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CENTRO PREUNIVERSITARIO
Jaén – Perú, Noviembre 2020
GUÍA DE APRENDIZAJE
SEMANA N° 01
CURSO : Razonamiento Matemático
DOCENTE: Patty Lourdes Navarro Suárez
SEMANA N° 01 – RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
CENTRO PREUNIVERSITARIO
2
ÍNDICE
Pág.
1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................... 3
2. CONTENIDO TEMÁTICO ............................................................................................................. 4
3. DESARROLLO.................................................................................................................................. 4
3.1.Tema 1: SUCESIONES ................................................................................................................. 5
3.2.Tema 2: SERIE Y SUMATORIAS ................................................................................................16
4. ACTIVIDADES PROPUESTAS………………………………………………………………………….19
4.1. Guía Práctica: TEMA N° 01 ...................................................................................................19
4.1. Guía Práctica: TEMA N° 02 ....................................................................................................22
5. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................................25
SEMANA N° 01 – RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
CENTRO PREUNIVERSITARIO
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1. INTRODUCCIÓN
El siguiente módulo tiene como objetivo proporcionar a los estudiantes del Centro Pre
Universitario de la Universidad Nacional de Jaén un adecuado conocimiento sobre el
Razonamiento Lógico para conseguir un buen aprendizaje.
El Razonamiento Matemático permitirá desarrollar en nuestros estudiantes capacidades
y actitudes positivas, potenciando el pensamiento formal como instrumento para el ejercicio
intelectual, así como las habilidades y destrezas cognitivas que le permitan entender su mundo,
desenvolverse en él, comunicarse con los demás y resolver problemas de su contexto real o
simulado.
Los contenidos de la asignatura servirán como apoyo para el desarrollo de las
capacidades que permitan ampliar sus conocimientos de manera articulada para que los
estudiantes afronten con éxito los retos que implicara la continuación de sus estudios en la
educación superior.
En cada sesión de aprendizaje se explicará los aspectos teóricos, con el propósito de
que las definiciones sean captadas fácilmente, seguido del desarrollo de ejercicios o problemas
de aplicación propuestos en las guías de aprendizaje semanalmente.
La siguiente guía de aprendizaje sobre SUCESIONES, SERIES Y SUMATORIAS
constituye un aporte académico al proceso de aprendizaje de la Matemática para que nuestros
estudiantes del Centro Pre Universitario de la Universidad Nacional de Jaén obtengan una
educación de calidad en la modalidad EDUCACIÓN VIRTUAL.
SEMANA N° 01 – RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
CENTRO PREUNIVERSITARIO
4
2. CONTENIDO TEMÁTICO
2.1. SUCESIONES:
2.2. SERIES Y SUMATORIAS:
Notación sigma, definición, propiedades y sumas notables.
Suma de infinitos términos forma decreciente
3. DESARROLLO
3.1. SUCESIONES
3.2. SERIES Y SUMATORIAS
Definición de sucesión. Clasificación: aritmética, geométricas, lineales,
gráficas, (especiales numéricas).
Progresión aritmética: Término enésimo, número de términos y razón. Suma
de términos.
Progresión geométrica: Término enésimo, número de términos y razón, Suma
de términos.
Sucesión aritmética polinomial de primer orden o sucesión lineal, sucesión
polinomial de segundo orden.
SEMANA N° 01 – RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
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Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos (números, letras, figuras) tales que cada uno ocupa un lugar establecido, de modo que obedecen a una ley de formación, criterio de orden o fórmula de recurrencia. A los elementos de este conjunto se les denomina términos de una sucesión.
1 2 3 4, , , ,
minnt t t t t
n tér os
Las sucesiones pueden ser:
Son aquellas que están conformadas por figuras que han sido construidas y ordenadas de acuerdo a ciertos criterios que determina el lugar de cada término de la sucesión. Los criterios que se consideran son:
Unión y/o intersección de figuras. Criterio de giro (horario o antihorario).
Criterio de aparición y/o desaparición de elementos de la figura.
¿Qué figura continua?
; ; ; ; ……. (Criterio: el número de lados disminuye de uno en uno)
; ; ; ; …..… (Criterio: cada cuadrado con sus figuras interiores gira
90 en entido antihorario)
SEMANA N° 01 – RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
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¿Qué figura no guarda relación con las demás?
; ; ; ;
Todas las figuras se pueden superponer al girarlas adecuadamente, excepto la de la alternativa “D”.
; ; ; ;
La región pintada avanza un lugar en sentido horario, la figura que no guarda la relación con las demás es la “C”.
El lugar que ocupa la letra en el alfabeto.
Iníciales de palabras conocidas.
Formación de palabras.
En este tipo de sucesiones las letras CH y LL se consideran cuando por lo menos unas de ellas aparecen en la sucesión o en las alternativas.
Indicar que letra continúa en cada caso:
a) ; ; ; .........A D G
; ;; ; ; ;; ; ,B C E F G HA ID J
Por lo tanto la letra que continúa la sucesión es: “J”
Son aquellas sucesiones que se caracterizan por tener como términos a letras del alfabeto distribuidos de
acuerdo a un determinado criterio que puede ser:
A B C D E
A B C D E
SEMANA N° 01 – RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
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7
b) ; ; ; ; .........T C C S
; ; ; ;T C C S S
Por tanto la letra que continúa en la sucesión es: “S” c) ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;O T N E I M A N O Z A
La letra que continúa es la “R”, pues con esta letra se completa la palabra “RAZONAMIENTO”.
Una sucesión numérica es un conjunto ordenado de números, en el que cada elemento o término tiene un
orden designado o un número ordinal; por lo general se considera a un término representativo de toda la sucesión, llamado término enésimo, que se simboliza como: " "nt ; donde " "n indica la posición que ocupa
cada elemento como también el número de términos .
Este tipo de sucesiones se pueden clasificar en:
Pueden ser:
Se llama sucesión aritmética cuando la razón entre sus términos consecutivos se halla por diferencia.
Cuando la razón es constante, la sucesión recibe el nombre de SUCESIÓN ARITMÉTICA.
Es decir:
1 2 3 4 5; ; ; ; ; ; n
r rr r
t t t t t t
Donde:
1 :t Primer término :nt Último término :r Razón aritmética.
Tres Cuatro Cinco Seis Siete
Números Ordinales
Término de la sucesión
1° 2° 3° 4°
m
……….
..
n°
m
……….
..
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8
Hallar el número que sigue en: 18 ; 10 ; 2 ; 6 ; 14;
Hallamos la razón:
8 8 8 8 8
18 ; 10 ; 2 ; 6 ; 14 ; ( )x
Entonces:
14 ( 8) 22x
Para calcular el último término o término enésimo " "nt debemos usar la siguiente fórmula:
De donde se tiene que:
1
1
1
( 1)
1
1
n
n
n
t t n r
t tn
r
t tr
n
Calcular el término enésimo en: 127 ;123 ;119 ;115 ;
Observamos que: 1 127 4t r
Entonces:
1 ( 1)127 ( 1)( 4)127 4 4131 4
n
n
n
n
t t n rt nt nt n
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Hallar el término 15 de la siguiente sucesión: 7 ;11;15 ;
Se observa en la sucesión que: 1 7 15 4t n r
Entonces:
1
15
15
15
( 1)7 (15 1) 47 5663
nt t n rttt
La suma de los " "n términos de una sucesión aritmética se puede calcular por la fórmula:
1
2
nn
t tS n
Hallar la suma de los 20 primeros términos de la sucesión aritmética: 6 ; 9 ;12 ;15 ;
Se observa en la sucesión aritmética que: 1 6 20 3t n r
Primero hallaremos el término 20:
1
20
20
20
( 1)6 (20 1) 36 5763
nt t n rttt
Entonces la suma es:
1 2020
6 6320 20 69 10 690
2 2
t tS
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Se llama sucesión geométrica cuando la razón de sus términos consecutivos se halla por cociente. Cuando la razón es constante, la sucesión recibe el nombre de SUCESIÓN GEOMÉTRICA.
Es decir:
1 2 3 4 5; ; ; ; ; ; n
r rr r
t t t t t t
Donde:
1 :t Primer término :nt Último término :r Razón geométrica.
Hallar el número que sigue en: 1 1 1
8 ; 2 ; ; ; ,2 8 32
Hallamos la razón:
1 1 1 1 1
4 4 4 4 4
1 1 18 ; 2 ; ; ; ; ( )
2 8 32x
Entonces:
1 1 1
32 4 128x
Para calcular el último término o término enésimo " "nt debemos usar la siguiente fórmula:
Calcular el quinto término de la sucesión geométrica: 1; 3 ; 9 ; 27
De la sucesión geométrica se tiene: 1 1 5 3t n r
Entonces:
5 1 5 1 4
5 1 1 3 3 81t t r
Primer término
Número de términos que le antecede
Razón
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La suma de los " "n términos de una sucesión geométrica se puede calcular por la fórmula:
1 1
1
n
n
t rS
r
En la sucesión geométrica de razón 2 y cuyo primer término vale 6. Calcular la suma de los siete primeros
términos.
Se observa que: 1 6 7 2t n r
Entonces la suma es:
7 7
1
7
1 6 2 16 127 762
1 2 1
t rS
r
Una sucesión geométrica sin término enésimo o al infinito está dada por:
1 2 3 4 5; ; ; ; ;
r rr r
t t t t t
Donde: 1 :t Primer término :r Es la razón con la condición 0 1r .
La suma de los infinitos términos de una sucesión indefinida decreciente es una fracción, cuyo numerador es el primer término y cuyo denominador es la unidad disminuida en la razón.
Es decir:
1
1Límite
tS
r
Hallar la suma de los infinitos términos de la siguiente sucesión:
1 1 1 11; ; ; ; ;
2 4 8 16
Los datos en este caso son: 1 1t y
1
2r
Entonces la suma es:
1 1 12
1 111
2 2
Límite
tS
r
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Las sucesiones cuadráticas o de segundo grado son aquellas cuyo término enésimo es de la forma:
2. . , 0nt a n b n c a y n N
Siendo " "a , " "b y " "c valores constantes cualesquiera en N, que se hallan mediante las
Siguientes reglas o métodos prácticos:
Sean 1 2 3 4; ; ; ; ; nt t t t t términos de una sucesión cuadrática
Donde:
Entonces el cálculo de " "a , " "b y " "c se realiza de la siguiente manera:
2
ra ,
1
3
2b m r , 1 1( )c t m r
Hallar el término enésimo en: 5; 11; 19; 29; 41;
Vemos que:
De donde:
21
2 2
ra
1
3 36 2 6 3 3
2 2b m r
1 1( ) 5 ( 6 2 ) 5 4 1c t m r
Razón única
Razón única
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Luego reemplazamos estos valores en:
2
2
. .
3 1n
n
t a n b n c
t n n
Sean 1 2 3 4; ; ; ; ; nt t t t t términos de una sucesión cuadrática
Donde:
Entonces el cálculo de " "a , " "b y " "c se realiza de la siguiente manera:
2
ra , 0b m a , 0c t
Hallar el término enésimo en: 5; 11; 19; 29; 41;
Vemos que:
Razón única
SEMANA N° 01 – RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
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De donde:
21
2 2
ra
0 4 1 3b m a
0 1c t
Luego reemplazamos estos valores en:
2
2
. .
3 1n
n
t a n b n c
t n n
Se denomina sucesiones polinomiales de grado mayor que dos o de grado superior a aquellas que tienen la siguiente forma:
Cuyo término enésimo " "nt viene expresado como un polinomio de variable " "n , donde " "n N .
Es decir:
1 1 1
( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)
1! 2! 3!n
n n n n n nt a b c r
Hallar el 6" "t en la siguiente sucesión: 0; 8; 31; 69;
Vemos que:
Donde:
1 10 8 15 6a b r n
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15
Luego:
1 1
6
6
6
6
6
( 1) ( 1)( 2)
1! 2!
(6 1) (6 1)(6 2)0 8 15
1! 2!
5 (5)(4)0 8 15
1 2
0 40 15 10
40 150
190
n
n n nt a b r
t
t
t
t
t
La suma de los " "n términos de estas sucesiones se puede calcular por la fórmula:
1 1 1
( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)
1! 2! 3! 4!n
n n n n n n n n n ns a b c r
Calcular la suma de los 6 términos de la sucesión: 0; 10; 26; 50;
Vemos que:
Donde:
1 1 10 10 6 2 6a b c r n
Luego:
1
6
6
3
1 1
6
( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)
1! 2! 3! 4!
6 (5) 6 (5)(4) 6 (5)( 4 )(3)60 10 6 2
1 2 3 2 1 4 3 2 1
0 150 120 30
300
n
n n n n n n n n n ns a b c r
s
s
s
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La sumatoria es un operador matemático que permite representar sumas de muchos
o infinitos sumandos. Esta operación se denota por:
n
n
k
k aaaaa
...321
1
Se lee: “Sumatoria de los elementos ka , donde “k” toma los valores de k=1
(límite inferior) hasta k=n (límite superior)”.
7
1
1 2 3 7k
k
Donde:
1 es el límite inferior
7 es el límite superior
“k” es la ley de formación
Se lee: “Sumatoria de los elementos k , donde “k” toma los valores de k=1
(límite inferior) hasta k=7 (límite superior)”.
1) La sumatoria en el que el término general es una suma o resta algebraica ésta se
puede descomponer en sumatorias independientes:
1 1 1
n n n
k k k k
k k k
a b a b
a)
5 5 5 5
1 1 1 1
( )k k k k k k
k k k k
x y z x y z
b)
3 3 3
1 1 1
k k k k
k k k
x y x y
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2) 1 1
n n
k k
k k
c a c a
donde c: constante
a)
4 4
1 1
5 5k k
k k
x x
b) 4 4
1 1
8 8k k
k k
y y
3) La sumatoria de una constante es igual al producto del número de sumandos por la
constante.
1
n
k
c n c
a) 4
1
5 4(5) 20k
b) 200
1
12 200(12) 2400k
4) El número de términos de una sumatoria es igual al índice superior menos el índice inferior más la unidad.
( ) 1 minn
k a
k n a nùmero de tèr os
Hallar el número de términos de la siguiente expresión:
45
5
(45 5) 1 41 mink
k tèr os
5) Una sumatoria cuyo índice inferior no es la unidad puede descomponerse de ésta manera:
1
1 1
n n a
k k k
k a k k
t t t
, donde 1a
Hallar la sumatoria de la siguiente expresión:
11 11 4
5 1 1
(11)(12) (4)(5)66 10 56
2 2k k k
k k k
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1. suma de los “n” primeros números naturales:
1
( 1)1 2 3 4 ...
2
n
k
n nk n
2. suma de los “n” primeros números pares naturales.
1
2 2 4 6 8 ... 2 ( 1)n
k
k n n n
3. suma de los “n” primeros números impares naturales.
2
1
)12(....7531)12( nnkn
k
4. suma de los “n” primeros números cuadrados perfectos.
6
)12)(1(...4321 22222
1
2
nnnnk
n
k
5. Los “n” primeros números cubos perfectos.
2
3 3 3 3 3
1
( 1)1 2 3
2
n
i
n ni n
6. Suma de los “n” primeros productos consecutivos tomados de dos en dos:
1
( 1)( 2)( 1) 1 2 2 3 3 4 .... ( 1)
3
n
k
n n nk k n n
7. Suma de los “n” primeros productos consecutivos tomados de tres en tres:
1
( 1)( 2)( 3)( 1)( 2) 1 2 3 2 3 4 .... ( 1)( 2)
4
n
k
n n n nk k k n n n
8. Los “n” primeras potencias
11 2 3
1 1
nni n
i
a aa a a a a
a
SEMANA N° 01 – RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
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4. ACTIVIDADES PROPUESTAS
Las actividades propuestas tienen por finalidad afianzar sus saberes adquiridos en
base al entendimiento proporcionado en las sesiones de aprendizaje, estos son los
siguientes:
ACTIVIDAD 1: Resolver los siguientes ejercicios en clase sobre SUCESIONES con
ayuda del docente del curso:
1. En la sucesión: 8 ;13 ;18 ; 23 ;
Hallar el término más cercano a 352 y menor que él. a) 340 b) 347 c) 348
d) 353 e) 350
2. ¿Cuántos términos de la progresión
aritmética: 3 ; 7 ;11; . , es preciso
sumar para obtener 1275?.
a) 30 b) 20 c) 25
d) 28 e) 50 3. En la Siguiente sucesión,
hallar: x y z
2 6 24 120; 3 ; 5 ; 7 ;11 ;13 ; yz x
a) 739 b) 780 c) 849 d) 914 e) 998
4. Hallar la suma de las cifras del término
que sigue en: 2 ; 5 ;18 ; 87 ; 518 ;
a) 18 b) 11 c) 14 d) 12 e) 16
5. Hallar el término que sigue en:
3 ; 31;133 ; x
a) 235 b) 253 c) 523 d) 532 e) 359
6. Si cinco medios geométricos son
interpolados entre 8 y 5832, el quinto
término en la serie geométrica es:
a) 648 b) 832 c) 1168 d) 1944 e) 742
7. Una progresión aritmética y una
progresión geométrica tienen ambos,
el primer término igual a 4, siendo sus
terceros términos estrictamente
positivos y coincidentes. Si se sabe
además que el segundo término de la
progresión aritmética excede al
segundo término de la progresión
geométrica en 2, luego el tercer
término de la progresión es:
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 18
8. En una fiesta infantil, al primer niño se
le da (5a) caramelos, al segundo (4b)
caramelos, el tercero (20 + 3b), el
cuarto (8a) caramelos, y así
sucesivamente. Si en total se
repartieron 2320 caramelos.
¿Cuántos niños recibieron caramelos
en la fiesta, sabiendo que estos
números forman una progresión
aritmética?
a) 15 b) 18 c) 20
d) 22 e) 25
SEMANA N° 01 – RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
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20
9. ¿Qué letras siguen?
B, D, E, G, I, K, N, O, ……….
a) PO b) TO c) SU d) ST e) VY
10. Hallar la suma de cifras del siguiente
término en la sucesión:
0, 2, 24, 252, ……
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
11. Dada la siguiente distribución
numérica
1 3 5 7
15 13 11 9
17 19 21 23
31 29 27 25
P Q R S T
En que columna aparecerá el número 1993
a) P b) Q c) R d) S e) T
12. Calcular la suma de 20 términos de la
progresión aritmética:
2 22 1 3 6 5
, 4 , ,a a
aa a a
a)
400420a
a
b)
420400a
a
c)
2400 420
3
a
a
d)
2 400420a
a
e)
2 420400a
a
13. En una sucesión geométrica, con
razón “r”, se tiene:
512. .
6
9
4
7
2
5
t
t
t
t
t
t
Halle el valor de S:
16
20
14
15
12
14
2
5
t
t
t
t
t
t
t
tS
a) 48 b) 30 c) 24
d) 16 e) 32
14. Daniel cuenta hacia atrás
comenzando por el 2001 y nombrando
cada 7 años:
2001; 1994; 1987; 1980; …
Uno de los números que nombra Daniel en la sucesión es:
a) 1 788 b) 1 789 c) 1 790 d) 1 791 e) 1 792
15. Busque dos números x e y
comprendidos entre 0 y 2 tales que 9; x; y están en progresión geométrica decreciente en ese orden y que el
mayor es 27 veces el menor.
a) 1/3, 3 b) 1/3, 1/4 c) 1/4, 2
d) 1/4, 3 e) 1/3, 2
16. Evaluar:
59049.......812793 S
a) 23313
b) 2
3312
c) 3
1313
d) 2
3311
e) 3
1312
17. Hallar:
11 101 1001 10001E 100 cifras
100...01
a) 909
11099
b) 9910
1010100
c) 999
1010100
d) 9010
1010 299
e) 10
9
1010100
18. ¿Cuántos números enteros
consecutivos a partir del número
subsiguiente a 39 se deben sumar
para que el resultado sea igual a la
suma de la misma cantidad de
números pares consecutivos a partir
del número que precede al quinto
número primo natural?
a) 61 b) 62 c) 60
d) 63 e)64
SEMANA N° 01 – RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
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21
19. Hallar la suma de la progresión
aritmética:
43 52 61 70 ... 700E
a) 43 291 b) 52 321 c) 25 491
d) 15 921 e) 27 491
20. Las edades de 4 hermanos están en
progresión aritmética y suman 54. Si
la edad del mayor duplica a la del
menor. ¿Cuál es la edad del tercero?
a)10 b)13 c)15
d)20 e)16
21. Calcular la suma de los “n” términos
de la sucesión
0; 8; 52; 156; 344; 640; …..
a) 𝑛4 − 𝑛2 + 2𝑛 b) 𝑛4 − 3𝑛2 + 2𝑛
c) 𝑛4 + 𝑛2 + 2𝑛 d) 𝑛4 − 3𝑛2 + 𝑛
e) 𝑛4 + 3𝑛2
22. Indicar que figura sigue en la sucesión
23. Indique cuál es el último término de la
siguiente sucesión:
7, 17, 27, 37, ……
Si para escribirse se han utilizado 301
cifras.
a)1027 b) 997 c) 2007
d) 1107 e)1037
24. La suma de cifras del número que
sigue es: 2; 1; 2; 17; 82;….
a) 13 b)12 c)6 d)14 e)10
25. Hallar la suma de los primeros 21 términos de una P.A. Si el término de
lugar 11 es 24. a)127 b) 504 c) 257 d) 1008 e)327
26. La diferencia de los términos vigésimo
y quinto respectivamente de una P.A. es 20. Hallar la suma de los 19 primeros términos, si el primer término
es 2. a)327 b) 204,666… c) 266
d) 255,333… e)267,333…
27. Dadas las siguientes sucesiones:
5; 11; 17; 23;…... 7; 15; 23; 31;…..
¿Cuántos términos comunes de 3 cifras existen? a) 38 b) 34 c) 36
d) 33 d) 37
28. Calcular el término que ocupa el lugar
30 en la siguiente sucesión:
1; 2
3;
1
3;
4
27;
5
81; ⋯
a)8
325 b) 10
825 c)10
328
d) 10
330 e) 1
32
29. En la sucesión:
7; 14; 21; ⋯ ; 343000
¿Cuántos términos son cubos
perfectos?
a) 10 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
30. Calcular el termino quince de la
siguiente sucesión:
4, 5, 8, 18,43, 94, 185,⋯
a) 5023 b) 5203 c) 5230
d) 3520 e) 5210
SEMANA N° 01 – RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
CENTRO PREUNIVERSITARIO
22
ACTIVIDAD 2: Resolver los siguientes ejercicios en clase sobre SERIES Y SUMATORIAS
con ayuda del docente del curso:
1. Si 0 1x :
Hallar 2 31 2 3 4M x x x
a) 1
1 x b)
1
x
x
c)2
2(1 )
x
x
d)2(1 )
x
x e)
2
1
(1 )x
2. Determinar el valor de la suma:
20 1
n
n
x
x
; 0x y 0 1x
a) 2
2
1
1
x x
x x
b)
2
2
1
1
x x
x
c)
2
2
1
1
x x
x
d) 2
2
1
1
x
x x
e)
2
2
1
1
x
x x
3. La reina y el rey salen a pasear por
los bosques de sus dominios. Mientras la reina da 20 pasos en
forma constante por cada minuto, el rey avanza 1 paso en el primer minuto, 2 pasos en el segundo
minuto, 3 pasos en el tercer minuto, y así sucesivamente. Si al
final llegan juntos a su destino. ¿Cuál es la distancia que han recorrido?
a) 750 b) 760 c) 770 d) 780 e) 790
4. En el siguiente arreglo triangular de 12
filas
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 11 55 55 11 1
la suma de todos los números, es:
a) 1023 b) 2047 c) 4095 d) 8191 e) 16383
5. ¿cuántas de las siguientes
proposiciones son falsas?
I. ∑ 𝑛𝑖𝑛=1 =
𝑖(𝑖+1)
2
II. ∑ 𝑘𝑛𝑖=0 = 𝑛𝑘
III. ∑ (3𝑖 + 1)𝑛𝑖=1 = ∑ (3𝑖 + 4)𝑛−1
𝑖=0
IV . ∑ 𝑛𝑘𝑛=1 =
𝑛(𝑛+1)
2
V. ∑ 𝑖3𝑛𝑗=1 = [
𝑛(𝑛+1)
2]
2
VI. ∑ (𝑎𝑘 − 𝑎𝑘−1)𝑛𝑘=1 = 𝑎𝑛 − 𝑎0
a) 4 b)1 c)2
d)3 e)0
6. Hallar el valor de:
1 3 5 7
3 4 4 7 7 12 12 19
20 sumandos
Sx x x x
a)1
b)397
1200
c)
123
321
d)1
3 e)
400
1209
7. Hallar a b , si:
2 3 3 8 4 15 ... 2970a b
a) 103 b)72 c)109 d)114 e)110
SEMANA N° 01 – RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
CENTRO PREUNIVERSITARIO
23
8. Hallar el valor de S:
44.42.40
1+....+
10.8.6
1+
8.6.4
1+
6.4.2
1=S
a)
115
1848 b) 124
341
c)
230
3696
d) 123
11 e)3696
115
9. Calcular la siguiente suma
∑1
𝑘(𝑘2 − 1)
10
𝑘=2
a)
29
110 b)
27
110 c)
27
220
d)
27
55 e)
21
110
10. En la figura mostrada el perímetro del cuadrado más grande es 64, y cada cuadrado más pequeño se obtiene al
unir los puntos medios del cuadrado anterior.
Hallar la suma de todas las diagonales de los cuadrados.
a) 64 2 b) 32 1 2 c)128
d) 16 2 2 e)64 2
11. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones
son verdaderas?
I.
4
4
0 3
n n
k k
k k
a a
II.
3
1 4
3 6
n n
k k
k k
a a
III.
5
1 4
5 10
n n
k k
k k
a a
a) Sólo III b) I y II c) II y III d) I y III e) Sólo II
12. Se define: 2 2 2 2( 1) ( 1)na n n n n
Donde: 1 2 3 00ka a a a cb
Halle: R b c .
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e)11
13. Calcule:
1
5 2
3nn
nE
a)
10
9 b)
19
4 c)
4
5
d) 17
6 e)
24
19
14. Calcule:
32
3
2 3 38
2 3 4
(7)
(4)
b d
n a k c i
d b
m c n a k
M
a)
1
2 b) 1 c) 2
d)
1
3 e)
3
2
15. Efectuar: 2 + 4 + 6 + …… + 4444
1 + 3 +5 + …… + 4443
a) 4444
4443 b)
2223
2222 c)
1
2
d) 2222
2221 e)
2221
2220
16. Calcular: S = 1(9) + 2(10) + 3(11) +…… + 15(23)
a) 1920 b) 2100 c) 1900 d) 2200 e) 2340
17. Hallar: z + u + l + e + m + a
1 + 3 + 24 + 81 + 192 +……+ 59049 = 𝑧𝑢𝑙𝑒𝑚𝑎̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28
SEMANA N° 01 – RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
CENTRO PREUNIVERSITARIO
24
18. Determinar el valor de la siguiente
suma:
∑ [ ∑ 0,02
45
𝑗=16
]
39
𝑘=10
a) 18 b) 36 c) 27
d) 24 e) 40
19. Calcular el valor de la siguiente sumatoria:
∑2(𝑘 + 1)!
𝑘!
𝑛
𝑘=1
a) 2n(n + 1) b) 2𝑛2 c) n(n + 3)
d) n(n + 1) e) 2n(n + 2)
20. Calcular:
S = 1
2𝑥3+
2
3𝑥5+
3
5𝑥8+
4
8𝑥12+ … … . +
30
437𝑥467
a) 911
412 b)
465
934 c)
311
1217
d) 4
9 e)
121
331
21. Determinar el valor de “n” si:
∑ 𝑘
3𝑛
𝑘=𝑛
= 1640
a) 18 b) 20 c) 24
d) 25 e) 26
22. Lucia debe leer un libro en un número determinado de días y se da cuenta
que, si lee 13 páginas cada día, logrará su cometido, pero si lee una página el primer día, tres el segundo,
cinco el tercero, etc. le faltarán aún 12 páginas para leer. ¿Cuántas páginas
tiene el libro? a) 144 b) 156 c) 169 d) 256 e) 182
23. Flash y Supermán participan en una
caminata: Flash recorre todos los días 4 km. y Supermán recorre el primer
día 1 km. y cada día un km. más que el día anterior. Si ambos parten en el mismo día y llegan simultáneamente.
¿Cuántos días duró la caminata?
a) 10 b) 4 c) 8 d) 7 e) 6
24. Hallar: “S”
30
2 3 1 4 6 2 6 9 3 ....sumandos
S
a) 200 b) 220 c) 250
d) 300 e) 330
25. Determine el valor de la siguiente
suma: 1 98 2 96 3 94 4 92 .... 40 20
a) 16620 b) 18680 c) 18860
d) 33240 e) 37720
26. Calcular:
10 10 20
2 3
1 1 1
4 5 2 3x x x
x x x
a) 7920 b) 7910 c) 8110
d) 8120 e) 7480
27. Sean “M” y “N” dos series definidas por:
21
1
k
Mk
y
2
1
1
2 1k
Nk
Entonces la relación correcta entre “M” y “N” es:
a) 2M = 3N b) 2N = 5M c) 4N = 3M
d) M = 3N e) 4M = 3N
28. Hallar la suma de los 20 primeros
términos: 1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 ....
a) -820 b) -700 c) 820
d) -840 e) 480
SEMANA N° 01 – RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
CENTRO PREUNIVERSITARIO
25
5. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] CASTELNUOVO, Emma (2009), Didáctica de la Matemática Moderna. Editorial Trillas. Madrid.
[2] INSTITUTO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES (2010). Aritmética, Análisis del número y sus
aplicaciones. Lumbreras Editores. Lima – Perú.
[3] ADUNI (2009). Compendio Académico de Matemática. Lumbreras Editores. Lima – Perú
[4] LUMBRERAS (2009). Compendio de Actitud Académica. Lumbreras Editores. Lima – Perú.
[5] ASOCIACIÓN FONDO DE INVESTIGADORES Y EDITORES (2012). Razonamiento
Matemático, propedeutica para las ciencias. Lumbreras Editores. Lima – Perú.
[6] POVIS VEGA, Adolfo (2012). Razonamiento Matemático. Editorial Moshera. Lima – Perú.
[7] COLECCIÓN SIGLO XXI (2009). Razonamiento Matemático. Editorial San Marcos. Peru
[8]CHÁVEZ VENTOCILLA, Alfredo (2009). Compendio de Razonamiento Matemático. Fondo
editorial Rodo. Perú.