CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN

Mg. Amancio R. Rojas Flores

Circuitos de primer orden: Son circuitos caracterizados por una

ecuación diferencial de primer orden. Cualquier circuito formado por

un conjunto cualquiera de resistencias y fuentes independientes y un

solo elemento almacenador de energía (L ó C) es de 1er orden.

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Fig.1 Circuito para estudiar la carga y descarga de un condensador.

1.- INTRODUCCION

CIRCUITO RC

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Estado

transitorio

Estado

transitorio

Estado

estable Estado

estable

Capacitor cargando

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a) Circuito visto justo después

que el interruptor es movido a la

posición de carga; VC = 0

b) Entonces VC =0

iC = E/R

cortocircuito

Fig. Un condensador inicialmente descargado se mira como un cortocircuito

Condiciones de estado estable

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a) VC = E y iC = 0 b) Circuito equivalente

para el capacitor

Fig. Circuito cargando después del estado estable. Entonces el capacitor

tendrá voltaje mas no corriente, esto se ve como un circuito abierto

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Condensador descargando

a) El voltaje Vc igual a E justo

antes que el interruptor es cerrado

b) Inmediatamente después que el

interruptor es cerrado VC aun es igual a E

El condensador por consiguiente momentáneamente es visto como

una fuente de voltaje. iC = - E/R

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Fig. Voltaje y corriente durante la descarga. Tiempo t=0 s, es definido

como el instante que el interruptor es movido a la posición de descarga

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Ejemplo.

Para la figura, E=40v , R= 10 y el

condensador inicialmente esta descargado

Bosqueje los voltajes y corriente

Solución

Inicialmente i = 0 A , cuando el interruptor esta abierto. Inmediatamente

después que este es movido a la posición de carga, la corriente salta a

E/R = 40/10= 4 A. Luego esta decae a cero. En el mismo instante, VC

empieza en 0 V y salta a 40 V

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Fase de carga Fase de descarga

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2. –ECUACIONES DE UN CONDENSADOR CARGANDO

Resolviendo la ecuación

…1

…2

…3

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Ahora consideremos el voltaje en el resistor, de la ecuación 1 ,

Sustituyendo VC de la ecuación 3 tenemos.

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La constante de tiempo

La razón a la cual un condensador carga, depende del producto R y C

Este producto es conocido como la constante de tiempo del circuito y

esta dado por el símbolo

Segundos

Duración del transitorio

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3.- ECUACIONES DEL CONDENSADOR DESCARGANDO

Puesto que el capacitor esta inicialmente cargado, es posible suponer

que en el momento t= 0 la tensión inicial es: 0)0( Vv

La energía almacenada: 2

02

1)0( CVw

Aplicando LCK 0 RC ii

Por definición dt

dvCiC

R

viR

Luego 0R

v

dt

dvC 0

RC

v

dt

dvEcuación diferencial

de primer orden

Reordenando dtRCdt

dv 1

Integrando ARC

v ln1

ln

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RCteVtv /

0)(

Donde V0 es el voltaje en el capacitor en el instante que el interruptor es

movido a descarga

Dado que. VR + VC =0 , VR = - VC

Dividiendo ambos lados por R

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La respuesta en tensión del circuito RC es una caída exponencial de

la tensión inicia. Llamada respuesta natural del circuito

La constante de tiempo de un circuito es el tiempo requerido para que la

respuesta disminuya un factor de 1/ , o 36.8% de su valor inicial

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E1.

El capacitor de la figura esta

inicialmente descargado. Se

cierra el interruptor en t = 0 s

a) Determinar la expresión para Vc

b) Determinar la expresión para Ic

c) Determinar la corriente y voltaje en el capacitor en t = 5 ms

Solución

Reducimos el circuito a su equivalente serie usando el teorema de Thevenin

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Hallando Rth

Hallando Vth

18

19

E2.- el capacitor de la figura esta descargado. El interruptor es movido a la

posición 1 por 10 ms, luego a la posición 2 donde se queda

a. Determinar VC durante la carga

b. Determinar iC durante la carga

c. Determinar VC durante la descarga

d. Determinar iC durante la descarga

e. Bosqueje la forma de onda de carga

y descarga

Circuito cargando Circuito descargando

V0 = 100V en t = 0 s

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Solución

Del circuito equivalente de carga

Entonces 5c = 10ms, la carga es completada cuando el interruptor es

movido a descarga, entonces V0 = 100V

c. Con el circuito de descarga. Nótese que V0 = 100V

21

e.

22

E3. el capacitor de la figura esta descargado. El interruptor es movido a la

posición 1 por 5 ms, y luego a la posición 2

a. Determine VC cuando el interruptor esta

en la posición 1

b. Determine iC cuando el interruptor esta

en la posición 1

c. Compute VC y iC en t = 5ms

d. Determine VC cuando el interruptor esta en la posición 2

e. Determine iC cuando el interruptor esta en la posición 2

f. Bosqueje la forma de onda de voltaje y corriente

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Solución

c. En t = 5ms

d. En la posición 2

Donde t= 0 ha sido redefinido por posición 2

24

f.

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CIRCUITO RL

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Fig. 7.11 circuito RL sin fuente

27

28

Como se vio para un circuito con capacitancia las tensiones y corrientes no

cambian inmediatamente a sus nuevos valores, sino que se pasa por una

fase de transición Las tensiones y corrientes durante este intervalo de

transición son llamados transitorios.

De igual manera, transitorios ocurren cuando son perturbados circuitos que

contienen inductancias. En este caso, los transitorios se producen porque

la corriente en la inductancia no puede cambiar instantáneamente.

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a) No transitoria se produce en un

circuito puramente resistivo

b) Adicionando inductancia causa la

aparición de un transitorio.

Fig. Transitorio debido a la inductancia. Adición de inductancia de

un circuito resistivo ralentiza la subida y la caída de corriente,

creando así un transitorio.

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Como se ilustra en la figura, la corriente en una inductancia no pueden

cambiar instantáneamente, es decir, no puede saltar bruscamente de un valor

a otro, pero debe ser continua en todos los valores de tiempo.

Voltaje inductor

Ahora considere voltaje inductor. Cuando el interruptor está abierto como

en la figura (a), la corriente en el circuito y el voltaje a través de L son

ambos cero. Ahora cierra el interruptor. Inmediatamente después de que el

interruptor está cerrado, la corriente sigue siendo cero,

(ya que no puede cambiar instantáneamente). Ya que VR= Ri, el voltaje a

través de R También es cero y por lo tanto la tensión de fuente completo

aparece a través de L como se muestra en (b)

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c) Voltaje a través de L.

(b) Circuito justo después de que el interruptor se

ha cerrado. La corriente es todavía igual a cero.

Por lo tanto, VL = E

a) Circuito con el

interruptor abierto

Corriente i=0

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circuito-abierto equivalente de una inductancia

Fig. Inductor con corriente inicial cero

apariencia inicial como un circuito abierto

en el instante en que se cierra el

interruptor.

Condición inicial del circuito

Voltajes y corrientes en circuitos debe a veces ser alculado

inmediatamente después de la conmutación. Estos se pueden determinar

con la ayuda del circuito-abierto equivalente. Mediante la sustitución de

inductancias con circuitos abiertos, se puede ver lo que es un circuito

parece que sólo después de la conexión. Tal circuito se denomina una

condición inicial circuito.

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Ejemplo

Una bobina y dos resistencias se conectan a una fuente de 20-V, como se

en la figura (a). Determinar fuente de corriente i y el voltaje del inductor

VL en el instante en que el interruptor es cerrado.

a) Circuito original

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Solución

Remplazando la inductancia con un circuito abierto. Esto produce la red que se

muestra en (b). Por lo tanto :

AV

R

Ei

T

210

20

Y el voltaje a través de R2 VAv 8)4)(2(2

Como vL =v2 vL = 8 v

(b) Red de condición inicial

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Ahora vamos a desarrollar ecuaciones

para describir las tensiones y corrientes

durante la energización

Acumulación transitoria

corriente

Sustituyendo

Resolviendo

Ejemplo Para el circuito de la figura, sea: E=50V, R=10 y L=2H

a) Determinar la expresión para i

b) Calcular y tabular valores de i para t= 0+ ,0.2,0.4,0.6,0.8 y 1.0s

c) Usando estos valores trazar la corriente

d) ¿Cual es el estado de equilibrio?

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Solución

a) Sustituyendo la ecuación en

b)

c)

d)

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Voltajes del circuito

Multiplicando la ecuación anterior por R

Entonces

Ejemplo

Repetimos el ejemplo anterior para vL

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c)

Solución

a) Sustituyendo la ecuación en

b)

Se busca determinar la respuesta del circuito, la cual

se supondrá como la corriente i(t) a través del inductor

0)0( Ii

La energía almacenada en el inductor 2

02

1)0( LIw

Al aplicar LTK en la fig. 0 RL vv

Por definición dt

diLvL iRvR

Luego 0 Ridt

diL 0 i

L

R

dt

di

Reordenando e integrando dtL

R

di

di tti

I

0

)(

0

0ln)(ln 0 L

RtIti

L

Rt

I

ti

0

)(ln

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Circuito RL sin fuente

Al tomar las potencias de e se tiene LRteIti /

0)(

R

L

Luego se puede escribir /

0)( teIti

Para trabajar con un circuito RL

sin fuente se debe hallar:

a) La corriente inicial i(0)=I0 a lo

largo del inductor

b) La contante de tiempo

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FUNCIONES

SINGULARES

41

Las funciones singulares sirven como aproximaciones aceptables de las

señales de conmutación que aparecen en circuitos con operaciones de

conmutación

Las funciones singulares son discontinuas o tiene derivadas discontinuas

Las tres funciones singulares de uso común en análisis de circuitos son las

funciones de escalón unitario, de impulso unitario y de rampa unitaria

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Fig. 7.23 Función escalón unitario

La función de escalón unitario u(t) es de 0 para valores negativos de t y

de 1 para valores positivos de t

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Fig. 7.27 Función impulso unitario

La derivada de la función escalón unitario u(t) es la función impulso

unitario (t), que se expresa como :

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Fig. 7.29 Función de rampa unitaria

La integracion de la funcion escalon unitario u(t) da por resultado la

funcion de rampa unitaria r(t) : se escribe

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