7/24/2019 Chuletageometria 2 Bach

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Julin Moreno Mestrewww.juliweb.es tlf. 629381836

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Chuletario de Geometra Analtica:Ec. vectorial de la recta:

tvxx 0+=

tvvvzyxzyx zyx ),,(),,(),,( 000 +=

Ecuacin paramtrica:

+=

+=

+=

tvzz

tvyy

tvxx

z

y

x

0

0

0

Ec. de la recta en forma continua:

zyx v

zz

v

yy

v

xx 000 =

=

Ec. de la recta que pasa por dos puntos:

01

0

01

0

01

0

xx

zz

xx

yy

xx

xx

=

=

Ecuacin vectorial del plano:

sutvxx 0 ++= suuutvvvzyxzyx zyxzyx ),,(),,(),,(),,( 000 ++=

Ecuacin paramtrica del plano:

++=

++=

++=

sutvzz

sutvyy

sutvxx

zz

yy

xx

0

0

0

Ecuacin general del plano:

0=+++ DCzByAx

Vector perpendicular al plano:

),,( CBAn=

Calculo de la ecuacin general del plano para los casos de:

2 vectores tangentes y un punto:

0

000

=

zyx

zyx

uuu

vvv

zzyyxx

tres puntos:

0

020202

010101

000

=

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

Un punto y un vector (Ec. normal):0)( 0 =xxn ( ) 0),,(),,(),,( 000 = zyxzyxCBA

= ),,( zyxx Coordenadas de los puntos de la recta o del plano.

=

=

=

),,(

),,(

),,(

2222

1111

0000

zyxx

zyxx

zyxx Puntos por los que

pasa la recta o el

plano.

=

=

),,(

),,(

zyx

zyx

uuuu

vvvv Vectores tangentes

de la recta y el plano.

Posicin relativa de dos planos:

=

=

=+++

=+++

''''*

'''0''''

0

DCBA

DCBAM

CBA

CBAM

DzCyBxA

DCzByAx

Secantes: Tienen en comn los puntos de una recta. 2*)()( == MRangoMRango Paralelos: No tienen ningn punto en comn. *)()( MRangoMRango Coincidentes:

Tienen todos sus puntos en comn. 1*)()( == MRangoMRango Posicin relativa de tres planos:

=

=

=+++

=+++

=+++

''''''''

''''*

''''''

'''

'

0'''''''

0'''''

0

DCBA

DCBA

DCBA

M

CBA

CBA

CBA

M

DzCyBxA

DzCyBxA

DCzByAx

Caso )(MRango *)(MRango Posicin de tres planos:

1 3 3 Planos secantes en un punto.

2 2 3 Planos secantes dos a dos en dos o tres rectas.

3 2 2 Los 3 planos interseccionan en una recta.

4 1 2 Planos paralelos, o uno plano y dos coincidentes.

5 1 1 Planos coincidentes

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Dos planos secantes definen una recta:

sistemadelcualquierasolucinUna

'

)',','('

),,(

0'''''

0

0

=

=

=

=+++

=+++

x

nnv

CBAn

CBAn

DzCyBxA

DCzByAx

Posiciones relativas de dos rectas:Secantes: Tienen en comn un punto.

Paralelos: No tienen ningn punto en comn y es posible situarlas en un mismo plano.Cruzadas: No tienen ningn punto en comn y no es posible situarlas en un mismo plano.Coincidentes: Tienen todos sus puntos en comn.Propiedades mtricas:ngulo que forman dos rectas secantes:

''' 00 tvxxtvxx +=+=

=

'

'arccos

vv

vv

Distancia entre rectas que se cruzan:

''' 00 tvxxstvxxr +=+=

'

)')('(),(

00

vv

vvxxsrd

=

ngulo que forman dos planos secantes:

=+++

=+++

0''''

0

DzCyBxA

DCzByAx

= '

'

arccos nn

nn

Angulo de recta y plano secantes:

+=

=+++

tvxx

DCzByAx

0

0

= '

arcsin nv

nv

Distancia de un punto a un plano:

=

=+++

),,(

0

0000 zyxx

DCzByAx

222

0000

),(

CBA

DzCyBxAxd

++

+++=

Distancia de un punto a una recta:

=

+=

),,(P

1111

0

zyxx

tvxxr

v

vxxrd

=

)(),P(

01

rea del paralelogramo:

vuA =

rea del triangulo:

vuA =21

Volumen del paraleleppedo:

),,det( wvuV =

Volumen del tetraedro:

),,det(61 wvuV =