Circulo de Mohr
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FACULTAD DE INGENIERIAS Y ARQUITECTURA
E.A.P DE INGENIERIA CIVIL
Circulo de Mohr• Breve reseña:
Desarrollo hecho por Christian Otto Mohr (1835-1918), el círculo de Mohr es un método gráfico
para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las tensiones que
existentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones,
importan en general las tensiones principales, que son las tensiones que existen sobre ciertos
planos del cuerpo, donde las tensiones de corte nulas. Estas tensiones son de importancia para el
estudio de la resistencia mecánica de una pieza.
Este método tiene aplicación para estados tensionales en dos y tres dimensiones.
• Teoría del círculo de Mohr para dos dimensiones:
Considere un cuerpo sobre el cuál actúa un estado plano de cargas. Consideremos al plano de
carga para nuestro sistema al plano xy (ver figura 1), de modo de que no existan esfuerzos en el
sentido perpendicular a este (esfuerzos en z nulos). Adoptamos un elemento triangular donde se
supone que los ejes x e y son principales, o sea las tensiones de corte en esos planos son nulas.
Esta suposición se hace con el fin de no complicar por demás la matemática siendo el objeto de
este desarrollo conocer el desarrollo matemático a fin de ser asociado con el modelo físico:
En la figura 1, además de los ejes x e y, se muestra otro par de ejes coordenados los cuales han
sido rotados un ángulo θ respecto del eje z (normal al plano), el par de ejes x1 e y1 son normal y
tangente al plano Aθ respectivamente.
Queremos obtener una relación entre las tensiones en las áreas Ax , Ay y Aθ.
CURSO: MECANICA DE SUELOS II
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Evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje x:
Ahora evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje y:
Considerando que Ax =Aθ.cosθ y que Ay =Aθ.senθ, re escribimos las ecuaciones 1 y 2:
Multiplicando la ecuación (1-1) por cosθ, la (2-2) por senθ y sumando ambas se llega a:
Y considerando las relaciones trigonométricas:
Se llega a:
Analizamos las ecuaciones (1-1) y la (2-2) para obtener el corte en el plano θ:
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Multiplicando la ecuación (1-1) por senθ, la (2-2) por cosθ, sumando ambas y considerando las
relaciones trigonométricas (4) se llega a:
Obsérvese que las ecuaciones (5) y (6) no son mas que las componentes cartesianas de los puntos
correspondientes a una circunferencia en el plano xy, la ecuación de la circunferencia se obtiene
considerando la relación trigonométrica , entonces reemplazando en (5) y (6) se obtiene:
Esta circunferencia es lo que denominamos “Círculo de Mohr” para dos dimensiones. En esta
circunferencia el ángulo formado por la recta con origen en el centro de la misma.
y un punto cualquiera perteneciente al perímetro de la circunferencia, tiene valor 2θ, siendo θ el
ángulo de inclinación del plano para el cuál las tensiones sobre esa superficie valen σθ y τθ.
Consideremos σx< σy.
Así como se calculó el estado tensional en el plano θ a partir de las tensiones principales, el
proceso se puede hacer de manera inversa. Conociendo el estado de carga para una cierta terna
de ejes se pueden conocer las tensiones principales de un sistema dado.
CURSO: MECANICA DE SUELOS II
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D
x
τxy
y
x
EτyxBA
y
τxyC
τyx
y y´
x
x´
a
a
El estudio hecho hasta aquí es similar al que haremos para un estado tridimensional de tensiones.
CONSTRUCCIÓN DEL CÍRCULO DE MOHR
La representación gráfica de la transformación de los estados bidimensionales de esfuerzo de un conjunto
de coordenadas a otro rotado usando un círculo de Mohr ofrece una vista de conjunto de una solución y es
útil en algunas aplicaciones.
Se dan a continuación dos procedimientos relativos para obtener tales soluciones. En el primer
procedimiento se muestran claramente los planos físicos sobre los que actúan los esfuerzos transformados;
en el segundo, la deducción de la transformación del esfuerzo es más sencilla, aunque la determinación de la
dirección del esfuerzo transformado es algo menos conveniente. Escoger un método u otro es asunto de
preferencia.
Método 1: El problema consiste en construir el circulo de Mohr para los esfuerzos x, y y τxy y luego
determinar el estado de esfuerzos sobre un plano arbitrario
El centro C de un círculo de Mohr se localiza sobre el eje a una distancia σ x+σ y2
del origen. El punto A
sobre el círculo tiene la coordenadas (x,-τxy) correspondientes a los esfuerzos que actúan sobre la cara
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O 13
(x,-τxy)
(y,τxy)
τ
A
B
O 13
(x,-τxy)
(y,τxy)
τ
A
B
J21
derecha del elemento en la dirección positiva de los ejes coordenadas. El punto A se le llamará origen de los
planos. Esta información es suficiente para dibujar un círculo de Mohr
El
siguiente paso consiste en dibujar sobre el círculo una línea por A paralela al plano a-a en el plano físico del
elemento infinitesimal. La intersección de esta línea con el círculo entrega el esfuerzo que actúa sobre el
plano a-a (punto J).
CURSO: MECANICA DE SUELOS II
Estado de esfuerzos original. Se ilustra además el sentido de esfuerzos positivos
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Para comprobar esto revisaremos en detalle la construcción geométrica del círculo de Mohr.
De acuerdo a la figura:
2 ∙θ1+θ+α=360
α+γ=θ
R ∙cos (θ+α )=¿ R ∙cos¿¿
R ∙ sen (θ+α )=R ∙ sen¿
Y se tiene además:
σ j=( σ x+σ y2 )+R ∙cosγ
σ j=( σ x+σ y2 )+R ∙cos (θ−α )
σ j=( σ x+σ y2 )+R ∙cos (−360+θ+2∙ θ1+θ )
σ j=( σ x+σ y2 )+R ∙cos (2 ∙θ+2∙ θ1 )
σ j=( σ x+σ y2 )+R ∙ [cos2θ ∙cos2θ1−sen2θ ∙ sen2θ1 ]
τ j=R ∙ sen γ
τ j=R ∙ sen (−360+θ+2 ∙θ1+θ )
τ j=R ∙ (sen (2 ∙θ1+2 ∙θ ))
CURSO: MECANICA DE SUELOS II
σ j=( σ x+σ y2 )+( σx−σ y2 ) ∙cos2θ−¿ τ xy ∙ sen2θ¿
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O 13
τ
A
B
J
212
τxy<0
τ j=R ∙ (sen (2 ∙θ1 )cos (2 ∙θ)+cos (2 ∙θ1)∙ sen(2 ∙ θ))
Estas expresiones son idénticas a las deducidas analíticamente. Sin embargo, se debe considerar que
consideramos que los esfuerzos cortantes positivos, en el círculo se dibujan como negativos.
Método 2: Igual que antes, el centro C del círculo de Mohr se localiza en σ x+σ y2
. De nuevo, la cara derecha
del elemento define a x y τxy, usados para localizar un punto sobre el círculo. Sin embargo,
Si τ xy>0, éste se dibuja hacia abajo en el eje τ y
Si τ xy<0, éste se dibuja hacia arriba en el eje τ
Las coordenadas x y τxy localizan el punto gobernante A sobre el círculo. El punto B dado por y y -τxy, puede
localizarse sobre el círculo mediante las mismas reglas que las enunciadas anteriormente para el esfuerzo de
corte.
A continuación la recta AB es girada un ángulo 2 en el mismo sentido que el eje x´ con respecto al eje x. El
nuevo punto J determina los esfuerzos que actúan en el plano inclinado. Si τx´y´ está por sobre el eje τ el
esfuerzo cortante es negativo y viceversa
CURSO: MECANICA DE SUELOS II
τ j=τ xy ∙cos2θ+( σ x−σ y2 )∙ sen2θ
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En estas nuevas coordenadas, una longitud OA que tiene dx´ de largo, puede imaginarse como una diagonal
de un elemento diferencial rectangular de dimensiones dx por dy en las coordenadas iníciales.
Para comprobar esto revisaremos en detalle la construcción geométrica del círculo de Mohr.
De acuerdo a la figura:
2 ∙θ1+θ+α=360
α+γ=θ
R ∙cos (θ+α )=¿ R ∙cos¿¿
R ∙ sen (θ+α )=R ∙ sen¿
Y se tiene además:
σ j=( σ x+σ y2 )+R ∙cosγ
σ j=( σ x+σ y2 )+R ∙cos (θ−α )
σ j=( σ x+σ y2 )+R ∙cos (−360+θ+2∙ θ1+θ )
σ j=( σ x+σ y2 )+R ∙cos (2 ∙θ+2∙ θ1 )
σ j=( σ x+σ y2 )+R ∙ [cos2θ ∙cos2θ1−sen2θ ∙ sen2θ1 ]
τ j=R ∙ sen γ
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σ j=( σ x+σ y2 )+( σx−σ y2 ) ∙cos2θ−¿ τ xy ∙ sen2θ ¿
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τ
A
B
J
212
τxy<0
τ j=R ∙ sen (−360+θ+2 ∙θ1+θ )
τ j=R ∙ (sen (2 ∙θ1+2 ∙θ ))
τ j=R ∙ (sen (2 ∙θ1 )cos (2 ∙θ)+cos (2 ∙θ1)∙ sen(2 ∙ θ))
Estas expresiones son idénticas a las deducidas analíticamente. Sin embargo, se debe considerar que
consideramos que los esfuerzos cortantes positivos, en el círculo se dibujan como negativos.
Método 2: Igual que antes, el centro C del círculo de Mohr se localiza en σ x+σ y2
. De nuevo, la cara derecha
del elemento define a x y τxy, usados para localizar un punto sobre el círculo. Sin embargo,
Si τ xy>0, éste se dibuja hacia abajo en el eje τ y
Si τ xy<0, éste se dibuja hacia arriba en el eje τ
Las coordenadas x y τxy localizan el punto gobernante A sobre el círculo. El punto B dado por y y -τxy, puede
localizarse sobre el círculo mediante las mismas reglas que las enunciadas anteriormente para el esfuerzo de
corte.
A continuación la recta AB es girada un ángulo 2 en el mismo sentido que el eje x´ con respecto al eje x. El
nuevo punto J determina los esfuerzos que actúan en el plano inclinado. Si τx´y´ está por sobre el eje τ el
esfuerzo cortante es negativo y viceversa
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τ j=τ xy ∙cos2θ+( σ x−σ y2 )∙ sen2θ
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En estas nuevas coordenadas, una longitud OA que tiene dx´ de largo, puede imaginarse como una diagonal
de un elemento diferencial rectangular de dimensiones dx por dy en las coordenadas iníciales.
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