8/18/2019 Chuleta Temas 12

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Métodos numéricos: chuleta oficial

Tema 1: Introducción al Análisis Numérico

‡   f Õ(x0) =  1

h

3f (x0) − f (x0 − h)

4+

 h

2f ÕÕ(ξ ) ,   ξ  ∈ (x0 − h, x0) .

‡   f Õ(x0) =  1h

3f (x0 + h) − f (x0)

4− h

2f ÕÕ(ξ ) ,   ξ  ∈ (x0, x0 + h) .

‡   f Õ(x0) =  1

2h

3f (x0 + h) − f (x0 − h)

4− h

2

6 f (3)(ξ ) ,   ξ  ∈ (x0 − h, x0 + h) .

‡   f Õ(x0) =  1

2h

3f (x0 − 2h) − 4f (x0 − h) + 3f (x0)

4+

 h2

3 f (3)(ξ ) ,   ξ  ∈ (x0 − 2h, x0)

‡   f Õ(x0) =  1

2h

3−3f (x0) + 4f (x0 + h) − f (x0 + 2h)

4+

 h2

3 f (3)(ξ ) ,   ξ  ∈ (x0, x0 + 2h) .

‡   f Õ(x0) =  1

6h

3−2f (x0−3h)+9f (x0−2h)−18f (x0−h)+11f (x0)

4+

h3

4 f (4)(ξ ) ,   ξ  ∈ (x0−3h, x0) .

‡   f Õ(x0) =  1

6h

3−11f (x0)+18f (x0+h)−9f (x0+2h)+2f (x0+3h)

4− h

3

4 f (4)(ξ ) ,   ξ  ∈ (x0, x0+3h) .

‡   f Õ(x0) =  1

12h

3f (x0−2h)−8f (x0−h)+8f (x0+h)−f (x0+2h)

4+

h4

30f (5)(ξ ) ,   ξ  ∈ (x0−2h, x0+2h) .

‡   f Õ(x0) =  1

12h

3−25f (x0)+48f (x0 + h) −36f (x0 + 2h)+16f (x0 + 3h) −3f (x0 + 4h)

4+

 h4

5 f (5)(ξ ) ,

ξ  ∈ (x0, x0 + 4h) .

‡   f ÕÕ(x0) =  1

h2

3f (x0 − h) − 2f (x0) + f (x0 + h)

4−  h

2

12f (4)(ξ ) ,   ξ  ∈ (x0 − h, x0 + h) .

‡   (an)n∈N   convergente a  ¸. Orden de convergencia p, con p ≥ 1  si

ĺımn

Î an+1 − ¸ ÎÎ an − ¸ Πp   = K  ”= 0 ,   con 0  < K

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Tema 2: Resolución numérica de sistemas lineales

‡  Los valores propios de la matriz n×n A  =  tridiag(−1,α, −1) son  λ j  = α−2cos( jθ), j  = 1, . . . , n ,donde  θ =  π/(n + 1); A es definida positiva si  α ≥ 2.

‡   A  diagonal dominante si   |aii| ≥ qnj=1i”=j

|aij |,   i  = 1, 2, . . . , n; estrictamente diagonal dominante si

las desigualdades se verifican estrictamente.

‡  Si una matriz  A  es estrictamente diagonal dominante, entonces es invertible.

‡   Normas:   ÎxÎ2 =Ò 

x21 + · · · + x2n,   ÎxÎ1 =

nÿi=1

|xi|,   ÎxÎ∞ = máx1≤i≤n

|xi|.

‡   Escalado de Î · Î2  y Î · Î1:   1√ n Ò 

x21 + · · · + x2n ,

  1

n  (|x1| + · · · |xn|)

‡ ÎAÎ1  = máx1≤ j≤nqni=1 |aij|  (suma de columnas)   ÎAÎ∞ = máx1≤i≤nqn j=1 |aij | (suma de filas)ÎAÎ2  =

Ò ρ(AtA)   (ρ(C ) radio espectral de  C )

‡   Condicionamiento de  A: cond (A) = ÎAÎ ÎA−1Î = K Î·Î(A)

Teorema: Sistema lineal Ax  =  b  y su perturbación  (A + ∆A)x̃ =  b + ∆b.

‡   Si  ∆A = 0, entonces  Îx − x̃Î

ÎxÎ   ≤K (A)

Î∆bÎ

ÎbΠ .

‡   Si  ∆b = 0, entonces  Îx − x̃Î

Îx̃Î   ≤ K (A)Î∆AÎÎAÎ   .

‡   Si Î∆AÎ  0.

‡   Coste computacional: sustitución hacia atrás  n2, Gauss  2n3/3; Cholesky n3/3.

Segundo semestre, curso 2015/2016

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Método iterativos   x(0) dado , x(k+1) = B x(k) + c , k ≥ 0

‡  Método iterativo consistente si  c = (I − B)A−1b‡  Un método iterativo convergente a la solución del sistema lineal  Ax =  b  debe ser consistente.

‡  Consideremos un método consistente. El método es convergente si y sólo si  ρ(B)