Circuitos Eléctricos I
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Febrero 4, 2008Principio de la presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
© Prof. Dr. François E. Cellier
Circuitos Eléctricos I• Esta presentación introduce el tema del modelado
matemático de circuitos eléctricos lineales.• Modelando un circuito eléctrico se obtiene un
sistema implícito de ecuaciones diferenciales y algebraicas (EDAs) que se convierten en un sistema explícito de ecuaciones diferenciales y algebraicas en el proceso de la ordenación horizontal y vertical de las ecuaciones.
• Eliminando las variables algebraicas, estas EDAs pueden convertirse a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs).
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Contenido
• Elementos y sus modelos
• La topología de los circuitos y sus ecuaciones
• Un ejemplo
• Ordenación horizontal
• Ordenación vertical
• Representación en el espacio de estados
• Transformación al espacio de estados
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Elementos de Circuitos Lineales
• Resistores
• Capacidades
• Inductancias
Riva vb
u
Civa vb
u
Liva vb
u
u = va – vb
u = R·i
u = va – vb
i = C· dudt
u = va – vb
u = L· didt
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Elementos de Circuitos Lineales II
• Fuentes de voltaje
• Fuentes de corriente
• Tierra
U0 = vb – va
U0 = f(t)
I 0
Iva vb
u
0 u = vb – va
I0 = f(t)
V0
V0 V0
-V0 = 0
U 0
iva vb
U0
|
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La Topología de los Circuitos
• Nodos
• Mallas
va = vb = vc
ia + ib + ic = 0va vb
ia ib
ic
vc
va vb
vc
uab
ubcucauab + ubc + uca = 0
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Un Ejemplo I
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Reglas para Sistemas de Ecuaciones I
• Las ecuaciones de los elementos y de la topología contienen redundancia.
• Por ejemplo es posible eliminar todas las variables de potencial (vi) sin problemas.
• La ecuación de corrientes para el nodo de la tierra es redundante y no se usa.
• Las ecuaciones de las mallas solamente se usan si las variables de potencial se eliminan. Si no es el caso, estas ecuaciones son redundantes.
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Reglas para Sistemas de Ecuaciones II
• Si las variables de potencial se eliminan, cada elemento del circuito define dos variables: la corriente (i) a través del elemento y el voltaje (u) a través del mismo.
• Por consecuencia se necesitan dos ecuaciones para obtener los valores de estas dos variables.
• Una de las ecuaciones es la ley principal del elemento mismo, la otra se deriva de la topología.
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Un Ejemplo IIEcuaciones principales de los elementos:
U0 = f(t) iC = C· duC/dt
u1 = R1· i1uL = L· diL/dt
u2 = R2· i2
Ecuaciones de los nodos:
i0 = i1 + iLi1 = i2 + iC
Ecuaciones de las mallas:
U0 = u1 + uC uL = u1 + u2
uC = u2
El circuito contiene 5 elementos
Se piden 10 ecuaciones en 10 incógnitas
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Reglas para la Ordenación Horizontal I• La variable representando el tiempo t puede tratarse como
conocida.
• Las variables de estado (variables que aparecen en forma diferenciada) pueden tratarse como conocidas.
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
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Reglas para la Ordenación Horizontal II
• Ecuaciones que contienen una sola incógnita deben evaluarse por ella.
• Las variables ya evaluadas pueden tratarse como conocidas.
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
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Reglas para la Ordenación Horizontal III
• Variables que aparecen en una sola ecuación todavía no causal deben evaluarse usando esa ecuación.
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
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Reglas para la Ordenación Horizontal IV
• Todas esas reglas pueden aplicarse múltiples veces.
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
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U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
El algoritmo se aplica hasta que cada ecuación define exactamente una sola variable que se evalúa por ella.
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Reglas para la Ordenación Horizontal V
• La ordenación horizontal puede ser ejecutada ahora usando técnicas simbólicas de la manipulación de formulas.
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
U0 = f(t)
i1 = u1 /R1
i2 = u2 /R2
duC/dt = iC /C
diL/dt = uL /L
i0 = i1 + iL
iC = i1 - i2
u1 = U0 - uC
u2 = uC
uL = u1 + u2
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Reglas para la Ordenación Vertical
• Entre tanto las ecuaciones se convirtieron en asignaciones. Pueden ser ordenadas verticalmente de tal manera que ninguna de las variables se use antes de que esté definida.
U0 = f(t)
i1 = u1 /R1
i2 = u2 /R2
duC/dt = iC /C
diL/dt = uL /L
i0 = i1 + iL
iC = i1 - i2
u1 = U0 - uC
u2 = uC
uL = u1 + u2
U0 = f(t)
u1 = U0 - uC
i1 = u1 /R1
i0 = i1 + iL
u2 = uC
i2 = u2 /R2
iC = i1 - i2
uL = u1 + u2
duC/dt = iC /C
diL/dt = uL /L
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Reglas para Sistemas de Ecuaciones III
• Alternativamente es posible trabajar con voltajes y potenciales.
• En ese caso ecuaciones adicionales definiendo los potenciales de los nodos deben encontrarse. Se trata de las ecuaciones que relacionan los voltajes a través de elementos con los potenciales en sus terminales. Aquellas no se usaron hasta ahora.
• Las ecuaciones de las mallas son redundantes y deben eliminarse.
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Un Ejemplo III
El circuito contiene 5 elementos y además 3 nodos.
Se piden 13 ecuaciones en 13 incógnitas.
Ecuaciones principales de los elementos:
U0 = f(t) U0 = v1 – v0
u1 = R1· i1 u1 = v1 – v2
u2 = R2· i2 u2 = v2 – v0
iC = C· duC/dt uC = v2 – v0
uL = L· diL/dt uL = v1 – v0
v0 = 0
Ecuaciones de los nodos:
i0 = i1 + iLi1 = i2 + iC
v1
v2
v0
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Ordenación• El algoritmo de la ordenación de ecuaciones puede
aplicarse exactamente como antes.• El algoritmo de la ordenación ya se había reducido a una
estructura puramente matemática (de información) que no mantiene ningún conocimiento de la teoría de circuitos eléctricos.
• Por consecuencia la tarea del modelado puede reducirse a dos problemas parciales:
1. Transformación de la topología del sistema físico a un sistema implícito de DAEs.
2. Conversión del sistema DAE a una estructura de programación ejecutable.
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Representación en el Espacio de Estados
• Sistemas lineales:
• Sistemas no lineales:
dxdt = A · x + B · u
y = C · x + D · u
x(t0) = x0;
dxdt = f(x,u,t)
y = g(x,u,t)
; x(t0) = x0
x n
u m
y p
x = Vector de variables de estado
u = Vector de variables de entrada
y = Vector de variables de salida
n = Número de variables de estado
m = Número de entradas
p = Número de salidas
A n n
B n m
C p n
D p m
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Transformación al Espacio de Estados IU0 = f(t)
u1 = U0 - uC
i1 = u1 /R1
i0 = i1 + iL
u2 = uC
i2 = u2 /R2
iC = i1 - i2
uL = u1 + u2
duC/dt = iC /C
diL/dt = uL /L
duC/dt = iC /C
= (i1 - i2 ) /C
= i1 /C - i2 /C
= u1 /(R1 · C) – u2 /(R2 · C)
= (U0 - uC) /(R1 · C) – uC /(R2 · C)
diL/dt = uL /L
= (u1 + u2) /L
= u1 /L + u2 /L
= (U0 - uC) /L + uC /L
= U0 /L
Para cada ecuación que define una derivada se substituyen las variables de la derecha por las ecuaciones que definen ellas hasta que las derivadas dependan solamente de variables de estado y de entradas.
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Transformación al Espacio de Estados IIx1 = uC
x2 = iL
u = U0
y = uC
Definiendo:
x1 = -
R1 · C
R2 · C
[ ] x1 R1 · C u
x2 = 1
Lu
y = x1
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Un Ejemplo IV
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Referencias
• Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 3.
• Cellier, F.E. (2001), Código de Matlab del circuito eléctrico.