja a una velocidad de
fase dada por vf = c/n(ω). Para una senal con un ancho espectral finito la velocidad de
fase no es la cantidad mas adecuada para describir la propagacion de la onda. Se define
11
por tanto a la velocidad de grupo como vg = (dω/dκ), que representa la velocidad a la
cual el centro del pulso se propaga. Si un paquete de ondas centrado a una frecuencia
ω0 se propaga en el vacıo, la velocidad de fase y la velocidad de grupo son constantes e
iguales a c, en cuyo caso el medio se identifica libre de dispersion.
En una fibra optica se presentan principalmente tres tipos de dispersion: dispersion
del material, dispersion de guıa y dispersion modal. La dispersion del material expresa la
dependencia del ındice de refraccion n del medio, y en consecuencia de la velocidad de
fase de la onda, con la frecuencia ω de la onda incidente; esto es n = n(ω). La dispersion
del material se relaciona con las frecuencias caracterısticas de resonancia a las cuales
el material absorbe radiacion electromagnetica. Lejos de las resonancias del material, el
ındice de refraccion se aproxima por la ecuacion de Sellmeier
n2(ω) = 1 +m∑j=1
Bjω2j
ω2j − ω2
, (3)
donde ωj indica la frecuencia de resonancia de orden j y Bj su peso respectivo (Agrawal,
2001). Este tipo de dispersion esta siempre presente en un medio material, mientras que
la dispersion de guıa de onda y modal son exclusivas de los dispositivos de guiado de luz.
La dispersion de guıa de onda se refiere a la dependencia de la velocidad de grupo con
la longitud de onda del haz incidente, incluso cuando la dispersion del material es des-
preciable. Esta dependencia se debe a que la distribucion del campo en la fibra depende
de la razon entre el radio a de la fibra y la longitud de onda λ incidente. Si esta cantidad
cambia, al variar λ, la proporcion de potencia optica entre el nucleo y la cubierta cambia.
Debido a que la velocidad de fase en el nucleo y la cubierta son distintas, la velocidad de
grupo se modifica. La dispersion de guıa de onda es importante en fibras monomodales
donde la dispersion modal no esta presente y la dispersion del material puede reducirse
considerablemente para ciertas longitudes de onda. La dispersion modal, tambien cono-
cida como dispersion intermodal, se presenta unicamente en fibras multimodales, donde
los diferentes modos de propagacion adquieren diferente velocidad de grupo. El ensan-
chamiento por dispersion modal es proporcional a la longitud de la fibra y depende de la
velocidad de grupo maxima y mınima de los modos que se propagan.
12
A partir de la descripcion anterior, es posible notar que tanto la dispersion del material
como la dispersion de guıa de onda dependen de la frecuencia ω de la onda incidente.
El efecto combinado de la dispersion material y la dispersion de guıa de onda se conoce
como dispersion cromatica. La dispersion cromatica, tambien conocida como dispersion
intramodal, tiene su origen en el pequeno pero finito ancho de banda de la luz incidente.
La forma sencilla de la relacion de dispersion descrita en la ecuacion (2) no describe
adecuadamente la curva de dispersion cromatica en una fibra optica. Dado que rara vez
se conoce una forma funcional exacta de la relacion de dispersion, resulta util hacer una
expansion en una serie de Taylor de β(ω) alrededor de la frecuencia central del espectro
del pulso ω0
β(ω) = β0 + (ω − ω0)β1 +1
2(ω − ω0)
2β2 +1
6(ω − ω0)
3β3 + . . . , (4)
donde
β(ω)m =
(dmβ(ω)
dωm
)ω=ω0
. (5)
El parametro β0 esta relacionado con la velocidad de fase vf , mientras que β1 re-
presenta el inverso de la velocidad de grupo vg; β2 es conocido como el parametro de
dispersion de la velocidad de grupo (DVG) y es responsable del ensanchamiento de los
pulsos que se propagan en el regimen lineal a lo largo de la fibra (Agrawal, 2001). Los
terminos βj con j > 2 corresponden a efectos de dispersion de orden superior. En termi-
nos matematicos, lo anterior se expresa como
β0 =ω0
vf, (6)
β1 =1
vg=
1
c
(n+ ω
dn
dω
), (7)
β2 =1
c
(2dn
dω+ ω
d2n
d2ω
). (8)
Por otro lado, el coeficiente de dispersion cromatica D (mas utilizado en la practica)
esta definido como
D =dβ1
dλ= −2πc
λ2β2. (9)
13
Podemos notar de la ecuacion (9) que D y β2 tienen signo contrario. Una caracterıstica
notable de las curvas de dispersion de velocidad de grupo es que la dispersion se anula
a una cierta longitud de onda λ. A esta longitud de onda se le denomina longitud de onda
de cero dispersion o bien λZD (por sus siglas en ingles zero dispersion). Fısicamente la
longitud de onda de cero dispersion representa la longitud de onda a la cual la dispersion
de guıa de onda compensa la dispersion del material de la fibra. Dado que la dispersion de
guıa de onda depende fundamentalmente de los parametros de diseno de la fibra, tales
como a y la diferencia entre los ındices de refraccion n1 y n2, λZD puede recorrerse a
puntos convenientes del espectro. Cabe mencionar que λZD es diferente para cada modo
espacial debido a la dispersion modal, por lo que es necesario determinar la constante de
propagacion de cada modo para determinar λZD. El hecho de operar con la longitud de
onda λZD de la fibra no implica que los pulsos no presentan dispersion alguna. Esto solo
significa que los efectos dispersivos de segundo orden estan ausentes y que por tanto la
dispersion de tercer orden es el termino de dispersion dominante.
La longitud de onda λZD define dos regimenes de dispersion dentro de la fibra (Agra-
wal, 2001). Por debajo de λZD (D < 0, β2 > 0) se dice que la propagacion se efectua en el
regimen de dispersion normal, el cual exhibe la mayorıa de los materiales transparentes
en la region del espectro visible. En este regimen las componentes de mas alta frecuen-
cia del pulso, las componentes azules, viajan a menor rapidez que las componentes de
baja frecuencia, componentes rojas. Considerando los efectos en el pulso conforme se
propaga, el borde anterior del pulso contendra despues de cierta distancia una mayor
concentracion de frecuencias bajas (rojas, R), mientras que el borde de salida contendra
una mayor concentracion de altas frecuencias (azules, A). Este efecto se ilustra en la fi-
gura 2. En contraste, por encima de λZD (D > 0, β2 < 0) se dice que la fibra presenta un
regimen de dispersion anomalo, en donde ahora las componentes de mas alta frecuen-
cia del pulso, azules, viajan a mayor rapidez que las componentes de menor frecuencia,
rojas. Considerando los efectos en el pulso conforme se propaga, el borde anterior del
pulso contendra, por tanto, despues de cierta distancia una mayor concentracion de com-
ponentes de altas frecuencias (azules, A), mientras que el borde de salida contendra una
mayor concentracion de bajas frecuencias (rojas, R). Este efecto se ilustra en la figura 3.
14
R A
t tE(t) χ (3)
Figura 2: Propagacion de un pulso en un medio lineal dispersivo, en el regimen de dispersion nor-mal.
E(t) χ (3)
t t
RA
Figura 3: Propagacion de un pulso en un medio lineal dispersivo, en el regimen de dispersion anoma-lo.
Los pulsos pueden sufrir ademas de dispersion por polarizacion. Esta consiste en el
ensanchamiento del pulso propagante, debido a la pequena diferencia que presentan los
modos polarizados en las direcciones x y y en el valor de la constante de propagacion β.
Sin embargo, el ensanchamiento debido a la dispersion por polarizacion es relativamente
pequeno comparado con los efectos de dispersion de velocidad de grupo.
2.3. Fibras Microestructuradas.
Una fibra microestructurada (MSF por sus siglas en ingles microstructured fiber) esta
compuesta por sılice pura tanto en el nucleo como en la cubierta. Su particularidad reside
en la cubierta de la fibra conformada por un arreglo periodico de agujeros de aire que se
extienden a lo largo de toda la fibra. Los agujeros de aire alrededor del nucleo disminuyen
el ındice de refraccion de la cubierta de tal forma que la luz es guiada en el interior de
la fibra por el principio de reflexion interna total. En la figura 4 se muestra un diagrama
esquematico del corte transversal tıpico de una MSF. Los parametros mas importantes de
15
una MSF se indican en la figura 4, tales parametros son: el radio del nucleo a, el diametro
de los agujeros de aire d, y la separacion entre los agujeros de aire Λ.
Figura 4: Corte transversal de una MSF y sus correspondientes parametros geometricos.
La fraccion de llenado es una cantidad adimensional que esta relacionada con la com-
posicion de la cubierta. Concretamente representa la proporcion o fraccion de aire que
compone a la cubierta, su valor maximo es 1 refiriendose a una cubierta conformada de
aire completamente. Matematicamente la fraccion de llenado f se define como f = d/Λ
(Zhang et al., 2012), es decir, la razon entre el diametro de los agujeros de aire y la se-
paracion entre ellos. Diferentes valores del radio del nucleo a y la fraccion de llenado f
modifican las propiedades de dispersion de una MSF. Actualmente, las diferentes combi-
naciones posibles del valor de a y f han permitido controlar la longitud de onda de cero
dispersion λZD en el intervalo de 500 a 1600 nm. Otro parametro importante de una fibra
optica es el contraste dielectrico. El contraste dielectrico se define como
∆ =1
2
[1− n2
1
n22
]≈ n1 − n2
n1
. (10)
En fibras convencionales, donde n1 ≈ n2, es valida la aproximacion. En este caso
el valor del contraste dielectrico es mucho menor que 1, tıpicamente con valores entre
0.001 hasta 0.02, donde los modos de propagacion son conocidos como modos guiados
debilmente (Snyder y Love, 1983). A diferencia de las fibras convencionales, en las MSF
el valor del contraste dielectrico es alto con valores cercanos a 0.5 para fibras de sılice.
16
2.3.1. Modelo teorico de la fibra microestructurada.
La solucion a la ecuacion de onda en una MSF es un problema complejo, debido
a la estructura de la cubierta de la fibra que cuenta con multiples fronteras. Ademas,
la solucion exacta a la ecuacion de onda en una fibra optica existe solamente para un
numero muy limitado de casos, en el presente trabajo se realizo una aproximacion con
respecto a la estructura de la MSF. Se considero a la cubierta como un medio homogeneo
e isotropo con un ındice de refraccion constante. El ındice de refraccion de la cubierta
depende de la fraccion de llenado f a traves de la siguiente expresion (Wong et al., 2005)
n2 = f + (1− f)n1. (11)
De acuerdo a lo anterior, el modelo de la MSF consiste en asumir una fibra con un
ındice de refraccion constante en el nucleo (del SiO2) y un ındice de refraccion constante
en la cubierta expresado mediante la ecuacion (11).
Como se menciono anteriormente, una fibra que cuenta con un perfil de ındice es-
calonado consiste de un ındice de refraccion constante en el nucleo y la cubierta (que
cumple n1 > n2) que exhibe un salto, una discontinuidad entre ambos valores en la in-
terfaz nucleo-cubierta. En consecuencia, el modelo de una MSF (bajo la aproximacion
realizada) corresponde a una fibra con dicho perfil. El perfil de ındice escalonado tiene
una solucion analıtica exacta para los campos modales en guıas de onda planas, fibras
con simetrıa circular y fibras elıpticas. La aproximacion del modelo de ındice escalonado
ha reproducido resultados confiables en el calculo de la dispersion de la fibra, cuando la
fraccion de llenado cumple con la relacion 0.1 < f < 0.9 (Wong et al., 2005).
2.3.2. Expresiones del campo electromagnetico.
La ecuacion de Helmholtz, en conjunto con las ecuaciones del material y las condicio-
nes de frontera, determinan las propiedades de propagacion del campo electromagnetico.
Concretamente, la constante de propagacion permite determinar las caracterısticas de la
onda propagante.
17
Un campo electromagnetico se describe por los vectores de campo electrico E(r, t) y
campo magnetico H(r, t), ambos funciones vectoriales de la posicion (x, y, z) y el tiempo
t. Las seis funciones del campo se relacionan a traves de las ecuaciones de Maxwell,
las cuales en un medio lineal, homogeneo, isotropo, dispersivo y libre de fuentes son
representadas de la siguiente forma
∇× H(r, t) =∂D(r, t)∂t
, (12)
∇× D(r, t) = −∂H(r, t)∂t
, (13)
∇ · B(r, t) = 0, (14)
∇ · D(r, t) = 0, (15)
donde D(r, t) es el vector de desplazamiento electrico y B(r, t) es el vector de induccion
magnetica. A estas cuatro ecuaciones es necesario agregar las relaciones constitutivas
D = ε(ω)E, (16)
B = µ(ω)H, (17)
donde ε(ω) y µ(ω) (unidades MKS) son la permitividad electrica y la permeabilidad magneti-
ca del medio, respectivamente. Para un medio optico µ = 1. Para satisfacer las ecuacio-
nes de Maxwell cada una de las componentes de los campos E y H deben satisfacer la
ecuacion de onda
∇2F(r, t)− 1
v2∂2F(r, t)∂2t
= 0, (18)
donde F(r, t) puede ser el campo electrico E o bien el magnetico H y c es la velocidad de
la luz en el vacıo. Si aplicamos la transformada de Fourier a E(r, t), la ecuacion de onda
puede escribirse en el dominio de las frecuencias como
∇2E(ω, t) + κ20n2E(ω, t) = 0, (19)
donde κ20 = (2π/λ)2 es el numero de onda en el vacıo y n es el ındice de refraccion del
medio. Esta ecuacion es conocida como la ecuacion de Helmholtz y es la ecuacion a
18
resolver para conocer el comportamiento lineal de la luz al propagarse a lo largo de la
fibra. En conjunto con las condiciones de frontera, las soluciones a la ecuacion de Helm-
holtz proporcionan los modos de propagacion de la fibra. Debido a la simetrıa cilındrica
del perfil de ındice de refraccion es conveniente resolver la ecuacion de Helmholtz en el
sistema de coordenadas cilındricas. La ecuacion de Helmholtz para la componente z del
vector E es∂2Ez∂ρ2
+1
ρ
∂Ez∂ρ
+1
ρ2∂2Ez
∂φ2 +∂2Ez
∂z2+ n2κ0
2Ez = 0. (20)
La ecuacion (20) se puede resolver facilmente usando el metodo de separacion de
variables, escribiendo a Ez de la siguiente manera
Ez(ρ, φ, z) = F (ρ)Φ(φ)Z(z). (21)
Usando las ecuaciones (20) y (21) obtenemos tres ecuaciones diferenciales ordinarias
∂2Z
∂z2+ β2Z = 0, (22)
∂2Φ
∂φ2 + l2Φ = 0, (23)
∂2F
∂ρ2+
1
ρ
∂F
∂ρ+ (n2κ20 − β2 − l2
ρ2)F = 0. (24)
La solucion de la ecuacion (22) es de la forma Z = exp(iβz), donde β es la constante
de propagacion. Similarmente la solucion a la ecuacion (23) es de la forma Φ = exp(ilφ);
la constante l esta restringida a tomar unicamente valores enteros, puesto que el campo
debe ser periodico en φ con un perıodo de 2π. La ecuacion (24) es la ecuacion diferencial
de Bessel y sus soluciones son llamadas funciones Bessel de orden l. La solucion general
a la ecuacion, en la region del nucleo y fuera de el, esta dada por
F (ρ) =
c1Jl(hr) + c2Yl(hr) : ρ < a,
c3Kl(qr) + c4Il(qr) : ρ > a,(25)
donde c1, c2, c3 y c4 son constantes reales, Jl, Yl, son funciones Bessel de primera clase y
19
Kl, Il son funciones de Bessel modificadas de segunda clase. Los parametros h y q estan
definidos por
h2 = n21κ
20 − β2, (26)
q2 = β2 − n22κ
20. (27)
Aplicando las condiciones de frontera propias del problema: un modo guiado debe ser
finito en ρ = 0 y tender a cero en ρ = ∞, la solucion general de la ecuacion (20) es de la
forma
E(z) =
c1Jl(hr)exp(ilφ)exp(−iβz) : ρ < a,
c3Kl(qr)exp(ilφ)exp(−iβz) : ρ > a.(28)
Similarmente podemos obtener una expresion para Hz. De hecho, la solucion tiene la
misma forma pero con diferentes constantes
H(z) =
c5Jl(hr)exp(ilφ)exp(−iβz) : ρ < a,
c6Kl(qr)exp(ilφ)exp(−iβz) : ρ > a.(29)
Las otras cuatro componentes Eρ, Eφ, Hρ y Hφ pueden ser expresadas en funcion de
Ez y Hz usando las ecuaciones de Maxwell. Los parametros h y q determinan, respecti-
vamente, la velocidad de cambio del campo en el nucleo y la cubierta. Un valor alto de h
implica una oscilacion mas rapida de la distribucion radial en el nucleo. Un valor alto de
q implica un decaimiento mas rapido y una menor penetracion de la onda en la cubierta.
Las ecuaciones (28) y (29) requieren en conjunto que h2 > 0 y q2 > 0, lo cual se traduce
en
n1κ0 > β > n2κ0. (30)
En este punto, introducimos los llamados parametros modales adimensionales del
nucleo y la cubierta (Saleh y Teich, 1991) definidos por
U = ha, (31)
W = qa. (32)
20
La condicion de continuidad de las componentes Ez,Hz, Er, yHr en la frontera nucleo-
cubierta establece una relacion entre los coeficientes de proporcionalidad de las compo-
nentes. Mediante un procedimiento algebraico esta relacion entre coeficientes da lugar a
la ecuacion caracterıstica
[J ′l (U)
UJ ′l (U)+
K ′l(U)
WKl(W )
] [n21J′l (U)
UJl(U)+n22K′l(U)
WKl(W )
]=
= l2
[(1
W
)2
+
(1
U
)2](
β
κ0
)2
. (33)
Los eigen-valores de esta ecuacion nos proporcionan las constantes de propagacion
β de los modos. Es costumbre expresar a las soluciones como βlm, donde l determina la
distribucion azimutal del modo y m representa la distribucion radial del modo. El numero
l representa la carga topologica del modo, por lo que los modos con l = 0 carecen de
momento angular orbital. Las diferentes clases de modos de propagacion dentro de una
fibra se determinan por medio del valor del contraste dielectrico. En fibras convenciona-
les el valor del contraste dielectrico es tıpicamente mucho menor que 1 y los modos de
propagacion resultantes son los llamados modos LP. En el presente trabajo nos hemos
enfocado en los modos de propagacion resultantes de un alto contraste dielectrico. Esta
clase de modos son conocidos como modos hıbridos y se designan como HElm y EHlm.
La distincion entre los modos HE y EH proviene de las dos clases de soluciones que se
obtienen de la ecuacion (33), ecuacion que es cuadratica en J ′l (U)/UJ ′l (U). Cuando resol-
vemos la ecuacion caracterıstica obtenemos dos diferentes ecuaciones correspondientes
a las dos raıces de dicha ecuacion. Para l = 0, estos modos son analogos a los modos
transversal electrico (TE) y transversal magnetico (TM), tıpicos de las guıas de onda pla-
nas, debido a que la componente axial del campo electrico o magnetico se desvanece.
Sin embargo para l > 0, los modos de una fibra se convierten en modos hıbridos, es de-
cir, las seis componentes del campo electromagnetico son diferente de cero (Yariv y Yeh,
2007). El modo fundamental corresponde al modo HE11, con una distribucion transversal
que se aproxima a una funcion gaussiana.
Las soluciones a la ecuacion (33) se pueden obtener por metodos graficos (Yariv y
Yeh, 2007). En este trabajo las soluciones a la ecuacion 33 se obtuvieron numericamente,
21
mediante funciones de la paqueterıa de optimizacion de MATLAB. Fijo el valor de l, se
determinan una o varias soluciones a la ecuacion caracterıstica, dependiendo de si la
fibra es monomodal o multimodal. Los ındices de refraccion del material en el nucleo y la
cubierta son evaluados a partir de la ecuacion de Sellmeier para la sılice (Malitson, 1965).
2.4. Procesos no lineales de tercer orden.
Con las fuentes de luz disponibles hasta 1960 la respuesta de un material a un campo
electromagnetico incidente presentaba un comportamiento lineal. Sin embargo, este com-
portamiento cambio con la llegada de las fuentes de luz laser en 1960 (Maiman, 1960).
Tan solo un ano despues, en 1961, se reporto la primera observacion de un fenomeno
optico no lineal: la generacion del segundo armonico (Franken et al., 1961). En 1962
se reporto la primera observacion de la generacion del tercer armonico (Terhune et al.,
1962); y en 1980 se confirmo por primera vez la generacion de un soliton dentro de una
fibra optica (Mollenauer et al., 1980). Desde entonces y hasta ahora la optica no lineal se
ha consolidado como un campo activo de investigacion con diversas aplicaciones.
Dentro de los modelos mas sencillos de interaccion entre luz y materia se encuen-
tra el modelo clasico del oscilador de un electron. En este contexto la respuesta lineal
del material se explica mediante el movimiento de un oscilador armonico. Para explicar
los fenomenos no lineales es necesario recurrir al modelo de un oscilador anarmonico.
Hoy en dıa la teorıa mas completa de la optica no lineal se construye en terminos de la
mecanica cuantica (Boyd, 1997).
Las propiedades de un material dielectrico a traves del cual una onda electromagneti-
ca se propaga estan descritas por la relacion entre el vector de densidad de polarizacion
P(r, t) y el vector del campo electrico E(r, t)
D(ω) = ε(ω)E(ω) = ε0(ω)E(ω) + P(ω). (34)
En un sistema atomico real y siguiendo la aproximacion dipolar, la polarizacion indu-
cida en el medio por la presencia de un campo electrico puede ser expresada en una
22
expansion en serie de Taylor
P(t) = ε0[χ(1) · E(t) + χ(2) : E2(t) + χ(3) ... E3(t) + ...], (35)
donde ε0 es una constante que se conoce como la permitividad electrica del vacıo, E(t)
es el vector del campo electrico y χ(n) se conoce como la susceptibilidad de orden n y
es un tensor de orden n+1. El primer termino en la expansion representa la contribucion
lineal del medio que representa la contribucion dominante al vector de polarizacion P(t).
Si el campo incidente es de baja intensidad el material presenta unicamente propiedades
lineales y el resto de los terminos de la expansion seran despreciables. Las propiedades
no lineales del medio se presentan cuando la intensidad del campo incidente es alta, en
consecuencia los terminos de susceptibilidad de orden superior no pueden ser despre-
ciados. En tal caso los terminos χ(2) y χ(3) conocidos como la susceptibilidad de segundo
y tercer orden, respectivamente, describen los fenomenos no lineales. Los fenomenos
no lineales de segundo orden, generados a traves de χ(2), se presentan unicamente en
materiales no centrosimetricos. Si el material es centrosimetrico, la primera contribucion
no lineal proviene del termino χ(3), esta no linealidad es una propiedad universal que se
encuentra en cualquier material independientemente de su simetrıa espacial. La sılice es
una material vıtreo que posee la propiedad de simetrıa de inversion, por lo que la prime-
ra no linealidad que presenta es de tercer orden. Una variedad de procesos no lineales
de tercer orden se conocen hasta ahora: esparcimiento Raman estimulado (SRS por sus
siglas en ingles Stimulated Raman Scattering), absorcion de dos fotones, fenomenos
relacionados con el efecto Kerr optico como son la automodulacion de fase (SPM por
sus siglas en ingles Self Phase Modulation) y autoenfocamiento; ası como los procesos
de generacion de tercer armonico, mezclado de cuatro ondas y conversion parametrica
descendente de tercer orden (TOPDC por sus siglas en ingles Third Order Parametric
Down Conversion), entre otros. La generacion de un supercontinuo (SC) es un proceso
no lineal que se presenta frecuentemente cuando un campo electromagnetico pulsado
y de corta duracion se propaga a traves de una fibra optica. Este fenomeno tiene lugar
cuando varios procesos como son automodulacion de fase, modulacion de fase cruza-
da, esparcimiento Raman estimulado y formacion de solitones se conjugan entre sı para
formar un amplio espectro a partir de un bombeo espectralmente estrecho.
23
A continuacion se describen algunos de los procesos no lineales de tercer orden deri-
vados de la presencia de un ındice de refraccion no lineal.
Efecto Kerr optico
El efecto Kerr optico es un efecto auto inducido en el cual la velocidad de fase de
la onda depende de la intensidad misma de la onda. La no linealidad de tercer orden,
inducida por el efecto Kerr, da lugar a la adicion de un termino en el ındice de refraccion
dependiente de la irradiancia del pulso que se propaga:
n = n0 + n2I(t), (36)
donde n0 es el ındice de refraccion del medio en ausencia de un campo electromagneti-
co, n2 = 3Reχ(3)/(4ε0cn20) es el ındice de refraccion no lineal e I(t) es la irradiancia del
campo incidente. El orden de magnitud del coeficiente n2 es diferente en vidrios, vidrios
dopados, materiales organicos y en semiconductores; es sensible a la longitud de onda
de operacion y depende de la polarizacion. Como resultado del cambio en el ındice de
refraccion del medio, el haz tendera a enfocarse en la direccion transversal a medida que
se propaga por el material, a este fenomeno se le conoce como autoenfocamiento.
Automodulacion de fase
Como resultado del efecto Kerr, una onda puede presentar el proceso denominado
automodulacion de fase el cual se explica a continuacion. Cuando un pulso se propaga
a traves del medio una distancia L, la modulacion temporal en la irradiancia del campo
incidente, I(t), da como resultado una modulacion temporal en el ındice de refraccion n y
por tanto tambien en la fase de la onda
Φ(t) =ω
c(n0 + n2I(t))L− ω0t. (37)
En la ecuacion (37) se puede observar que la fase se hace dependiente del tiempo,
a traves del termino ωn2I(t)L/c. Debido a esta dependencia, la fase sera una funcion
complicada del tiempo y la frecuencia instantanea de la onda tambien dependera del
24
tiempo. La fase y la frecuencia instantanea estan relacionadas entre sı de la siguiente
forma
ω(t) = −∂Φ(t)
∂t. (38)
Podemos escribir a ω(t) = ω0 + ∆ω con ω0 la frecuencia portadora de la onda y
∆ω(t) = −ωcn2L
∂I
∂t. (39)
El proceso de automodulacion de fase genera nuevas frecuencias y en consecuencia
se presenta un ensanchamiento espectral del pulso. El ensanchamiento espectral resul-
tante puede estimarse de la siguiente forma
∆ω(t) ' ω
cn2L
I0τ, (40)
donde I0 es la intensidad pico del pulso de luz y τ es la duracion del pulso. En una fibra
optica la automodulacion de fase y el subsecuente ensanchamiento espectral del pulso,
permite la compresion del pulso de luz en el tiempo, a traves de la compensacion del
cambio de fase adquirido por el pulso.
Cuando la frecuencia de un pulso es una funcion que depende del tiempo como se
puede observar en la ecuacion (38), se dice que el pulso adquirio chirp; de otro modo
si la frecuencia es una funcion constante del tiempo el pulso no tiene chirp. Si se trata
de un pulso gaussiano el chirp inducido por automodulacion de fase es positivo y lineal
alrededor de la region central del pulso (Agrawal, 2001).
Modulacion de fase cruzada
La modulacion de fase cruzada (XPM por sus siglas en ingles cross phase modulation)
es el resultado de la interaccion no lineal de al menos dos pulsos de luz fısicamente
distinguibles (pulsos con diferente frecuencia, polarizacion, estructura del modo, etc.). La
interaccion entre ambos pulsos se debe al proceso de modulacion de fase, en donde
un pulso (pulso de prueba) es modulado en su fase debido al cambio en el ındice de
refraccion del medio, inducido por otro pulso (pulso de bombeo).
25
Un importante criterio de clasificacion para procesos no lineales en fibras opticas se
basa en evaluar la energıa efectiva intercambiada en el proceso de interaccion entre el
medio y las ondas incidentes en el medio. De acuerdo a este criterio, podemos distinguir
entre dos tipos de procesos: los llamados procesos parametricos tambien conocidos co-
mo procesos elasticos y los procesos no parametricos tambien conocidos como procesos
inelasticos. La diferencia entre ambos procesos es la conservacion de energıa a nivel
microscopico. En el presente trabajo nos enfocamos al estudio de procesos parametricos
no lineales de tercer orden, en particular al estudio de generacion de tercer armonico y
mezclado de cuatro ondas.
2.5. Procesos parametricos.
En los procesos parametricos no hay un intercambio neto de energıa entre el medio
y el campo electromagnetico incidente. De esta forma, en este tipo de procesos la fibra
optica juega un papel pasivo, mediando unicamente la interaccion entre las ondas opticas.
Estos fenomenos tienen lugar a traves de la modulacion o bien modificaciones no lineales
instantaneas del ındice de refraccion del material. Las posibles nuevas frecuencias que
se generen por medio de un proceso parametrico no lineal deben cumplir con la condicion
de conservacion de energıa y conservacion de momento.
2.5.1. Mezcla de cuatro ondas.
El proceso de mezclado de cuatro ondas consiste en la incidencia de dos fotones
de bombeo (1 y 2) en un material que, al interaccionar con la susceptibilidad de tercer
orden del medio, se aniquilan creando dos fotones a diferente frecuencia denominados
comunmente senal (s) y acompanante (a). En el caso no degenerado (FWM) los dos foto-
nes de bombeo son distinguibles entre sı, viajan en diferente modo espacial o a diferente
frecuencia. En el caso degenerado (DFWM) los dos fotones de bombeo viajan en el mis-
mo modo espacial, con la misma frecuencia, no hay distinguibilidad entre ellos. El caso
degenerado es frecuentemente utilizado en fibras opticas, en donde la incidencia en la
fibra se realiza con un unico campo de bombeo. En el presente trabajo se estudio el caso
degenerado, este proceso se muestra esquematicamente en la figura 5.
En el proceso de FWM la condicion de conservacion de energıa requiere el cumpli-
26
ω1
ω2
ωa
ωs
Figura 5: Esquema del proceso de mezcla de cuatro ondas con un bombeo degenerado. En el esque-ma las flechas que representan a los dos fotones de bombeo se dibujaron con la misma longitud,para representar que ambos fotones tienen la misma frecuencia.
miento de la siguiente igualdad
ωs + ωa = ω1 + ω2. (41)
Mientras que la condicion de empatamiento de fases requiere la igualdad a cero de
los siguientes terminos
∆β + ΦNL = 0. (42)
El termino ∆β se relaciona con las constantes de propagacion de las cuatro ondas
propagantes de la siguiente forma
∆β = βs + βa − β1 − β2 = (nsωs + naωa − n1ω1 − n2ω2)/c, (43)
donde nj (j = 1, 2, s, a) denota al ındice de refraccion modal efectivo de cada campo,
mientras que el termino ΦNL tiene su origen en el proceso de automodulacion de fase
(SPM) y modulacion de fase cruzada (XPM) por medio de la siguiente expresion
ΦNL = P1γ1(ω1) + P2γ2(ω2) + 2P2γ12(ω1) + 2P1γ21(ω2)
− 2P1γa1(ωa)− 2P1γs1(ωs)− 2P2γa2(ωa)− 2P2γs2(ωs),(44)
donde Pi representa la potencia pico de cada campo de bombeo, γi (i = 1, 2) representan
los coeficientes no lineales derivados del proceso de automodulacion de fase, mientras
27
que γlk (l = 1, 2, s, a y k = 1, 2) representan los coeficientes no lineales derivados del
proceso de modulacion de fase cruzada. Aunque en general γi 6= γlk, se puede demostrar
que en el proceso de FWM es valida la siguiente aproximacion γ1 ≈ γ21 ≈ γs1 ≈ γa1 y γ2
≈ γ12 ≈ γs2 ≈ γa2 (Garay-Palmett et al., 2011). Tomando en cuenta esta aproximacion, se
puede llegar a la siguiente expresion simplificada de ΦNL
ΦNL = −P1γ1(ω1)− P2γ2(ω2). (45)
Ademas, en nuestra caso, con un solo campo de bombeo (DFWM), las expresiones
anteriores se reducen a
ωs + ωa = 2ωb, (46)
∆β = βs + βa − 2βb, (47)
ΦNL = −2γbPb, (48)
donde se ha tomado en cuenta que los dos campos de bombeo viajan en el mismo modo
(n1 = n2 = nb), con la misma frecuencia (ω1 = ω2 = ωb) y con la misma potencia pico
(P1 = P2 = Pb); ya que en realidad provienen del mismo campo de bombeo. En este caso
el coeficiente γb se define en terminos de la frecuencia portadora del campo de bombeo
ω0b y el area efectiva Aeff
γb =3χ(3)ω0
b
4ε0c2n2bAeff
, (49)
donde Aeff representa el area efectiva de interaccion del campo de bombeo, consigo
mismo, de la siguiente forma
Aeff =1∫ ∫
|A4b(x, y)| dx dy
. (50)
Aquı la funcion Ab(x, y) representa la distribucion transversal del campo de bombeo y
se asume normalizada, tal que
∫ ∫|Ab(x, y)|2 dx dy = 1. (51)
28
2.5.2. Generacion de tercer armonico.
La generacion de tercer armonico (THG) involucra tres fotones del campo de bombeo
(con la misma frecuencia ω), que al interactuar con el medio se aniquilan dando lugar a la
creacion de un foton con frecuencia 3ω. Esquematicamente el proceso se muestra en la
figura 6.
ω 3ω
ω
ω
Figura 6: Esquema del proceso de generacion de tercer armonico.
En adelante, las cantidades asociadas al campo del tercer armonico las designamos
con el subındice h (harmonic).
El proceso de THG requiere cumplir con la condicion de conservacion de energıa
3ω = ωh, (52)
y con la condicion de empatamiento de fases
∆β + ΦNL = 0, (53)
donde
∆β = βh(ωh)− 3βb(ω) = (3ω/c)[nh(3ω)− nb(ω)], (54)
donde nj (j = b, h) denota al ındice de refraccion modal efectivo del bombeo y del ter-
cer armonico. Si la propagacion se realiza en una fibra monomodo, en donde todos los
campos se propagan en el modo fundamental, no hay eleccion posible en la frecuencia
29
ω que logre cumplir con la igualdad entre los ındices de refraccion n(ω) y n(3ω) debido a
la dispersion del medio. En tal caso la condicion de empatamiento de fases no se puede
lograr y el proceso THG no se puede generar de manera eficiente. Mas aun, siempre que
los 4 campos se propaguen en el mismo modo (misma forma funcional de n), el valor de n
a la frecuencia ω y 3ω difiere lo suficiente para que siempre se cumpla ∆β 6= 0. Por todo lo
anterior, para la generacion del tercer armonico es necesario utilizar fibras multimodales
de tal forma que nb(ω) se puede empatar con nh(3ω), cuando el tercer armonico se pro-
pague en un modo de orden superior al modo del campo de bombeo. El empatamiento
solo puede ocurrir si la diferencia nh(3ω) − nb(ω) es menor que la diferencia de ındices
de refraccion entre nucleo-cubierta. Esta diferencia raramente excede el valor de 0.01 en
fibras convencionales. En cambio, en una MSF la diferencia de ındices de refraccion entre
nucleo-cubierta puede exceder el valor de 0.1, por lo que este tipo de fibras se presentan
como una opcion atractiva para el estudio de THG. En el 2000 el proceso de THG fue
facilmente observado con una MSF con una longitud de 50 cm (Ranka et al., 2000).
El termino ΦNL, al igual que en FWM, esta asociado a los procesos de automodulacion
de fase y modulacion de fase cruzada.
Previamente, se ha estudiado teoricamente el proceso de generacion de tercer armoni-
co (Grubsky y Savchenko, 2005; Grubsky y Feinberg, 2007), en donde se reporto que la
eficiencia del proceso ηh obedece la siguiente relacion
ηh ∝ (γLP0)2, (55)
donde γ es conocido como el coeficiente no lineal, L representa la longitud de la fibra y
P0 la potencia del campo de bombeo. El coeficiente lineal es diferente a los coeficientes
que observamos en la ecuacion (44), relacionados con los procesos de automodulacion
de fase y modulacion de fase cruzada. En el caso del proceso de THG el coeficiente no
lineal
γ =2πn2
λpAeff, (56)
donde Aeff representa el area efectiva de interaccion entre los cuatro campos involucra-
30
dos en el proceso por medio de la siguiente integral
Aeff =1∫ ∫
|A3b(x, y)| |Ah(x, y)| dx dy
. (57)
Las funciones Ab(x, y) y Ah(x, y) representan la distribucion transversal de los campos
y se asumen normalizadas, de acuerdo a la ecuacion (51).
2.6. Procesos no parametricos.
En los procesos no parametricos no se cumple un balance estricto en la energıa de los
fotones que intervienen en el proceso, debido al intercambio efectivo de energıa entre el
campo electromgnetico y el material. La interaccion tiene lugar a traves de modificaciones
en la polarizabilidad del material asociadas a vibraciones en los atomos de la red, por lo
que la respuesta del material presenta una cierta inercia en el tiempo. En estos procesos
el intercambio de energıa entre la onda y el medio se traduce en efectos de ganancia y/o
atenuacion no lineal. En el presente trabajo, el esparcimiento Raman es el proceso no
parametrico mas relevante para el estudio de la propagacion de pulsos a traves de fibras
opticas.
Esparcimiento Raman.
En los procesos de esparcimiento el campo incidente cede parte de su energıa al
medio (en forma de fonones) y el resto lo emplea en amplificar otra onda de frecuencia
menor. El intercambio de energıa depende de las caracterısticas del medio. Estos pro-
cesos se pueden entender de la siguiente forma: considere que un foton incide en el
material y se presenta la absorcion de este por el material, como resultado, se crea un
foton de menor energıa y un fonon con las caracterısticas necesarias para cumplir con
la condicion de conservacion de energıa y momento. La energıa que adquiera el fonon
generado esta determinada por la separacion en frecuencia del foton incidente y el gene-
rado. De acuerdo a esta diferencia, se establecen dos tipo de esparcimiento estimulado:
esparcimiento Brillouin y esparcimiento Raman. En el esparcimiento Brillouin estimulado
la diferencia entre ambas frecuencias es de ∼ 10 GHz y el fonon generado es un fonon
acustico; mientras que en el esparcimiento Raman estimulado la diferencia es del orden
31
de 10 THz generandose un fonon optico. En el esparcimiento Raman estimulado (SRS
por sus siglas en ingles Stimultated Raman Scattering), la energıa del fonon generado
permitie a la molecula de sılice, principal componente de la fibra optica, tener una transi-
cion molecular entre dos estados vibracionales.
En el proceso de esparcimiento Raman explicado anteriormente el foton cede energıa
al material, generando una onda denominada Stokes. Por otro lado, aunque menos pro-
bable, es posible que el material ceda energıa al foton incidente, generando una onda
Anti-Stokes. A continuacion se explican ambos procesos por medio del esquema de nive-
les de energıa mostrado en la figura 7.
El diagrama de niveles correspondiente al proceso de generacion de una onda Stokes
(S) se muestra en la figura 7 a). En ella se muestra la incidencia de un foton con frecuencia
ωb (frecuencia del laser de bombeo) en un material que se encuentra inicialmente en un
estado electronico base y en el subnivel vibracional mas bajo de este, ν = 0. Fuera de
resonancia, el foton es absorbido y el atomo es llevado a un estado virtual, de ahı el
atomo decae a un nivel vibracional excitado ν = 1 emitiendo un foton de frecuencia ωs =
ωb - ων llamado foton de Stokes .
La generacion de una onda Anti-Stokes (AS) solo es posible si la molecula esta inicial-
mente en el subnivel vibracional excitado ν = 1, lo cual es posible a temperatura ambiente.
El diagrama de niveles correspondiente a dicho proceso se muestra en la figura 7 b). En
este caso, al incidir un foton a una frecuencia ωb, este es absorbido y el atomo puede
decaer ahora hasta el estado vibracional ν = 0, emitiendo un foton de frecuencia ωAS = ωb
+ ων . La intensidad de la onda anti-Stokes es varios ordenes de magnitud menor que la
onda Stokes, debido a que la generacion de ondas Anti-Stokes requiere que las molecu-
las del material esten inicialmente en un estado vibracional excitado (Yariv y Yeh, 2007).
32
ν=1
ν=0
ν=1
ν=0
a) b)
Figura 7: Representacion esquematica del esparcimiento Raman espontaneo. a) Generacion de on-da Stokes y b) Generacion de onda anti-Stokes.
33
Capıtulo 3. Propiedades de Empatamiento de Fases.
En el capıtulo anterior se describieron las principales propiedades de una fibra optica,
se describieron brevemente las caracterısticas de una MSF y se desarrollaron expresio-
nes matematicas del campo electromagnetico dentro de una MSF bajo la aproximacion
de un perfil de ındice escalonado. Finalmente, se describieron algunos procesos no linea-
les de tercer orden con especial atencion en dos procesos parametricos, a saber FWM y
THG.
En este capıtulo se presentaran calculos teoricos de cuatro diferentes fibras. El nom-
bre con el cual el fabricante designa cada fibra se enlista en la Tabla 1, en esta se mues-
tran los principales parametros otorgados por el fabricante (Thorlabs.inc, 2014), los cua-
les se consideran para realizar los calculos. En particular, son dos parametros los que
describen el nombre de cada fibra: el diametro del nucleo y la longitud de onda de cero
dispersion.
Tabla 1: Parametros de las cuatro fibras disponibles
Nombre Diametro del nucleo Punto de cero dispersion Fraccion de llenadode la fibra (µm) (nm)
NL 1.8 -730 1.8 730 0.88NL 2.4-800 2.4 800 0.90NL 2.5-810 2.5 810 0.93
SC 5.0-1040 5.0 1040 0.27
Inicialmente, se presentan los calculos de dispersion de velocidad de grupo de las
fibras y posteriormente los calculos de empatamiento de fases para el proceso de mez-
clado de cuatro ondas y generacion de tercer armonico. Al finalizar el capıtulo se realizo
una comparacion de las soluciones a la condicion de empatamiento de fases entre las
diferentes fibras.
3.1. Calculo de la dispersion de velocidad de grupo.
A continuacion se muestran las curvas para el parametro de dispersion de velocidad
de grupo β(2)(ω), o DVG, en cuatro diferentes fibras. Las curvas de DVG estan definidas en
34
un intervalo de longitudes de onda, dependiendo del modo de propagacion. Con respecto
al lımite inferior de dicho intervalo (region del espectro UV) todas las curvas de dispersion
tienen el mismo lımite inferior determinado por la region de validez de la ecuacion de
Sellmeier (Brixner, 1967). Por otro lado, con respecto al lımite superior del intervalo (IR
o region del espectro visible) las curvas estan limitadas, segun el modo de propagacion,
por su respectiva longitud de onda de corte λc (Seccion 2.1).
En la figura 8 (a) se presentan las curvas de DVG correspondientes a la fibra NL
1.8 730 para los modos de propagacion HE1m, en la figura se puede apreciar que los
modos de propagacion HE11 y HE12, cada uno, cuentan con dos longitudes de onda en
donde la dispersion es cero (λZD); mientras que los modos de propagacion HE13 y HE14
cuentan, cada uno, con una sola λZD en la zona espectral considerada. En la figura 8 (b)
se presentan las curvas de DVG correspondientes a la fibra NL 2.4 800 para los modos de
propagacion HE2m. En la figura se puede apreciar que los modos de propagacion HE21
y HE22 cuentan, cada uno, con dos λZD; mientras que los modos de propagacion HE23,
HE24 y HE25, cada uno, cuentan con una sola λZD en el intervalo considerado.
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−6
−4
−2
0
2
4
6
23 21
25
24 22
0.5 1 1.5 2
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Longitud de onda ( Longitud de onda (µ
β(2
) (ω) (
102 ps
/km
)
1112
1314
2
m) m)µ
β(2
) (ω) (
102 ps
/km
)2
Figura 8: Curvas de la DVG en diferentes fibras. (a) Modos de propagacion HE1m correspondientesa la fibra NL 1.8 730. (b) Modos de propagacion HE2m correspondientes a la fibra NL 2.4 800
En la figura 9 (a) se presentan las curvas de DVG correspondientes a la fibra NL 2.5
810 para los modos de propagacion EH1m, apreciando que los modos de propagacion
EH11 y EH12 tienen, cada uno, dos λZD; mientras que los modos de propagacion EH13,
EH14, y EH15, cuentan con una sola λZD, cada uno de ellos. Ası mismo, la figura 9 (b)
muestra las curvas de DVG correspondientes a la fibra SC 5.0 1040 para los modos de
35
propagacionEH2m. En este caso, las cinco curvas de dispersion que se muestran cuentan
con dos λZD.
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Longitud de onda (µm)
11
13
15
14 12
Longitud de onda (µm)0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
21
2324
22
a) b)
β(2
) (ω) (
102 ps
/km
)2
β(2) (ω
) (10
2 ps/k
m)
2
Figura 9: Curvas de la DVG en diferentes fibras. (a) Modos de propagacion EH1m correspondientesa la fibra NL 2.5 810. (b) Modos de propagacion EH2m correspondientes a la fibra SC 5.0 1040.
En las figuras 8 y 9 es posible observar una caracterıstica general para λZD: esta se
recorre a longitudes de onda menores conforme aumenta el orden del modo de propaga-
cion. Ası, las curvas de DVG de las figuras 8 y 9 demuestran la posibilidad de sintonizar
λZD a traves de distintas bandas espectrales, por medio de los distintos modos de propa-
gacion de cada fibra. Por otro lado, en las figuras 8 y 9 es posible observar que la longitud
de onda de cero dispersion, λZD, depende del diseno de la cubierta de la fibra, ademas
del modo de propagacion, de acuerdo a lo mencionado anteriormente (Seccion 2.3).
3.2. Calculo de empatamiento de fases para procesos parametricos.
Los calculos de empatamiento de fases se realizaron considerando que ambos pro-
cesos, THG y FWM, son degenerados en el campo de bombeo. Antes de presentar los
calculos es necesario detenerse un momento para mencionar las diferentes condiciones
bajo las cuales se puede presentar la condicion de empatamiento de fases.
a. Propagacion en diferente modo de propagacion de los 4 campos involucrados en el
proceso.
b. Propagacion en diferente polarizacion de los 4 campos involucrados en el proceso.
36
Respecto al inciso a, el hecho de permitir la propagacion de los cuatro campos invo-
lucrados en diferentes modos de propagacion es el eje central del presente trabajo, entre
otras razones porque la propagacion multimodal permite la generacion eficiente del tercer
armonico (THG) en fibras opticas. Al permitir la propagacion de los cuatro campos en di-
ferentes modos, se presentan diversas combinaciones posibles de propagacion entre los
campos de bombeo y los campos generados. A continuacion se mencionan las diferen-
tes combinaciones posibles, en la propagacion de los cuatro campos involucrados, que
pueden presentarse en ambos procesos: FWM y THG.
En primer lugar, para el proceso de mezclado de cuatro ondas degenerado en el cam-
po de bombeo (DFWM, seccion 2.5.1) al determinar el modo de propagacion de los dos
campos de bombeo, los cuales en principio podemos controlar, los dos campos genera-
dos (senal y acompanante) pueden propagarse:
En el mismo modo que el campo de bombeo (los cuatro campos viajan en el mismo
modo).
En diferente modo que el campo de bombeo, pero en el mismo modo entre ellos.
En diferente modo que el campo de bombeo y diferente modo entre ellos.
En segundo lugar, con respecto al proceso de THG se considera tambien al proceso
degenerado en el bombeo en donde los tres fotones que se aniquilan para la generacion
del armonico provienen del mismo campo de bombeo, propagandose en el mismo modo.
En este caso al determinar el modo de propagacion del bombeo, el tercer armonico puede
propagarse:
En el mismo modo que el campo de bombeo (los cuatro campos viajan en el mismo
modo).
En diferente modo que el campo de bombeo.
Sin embargo, en general, no es posible cumplir con la condicion de empatamiento de
fases al considerar que el tercer armonico se genera en el mismo modo de propagacion
37
que el campo bombeo (Seccion 2.5.2). Por ello el proceso de THG esta restringido a
una unica configuracion donde el tercer armonico viaja en diferente modo al campo de
bombeo.
Por ultimo, con respecto a la propagacion de los campos en diferentes modos de pro-
pagacion, es necesario mencionar que los diagramas de empatamiento de fases que se
presentan en la siguiente seccion unicamente contemplan a los modos de propagacion
HElm. Sin embargo, es posible que existan otras condiciones de empatamiento de fa-
ses relacionadas a los modos de propagacion EHlm, TE0m y TM0m en las fibras aquı
mencionadas. Debido a las numerosas configuraciones a explorar en la busqueda de so-
luciones a la condicion de empatamiento de fases, fue necesario restringir los calculos
considerando solo algunas configuraciones, de todas las posibles.
Respecto al inciso b, la propagacion de campos en un medio material, con diferente
polarizacion, se puede estudiar a traves de las componentes del tensor de susceptibilidad
χ. En el caso especıfico de procesos no lineales de tercer orden se estudia a traves de
las componentes del tensor de susceptibilidad de tercer orden χ(3). En una fibra optica
la susceptibilidad no lineal de tercer orden χ(3)ijkl dispone tan solo de 21 componentes no
nulas, de las cuales solo tres de ellas son independientes (Boyd, 1997)
χ(3)xxxx = χ(3)
xxyy + χ(3)xyxy + χ(3)
xyyx. (58)
Las diferentes componentes de χ(3) indican que los procesos no lineales de tercer or-
den se pueden generar con campos copolarizados (misma polarizacion) a traves de χ(3)xxxx
o bien con campos cruzados (polarizacion cruzada) a traves de χ(3)xxyy, χ(3)
xyxy o de χ(3)xyyx.
En consecuencia, para tomar en cuenta los diferentes estados de polarizacion posibles
es necesario considerar a cada una de estas compontentes, por separado, como la res-
ponsable del proceso no lineal parametrico. Comunmente se considera a χ(3)xxxx como la
componente responsable de los procesos no lineales de tercer orden. Al comenzar los
calculos de empatamiento de fases se considero unicamente a la componente χ(3)xxxx y
posteriormente se realizaron los calculos considerando a las otras tres componentes de
χ(3), las cuales podrıan conducir a nuevas condiciones de empatamiento de fases para
38
el proceso de mezcla de cuatro ondas. Anteriormente se ha estudiado la generacion de
pares de fotones por el proceso de FWM con bombeo degenerado, en donde los fotones
generados se adjudican a la componente χ(3)xxyy, debido a que su estado de polarizacion
es ortogonal a la polarizacion de los fotones de bombeo (Cohen et al., 2009). Por otro
lado, tambien se ha estudiado la generacion de pares de fotones por el proceso de FWM
en el esquema de campos de bombeo contra-propagantes con polarizacion cruzada, en
donde los fotones generados son adjudicados a la componente χ(3)xyxy (Lee et al., 2006).
Los resultados de los calculos, al considerar a la componente χ(3)xxyy, χ(3)
xyxy y χ(3)xyyx como
la componente responsable del proceso no lineal, no aportaron condiciones de empa-
tamiento de fases de interes para el presente trabajo; con respecto a los resultados al
considerar a la componente χ(3)xxxx.
La propagacion de campos con polarizacion cruzada, dentro de la fibra, se puede
explicar fısicamente de la siguiente forma: el campo de bombeo, al incidir en una fibra
MSF, se descompone en dos campos con polarizacion x y y debido a una anisotropıa en
el nucleo de la fibra. Pequenas variaciones en el valor del radio del nucleo, inherentes a
la fabricacion misma de la fibra, conducen a la fibra a presentar dos valores en el ındice
de refraccion (nx, ny). Cuando un material presenta dos valores en el ındice de refraccion
se dice que este presenta el fenomeno de birrefringencia.
Finalmente, el valor de la fase no lineal ΦNL depende de los procesos de automodu-
lacion de fase y modulacion de fase cruzada y de la potencia pico (Seccion 2.5.1). En
los calculos que presentamos a continuacion consideramos potencias picos entre 100 y
200 W. De acuerdo a los valores de potencia promedio tıpicios en un laser de Ti:Zafiro
(del orden de cientos de mW) y la duracion del pulso (del orden de femtosegundos), la
potencia pico correspondiente es del orden de GW. Sin embargo, al acoplar el campo de
bombeo a la fibra optica siempre se presentan perdidas de potencia razon por lo cual se
considero potencias pico del orden de cientos de Watts en los calculos que se presentan
a continuacion.
39
3.2.1. Empatamiento de fases para el proceso de FWM.
A continuacion se presentan resultados del calculo de empatamiento de fases para el
proceso de mezclado de cuatro ondas degenerado en el bombeo, en tres diferentes fi-
bras. Los resultados mostrados a continuacion muestran las curvas de empatamiento de
fases, definidas por la condicion ∆β + ΦNL = 0, es decir curvas que cumplen con dicha
condicion en cada punto. Los casos que se muestran en esta seccion fueron selecciona-
dos de acuerdo al interes que presentaron por su posible implementacion experimental.
En dichos diagramas se subraya la posibilidad de generar fotones por medio de un cam-
po de bombeo alrededor de 0.8 µm (fundamental del laser Ti:Zafiro) o bien un campo de
bombeo alrededor de 0.4 µm (segundo armonico del laser Ti:Zafiro). Los resultados que
se presentan a continuacion estan ordenados de acuerdo al aumento en el valor del radio
del nucleo de la fibra.
FIBRA NL 1.8 730
La figura 10 muestra en color rojo la curva de empatamiento de fases, es decir las
soluciones a la condicion de empatamiento de fases (ecuacion 42), correspondiente a
cuatro campos propagandose en el modo HE12. En este caso el valor del termino no
lineal ΦNL = 2 x 10−5 µm−1 que corresponde a un valor del coeficiente γb=100 km−1W−1
y una potencia pico P=100 W. En la figura el eje horizontal indica la longitud de onda del
bombeo y el eje vertical la longitud de onda de la senal y acompanante simultaneamente.
La curva de empatamiento de fases describe dos lobulos, uno superior y otro inferior
separados por una lınea diagonal. El lobulo superior indica la longitud de onda de la
senal y el lobulo inferior la longitud de onda de la acompanante.
En la figura 10 se trazo una lınea vertical para mostrar un caso particular en donde
se cumple la condicion de empatamiento de fases con la configuracion respectiva. La
lınea trazada indica una longitud de onda de bombeo de 0.8 µm coincidiendo con cuatro
puntos de la curva de empatamiento de fases. Los cuatro puntos con los que coincide
son soluciones a la condicion de empatamiento de fases. Dependiendo la posicion en la
que se observen (respecto al contorno de los lobulos), dichas soluciones se denominan
externas cuando se encuentran en la parte externa del lobulo, o bien internas cuando
40
se encuentran en la parte interna. Las soluciones internas corresponden a la solucion
trivial a la condicion de empatamiento de fases, estan desplazadas un par de nanome-
tros por debajo y por encima de la solucion trivial, 0.8 µm, debido al termino no lineal
ΦNL de la ecuacion (42). Al realizar los calculos de empatamiento de fases se observo
que conforme se incrementa el valor de la potencia (dentro del intervalo de potencias
experimentalmente disponibles) en el termino no lineal ΦNL, el desplazamiento de la so-
luciones internas respecto a la solucion trivial aumenta. Previamente, se ha observado
este comportamiento, en donde dicho desplazamiento ha sido atribuido al fenomeno co-
nocido como inestabilidad de modulacion el cual se manifiesta de manera significativa
en la region de dispersion anomala (contenida entre las dos longitudes de onda de cero
dispersion) (Garay Palmett, 2009). Por otro lado, las soluciones externas estan senala-
das con flechas y al lado de cada una se indica la longitud de onda correspondiente al
campo generado. En este caso, se observo que al aumentar la potencia pico de bombeo
en el termino no lineal ΦNL las soluciones externas resultan casi independientes de di-
cho aumento. Esto se explica por el hecho de que la modulacion del ındice de refraccion,
inducida por el bombeo, para longitudes de onda alejadas de λb es casi despreciable.
En resumen, el diagrama de la figura 9 muestra un ejemplo en donde se cumple la
condicion ∆β + ΦNL = 0 cuando dos fotones, senal y acompanante, con una longitud
de onda de 0.57 y 1.3 µm respectivamente, se generan a traves de la aniquilacion de
dos fotones de bombeo con una longitud de onda de 0.8 µm. El triangulo negro que se
encuentra en la esquina inferior derecha de la figura 10 representa una zona no fısica, en
la cual λs y/o λa tendrıan que ser negativas para satisfacer la condicion de conservacion
de energıa. En adelante las zonas no fısicas de los diagramas de empatamiento de fases
estaran coloreadas en negro.
En los calculos de empatamiento de fases que se muestran en esta seccion, el valor
de la fase no lineal ΦNL es del orden de 10−5.
FIBRA NL 2.5 810
A continuacion se presentan dos diagramas de los calculos de empatamiento de fases
al considerar dos configuraciones distintas, en la misma fibra. En la primera, los cuatro
41
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
Los cuatro campos se propagan en el modo HE 12
1.3 µm
0.57 µm
λs,
a (µm
)
λb(µm)
Figura 10: Diagrama de empatamiento de fases para la fibra NL 1.8 730 con los cuatro campospropagandose en el modo HE12.
campos se propagan en el mismo modo y en la segunda los dos campos generados se
propagan en diferente modo entre sı.
La figura 11 muestra la curva de empatamiento de fases en color rojo correspondiente
a cuatro campos propagandose en el modo HE13. En la figura 11 se trazo una lınea
vertical que indica una longitud de onda del campo de bombeo de 0.8 µm. Las soluciones
externas estan senaladas con flechas, indicando la posibilidad de generar dos fotones,
senal y acompanante, con una longitud de onda de 0.63 y 1.09 µm, por el proceso de
DFWM al aniquilarse dos fotones de bombeo con una longitud de onda de 0.8 µm.
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
λs,a
(µm
)
Los cuatro campos se propagan en el modo HE13
1.09 µm
0.63 µm
λb(µm)
Figura 11: Diagrama de empatamiento de fases para la fibra NL 2.5 810 con los cuatro campospropagandose en el modo HE13.
42
En la figura 10 y 11, en donde los 4 campos involucrados se propagan en el mismo
modo, es posible observar que la curva de empatamiento de fases esta conformada por
dos lobulos. En general, cuando los cuatro campos se propagan en el mismo modo, la
curva de empatamiento de fases describe dos lobulos cerrados; donde λZD define las
fronteras de dichos lobulos. Los lobulos que describen las curvas de empatamiento de
fases del presente trabajo no son cerrados, esto se debe a la restriccion impuesta, me-
diante la condicion de conservacion de energıa (ecuacion 46), en el valor de la longitud
de onda de la senales generadas.
La figura 12 muestra la curva de empatamiento de fases en color azul correspondiente
a la siguiente configuracion: los dos campos de bombeo se propagan en el modo funda-
mental HE11, mientras que los dos campos generados se propagan en el modo HE11 y
HE12. En esta figura el eje horizontal indica la longitud de onda del bombeo mientras que
el eje vertical indica simultaneamente la longitud de onda de la senal y acompanante en
terminos del valor de delta ∆s,a, donde
∆s,a
2πc=
1
λs,a− 1
λb. (59)
Los valores negativos de delta (∆a) estan asociados a la longitud de onda del foton acom-
panante, mientras que los valores positivos (∆s) a la longitud de onda del foton senal; ∆
representa la diferencia o bien desintonizacion entre la longitud de onda de los campos
generados, λs y λa, y la longitud de onda del campo de bombeo λb.
En la figura 12 es posible observar que la condicion de empatamiento de fases se
cumple para un intervalo aproximado, de longitudes de onda del campo de bombeo, de
0.25 a 0.60 µm. A partir de la ecuacion (59) es posible conocer la longitud de onda del
foton senal y acompanante generados por un determinado campo de bombeo, como se
muestra a continuacion. La lınea vertical que se muestra en la figura 12 se trazo a partir
de una longitud de onda de bombeo de 0.4 µm. La lınea coincide con cuatro puntos de
la curva de empatamiento de fases, a estos cuatro puntos les corresponde los siguientes
valores de ∆: ±1.686 y ±3.32x1015 Hz. Una vez que se conocen los valores de ∆ y la
longitud de onda del campo de bombeo λb = 0.4 µm asociada, es posible obtener la
43
frecuencia de los campos generados a traves de la ecuacion (59). En este ejemplo en
particular, la longitud de onda de los campos generados es λs = 0.235 µm y λa = 0.625
µm o bien λs = 0.295 µm y λa = 1.366 µm.
1.88 0.94 0.62 0.47 0.37 0.31 0.26 0.23
−3
−2
−1
0
1
2
3
λb(µm)
Señal y acompañante se propagan en el modo HE11 y HE12
∆ sa
(1015
Hz
)∆
(1015
Hz
) 0.235 µm
0.295 µm
1.366 µm
0.625 µm
Figura 12: Diagrama de empatamiento de fases para la fibra NL 2.5 810 cuando los dos campos debombeo se propagan en el modo HE11 y los dos campos generados en el modo HE11 y HE12.
FIBRA SC 5.0 1040
A continuacion se presentan los resultados de la curva de empatamiento de fases
considerando dos configuraciones distintas, en la misma fibra. En la primera, los cuatro
campos se propagan en el mismo modo y en la segunda los dos campos generados se
propagan en diferente modo al campo de bombeo pero en el mismo modo entre ellos.
La figura 13 muestra la curva de empatamiento de fases en color rojo correspondiente
a cuatro campos propagandose en el modo HE13. En la figura el eje horizontal indica la
longitud de onda del bombeo y el eje vertical la longitud de onda de la senal y acom-
panante simultaneamente. En la figura 13 se trazo una lınea vertical a lo largo de λb = 0.8
µm que muestra la posibilidad de generar dos fotones, senal y acompanante, con una lon-
gitud de onda de 0.59 µm y 1.22 µm por el proceso de DFWM, al aniquilarse dos fotones
del campo de bombeo con una longitud de onda de 0.8 µm.
En la figura 14 se muestra la curva de empatamiento de fases en color azul corres-
44
0.6 0.7 0.8 0.90.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
λ b (µm)λ
s,a (µ
m)
Los cuatro campos se propagan en el modo HE13
1.22 µm
0.59 µm
Figura 13: Diagrama de empatamiento de fases para la fibra SC 5.0 1040 cuando los cuatro camposse propagan en el modo HE13.
pondiente a la siguiente configuracion: el campo de bombeo se propaga en el modo fun-
damental HE11, mientras que los dos campos generados se propagan en el mismo modo
HE12. En la figura el eje horizontal indica la longitud de onda del bombeo y el eje vertical
indica simultaneamente la longitud de onda de la senal y acompanante, a traves de ∆.
Para la configuracion propuesta en la figura 14, la condicion de empatamiento de fases
se cumple para un intervalo aproximado de longitudes de onda del campo de bombeo de
0.2 a 0.5 µm. En la figura 14 se trazo una lınea vertical indicando una longitud de onda
de bombeo de 0.4 µm. En el ejemplo mostrado por la lınea vertical, el cumplimiento de la
condicion de empatamiento de fases permite la generacion de dos fotones, senal y acom-
panante, con una longitud de onda de 0.571 y 0.309 µm por medio de la aniquilacion de
dos fotones de bombeo con λb = 0.4 µm.
En este caso, al igual que en el caso mostrado en la figura 12, la condicion de empata-
miento de fases se cumple en una region espectral alejada de la longitud de onda de cero
dispersion de la fibra (λZD= 810 nm y λZD= 1040 nm). En ambos casos la solucion trivial
a la condicion de empatamiento de fases no existe debido a que las senales generadas
se propagan en diferente modo al campo de bombeo.
Los diagramas de empatamiento de fases que se presentaron en esta seccion mues-
tran la posibilidad de generar nuevas frecuencias por medio del proceso de FWM de-
generado en el bombeo en las MSFs disponibles, utilizando campos de bombeo en la
45
0.94 0.47 0.31 0.23
−3
−2
−1
0
1
2
3
λb(µm)
Señal y acompañante se propagan en el modo HE12
0.309 µm
0.571 µm
a∆
(1015
Hz
)s
∆ (1
0 H
z )
15
Figura 14: Diagrama de empatamiento de fases para la fibra SC 5.0 1040 cuando los dos campos debombeo se propagan en el modo HE11 y los dos campos generados en el modo HE12.
region del espectro visible e IR cercano. En particular, en cada diagrama se mostro la
posibilidad de generar senales por medio de un campo de bombeo proveniente de un
laser de Ti:Zafiro (fundamental o segundo armonico). Sin embargo, para llevar a cabo la
implementacion experimental de los diagramas aquı mostrados es necesario considerar
otros factores, ademas de la disponibilidad de la frecuencia del campo de bombeo. Un
factor importante que limita la implementacion experimental de las soluciones a la condi-
cion de empatamiento de fases aquı presentadas se relaciona con posibilidad de detectar
las senales generadas. Las deteccion de senales que se encuentran en la region del es-
pectro UV (figura 12) estan limitadas por la disponibilidad y sensibilidad de deteccion del
equipo. Por otro lado, se ha reportado la generacion de un supercontinuo (alrededor de la
frecuencia del campo de bombeo) con un ancho de espectral de 0.59 µm, al incidir con
un pulso con una duracion del orden de femtosegundos cuya longitud de onda central
es de 0.826 µm en una MSF (Licea-Rodrıguez et al., 2011). En este caso el superconti-
nuo generado se extiende desde 0.55 µm hasta 1.22 µm aproximadamente. Tomando en
cuenta lo anterior, las senales generadas por el proceso de FWM (figuras 10, 11 y 13)
pueden caer dentro del intervalo correspondiente a la generacion del supercontinuo. En
tal caso la posibilidad de observar las senales generadas por el proceso de FWM esta
sujeta a la capacidad de distinguir estas senales del supercontinuo generado por la fibra.
46
Finalmente, el diagrama de la figura 14 presenta caracterısticas favorables para su imple-
metacion experimental. En este caso, la propagacion del campo de bombeo se realiza en
el regimen de dispersion normal, alejado de la longitud de onda de cero dispersion λZD
de la fibra; por lo que se espera que el supercontinuo no contribuya drasticamente a la
generacion de nuevas frecuencias. En tal caso, las senales generadas por el proceso de
FWM no estarıan traslapadas con frecuencias generadas por el supercontinuo. Sin em-
bargo, en este caso, la potencia del campo de bombeo esta limitada por la eficiencia de
conversion del segundo armonico del laser de Ti:Zafiro. Ademas, al encontrarnos lejos de
λZD el bombeo puede presentar importantes efectos de dispersion, no deseables para el
estudio del proceso de FWM.
Por otro lado, se observo que existen diversas configuraciones de los campos que
permiten cumplir con la condicion de empatamiento de fases cuando la frecuencia del
campo de bombeo se encuentra en la region del espectro visible. Dichas configuraciones
corresponden, entre otras, a cuatro campos propagandose en el mismo modo describien-
do dos lobulos, similares a los que se muestran en esta seccion pero recorridos hacia
longitudes de onda mas bajas. Al aumentar el orden del modo de propagacion (de los 4
campos), la longitud de onda de cero dispersion λZD se recorre hacia el azul, como se
menciono anteriormente (Seccion 3.1). Debido a que λZD define las fronteras de los lobu-
los de empatamiento de fases, las soluciones a la condicion de empatamiento de fases se
recorren hacia el azul. Al utilizar modos de orden superior se observo que los lobulos son
cerrados, a diferencia de los lobulos abiertos que se muestran en esta seccion. Cuando
los lobulos son cerrados, la condicion de empatamiento de fases se cumple en todo el
intervalo comprendido entre las dos λZD del respectivo modo, ampliando la posibilidad de
encontrar una fuente de bombeo que permita la implementacion experimental del proce-
so. Dichos diagramas de empatamiento de fases no se presentan en este trabajo de tesis,
sin embargo son una opcion a considerar para el estudio del proceso de FWM cuando se
cuenta con fuentes de bombeo en la region del espectro visible.
Por todo lo dicho anteriormente, se procedio a explorar configuraciones que permitan
cumplir con la condicion de empatamiento de fases para el proceso de THG. A traves de
dicha exploracion es posible que se presenten soluciones que favorezcan su implemen-
47
tacion experimental.
3.2.2. Empatamiento de fases para el proceso de THG
En esta seccion se presentan los calculos de la funcion de desempatamiento de fa-
ses ∆β pertinentes al proceso de THG, para tres diferentes fibras. En los calculos que
se presentan a continuacion se asumio que el campo de bombeo se propaga en el mo-
do fundamental HE11, mientras que se permitio la propagacion del tercer armonico en
modos HE de orden superior al fundamental. De acuerdo a los valores tıpicos de los
coeficientes γb y γh,b provenientes del proceso de automodulacion de fase y modulacion
de fase cruzada para las fibras en cuestion y a los valores de potencias pico disponibles
experimentalmente, el valor del termino no lineal ΦNL para el proceso de THG es muy
pequeno y puede ser ignorado en los calculos de empatamiento de fases. Lo anterior
se senala en un caso en especıfico correspondiente a la fibra NL 1.8 730, en donde se
justifica que el termino no lineal ΦNL es despreciable para los calculos que mostramos en
esta seccion.
De todas las posibles configuraciones que presentamos a continuacion, respecto al
modo de propagacion del tercer armonico, no todas cumplen con la condicion de empa-
tamiento de fases ∆β = 0. Tal es el caso para la fibra NL 1.8 730 en donde presentamos
algunos casos en donde ∆β 6= 0 para todo el intervalo de transmision de la fibra. Para
las fibras NL 2.4 800 y SC 5.0 1040 todas las configuraciones que presentamos cumplen
con la condicion ∆β = 0. Por otro lado, a diferencia del proceso de FWM, en donde la
condicion de empatamiento de fases se cumple para un intervalo de longitudes de onda
del campo de bombeo, en el proceso de THG la condicion se cumple para una unica lon-
gitud de onda del campo de bombeo. Al igual que en la seccion pasada, en esta seccion
se subrayan las soluciones a ∆β = 0 con longitudes de onda del campo de bombeo cer-
canas a 0.8 µm, debido al interes que presentan para su implementacion por medio de
un laser de Ti:Zafiro.
FIBRA NL 1.8 730
Las graficas de la figura 15 muestran el valor de ∆β en funcion de la longitud de onda
del tercer armonico λh, cuando este se propaga en los modos (a) HE1m, (b) HE2m y (c)
48
HE3m. Para una cierta longitud de onda λh y una determinada configuracion, la funcion
∆β puede igualarse a cero; condicion necesaria para obtener un proceso eficiente. En la
figura 15 se muestran varias soluciones a la condicion ∆β = 0, cada solucion corresponde
a una configuracion especıfica definida por el modo de propagacion del tercer armonico.
Es posible notar, a partir de la figura 15 (a), que conforme aumenta el orden del modo de
propagacion del tercer armonico, la solucion a ∆β = 0 se recorre hacia el UV. Este mismo
comportamiento se puede observar en las figuras 15 (b) y (c).
Al permitir la propagacion del tercer armonico en un modo HE1m la figura 15 (a) mues-
tra que la condicion ∆β = 0 se cumple unicamente para los modos HE13 y HE14. En la
esquina superior derecha de la figura 15 (a) se muestra un acercamiento al valor de la
funcion ∆β cuando el tercer armonico se propaga en el modo HE13. En dicho acerca-
miento, la lınea negra corresponde al valor de ∆β, mientras que la lınea roja corresponde
al valor de ∆β+ ΦNL. En este caso el valor de la fase no lineal ΦNL= 2x10−4 corresponde
a valores de los coeficientes γb=106 km−1W−1, γh,b= 96 km−1W−1 y P=200 W. En la figura
se puede observar que la diferencia entre ambas curvas es muy pequena y que el valor de
la longitud de onda del tercer armonico para ambas soluciones (∆β = 0 y ∆β + ΦNL = 0)
es el mismo hasta la tercera cifra significativa. Lo anterior justifica ignorar el termino ΦNL
en los calculos que presentamos en esta seccion.
Por otro lado, en la figura 15 (b) se observa que al permitir la propagacion del tercer
armonico en un modo HE2m la condicion ∆β = 0 se cumple solo para los modos HE22 y
HE23. Por ultimo, en la figura 15 (c) se observa que al permitir la propagacion del tercer
armonico en un modo HE3m la condicion ∆β = 0 se cumple solamente para los modos
HE32 y HE33. La funcion ∆β adquiere unicamente valores positivos al permitir que el
tercer armonico se propague en los modos HE12, HE21 y HE31 y unicamente negativos
para lo modos HE15, HE24 y HE34.
Las soluciones a la condicion de empatamiento de fases que se muestran en la fi-
gura 15 se encuentran en la region del espectro UV, es decir, se espera que el tercer
armonico se genere en esta region del espectro. Una vez que se cumple la condicion
de empatamiento de fases, la eficiencia del proceso THG depende cuadraticamente, en
la aproximacion armonica debil, de la potencia de bombeo, la longitud de la fibra y el
49
0.3 0.4 0.5 0.6−2
−1
0
1
2
Longitud de onda del tercer armónico (µm)
HE22
HE23HE24
HE21
a) b) c)
b)
0.3 0.4 0.5 0.6−2
−1
0
1
2
∆β (µ
m−1)
HE15
HE12
HE13HE14
0.25 0.3 0.35 0.4−2
−1
0
1
2
HE31
HE32
HE33HE34
c)
∆β (µ
m−1)
∆β (µ
m−1)
a)0.3215 0.3215
−5
0
5
10−6
Longitud de onda (μm)
Δβ
(μm
−1)
Figura 15: Valor de la funcion de desempatamiento de fases ∆β para la fibra NL 1.8 730, al permitir lapropagacion del tercer armonico en los modos: (a)HE1m (b)HE2m (c)HE3m. La insercion muestra elvalor de la funcion desempatamiento de fases sin considerar la fase no lineal (negro) y considerandola fase no lineal (rojo).
coeficiente no lineal (Grubsky y Savchenko, 2005). La potencia y longitud de la fibra son
parametros limitados por condiciones experimentales, el valor maximo de dichos parame-
tros se establece al iniciar el experimento. Por otro lado, el valor del coeficiente no lineal
depende del modo en el cual se genera el tercer armonico. Los resultados pertinentes a
las soluciones de la figura 15 se resumen en la Tabla 2, en donde se muestra la longitud
de onda del tercer armonico λh en conjunto con el valor de la longitud de onda de bom-
beo λb y el coeficiente no lineal γ (Seccion 2.5.2) respectivo. El valor del coeficiente no
lineal γ se calculo a traves de la ecuacion (56), en donde se utilizo un valor del coeficiente
n2=2.5 x 1020 m2/W (para la sılice) de acuerdo a las especificaciones del fabricante (Thor-
labs.inc, 2014). El valor de Aeff se obtiene a traves de la ecuacion (57), en donde Ab y
Ah representan la distribucion del modo de propagacion del bombeo y el tercer armonico
respectivamente. La distribucion de los campos se calculo por medio de la expresiones
del campo electrico (ecuacion 28).
Los valores de la longitud de onda de bombeo λb de la Tabla 2 indican que la longitud
de onda mas cercana a 0.8 µm es 0.813 µm, correspondiente al tercer armonico generado
en el modo HE23 con λh =0.271 µm y un valor del coeficiente no lineal γ practicamente
igual a cero. En este caso el valor del coeficiente no lineal indica que el traslape espacial
entre el modo fundamental HE11 y el modo HE23 es nulo. Dentro del marco experimental
el estudio de este proceso en particular no presenta interes, en concordancia con el valor
50
Tabla 2: Valores asociados a las soluciones a la condicion de empatamiento de fases para la fibraNL 1.8 730 cuando el tercer armonico viaja en un modo HElm.
Fibra NL 1.8 730modo lm λh (µm) λb (µm) γ (W−1/Km)
13 0.321 0.963 0.29714 0.244 0.732 0.21722 0.453 1.359 3.07 x 10−15
23 0.271 0.813 2.58 x 10−15
32 0.320 0.96 0.22733 0.244 0.732 0.078
de su coeficiente no lineal.
FIBRA NL 2.4 800
Las graficas de la figura 16 muestran el valor de ∆β, en funcion de la longitud de
onda del tercer armonico, al permitir la propagacion del tercer armonico en los modos (a)
HE1m, (b) HE2m y (c) HE3m.
Estamos interesados en los valores de la longitud de onda del tercer armonico λh,
para los cuales se cumpla la condicion ∆β = 0. En las figuras 16 (a), (b) y (c) es posi-
ble observar que las soluciones a ∆β = 0 se recorren hacia longitudes de onda cortas,
conforme aumenta el orden del modo de propagacion del tercer armonico. Al permitir la
propagacion del tercer armonico en un modo HE1m, la figura 16 (a) muestra que la con-
dicion ∆β = 0 se cumple para los modos HE13, HE14 y HE15. Por otro lado, como se
observa en la figura 16 (b), al permitir la propagacion del tercer armonico en un modo
HE2m la condicion ∆β = 0 se cumple para los modos HE22, HE23 y HE24. Por ultimo,
en la figura 16 (c) se observa que la condicion ∆β = 0 se cumple para los modos HE32,
HE33 y HE34. Las curvas de desempatamiento de fases al considerar la propagacion del
tercer armonico en los modos HE12, HE16, HE21, HE25, HE31 y HE35 no se muestran en
la figura 16, debido a que ∆β 6= 0 al evaluarla en todo el intervalo posible de longitudes
de onda.
En la figura 16 las soluciones a la condicion de empatamiento de fases se encuentran
en la region espectral del UV (a excepcion de la solucion para el modo HE22), por lo que
51
0.3 0.4 0.5 0.6−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
HE24
HE23
HE22
0.25 0.3 0.35 0.4 0.45−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
HE32
HE33
HE34
0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
Longitud de onda del tercer armónico (µm)
HE15
HE14 HE13
a) b) c)
∆β (µ
m−1)
∆β (µ
m−1)
∆β (µ
m−1)
Figura 16: Valor de la funcion de desempatamiento de fases para la fibra NL 2.4 800, al permitir lapropagacion del tercer armonico en los modos: (a) HE1m. (b) HE2m. (c) HE3m.
se espera que el tercer armonico se genere en esta region del espectro. Los resultados
relevantes a la condicion ∆β = 0 para la fibra NL 2.4 800 se resumen en la Tabla 3, en
donde se muestra la longitud de onda del tercer armonico λh, en conjunto con la longitud
de onda de bombeo λb y el valor del coeficiente no lineal γ respectivo. En la Tabla 3 se
muestran tres valores de λb cercanas a 0.8 µm, dos de ellos en 0.84 µm (modos HE14 y
HE33 respectivamente) y el otro en 0.768 µm (modo HE24). De los tres procesos, el que
presenta mayor interes para su implementacion experimental es el proceso en el cual el
tercer armonico se propaga en el modo HE14, debido a que presenta el valor mas alto en
su coeficiente no lineal γ, respecto a los otros dos procesos de interes.
Tabla 3: Valores asociados a la soluciones a ∆β = 0 para la fibra NL 2.4 800 cuando el tercer armoni-co se propaga en un modo HElm.
Fibra NL 2.4 800modo lm λh (µm) λb (µm) γ (W−1/Km)
13 0.377 1.131 0.04714 0.280 0.84 0.08415 0.240 0.72 0.05122 0.576 1.728 2.97 x 10−15
23 0.313 0.939 6.59 x 10−15
24 0.256 0.768 4.47 x 10−15
32 0.377 1.131 0.12633 0.280 0.84 0.04234 0.240 0.72 0.019
SC 5.0 1040
52
Las graficas de la figura 17 muestran el valor de ∆β en funcion de la longitud de onda
del tercer armonico, al permitir la propagacion del tercer armonico en los modos (a)HE1m,
(b) HE2m y (c) HE3m. Al permitir la propagacion del tercer armonico en un modo HE1m la
figura 16 (a) muestra que la condicion ∆β = 0 se cumple para los modos HE1m con m=3,
4, 5, 6,7, 8 y 9. Por otro lado, en la figura 17 (b) se observa que al permitir la propagacion
del tercer armonico en un modo HE2m la condicion ∆β = 0 se cumple para los modos
HE2m con m=3, 4, 5, 6,7, 8 y 9. Por ultimo, en la figura 17 (c) se observa que al permitir
la propagacion del tercer armonico en un modo HE3m la condicion ∆β = 0 se cumple
para los modos HE3m, con m= 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. Las curvas de la funcion ∆β que no se
muestran en la figura 17 cumplen ∆β 6= 0 en todo el rango de longitudes de onda en el
que se evaluan.
0.25 0.3 0.35 0.4 0.45−0.1
−0.05
0
0.05
0.124
2526
27
28
23
29
0.3 0.4 0.5 0.6−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
Longitud de onda del tercer armónico (µm)
18
19
17
1615
13
14
0.3 0.4 0.5 0.6−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
32
38
36
3534
33
37
∆β (µ
m−1)
∆β (µ
m−1)
∆β ( µ
m−1)
Figura 17: Valor de la funcion de desempatamiento de fases para la fibra SC 5.0 1040, al permitir lapropagacion del tercer armonico en los modos: (a) HE1m. (b) HE2m. (c) HE3m.
La Tabla 4 resume los resultados asociados a las soluciones ∆β = 0 para la fibra SC
5.0 1040. En la Tabla 4 se muestra el modo de propagacion HElm y la longitud de onda
del tercer armonico, junto con el valor de λb y γ del correspondiente proceso. La Tabla
4 muestra diversos valores de λb cercanos a 0.8 µm, de acuerdo al orden en el que se
presentan en la tabla, estos valores son: 0.819, 0.765, 0.789 y nuevamente 0.789 µm.
De acuerdo al valor del coeficiente no lineal γ, el caso que presenta mayor interes para
su implementacion experimental corresponde al caso en el cual el tercer armonico se
propaga en el modo HE17.
Resumiendo, los resultados mostrados para el proceso de THG muestran varios as-
pectos importantes. En primer lugar, al fijar el valor de l (l = 1, 2, 3) del modo de propaga-
53
Tabla 4: Valores asociados a las soluciones a la condicion de empatamiento de fases para la fibraSC 5.0 1040 cuando el tercer armonico se propaga en un modo HElm.
Fibra SC 5.0 1040modo lm λh (µm) λb (µm) γ (W−1/Km)
13 0.611 1.833 0.05914 0.404 1.212 0.02815 0.337 1.011 0.01416 0.300 0.900 0.00717 0.273 0.819 0.00418 0.255 0.765 0.00219 0.240 0.720 0.00123 0.454 1.362 2.84 x 10−16
24 0.364 1.092 6.46 x 10−16
25 0.316 0.948 5.83 x 10−16
26 0.286 0.858 9.8 x 10−17
27 0.263 0.789 3.7 x 10−16
28 0.247 0.741 1.79 x 10−16
29 0.233 0.699 9.78 x 10−16
32 0.608 1.824 0.00233 0.404 1.212 0.00134 0.337 1.001 6.34 x 10−4
35 0.300 1.001 4.11 x 10−4
36 0.274 1.001 2.53 x 10−4
37 0.263 0.789 1.67 x 10−4
38 0.247 0.741 1.17 x 10−4
54
cion del tercer armonico, la condicion ∆β=0 tiene dos soluciones para la fibra NL 1.8 730,
tres para la fibra NL 2.4 800 y siete para la fibra SC 5.0 1040. El aumento en el numero
de soluciones, conforme se incrementa el radio del nucleo de la fibra, se puede entender
de la siguiente manera. Al aumentar el valor del radio del nucleo, se presenta un aumento
en el numero de modos soportados por la fibra y un corrimiento de la longitud de onda de
corte, λc (longitud de onda maxima que puede ser guiada a lo largo de la fibra, Seccion
2.1), de cada modo hacia el IR. El cumplimiento de la condicion de empatamiento de fa-
ses ∆β = 0 esta limitado por la longitud de onda de corte de cada modo, mientras que el
numero de soluciones a ∆β = 0 se relaciona con el numero de modos disponibles en la
fibra (modos soportados por la fibra). Al disminuir el radio de la fibra la longitud de onda
de corte cada modo se recorre hacia el UV disminuyendo ası el intervalo de longitudes de
onda disponibles para cumplir con la condicion ∆β = 0; al mismo tiempo que disminuye
el numero de modos disponibles para cumplir la condicion ∆β = 0. En conjunto, ambos
factores disminuyen el numero de soluciones a la condicion ∆β = 0.
Por otro lado, el valor del coeficiente no lineal se relaciona con el traslape espacial
entre el modo de propagacion y el modo del campo generado, a traves del valor del area
efectiva Aeff . A partir de los resultados que se muestran en la tabla 2, 3 y 4, es posible
observar que el valor del coeficiente no lineal es practicamente cero, para todos los casos
en los que se considero la propagacion del tercer armonico en un modo HE2m. En estos
casos, el valor del coeficiente no lineal indica un pobre traslape espacial entre el modo
fundamental y algun modo HElm con l = 2. En consecuencia, no es posible observar la
generacion del tercer armonico en dichos procesos. Anteriormente, en el estudio de pro-
cesos no lineales, el ındice azimutal modal l ha sido directamente asociado al momento
angular orbital de los modos de propagacion (Dholakia et al., 1996).
Los calculos que se mostraron en esta seccion indican que es posible inducir procesos
parametricos no lineales, FWM y THG, cuando el pulso de bombeo se encuentra centrado
alrededor de una longitud de onda de 0.8 µm, o bien centrado alrededor de su segundo
armonico a 0.40 µm. Estos procesos son de especial interes debido a la disponibilidad
experimental de pulsos centrados alrededor de 0.8 µm, por medio de un laser de Ti:Zafiro.
55
Capıtulo 4. Implementacion experimental y resultados.
En el capıtulo anterior se presentaron resultados del calculo de empatamiento de fases
para el proceso DFWM y THG, en cuatro diferentes fibras. Partiendo de las soluciones a
la condicion de empatamiento de fases y el valor del coeficiente no lineal, en el presente
capıtulo se describe el arreglo experimental a implementar con el objetivo de observar la
generacion del tercer armonico. Posteriormente, se presentan los espectros adquiridos
a la salida de la fibra, derivados de diferentes procesos no lineales, y su dependencia
con el campo de bombeo. Los resultados experimentales son comparados con el calculo
de empatamiento de fases para la fibra optica correspondiente. Finalmente, en la ultima
seccion de este capıtulo se presenta una discusion de los resultados experimentales.
4.1. Descripcion de la propuesta experimental.
Debido a las caracterısticas de dispersion y a las propiedades de empatamiento de
fases de las fibras disponibles en el laboratorio, la implementacion experimental exitosa
de FWM no es viable, como ya se discutio en la seccion 3.2.1. Por ello, como parte de
este trabajo se opto por implementar un arreglo experimental para estudiar el proceso
de generacion del tercer armonico. La eleccion de la fibra a utilizar en el experimento se
realizo en terminos del valor del coeficiente no lineal γ. Como se menciono anteriormente,
la eficiencia del proceso aumenta con un alto valor del coeficiente no lineal. De acuerdo
a los resultados de la seccion anterior, el proceso con el mayor valor del coeficiente no
lineal γ corresponde a la fibra NL 2.4 800, al suponer que el armonico se propaga en el
modo HE13 con λh=0.28 µm.
El arreglo experimental que se implemento se muestra en la figura 18. Un objetivo de
microscopio de 40x se utilizo para enfocar el haz proveniente del laser de Ti:Zafiro a la
fibra NL 2.4 800, con ayuda de una montura tridimensional que cuenta con tornillos de
ajuste micrometrico. Al iniciar el trabajo experimental, la longitud de la fibra NL 2.4 800 fue
de 23 cm aproximadamente, conforme transcurrio el experimento la longitud de la fibra
se redujo debido a los cortes realizados en ella para obtener, durante todo el tiempo de
adquisicion de datos, dos caras (entrada y salida de la fibra) plano paralelas. A la salida de
la fibra se espera la generacion de un supercontinuo en la region del espectro visible e IR
56
cercano. Para medir el supercontinuo generado se utilizo un espectrometro Ocean Optics
2000 sensible en el rango de longitudes de onda de 400-1100 nm, con una resolucion
de 0.5 nm. Adicionalmente, a la salida de la fibra se espera observar una senal de tercer
armonico en la region del UV cercano. A continuacion se explica el arreglo experimental
que se implemento para medir esta senal. El espectro a la salida de la fibra se enfoca
en la rendija de entrada de un monocromador ACTON RESEARCH CORPORATION por
medio de una lente plano-convexa THORLABS LA4052 que transmite en la region del
UV, visible e IR (0.185 - 2.1 µm). A la entrada del monocromador se coloco un filtro
THORLABS FGUV11 pasabandas, que transmite en el rango de 275 a 375 nm, con el
fin de bloquear las longitudes de onda provenientes del supercontinuo e IR proveniente
del laser de Ti:Zafiro y transmitir las longitudes de onda en la region del espectro UV.
A la salida del monocoromador se coloco un tubo fotomultiplicador (TFM) HAMAMATSU
R2557, sensible en la region del UV, cuya ganancia es posible variar utilizando una fuente
de alto voltaje en el rango de 500 a 1100 V. La senal de corriente proveniente del TFM
fue convertida a una senal de voltaje utilizando un preamplificador de corriente a voltaje
(Newport Instruments, 70710), alimentado a su vez por una fuente de voltaje a 12.5 V.
El TFM se conecto a un osciloscopio, desde donde fue posible medir el voltaje generado
por la senal incidente. La curva de respuesta del TFM se muestra en la figura 19. Un
espectrometro Ocean Optics USB 4000 cuya resolucion es de 0.3 nm en el rango de
longitudes de onda de 350-1000 nm se utilizo para medir el espectro proveniente del
laser de Ti:Zafiro.
4.2. Caracterizacion del pulso de bombeo.
Al comenzar el trabajo experimental se utilizo un laser Ti:Zafiro modelo NJA-4 fabri-
cado por CLARCK-MXR, Inc. (USA) que opera mediante el proceso no lineal conocido
como autoamarre de modos por efecto de lente Kerr optico (KLML) para producir pulsos
con una duracion del orden de femtosegundos. En principio la fase entre los modos que
oscilan en una cavidad laser es totalmente aleatoria; el amarre de modos establece una
relacion de fase fija entre los diferentes modos longitudinales de la cavidad lo que produce
un tren de pulsos. En este caso el mismo cristal de Ti:Zafiro, al presentar un comporta-
miento no lineal, provee el mecanismo de amarre de fases debido a la automodulacion
57
monocromador
E1
E2
láserTi:Za�ro
SC
THG
espectrómetroNL 2.4 800
F
TFM
objetivo
espectrómetro
L
FAV
PA
osciloscopio
Figura 18: Diagrama del arreglo experimental para estudiar los procesos no lineales generados enla fibra NL 2.4 800. E1, E2, espejos; L, lente; F filtro; TFM tubo fotomultiplicador; FAV fuente de altovoltaje; PA preamplificador.
de fase que se presenta por efecto Kerr (Seccion 2.4). Por otro lado, el cristal de Ti:Zafiro
exhibe dispersion normal, produciendo un ensanchamiento temporal del pulso cada vez
que atraviesa el cristal. Para producir pulsos cortos se introduce una fuente de dispersion
anomala que compensa la dispersion normal. La fuente de dispersion anomala consiste
en un par de prismas colocados en un brazo de la cavidad, arreglados de tal forma que
las componentes de longitud de onda mas altas viajan a traves de mas vidrio que las com-
ponentes de longitud de onda mas cortas. En resumen, con el cristal de Ti:Zafiro como
medio activo, alineacion y elementos opticos intracavidad que producen la compensacion
de la dispersion de la velocidad de grupo (GVD) en combinacion con la automodulacion
de fase, generada por el mismo medio activo, es posible obtener, a partir de una emi-
sion continua, un tren de pulsos estable de femtosegundos con frecuencia de repeticion
tıpicamente del orden de MHz, dependiendo de la longitud de la cavidad del oscilador.
El laser de Ti:Zafiro modelo NJA-4 emite pulsos a una frecuencia de repeticion de 94
MHz, con una potencia promedio aproximada de 240 mW y una energıa por pulso de
2.55 nJ. Este laser es bombeado por un laser de estado solido (Millenia Vs. fabricado
por Spectra-Physics) que emite en forma continua a una longitud de onda λ= 532 nm
con una potencia de bombeo de 5W. El perfil espectral de este laser presento cambios
a lo largo de los experimentos, dado que el regimen pulsado no se mantenıa estable
58
TPMHB0032EA100
10
1
0.1
0.01200 400 600 800
CAT
HO
DE
RAD
IAN
T SE
NSI
TIVI
TY (m
A/W
)Q
UAN
TUM
EFF
ICIE
NC
Y (%
)
WAVELENGTH (nm)
CATHODERADIANTSENSITIVITY
QUANTUMEFFICIENCY
Figura 19: Respuesta espectral tıpica del TFM HAMAMATSU R2557.
bajo la misma configuracion de los elementos opticos de la cavidad laser. Debido a esto,
los resultados que se presentan en este capıtulo, obtenidos a traves del laser Ti:Zafiro
modelo NJA-4, estan acompanados por el correspondiente perfil espectral del pulso laser.
Posteriormente, debido a los problemas que presento el laser CLARCK-MXR, se trabajo
con un laser Ti:Zafiro modelo Griffin fabricado por KMLabs, INC (USA). Este laser emite
pulsos con una frecuencia de repeticion de 81 MHz, una potencia promedio de 210 mW
y una energıa por pulso de 2.59 nJ. El laser es bombeado por un laser de estado solido
(Verdi V6 fabricado por Coherent Inc.) que emite en forma continua a una longitud de onda
de λ= 532 nm con una potencia de bombeo de 5W. Debido a que este laser presento un
perfil mas estable, fue posible reproducir su perfil espectral y temporal durante toda la
adquisicion de datos. A continuacion se muestra el perfil espectral y temporal del laser
Ti:Zafiro modelo Griffin.
4.2.1. Perfil espectral.
En la figura 20 se muestra el perfil espectral del laser de Ti:Zafiro modelo Griffin,
el ajuste que se muestra en la figura indica que el pulso tiene un perfil gaussiano, con
una longitud de onda central λc=822 nm y un ancho espectral, medido a la mitad del
59
maximo (FWHM por sus siglas en ingles Full Width at Half Maximum), ∆λ= 43 nm. La
adquisicion del perfil se realizo por medio de un espectrometro Stellar Net BLACK-Comet
Spectrometer cuya resolucion es de 0.5 nm en el rango de longitudes de onda de 190 a
1075 nm.
750 800 850 9000.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Inte
nsid
ad n
orm
aliz
ada
(u.a
.)
Longitud de onda (nm)
Experimental Ajuste Gaussiano
λc= 822 nm
ΔλFWHM 43 nm=
Figura 20: Perfil espectral del laser Ti:Zafiro modelo Griffin.
A partir del perfil espectral de bombeo, es posible estimar el ancho temporal mınimo
del pulso por medio de la siguiente expresion
τ p =0.44
∆ν, (60)
donde τ p es la duracion del pulso limitado por la transformada de Fourier, 0.44 es una
constante que depende de la forma del pulso y para un perfil gaussiano, segun el criterio
de FWHM, es aproximadamente igual a 0.44 y ∆ν es el ancho espectral. De acuerdo al
perfil de la figura 20 y a la ecuacion (60) la duracion mınima del pulso es igual a 23 fs.
4.2.2. Perfil temporal.
El perfil temporal del pulso proveniente del laser de Ti:Zafiro modelo Griffin se midio
con un autocorrelador por absorcion de dos fotones basado en un proceso optico no lineal
(Arthur et al., 2003), el funcionamiento del autocorrelador se explica a continuacion. En
la figura 21 se puede observar que el autocorrelador cuenta con dos brazos (etiquetados
60
como 1 y 2). Cuando el pulso laser incide en el divisor de haz (que transmite el 50 %
y refleja el 50 % del pulso) crea dos replicas del mismo. Cada replica viaja por separa-
do a traves de diferentes caminos opticos (1 y 2) que dirigen al pulso hacia un espejo,
como se observa en la figura 21. Al incidir en el espejo, los pulsos son reflejados y re-
gresan al divisor de haz. La diferencia entre ambos brazos del autocorrelador reside en
los espejos: en el brazo 1 el pulso incide en un espejo movil permitiendo modificar la
longitud de su camino optico, mientras que en el brazo 2 el pulso incide en un espejo fijo
manteniendo constante su camino optico. En el divisor de haz, el reflejo de cada pulso
es dirigido hacia un espejo curvo que lo enfoca en un LED. En el diodo laser o LED se
genera una senal, cuando se presenta el fenomeno de absorcion de dos fotones, que es
proporcional al traslape temporal entre ambos pulsos; dicho traslape se puede controlar
por medio del espejo movil. A continuacion se explica como el LED realiza dos funcio-
nes: la del medio no lineal y la del detector. Un cristal no lineal emplea el fenomeno de
generacion de segundo armonico para generar un foton a frecuencia 2ω, a partir de dos
fotones a frecuencia ω provenientes de cada replica del pulso. Cuando la luz incide en
un semiconductor, si Ef = ~ω < Eg, donde Ef es la energıa proveniente de un foton y
Eg es la brecha de energıa del semiconductor, no se presentara absorcion significativa.
Sin embargo, si la irradiancia de la luz es muy alta, como sucede en un pulso ultracorto,
y la energıa cumple 2~ω > Eg, se puede dar la absorcion simultanea de dos fotones.
Los pares electron-hueco generados por este proceso de absorcion de dos fotones son
detectados como una corriente al polarizar inversamente el dispositivo.
En nuestro caso la senal detectada por el LED se observo en un osciloscopio como
funcion del tiempo, despues de amplificar su senal por medio de un circuito (figura 21).
Para relacionar la duracion de la senal observada en el osciloscopio, que es del orden
de milisegundos, con la duracion del pulso que es del orden de femtosegundos es nece-
sario realizar una calibracion del movimiento del espejo del autocorrelador, a continuacion
se explica el procedimiento para realizar dicha calibracion. En primer lugar es necesario
observar en la pantalla del osciloscopio el traslape temporal entre ambos pulsos, para
lograr esto movemos el espejo movil por medio de un tornillo micrometrico con el fin de
igualar ambos caminos opticos. Una vez que ambos pulsos se encuentran completamen-
61
1
2
DH
retardo
espejocurvo
LED
espejo fijo
espejo móvil
circuitoamplificador
osciloscopio pulso incidente
Figura 21: Diagrama del autocorrelador utilizado para medir el ancho temporal del pulso.
te traslapados, se realiza un desplazamiento del espejo movil hacia atras (adelante) por
medio del tornillo micrometrico; en consecuencia el camino optico del brazo 1 aumenta
(disminuye) y paulatinamente se pierde el traslape entre ambos pulsos. El desplazamien-
to se realizo a pasos pequenos, registrando a cada paso la separacion temporal entre
ambos pulsos por medio del osciloscopio. El desplazamiento del tornillo micrometrico co-
rresponde al doble del camino optico que el pulso del brazo 1 recorre, comparado con
el camino optico que recorre el pulso del brazo 2. De esta forma, es posible obtener una
grafica que relaciona el tiempo (separacion temporal de los pulsos) como funcion de la
distancia (el doble del desplazamiento del tornillo micrometrico). Por otro lado, sabemos
que los pulsos viajan a la velocidad de la luz en el vacıo. El factor de calibracion es igual
a la razon entre la pendiente de la grafica obtenida y la velocidad de la luz c; para este
sistema el factor de calibracion es igual a 228.2 fs/ms. Conocer el valor del factor de cali-
bracion es necesario para conocer la duracion del pulso, puesto que permitir convertir el
ancho de la senal observada en el osciloscopio a tiempo real.
Una vez que se conoce el factor de calibracion, se procedio a adquirir la traza de
autocorrelacion de intensidad de campo, el ancho de dicha traza esta relacionado con la
duracion del pulso. El ancho real de la traza de autocorrelacion, τac, es igual al ancho de
la traza medido a la mitad del maximo (FWHM) multiplicado por el factor de calibracion.
62
Dependiendo la forma de la traza, la duracion del pulso se calcula de distinta forma. Si
la traza tiene la forma de una funcion gaussiana la duracion del pulso se relaciona con
el ancho de la traza de la siguiente forma τ p = τac/1.414. Por otro lado, si la traza tiene
la forma de una funcion secante hiperbolica entonces τ p = τac/1.543 (Diels y Rudolph,
2006).
En la figura 22 se muestra la traza de autocorrelacion de intensidad que se obtuvo para
el laser de Ti:Zafiro modelo Griffin con una potencia promedio de 200 mW. El osciloscopio
indico que el FWHM de la traza es igual a 698 ms, correspondiente a un ancho real
τac = 159 fs. El ajuste de la traza a una funcion gaussiana y a una funcion secante
hiperbolica se muestra en la figura 22, la traza se ajusta mejor a una funcion gaussiana,
por tanto la duracion del pulso es τ p=112 fs. En la seccion anterior mostramos que el perfil
espectral del laser de Ti:Zafiro tiene un ancho de 43 nm, al cual le corresponde un pulso
limitado por la transformada de Fourier (el pulso mas corto posible) con una duracion de
23 fs; este resultado indica que los pulsos son 89 fs mas largos que el mınimo posible.
-600 -400 -200 0 200 400 6000.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Inte
nsid
ad n
orm
aliz
ada
(u.a
.)
Tiempo (fs)
Experimental Ajuste gaussiano Ajuste sech
τp=112 fs
Figura 22: Traza de autocorrelacion de intensidad del campo de bombeo.
4.3. Generacion de supercontinuo.
Al acoplar el campo proveniente del laser de Ti:Zafiro en la MSF fue posible observar la
generacion de un supercontinuo a la salida de la fibra. A continuacion se muestra el perfil
63
espectral del pulso laser y el correspondiente perfil espectral del supercontinuo generado,
bajo diferentes condiciones experimentales.
El perfil espectral del pulso laser proveniente del de laser Ti:Zafiro CLARCK-MXR
se muestra en la figura 23. En la figura se indican algunas caracterısticas importantes
del pulso laser, de acuerdo al ajuste gaussiano realizado, como son el ancho espectral
∆λFWHM= 18 nm y la longitud de onda central λc= 833 nm.
780 800 820 840 860 8800.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Inte
nsid
ad n
orm
aliz
ada
(u.a
.)
Longitud de onda (nm)
Experimental Ajuste Gaussiano
ΔλFWHM= 18 nm
λc= 833 nm
Figura 23: Perfil espectral a la salida del laser Ti:Zafiro.
En la figura 24 se muestran los espectros del supercontinuo generado a la salida de la
fibra al variar (a) la potencia proveniente del laser de Ti:Zafiro y (b) el angulo de rotacion
de la fibra alrededor de su eje axial, cuando la eficiencia de acoplamiento es del 40 %.
Para realizar las primeras mediciones se utilizo una rueda de filtros de densidad neutral
con el fin de disminuir la potencia del campo incidente en la fibra.
En la figura 24 (a) es posible observar cinco espectros a la salida de la fibra en la
region del espectro visible e IR cercano. Los espectros corresponden al supercontinuo
generado por la fibra cuando la potencia promedio del campo incidente es de 2, 8, 23, 74
y 210 mW. En los espectros generados por una potencia del campo incidente de 23, 74 y
210 mW se observa claramente la generacion de un supercontinuo. Por otro lado, cuando
el campo incidente tiene potencias muy bajas, 2 y 8 mW, el ensanchamiento espectral del
64
campo incidente es mınimo, por lo que el perfil espectral es muy similar al del pulso laser.
En la figura 24 (a) es posible observar que el ancho del supercontinuo aumenta con la
potencia promedio del campo incidente.
En la figura 24 (b) se muestran los espectros adquiridos a la salida de la MSF con una
potencia promedio del campo de bombeo de 23 mW, cuando se rota un segmento de la
fibra a diferentes angulos alrededor de su eje axial. El segmento de entrada de la fibra
se mantiene siempre fijo, mientras se induce una torsion en el segmento final de la fibra
(aproximadamente a 5 cm de la salida de la fibra). El valor de θ=0◦ corresponde a la fibra
colocada en el arreglo sin ninguna torsion, los valores de θ positivos corresponden a ro-
taciones en direccion de las manecillas del reloj, mientras que los valores de θ negativos
corresponden a rotaciones en direccion contraria a las manecillas del reloj. En total se
giro 75◦ la fibra, observandose que en θ=0◦ el espectro del supercontinuo generado por
la fibra se extiende por debajo de los 750 nm hasta 900 nm. El supercontinuo generado a
la salida de la fibra muestra una fuerte dependencia a torsiones inducidas en la fibra. Lo
anterior, indica que es importante cerciorarse que la fibra este colocada en el arreglo ex-
perimental sin ningun tipo de torsion o curvatura durante la adquisicion de datos, evitando
de esta forma inducir perdidas en la potencia del campo acoplado a la fibra, cuando este
comienza a propagarse a traves de la cubierta de la fibra.
400 600 800 10001E-3
0.01
0.1
1
Inte
nsid
ad n
orm
aliz
ada
(u.a
.)
Longitud de onda (nm)
210 mW 74 mW 23 mW 8 mW 3 mW
400 600 800 10001E-3
0.01
0.1
1
Inte
nsid
ad n
orm
aliz
ada
(u.a
.)
θ θ θ θ θ
a) b)
Figura 24: Espectros a la salida de la fibra NL 2.4 800 en la region del visible e IR cercano: (a) alvariar la potencia del campo de bombeo (b) el angulo de rotacion de la fibra.
En la figura 24 (a) se puede observar que el supercontinuo generado tiene compo-
nentes espectrales cercanas al lımite de deteccion del espectrometro Ocean Optics. Para
65
verificar que el espectro que estamos midiendo no esta acotado por el lımite de deteccion
del espectrometro Ocen Opticis (1100 nm) se utilizo un espectrometro Agilent HP 70951A
cuyo lımite de deteccion se encuentra en 1700 nm. Las mediciones realizadas con este
espectrometro corroboraron que el perfil espectral del supercontinuo no se extiende mas
alla de los 1100 nm.
4.4. Generacion de senales en la region del espectro UV.
Para medir la senal de tercer armonico se implemento el arreglo experimental que se
muestra en la figura 18. En la figura se muestra que la senal a la salida de la fibra incide
en el monocromador, despues de ser enfocada y filtrada. El monocromador selecciona
la longitud de onda deseada y la conduce a su rendija de salida, detras de la cual se
coloco el TFM. El TFM esta conectado al osciloscopio, que indica el voltaje generado
por la luz incidente; para cada longitud de onda seleccionada en el monocromador se
registra el valor del voltaje correspondiente. De acuerdo a los resultados del calculo de
empatamiento de fases (Seccion 3.2.2 ), seleccionamos en el monocromador longitudes
de onda λ cercanas a 280 nm. En la figura 26 se muestran dos espectros obtenidos a la
salida de la fibra en la region del espectro UV, adquiridos a diferentes horas del dıa bajo
las mismas condiciones experimentales y en la figura 25 el perfil espectral del campo
incidente en la fibra que corresponde a dichas mediciones. En la figura 26 (a) se muestra
un conjunto de datos obtenidos y su ajuste a una funcion gaussiana, el ajuste muestra
que la senal generada esta centrada alrededor de λc=300 nm con un ancho espectral
∆λFWHM = 3 nm. Por otro lado, en la figura 26 (b) se muestra otro conjunto de datos y su
ajuste a una funcion gaussiana indicando que la senal generada esta centrada igualmente
alrededor de λc=300 nm con un ancho espectral ∆λFWHM= 2 nm. Espectros similares se
obtuvieron bajo las mismas condiciones experimentales.
Al monitorear el perfil espectral del campo incidente, durante el transcurso del dıa,
nos percatamos que este presentaba constantes cambios. Al realizar la adquisicion de
datos durante un largo perıodo de tiempo, el perfil del campo de bombeo podıa presentar
cambios no deseados. Por ello fue necesario reducir el tiempo de adquisicion de datos, ya
que hasta este momento la adquisicion se realizaba punto por punto. La toma de datos se
automatizo conectando el TFM y el monocromador a una computadora, como se muestra
66
7 0 0 8 0 0 9 0 0 1 0 0 00
1 0 0 0
2 0 0 0
3 0 0 0
4 0 0 0
Inten
sidad
(u.a)
L o n g i t u d d e o n d a ( n m )
E x p e r i m e n t a l A j u s t e g a u s s i a n o
λc = 8 4 3 n m∆λF W H M = 50 n m
Figura 25: Perfil espectral del laser Ti:Zafiro.
en la figura 27. La conexion del TFM con la computadora se realizo mediante una tarjeta
analogica-digital (National Instruments, BNC- 2110) que convierte la senal analogica del
TFM a una senal digital que pueda ser recibida y procesada por la computadora; mientras
que la conexion del monocromador con la computadora se realizo siguiendo las instruc-
ciones de su manual, mediante un puerto RS-232. Por medio de los programas corres-
pondientes se controlo el movimiento del monocromador y se guardo la senal proveniente
del TFM en una matriz de datos. La matriz de datos es procesada posteriormente para
obtener un espectro.
Con el monocromador y el TFM conectados a la computadora el tiempo de adquisi-
cion de datos fue reducido significativamente haciendo posible aumentar el intervalo de
adqusicion de datos a toda la region de transmision del filtro FGUV11 (275 a 375 nm).
En la figura 28 se muestran tres espectros adquiridos a la salida de la fibra a traves del
arreglo experimental que se muestra en la figura 27, con potencias promedio del campo
incidente muy similares. Los datos que se muestran en la figura 28 fueron adquiridos con
los siguientes valores en el TFM: el voltaje aplicado al TFM por medio de la fuente de alto
voltaje (voltaje entre fotocatodos y dınodos) fue de 700 V, mientras que la amplificacion
de la senal analogica (ganancia) fue de 105 V/Amp. El perfil espectral del campo incidente
correspondiente se muestra en la parte superior de cada espectro. En los tres espectros
67
292 294 296 298 300 302 3040
2
4
6
8
10
12
14
λc= 300 nm
Inte
nsid
ad (u
.a.)
Longitud de onda (nm)
Experimental Ajuste gaussiano
Δλ FWHM = 3 nm
λc= 300 nm
292 294 296 298 300 302 3040
2
4
6
8
10
12
14
λc= 300 nm
Δλ FWHM = 2 nm
Inte
nsid
ad (u
.a.)
Longitud de onda (nm)
Experimental Ajuste gaussiano
a) b)
Figura 26: Espectros a la salida de la fibra NL 2.4 800 en la region del UV.
monocromador
E
E2
láserTi:Za�ro
THGF
TFMobjetivo
espectrómetro
LMSF
FAV
TA-D
Figura 27: Diagrama del arreglo experimental para estudiar el proceso THG. E1, E2, espejos; L, lente;F filtro; TFM tubo fotomultiplicador; FAV fuente de alto voltaje; TA-D tarjeta analogica-digital.
de la figura 28 se puede observar una senal centrada alrededor de 340 nm, mientras que
en dos de ellos (a y b) se observa una senal centrada alrededor de 300 nm. La genera-
cion de una senal centrada alrededor de los 320 nm se puede observar en la figura 28
(b). Finalmente, en los espectros de la figura 28 (a y b) es posible observar la generacion
de senales de baja intensidad por debajo de los 300 nm. Los espectros que se muestran
en la figura 28 fueron adquiridos en diferentes dıas, el perfil espectral del campo incidente
y la eficiencia de acoplamiento cambio en cada espectro.
68
0
200
400
600
800
200
250
300
350
400
300
a) b)
c)
2800
10000
20000
30000
λc =841 nm
FWHM=12 nm
Inte
nsid
ad (u
.a.)
Longitud de onda (nm)
340
300 320 360340
FWHM=24 nmλc=825 nm
FWHM=14 nmλc=828 nm
Inte
nsid
ad (u
.a.)
Inte
nsid
ad (u
.a.)
280 280300 300320 320340 340360 360Longitud de onda (nm) Longitud de onda (nm)
300340
Figura 28: Espectros generados a la salida de la fibra NL 2.4 800 en la region del UV con diferenteperfil espectral del campo incidente en la fibra y condiciones de acoplamiento.
4.4.1. Variacion de la senal con cambios de potencia.
En la figura 29 se muestra un diagrama del arreglo experimental que se implemento
para medir el espectro de la senal con cambios en la potencia del campo incidente. En la
figura un campo proveniente del laser Ti:Zafiro es acoplado mediante un objetivo de mi-
croscopio 40X a la fibra NL 2.4 800. Antes del objetivo de microscopio, se encuentra una
placa retardadora λ/2 seguida de un cubo polarizador. El sistema placa λ/2-polarizador
permite controlar la potencia del campo incidente en la fibra, manteniendo constante la
polarizacion. A continuacion se describe la forma en la que fueron colocados ambos ele-
mentos opticos en el arreglo experimental. Inicialmente se coloco unicamente el polariza-
dor en la posicion indicada en la figura 29 y en seguida se coloco un medidor de potencia.
El polarizador se roto buscando el angulo de maxima transmitancia de potencia; una vez
que se determino este angulo, el polarizador queda fijo en esta posicion. Posteriormen-
69
te se coloco la placa retardadora λ/2 en la posicion indicada en la figura 29, y se roto
buscando igualmente el angulo de maxima transmitancia con el medidor de potencia co-
locado enseguida del cubo polarizador. Al colocar el cubo polarizador y la placa de λ/2 en
la mesa optica es necesario colocarlos perpendicularmente al camino optico del haz, de
otra forma se puede inducir desviaciones no deseadas en la direccion de propagacion del
haz al rotar alguno de estos elementos opticos y en consecuencia disminuir la eficiencia
de acoplamiento a la fibra. Una forma de cuidar este ultimo punto es observar la posicion
del reflejo del haz en el espejo E2 al colocar el polarizador y posteriormente la placa de
λ/2, el reflejo debe encontrarse en la misma posicion del haz incidente o en la posicion
mas cercana posible. A partir de esta configuracion de maxima transmitancia, es posible
disminuir la potencia del campo incidente en la fibra al cambiar el angulo de la placa de
λ/2 a pasos pequenos, hasta llegar a un angulo tal que la potencia transmitida sea igual
a cero. De esta forma la potencia del campo incidente puede ser controlada, conforme a
la ley de Malus.
monocromador
E1
E2
láser Ti:Za�ro
THGF
TFM objetivo microscopico
FAV
L�bra
P.R.λ/2
Pol
TA-D
Figura 29: Arreglo experimental que permite controlar la potencia y la polarizacion del campo pro-veniente del laser de Ti:Zafiro.
En la figura 30 se muestran los espectros obtenidos a la salida de la fibra en la region
del espectro UV, al variar la potencia del campo incidente. En la figura, las potencias que
se muestran corresponden a la potencia acoplada a la fibra. En este caso la eficiencia de
acoplamiento fue del 20 %. El valor del voltaje aplicado al TFM se mantuvo en 700 V al
igual que la ganancia en 105. En la esquina superior derecha se muestra el correspondien-
te perfil de intensidad a la salida de la fibra, adquirido mediante una camara THORLABS
70
DCC1645C.
280 300 320 340 3600
5000
10000
15000
20000
25000
Inte
nsid
ad (u
.a.)
Longitud de onda (nm)
28.1 mW 26.4 mW 24.2 mW 23.5 mW 21 mW 18.5 mW 17.5 mW 15.3 mW 12.8 mW 11.2 mW
Figura 30: Espectros generados a la salida de la fibra en la region del espectro UV al variar la po-tencia del campo incidente en la fibra. En la esquina superior derecha se encuentra el perfil deintensidad a la salida de la fibra.
A partir de los espectros de la figura 30 es posible relacionar la intensidad de la senal
detectada con la potencia del campo acoplado a la fibra. En la figura 31 se muestra la
intensidad de la senal (a) centrada alrededor de 300 nm y (b) alrededor de 340 nm, en
funcion de la potencia acoplada. Ambas senales fueron ajustadas a una funcion de la for-
ma y = axm, para la senal centrada alrededor de λ= 300 nm m=3.8, mientras que para la
senal centrada alrededor de λ= 340 nm m=12. La dependencia encontrada entre la inten-
sidad de las senales y la potencia del campo acoplado a la fibra no es la esperada, en la
ultima seccion de este capıtulo se presenta una discusion de los resultados encontrados.
4.4.2. Variacion de la senal con cambios de polarizacion.
Para medir el espectro de la senal generada con cambios en la polarizacion del campo
incidente se utilizo el mismo arreglo experimental que se muestra en la figura 29. En este
caso, se desea controlar la polarizacion del campo incidente manteniendo constante la
potencia. La polarizacion se controla por medio del angulo del cubo polarizador, a cada
71
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
100
1000
10000
Experimental (340 nm) Ajuste a la función y=ax12
Inte
nsid
ad (u
.a.)
Potencia (mW)11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 26 28 30
10
100
1000
Experimental (300 nm)
y=ax3.8
Inte
nsid
ad (u
.a.)
Potencia (mW)11 12 13 14 15 16 18 22 24 26 28 30
1
10
1000
Experimental (300 nm)
Ajuste a función y=ax3.8
Inte
nsid
ad (u
.a.)
Potencia (mW)20
Figura 31: Graficas Log-Log de la intensidad de la senales en funcion de la potencia del campoincidente en la fibra: a) senal centrada alrededor de 300 nm. b) senal centrada alrededor de 340 nm.
angulo del cubo polarizador le corresponde un angulo de la placa de λ/2 por medio del
cual es posible mantener constante la potencia del campo incidente en la fibra. En la
figura 30 se muestra la intensidad de la senal generada (a) alrededor de 300 nm y (b)
alrededor de 340 nm en funcion de la polarizacion del campo incidente.
0 30 60 90 120 150 1802000
3000
4000
5000
6000
7000
Inte
nsid
ad (u
.a.)
Experimental (300 nm)
0 30 60 90 120 150 180
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
Inte
nsid
ad (u
.a.)
Experimental (340 nm)
Figura 32: Graficas de la intensidad de la senales en funcion de la polarizacion del campo incidenteen la fibra: a) senal centrada alrededor de 300 nm. b) senal centrada alrededor de 340 nm.
4.5. Analisis de los resultados obtenidos.
Los espectros obtenidos a la salida de la fibra en la region del UV muestran la genera-
cion de dos senales principales alrededor de 300 y 340 nm (figura 28 y 30). El proceso de
THG, con bombeo degenerado, puede generar una senal centrada alrededor de 300 nm
72
a partir de un campo de bombeo centrado alrededor de 900 nm; similarmente puede ge-
nerar una senal alrededor de 340 nm a partir de un campo de bombeo centrado alrededor
de 1020 nm. El perfil espectral del laser de Ti:Zafiro, que se muestra en las figuras 25 y
28, no contiene componentes espectrales centradas alrededor de 900 ni de 1020 nm. Sin
embargo, el perfil espectral del supercontinuo generado con una potencia promedio del
campo incidente de 210 mW, sı contiene dichas componentes espectrales (figura 24a).
En los espectros que se muestran en la figura 30, la potencia maxima del campo inci-
dente es de alrededor de 210 mW y esta va disminuyendo a pasos pequenos. Respecto
a los datos experimentales que se muestran en la figura 32, asociados a los espectros
adquiridos con cambios en la polarizacion del campo incidente, estos fueron generados
con una potencia del campo incidente de alrededor de 200 mW. En resumen, las senales
observadas alrededor de 300 y 340 nm estan asociadas a espectros del supercontinuo
que contiene componentes espectrales alrededor de 900 y 1020 nm. Por tanto, a partir
de los resultados obtenidos, asumimos que estas componentes del supercontinuo actuan
como campo de bombeo generando senales alrededor de 300 y 340 nm por el proceso
de THG.
Sin embargo, aun es necesario explicar la generacion de estas senales por medio de
la condicion de empatamiento de fases. Los calculos mostrados en el capıtulo anterior
no muestran empatamiento de fases para las senales observadas alrededor de 300 y
340 nm. No obstante, dichos calculos se realizaron bajo diversas suposiciones. En esta
seccion revisaremos algunas de ellas, las cuales se enlistan a continuacion:
Fibra optica. Los valores de la fraccion de llenado y del radio del nucleo se tomaron
directamente de la hoja de especificaciones otorgada por el fabricante, sin realizar
una medicion directa en la fibra.
Campo del tercer armonico. En los calculos de empatamiento de fases que se rea-
lizaron y presentaron en el capıtulo anterior, el tercer armonico se propaga unica-
mente en los modos HElm con l = 1, 2, 3.
Campo de bombeo. Se considero el caso degenerado en el bombeo, en el cual el
73
tercer armonico es generado mediante la aniquilacion de tres fotones con la misma
longitud de onda.
A continuacion se discute la validez de cada una de estas suposiciones. Con respecto
a la fibra optica y al valor del radio del nucleo, es posible medir su valor directamente en
la fibra por medio de un microscopio electronico de barrido SEM (por sus siglas en ingles
Scanning Electron Microscope). En la figura 33 (a) se muestra la imagen de un corte
transversal de la fibra NL 2.4 800 adquirida por un SEM, en la figura 33 (b) se muestra
un acercamiento al nucleo del radio de la fibra en donde es posible observar que el valor
del diametro de la fibra puede ser mayor a 2.4 µm (valor otorgado por el fabricante). En
la figura 33 tambien es posible notar que el nucleo de la fibra no corresponde a un cırculo
perfecto, por lo que el valor del diametro de la fibra no tiene el mismo valor en diferentes
direcciones induciendo efectos de birrefringencia. Otras mediciones realizadas en el SEM
muestran que el diametro de la fibra puede ser mayor a 2.5 µm.
a) b)
5 μm
Figura 33: Imagenes del corte transversal de la fibra NL 2.4 800 adquiridas con un SEM a diferentesescalas.
Adicionalmente al valor de la fraccion de llenado y del radio de la fibra, el fabricante
otorga el valor de otros parametros de la fibra que se muestran en la Tabla 5. Variando el
valor del diamero de la fibra d en el intervalo (2.4 µm - 2.6 µm) y el valor de la fraccion
de llenado f alrededor de 0.9 se realizo una busqueda de los valores de d y f que,
en conjunto, den como resultado el valor mas cercano posible a los parametros que se
muestran en la Tabla 5. Por medio de este procedimiento se determino modelar a la fibra
NL 2.4 800 con los siguientes parametros: valor del radio de la fibra r=1.288 y valor de la
fraccion de llenado f=0.89.
74
Tabla 5: Parametros de la fibra NL 2.4 800 otorgados por el fabricante.
Fibra NL 2.4 800Diametro del nucleo 2.4 ± 0.1 µm
Longitud de onda de cero dispersion (λZD) 800 ± 5 nmApertura numerica a λZD 0.19Area efectiva del modo 2.8 µm2
Coeficiente no lineal a λZD 70 W−1Km−1
Con respecto al segundo punto, en la busqueda de condiciones de empatamiento de
fases podemos incluir a todos los modos de propagacion soportados por la fibra NL 2.4
800.
Tomando en cuenta lo anterior, se procedio a calcular la funcion ∆β con condiciones
mas apegadas a la situacion fısica real. En la figura 34 (b) se muestran los calculos
de empatamiento de fases para el proceso de THG, con bombeo degenerado (figura
34a), tomando en consideracion los nuevos valores de f y r y permitiendo la propagacion
del tercer armonico en todos los modos de propagacion de la fibra. En la grafica de la
figura 34 (b) el eje horizontal indica el valor de la longitud de onda del tercer armonico
y el eje vertical el valor de la funcion ∆β. En la grafica las soluciones a la condicion
∆β = 0 estan senaladas con un punto rojo, indicando que es posible generar una senal
centrada en λh=295 nm cuando el tercer armonico se propaga en el modo EH13, una
senal centrada en λh= 297 nm cuando se propaga en el modo HE52 y una senal centrada
en λh=345 nm cuando se propaga en el modo EH51. En todos los casos se considero
que el campo de bombeo se propaga en el modo fundamental. En la Tabla 6 se muestran
los valores asociados a las soluciones que se encuentran en la figura 34. Los resultados
muestran que las senales observadas alrededor de 300 y 340 nm se pueden asociar a
la generacion de campos de tercer armonico propagandose en los modos HE52 y EH51
respectivamente.
Sin embargo, el ancho espectral del supercontinuo, que hemos asumido como el cam-
po de bombeo para la generacion del tercer armonico, aumenta la disponibilidad de com-
ponentes espectrales que contribuyen al proceso, en comparacion con un campo de bom-
beo proveniente del laser de Ti:Zafiro. Con respecto al tercer punto y tomando en cuenta
75
0.3 0.32 0.34−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
Longitud de onda del armónico (μm)
Δβ (μ
m−1
)
EH13
HE52 EH51
λ3
λhλ2
λ1
b)a)
Figura 34: Generacion de tercer armonico mediante la participacion de tres fotones de bombeo conla misma longitud de onda: a) Diagrama de niveles de energıa para dicho proceso. b) Calculo deempatamiento de fases de dicho proceso.
Tabla 6: Valores asociados a las soluciones a la condicion de empatamiento de fases para la fibraNL 2.4 800.
Fibra NL 2.4 800Modo de propagacion (TH) λh (nm) λb (nm) γ (W−1/km)
EH13 295 885 0.042HE52 297 891 0.004EH51 345 1035 0.001
lo dicho anteriormente, consideramos la posibilidad de que otras componentes espectra-
les, ademas de 900 y 1020 nm, contribuyan a la generacion del tercer armonico. Realiza-
mos calculos de empatamiento de fases considerando la aniquilacion de tres fotones con
diferente longitud de onda (caso no degenerado en el bombeo), provenientes del super-
continuo, para la generacion del tercer armonico. El diagrama de niveles de dicho proceso
se muestra en la figura 35. Previamente, se mostro que la condicion de empatamiento de
fases tiene solucion unica para el proceso de THG degenerado en el bombeo, una vez
que se elige el modo de propagacion del tercer armonico y del fundamental. En el caso
no degenerado al elegir el modo de propagacion de ambos campos la solucion deja de
ser unica.
En la figura 36 se muestran los resultados del calculo de empatamiento de fases mas
proximos a las senales observadas experimentalmente. En las curvas mostradas en la
76
figura 36, cada punto representa una solucion a la condicion ∆β = 0. En cada grafica de
la figura 36 el eje horizontal indica la longitud de onda del foton generado y el eje vertical
indica la longitud de onda de dos de los fotones de bombeo (etiquetados como 1 y 2)
que cumplen con la condicion ∆β = 0. La longitud de onda del tercer foton de bombeo
(etiquetado como 3) tiene un valor fijo el cual se indica en la esquina superior derecha de
cada grafica por medio de λ3.
Los calculos de empatamiento de fases que se muestran en la figura 36 se realizan
en terminos de ∆, en el eje vertical, y de la longitud de onda del foton generado por el
correspondiente proceso no lineal, en el eje horizontal (vease figuras de la seccion 3.2.1).
En este caso la longitud de onda de los fotones de bombeo, λ1,2 se relaciona con ∆ de la
siguiente forma1
λ1,2=
∆1,2
2πc+
1
2
(1
λh+
1
λ3
), (61)
donde ∆1 son los valores negativos de delta, mientras que ∆2 son los valores positivos
de delta. Para facilitar al lector la interpretacion de los calculos de empatamiento de fases
para el proceso de THG degenerado en el bombeo, los valores de ∆ en el eje vertical se
omitieron y en su lugar se muestra directamente el valor de la longitud de onda de los fo-
tones de bombeo que cumplen con la condicion de empatamiento de fases. Sin embargo
es importante mencionar que los valores λ1,2 que se muestran en la figura 36, correspon-
den unicamente a los fotones (1 y 2) que cumplen con la condicion de empatamiento de
fases. Debido a que el valor de λ1,2 depende de ∆ y de λh, aunque el valor de ∆ sea
el mismo, como es el caso en las lıneas horizontales puntuadas que se observan en la
figura 36, el valor de λ1,2 cambia en cada punto que conforma dichas lıneas horizontales,
debido al cambio en el valor de λh.
En la figura 36 (a) se muestra la curva de empatamiento de fases cuando el tercer
armonico se propaga en el modo EH13 generando fotones alrededor de λ=296 nm, los
fotones de bombeo que contribuyen a la generacion del tercer armonico se encuentran
en el intervalo de 647 nm-1439 nm. En esta grafica se muestra, con lıneas punteadas, un
caso especıfico de la curva de empatamiento de fases en donde es posible generar un
foton en λ=296 nm por la aniquilacion de tres fotones de bombeo con longitud de onda
λ1= 1309 nm, λ2= 695 nm y λ3= 895. En la figura 36 (a) el punto rojo senala el caso
77
degenerado en donde se genera un foton alrededor de λ=295 nm por la aniquilacion de
tres fotones con longitud de onda λ1= 885 nm, λ2= 885 nm y λ3= 885 nm. En la figura 36
(b) se muestra la curva de empatamiento de fases cuando el tercer armonico se propaga
en el modo HE52 generando fotones alrededor de λ=298 nm, los fotones de bombeo que
contribuyen a la generacion del tercer armonico se encuentran en el intervalo de 650
nm-1464 nm. En esta grafica se muestra, con lıneas punteadas, un caso especıfico de
la curva de empatamiento de fases, en donde se genera un foton con λ=298 nm por la
aniquilacion de tres fotones de bombeo con longitud de onda λ1= 1249 nm, λ2= 695 nm
y λ3= 895 nm. En la figura 36 (b) el punto rojo senala el caso degenerado, por medio del
cual se genera un foton alrededor de λ=297 nm por la aniquilacion de tres fotones con
longitud de onda λ1= 894 nm, λ2= 894 nm y λ3= 895 nm. En la figura 36 (c) se muestra la
curva de empatamiento de fases cuando el tercer armonico se propaga en el modo EH51
generando fotones alrededor de λ=346 nm, los fotones que contribuyen a la generacion
del tercer armonico se encuentran en el intervalo de 845 nm-1355 nm. En la figura 36
(c) se muestra con lıneas punteadas un caso especıfico de la curva de empatamiento de
fases, en donde se genera un foton con λ=345 nm por la aniquilacion de tres fotones con
longitud de onda λ1= 1169 nm, λ2= 927 nm y λ3= 1032 nm. En la figura 36 (c) el punto
rojo senala el caso parcialmente degenerado en donde se genera un foton por encima de
λ=345 nm por la aniquilacion de tres fotones con longitud de onda λ1= 1034 nm, λ2= 1034
nm y λ3= 1032 nm. Los tres puntos rojos senalados en la figura 36 son equivalentes a los
tres puntos que estan senalados en la figura 34.
λ3
λhλ2
λ1
Figura 35: Diagrama de niveles de energıa para el proceso de THG con un campo de bombeo nodegenerado.
78
347 346 345
1337
1164
1034
933
852λ =1032 nm3
1169 nm
927 nm
c)
297 296 2951439
1091
885
745
647
Señal se propaga en el modo EH13
673 nm
1309 nm
Señal se propaga en el modo EH51
λ = 885 nm3
a)
λ1 ( n
m)
λ2 ( n
m)
λ h (nm)
1λ1 ( n
m)
λ2 ( n
m)
λ h (nm)299 298 297
1464
1107
894
749
650
Señal se propaga en el modo HE52
λ ( n
m)
λ2 ( n
m) λ = 895 nm3
1249 nm
695 nm
b)
λ h (nm)
Figura 36: Calculo de empatamiento de fases cuando el tercer armonico viaja en modos de ordensuperior: a) modo EH13 (b) modo HE52 (c) modo EH51.
4.6. Comparacion de resultados experimentales y teoricos.
En los espectros de las figura 26 y 28 se puede observar una senal experimental
centrada alrededor de 300 nm. Esta senal se puede explicar mediante la condicion de
empatamiento de fases entre el modo fundamental y el modo HE52. En la figura 37 (a) se
muestra el calculo de la curva de empatamiento de fases cuando el bombeo se propaga
en el modo fundamental generando una senal de tercer armonico propagandose en el
modo HE52 alrededor de λ=298 nm. En la figura 37 (b) se muestra el espectro experi-
mental en la region del espectro UV y en la figura 37 (c) el correspondiente espectro del
supercontinuo generado, cuando la potencia promedio acoplada a la fibra es igual a 28.1
mW. En la figura 37 (a) se indica con un recuadro de color azul la region de la curva de
empatamiento de fases que adjudicamos a la generacion de una senal alrededor de 300
nm (figura 36 (b), recuadro azul). De acuerdo a la curva de empatamiento de fases, la
region espectral del supercontinuo que puede contribuir a la generacion de esta senal se
indica con un recuadro en color azul en la figura 37 (c), dicha region corresponde a 780
nm-1039 nm.
En los espectros de las figuras 28 y 30 se puede observar la generacion de una senal
centrada alrededor de 340 nm. Esta senal se puede explicar mediante la condicion de
empatamiento de fases entre el modo fundamental y el modo EH51. En la figura 38 (a) se
muestra el calculo de la curva de empatamiento de fases cuando el bombeo se propaga
en el modo fundamental generando una senal de tercer armonico propagandose en el
79
299 298 297
1464
1107
894
749
650
Señal se propaga en el modo HE52
λ ( n
m)
λ2 ( n
m) λ = 895 nm3
1
500 600 700 800 900 1000 1100 1200
0.01
0.1
1
Inte
nsid
ad n
orm
aliz
ada
(u.a
.)
Longitud de onda (nm)
SC (28.1 mW)
280 300 320 340 3600
5000
10000
15000
20000
Inte
nsid
ad (u
.a.)
Longitud de onda (nm)
Espectro en el UV (28.1 mW)
300 nm
340 nm
λ h (nm)
780 nm
1039 nm
a) b)
c)
Figura 37: a) Calculo de empatamiento de fases cuando el tercer armonico viaja en el modo HE52.b) Espectro generado en la region del espectro UV. c) Correspondiente espectro del SC.
modo EH51 alrededor de λ= 346 nm. En la figura 38 (b) se muestra el espectro experi-
mental en la region del espectro UV y en la figura 37 (c) su correspondiente espectro del
supercontinuo generado, cuando la potencia promedio acoplada a la fibra es igual a 28.1
mW. En la figura 38 (a) se indica con un recuadro de color azul la region de la curva de
empatamiento de fases que adjudicamos a la generacion de una senal alrededor de 340
nm ( figura 38 (b), recuadro azul ). De acuerdo a la curva de empatamiento de fases, la
region espectral del SC que puede contribuir a la generacion de esta senal se indica con
un recuadro en color azul en la figura 38 (c), dicha region corresponde a 1007 nm-1063
nm.
4.7. Discusion
En relacion al perfil espectral y temporal del laser de Ti:Zafiro Griffin se puede concluir
que el pulso posee un chirp importante, debido a la diferencia entre la duracion mınima
y la duracion real del pulso. La cantidad de chirp en el pulso es relevante en la genera-
cion del supercontinuo y subsecuentemente en la generacion de senales en la region del
espectro UV. Dependiendo la cantidad de chirp en el pulso y de su signo, en suma con
80
347 346 345
1337
1164
1036
933
852
λh (nm)
λ 1 (nm
)λ 2 (n
m) λ =1030 nm3
500 600 700 800 900 1000 1100 1200
0.01
0.1
1
Inte
nsid
ad n
orm
aliz
ada
(u.a
.)
Longitud de onda (nm)
SC (28.1 mW)
280 300 320 340 3600
5000
10000
15000
20000
Inte
nsid
ad (
u.a.
)
Longitud de onda (nm)
Espectro generado (28.1 mW)
300 nm
340 nm
1007 nm
1063 nm
Señal se propaga en el modo EH51 a) b)
c)
Figura 38: a) Calculo de empatamiento de fases cuando el tercer armonico viaja en el modo EH51.b) Espectro generado en la region del UV. c) Correspondiente espectro del SC.
el efecto de automodulacion de fase, el pulso laser puede aumentar o disminuir su ancho
espectral al propagarse a lo largo de la fibra (Agrawal, 2001).
El estudio y caracterizacion del supercontinuo en fibras opticas comenzo en 1976
(Lin y Stolen, 1976) cuando aparecio el primer trabajo de la generacion del supercon-
tinuo usando como medio no lineal una fibra optica. Desde entonces se han realizado
numerosos estudios para explicar los fenomenos fısicos involucrados en la generacion
del supercontinuo (Cherif et al., 2008). Por otro lado, se ha estudiado la generacion del
supercontinuo con cambios de potencia y angulo de polarizacion del campo incidente
(Apolonski et al., 2002), longitud y propiedades de dispersion de la fibra (Ortigosa-Blanch
et al., 2002), entre otros.
El pulso de bombeo se encuentra centrado alrededor de λ=830 nm, mientras que la
longitud de onda de cero dispersion de la fibra es λZD=800 nm. El campo de bombeo via-
ja en el regimen de dispersion anomala, en donde el corrimiento de frecuencias inducido
por la dispersion de velocidad de grupo se compensa progresivamente con el corrimien-
to inducido por automodulacion de fase hasta cancelarse completamente; esto favorece
81
la propagacion de pulsos que mantienen su forma espectral y temporal. A este tipo de
pulsos, que se propagan sin alterar su forma temporal y espectral, se les conoce como
solitones opticos (Grigoryan et al., 2000). En el regimen de dispersion anomala, se ha de-
mostrado que la generacion del supercontinuo es gobernada por el proceso de fision de
solitones de orden superior (Husakou y Herrmann, 2001), en donde la radiacion solitonica
contribuye a la generacion de componentes espectrales en la region del IR. La fision de
solitones consiste en el rompimiento del pulso (soliton de orden mayor) en el rompimiento
de solitones fundamentales. Otro factor importante en la generacion del supercontinuo es
la duracion del pulso.
A partir de los espectros de la figura 24 (a) es posible observar que el ancho del su-
percontinuo varıa con la potencia del campo de bombeo. A menor potencia del campo
incidente menor es el ancho del supercontinuo, en concordancia con lo reportado ante-
riormente (Chen et al., 2013). En la figura 24 (b) se pueden observar diferentes espectros
obtenidos a la salida de la fibra, al rotar la fibra alrededor de su eje axial. Al rotar la fi-
bra, se inducen perdidas de potencia del campo acoplado a la fibra, de manera similar
a las perdidas inducidas en fibras opticas por curvaturas (Seccion 2.2). Al disminuir la
potencia del campo acoplado, observamos que el ensanchamiento espectral del campo
de bombeo es mınimo para angulos de rotacion mayores a 15◦. De lo dicho anteriormen-
te, se concluye que la generacion del supercontinuo es altamente sensible a torsiones
inducidas a lo largo de su eje axial.
En la figura 26 se muestra la generacion de una senal centrada alrededor de 300
nm, la generacion de dicha senal se explica mediante el cumplimiento de la condicion de
empatamiento de fases cuando el campo de bombeo se propaga en el modo fundamental
y el campo del tercer armonico se propaga en el modo HE52. Por otro lado, en la figura
28 se muestra la generacion de una senal de alta intensidad centrada alrededor de 340
nm, la generacion de dicha senal se explica mediante el cumplimiento de la condicion de
empatamiento de fases cuando el campo de bombeo se propaga en el modo fundamental
y el campo del tercer armonico se propaga en el modo EH51. En ambos casos, por medio
del calculo de empatamiento de fases para el proceso de tercer armonico no degenerado,
se ha identificado una region del supercontinuo que contribuye a la generacion de estas
82
senales. La diferencia entre el valor teorico y experimental de λh, que no excede los 5 nm,
se puede por medio de la aproximacion realizada en el modelo de la fibra para calcular
sus propiedades de dispersion.
En la seccion 3.2.2 se mostro que la condicion ∆β = 0 para el proceso de THG
tiene diversas soluciones, correspondientes a la generacion de diversas senales de tercer
armonico que se propagan en diferentes modos. La longitud de onda de las senales
generadas λh depende del modo de propagacion del tercer armonico. Adicionalmente
a la generacion de las senales centradas alrededor de 300 y 340 nm, los espectros de
la figura 28 muestran la generacion de otras senales en el intervalo de 270 a 370 nm.
La generacion de estas senales se puede explicar mediante alguna de las soluciones a
la condicion ∆β = 0, no discutidas en este capıtulo, en donde existe empatamiento de
fases entre el modo fundamental (campo de bombeo) y un modo de orden superior al
fundamental (campo de tercer armonico).
Por otro lado, se ha reportado la excitacion del campo de bombeo en modos de orden
superior al fundamental al cambiar la posicion y el angulo del haz enfocado a traves de
la fibra (Zwan et al., 2013). Debido a que los espectros que se muestran en la figura 28
fueron adquiridos bajo diferentes condiciones de acoplamiento, es posible que algunos de
ellos correspondan al campo de bombeo propagandose en un modo de orden superior
al fundamental. En tal caso, existen soluciones a la condicion de empatamiento de fases
adicionales a las que se presentan en este trabajo, correspondientes a ambos campos
(campo de bombeo y campo del tercer armonico) propagandose en modos de orden
superior. Tales soluciones pueden explicar la generacion de algunas de las senales que
se observan en la figura 28. Concretamente, el espectro de la figura 28 b) fue adquirido
al cambiar la posicion de la fibra de la posicion de maximo acoplamiento. Por ello, la
senal generada alrededor de 320 nm que se muestra en la figura 28 b) se adjudica a la
excitacion del campo de bombeo en un modo de orden superior al modo fundamental.
Los espectros que se muestran en la figura 30 muestran la generacion de dos senales
principales alrededor de 300 y 340 nm, ambas senales presentan un hombro del lado
izquierdo (hacia longitudes de onda menores). Este comportamiento ha sido previamente
observado en la generacion del tercer armonico (Efimov et al., 2003; Wiedemann et al.,
83
2010; Lee et al., 2012). El hombro que presenta la senal centrada alrededor de 300 nm
puede ser adjudicado al cumplimiento de la condicion de empatamiento de fases, cuando
el campo del tercer armonico se propaga en el modo EH13 y el campo de bombeo en el
modo fundamental, generando una senal alredededor de 295 nm (figura 34 y 36).
En la figura 31 se muestra la dependencia de la intensidad de las senales generadas
con la potencia del campo acoplado a la fibra. En el proceso de generacion de tercer
armonico se espera que la dependencia entre la potencia del campo de bombeo y la po-
tencia del tercer armonico sea cubica (Coillet y Grelu, 2012). Sin embargo, los resultados
de este trabajo (figura 31) no muestran dicha dependencia en ambas senales (300 y 340
nm). Por otro lado, en un trabajo en el que se estudio la dependencia entre la potencia de
pulsos laser ultracortos y la senal de tercer armonico generada en diferentes materiales
(Barbano et al., 2013), entre ellos SiO2, se reporto una dependencia entre la potencia
del campo de bombeo y la potencia del tercer armonico de mayor orden a la dependencia
cubica (m mayor a tres). En este caso, los valores de la pendiente m mayores a tres fueron
adjudicados a la presencia de un proceso no lineal adicional. En el presente trabajo, el va-
lor de la pendiente m para las senal centrada alrededor de λ=300 nm ha sido adjudicado
a que dicha senal se generan por la aniquilacion de componentes espectrales del super-
continuo y no del pulso proveniente del laser de Ti:Zafiro. La relacion entre la potencia
del campo proveniente del laser de Ti:Zafiro y la potencia de la senal generada alrededor
de 300 nm no es directa, teniendo como paso intermedio la generacion del superconti-
nuo que es tambien un proceso no lineal. Con respecto a la senal generada alrededor
de 340 nm, proveniente de componentes centradas alrededor de 1020 nm, depende no
solamente de la generacion del supercontinuo sino que tambien depende fuertemente del
ancho del mismo. Lo anterior se puede entender al observar la figura 24 a) en donde es
posible observar que el supercontinuo no se extiende mas alla de los 1100 nm cuando la
potencia del campo incidente es de 210 mW, mientras que con una potencia de 74 mW
el supercontinuo no se extiende mas alla de los 1000 nm. Las componentes espectrales
que contribuyen a la generacion de la senal centrada alrededor de 340 nm, se encuentran
cercanas al lımite del supercontinuo generado con una potencia del campo incidente en
la fibra de 210 mW. La disponibilidad de componentes espectrales que contribuyan a la
generacion de la senal centrada alrededor de 340 nm para potencias del campo incidente
84
menores a 210 mW es una cuestion clave para entender el comportamiento de la figura
31b. Se discutio la posibilidad de que la senal centrada alrededor de 340 nm se genere
en el regimen espontaneo, cuando la potencia de los pulsos laser es baja.
El estudio de la dependencia entre el tercer armonico y la potencia del campo in-
cidente en la fibra, cuando el tercer armonico se genera a partir de componentes del
supercontinuo, no ha sido reportado.
En la figura 32 se muestra la dependencia de la intensidad de la senales generadas
con cambios en la polarizacion del campo incidente en la fibra. En la figura 32 es posible
observar que existe una fuerte dependencia entre la intensidad de la senal generada y
la polarizacion del campo incidente, sin embargo no es posible identificar una relacion
funcional precisa entre ambas variables. Anteriormente se ha reportado una dependen-
cia de la senales generadas con la polarizacion del campo incidente (Omenetto et al.,
2003). En nuestro caso, la intensidad de las senales con cambios en la polarizacion del
campo incidente presenta un comportamiento oscilatorio. Esto se adjudica al hecho de
que al mover el cubo polarizador y la placa retardadora de λ/2 la posicion del haz cambia
mınimamente. Sin embargo, este cambio mınimo se traduce en cambios significativos en
el acoplamiento del haz a la fibra. Por ello, los espectros obtenidos al controlar la pola-
rizacion del campo de bombeo son en realidad espectros que muestran cambios en la
polarizacion y el acoplamiento del campo incidente.
En la Tabla 6 se encuentran los valores del coeficiente no lineal correspondientes a
la generacion de senales de tercer armonico alrededor de 295, 297 y 345 nm, en ella
se puede observar que el valor del coeficiente no lineal disminuye conforme aumenta el
valor de la longitud de onda. Una disminucion en el valor del coeficiente no lineal, de
acuerdo a lo dicho anteriormente (Seccion 3.2.2), implica una disminucion en la eficiencia
del proceso; esto se traduce en una disminucion en la intensidad de la senal generada.
De acuerdo a esto, se espera que la intensidad de la senal alrededor de 300 nm sea
mayor a la intensidad de la senal alrededor de 340 nm. Sin embargo, la intensidad de las
senales tambien se relaciona con factores experimentales. Antes de incidir en el TFM, las
senales detectadas en la region del espectro UV recorren un camino optico que se explica
a continuacion; es importante mantener una buena alineacion de dicho camino durante la
85
adqusicion de datos. A la salida de la fibra, las senales son enfocadas por medio de una
lente en la rendija de entrada del monocromador, dentro del monocromador la longitud
de onda deseada es conducida hacia la rendija de salida del monocromador, la senal
obtenida a la salida del monocromador debe estar a su vez alineada con la rendija del
TFM. La intensidad de la senal que incide en el TFM depende de su curva de respuesta
espectral (figura 18), dicha curva indica que el TFM tiene una respuesta espectral en el
intervalo de 300 a 650 nm con una respuesta maxima en 370 nm. En el intervalo espectral
de nuestro interes (270 a 370 nm) la respuesta espectral del TFM aumenta de manera
lineal conforme a la longitud de onda incidente.
Conocer la forma espacial de las senales generadas alrededor de 300 y 340 nm es
importante para la interpretacion de los resultados obtenidos; esto es posible utilizando
un filtro pasabandas y una camara CCD. El filtro se coloca a la salida de la fibra con el fin
de transmitir unicamente las senales centradas alrededor de 300 y 340 nm, en seguida
del filtro se coloca una camara CCD sensible en la region espectral correspondiente; la
camara permite adquirir una imagen del modo espacial de las senales. Ambos elementos,
filtro FGUV11 y camara SBIG, se colocaron a la salida de la fibra; sin embargo no se logro
obtener una imagen del modo espacial de las senales. La principal dificultad para realizar
estas mediciones es la diferencia en intensidad entre el pulso acoplado a la fibra y las
senales. El pulso acoplado a la fibra es de alta intensidad, mientras que la intensidad de
las senales centradas alrededor de 300 y 340 nm es muy baja; debido a que el pulso y
las senales viajan en la misma direccion, la disponibilidad de un filtro que no transmita
el pulso acoplado a la fibra es fundamental para obtener una imagen del modo espacial.
Ademas de esto, es importante contar con una camara sensible en la region del espectro
UV.
Una vez que se conoce el modo espacial de las senales generadas, es posible com-
parar los modos de propagacion observados experimentalmente con las soluciones a la
condicion de empatamiento de fases y de esta forma dar mayor soporte a la afirmacion
de que las senales provienen del proceso de generacion de tercer armonico.
86
Capıtulo 5. Resumen y conclusiones
En este capıtulo se presenta un resumen del trabajo realizado ası como las conclusio-
nes obtenidas a lo largo del mismo.
En el inicio de este trabajo se mencionaron los parametros mas importantes que ca-
racterizan a una fibra optica y se presentaron aspectos relacionados con la propagacion
de un campo electromagnetico a traves de una fibra optica. Se describieron, brevemente,
los problemas que presenta una fibra optica debido a las perdidas inducidas por ate-
nuacion y dispersion del campo propagante. Se menciono el interes que presentan las
MSFs, debido a sus caracterısticas, para el estudio de procesos no lineales y se justifico
la aproximacion realizada en su perfil de ındice de refraccion para realizar los calculos
correspondientes. Bajo dicha aproximacion, se desarrollaron la expresiones del campo
electromagnetico propagante. Al finalizar el capıtulo se describieron los procesos no li-
neales de tercer orden, con especial interes en los procesos parametricos.
Posteriormente se mostraron los calculos de dispersion en diferentes MSFs. En dichos
calculos es posible observar que los modos de propagacion de menor orden presentan
dos longitudes de onda de cero dispersion λZD, mientras que al aumentar el orden del
modo de propagacion λZD se recorre hacia el UV. Los calculos mostraron que existen
diferentes elecciones del modo de propagacion de cada uno de los campos involucrados
(bombeo, senal y acompanante), que permiten cumplir con la condicion de empatamiento
de fases para el proceso de FWM con bombeo degenerado. En cada eleccion, se mostro
que existe un intervalo de longitudes de onda del campo de bombeo que cumple con la
condicion de empatamiento de fases, generando senales en la region espectral del visible
e IR cercano. Cuando todos los campos involucrados en el proceso de FWM con bombeo
degenerado se propagan en el mismo modo, las soluciones a la condicion de empata-
miento de fases se encuentran en el intervalo comprendido entre las dos longitudes de
onda de cero dispersion del modo correspondiente.
Se presentaron tambien los calculos de empatamiento de fases para el proceso de
THG con bombeo degenerado. En dichos calculos se considero la propagacion del cam-
po de bombeo unicamente en el modo fundamental. En tal caso, la condicion de empata-
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miento de fases se cumple unicamente cuando el tercer armonico se propaga en un modo
de orden superior al fundamental. Por otro lado, encontramos que el valor del coeficiente
no lineal es practicamente igual a cero cuando el campo de bombeo se propaga en el
modo fundamental y el campo del tercer armonico se propaga en un modo hıbrido con l
igual a un numero par. Este resultado indica que, cuando el campo de bombeo se pro-
paga en el modo fundamental, el tercer armonico se genera en un modo de propagacion
hıbrido con l igual a un numero impar.
De acuerdo a los resultados del calculo de empatamiento de fases, el valor del coe-
ficiente no lineal y la disponibilidad experimental en el Laboratorio de Pulsos Ultracortos
se decidio estudiar la generacion del tercer armonico en una MSF (NL 2.4 800) cuya
λZD = 800 nm. Observamos la generacion de un supercontinuo a la salida de la fibra
microestructurada cuyo ancho espectral aumenta con la potencia acoplada a la fibra. En
la region del espectro UV se detecto la generacion de dos senales de alta intensidad cen-
tradas alrededor de λ=300 nm y λ=340 nm, ademas de otras senales de baja intensidad.
Descartamos el hecho de que estas senales formen parte del proceso de generacion del
supercontinuo. Asociamos la generacion de las senales observadas en la region del es-
pectro UV al proceso de THG no degenerado en el bombeo, cuando las componentes
espectrales provenientes del supercontinuo actuan como campo de bombeo, en concor-
dancia con los calculos de empatamiento de fases. Las senales generadas en la region
del espectro UV muestran una fuerte dependencia con el acoplamiento del campo inci-
dente en la fibra, proveniente del laser de Ti:Zafiro.
En un trabajo futuro se propone medir el modo espacial de las senales generadas
para determinar el modo de propagacion correspondiente a cada senal. De acuerdo a
las motivaciones de este trabajo, conocer con precision el modo de propagacion de la
senal generada es importante para la implementacion del proceso inverso (conversion
parametrica descendente para la generacion de un triplete de fotones), en donde el cam-
po de bombeo se propaga en un modo de orden superior al fundamental para generar un
triplete de fotones en el modo fundamental.
Al comenzar el trabajo experimental, elegimos trabajar con la fibra NL 2.4 800 debi-
do a que esta cumplıa con la condicion de empatamiento de fases al utilizar el laser de
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Ti:Zafiro como campo de bombeo. Posteriormente, encontramos que las componentes
del supercontinuo actuan como campo de bombeo para generar las senales observadas
alrededor de 300 y 340 nm. Utilizar directamente pulsos laser como campo de bombeo,
en la generacion del tercer armonico, es importante para mejorar la eficiencia del proceso
y verificar la dependencia entre la potencia del campo de bombeo y el campo generado.
Para lograrlo, se propone encontrar condiciones de empatamiento de fases, en otras fi-
bras MSFs, que permitan la generacion del tercer armonico por medio de componentes
espectrales provenientes directamente del pulso laser (sin intervencion del superconti-
nuo). Adicionalmente, se propone trabajar con pulsos laser con duracion del orden de
picoegundos para evitar la generacion del supercontinuo.
Ademas, se propone utilizar una fibra microestructurada con una mayor longitud, in-
crementando de esta forma la eficiencia del proceso.
El estudio de la generacion de pares de fotones por medio del proceso FWM en las
fibras MSFs disponibles actualmente se presenta como una alternativa atractiva, al utilizar
un campo de bombeo propagandose en un modo de orden superior al fundamental y con
una longitud de onda central en la region del espectro visible.
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