Clase 11 (1)
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diapositiva de matemática aplicada a la electrónica
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Matemtica Aplicada a la Electrnica
Profesor: Mg. Ing. Daniel Mendoza
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Matemtica Aplicada a la Electrnica
Transformadas de Laplace
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*
Sistemas de control
El diseo de controladores se basa en el modelamiento por funciones de transferencia, las cuales son un resultado de la aplicacin de las
Transformadas de Laplace a la teora de control.
*
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Transformadas de Laplace
Objetivos:
Definir transformadas de Laplace y describir algunas de sus propiedades.Calcular algunas transformadas de funciones conocidas usando la definicin formal. -
*
Pierre-Simon Laplace
(1749 - 1827)
"Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro.
Se podra condensar un intelecto que en cualquier momento dado sabra todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen, si este intelecto fuera lo suficientemente vasto para someter los datos al anlisis, podra condensar en una simple frmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del tomo ms ligero; para tal intelecto nada podra ser incierto y el futuro as como el pasado estaran frente sus ojos."
*
-
*
Sea f(t) una funcin definida para t 0, su transformada de Laplace se define como:
donde s es una variable compleja
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge.
La transformada de Laplace
*
-
*
Observe que la transformada de Laplace es una
integral impropia, uno de sus lmites es infinito:
Notacin:
La transformada de Laplace
*
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*
Calcula la transformada de f(t) = 1:
Nota: Se puede deducir que L{a} = a/s y L{0} = 0.
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*
Calcula la transformada de f(t) = tn:
*
-
*
Calcula la transformada de f(t) = e-t:
*
-
*
Calcula la transformada de f(t) = sin(at):
Ejercicio: calcula F(s) para f(t) = cos(at)
*
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*
Otra forma:
*
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Ejercicios
Encuentre la transformada de Laplace de las siguientes funciones:f(t) = 2t2f(t) = 3sin(2t)f(t) = 3e-tf(t) = t2-3t+5f(t) = 2cos(3t)+3sin(2t)f(t) = 4et-5e-2tf(t) = (t2-3)2f(t) = 2cos2(t)f(t) = e-t (e2t+2e-t)2f(t) = 5sin(t)cos(t)f(t) = - 4cos(t) -
Propiedad de primera traslacin
Supongamos que f es una funcin, tal que su transformada exista F(s) = L{f(t)}. Entonces, se verifica:L{eat f(t)} = F(s-a)
Ejemplo: Calcule las transformadas de las siguientes funciones:
f(t) = eat t f(t) = ebt tnf(t) = ect*sin(bt)f(t) = et*(t+cos(t))f(t) = e-2t (3 cos (6t) 5 sin (6t)) -
Funcin de escaln unitario
La funcin escaln de Heaviside, tambin llamada escaln unitario, es una funcin discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo y 1 para cualquier argumento positivo.Esta funcin permite representar una seal que se activa en un momento muy especficoy se queda activada permanentemente.*
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Ejercicios
Represente lo siguiente en base a funciones de Heaviside: -
Propiedad de segunda traslacin
Si F(s) = L{f(t)} y g(t) definido de la siguiente manera:Entonces L{g(t)} = e-as F(s)Esta propiedad indica que la transformada de la funcin de Heaviside viene dada por:L{u(t-a)} = (e-as)/s
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Ejercicios
Calcule las transformadas de las siguientes funciones:f(t) = (t-a) * u(t-a)f(t) = cos(t-2/3)*u(t-2/3)f(t) =f(t) =
*
f(t)
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
-
Transformadas de
Encuentre las siguientes transformadas de Laplace:Si L {f(t)} = F(s) L (f (t)) = ?Si L {f(t)} = F(s) L (f (t)) = ?Si L {f(t)} = F(s) L (0t F(u)du) = ?Si f(t) = 0t sin(ku)du, F(s) = ?
derivadas e integrales*
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Tarea
Investigue mtodos para realizar las siguientes transformadas:Si f(t) = t*sin(t), F(s) = ?Si f(t) = t2 sin(t), F(s) = ?Si f(t) = t3 sin(t), F(s) = ?Si f(t) = sin(t) / t, F(s) = ?Si f(t) = (e-at - e-bt) / t, F(s) = ?Si f(t) = (t-c): Delta de Dirac*
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Tarea
Si F(t) es una funcin peridica (T), demostrar que se cumple:Encontrar la transformada de:*
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f(t)
123450
0
1
2
3
