Instituto Tecnolgico Superior de Coatzacoalcos

Ingeniera Petrolera

Nombre del Alumno: _Flores_____________Gonzlez______Kevin Antonio__ Apellido Paterno Apellido Materno Nombre(s)

Trabajo de Investigacin

Asignatura

Nombre de la Asignatura: _____Dinmica____Periodo: ____Enero-Junio 2005__________

No. Control:14080137Semestre:3Grupo: C

Nombre del Docente:Ramos Colorado El Bernardino

Apellido Paterno Apellido Materno Nombre(s)

Coatzacoalcos, Ver.

Introduccin

Dado que un cuerpo rgido es un conjunto de puntos materiales, podremos utilizar las relaciones desarrolladas en el captulo anterior para el movimiento de un sistema de puntos materiales.En este captulo se aplicar muchas veces la ecuacin:

Ecuacin que relaciona la resultante R de las fuerzas aplicadas exteriormente con la aceleracin aG del centro de masa G del sistema.En el caso ms general en que la resultante del sistema de fuerzas exteriores consista en una fuerza resultante R que pase por el cdm G ms un par de momento C, el cuerpo experimentar Rotacin y Traslacin.Las leyes de Newton slo son aplicables al movimiento de un punto material (traslacin), no siendo adecuadas para describir el movimiento de un cuerpo rgido que puede ser de traslacin ms rotacin; as pues, se necesitarn ecuaciones adicionales para relacionar los momentos de las fuerzas exteriores con el movimiento angular del cuerpo.

5.1 Ecuaciones del movimiento plano

A continuacin se van a extender las leyes de Newton para poder cubrir el movimiento plano de un cuerpo rgido, proporcionando as ecuaciones que relacionen el movimiento acelerado lineal y angular del cuerpo con las fuerzas y momentos que lo originan.Dichas ecuaciones pueden utilizarse para determinar: 1.- Las aceleraciones instantneas ocasionadas por fuerzas y momentos conocidos, o 2.- Las fuerzas y momentos que se necesitan para originar un movimiento prefijado.En el captulo anterior se desarroll el principio del movimiento del centro de masa de un sistema de puntos materiales. Como un cuerpo rgido se puede considerar como un conjunto de puntos materiales que mantienen invariables sus distancias mutuas, el movimiento del CDM G de un cuerpo rgido vendr dado por la ecuacin:Escalarmente:La ecuacin anterior se obtuvo simplemente sumando fuerzas, con lo que no se tiene informacin de la situacin de su recta soporte.El movimiento real de la mayora de los cuerpos rgidos consiste en la superposicin de la traslacin originada por la resultante R y la rotacin debida al momento de esa fuerza cuando su recta soporte no pasa por el cdm G del cuerpo.ANALISIS DE LA ROTACIN:Consideremos un cuerpo rgido de forma arbitraria como el de la figura. El sistema de coordenadas XYZ est fijo en el espacio. El sistema de coordenadas xyz es solidario al cuerpo en el punto A. El desplazamiento de un elemento de masa dm respecto al punto A viene dado por el vector y respecto al origen O del sistema de coordenadas XYZ viene dado por el vector R. El desplazamiento del punto A respecto al origen O del sistema XYZ lo da el vector r. Las resultantes de las fuerzas exteriores e interiores que se ejercen sobre el elemento de masa dm son F y f, respectivamente. As, el momento respecto al punto A de las fuerzas F y f es: Segn la 2 ley de Newton:

As:

La aceleracin adm de un cuerpo rgido en movimiento plano puede escribirse:

Sustituyendo e integrando, tenemos:

5.2 Momento angular de un cuerpo rgido en el plano.

5.3 Movimiento de un cuerpo rgido

El movimiento plano de un cuerpo rgido es un movimiento en el cual todos los elementos del cuerpo se mueven en planos paralelos, llamando plano del movimiento a un plano paralelo que contiene el cdm G.Segn la figura, los vectores velocidad angular y aceleracin angular sern paralelos entre s y perpendiculares al plano de movimiento.Si tomamos el sistema de coordenadas xyz de manera que el movimiento sea paralelo al plano xy, tendremos que:

Las integrales que aparecen en el desarrollo anterior son:Momentos primeros

Productos de InerciaMomento de InerciaComo ya que se trata de un movimiento plano en el plano xy que pasa por el cdm G (y por el punto A) tenemos: Este sistema de ecuaciones relaciona los momentos de las fuerzas exteriores que se ejercen sobre el cuerpo rgido con las velocidades angulares y las propiedades inerciales del cuerpo.Los momentos de las fuerzas y los momentos y productos de inercia lo son respecto a los ejes xyz que pasan por el punto A y estn fijos en el cuerpo. Si no estuvieran fijos en el cuerpo, los momentos y productos de inercia seran funciones del tiempo.Las ecuaciones muestran que pueden ser necesarios los momentos MAx y MAy para mantener el movimiento plano en torno al eje z.En la mayora de los problemas de Dinmica referentes al movimiento plano, se pueden simplificar las ecuaciones anteriores.

5.3.1 Principio de DAlembert

El principio de D Alembert enunciado por Jean D Alembert en su obra maestra Tratado de dinmica de 1743, establece que la suma de las fuerzas externas que actan sobre un cuerpo y las denominadas fuerzas de inercia forman un sistema de fuerzas en equilibrio. A este equilibrio se le denomina equilibrio dinmico.El principio de d'Alembert establece que para todas las fuerzas externas a un sistema: Donde la suma se extiende sobre todas las partculas del sistema, siendo: Momento de la partcula i-sima. Fuerza externa sobre la partcula i-sima. Cualquier campo vectorial de desplazamientos virtuales sobre el conjunto de partculas que sea compatible con los enlaces y restricciones de movimiento existentes.El principio de d'Alembert es realmente una generalizacin de la segunda ley de Newton en una forma aplicable a sistemas con ligaduras, ya que incorpora el hecho de que las fuerzas de ligadura no realizan trabajo en un movimiento compatible. Por otra parte el principio equivale a las ecuaciones de Euler-Lagrange. Lagrange us este principio bajo el nombre de principio de velocidades generalizadas, para encontrar sus ecuaciones, en la memoria sobre las libraciones de la Luna de 1764, abandonando desde entonces el principio de accin y basando todo su trabajo en el principio de D'Alembert durante el resto de su vida y de manera especial en su Mcanique Analytique. Tal cambio de actitud pudo estar influido por dos razones: En primer lugar, el principio de accin estacionaria est ligado a la existencia de una funcin potencial, cuya existencia no requiere en el principio de d'Alembert. En segundo lugar, el principio de accin se presta a interpretaciones filosficas y teleolgicas que no le gustaban a Lagrange.Finalmente debe sealarse que el principio de d Alembert es peculiarmente til en la mecnica de slidos donde puede usarse para plantear las ecuaciones de movimiento y clculo de reacciones usando un campo de desplazamientos virtuales que sea diferenciable. En ese caso el clculo mediante el principio de D Alembert, que tambin se llama en ese contexto principio de los trabajos virtuales es ventajoso sobre el enfoque ms simple de la mecnica newtoniana.El principio de D'Alembert formalmente puede derivarse de las leyes de Newton cuando las fuerzas que intervienen no dependen de la velocidad. La derivacin resulta de hecho trivial si se considera un sistema de partculas tal que sobre la partcula i-sima acta una fuerza externa ms una fuerza de ligadura, entonces la mecnica newtoniana asegura que la variacin de momentum viene dada por: Si el sistema est formado por N partculas se tendrn N ecuaciones vectoriales de la forma si se multiplica cada una de estas ecuaciones por un desplazamiento arbitrario compatible con las restricciones de movimiento existentes:

Donde el segundo trmino se anula, precisamente por escogerse el sistema de desplazamientos arbitrario de modo compatible, donde matemticamente compatible implica que el segundo trmino es un producto escalar nulo.Finalmente sumando las N ecuaciones anteriores se sigue exactamente el principio de D'Alembert.Ecuaciones de Euler-LagrangeEl principio de d'Alembert en el caso de existir ligaduras no triviales lleva a las ecuaciones de Euler-Lagrange, si se usa conjunto de coordenadas generalizadas independientes que implcitamente incorporen dichas ligaduras.Consideremos un sistema de N partculas en el que existan m ligaduras:

Por el teorema de la Funcin Implcita existirn n = 3N-m coordenadas generalizadas y N funciones vectoriales tales que:

El principio de d'Alembert en las nuevas coordenadas se expresar simplemente como: Sistemas en movimiento aceleradoOtra consecuencia del principio de D'Alembert es que conocidas las aceleraciones de un cuerpo rgido las fuerzas que actan sobre el mismo se pueden obtener mediante las ecuaciones de la esttica. Dicho de otra manera, si se conocen todas las aceleraciones un problema dinmico puede reducirse a un problema esttico de determinacin de fuerzas. Para ver esto necesitamos definir las fuerzas de inercia dadas por:

Donde: es la aceleracin conocida de un punto del slido. es la velocidad angular conocida del slido. son respectivamente la masa y el momento de inercia del slido con respecto a un sistema de ejes que pase por el punto c.En estas condiciones las ecuaciones del movimiento pueden escribirse como un problema de esttica donde existe una fuerza adicional y un momento adicional:

5.3.2 Traslacin, Rotacin y movimiento plano cualquiera de un cuerpo rgido

Los problemas de movimiento plano se pueden clasificar, segn su naturaleza, en:1.- Traslacin.2.- Rotacin en torno a un eje fijo.3.- Movimiento plano cualquiera.Los dos primeros son casos particulares del Movimiento plano cualquiera.Para un cuerpo de forma arbitraria, las ecuaciones de Movimiento plano cualquiera desarrolladas anteriormente vienen dadas por las ecuaciones en la forma:

TraslacinUn cuerpo rgido lleva movimiento de Traslacin cuando todo segmento rectilneo del cuerpo se mantenga paralelo a su posicin inicial a lo largo del movimiento. Durante la Traslacin, no hay movimiento angular ( = = 0); por tanto, todas las partes del cuerpo tienen la misma aceleracin lineal a.La Traslacin slo puede tener lugar cuando la recta soporte de la resultante de las fuerzas exteriores que se ejercen sobre el cuerpo pase por su cdm G.En el caso de Traslacin, con el origen del sistema de coordenadas xyz en el cdm G del cuerpo , las ecuaciones para un movimiento plano cualquiera se reducen a:

Rotacin en torno a un eje fijoEste tipo de movimiento plano se produce cuando todos los elementos de un cuerpo describen trayectorias circulares alrededor de un eje fijo.La figura representa un cuerpo rgido simtrico respecto al plano de movimiento y que gira en torno a un eje fijo que pasa por el cdm G del cuerpo

En este caso aG = 0; por tanto, las ecuaciones para un movimiento plano cualquiera se reducen a

Movimiento plano cualquieraEn la figura, donde un mbolo est conectado a un volante mediante una biela AB, se ilustran tres formas de movimiento plano:1.- Rotacin del volante en torno a un eje fijo.2.- Traslacin rectilnea del mbolo3.- Movimiento plano cualquiera de la biela ABCuando el volante gira un ngulo , el pasador A recorre una distancia sA = R a lo largo de un camino circular. El movimiento del pasador B se puede considerar que es una superposicin de los desplazamientos resultantes de una traslacin curvilnea de la biela y de una rotacin de la biela en torno al pasador A. Como resultado de estos dos desplazamientos, el pasador B recorre una distancia sB a lo largo de un camino horizontal.As pues, el movimiento plano de la biela AB es la superposicin de una traslacin y una rotacin en torno a un eje fijo.

5.4 Trabajo y energa

Energa.- Medida cuantitativa del movimiento en todas sus formas.Trabajo.- Medida cuantitativa de la transferencia de movimiento ordenado de un cuerpo a otro mediante la accin de una fuerza.

5.4.1 Trabajo de una fuerza

El trabajo realizado por una Fuerza constante. Es igual al producto de la componente de la fuerza a lo largo de la direccion del desplazamiento por el desplazamientoEl trabajo realizado por una Fuerza constante, es igual al producto escalar del vector fuerza por el desplazamientoEn toda grafica:Fuerza Vs Desplazamiento El rea bajo la curva nos da el trabajo realizado por la fuerza paralela al desplazamientoEl trabajo efectuado por F cuando el cuerpo se mueve a travs de la curva C esta dada por la expresin: W = F.dr = (Fx dx +Fydy + Fzdz) donde:Fx, Fy, Fz: componentes de FY adems la curva C est definida a travs de: y =f(x), z =f(x)Esta es la llamada integral de lneaEl trabajo es una magnitud aditiva

5.4.2 Energa cintica

Se define la energa cintica como :K= mV2/2Como la energa asociada al Movimiento mecnico de un cuerpo, luego:El trabajo efectuado por la fuerza resultante o el trabajo total es igual al cambio en la energa cintica de la particula.

5.4.3 Principio de la conservacin de la energa

La ley de la conservacin de la energa afirma que la energa no puede crearse ni destruirse, slo se puede cambiar de una forma a otra, por ejemplo, cuando la energa elctrica se transforma en energa calorfica en uncalefactor.

5.4.4 Potencia

Enfsica,potencia(smboloP)1es la cantidad detrabajoefectuado por unidad detiempo.Potencia media

Si Wes la cantidad detrabajorealizado durante un intervalo detiempode duracin t, lapotencia mediadurante ese intervalo est dada por la relacin:

Potencia instantnea

Lapotencia instantneaes el valor lmite de la potencia media cuando el intervalo de tiempo tse aproxima a cero.

DondePes la potencia,Wes eltrabajo,tes eltiempo.

5.4.5 Principio del impulso y de la cantidad de movimiento

Es unamagnitud vectorial, que enmecnica clsicase define como el producto de lamasadel cuerpo y su velocidaden un instante determinado. La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservacin, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todosistema cerrado no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo.Mecnica newtoniana

Histricamente el concepto de cantidad de movimiento surgi en el contexto de lamecnica newtoniana

Cantidad de movimiento de un medio continuoSi estamos interesados en averiguar la cantidad de movimiento de, por ejemplo, un fluido que se mueve segn uncampo de velocidadeses necesario sumar la cantidad de movimiento de cada partcula del fluido, es decir, de cadadiferencial de masao elemento infinitesimal:

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