Circumferència
18
1. Circumferència. a. Equació de circumferència b. Determinació d’un circumferència i. Circumferència determinada pels extrems d’un dels seus diàmetres ii. Circumferència determinada pel centre i una recta a la qual és tangent iii. Circumferència determinada per tres punts no alineats c. Posició relativa d’uns recta i una circumferència i. Recta secant ii. Recta tangent iii. Recta exterior d. Posició relativa de dues circumferències e. Equació de la recta tangent a una circumferència f. Annex. i. Tangents a la circumferència des d’un punt exterior ii. Potència d’un punt respecte d’un circumferència iii. Eix radical de dues circumferències iv. Centre radical de tres circumferències Ej1 ej 2 ej 3 1
description
ejercicios circumferencia 1 bachillerato
Transcript of Circumferència
1. Circumferència.
a. Equació de circumferència
b. Determinació d’un circumferència
i. Circumferència determinada pels extrems d’un dels seus
diàmetres
ii. Circumferència determinada pel centre i una recta a la qual
és tangent
iii. Circumferència determinada per tres punts no alineats
c. Posició relativa d’uns recta i una circumferència
i. Recta secant
ii. Recta tangent
iii. Recta exterior
d. Posició relativa de dues circumferències
e. Equació de la recta tangent a una circumferència
f. Annex.
i. Tangents a la circumferència des d’un punt exterior
ii. Potència d’un punt respecte d’un circumferència
iii. Eix radical de dues circumferències
iv. Centre radical de tres circumferències
Ej1 ej 2 ej 3
1
6. CIRCUMFERÈNCIA.
a. EQUACIÓ DE CIRCUMFERÈNCIA
DEFINICIÓ: La circumferència és el lloc geomètric dels punts del pla la distància
dels quals a un punt fix, anomenat centre, és constant
Donat el centre C=(a,b) i un radi r, un punt P=(x,y) serà de la circumferència si
d(P,C)=r
d (C ,P )=√( x−a)2+( y−b )2=r
Llavors ( x−a )2+( y−b )2=r2Equació de la circumferència
Si desenvolupem els quadrats
√( x−a )2+( y−b )2=r2
( x−a )2+( y−b )2=r2
x2−2ax+a2+ y2−2by+b2=r2
x2+ y2−2ax−2by+a2+b2−r2=0x2+ y2+mx+ny+ p=0m=−2an=−2bp=a2+b2−r2
Llavors l’equació general de la circumferència
x2+ y2+mx+ny+ p=0m=−2an=−2bp=a2+b2−r2
2
b. DETERMINACIÓ D’UN CIRCUMFERÈNCIA
i. CIRCUMFERÈNCIA DETERMINADA PELS EXTREMS
D’UN DELS SEUS DIÀMETRES
Donats els extrems A i B d’un dels diàmetres de la circumferència:
- El centre C és el punts mig del segment AB
- r=d(A,C)=d(B,C)= 1/2d(A,B)
ii. CIRCUMFERÈNCIA DETERMINADA PEL
CENTRE I UNA RECTA A LA QUAL ÉS
TANGENT
Com que coneixem el centre la circumferència quedarà determinada si en trobem
el radi.
Observem que la recta tangent i el radi són perpendiculars en el punt de tangència.
Llavors el radi és la distància a la recta tangent (s):
- d (C ,s )=
|Aa+Bb+C|
√A2+B2
-Tenim C i s
- t perpendicular a s per C
- ts=Q
- r=d(C,Q)
iii. CIRCUMFERÈNCIA DETERMINADA PER TRES PUNTS NO
ALINEATS
Tres punts no alineats P, Q, i R, determinen una única circumferència.
2 maneres, ho fem mitjançant un exemple: P=(3,-1), Q=(4,2) i R=(-1,-3)
1. Analític
Els punts han de complir l’equació de la circumferència, utilitzo l’equació
general
x2+ y2+mx+ny+ p=0
passa per P=(3,-1) 32+(−1)2+m·3+n·(−1)+ p=0
passa per P=(4,2) 42+22+m· 4+n·2+ p=0
passa per P=(1,-3) 12+(−3)2+m·1+n·(−3)+ p=0
Llavors tinc un sistema de 3 equacions amb tres incògnites, resolem:
3
m=2, n=-4 i p=-20 x2+ y2+2x−4 y−20=0
2. Observem que els punts de la mediatriu de PQ, equidisten de P i Q, i els de
la mediatriu de QR, equidisten de Q i R, per tant
- El centre és punt d’intersecció de les mediatrius dels segments PQ i QR
- El radi és la distància de qualsevol dels punts donats al centre
x+3y-5=0 mediatriu de PQ
x+y-1=0 mediatriu de QR
Es tallen en C=(-1,2)
r=d(C,P)=d(C,Q)=d(C,R)=5
EXEMPLES
1. Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.
4
2. Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-5,3) y B(3,1). ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?
3. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia
que sea tangente a la recta 3x - 4y + 7 = 0.
5
6
c. POSICIÓ RELATIVA D’UNS RECTA I UNA
CIRCUMFERÈNCIA
Quan parlem de posició relativa d’uns recta i una circumferència, en tenim diverses
possibilitats. Per saber quina és resolem el sistema format per l’equació de la
circumferència i l’equació de la recta
i. RECTA SECANT
Diem que una recta és secant a una circumferència si la talla en dos punts
ii. RECTA TANGENT
Diem que una recta és tangent a una circumferència si la talla en un punt
iii. RECTA EXTERIOR
Diem que una recta és exterior a una circumferència si no la talla
7
Exemple:
x2+y2-2x-8=0
y-x-2=0 y=x+2 x2+(x+2)2-2x-8=0
x2+x2+4x+4-2x-8=0
2x2+2x-4=0
x1=1 x2=-2
Els punts de tall són: (1,3) i (-2,0), per tant són secants
8
d. .POSICIÓ RELATIVA DE DUES CIRCUMFERÈNCIES
Si d és la distància entre els dos centres i r1 i r2 són els radis respectius de les dues
circumferències, poden trobar-nos:
i. Exteriors d> r1 + r2
ii. tangents exteriors d= r1 + r2
iii. secants r1 - r2 <d<r1 + r2
iv. tangents interiors d= r1 - r2
v. una interior a l’altra d< r1 - r2
vi. concèntriques d=0
Per resoldre analíticament
1r. Mirem quina és la posició relativa
2n. Si sabem que hi ha cap punt d’intersecció anem a buscar-lo resolent el
sistema de la següent manera
1. Restem les equacions de les circumferències, ens donarà
l’equació d’una recta (Eix Radical- p.60)
2. Resolem el sistema entre aquesta recta i una de les
circumferències
Exemple:
c1 x2+y2-2y-8=0 C1=(0,1) r=3
c2 x2+y2+2y-8=0 C2=(0,-1) r=3
r1+r2=6 d=d(C1,C2)=2 d< r1+r2 Són circumferències secants
Anem a buscar els punts d’intersecció
x2+y2-2y-8=0
-x2+y2+2y-8=0
Restem les equacions -4y=0
Llavors resolem el sistema entre aquesta recta i una de les circumferències
x2+y2-2y-8=0
-4y=0
Resolem y=0 x=8
Per tant els punts de tall són (-8,0) i (8,0)
9
e. EQUACIÓ DE LA RECTA TANGENT A UNA
CIRCUMFERÈNCIA En una circumferència la recta tangent en
qualsevol punts és sempre perpendicular al radi que passa per aquest
punt
f. ANNEX.
i. TANGENTS A LA CIRCUMFERÈNCIA DES D’UN PUNT
EXTERIOR
En una circumferència sempre es poden trobar dues rectes tangents des d’un
punt exterior
P(x0,y0)
Qualsevol recta que passi per P és de la forma:
y-y0=m(x-x0)
Per que sigui tangent a la circumferència el sistema ha de tenir només una
solució.
Exemple:
Tangent a x2+y2-2x=0 per P=(4,0)
Recta per P y=m(x-4)
Imposem que siguin tangents: que el discriminant doni 0
10
ii. POTÈNCIA D’UN PUNT RESPECTE D’UN
CIRCUMFERÈNCIA
DEFINICIÓ: Potència d’un punt P respecte d’una circumferència C és el
producte constant dels segments que determina la circumferència sobre
qualsevol secant traçada des de P.
B
P
A’ B’
Els triangles PAB’ i PA’B són semblants en tenir un angle comú en P i els
angles B i B’ iguals perquè són inscrits i comprenen el mateix arc.
PAPA '
= PBPB ' Llavors PA*PB=PA’*PB’= constant
Llavors fent-lo per un radi
B A P
D=d(P,O)
O=(a,b) centre de la circumferència
Potència = PA*PB=(d-r)(d+r)=d2-r2=(x0-a)2+(y0-b)2-r2=x02+y0
2+mx0+ny0+p
Llavors la potència ens permet esbrinar si el punt és de la
circumferència(=0), és interior (<0) o és exterior (>0)
iii. EIX RADICAL DE DUES CIRCUMFERÈNCIES
DEFINICIÓ: S’anomena eix radical el lloc geomètric dels punts del pla que
tenen la mateixa potència respecte dues circumferències.
Es calcula restant les equacions de les dues circumferències
11
iv. CENTRE RADICAL DE TRES
CIRCUMFERÈNCIES
DEFINICIÓ: S’anomena centre radical el lloc geomètric dels punts del pla
que tenen la mateixa potència respecte tres circumferències.
Es calcula fent la intersecció dels eixos radicals
12
CIRCUMFERÈNCIA
1. [PAU LOGSE CURS 9899 SÈRIE ]Calculeu el radi i les coordenades del centre de la circumferència que té per equació x2+y2+6x+10y=-30
[2P]
2. [PAU LOGSE CURS 9900 SÈRIE 6] Considereu la circumferència del pla d’equacióx2+y2-
6x+4y+8=0a) Calculeu-ne el centre i el radib) Comproveu que el punt (4,0) pertany a la circumferència i determineu l’equació de la
seva tangent en aquest punt (la recta tangent en un punt d’una circumferència és la que és perpendicular al radi que passa per aquest punt)
[2P]
3. [PAU LOGSE CURS 9899 SÈRIE 5] Una circumferència del pla passa pels punts (1,3) i (3,5) i té el centre sobre la recta x+2y=3. Trobeu el centre, el radi i l’equació d’aquesta circumferència
[2P]4. [PAU LOGSE CURS 9697 SÈRIE 2] D’una circumferència representada en uns eixos
cartesians de coordenades sabem que té el centre sobre l’eix de les x, i que és tangent a la recta x+y-8=0 en el punt (6,2). Quines són les coordenades del centre? Quina és la longitud del radi?
[2P]
5. [PAU LOGSE CURS 9697 SÈRIE 3] Calculeu un punt P de coordenades (a,0) amb a>0, tal que les dues tangents a la circumferència x2+y2=4 traçades des del punt P formin un angle de 60 graus.
[2P]6. [PAU LOGSE CURS 0001 SÈRIE 2] La circumferència C passa pel punt A=(4,0) i és tangent a
la recta y=x en el punt B=(4,4)a) Determineu l’equació de la recta que passa per B i pel centre de la circumferència Cb) Trobeu el centre de C i calculeu el seu radi
[2P]7. [PAU LOGSE CURS 0001 SÈRIE5] Considereu en el pla els punts P=(1,-1) i Q=(3,5) i la recta
r d’equació x+y+2=0. Calculeu l’equació de la circumferència que passa per P i Q i que té el centre a r
[2P]8. [PAU LOGSE CURS 9798 SÈRIE 2] Considereu dues circumferències C1 i C2 del pla que
compleixen les condicions següents:- C1 passa pel punt P=(2,0) i en aquest punt té per tangent la recta y=x-2- El centre de C1 és a sobre de la recta y=x- C2 té per equació x2+y2-8x-8y=k, on k és una certa constant- Les circumferències C1 i C2 són tangents exteriors, tal com s’indica en la
figura següent
C1 C2
a) Calculeu el centre i el radi de C1 i escriviu l’equació de C1
b) Calculeu les coordenades del centre de C2
c) Calculeu les coordenades del punt d’intersecció de C1 amb C2
d) Calculeu el valor de la constant k de l’equació de C2 [4P]
13
