Método Gauss-JordanClase 9

20-Junio-2014

Método de Gauss-Jordan

Este método consiste en eliminar todas las incógnitas de cada

ecuación, excepto aquella que se encuentra ubicada en la

diagonal principal. Para ilustrar como funciona se resolverá el

siguiente ejemplo.

Ejemplo

Emplear el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente

sistema

1 2 1

1 2 3

1 2 3

3 2

4 2 1

4 15

x x x

x x x

x x x

Solución

Al representar el sistema anterior en forma matricial se tiene:

3 1 1 2

1 4 2 1

1 1 4 15

Solución

Para normalizar el primer renglón y transformar en ceros los

elementos de la columna que se encuentran debajo del elemento

, se utiliza el mismo procedimiento que se utilizo en eliminación

Gaussiana, por lo que se efectúan las siguientes operaciones:

Solución

Al representar el sistema anterior en forma matricial se tiene:

1 1

2 2 1

3 3 1

1 1 / 3 1 / 3 2 / 3/ 31 4 2 1

1 1 4 15

(1) 1 1 / 3 1 / 3 2 / 3

0 13 / 3 7 / 3 5 / 3(1)

0 2 / 3 13 / 3 43 / 3

R R

R R R

R R R

Solución

Para normalizar el segundo renglón y transformar en ceros los

elementos que se encuentran arriba y abajo del elemento se

hacen las siguientes operaciones:

Solución

2 2

1 1 2

2 2 1

1 1 / 3 1 / 3 2 / 3

0 13 / 3 7 / 3 5 / 3

0 2 / 3 13 / 3 43 / 3

1 1 / 3 1 / 3 2 / 3(3 /13)

0 1 7 /13 5 /13

0 2 / 3 13 / 3 43 / 3

(1 / 3) 1 0 2 /13 7 /13

0 1 7 /13 5 /13(2 / 3)

0 0 61 /13 183 /13

R R

R R R

R R R

Solución

Para normalizar el tercer renglón y transformar en ceros los

elementos de la columna que se encuentra arriba del elemento

se efectúan las siguientes operaciones:

Solución

3 3

2 2 3

1 1 3

1 0 2 /13 7 /13 1 0 2 /13 7 /13(13 / 61)

0 1 7 /13 5 /13 0 1 7 /13 5 /13

0 0 61/13 183 /13 0 0 1 3

(7 /13)

(2 /13)

1 0 0 1

0 1 0 2

0 0 1 3

R R

R R R

R R R

Solución

La matriz anterior contiene la solución del sistema lineal, el

ultimo vector , para , la solución del sistema, de esta forma el

vector solución es:

1

2

3

1

2

3

x

x x

x

Solución

Este método tiene la ventaja de proporcionar directamente la

solución, sin necesidad de despejar y sustituir hacia atrás, como

ocurre con el método de eliminación Gaussiana. La desventaja

del método Gauss-Jordan es que el numero de operaciones que

se efectúan para llegar a la solución es aproximadamente el

doble que el método de eliminación gaussiana.

Implementación del método de Gauss-Jordan mediante el uso de Excel

1. Introducir el sistema anterior a resolver en forma de matriz

aumentada y normalizar el elemento , tal como se muestra en

la figura 1.

Figura 1. Normalización del primer renglón de la matriz aumentada de un sistema lineal De ecuaciones

Implementación del método de Gauss-Jordan mediante el uso de Excel

2. Transformar en ceros los elementos de la columna debajo del

elemento normalizado de la diagonal principal, tal como se

muestra en la figura 2. Cabe aclarar que se hace la misma

operación a lo largo de todo el renglón, para no cometer

ninguna violación algebraica.

Figura 2. Generación de ceros debajo del primer elemento de la diagonal principal

Implementación del método de Gauss-Jordan mediante el uso de Excel

3. Normalizar el renglón dos y transformar en ceros los elementos

de la columna que se encuentra arriba y abajo del elemento

normalizado de la diagonal principal. Tal como se muestra en la

figura 3.

Figura 3. Normalización del segundo renglón y generación de ceros arriba y abajo del elemento

Implementación del método de Gauss-Jordan mediante el uso de Excel

4. Normalizar el tercer reglón y transformar en ceros los elementos

de la columna que se encuentra arriba del elemento , tal como

se muestra en la figura 4.

Figura 4. Normalización del tercer renglón y generación de ceros arriba del elemento