Universidad del ValleProbabilidad y EstadísticaCinco problemas para ejercitarse en el cálculo de probabilidades

1) El el álbum que recogía las figuras de los futbolistas que participaron en el mundial de Brasil que muchos colombianos (cientos de miles tal vez) llenamos o intentamos llenar constaba de 11 cromos o figurillas por cada equipo (les recordamos a los no aficionados que al mundial del Brasil asistieron 32 equipos y que nuestra selección tuvo un papel destacadísimo) y 40 figuras de emblemas y escudos. Con un álbum como estos podemos realizar varios experimentos aleatorios.

i) El experimento aleatorio consiste en comprar con el álbum 10 figuras y anotar los jugadores o emblemas que salen en forma consecutiva. (Observe que el espacio muestran tiene 39210puntos. Calcule (dejarlo en forma de fracción simplificada, en lo posible) las probabilidades de los siguientes eventos:

A: “Todas las láminas son diferentes”B: “Sale el colombiano Cuadrado”C: “Sale al menos 1 lámina de la Selección”D: “La lámina 10 es la primera repetida”E: “Todas las láminas son de equipos diferentes”

ii) Un niño impaciente compra figurillas, hasta que sale la primera repetida. El experimento aleatorio consiste en anotar el número de figuras compradas. Describa el espacio muestral. Encuentre la probabilidad del siguiente evento: “El numero de compradas es mayor o igual a 30”

2) Recordemos un esquema combinatorio que se presentó en el curso (su autor es el educador y matemático G. Polya) que permite resolver varios problemas de combinatoria:

El número de trayectorias para ir de A a B utilizando pasos unitarios horizontales hacia la derecha y verticales hacia arriba es: (n+m ¿ ) ¿¿

¿¿

Justifique esta expresión

A partir de ese esquema calcule lo siguiente:a) el número de trayectorias para ir desde el punto (0,0) al punto (n,n)b) si n es par, calcule la probabilidad de que una de tales trayectorias escogida al azar pase por la mitad de la cuadrículac) Si un individuo sale de A hacia B y otro sale de B hacia A ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren?d) ¿Cuántas trayectorias son posibles si el tramo ((2,2) a (2,3) esta inutilizado?

e) Demostrar que:

(2n ¿ ) ¿¿

¿¿

A(0,0)

B(n,m)

3) En una urna se tienen 8 dispositivos en buen estado y 5 en mal estado. Los dispositivos cumplen funciones idénticas y 4 de ellos tomados al azar se insertan en un circuito de dos líneas en paralelo, cada una de las líneas con dos dispositivos en serie. ¿Cuál es la probabilidad de que el circuito funcione? Suponga que el circuito funciona ¿Cuál es ahora la probabilidad de que se hubiesen seleccionado todos los dispositivos en buen estado?

4) El principio de inclusión y exclusión

Hemos utilizado una propiedad de la suma de eventos; podemos escribir la versión probabilística así:

P (A∪B∪C )=P (A )+P (B )+P (C )−P ( AB )−P (AC )−P (BC )+P(ABC)

i) Encontrar una fórmula similar para calcular la probabilidad de la unión de n eventos

ii) Finalmente hacemos el Quiz; y barajamos todas las hojas de respuesta de los 40 estudiantes de este curso y entregamos al azar una hoja a cada estudiante. Calcule la probabilidad de que al menos un estudiante reciba su propio quiz. Sugerencia: Intente encontrar la probabilidad pedida con tres estudiantes (sea A1: ‘el estudiante 1 recibe su propio quiz); luego inténtelo con n estudiantes y encontrará una serie que converge. Este problema fue resuelto por De Moivre en 1713. Se llama el problema de las coincidencias

5) Se tienen tres urnas diferentes. El experimento aleatorio consiste en colocar al azar 5 balotas idénticas (indistinguibles); y colocar en una tripleta el número de balotas que cae en cada urna. Calcule la

probabilidad de los siguientes eventos:

A: “Todas las urnas contiene al menos una balota”B: “Solo una urna contiene una balota”

Suponga ahora que las balotas también son diferentes; por ejemplo son balotas marcadas con los números del 1 al 7. Calcule la probabilidad de los siguientes eventos:

C: “el numero 7 queda en la segunda urna”D: “los números 1 y 7 quedan en urnas distintas”

Cali, Septiembre de 2014