ESCUELA POLITCNICA NACIONAL

FACULTAD DE INGENIERA CIVIL NOMBRE: DIEGO AYALA

MECNICA PARA INGENIEROS 1 FECHA: 09/01/2015

TEMA: FUERZAS DISTRIBUIDAS: CENTRO DE GRAVEDAD, CENTROIDES, TEOREMA DE PAPPUS

MOMENTOS DE INERCIA, PRODUCTOS DE INERCIA.

1. INTRODUCCIN:

Dentro del anlisis de cuerpos en equilibro, uno de los temas de mayor relevancia es el de

las fuerzas distribuidas, el cual engloba conceptos importantes para poder comprender el

comportamiento de un cuerpo para algunos casos particulares. Los fundamentos

geomtricos son importantes para poder resolver los problemas que se presenten en el

desarrollo de este captulo; centro, simetra, centros de gravedad o ejes de referencia son

algunos de los trminos que se presentarn.

A su vez, existe una relacin entre la fuerza y la distancia que se aplica de acuerdo al eje de

referencia en el cual se est trabajando. Esta situacin produce varios fenmenos en el

cuerpo que sin salir de su estado de equilibrio, se asume que los puede producir. Como dice

la 2da ley de Newton Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento

rectilneo uniforme a menos que otros cuerpos acten sobre l, es decir que se refiere a la

tendencia que tiene el cuerpo de salir de su estado de equilibrio al menos que una fuerza

acte para impedir esto. Se le conoce como la ley de la inercia y la misma es muy usada para

describir situaciones en las que el cuerpo tiende a rotar.

Ambos temas, centros de gravedad y momentos de inercia guardan una estrecha relacin

al momento de aplicar la teora en la resolucin de los problemas.

2. DESARROLLO

2.1. CENTRO DE GRAVEDAD

El centro de gravedad es el punto donde se encuentran aplicadas todas las fuerzas

gravitatorias que actan en el cuerpo.

La fuerza gravitatoria del planeta Tierra atrae a los objetos a la tierra para

mantenerlos as. Dicha fuerza se relaciona directamente con cun pesando es un

cuerpo, mientras ms pesado, mayor ser la atraccin. Esta se describe como la

fuerza gravitatoria antes mencionada que no es otra cosa que una fuerza distribuida

sobre el cuerpo la cual converge en un punto y donde acta el peso del cuerpo.

Otro concepto que se relaciona con el centro de gravedad es el centro de masas. Es

un punto que se encuentra afectado por el resultante de las fuerzas externas, en

este caso, la fuerza gravitatoria de la Tierra. Este punto coincide con el centro de

gravedad si la aceleracin de la gravedad es constante.

Para el anlisis de cuerpos en equilibrio, se entiende que el centro de gravedad es

el punto donde todo el peso del cuerpo est concentrado y representado como una

partcula.

2.2. CENTROIDES

El centroide es netamente un trmino geomtrico, donde no intervienen las fuerzas

externas que afectan al cuerpo si no que depende nicamente de la forma del

sistema. Fsicamente, el centroide puede coincidir con el centro de gravedad y el

centro de masas pero mencionen conceptos distintos.

Sabiendo eso, se dice que el centroide o baricentro es la interseccin de todos los

hiperplanos que dividen al cuerpo en dos partes de igual volumen con respecto al

hiperplano.

Hiperplano se puede definir en espacios unidimensionales, bidimensionales,

tridimensionales, etc. Pero que al final es lo mismo. Divide al cuerpo en dos partes

iguales. En cada dimensin, un hiperplano es un punto, una recta o simplemente un

plano.

Centroide de un tringulo.

2.3. TEOREMA DE PAPPUS

Se le conoce como ese nombre al teorema que relaciona volmenes de slidos de

revolucin con su respectivos centroides.

ENUNCIADO:

Sea una regin plana R de rea A, que se hace rotar alrededor de una lnea recta que est en su plano pero que no intersecta la regin (a lo sumo

es frontera de ella). El volumen V del slido de revolucin generado es

igual al producto del rea por la distancia que recorre el centroide al

girar.

A

DEMOSTRACIN:

Asumimos que se hace rotar la regin R de un slido respecto al eje Y

Si el volumen se plantea por cortezas cilndricas sera:

(1)

Por otra parte la abscisa del centroide es (despus de haber simplificado la densidad)

Con lo cual (2)

Al remplazar de la ecuacin (1) la integral en (2) se obtiene

Con lo cual distancia recorrida por el centroide rea de la regin

(http://www.virtual.unal.edu.co/)

2.4. MOMENTOS DE INERCIA

El momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribucin de masas de

un cuerpo o un sistema de partculas en rotacin respecto al eje de giro.

Para entender de mejor manera qu es un momento de inercia, se debe tener claro el

concepto de inercia en s.

La inercia es la tendencia que tiene el cuerpo a permanecer en reposo o a continuar

movindose en lnea recta a la misma velocidad. Sabiendo esto, se puede determinar

que el momento de inercia se relaciona con la masa rotacional y tambin depende de

la distribucin de la masa del cuerpo. Cuanto ms lejos est la masa del centro de

rotacin, mayor ser el momento de inercia.

La frmula para el momento de inercia es:

I = d2A

La figura describe a un momento de inercia. Podemos observar un diferencial de rea,

los ejes coordenados y el radio que parte del origen hacia el diferencial de rea.

Se puede deducir que el momento de inercia es una representacin meramente

matemtica y que no tiene significado fsico. Valindonos de la figura podemos ver la

tendencia del cuerpo a girar respecto al eje x o al eje Y:

Ix=Y2A

Iy=X2A

Tambin, el cuerpo puede girar respecto a un punto, sea este unidimensional,

bidimensional o tridimensional. A esto se lo conoce como momento polar de inercia.

J= r2A

Donde r = 2 + 2

J= x2A+ Y2A

RADIO DE GIRO:

Es la distancia a la cual se debe colocar el rea convertida en franja de espesor

despreciable para que produzca el mismo efecto de inercia que el rea original.

2.5. PRODUCTOS DE INERCIA

Tomaremos como ejemplo la siguiente figura:

Considrese un cilindro homogneo y equilibrado al que se le colocan dos pesos

iguales, separados 180, y equidistantes del centro de gravedad, a lo largo de la altura

del cilindro. La suma de dichos pesos, no altera el centro de gravedad del cilindro, y el

cilindro permanece equilibrado estticamente. No obstante, si hacemos girar el cilindro

alrededor de su eje Z, la fuerza centrfuga acta sobre ambos pesos, haciendo que

aparezca un par de fuerzas. Si el cilindro est montado en soportes, este par provoca

una fuerza sinusoidal ejercida sobre los soportes, durante el giro del cilindro. Si el

cilindro gira en el espacio, el eje de rotacin se desplaza a una posicin donde las fuerzas

centrfugas se igualan. A esto, se le llama producto de inercia.

(http://www.elettrorava.es/)

Bsicamente, el producto de inercia es una medida del desequilibrio dinmico que se

produce por la rotacin del cuerpo y se expresa en las mismas unidades que el momento

de inercia, pero tiene una mayor relacin con el centro de gravedad que el momento

de inercia.

3. CONCLUSIONES

3.1. El centro de gravedad y el centroide se diferencian en que el centro de gravedad se

aplican a cuerpos en el espacio y los centroide a sistemas geomtricos (reas y

volmenes).

3.2. En el punto donde se encuentra el centro de gravedad, se va a ubicar el peso del cuerpo

sin importar si el cuerpo se desplace o rote.

3.3. En los sistemas estticos, el centro de gravedad es el punto donde todo el peso del

cuerpo est concentrado y representado en una sola partcula.

3.4. El momento de inercia se refiere a la rotacin del cuerpo.

3.5. En el momento de inercia, el valor de la fuerza depende de la distancia.

4. RECOMENDACIONES

4.1. Tener criterio para aplicar el concepto correcto en la resolucin de un problema.

4.2. Existen tablas donde nos indican las frmulas para los centroides de algunas figuras.

4.3. Establecer como primera instancia el eje de referencia con el cual vamos a trabajar para

resolver los problemas.

4.4. Ser organizado con el manejo de datos.

4.5. Tener claro los trminos y su significado para que no haya confusiones en la resolucin

de ejercicios.

5. BIBLIOGRAFA

Tomado de: Pgina de la universidad nacional de Colombia, disponible en URL:

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000916/lecciones_html/Cap04/04_04_01.ht

ml

Tomado de: elettrorava.es, disponible en URL:

http://www.elettrorava.es/espanol/docum/MOI-CG/secc-4.htm

Tomado de: Esttica; Autor: J.L Meriam; Edicin: 2da Edicin; Editorial: Editorial Revert S.A. ;

AO: 1978.