Clase 08 - Metodo Simplex - Otras Formas

05/09/2014

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El Mtodo Simplex

investigacin de operaciones i

Otras formas del modelo Casos especiales

Recordemos

El mtodo simplex es un procedimiento algebraico

convertir cada desigualdad de la forma original, en una igualdad equivalente

Desigualdades del tipo variables de holgura

Y las dems formas? hoy!!

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Recordemos

Forma aumentada del modelo

Solucin aumentada

Solucin bsica factible y solucin bsica no factible

Variables bsicas y no bsicas Cuntas variables bsicas y no bsicas tiene un

problema con 10 variables totales y 6 restricciones funcionales?

Recordemos

Procedimiento algebraico del simplex:

Halla solucin bsica factible inicial

Prueba optimalidad

Nueva iteracin: Determinar cul variable entra y cul sale

Calcular nueva solucin bsica factible

El simplex tabular

Ms fcil hacer clculos y anlisis

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Otras formas del modelo

Forma estndar:

FO: Maximizar

Restricciones del tipo

Lados derechos positivos

Variables no negativas

Otras formas:

FO: Minimizar

Restricciones de igualdad

Restricciones de la forma

Lados derechos negativos

Variables libres, negativas

Funcin objetivo: minimizar

Minimizar

Es equivalente a: Maximizar Mientras ms pequeo es Z ms grande es Z, por tanto la solucin que da el valor mnimo de Z en la regin factible, tambin dar el mximo valor de Z en dicha regin

j

jj XCZ

j

jj XCZ )(

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Restriccin de igualdad

Cualquier restriccin del tipo a11X1 + a12X2 + .............+ a1nXn = b1 Podra escribirse como: a11X1 + a12X2 + .............+ a1nXn b1 a11X1 + a12X2 + .............+ a1nXn b1

Esto sera inconveniente ya que aumentara el

nmero de restricciones. Por cada restriccin de igualdad apareceran dos

restricciones de desigualdad


Ejemplo: Si en el caso de la Windor, se cambiara la tercera restriccin de desigualdad, por una igualdad, se tiene:

Max Z = 3X1 + 5X2 Sujeto a:

X1 4

2X2 12

3X1 + 2X2 = 18

X1, X2 0

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5


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x2

x1

(2,6)

Regin factible (solo el segmento de recta)

(4,3)


La forma aumentada del problema es:

(0) Z 3x1 5x2 = 0

(1) x1 + x3 = 4

(2) 2x2 +x4 = 12

(3) 3x1 + 2x2 = 18

Cul es la solucin B.F. inicial?

No est completa la matriz identidad!.

Introducir Variables artificiales o ficticias.

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Variables artificiales

Sirven para completar una solucin B.F inicial.

Deben ser no negativas

Se deben introducir penalizaciones muy grandes en la funcin objetivo. (Cj)

Sirven como V.B en la ecuacin en que han sido introducidas.

El proceso iterativo del simplex se deshace de ellas (si el problema real es factible)

No pueden aparecer en la solucin final (no tienen significado real)

Mtodo de la M grande

PASO 1:

Adicionar una variable artificial X5 al lado izquierdo de la restriccin de igualdad

3X1 + 2X2 + X5 = 18

Es similar a introducir una variable de holgura

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PASO 2:

Se asigna una penalizacin o castigo enorme en la funcin objetivo por el hecho de incluir la variable artificial. X5 0

Se modifica la funcin objetivo, as:

Maximizar Z = 3X1 + 5X2 - MX5 (-M castiga al mximo la FO)

M > 0 y M >>> Cj



La forma aumentada del problema es:

(0) Z 3x1 5x2 +Mx5 = 0

(1) x1 + x3 = 4

(2) 2x2 +x4 = 12

(3) 3x1 + 2x2 + x5 = 18

Solucin bsica factible: (0, 0, 4, 12, 18)

FACTIBLE para el problema artificial

NO FACTIBLE para el problema real Z = -M(18)

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PASO 1:

Se resta una variable de exceso, de excedencia o de superavit al lado izquierdo de la restriccin del tipo para convertirla en igualdad

a11X1 + a12X2 + ... + a1nXn b1 a11X1 + a12X2 + ... + a1nXn Xn+1= b1

Donde Xn+1 0 y es la variable de exceso

PASO 2:

A esta nueva restriccin se le adiciona una variable artificial, para hallar una solucin bsica factible inicial (completar la matriz identidad).

a11X1 + a12X2 + ... + a1nXn Xn+1= b1

a11X1 + a12X2 + ... + a1nXn Xn+1 + Xn+2 = b1

Recuerde que al agregar una variable artificial debe penalizar la FO.


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Lados derechos negativos

Se multiplica toda la restriccin por (-1), as:

a11X1 + a12X2 + ...........+ a1nXn = -bi -a11X1 - a12X2 - ............ - a1nXn = bi

En restricciones de desigualdad, al multiplicar por (-1), se invierte el signo de sta, as:

a11X1 + a12X2 + .............+ a1nXn - b1 -a11X1 - a12X2 - .............- a1nXn b1

Ejemplo

Minimizar Z =0.4X1 + 0.5X2 Sujeto a:

0.3X1 + 0.1X2 2.7

0.5X1 + 0.5X2 = 6

0.6X1 + 0.4X2 6

X1, X2 0

Funcin objetivo: Min Z= - Max Z

Restriccin + variable de holgura

Restriccin = + variable artificial

Restriccin - variable de exceso + variable artificial

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Forma aumentada

Max -Z = -0.4X1 -0.5X2 -MX4 -MX6 = 0

Sujeto a:

0.3X1 + 0.1X2 + X3 = 2.7

0.5X1 + 0.5X2 +X4 = 6

0.6X1 + 0.4X2 - X5 + X6 = 6

X1 , X2, X3, X4 , X5, X6 0

Forma aumentada

(0) -Z + 0.4X1 + 0.5X2 +MX4 +MX6 = 0

(1) 0.3X1 + 0.1X2 + X3 = 2.7

(2) 0.5X1 + 0.5X2 +X4 = 6

(3) 0.6X1 + 0.4X2 - X5 + X6 = 6

El problema no est en la forma estndar de la eliminacin gaussiana

Los coeficientes de las VB deben ser 1 en su rengln y 0 en las dems.

Cules son las VB? Qu pasa con sus coeficientes en la FO?

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Forma aumentada - estndar

Multiplicar el rengln de la variable, por menos el coeficiente de la variable en el rengln original y el resultado sumarlo con el rengln original

(0) - Z + 0.4X1 +0.5X2 + MX4 +MX6 = 0

(2)*-M -M( 0.5X1 + 0.5X2 +X4 = 6 )

(3)*-M -M( 0.6X1 + 0.4X2 - X5 + X6 = 6 )

________________________________________________

+(0) - Z + (0.4 -1.1M) X1 + (0.5-0.9M) X2 + MX5 = -12M

Solucin por simplex tabular

Iteracion = 0

Ec # VB Coeficientes Lado

derecho Razn

Z X1 X2 X3 X4 X5 X6

(0) Z -1 -1.1M+0.4 -0.9M+0.5 0 0 M 0 -12M

(1) X3 0 0,3 0,1 1 0 0 0 2,7

(2) X4 0 0,5 0,5 0 1 0 0 6

(3) X6 0 0,6 0,4 0 0 -1 1 6

Las variables bsicas forman una matriz identidad

Variables bsicas Columna

pivote

Coeficiente ms negativo Variable que

entra

-

9

12

10

Mnimo

Rengln pivote Variable

que sale

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despus de las operaciones algebraicas elementales

Iteracion = 1


derecho Razn

Z X1 X2 X3 X4 X5 X6

(0) Z -1 0 -16M+11

30 11M-4

3 0 M 0 -2,1M-3,6

(1) X1 0 1 1/3 10/3 0 0 0 9

(2) X4 0 0 1/3 5/3 1 0 0 1,5

(3) X6 0 0 1/5 -2 0 -1 1 0,6

-

27

4,5

3



Iteracion = 2


derecho Razn

Z X1 X2 X3 X4 X5 X6

(0) Z -1 0 0 -5M+7

3 0

-5M +11 3 6

8M -11 3 6

-0,5M-4,7

(1) X1 0 1 0 20/3 0 5/3 -5/3 8

(2) X4 0 0 0 5/3 1 5/3 -5/3 0,5

(3) X2 0 0 1 -10 0 -5 5 3

-

4,8

0,3

-

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Iteracion = 3


derecho Razn

Z X1 X2 X3 X4 X5 X6

(0) Z -1 0 0 0,5 M-1,1 0 M -5,25

(1) X1 0 1 0 5 -1 0 0 7,5

(2) X5 0 0 0 1 0,6 1 -1 0,3

(3) X2 0 0 1 -5 3 0 0 4,5

No hay coeficientes negativos!... SOLUCIN PTIMA!

(X1, X2, X3, X4, X5, X6) = (7.5, 4.5, 0, 0, 0.3, 0) Valor de la FO: Z=5.25

Casos especiales

1. Empate en la variable que entra.

2. Empate en la variable que sale (degeneracin).

3. Cuando no hay variable bsica que sale. (Z no acotada).

4. Soluciones ptimas alternativas.

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Empate en la variable que entra

Suponga que en el ejemplo de la Windor, la funcin objetivo es:

Max Z = 3X1 + 3X2

Tanto X1 como X2 pueden entrar a la base.

La eleccin es arbitraria

Empate en la variable que entra

Iteracion = 0

Ec #

VB Coeficientes Lado

derecho Razn

Z X1 X2 X3 X4 X5

(0) Z 1 -3 -3 0 0 0 0

(1) X3 0 1 0 1 0 0 4

(2) X4 0 0 2 0 1 0 12

(3) X5 0 3 2 0 0 1 18

Empate en la variable que entra a la base

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Empate en la variable que sale

Esto significa que en algn momento, la prueba del cociente mnimo tiene un empate.

A primera vista parecera que no hay problema, pero en realidad al escoger una de las 2 como variable que sale, la otra variable que no se escoge quedar dentro de la base con valor 0

El simplex puede entrar en un ciclo infinito

Variable degenerada

Cuando no hay variable que sale

Suponga que el problema de PL es:

Max Z = 3X1 + 5X2 Sujeto a X1 4

X1, X2 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2

3 4 5

6 7 8

9 10

X1 = 4

x2

x1

Regin factible no acotada

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Cuando no hay variable que sale

Iteracion = 0

Ec #


derecho Razn

Z X1 X2 X3

(0) Z 1 -3 -5 0 0

(1) X3 0 1 0 1 4

Columna pivote

No se puede hacer prueba del cociente mnimo!!! (todos los coeficientes de la columna pivote son negativos o ceros

cul variable sale??

Hay un ERROR en la formulacin Regin factible no acotada!

Mltiples soluciones alternativas

Cualquier problema de programacin lineal con soluciones ptimas mltiples (y una regin factible acotada), tiene al menos 2 soluciones FEV que son ptimas

Cuando esto ocurre, al menos una V.N.B tiene coeficiente cero en la ecuacin (0) final, de manera que si aumenta su valor, el valor de la funcin Z no cambia

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Mltiples soluciones alternativas

En el caso de la Windor, si cambiara la funcin objetivo:

Max Z = 3X1 + 2X2 Sujeto a:

X1 4

2X2 12

3X1 + 2X2 18

X1, X2 0

Grficamente

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

x2

x1

( 2,6)

(4,3)

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Solucin

Despus de las operaciones algebraicas elementales

Iteracion = 2

Ec #


derecho Razn

Z X1 X2 X3 X4 X5

(0) Z 1 0 0 0 0 1 18

(1) X1 0 1 0 1 0 0 4

(2) X4 0 0 0 3 1 -1 6

(3) X2 0 0 1 -3/2 0 1/2 3

Solucin ptima?? S!

Solucin

Qu pasa si entra X3 a la base?

Iteracion = 3

Ec #


derecho Razn

Z X1 X2 X3 X4 X5

(0) Z 1 0 0 0 0 1 18

(1) X1 0 1 0 0 -1/3 1/3 2

(2) X3 0 0 0 1 1/3 -1/3 2

(3) X2 0 0 1 0 1/2 0 6

Solucin ptima??

S!

como existe una V.N.B con coeficiente cero en el rengln (0), existe al menos otra solucin FEV ptima, y por tanto infinitas.

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Recapitulando

Otras formas: Min Z = Max Z Restriccin : + variable de holgura Restriccin =: + variable artificial. Penalizacin en la FO Restriccin : - variable de exceso + variable artificial.

Penalizacin en la FO

Casos especiales: Empate en la variable que entra. Empate en la variable que sale (degeneracin). Cuando no hay variable bsica que sale.

(Z no acotada). Soluciones ptimas alternativas.

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