Centro de Masas de Sistemas Continuos
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7/25/2019 Centro de Masas de Sistemas Continuos
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31/1/2016 Centro de masas de sistemas continuos
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Centro de masas de sistemas continuos
De Laplace
Contenido
1 Enunciado2 Solucin
2.1 Barra recta
2.2 Barra semicircular
1 Enunciado
Calcula por integracin la posicin del centro de masas de estos dos sistemas
1. Unabarra homognea delgada de longitud hy masa M.
2. Unabarra homognea delgada en forma de semicrculo de radio ay masaM.
2 Solucin
Para un sistema discreto la posicin del centro de masas (CM) viene dada por laexpresin
donde mies la masa de cada partcula y su vector de posicin. Cuando
tratamos con un sistema continua, la expresin se transforma segn el cambio
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As, en un sistema continuo la posicin del centro de masas viene dada por laexpresin
siendo un vector que recorre cada uno de los puntos del sistema y dmla masa
infinitesimal asociada a cada uno de esos puntos.
2.1 Barra recta
Consideramos el caso de una barrahomognea delgada de masa My
longitud h. Lo primero que hay
que hacer es escoger un sistemade ejes para describir la posicinde cada punto de la barra.Elegimos el eje OXde modo que
coincida con la barra y situamos el origen en su extremo izquierdo. Con estaeleccin la posicin de un punto genrico de la barra viene dada por el vector deposicin
La variable xes la etiqueta que identifica a cada punto de la barra.
Ahora consideramos que en cada punto de la barra hay un pequeo trocito debarra de longitud dxy masa dm. La d delante de la xy la mslo significa que lalongitud del elemento y su masa son muy pequeas. Cuanto vale est masa?.
Como la barra es homognea, podemos definir una densidad lineal de masacomo el cociente de su masa por su longitud
Con esto, si el trocito de barra tiene una longitud dx, su masa es
Ahora podemos calcular las integrales en la expresin de . La integral en el
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denominador es la suma de las masas de todos los puntos que podemosconsiderar en la barra, esto es, su masa completa
La integral en el numerador es
El vector y la densidad de masa pueden salir de la integral pues no
dependen de x, es decir, son iguales no importa en que punto de la barraestemos.
Con esto el vector de posicin del CM de la barra respecto de su extremoizquierdo es
Es decir, para encontrar el CM nos situamos en el extremo izquierdo de la barray nos desplazamos hacia la derecha una longitud igual a la mitad de su longitud
El CM se sita en el centro de la barra. Esto es lgico, pues los ejes de simetrade la barra pasan todos por su centro, por lo que el CM debe situarse en l.
2.2 Barra semicircular
Consideramos ahora el caso en quela barra tiene forma de semicrculo.De nuevo, consideramos pequeos
elementos de lnea a lo largo de labarra. Escogemos el origen delsistema de coordenadas en elcentro del semicrculo, de modoque el eje OXpase por los dosextremos de la semicircunferencia.Con estos ejes, la posicin de unpunto de la barra queda definidapor un valor del ngulo
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Cada elemento de lnea tiene una longitud
Como la barra es homognea su densidad de masa es uniforme e igual a su masa
dividida por su longitud
Con esto, la masa de cada elemento de lnea es
Podemos calcular la posicin del centro de masas de la barra usando la
expresin del apartado anterior. El numerador es
Sustituyendo el valor de obtenemos
El vector de posicin del centro de masas es
Debido a la simetra, el CM est en el dimetro vertical de lasemicircunferencia. Como (2 / ) = 0.637, el CM est por debajo de la
semicircunferencia, como se indica en la figura
Obtenido de
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