CICLOIDE con Excel

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Prof. Javier González Cázares Telesecundaria Secretaría de Educación, México Septiembre 2013 CICLOIDE 1 "Se me ocurrió describir esa línea arqueada hace más de 50 años, la admiraba como una curva muy graciosa que debería ser apropiada para los arcos de un puente". Galileo Galilei La idea de encontrar la cuadratura 2 y curvatura del círculo, viene desde Arquímedes; El primero en interesarse por ella fue Nicolás de Cusa 3 cuando trataba de encontrar el área de un círculo por integración 4 , quien la creyó un medio mecánico para lograr la cuadratura del círculo; luego, pensadores como Kepler y Galilei, estudiaron en profundidad las propiedades de dicha curva. La cuadratura del círculo llevó al estudio de la hipotrocoide 5 : curva trazada por un punto P de un círculo que gira sin deslizamiento dentro de otro círculo fijo 6 . fig. Hipotrocoide Esta curva tiene dos propiedades básicas: tautócrona 7 y braquistócrona 8 . Para Galileo la tautócrona describía idóneamente la trayectoria de la punta de un péndulo en oscilación, cada oscilación en tiempos iguales e independientes de su amplitud, la necesidad de resolver matemáticamente este problema no fue por “calentura” intelectual, sino por una aplicación real y 1 Del griego, KuKAos significa circular y Ethos, forma; la más bella de las curvas, en literatura es considerada “La Helena de las curvas”, en recuerdo de la mujer de Menelao, de quien se decía que por ella “se lanzaron al mar un millar de barcos”. 2 Consistía en encontrar un cuadrado de igual área que un círculo, también en hallar un segmento de recta con la misma longitud que una circunferencia. 3 Algunos autores afirman que fue Charles Bouvelles. 4 Consideró el movimiento rotatorio como la única y más directa reflexión del ser es decir, del proceso de creación del universo mismoen el dominio visible de la forma y el movimiento. Esa correspondencia se demuestra, como posteriormente lo subrayó Cusa, por lo que se denomina la característica isoperimétrica o de acción mínima de la acción rotatoria. 5 Su nombre se deriva del sustantivo griego , ‘círculo, rueda’ junto con el sufijo , ‘semejante a’, al que se le ha antepuesto la preposición que significa ‘debajo de. 6 http://cimm.ucr.ac.cr/ciaem/articulos/historia/textos/La%20cicloide:%20un%20recorrido%20por%20sus%20propiedad es.*Hern%C3%A1ndez%20Abreu,%20Domingo.*Union_012_011.pdf 7 Significa mismo tiempo. Es la curva de más rápido descenso por gravedad 8 Del griego brachistos, el más breve, cronos, tiempo; el menor tiempo. Es decir, el período de una pelota que rueda hacia atrás y adelante dentro de esta curva no depende de la posición de salida la bola fig.1 Nicolás de Cusa

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Análisis de la Cicloide con Excel, matemáticas puras

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Prof. Javier González Cázares Telesecundaria Secretaría de Educación, México

Septiembre 2013

CICLOIDE1 "Se me ocurrió describir esa línea arqueada hace más de 50 años,

la admiraba como una curva muy graciosa que debería ser apropiada para los arcos de un puente".

Galileo Galilei

La idea de encontrar la cuadratura2 y curvatura del círculo, viene desde

Arquímedes; El primero en interesarse por ella fue Nicolás de Cusa3 cuando trataba

de encontrar el área de un círculo por integración4, quien la creyó un medio

mecánico para lograr la cuadratura del círculo; luego, pensadores como Kepler y

Galilei, estudiaron en profundidad las propiedades de dicha curva.

La cuadratura del círculo llevó al estudio de la hipotrocoide5: curva trazada por un

punto P de un círculo que gira sin deslizamiento dentro de otro círculo fijo6.

fig. Hipotrocoide

Esta curva tiene dos propiedades básicas: tautócrona7 y braquistócrona8. Para Galileo la

tautócrona describía idóneamente la trayectoria de la punta de un péndulo en oscilación, cada

oscilación en tiempos iguales e independientes de su amplitud, la necesidad de resolver

matemáticamente este problema no fue por “calentura” intelectual, sino por una aplicación real y

1 Del griego, KuKAos significa circular y Ethos, forma; la más bella de las curvas, en literatura es considerada “La Helena

de las curvas”, en recuerdo de la mujer de Menelao, de quien se decía que por ella “se lanzaron al mar un millar de barcos”. 2 Consistía en encontrar un cuadrado de igual área que un círculo, también en hallar un segmento de recta con la misma longitud que una circunferencia. 3 Algunos autores afirman que fue Charles Bouvelles. 4 Consideró el movimiento rotatorio como la única y más directa reflexión del ser –es decir, del proceso de creación del

universo mismo– en el dominio visible de la forma y el movimiento. Esa correspondencia se demuestra, como posteriormente lo subrayó Cusa, por lo que se denomina la característica isoperimétrica o de acción mínima de la acción rotatoria.

5 Su nombre se deriva del sustantivo griego , ‘círculo, rueda’ junto con el sufijo , ‘semejante

a’, al que se le ha antepuesto la preposición que significa ‘debajo de. 6http://cimm.ucr.ac.cr/ciaem/articulos/historia/textos/La%20cicloide:%20un%20recorrido%20por%20sus%20propiedad

es.*Hern%C3%A1ndez%20Abreu,%20Domingo.*Union_012_011.pdf 7 Significa mismo tiempo. Es la curva de más rápido descenso por gravedad

8 Del griego brachistos, el más breve, cronos, tiempo; el menor tiempo. Es decir, el período de una pelota que rueda

hacia atrás y adelante dentro de esta curva no depende de la posición de salida la bola

fig.1 Nicolás de Cusa

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práctica, fue por la mejora de la exactitud de los relojes aplicados en áreas como la astronomía,

mecánica y navegación. La braquistócrona nace de encontrar la catenaria9 ideal para aplicaciones,

además se aceleró su solución debido al reto que lanzó uno de los hermanos Bernoulli10 a grandes

matemáticos de su época, y tiene una característica muy curiosa, si deja caer una bola en una

tabla (recta) inclinada, y otra en una cicloide, llega más pronto la bola en la cicloide, este problema

en particular fue resuelto por los Hermanos Bernoulli11, dando nacimiento al “Cálculo de

variaciones”.

TAUTÓCRONA

Las fórmulas se deducen a partir de la figura siguiente, cabe decir que son semejantes a las

propuestas por Bernoulli, sólo que se considera un desplazamiento, en sentido a la derecha con

respecto al origen según se mueve en la hoja Excel:

Fig. tautócrona

En la figura:

X1 = C – x

Y1 = k – y

Por trigonometría elemental:

Seno θ =

9 Esta curva está relacionada con la fuerza de gravedad, debido a la forma de un hilo de densidad homogénea sostenido

por dos puntos y sometido a la fuerza de gravedad. 10

Johann Bernoulli. 11 Este gran reto histórico fue resuelto por cinco grandes: Hermanos Bernoulli, L´Hópital, Newton y Leibniz.

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Coseno θ =

Finalmente:

Donde C es la circunferencia desplazada, r el radio de la circunferencia.

h y k son el centro de la circunferencia.

Δh y Δk el centro desplazado.

X1 e y1 la posición desplazada.

Θ ángulo

En una nueva hoja Excel, escriba las siguientes fórmulas:

Vincule una Barra de desplazamiento en la celda B1, mínimo de 0, máximo de 313.

Un ángulo inicial de 0, en la celda B2. Ángulo final en celda B3, con la fórmula =B1/10 (para

visualizar el número de grados en la celda B4 escriba =GRADOS(B3).

El número de celdas en la celda B5, de 200.

Radianes recorridos en celda B6 =B3/B5.

En celda A9 escribe 0, luego en celda A10 escribe: =A9+$B$6, copie y pegue hasta A209. En celda

B9 escribe =GRADOS(A9), copie y pegue hasta B209.

La circunferencia tiene relación con la proyección k, por lo que la fórmula a aplicar es:

Donde L: circunferencia

r: radio

α: ángulo

2, π, 360°: constantes

En celda G2 escriba el valor de k. La circunferencia recorrida para cada ángulo, en celda C9, la

fórmula =2*PI()*$G$2*B9/360; copie y pegue hasta C209.

En celda G1 escribe =2*PI()*G2*B4/360, para ver la distancia total recorrida.

La proyección x, se calculará en la columna D a partir de la celda D9, con =C9-$G$2*SENO(A9),

copie y pegue hasta D209.

La proyección y, de igual manera, pero en celda E9 con =$G$2-$G$2*COS(A9), copie y pegue hasta

E209.

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Una visualización de los cálculos figura 4:

fig.4

Modifique para ser más atractiva su presentación, de manera sencilla, figura 5:

fig.5

La cicloide debe tener un camino que una dos puntos fijos A y B para que una partícula emplee un

tiempo mínimo en recorrerlo. El camino más corto es el segmento de la recta que pasa por los

puntos A y B, pero el tiempo no depende solo de la longitud del camino sino también de la

velocidad de la partícula.

Ejercicio: Considere el movimiento de traslación de una bicicleta, describa la trayectoria de la

llanta movida por la acción de una persona, desprecie algunos parámetros para visualizar este

movimiento, como:

Velocidad de traslación.

Velocidad de rotación.

Centro de masas.

Considere los siguientes:

Posición angular.

Radio de la rueda.

Flechas, estrella, cadena, cuadro.

Dibujo de la persona.

Una presentación sería la siguiente:

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fig. 6

Otra presentación más animada es con alguien al volante:

fig. 7

La aplicación de la cicloide va más allá: para diseñar una bicicleta el ingeniero considera que el

análisis estático y lineal, el diseño biomecánico de la bicicleta debe proporcionar cadencia al

pedaleo12, momento del tobillo, actividad muscular, fuerzas de resistencia y propulsivas. Todo esto

para que el ciclista tenga sesiones de entrenamiento particulares que mejoren su técnica además

de su salud. Otras aplicaciones de la curva son el diseño de puentes colgantes, líneas de

transmisión de alto voltaje, en engranajes con perfil cicloidal13, en aeronáutica, entre otras.

Un estudio vectorial de todas las componentes del sistema, invita a la reflexión de sus usos no sólo

didácticos, sino a usos prácticos en nuestra vida cotidiana.

12

Gutiérrez,M.; Biomecánica y ciclismo, Departamento de educación física y deportiva, Universidad de Granada, Revista Motricidad, 1994. 13 La lubricación de los dientes cicloidales es, pues, algo más eficaz que la de los dientes de evolvente, y esta propiedad es útil en las transmisiones por tornillo sin fin que transmiten cargas importantes.