Circunferencia y sus elementos

Una circunferencia es una figura geométrica formada por todos los puntos del plano que están a igual distancia de un punto

llamado centro, al cual se le designa con la letra O.

Cuerda: Es el segmento trazado entre dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

Radio: Es el segmento que une cualquier punto de la circunferencia con el centro de ésta.

Diámetro: Es la cuerda que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro, es decir, el la cuerda de mayor longitud que

podemos trazar. El diámetro mide el doble del radio.

Arco: Es la parte de una circunferencia comprendida entre dos puntos de ella. Los arcos en una circunferencia se leen en sentido

contrario de los punteros del reloj.

Tangente a una circunferencia: Recta que tiene sólo un punto en común con la circunferencia, es decir, que la intersecta en un

punto.

Secante a una circunferencia: Recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

DC= CUERDABG= DIAMETROOA=RADIOEF= SECANTEH = TANGENTEAB= ARCO ESTA EN COLOR AMARILLO

Circunferencia

Una circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma

distancia de un punto fijo llamado centro.

Centro de la circunferencia: Punto del que equidistan todos los puntos de la

circunferencia.

Radio de la circunferencia: Segmento que une el centro de la circunferencia con un

punto cualquiera de la misma.

Elementos de la circunferencia

Cuerda

Segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Diámetro

Cuerda que pasa por el centro.

Arco

Cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Se suele asociar a

cada cuerda el menor arco que delimita.

Semicircunferencia

Cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro.

Círculo

Es la figura plana comprendida en el interior de una circunferencia.

Elementos de un círculo

Segmento circular

Porción de círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.

Semicírculo

Porción del círculo limitada por un diámetro y el arco correspondiente. Equivale a la

mitad del círculo.

Zona circular

Porción de círculo limitada por dos cuerdas.

Sector circular

Porción de círculo limitada por dos radios.

Corona circular

Porción de círculo limitada por dos círculos concéntricos.

Trapecio circular

Porción de círculo limitada por dos radios y una corona circular.

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN (0,0)

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación de una circunferencia se simplifica a:

A está ecuación se le conoce como ecuación canónica y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(0,0), por lo que la

expresión ordinaria queda reducida a:

Ejemplo: Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto 6,3 y cuyo centro se encuentra en C(0,0)

Nota:

La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad

o circunferencia unitaria.

Ecuación de la circunferencia

 

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo

llamado centro (recordar que estamos hablando del Plano Cartesiano y es respecto a éste que

trabajamos).

Determinación de una circunferencia

Una circunferencia queda  determinada cuando  conocemos:

 Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.

 El centro y el radio.

 El centro y un punto en ella.

El centro y una recta tangente a la circunferencia.

También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que están a la

misma distancia de otro punto, llamado centro.

Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia (la ecuación de la circunferencia).

Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica, (dentro del Plano Cartesiano) diremos que ─para cualquier punto, P

(x, y),  de una circunferencia cuyo centro  es el punto C (a, b) y con radio r─, la ecuación ordinaria es

                                      (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

¿Qué significa esto?

En el contexto de la Geometría Analítica significa que una circunferencia graficada con un centro definido (coordenadas) en el plano

Cartesiano y con radio conocido la podemos “ver” como gráfico y también la podemos “transformar” o expresar como una ecuación

matemática.

 

Así la vemos Así podemos expresarla

 

Donde:

(d) Distancia CP = r

y

Fórmula que elevada al cuadrado nos da

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

También se usa como

(x ─ h)2 + (y ─ k)2 = r2

 

Recordar siempre que en esta fórmula la x y la y serán las coordenadas de cualquier punto (P) sobre la circunferencia, equidistante

del centro un radio (r). Y que la a y la b (o la h y la k, según se use) corresponderán a las coordenadas del centro de la

circunferencia C(a, b).

Nota importante:

Los ejercicios sobre esta materia pueden hacerse en uno u otro sentido.

Es decir, si nos dan la ecuación de una circunferencia, a partir de ella podemos encontrar las coordenadas de su centro y el valor

de su radio para graficarla o dibujarla.

Y si nos dan las coordenadas del centro de una circunferencia y el radio o datos para encontrarlo, podemos llegar a la ecuación de

la misma circunferencia.

Cuadrado del binomio

Aquí haremos una pausa para recordar el cuadrado del binomio ya que es muy importante para lo que sigue:

El binomio al cuadrado  de la forma  (a ─ b)2 podemos desarrollarlo como (a ─ b) (a ─ b) o convertirlo en un trinomio de la

forma a2 ─ 2ab + b2.

 

Sigamos nuestro razonamiento sobre la ecuación (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 (que en forma matemática representa una circunferencia).

De la ecuación ordinaria a la ecuación general

Si en esta ecuación ordinaria ─cuyo primer miembro (lado izquierdo) está formado por la suma de dos cuadrados de binomio─,

eliminamos los paréntesis desarrollando dichos binomios, pasamos todos los términos al primer miembro y la igualamos a cero,

tendremos:

x2 ─ 2ax + a2 + y2 ─ 2by + b2 ─  r2 = 0   ecuación que ordenada sería

x2 + y2 ─ 2ax ─ 2by + a2 + b2 ─ r2  = 0

Si para tener una ecuación más sintetizada hacemos las siguientes asignaciones:

─ 2a = D, 

─ 2b = E, 

a2 + b2 ─ r2 = F 

la ecuación quedaría expresada de la forma:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0  conocida como Ecuación General de la Circunferencia, la cual debe cumplir las siguientes condiciones

para serlo:

No existe término en xy

Los coeficientes de x2 e y2 son iguales.

Si D = ─ 2a    entonces   

Si E = ─ 2b    entonces   

Si F = a2 + b2 ─  r2 entonces 

Además, otra condición necesaria para que una ecuación dada represente una circunferencia es que:

                         a2 + b2 ─ F > 0  (a2 + b2 ─ F debe ser mayor que cero)

Nota:

Para simplificar la ecuación general de la circunferencia (x2 + y2 ─ 2ax ─ 2by + a2 + b2 ─ r2  = 0) algunos textos o docentes utilizan

otra convención y hacen:

─ 2a = A, 

─ 2b = B,

a2 + b2 ─ r2 = C para tener finalmente

x2 + y2 + Ax + By + C = 0   que es lo mismo que x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 

A modo de recapitulación

Si conocemos las coordenadas del centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuacion ordinaria, y si operamos

los binomios cuadrados que la conforman, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia.

 

Ecuación reducida de la circunferencia

Volviendo a nuestra ecuación ordinaria (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 , debemos consignar que si el centro de la circunferencia coincide

con el origen de coordenadas (0, 0) la ecuación queda reducida a:

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

(x ─ 0)2 + (y ─ 0)2 = r2

x2 + y2 = r2

 

Ir a:

Obtener la ecuación de la circunferencia conocida su gráfica

Obtener la ecuación de la circunferencia con centro (C) fuera del origen de las coordenadas

Dada la ecuación general de la circunferencia, obtener su centro y el radio

 

Sobnre esta materia, actividades en Internet:

1.- Cálcula en esta actividad el centro y el radio de una circunferencia de ecuación en forma general .

2.- En esta actividad puedes cambiar las coordenadas del centro de una circunferencia y ver qué le pasa a la ecuación.

 

Obtener la Ecuación de la circunferencia con centro (C) fuera del origen de las coordenadas

Tomemos, por ejemplo, la circunferencia cuyo centro está dado por C (2, ─3), con radio r = 5 que se muestra en la figura

Para obtener la ecuación general de la circunferencia que estamos viendo podemos usar dos métodos:

Método por desarrollo y

Método con las fórmulas conocidas.

Método por desarrollo

Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces la fórmula ordinaria de la circunferencia será

(x ─ a)2  +  (y ─ b)2 = r2 donde a y b son las coordenadas del centro C (a, b), que en nuestro caso corresponde a C (2, ─3)

entonces, nuestra ecuación ordinaria quedará como

(x ─ 2)2  +  (y ─ ─ 3)2  = 52

(x ─ 2)2  +  (y + 3)2  = 52

(x ─ 2)2  +  (y + 3)2  = 25

Nota: algunos usan otras letras, como (x ─ h)2  +  (y ─ k)2

  

Sigamos.

Tenemos nuestra ecuación ordinaria

(x ─ 2)2  +  (y + 3)2  = 25

y desarrollamos  sus dos binomios:

(x  ─ 2) (x  ─ 2) + (y  +  3) (y  +  3) = 25

(x2 ─ 2x ─ 2x + 4) + (y2 + 3y + 3y + 9) = 25

(x2 ─ 4x  +  4) + (y2 + 6y + 9) = 25

Recordemos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es

x2  + y2 + Dx + Ey + F = 0

Entonces, ordenamos nuestra ecuación anterior y la acomodamos de acuerdo con la fórmula general:

x2  +  y2  ─ 4x  +  6y + 4 + 9 ─ 25 = 0

x2  +  y2  ─ 4x  +  6y  ─ 12 = 0

que es la ecuación general de la circunferencia con centro en las coordenadas 2,  ─3 y cuyo radio es 5.

 

Método con las fórmulas conocidas

Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces aplicamos las fórmulas

Si      entonces   D = ─ 2a    

Si        entonces   E = ─ 2b    

Si        entonces    F = a2 + b2 ─  r2 

Recordemos que C (2, ─3)  corresponde a C (a, b)

Entonces, hacemos:

F = 4 + 9 ─ 25 = ─12

 

Si recordamos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

y en ella sustituimos los valores ahora conocidos de D, E y F, tendremos

x2 + y2 + ─4x + 6y + ─12 = 0

x2 + y2 + ─4x + 6y ─12 = 0

obtenemos la misma ecuación general de la circunferencia que logramos mediante el método del desarrollo.

Ahora, hagamos algunos ejercicios

Ejercicio 1

Encuentre la ecuación general de la circunferencia cuyo centro está en las coordenadas   y que tiene un radio igual

a

.

Resolución por desarrollo

En este caso podemos usar las fracciones o convertirlas a decimales:.

Como el centro no está en el origen vamos a usar la fórmula ordinaria para llegar a la desarrollada:

Para hacerlo, partamos de aquí:

(x ─ a)2  +  (y ─ b)2 = r2

Nota:

Debemos recordar que x e y corresponden a las coordenadas de cualquier punto en la circunferencia, P (x,  y), distante un radio

desde el centro.

 

Volvamos a la fórmula:

Reemplacemos los valores en las coordenadas del centro, C (a,  b):

 

y aquí tenemos la ecuación ordinaria (formada por dos cuadrados de binomio) la cual ahora desarrollaremos para llegar a la

ecuación general:

Recordemos el cuadrado del binomio:

a2 + 2ab + b2

Primer término al cuadrado (x)2, más el doble del producto del primero por el segundo término  2(x)(0,5), más el

cuadrado del segundo término (0,5)2

 

Pongamos los valores de nuestros binomios al cuadrado:

(x)2  +  2(x)(0,5)  + (0,5)2   +   (y)2  +  2(y)(─1,25)  +  (─1,25)2  = 3

x2  +  x  + 0,25   +   y2  ─2,50y  +  1,56   = 3

ahora acomodamos los términos e igualamos a cero, para obtener la ecuación general:

x2  +  y2  +   x   ─  2,50y   + 0,25   +  1,56   ─ 3  = 0

x2  +  y2  +   x   ─  2,50y   ─ 1,19  = 0

 

Resolución por el sistema de fórmulas conocidas

Tenemos:

Centro de la circunferencia (coordenadas)

Radio

 r  =   

Y las fórmulas

D = ─2a 

E = ─2b

F = a2  + b2  ─  r2

Recuerde que la ecuación general de la circunferencia tiene esta estructura:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Por lo que solo debemos calcular D, E y F

 

Ahora que ya conocemos D, E y F los acomodamos en la fórmula general y tendremos:

x2 + y2 + x + ─2,50y + ─1,19 = 0

x2 + y2 + x ─ 2,50y  ─ 1,19 = 0  fórmula general de la circunferencia dibujada arriba.

Importante

Los dos métodos utilizados aquí para encontrar la ecuación de la circunferencia nos indican que si nos dan las coordenadas

del centro de una circunferencia distintas de cero y el radio de la misma conviene usar el método de las fórmulas.

No obstante, si alguien quiere saber exactamente cómo se procede, puede usar el sistema del desarrollo.

 

 

Ejercicio 2

Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro en  C (1,  3) y radio r = 4.

Resolución

Sabemos que debemos obtener un ecuación de la forma 

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

por lo que necesitamos saber cuánto valen D, E y F

Para ello, recordamos que

D = ─2a 

E = ─2b

F = a2  + b2  ─  r2

Sustituyendo en D y E los valores que nos entregan las coordenadas del centro C (1, 3), donde

a  =  1

b  =  3

tendremos que

D = ─2(1) =  ─2

E = ─2(3) =  ─6

Y ahora sustituimos en

F = a2  + b2  ─  r2

F = (1)2 + (3)2 ─ (4)2

F = 1  +  9  ─ 16

F = ─6

Como ya tenemos los valores de

D =  ─2

E =  ─6

F = ─6

Los usamos para sustituir en la ecuación

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

para quedar

y llegar finalmente a

x2 + y2 ─ 2x ─  6y  ─ 6 = 0  como la fórmula general de la circunferencia dibujada arriba.

 

Ejercicio 3

Hallar la ecuación general de la circunferencia que pasa por el punto P (─3,  2) y cuyo centro es el punto C (1,  5)

Resolución

Debemos calcular el radio  (ya que no lo conocemos), pero como tenemos las coordenadas de un punto y del centro podemos

calcularlo así:

El radio es la distancia de C a P,  y como su fórmula para conocer dicha distancia es

Hacemos

Ahora tenemos  ubicado el centro C (1, 5) y el radio r = 5

y acudimos a la fórmula ordinaria de la circunferencia

(x ─ a)2  +  (y ─ b)2 = r2

Desarrollamos los cuadrados de los binomios

(x2 + ─x + ─x + 1) + (y2 + ─5y + ─5y + 25 = 25

x2 ─ 2x + 1 + y2 ─ 10y + 25 = 25

x2 + y2 ─ 2x ─ 10y + 1 + 25 ─ 25 = 0

x2 + y2 ─ 2x ─ 10y + 1 = 0

Nota importante:

En este ejercicio conocemos las coordenadas de uno de los puntos de la circunferencia, P (─3, 2) pero ese dato nos sirvió solo

para calcular el radio. Conocido éste, la fórmula general que obtendremos ahora servirá para todos los puntos de la

circunferencia equidistantes del centro, representados como P (x,  y), por eso en la fórmula ordinaria de la circunferencia

reemplazaremos solo los valores de a y de b como las coordenadas del centro C (1,  5)

 

Ejercicio 4

Hallar la ecuación general de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento entre los puntos A(2, 3) y B(─4,  ─9)

Resolución

Como el segmento AB es el diámetro, el centro estará en la mitad de este (radio), y hacemos

Ahora calculamos el radio, que es la distancia desde C(─1,  ─3) hasta el punto A(2,  3)

Conocemos ahora las coordenadas del centro C(─1, ─3) y el radio 

Aplicamos la fórmula ordinaria

Desarrollamos los binomios

(x2 + x + x + 1)+ (y2 +3y + 3y + 9) = 45

(xsup>2 +2x +1) + (y2 + 6y + 9) = 45

x2 + y2 +2x +6y +1+ 9 ─45 = 0

x2 + y2 +2x +6y  ─ 35 = 0  ecuación de la circunferencia graficada arriba.

Como un ejercicio probatorio de la efectividad de la fórmula analítica x2 + y2 +2x +6y  ─ 35 = 0 reemplacemos los valores de las

coordenadas de los puntos A y B en x e y

Primero el A(2, 3)  que sea  x = 2,   y = 3

22 + 32 + 2•2 + 6•3 ─ 35 = 0

4 + 9 + 4 + 18 ─ 35 = 0

Ahora el B(─4,  ─9) que sea x = ─4,   y = ─9

(─4)2 + (─9)2 + 2(─4) + 6(─9) ─ 35 = 0

16 + 81 ─ 8 ─ 54 ─ 35 = 0

 

Ejercicio 5

Hallar la ecuación de la circunferencia centrada en el punto (5, ─2) y de radio 3.

  

Resolución

Recordemos nuestra ecuación ordinaria de la circunferencia:

(x ─ a)2  +  (y ─ b)2 = r2

Conocemos a y b  (5,  ─2) y el radio (r = 3)

Entonces reemplacemos

(x ─ 5)2  +  (y ─ ─2)2 = 32

(x ─ 5)2  +  (y +  2)2 = 9

Desarrollemos lo binomios cuadrados:

(x ─ 5) (x ─ 5) + (y +  2) (y +  2) = 9

(x2 ─ 10x + 25) + (y2 + 4y + 4) = 9

ordenamos e igualamos a cero

x2 + y2 ─ 10x + 4y + 25 + 4 ─ 9 = 0

x2 + y2 ─ 10x + 4y + 20 = 0

 

Ejercicio 6

Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (1, 1) y que contiene al punto (–2, 3).

  

Resolución:

Primero debemos conocer el radio

Entonces la ecuación ordinaria nos queda

x2 ─ 2x + 1 + y2 ─ 2y +1 = 13

x2 + y2 ─ 2x ─ 2y + 1 + 1 ─ 13 = 0

x2 + y2 ─ 2x ─ 2y  ─ 11 = 0

Ecuación general a ecuación ordinaria de la elipsePara obtener los elementos de la elipse a partir de la ecuación general se debe pasar a la forma ordinaria completando los cuadrados.A partir de la ecuación 9x2 + 25y2 + 18x -50y -191 = 0. Determina sus elementos y gráfica el lugar geométrico que representa.Solución:

-Se tienen que agrupar los términos que contienen la variable x y hacer lo mismo con la variable y e igualar al termino independiente:9(x2 + 2x) + 25(y2- 2y) = 191

-Completar trinomios  en cada grupo sumando en cada uno el cuadrado de la mitad del segundo termino:9(x2 + 2x + (2/22)) + 25(y2- 2y + (2/22)) = 191 + 9(2/22) + 25 (2/22))

-Simplificamos lo anterior:9(x2 + 2x +1) + 25(y2- 2y + 1) = 191 + 9 + 25

-Factorizar los trinomios9(x + 1)2 + 25(y - 1)2 = 225

-Dividir ambos miembros entre el termino independiente para igualar a 1:

(x + 1)2/25 + (y – 1)2/9 = 1  (ecuación ordinaria)

Datos para graficar a partir de la ecuación ordinaria:a = 5        b = 3    C2 = a2 – b2       C2= 25 - 9     C2=16    c = 4

Centro(h,k)  C = (-1,1)Vértices V(h+a,k) V(4,1)             V'(h-a,k) V'(-6,1)Focos F(h+c,k)  F(3,1)          F'(h-c,k)  F'(-5,1)

Vértices del eje menor: B(h, k+b) B(-1,4)                                    B'(h, k -b) B'(-1,-2)

LR =2b2/a  LR=3.6

Gráfica correspondiente:

Dada la ecuación general de una circunferencia, obtener su centro y el radio

Para entrar en materia, tenemos la siguiente ecuación general de una circunferencia:

x2 + y2 − 3x + 4y − 1 = 0

a partir de ella podemos encontrar  el centro y el radio de esa circunferencia.

Para hacerlo, existen dos métodos:

Primer método

La ecuación general dada la vamos a convertir en dos binomios al cuadrado igual a r2, que es la forma de la ecuación

ordinaria,

De nuevo conviene recordar que un binomio al cuadrado se escribe como

(a + b)2, que dasarrollado queda como

(a + b) + (a + b)

a2 + ab +ab + b2

a2 + 2ab + b2

Primer término al cuadrado (x)2, más el doble del producto del primero por el segundo término  2(x)(0,5), más el

cuadrado del segundo término (0,5)2

 

Aquí debemos fijar nuestra atención en el término 2ab, que está precedido por el 2 y tiene ab (sin elevar al cuadrado), siendo a el

primer término y b el segundo del binomio. Este término (b) será clave para poder completar los 3 términos que genera el binomio al

cuadrado (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Volviendo a nuestra ecuación general, debemos saber que en ella la x corresponde al primer término  −la a de  (a + b)2− y

la ycorresponde al segundo −la b de (a + b)2−

Reiteramos nuestra ecuación general:

x2 + y2 − 3x + 4y − 1 = 0 y vamos a separar sus términos para darle forma de dos binomios al cuadrado desarrollados:

Deberíamos obtener algo como:

, entendido como la suma de dos binomios al cuadrado, donde en

cada binomio encontramos:

el cuadrado del primer término (del binomio) (x2 en uno e y2 en el otro)

el doble producto del primer término por el segundo  (−3x en uno y +4y en el otro)

el cuadrado del segundo término (del binomio) (+/− ¿?) en ambos cuadrados y que es ese tercer término que debemos deducir

para cada cuadrado del binomio.

Este tercer término, lo obtendremos del −3x para un binomio y del +4y para el otro.

Respecto a −3x, sabemos que corresponde al segundo término del binomio desarrollado, generalizado como 2ab.

Ahora, si  tenemos     vemos que la x (a) está al cuadrado en x2 (a2) y lineal en x (a), entonces el −3 corresponde

a 2b (el segundo término lineal en 2ab).

Y hacemos

Ya conocemos b, entonces lo ponemos en nuestra fórmula

Hacemos lo mismo para el segundo binomio:

Si tenemos   vemos que la y (a) está al cuadrado en y2 (a2) y lineal en  y (a), entonces el +4 corresponde a 2b (el

segundo término lineal en 2ab).

Y hacemos

Ahora completamos la fórmula

(x2 − 3x + 2,25) + (y2 + 4y + 4) = 1

Ahora, como en el lado izquierdo de la ecuación agregamos +2,25 y +4, para mantenerla equilibrada debemos agregar lo mismo en

el lado derecho:

(x2 − 3x + 2,25) + (y2 + 4y + 4) = 1 + 2,25 + 4

(x2 − 3x + 2,25) + (y2 + 4y + 4) =  7,25

Y ahora tenemos dos trinomios, los cuales nos generarán dos binomios al cuadrado, de la forma:

(x − 1,5)2  + (y + 2)2 = 7,25

Que es la ecuación ordinaria de la circunferencia, y de donde obtendremos las coordenadas del centro y el valor del radio.

Recordemos la estructura de la ecuación ordinaria:

(x − h)2 + (y − k)2 = rsup>2

Reemplazamos y queda

(x − − 1,5)2 + (y − + 2)2 = r2

(x  + 1,5)2 + (y − 2)2 = 7,25

Ecuación que nos dice lo siguiente:

La x y la y representan a las coordenadas de cualquier punto sobre la circunferencia equidistante del centro.

Los valores 1,5 y  −2 representan las coordenadas del centro de la circunferencia anterior

El valor 7,25 representa a r2, por lo tanto 

Entonces, la ecuación general x2 + y2 − 3x + 4y − 1 = 0

corresponde a una circunferencia con centro  C(1,5 ,  −2) cuyo radio es ≈ 2,69 como la que vemos en la figura.

 

 

Ecuación general de la circunferencia de la izquierda:

 

x2 + y2 − 3x + 4y − 1 = 0

 

Segundo método

Lo llamaremos método de fórmulas conocidas.

Para este método utilizaremos solo estas fórmulas (que debemos recordar o conocer):

Primero, recordemos la estructura de la ecuación ordinaria:

(x − h)2 + (y − k)2 = r2

Recordemos que en esta ecuación la x y la y representan las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia que equidiste un

radio desde el centro, y que h y k representan las coordenadas del punto central de la circunferencia (también se utiliza a y b para

identificarlas)

Es a partir de esta ecuación que se obtienen las fórmulas que usaremos:

También tenemos que recordar que la estructura de la ecuación general de la circunferencia la podemos expresar como

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Y si la comparamos con la ecuación dada tendremos

donde vemos que

D vale −3

E vale +4

F vale −1

y con estos datos y con las fórmulas de arriba vamos a conocer las coordenadas del centro:

Nuestra circunferencia tiene centro en las coordenadas (1,5,  −2)

Nuestra circunferencia tiene un radio ≈ 2,69 y sus coordenadas del centro C(1,5,  −2)

 

Ejercicio 1

Calcular el centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 + 2x − 4y − 4 = 0

Recordemos la estructura de la ecuación general:

x2 + y2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0

Que sintetizada queda

x2 + y2  +  Dx  + Ey + F = 0

Desarrollemos la ecuación

x2 + y2 + 2x − 4y − 4 = 0

x2 + y2 + 2x − 4y = 4

Busquemos los dos binomios al cuadrado

El tercer término que falta en el primer binomio se obtiene de

Y el tercer término que falta en el segundo binomio se obtiene de

Asi formamos:

 

Vemos que al lado izquierdo agregamos +1 y +4 (los terceros términos de los binomios) por ello agregamos los mismos valores a la

derecha de la ecuación, para equilibrarla.

Ahora  partir de estos dos trinomios podemos definir dos binomios al cuadrado:

(x + 1)2 + (y − 2)2 = 9

que, como vemos, se asemeja a nuestra ecuación ordinaria de la forma

(x − h)2 + (y − k)2 = r2

Si comparamos, resulta que

h = +1

k = −2

Reemplazamos y tenemos

(x − +1)2 + (y − −2)2 = r2

(x − 1)2 + (y + 2)2 = 9

(x − 1)2 + (y + 2)2 = 3

Respuesta:

Las coordenadas del centro de la circunferencia dada son (─1, 2) y su radio es igual a 3.

 

Usemos el método de las fórmulas.

Conocemos la estructura de la ecuación ordinaria:

(x − h)2 + (y − k)2 = r2

Conocemos las fórmulas

Estructura de la ecuación general de la circunferencia:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

La comparamos con la ecuación dada, y tendremos

donde vemos que

D vale +2

E vale −4

F vale −4

Reemplacemos en las fórmulas:

Nuestra circunferencia tiene centro en las coordenadas (−1,  2)

Y su radio es

Nuestra circunferencia tiene un radio igual a 3