TEMA 2Cinemática

Cinemática

Mecánica y Cinemática. Definición de movimiento.

Elementos del movimientoEl móvil: partículaEl sistema de referencia

Movimientos absolutos y relativosLa trayectoria

Magnitudes fundamentales de la cinemática de la partículaVector de posiciónVector desplazamientoEspacio recorridoVelocidadAceleración

Componentes intrínsecas de la aceleraciónObtención de las ecuaciones del movimiento a partir de la aceleración

Casos particulares: algunos tipos de movimientoMovimiento rectilíneo uniforme y uniformemente aceleradoMovimiento circular uniforme y uniformemente acelerado

Composición de movimientosTiro parabólico

Cinemática

cinemático, ca. (Del gr. κiνημα, -ατος, movimiento).

1. adj. Perteneciente o relativo al movimiento.2. adj. Fís. Perteneciente o relativo a la

cinemática.3. f. Parte de la física que estudia el movimiento

prescindiendo de las fuerzas que lo producen.

Objetivo: describir matemáticamente el movimiento

Movimiento

¿Cómo sería un Universo sin movimiento?

Movimiento de un cuerpo:

¿Cómo se mueve?Trayectoria

Cinemática

Mecánica¿Porqué se mueve?

Causas

Dinámica

Movimiento de un cuerpo:Filósofos Griegos (Aristóteles)

Zenón (paradoja de Aquiles y la tortuga)

Concepto moderno de movimiento (siglos XVI-XVII)

la variación de la posición relativa de los cuerpos o de sus partes en el espacio respecto a un sistema de referencia a medida que transcurre el tiempo.

El móvil: partícula o punto material

La descripción del movimiento de un objeto requiere la descripción del movimiento de cada uno de sus puntos

Problema muy complejoConcepto de punto material

El sistema de referencia

¿Existe el movimiento absoluto?

Describir la posiciónDepende del sistema de

referencia elegidoMagnitud relativaRelatividad de Galileo

Trayectoria

El lugar geométrico de los puntos que recorre un móvil

Tipos de trayectoria

RectilíneaCircular

Radio de curvatura

¿otras?

Vector de posición, rDescribir la posición:

Depende del sistema de referencia elegidoMagnitud relativaMediante el vector de posición del punto

La trayectoria es la línea que describen los extremos de los vectores de posición a lo largo del tiempo. Conociendo la función r(t), conocemos la trayectoria.

Ecuación de la trayectoria

Forma vectorial

Forma paramétrica

Forma implícita f(x, y) para trayectorias planas

Vector desplazamiento

Vector desplazamiento

No confundir el vector desplazamiento o su módulo con el espacio o distancia recorrida

http://www.educaplus.org/movi/2_4distancia.html

Velocidad

Idea intuitiva: Cambio de la posición. Derivada de una función.

Velocidad media frente a velocidad instantánea

Cómo afecta a la descripción de la velocidad que el sistema de referencia se mueva

http://www.educaplus.org/movi/2_8movrelativo.html

Velocidad

Velocidad media

Velocidad instantánea

DERIVADASDirección tangente a la trayectoria

http://www.ies.co.jp/math/java/calc/doukan/doukan.html

Aceleración

Idea intuitivaCambio de la velocidad

Aceleración media frente a aceleración instantánea

Como afecta a la descripción de la aceleración que el sistema de referencia se mueva

Sistemas de referencia inerciales y no inercialesEn sistemas de referencia inerciales (SRI), la aceleración no depende del sistema de referencia elegido

AceleraciónAceleración media

Aceleración instantánea

– Su dirección no tiene porqué coincidir con ninguna dirección importante del problema

– Su sentido no tiene porqué coincidir con el del movimientohttp://www.educaplus.org/movi/2_6aceleracion.html

Coordenadas cartesianas

Unidades SI: m/s2

[a]=LT-2

Unidades SI: m[r]=L

Unidades SI: m/s[v]=LT-1

Sistema de referencia intrínseco

Origen: en la partícula, se mueve con ellaVectores unitarios:

τ : vector tangente a la trayectoria(en el sentido del movimiento)

n : vector normal a la trayectoria (hacia el centro del círculo osculador)

¿Coordenadas intrínsecas de la velocidad?

Coordenadas intrínsecas de la aceleración

naaaaa

nt

ntrr

rrr

+=+=

τ

Cálculo de las coordenadas intrínsecas de la aceleración

Aceleración tangencial:

Aceleración normal:

dtvd

at

r=

ρ

2van =

Significado de las coordenadas intrínsecas de la aceleración

Aceleración tangencial:nos indica la variación del módulo de la velocidad

Aceleración normal:nos da cuenta de la variación de la dirección de la velocidad

Clasificación de distintos movimientos a partir de la aceleración.

Paso de coordenadas intrínsecas a cartesianas

Aceleración tangencial

Aceleración normal

vv

vvaat r

r

r

rrr

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=

nt aaa rrr −=

Obtención de la trayectoria a partir de la aceleración

INTEGRALESObtención de la velocidad:

Vector de posición:

Casos Particulares: Movimiento rectilíneo

Aquel cuya trayectoria es una línea rectaVector desplazamiento y velocidad paralelos a la

trayectoria (al vector tangencial)

Aceleración normal es nula

Usamos un sistema de referencia con un eje que coincida con la dirección de la trayectoria

0=nar

{ } τrrrr avr ,,Δ

Movimiento rectilíneo uniforme

Aquel movimiento rectilíneo cuya aceleración es ceroVector desplazamiento y velocidad paralelos a la

trayectoria (al vector tangencial)

Eligiendo un sistema de referencia adecuado:

Ecuación de una rectahttp://www.profisica.cl/animaciones/graficomur.swf

http://www.profisica.cl/animaciones/3mur2profisica.swf

tvrr

ctevva

00

00

rrr

rrr

+=

==⇒=

tvxx 00 += ¡¡¡¡¡¡¡¡OJO CON LOS SIGNOS!!!!!

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Aquel movimiento rectilíneo cuya aceleración es constante

Vector desplazamiento, velocidad y aceleración paralelos a la trayectoria (al vector tangencial)

http://www.profisica.cl/animaciones/muag2profisica2dic05.swfhttp://www.walter-fendt.de/ph14s/acceleration_s.htm

2000

00

0

21 tatvrr

tavv

aa

rrrr

rrr

rr

++=

+=

=

Movimiento circular: magnitudes angularesAquel cuya trayectoria es una circunferencia

Radio de curvatura constante

MagnitudesVelocidad angular media

Velocidad angular (instantánea)tΔ

Δ= φω

ndtd rr φω =

Unidades SI: rad/s[v]=T-1

Movimiento circular

MagnitudesAceleración angular media

Aceleración angular (instantánea)tΔ

Δ= ωα

dtdωαr

r =

Unidades SI: rad/s2

[v]=T-2

Relación entre magnitudes angulares y lineales

rv rrr ×= ω

2ρωρα

=

=

n

t

aa

vara

n

trrr

rrr

×=×=

ωα

Movimiento circular uniforme

Aquel movimiento circular cuya aceleración angular es cero

Magnitudes:Periodo (T)Frecuencia (ν)

Ángulo barrido:

http://www.profisica.cl/animaciones/movcircunferencial.swf

ctevaa

n

t

=×==

rrr

r

ω0

tωφφ += 0

Movimiento circular uniformemente aceleradoAquel movimiento circular cuya aceleración angular es

constante

Ecuaciones:

http://www.profisica.cl/animaciones/muac_antihor2006.swf

ctevactera

n

t

≠×==×=rrr

rrr

ωα

200

0

21 tt

t

αωφφ

αωω

++=

+=

Movimiento relativo; Cambio de sistemas de referencia

La posición y la velocidad son magnitudes relativas, dependen del sistema de referencia en el que se describen.

http://www.educaplus.org/movi/2_8movrelativo.html

¿Cómo variará la ecuación de la trayectoria si la describimos desde un sistema de referencia O’ que se mueve respecto de uno fijo O?

Cambio de sistemas de referencia

Para conocer la ecuación de la trayectoria respecto a O’ necesitamos:

La ecuación de movimiento respecto a OLa ecuación de movimiento de O’ respecto a O

Movimiento relativo: Cambio de sistema de referencia

Principio de equivalencia de GalileoSi O es un sistema de referencia inercial,y a0’ = 0 :

“no somos capaces de distinguir si un fenómeno físico está ocurriendo en un sistema de referencia en reposo o que se mueve a velocidad constante”

Transformaciones de Galileo:

Descomposición de movimientos

Principio de superposición de movimientos

Descomposición de movimientos

Principio de superposición de movimientos

Descomposición de movimientos

Principio de superposición de movimientos

“Un movimiento complejo puede estudiarse analizando sus componentes (movimientos independientes) por separado aunque actúen de forma simultanea”

Descomposición de movimientos

Resolución de problemas concretosUso de un sistema de referencia (p.e. cartesiano)

Descomposición de los vectores según sus componentes

Problemas escalares (según las direcciones de los ejes) independientes

kajaiata

kvjvivtvkzjyixtr

zyx

zyxrrrr

rrrr

rrrr

++=

++=++=

)(

)()(

),,(:

),,(:

),,(:

zz

yy

xx

avzzEjeavyyEjeavxxEje

Descomposición de movimientosEjemplo concreto: tiro parabólico

http://www.walter-fendt.de/ph14s/projectile_s.htmhttp://www.profisica.cl/animaciones/parabola2profisica.swf

Descomposición de movimientosEjemplo concreto: tiro parabólico

Datos:

Ecuaciones:

000 ,, avr rrr

200

00

0

0

21sin

cos

sincos

gttvyy

tvxx

gtvvvv

y

x

−+=

+=

−==

θ

θ

θθ

Tiro horizontal