clase 1,2

7/21/2019 clase 1,2

http://slidepdf.com/reader/full/clase-12-56da7d0c11f38 1/60

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAM

FACULTAD DE INGENIERÍ A

EAPIG GEOLOGÍA

Clase 1 y 2

C

Docente: Ing. Wilder Chuquiruna Chávez

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ESTADISTICA(Media, CV, Análisis, correlación)

VARIOGRAFIA (Conceptos, Análisis)

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Promedio o Media de la muestra

Mediana: Valor que deja el 50% de los datosCon los datos Ordenados:

Número Impar de datos -- el dato centralNúmero Par de datos -- promedio de los dos

datos centrales.

Moda: Valor más común

n

i

i

n1

XX

Medidas de Posición

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Geology – Modeling /

• Parámetros de tamaño

– Mínimo (P0)

– Máximo (P100)

– Moda (Mo)

– Mediana (M = P50)

P0 P100

Mo

P 50

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Media = 5

Lejos, es la Medida de Tendencia Central másutilizada

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14

Media = 6

Afectada por Valores Extremos (Outliers)

Media

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Mediana

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Mediana = 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14

Mediana = 5

No es afectada por los valores extremos(robusta), sino por el tamaño de la muestra.

En Arreglo Ordenado , la Mediana es el valor “del medio”

Si n es impar, Mediana = X[(n+1)/2]. Si n es par, Mediana =½(X[n/2]+X[n/2+1])

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Moda

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Moda = 9

0 1 2 3 4 5 6

No-Moda

Valor que ocurre más Frecuentemente

No es Afectado por Valores Extremos

Puede que no exista Moda

Pueden existir varias Modas

Se emplea en datos Categóricos o

Numéricos

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¿Datos soncategóricos?

Si

No

MODALa primera consideración es el datos, si la variable es categóricModa es la única medida que mdescribe los datos

¿El total esde Interés?

Si

No

MEDIA

La segunda consideración es prtarse si el total de las observaces de algún interés. Si la respueafirmativa, entonces la medida cuada de la tendencia central eMedia

¿DistribuciónSesgada?

Si

No

MEDIANA

Si el total de las observaciones

de interés. Entonces, si elhistograma es sesgado, usar laMediana como medida de latendencia central.

MEDIAEn caso contrario la Media si esmoderadamente sesgadaEn todos los casos elhistograma debe ser unimodal

¿Cuándo usar Media, Moda o Mediana?

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Medidas de variabilidad

Rango: Diferencia entre los valores máximo y

mínimo 2

2 1

( )

1

n

i

i

X X

S n

Varianza muestral

Desviación estándar 2

S S

x

sV C ..

Coeficiente

Variacion

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Importante Medida de la Dispersión

Mide la Desviación Cuadrática Promedioalrededor de la Media; esto es, toma encuenta cómo se distribuyen los datos alredorde la Media

Variancia Muestral

Variancia Muestral : ( )2

2 1

n

i

i X X

s

1n

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Deviación Estándar Muestral

La más Importante Medida de Dispersión

Muestra la Raíz de la Desviación cuadráticapromedio alrededor de la Media

Tiene las misma Unidad que los Datos Origina

( )2

1

n

i

i

X X

s

1n

= 23,3 s

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Comparando Desviaciones Estándar

Media = 1

s = 3.3311 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Datos A^

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Media = 1

s = .9258

Datos B

^

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Media = 1

s = 4.57

Datos C

^

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Estadísticas BásicasYacimiento tipo pórfidocuprífero CV = 0.7

Yacimiento de cobre demediana var. CV = 1.5

Yacimiento de oro de altavariabilidad CV = 4.5

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• Histograma• La escala de intensidades se divide en N clases.

• Una frecuencia está asociada a cada centro de clase yrepresentada por un rectángulo proporcional

• Las frecuencias pueden ser absolutas (Nb) o relativas (

Histogramme de MoS2.

Sondage n°647

MOS2

Nb

d'obs

0

4

8

12

16

20

24

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

MoS2 (%) Nb Obs.

<0,15 80,29 37 0,43 31

0,57 140,71 40,86 11,00 31,14 01,28 1

1,42 1

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• Histograma• La selección del número de clases influye

en la legibilidad

• 15 a 20 clases es comunmente óptimo

7, 21 o 100 clases para un total de 800 observaciones

Zn(%)

3.8

9.3

14.8

20.2

25.8

31.2

36.8

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• Histograma en frecuencias acumuladas• Frecuencias acumuladas de 0% a 100%• Lectura rápida de « percentiles »

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Tipos de distribución• Distribución Normal

• Eventos debido a múltiples causas independientes,…

• Ex. granulometría de un sedimento, Densidad por alteración,fluctuationes mensuales de un nivel piezométrico, geoquímica deelemento mayor y móvil (Fe, Mn,…), …

f x e

x

( ). .

( )

.

2

22

2

con :

µ = media

σ = desviación típica

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Distribución Normal (Gaussiana)• La distribución gaussiana es simétrica:

• La media y mediana son iguales

• Cualquier Distribucion puede pasar a Normal Gaussian

(estandarizar).

• Si y definimos: , entonces:

• Y tiene distribucion Normal Gaussiana

),(~ 2 N X

X Y )1,0(~ N Y

0 2 4 6 8 10 12 140.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

g(z)

95 %

2.5% 2.5%

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Análisis Univariables valores extremos

• Valores extremos: afectan considerablemente las estadísticas básicas

• ¿Qué hacer con ellos?:

• Declarar los valores extremos como erróneos yeliminarlos• Clasificarlos en poblaciones estadísticas separadas• Usar estadísticas robustas, que son menos sensibles a

los valores extremos: mediana, coeficiente decorrelación de posición

• Transformar los datos para reducir su influencia• Bajarlos a un máximo “razonable”

• Outliers: Observaciones que parecen no pertenecer a la misma poblaciónconstituida por el resto de los datos

• Generan considerables problemas al aplicar regresión, debido a que tienenun efecto desproporcionado sobre los coeficientes de regresión estimados

• Los datos considerados extremos (outliers) puede eliminarse sólo si se hacomprobado que están errados. En caso de ser datos verdaderos, proveeninformación que puede ser crítica para la respuesta del modelo.

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Análisis Univariable• La distribuciones son útiles para chequear la

presencia de dos poblaciones

CDF PDF

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Análisis Estadístico

• Son útiles para chequear la presencia de dos poblacio

• Debe confirmarse con información geológica

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O b s e r v e d V a l u e

¿Agrupaciones de puntos? Investigar

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Theoretical Quantile

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Histogram

-1,0 0,7 2,3 4,0 5,6 7,3 9,0 10,6 12,3 13,9 15,6

Var1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Noofobs

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Correlación : parámetro adimensional [-1,1]

Covarianza : parámetro adimensional [-∞,+∞]

yy xx

xy

xy

.

Fe Ni Cu VFe 1.00 .90 .38 .81Ni .90 1.00 .44 .73Cu .38 .44 1.00 .52

V .81 .73 .52 1.00

Correlació

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Correlación

• Diferentes

ejemplos decoeficiente decorrelación

Caso 1

= 1

X

Y

Caso 2

= 0,68

X

Y

Caso 3

= 0

X

Y

Caso 4

= 0

X

Y

Caso 5

= -0,87

X

Y

Caso 6

= -1

X

Y

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‘Perfecta’

‘Muy Fuerte’

‘Fuerte’

‘Modesta’‘Débil’

‘Muy Débil’

‘Ninguna’

Correlaciónentre X e Y es…

1.00-1.00

0.90 – 0.99-0.99 - -0.90

0.70 – 0.89-0.89 - -0.70

0.40 – 0.69-0.69 - -0.40

0.20 - 0.39-0.39 - -0.20

0.01 - 0.19-0.19 - -0.01

0.000.00

Pendiente

Positiva

Pendiente

Negativa

Regla Práctica de Interpretación

r

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ESTADISTICA

(Media, CV, Análisis, correlación)

VARIOGRAFIA (Conceptos, Análisis)

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Variograma -Definición

Es una herramienta que permite

analizar el comportamiento espacialde una propiedad o variable sobre

una zona dada

Detectar direcciones de anisotropía

Ejemplo:

Zonas de influencia y su extensión (correla

espacial)

Variabilidad con la distancia

Parámetros del semivariograma

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Los parámetros del semivariograma caracterizan tres elementos importantes envariabilidad de un atributo que son: la discontinuidad en el origen (existencia de efde pepita), el valor máximo de variabilidad (meseta), y el área de influencia dcorrelación (alcance), (figura 8). como se presentan en Krajewski y Gibbs (1993), JournHuijbregts (1978), David (1977), Echaabi (1995), Lamorey y Jacobsom (1995), Wallac

Hawkims (1994), Pannatier (1993), Arik (1990), Pitard (1994), y se describencontinuación.

El Efecto Pepita (Nugget): El semivariograma por definición es nulo en el origen, peropráctica las funciones obtenidas pueden presentar discontinuidad en el origen a est

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práctica las funciones obtenidas pueden presentar discontinuidad en el origen, a estdiscontinuidad se le llama efecto de pepita, en ingles (Nugget effect). Puede ser obtetrazando una línea recta entre los primeros puntos del semivariograma empírico y exésta hasta que se intercepte con el eje Y. Si esta intersección ocurre por debajo de cevalor asumido por este efecto es cero, pues valores negativos de (0) no tienen signifno es común. El efecto pepita se representa como Co.

La Meseta (Sill): Es el valor de (h) para el cual con el aumento de h su valor permanconstante, se representa como (CT = C + Co) y se denomina meseta. Puede obtenersetrazando una línea paralela a la abscisa y que se ajuste a los puntos de mayor valor dsemivariograma y su valor se lee en la intersección de esta línea con la ordenada.

El Alcance (Range): La distancia h para la cual las variables Z(x) y Z(x+h) son independse denomina alcance y se representa por (a), es decir, las distancias para la cual los v

de la variable dejan de estar correlacionados, o lo que es lo mismo, la distancia parael semivariograma alcanza su meseta.El alcance siempre tiene valor positivo y puede ser obtenido a partir de la intersecciólas líneas descritas en los puntos anteriores, ese punto leído en la abscisa es una fracdel propio alcance, fracción que se detallara posteriormente en la explicación de losmodelos teóricos.

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Estimador del variograma

• Variograma:

pero en el caso estacionario:

• El estimador del variograma es:

( ))()(var 2

1

),( 2121 xxxx Z Z ianza

( ) 0)()(( 2

hxx Z Z E

( ) 2)()(

2

1, hxxhx Z Z E

)(

1

2* )()()(2

1)(

h

hxxh

h

N

z z N

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Propiedades del variograma

• Simétrico

• Se anula en el origen

• Positivo o nulo

• En el infinito, crece más lento que una parábola

• Toda suma de variogramas es un variograma• El producto de variogramas no es necesariamente un

variograma

( ) ( )hh

( ) 00

( ) 0h

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Variograma Experimental

-

obtenció

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( )

)(2* ))()((

2

1)(

h N

1i

ii h x z x z

h N h

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( 5

2

54

2

43

2

32

2

21

*

5*2

1 x z x z x z x z x z x z x z x z x z h

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 264

2

53

2

42

2

31

*

4*2

12 x z x z x z x z x z x z x z x z h

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 263

2

52

2

41

*

3*2

13 x z x z x z x z x z x z h

1 x

2 x

3 x

4 x

5 x

6 x

h

Datos Igualmente espaciados:

Variograma Teórico

-

Definició

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1

5

3

7

9

8

2

4

6

12

34

56

78

A B

MEDIA = 5

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4

Distancia

V a r i o g r a m a

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3

Distancia

V a r i o g r a m a

VARIANZA=50/9

HISTOGRAMAS IGUALES

Cont inuidad es

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Mapa de Variogram

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Propiedades del variograma

• Simétrico

• Se anula en el origen

• Positivo o nulo

• En el infinito, crece más lento que una parábola

•Toda suma de variogramas es un variograma

• El producto de variogramas no es necesariamente un variogram

( ) ( )hh

( ) 00

( ) 0h

I t t ió d i i t l

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Interpretación de variogramas experimentales

• Meseta = la varianza (1.0 si los datos están estandarizados)

• Alcance = la distancia a la cual el variograma alcanza la meseta (95%)

• Efecto pepita = suma de variabilidad debida a microestructuras geológicas y error de m

• Cualquier error en la medición del valor o la posición asignada a la medida se tradun efecto pepita mas alto.

• Cuando los datos son escasos el efecto pepita aparece más alto de lo esperado

Variograma Vertical

Distancia

Meseta

Rango

Efecto pepita

Variograma teórico (7)

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Variograma teórico (7)

• Comportamiento direccional

El estudio de los variogramas direccionales permite identifica

anisotropías de la variable regionalizada.

Modelos elementales (2)

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Modelo esférico:

contrariocasoenC

||si ||

21||

23C

)(

3

a

aa

h

hh

h

alcance a, meseta C


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Modelo exponencial:

El parámetro a es el alcance práctico : corresponde a la distancia

la cual el variograma llega al 95% de su meseta C.

a

||3exp1C)(

hh


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Modelo gaussiano:

2

2||3exp1C)(

a

hh

alcance práctico a, meseta C

Modelos elementales (Estructuras)

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Geology – Mode

Modelos elementales (Estructuras)

P bl V i

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Problem Variograms

Lag distance (h)

( h )

0 62.5 125.0 187.5 20

0.5

1.0

1.5

2 2 3 8

1 8 8 7

3 7 8 4

4 9 9 2

6 0 5 0

7 0 9 4

8 0 3 8 8

8 1 4

8 4 1 4

7 9 3 4

8 0 9 8

7 3 4 9

7 1 5 1

7 6 4 0

7 2 0 6

6 5 2 2

6 2 9 5

6 1 0 3

5 7 5 0

5 4 5 8

5 5 1 4

5 1 3 5 4

7 3 5

4 4 7 3

4 5 0 4

4 2 0 9

3 9 9 3

3 6 6 7

3 5 4 6

3 3 3 1

3 1 1 0

2 9 9 2

2 8 4 9

2 5 7 1

AZIMUTH = 0 DIP = 0

*

Sample variogram points with less than 350 pairs have not been plotted.

(h) = 0.400 + 0.329 Sph30.7(h) + 0.271 Sph270.1(h)

Cál l d i i t l

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Cálculo de variogramas experimentales

• 2-D o 3-D, regular o irregularmente espaciado

• Especificación de Dirección (regular):

• Especificación de dirección (irregular):

Azimuth

tolerance

Bandwidth

Azimuth

Y axis (North)

X axis (East)

Cál l d i i t l

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)(

)([)(

1)(2

h N

zu z h N

h

Ejemplo: Comienzo con una separación (#4)

Comenzar en un nodo y comp

valor con todos los nodos que

dentro del la tolerancia de sep

y tolerancia angular ....



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)(

)([)(

1)(2

h N

zu z h N

h

...

Ir al siguiente nodo.



-

distancia & direcci

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clase de distancia h

clase de distancia 2h

clase de distancia 3h


-

obtenc

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-

tolerancia angu

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Tolerancia angular

Conclusion Primera Parte

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• Ley espacial

• Esperanza matemática (Probabilidades) o momento

de primer orden

• Momentos de segundo orden:

• Varianza

• Covarianza

• Variograma

• Correlograma

( )

h x x

ji

ji

x z x z h N

h 2*

))()((2

1)(

( ) )()( 00 xx m Z E

22 )()()( xxx m Z E

)()()()(

)()()()(),(

2121

221121

xxxx

xxxxxx

mm Z Z E

m Z m Z E C

)()(

),(),(

2

2

1

2

2121

xx

xx

xx

C

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