Cinematica de Un Punto Material - VAC 2016
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CINEMATICA DE UN PUNTO MATERIAL
M.Sc. NORBIL TEJADA CAMPOS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
CICLO ACADEMICO VACACIONAL 2016
-
CINEMATICA DE UN PUNTO MATERIAL
CINEMATICA:
0. INTRODUCCION:
Estudia el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo
producen, tambin se puede considerar como la Geometra del
movimiento.
La cinemtica describe como varia la velocidad y aceleracin de un
cuerpo con el tiempo y con sus cambios de posicin.
El movimiento de una partcula es entendido como el cambio deposicin de la partcula a medida que transcurre el tiempo, el cualdebe estar referido a un sistema de referencia, lo que permitir
definir su posicin en cualquier instante.
MOVIMIENTO:
-
MOVIMIENTO:
x
y
z
0
S
Po
P
x
y
z
0
S
Po
P
x
y
z
0
P
r
x
y
z
0
P
r
x
y
z
0
P(x,y,z)
x
z
y
x
y
z
0
P(x,y,z)
x
z
y
1 Por medio de una Ecuacin Horaria: 2 Por medio de un Vector Posicin:
3 Por medio de sus Coordenadas Rectangulares:
S = f (t) )(tfr
x = x (t)
y = y (t)
z = z (t)
-
1. POSICION, VELOCIDAD y ACELERACION
r
a. Posicin ( ) y desplazamiento ( )
Fig 01. Trayectoria que sigue una partcula
La partcula, en cierto instante, se hallar
en la posicin P, definida por:
kzjyixrP
rd
PQ rrrd
La diferencia de posicin de la partcula en dos
instantes recibe el nombre de desplazamiento
de dicha partcula, la cual se halla en P en el
instante t y en Q en el instante t + t, eldesplazamiento viene dado por:
rd
OQr /
OPr /
-
1. POSICION, VELOCIDAD y ACELERACION
v
b. velocidad ( ) y aceleracin ( )
La velocidad de una partcula es, por
definicin, la variacin de posicin por unidad
de tiempo:
rdt
rdv
a
La aceleracin de una partcula es, por
definicin, la variacin por unidad de tiempo de
la velocidad.
kvjvivv zyx
kzjyixv
La direccin de la velocidad es la tangente a la trayectoria y el sentido es el del desplazamiento.
El modulo de la velocidad recibe el nombre de celeridad.
vdt
vda
kajaiaa zyx
kzjyixa
-
a. Posicin y desplazamiento
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
-
b. Velocidad media ( ):v
Dt
P(x,t)
P(x+Dx , t+Dt)
Dx
x
t
X
tO
q
of
of
tt
xx
t
xv
D
D tang
x
tq
D
D
Matemticamente: Grficamente:
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
-
c. Velocidad instantnea ( ):v
D t
P
P
Dx
x
t
X
tO
q
P
P
Matemticamente:
x x v dtot
t
o
. )(tvv ;
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
t
xvv
tm
t D
D
DD 00limlim
dt
dxv
Tenemos:
-
d. Aceleracin media : aa
v
t
v v
t t
f o
f o
D
D
e. Aceleracin instantnea : a
dt
dv
t
vaa
tt
D
D
DD 00limlim
v v a dtot
t
o
. a a t ( );
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Tenemos:
-
2.1. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (MRU):
Ejemplo 01.-
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
-
2.2. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA):
x
0 t
x v t ato 1
2
2
to = 0
v
0 t
v = vo + a t
vo
to = 0
a = constante
a
0 t
Ejemplo 02.-
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
-
Ejemplo 03.- En la figura, se muestra las coordenadas de un insecto que
camina horizontalmente (en una dimensin, sobre el eje x). Segn dicha
informacin, a) graficar su velocidad y aceleracin en funcin del tiempo;
b) hacer un estudio del movimiento.
2.3. MOVIMIENTO RECTILINEO VARIADO (MRV):
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
-
Ejemplo 04.- En el grfico adjunto, se muestra como vara la velocidad en funcin
del tiempo de un cuerpo que se mueve en lnea recta (eje +X). Si en el instante t = 0
s, el mvil se encuentra en xo = 10 m; se pide: a) determine la posicin en t = 5 s,
b) realizar los grficos de x-t y a-t, para el movimiento del cuerpo.
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
-
Ejemplo 05.- En el grfico, se muestra la dependencia de la aceleracin en funcin
del tiempo para una partcula que se mueve en lnea recta. Se pide: a) analizar el
tipo de movimiento en los diferentes intervalos de tiempo, b) determinar la
posicin y velocidad que alcance dicha partcula a los 50 segundos despus de
haber iniciado del reposo.
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
-
Ejemplo 06.- Un mvil se mueve en lnea recta con una velocidad cuyo cuadrado
decrece linealmente con el desplazamiento entre los puntos A y B que distan 30 m
entre s. Determine el desplazamiento x del mvil durante los 2 s que preceden
la llegada a B.
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
-
Ejemplo 07.- En la figura, el rodil B se mueve con aceleracin constante.
Si para t0 = 0 s, x = 0 m y vx = 0 m/s. Determinar la aceleracin del rodil A,
cuando el B est a 3 m del origen y la aceleracin de B es de 6 m/s2.
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones
-
A
v
Dr
X
0 Y
X
Z
A/
s
Ds
r / r
t
t/
kzjyixtrr
)(
Posicin:
kzjyixtrr
''')(''
Velocidad Media mv
Velocidad:
t
rvm
D
D
vx
ti
y
tj
z
tk
D
D
D
D
D
D
Velocidad Instantnea v
t
rvv
tm
t D
D
DD
00limlim
rdt
rdv
kzjyixkdt
dzj
dt
dyi
dt
dxv
Dr
v /v //
v ///
A
A
A
Av
T
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3.1. Coordenadas Rectangulares:
-
PQ
z
0
x
y
Pr
Qr
Pv
Pv
Qv
Qv
v
DPa
Qa
curva
FIGURA.- Variacin de la velocidad a lo largo de la trayectoria en
el movimiento curvilneo
P
Q
z
0
x
y
Pr
Qr
Pv
Pv
Qv
Qv
v
DPa
Qa
curva
P
Q
z
0
x
y
Pr
Qr
Pv
Pv
Qv
Qv
v
DPa
Qa
curva
FIGURA.- Variacin de la velocidad a lo largo de la trayectoria en
el movimiento curvilneo
ma
Aceleracin Media
Aceleracin:
t
vam
D
D
kt
vj
t
vi
t
va z
yx
m
D
D
D
D
D
D
Aceleracin Instantnea a
t
vaa
tm
t D
D
DD
00limlim
rdt
vda
kzjyixkdt
dvj
dt
dvi
dt
dv
dt
vda z
yx
3.1. Coordenadas Rectangulares:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
-
3.1. Coordenadas Rectangulares.- Aplicaciones
Ejemplo 08.- Una partcula se mueve en el plano OXY; un observador
colocado en O sabe que las ecuaciones paramtricas de la trayectoria
escritas en el SI son: x = 2 + t, y = 2 + 3t + 2t 2. a) Determinar la forma
explcita de la trayectoria, b) La expresin del vector de posicin, velocidad y
aceleracin, c) Las condiciones iniciales del movimiento, d) Los valores del
vector de posicin y velocidad para t = 2 s. e) Distancia de la partcula al
observador en t = 2 s, f) El vector desplazamiento y el vector velocidad media
entre t = 2 s y t = 5 s.
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
-
3.1. Coordenadas Rectangulares.- Aplicaciones
Ejemplo 09.- Una partcula se mueve respecto a un sistema referencial
XYZ, llevando aceleraciones de (3t2, 6t, 0) pies/s2. Si inicialmente
est en la posicin (5,1,0) pies, con velocidad de (3,-2,0) pies/s,
respectivamente. Determinar, para t = 3 s, la posicin y la velocidad
de dicha partcula.
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
-
3.2. Aceleracin en Coordenadas Intrinsecas: Tangencial y Normal:
NT aaa
dt
udvu
dt
dv
dt
uvd
dt
vda TT
T
NT uv
udt
dva
2
dt
dvaT
2vaN
22
NT aaa
Mdulos:
2/3
2
2
2
1
dx
yd
dx
dy
rr
r
3
Radio de Curvatura:
PO
z
0
x
y
TaP
Na
a
S
o
Tangente
Normal
curv
a
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
-
Ejemplo N 10.- Se lanza un cuerpo horizontalmente con una velocidad inicial de
20 m/s en el campo gravitatorio terrestre. Determinar el radio de curvatura de su
trayectoria a los 2 segundos despus de ser lanzado dicho objeto.
3.2. Aceleracin en Coordenadas Tangencial y Normal: Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
-
3.2. Aceleracin en Coordenadas Tangencial y Normal: Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Ejemplo N 10.-
-
Ejemplo N 11.- Una caja se desliza por una gua que tiene forma de hiprbola.
Cuando la caja llega al punto x = 5 m, lleva una celeridad de 5 m/s que disminuye a
razn de 0,5 m/s2. Determine la aceleracin y el radio de curvatura en dicha
posicin.
3.2. Aceleracin en Coordenadas Tangencial y Normal: Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
-
3.2. Aceleracin en Coordenadas Tangencial y Normal: Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Ejemplo N 12.- Una partcula se mueve en el plano xy y sus coordenadas estn
dadas por , . Encuentre: a) la ecuacin de la
trayectoria en la que se mueve la partcula su desplazamiento y graficarlo, b) para
cuando 0,25 segundos, la posicin, velocidad, la aceleracin y el radio de curvatura.
(Suponga que las distancias se miden en metros, el tiempo en segundos, y que la
cantidad angular 3t est expresada en radianes).
ttx cos2 tsenty
-
3.2. Aceleracin en Coordenadas Tangencial y Normal: Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Ejemplo N 12.-
-
Ejemplo N 13.- Un tobogn viaja por una curva que puede ser
aproximadamente la parbola y = 0,01x2. Determine la magnitud de su
aceleracin cuando llega al punto A, donde su rapidez es vA = 10 m/s y est
incrementndose a razn de ./3 2smvA
3.2. Aceleracin en Coordenadas Tangencial y Normal: Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
-
3.3. Coordenadas Polares:
0 x
y
q
ru
Eje Radial
(+)
curva
x
y
Eje Transversal
(+)
qu
P q
r
-x
-y
0 x
y
q
ru
Eje Radial
(+)
curva
x
y
Eje Transversal
(+)
qu
P q
r
-x
-y
jseniur
qq cos
jisenu
)(cos)( qqq
dt
udru
dt
drur
dt
d
dt
rdv rrr
q
qu
dt
dru
dt
drv r
qq ururv r
qqururdt
d
dt
vda r
qqqq urrurra r
22
Aceleracin:
Velocidad:
Vectores unitarios:
Posicin:
rurr
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
-
Ejemplo N 14.- El tubo doblado que lleva agua, de seccin transversal uniforme,
gira alrededor del eje vertical AB con velocidad angular constante .
Si la velocidad del agua en la porcin AB del tubo es 400 mm/s (constante),
determine la magnitud de la velocidad y aceleracin de una partcula de agua
inmediatamente antes que salga del tubo en el extremo C.
3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
min/140revq
-
Ejemplo N 15.- El movimiento curvilneo plano de una partcula est definido
en coordenadas polares por y
donde r esta dado en cm, est en radianes y t en segundo. En el instante en
que t = 2 s; determinar las magnitudes de la velocidad, aceleracin y el radio
de curvatura de la trayectoria.
ttr 5833.0 3 23.0 tq
3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
-
Ejemplo N 16.- La rotacin de la barra OA se define por ,
donde t se expresa en segundos. El collarn B se desliza a lo largo de la barra
de manera tal que su distancia desde O es . Para t = 1 s,
determine: a) su velocidad, b) su aceleracin total y c) su aceleracin relativa a
la barra.
3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
radtt 2342
1 q
mttr 32 9,025,1
-
Ejemplo N 17.- La barra ranurada se encuentra fija en O y, como
resultado de la velocidad angular constante , conduce a la
partcula P por una breve distancia sobre la gua espiral r = 0,4q (m),
donde q se expresa en radianes. Determine la velocidad y aceleracin de
la partcula en el instante en que abandona la ranura en la barra, es decir,
r = 0,5 m.
srad /3q
3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
-
Ejemplo N 18.- El perno P se desliza en las ranuras del brazo giratorio
OA y de la barra circular fija BC. Si OA gira con velocidad angular
constante encuentre la velocidad de P cuando .
3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
srad /2q 60q
.
-
0x
y
q
Ru
Trayectoria
qu
P
r
z
Y
X
Z
R
Zu
0
x
y
q
Ru
Trayectoria
qu
P
r
z
Y
X
Z
R
Zu
ZR uZuRr
jseniuR
)()(cos qq
ZR uZuRdt
d
dt
rdv
ZR uZuRuRv qq
ZR uZuRuRdt
d
dt
vda
qq
ZR uZuRRuRRa qqqq 2
2
Velocidad:
Aceleracn:
Posicin:
Donde:
3.4. Coordenadas Cilndricas:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
-
Ejemplo N 19.- La rampa de un aparcamiento tiene forma de hlice :
que baja 6 m en cada revolucin completa.
Para un automvil que baja por dicha rampa con velocidad constante,
se pide:
a. Determinar su velocidad y su aceleracin cuando = 0b. Determinar su velocidad y su aceleracin cuando = 90c. Demostrar que velocidad y aceleracin son perpendiculares cuando
= 90
msenr qq 315)(
srad /3,0q
3.4. Coordenadas Cilndricas.- Aplicaciones:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
-
3.4. Coordenadas Cilndricas.- Aplicaciones:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
Ejemplo 20.- Un automvil recorre la rampa de salida de un aparcamiento con
celeridad constante de 16 km/h. La rampa es una hlice de dimetro 36 m y paso
de rosca 6 m (lo que desciende cada vuelta completa). Determine el mdulo de la
velocidad y aceleracin del auto cuando desciende por la rampa.
-
PZ
0
X
Y
q
A
qu
ru
u
r
P
Z
0
X
Y
q
A
qu
ru
u
r
kjsensenisenur
)(cos)()cos( qq
ksenjseniu
)()(cos)cos(cos qqq
jisenu
)(cos)( qqq
Vectores unitarios:
rurr
q
q
usenr
ur
urv r
q
qqq
q
q
usenrrsenr
usenrrr
usenrrra r
cos22
cos2 2
222
Posicin:
Velocidad:
Aceleracin:
3.5. Coordenadas Esfricas:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
-
3.5. Coordenadas Esfricas.- Aplicaciones:
Ejemplo 21.- La gra gira en torno al eje CD a la razn constante de 3 rad/min.
Al mismo tiempo, el aguiln AB de 20 cm de largo va descendiendo a la razn
constante de 5 rad/min. Calcular la velocidad y aceleracin del punto B cuando
= 30.
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
-
Ejemplo N 22.- El radar, esta siguiendo a un avin en pleno vuelo. En el instante
representado, la posicin de ste viene dada por R=19500 m, =110 y =60.Comparando sta con posiciones anteriores se estiman las derivadas:
Para este instante, determinar:
a. La velocidad y aceleracin del avin en coordenadas esfricas (R,,).b. La velocidad y aceleracin del avin en coordenadas rectangulares tales que
el eje z corresponda al eje = 0 y el eje x corresponda al eje = 90 y = 0c. Determinar los mdulos de la velocidad y aceleracin del avin.
smR /5,85 2/5,4 smR sradx /100,9 3q 26 /100,20 sradx q
26 /100,80 sradx sradx /105,2 3
3.5. Coordenadas Esfricas.- Aplicaciones:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
-
Vectores unitarios:
rurr
Posicin:
Velocidad:
Aceleracin:
3.5. Coordenadas Esfricas:
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL