E.E.I. CALCULO II Y ECUACIONES DIFERENCIALES Curso 2014-15

Clase 18(Lun. 6 abr 2015 )

Familias de curvas. Ecuaciones Homogeneas y EcuacionesLineales.

1. La ecuacion diferencial de una familia de curvas. 2. Familias de curvas ortogonales. 3. Ecuaciones homogeneas.4. Reduccion de una ecuacion homogenea a una separable. 5. Ecuaciones lineales. 6. Ejercicios

1. La ecuacion diferencial de una familia de curvas.

La forma mas frecuente de definir una familia de curvas es como la familia de curvas de nivel de unafuncion de dos variables, es decir, la familia de las intersecciones de la grafica:

z = f(x, y)

con los planos z = cte.

Por ejemplo, la familia de las circunferencias con centro en el origen es la familia de las curvas de nivelde la funcion f(x, y) = x2 + y2.

Un metodo un poco mas general de definir una familia de curvas es a partir de la ecuacion de unasuperficie g(x, y, z) = 0 y definir la familia como las curvas obtenidas al intersecar esta superficie con losplanos z = cte.

Toda familia de curvas obtenida de esta forma es tambien la familia de soluciones de una ecuaciondiferencial que se puede hallar derivando la ecuacion

g(x, y, k) = 0 (1)

respecto a x o respecto a y (la z se mantiene constante e igual a k para no cambiar de una curva a otra dela familia).

Si al derivar desaparece la constante k, el resultado es la ecuacion diferencial buscada. Esto es lo queocurre con la familia de circunferencias centradas en el origen: Derivando

x2 + y2 = k

respecto a x obtenemos

2x+ 2yy = 0 , o bien: y = xy.

Hemos obtenido la ecuacion diferencial de la familia de las circunferencias con centro en el origen.

Si al derivar la ecuacion de la familia de curvas no desaparece la constante k, entonces tenemos queeliminarla despejandola de la ecuacion (1) y sustituyendo su valor en la ecuacion obtenida al derivar.Veamos un ejemplo de esto.

La familia de las circunferencias tangentes al eje y en el origen es la familia definida por

(x a)2 + y2 = a2

donde a es la abscisa del centro y por tanto el radio de la circunferencia es |a|.Derivando respecto a x,

2(x a) + 2yy = 0 o bien x+ yy = a.

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Vemos que la constante no ha desaparecido, por lo tanto tenemos que despejarla de la ecuacion de lafamilia, que se puede escribir: x2 + y2 = 2ax, de donde

a =x2 + y2

2x

y la ecuacion diferencial de la familia queda

x+ yy =x2 + y2

2xo bien y =

x2 + y22xy

.

2. Familias de curvas ortogonales.

El interes que tiene para nosotros el poder hallar la ecuacion diferencial de una familia de curvas radicaen el hecho de que a partir de ella es muy sencillo escribir la ecuacion diferencial de la familia de las curvasortogonales a las de la primera familia.

En el ejemplo de las circunferencias centradas en el origen la familia ortogonal es la de las rectas quepasan por el origen y en el caso de las circunferencias tangentes al eje y en el origen, la familia ortogonales la de las circunferencias tangentes al eje x en el origen.

Si sabemos que la ecuacion diferencial de una familia de curvas es

y = f(x, y),

la ecuacion diferencial de la familia ortogonal es simplemente

y = 1f(x, y)

.

La razon de ello es que sim es la pendiente de una recta, la pendiente de una recta cualquiera perpendiculara ella es1/m. Ahora bien, f(x, y) es la pendiente en el punto (x, y) de la curva de la primera familia quepasa por ese punto (ya que es igual a y y sabemos que y es la pendiente de la recta tangente). Por tanto,la pendiente en (x, y) de la curva de la familia ortogonal que pasa por ese punto es la inversa y opuesta, osea, 1/f(x, y).

En el caso de las circunferencias con centro en el origen, cuya ecuacion diferencial hemos visto que esy = x/y, la familia ortogonal tiene ecuacion y = y/x o

dy

y=dx

x.

La solucion de esta ecuacion es ln y = lnx+ c y poniendo m = ec esta solucion se convierte en y = mxque es la ecuacion de la familia de rectas que pasan por el origen.

Ejemplo 1Teniendo en cuenta que las circunferencias tangentes al eje y en el origen foman la familia de curvasdefinida por

(x a)2 + y2 = a2,hallar las trayectorias ortogonales a estas circunferencias.

Solucion: En este problema utilizaremos las coordenadas polares. Para escribir en polares la ecuacionde la familia ortogonal hay que tener en cuenta que un arco infinitesimal de curva es la hipotenusa de untriangulo rectangulo con catetos dr y rd y Es cierto que en coordenadas cartesianas la familia ortogonala la de ecuacion y=f(x,y) tiene ecuacion y=1/f(x,y), pero hay que entender que la razon de ello, comoexplique en teora y en la clase de la practica 9, es que en coordenadas cartesianas y = dy/dx es la pendientede la curva o tangente del angulo que la curva forma con la curva coordenada y = constante(cociente delos catetos dy y dx de un triangulo rectangulo cuya hipotenusa es un arco infinitesimal de la curva). Encoordenadas polares tenemos que poner: Si en la familia 1 se cumple:

tangente del angulo que la curva forma con la curva coordenada r = constante= f(r, )

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entonces en la familia ortogonal se cumple:

tangente del angulo que la curva forma con la curva coordenada r = constante= 1/f(r, )pero hay que tener en cuenta que en coordenadas polares:

tangente del angulo que la curva forma con la curva coordenada r = constante= dr/(rd) (cocientede los catetos dr y rd de un triangulo rectangulo cuya hipotenusa es un arco infinitesimal de la curva).

Por eso en polares la familia ortogonal a una de ecuacion (1/r)dr/d = f(r, ) tiene ecuacion(1/r)dr/d = 1/f(r, ). Por tanto en la curva ortogonal la expresion drrd tiene un valor inversoy opuesto, de forma que dada una curva de ecuacion

dr

rd= f(r, )

la familia ortogonal tiene ecuaciondr

rd= 1

f(r, ).

Volviendo a nuestro problema:

1. Expresamos la ecuacion de esta familia en coordenadas polares:

x2 2ax+ a2 + y2 = a2 , x2 + y2 = 2ax , r2 = 2ar cos , r = 2a cos .2. Hallamos la correspondiente ecuacion diferencial en coordenadas polares:

r

cos = 2a ,

dr cos + r sen d

cos2 = 0 , dr cos + r sen d = 0.

3. La ecuacion diferencial de la familia ortogonal en coordenadas polares es: dr sen r cos d = 0.4. La ecuacion de las trayectorias ortogonales en coordenadas polares es: r = c sen .5. La ecuacion de las trayectorias ortogonales en coordenadas cartesianas es: x2 + y2 = cy.

3. Ecuaciones homogeneas.

Se llama funcion homogenea de dos variables a toda funcion f(x, y) tal que para cualquier constante kse cumple

f(kx, ky) = kn f(x, y),

es decir, f(x, y) es homogenea si al multiplicar x e y por una misma constante la constante sale fueraelevada a algun exponente. El exponente n con el que sale la constante k se llama el grado de la funcionhomogenea.

Los principales ejemplos de funciones homogeneas son los polinomios homogeneos, por ejemplo:

x2 + y2, x2y, 3x+ 2y, e incluso una funcion de una variable: f(x, y) = x3.

Pero aparte de los polinomios homogeneos hay muchas otras funciones homogeneas, como por ejemplo loscocientes de polinomios homogeneos (funciones racionales homogeneas) y sus races de distintos ndices.

Se llama ecuacion diferencial homogena1 a toda ecuacion diferencial de la forma

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0, (2)

donde las funciones M y N son funciones homogeneas del mismo grado.

Toda ecuacion diferencial homogenea se puede escribir en la forma

dy

dx= f(x, y), (3)

donde f(x, y) es una funcion homogenea de grado cero. Concretamente:

f(x, y) = M(x, y)N(x, y)

.

Recprocamente, toda ecuacion de la forma (3) es una ecuacion diferencial homogenea, de forma quela definicion de ecuaciones homogeneas mediante (2) es equivalente a la definicion mediante (3).

1Cuidado! Tambien se usa la palabra homogenea para otra cosa que no hay que confundir con lo que estamos definiendo: Lasllamadas ecuaciones lineales homogeneas no son ecuaciones homogeneas en el sentido aqu definido.

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4. Reduccion de una ecuacion homogenea a una separable.

La clave para reducir una ecuacion homogenea como la (3) a una separable consiste en la siguientepropiedad de las funciones homogeneas de grado cero:

f(x, y) = f(x 1, x yx ) = x0f(1, yx ) = f(1, yx ).Esto nos permite reducir la ecuacion (3) a una separable mediante el sencillo cambio de variable

z =y

x.

Para realizar el cambio ponemos,

zx = y, zx+ z = y = f(x, y) = f(1, yx ) = f(1, z)

con lo cual nuestra ecuacion queda

zx+ z = f(1, z), o biendz

f(1, z) z =dx

x

Ejemplo 2Comprobar que la ecuacion (x+ y)dx (x y)dy = 0 es homogenea y resolverla mediante su reducciona una ecuacion separable.

Claramente x + y y x y son funciones homogeneas del mismo grado ya que ambas son polinomioshomogeneos de grado 1. Por tanto sabemos que el cambio z = y/x transformara la ecuacion en unaseparable. Primeramente introducimos ese cambio para obtener

(1 + z)dx (1 z)dy = 0.Ahora diferenciando ambos miembros de la ecuacion zx = y,

xdz + zdx = dy

con lo que la ecuacion se transforma en

0 = (1 + z)dx (1 z)(xdz + zdx) = dx+ zdx (1 z)xdz (1 z)zdx= dx+ zdx (1 z)xdz zdx+ z2dx= (1 + z2)dx (1 z)xdz

de dondedx

x=

1 z1 + z2

dz

e integrando,

lnx =

zz1

1 t1 + t2

dt = arctan z ln1 + z2 + c

donde hemos tomado el valor de z para x = 1, z1 = z(1) = y1 y la constante c es

c = ln1 + y21 arctan y1

deshaciendo el cambio z = y/x encontramos la solucion en terminos de y:

arctany

x+ c = lnx+ ln

1 + z2 = ln

x2 + y2

x2 + y2 = e

(arctan yx+c

);x2 + y2 = kearctan

yx .

Este resultado es claramente mas sencillo expresado en coordenadas polares ya que se reduca a:

r = ke.

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5. Ecuaciones lineales.

Una ecuacion diferencial lineal de primer orden es una ecuacion de la forma

A(x)y +B(x)y = C(x).

Como se ve, el miembro de la izquierda es una combinacion lineal de y e y y de ah el nombre de estasecuaciones. Toda ecuacion diferencial lineal de primer orden es equivalente a otra en el que el coeficientey es igual a 1. Esto se consigue dividiendo toda la ecuacion por A(x) para escribir la ecuacion en su formaestandard:

y + p(x)y = q(x) (4)

donde

p(x) =B(x)

A(x), q(x) =

C(x)

A(x).

La resolucion de la ecuacion lineal (4) se basa en el hecho de que toda solucion se puede escribir comoproducto de dos funciones:

y = uv,

cada una de las cuales satisface una ecuacion separable.

Si sustituimos y = uv junto con y = uv + uv en (4) tendremos:

uv + uv + puv = q, es decir: uv + u(v + pv) = q.

Podemos hallar una funcion v que haga que el prentesis sea cero y la ecuacion se reduzca a uv = q. Sea,pues, v una solucion particular de la ecuacion lineal homogenea (separable) v + pv = 0,

v + p(x)v = 0, v = ef(x) donde f(x) =p(t)dt,

nuestra ecuacion queda reducida a

uv = q, es decir: u = q/v = q(x)ef(x), u =q(t)ef(t)dt.

En resumen, la resolucion de la ecuacion (4) se puede hacer en dos pasos:

1. Hallamos una primitiva cualquiera de la funcion p(x). Sea

f(x) =

p(t)dt.

2. Escribimos la solucion:

y(x) = ef(x) xx0

q(t)ef(t)dt

Una forma de recordar esta formula es pensar que tenemos una funcion que cumple f (x) = p(x) ycalcular la derivada del producto y(x)ef(x) donde y es una solucion de nuestra ecuacion (4). Obtenemos:

d

dx

(yef(x)

)= yef(x) + y ef(x)f (x) = yef(x) + y ef(x)p(x) = (y + p(x)y)ef(x) = q(x)ef(x)

lo cual nos dice que

yef(x) =

q(t)ef(t)dt

Ejemplo 3Resolver la ecuacion diferencial lineal y +

y

x= 3x

(observa que esta es equivalente a xy + y = 3x2 y esta a (xy) = 3x2 cuya solucion es xy = x3 + k).

En este caso p(x) = 1/x, f(x) = lnx, ef(x) = x y la solucion es:

y =1

x

xx0

3t2dt =x3 x30

x, y = x2 c

xo tambien x3 xy = c.

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6. Ejercicios

1. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales

a) y = 0.

b) y + y2 senx = 0.

c) y =x+ y.

d) 4xydx+ (x2 +1)dy = 0.

e)(1 + ex

)yy = ex.

f ) y = (x+ y)2.

Solucion: (a) y = c. (b) y = 1/(c cosx). (c) Elevando al cuadrado y derivando se transforma en una ec. desegundo orden que se puede resolver por reduccion de orden. Tambien puede resolverse aplicando el cambio devariable u = x + y, u = 1 + y. (d) Separable. y = k/

(1 + x2

)2. (e) Separable. ey2 = k(1 + ex)2. (f) Conel cambio de variable u = x+ y, u = 1 + y se convierte en u = 1 + u2.

2. Resuelve la siguiente ecuacion diferencial:

xy + y = 3x2.

Solucion: y = x2 + cx.

3. Para cada familia de curvas definida por las siguientes ecuaciones diferenciales (donde k es unaconstante), halla la ecuacion diferencial de la familia ortogonal:

a) xy = k.

b) x2 y2 = kx.c) y = kex.

d) y2 = 2kx+ k2.

e) y = 5x2 + 3x+ k.

f ) y = kx2.

Solucion: Las ecuaciones de las familias ortogonales son las siguientes:

a) x2 y2 = k.

b) 3x2y + y3 = k.

c) x+ 12y2 = k.

d) y2 = 2kx+ k2.e) y = k 1

10ln(10x+ 3).

f ) x2 + 2y2 = k.

4. Demostrar que el cociente de una funcion homogenea de grado m entre una funcion homogenea degrado n es otra funcion homogenea de grado m n.

5. Comprueba que las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas y halla su solucion general:

a) ydx+ xdy = 0. b) y2dx+ 2xydy = 0. c) xdx+ ydy = 0.

Solucion:

a) xy = cte. b) xy2 = cte. c) x2 + y2 = cte.

6. Comprueba que las siguientes ecuaciones diferenciales son homogeneas y halla su solucion general:

a) (x+ y)dx = (x y)dy. b) (x+ 3y)dx = (x y)dy. c) xy = y + 2xey/x.

Solucion:

a) ln(cx2 + y2

)= arctan x

y. b) k(x+ y) = e

2xx+y .

c) ln kx2 = ey/x.

7. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales lineales:

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a) y + 4xy = 8x.b) y + y = 2xex + x2.

c)(y senx cos4 x)dx+ cosxdy = 0.

Solucion:

a) y = 2 ke2x2 .b) y = (x2 + k)ex + x2 2x+ 2.

c) y = 12cosx(k + x+ senx cosx).

8. Resuelve la siguiente ecuacion diferencial homogenea:

xy = y +x2 y2.

Solucion: y = x sen(k + lnx).

9. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales lineales

a) xy 3y = x4.b) y + y = 1/

(1 + e2x

).

c) y + y = 2xex + x2.

d)(2y x3)dx = xdy.

Solucion:

a) y = x4 + kx3.

b) y = ex(k + arctan(ex)

).

c) y = 1 + (x 1)2 + (x2 + k)ex.d) y = (k x)x2.

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