Clase 12: Movimiento circular en el espacio

27 de abril de 2020

En esta clase describimos el movimiento de una partícula en el espacio, obligada a seguir una trayectoriacircular. Para eso necesitamos introducir el producto vectorial entre vectores del espacio R3.

1. Producto vectorial en R3

El producto vectorial se de�ne únicamente entre vectores de tres componentes. Es una construcción mate-mática que opera con las coordenadas de los vectores y que tiene importante interpretación geométrica.

De�nición

Dados dos vectores ~A y ~B descriptos en un sistema cartesiano por sus componentes, ~A = Ax ı+ Ay + Az k

y ~B = Bx ı+By +Bz k, se de�ne el producto vectorial de ~A por ~B como un nuevo vector, que se anota ~A× ~B

~A× ~B = (AyBz −AzBy) ı+ (AzBx −AxBz) + (AxBy −AyBx) k

Noten que se usa el símbolo × para distinguirlo del producto escalar ~A · ~B; algunos textos llaman producto"punto" al producto escalar y producto "cruz" al producto vectorial. Otros textos anotan ~A ∧ ~B al productovectorial.

Si están acostumbrados al desarrollo de determinantes de matrices de 3 por 3, verán que el producto vectorialse puede escribir en forma compacta como

~A× ~B =

∣∣∣∣∣∣ı kAx Ay AzBx By Bz

∣∣∣∣∣∣Ejemplo: tomemos ~A = ı y ~B = j. Calculamos

~A× ~B = ı× = (0 · 0− 0 · 1) ı+ (0 · 0− 1 · 0) + (1 · 1− 0 · 0) k = k

y también~B × ~A = × ı = (1 · 0− 0 · 1) ı+ (0 · 1− 0 · 0) + (0 · 0− 1 · 1) k = −k

Notamos que el producto vectorial no es conmutativo, basta con este ejemplo para reconocer que ~A× ~B 6=~B × ~A.

Para apreciar el signi�cado de este producto empezamos por reconocer sus propiedades algebraicas y geo-métricas.

Propiedad: en general el producto vectorial es anti-conmutativo,

~B × ~A = − ~A× ~B

es decir, ~B × ~A es el vector opuesto a ~A × ~B. Para demostrarlo basta hacer los dos productos con vectoresgenéricos, usando la de�nición, y comparar los resultados.

Propiedad: los factores escalares conmutan con el producto vectorial. Si k es un escalar, entonces

(k ~A)× ~B = ~A× (k ~B) = k ~A× ~B

1

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Para demostrarlo basta sacar k como factor común en la de�nición de producto vectorial.

Propiedad: en general el producto vectorial es distributivo respecto de la suma,

~A×(~B + ~C

)= ~A× ~B + ~A× ~C

Para demostrarlo basta hacer los cálculos con vectores genéricos, usando las de�niciones de suma y de productovectorial, y comparar los resultados.

Propiedad: en general el producto vectorial no es asociativo,

~A×(~B × ~C

)6=

(~A× ~B

)× ~C

por lo cual no tiene sentido escribir ~A× ~B× ~C sin paréntesis. Podemos desarrollar este doble producto vectorial,se encuentra que

~A×(~B × ~C

)=

(~A · ~C

)~B −

(~A · ~B

)~C

donde(~A · ~C

)~B es el producto del número real (escalar)

(~A · ~C

)por el vector ~B, ídem en el segundo término.

Para demostrarlo basta hacer los cálculos con vectores genéricos, usando las de�niciones de suma, productoescalar y producto vectorial, y comparar los resultados.

Propiedad: para cualquier vector ~A se cumple

~A× ~A = ~0

como se observa desarrollando la de�nición. Notamos que un producto vectorial puede ser nulo aunque ningunode los factores sea nulo.

Propiedad: dados dos vectores ~A y ~B, el módulo del producto vectorial está dado por

| ~A× ~B| = | ~A|| ~B| sinφ

donde φ es el ángulo que forman ~A y ~B en el espacio cuando se gra�can con el mismo punto inicial, tomado enel rango 0 ≤ φ ≤ π.

Para demostrarlo conviene primero probar, usando las de�niciones, que(~A× ~B

)·(~A× ~B

)=

(~A · ~A

)(~B · ~B

)−(~A · ~B

)2

Luego

| ~A× ~B|2 =(~A× ~B

)·(~A× ~B

)= | ~A|2| ~B|2 −

(| ~A|| ~B| cosφ

)2

= | ~A|2| ~B|2(1− cos2 φ

)= | ~A|2| ~B|2 sin2 φ

donde usamos la propiedad del producto escalar ~A · ~B = | ~A|| ~B| cosφ con 0 ≤ φ ≤ π. Tomando raíz cuadrada, yteniendo en cuenta que en primer y segundo cuadrante sinφ ≥ 0, obtenemos el resultado importante

| ~A× ~B| = | ~A|| ~B| sinφ

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Propiedad: dados dos vectores ~A y ~B no nulos,

~A× ~B = ~0 ⇐⇒ ~A ‖ ~B

⇒) Para demostrar que ~A × ~B = ~0 ⇒ ~A ‖ ~B, basta ver que el módulo del producto es nulo con | ~A| 6= 0

y | ~B| 6= 0, luego el ángulo φ que forman tiene sinφ = 0, luego debe ser φ = 0 ( ~A y ~B paralelos y con igual

sentido), o φ = π ( ~A y ~B anti-paralelos, es decir en la misma dirección y sentidos opuestos).

⇐) Para demostrar que ~A ‖ ~B ⇒ ~A × ~B = ~0, basta ver que el ángulo φ que forman ~A y ~B debe ser 0 o π,

luego | ~A× ~B| = 0, luego ~A× ~B = ~0.

Propiedad: dados dos vectores ~A y ~B, (~A× ~B

)· ~A = 0(

~A× ~B)· ~B = 0

Para demostrarlo basta con aplicar las de�niciones de producto vectorial y escalar.

Corolario: En particular, si ~A y ~B son dos vectores no nulos y no paralelos (es decir ~A× ~B 6= ~0),

~A× ~B ⊥ ~A y ~A× ~B ⊥ ~B

Con estas hipótesis ~A y ~B determinan un plano en el espacio. En efecto, si los dibujamos con el mismo puntoinicial, vemos que el punto inicial y los extremos de ~A y de B son tres puntos no alineados, luego determinanun plano. Lo que hemos probado es que ~A× ~B es perpendicular al plano determinado por ~A y ~B.

Con las propiedades mencionadas podemos anticipar si el producto vectorial ~A× ~B es nulo o no nulo, y encaso de ser no nulo podemos calcular su módulo y determinar geométricamente la dirección de ~A × ~B en elespacio. Para identi�car completamente al vector ~A× ~B sólo nos falta conocer su sentido.

Sistemas de coordenadas derechos e izquierdos

Volvamos al principio de esta clase: para de�nir el producto vectorial contamos previamente con un sistemade coordenadas cartesiano en el espacio. En el primer ejemplo, usando la de�nición por componentes, calculamosque

ı× = k

pero no discutimos para dónde apunta k. La pregunta no es trivial: al construir el sistema de coordenadas, laelección de las direcciones y sentidos de ı y determina la dirección del eje z (perpendicular a ambos) pero nosdeja la posibilidad de elegir su sentido entre dos orientaciones posibles. Esa elección del tercer versor cartesianodistingue dos tipos de sistemas de coordenadas, que llamamos derecho (o dextrógiro) e izquierdo (o levógiro).Los podemos describir usando la estructura de nuestras manos:

si al alinear los dedos de la mano derecha con el versor ı, y al cerrar la mano llevando los dedos hacia elversor , el pulgar queda orientado como el versor k, se dice que el sistema cartesiano es derecho.

si al alinear los dedos de la mano izquierda con el versor ı, y al cerrar la mano llevando los dedos hacia elversor , el pulgar queda orientado como el versor k, se dice que el sistema cartesiano es izquierdo.

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La propiedad que distingue los sistemas cartesianos derechos e izquierdos se llama quiralidad (del griegoquiros, mano). Es importante reconocer que cualquier par de sistemas derechos se pueden conectar medianteuna rotación en el espacio, basta con acomodar la mano derecha; cualquier par de sistemas izquierdos se puedenconectar mediante una rotación en el espacio, basta con acomodar la mano izquierda. Sin embargo, sistemas condistinta quiralidad no se pueden conectar entre sí mediante rotaciones en el espacio (es necesaria una re�exiónrespecto de un plano).

Vemos entonces que la expresión que dimos al principio de la clase para el producto vectorial todavía esambigua. En el ejemplo ı× descubrimos que, según el sistema cartesiano que usemos, esa expresión da resultadosgeométricamente distintos. Para completar la de�nición se debe precisar en qué tipo de sistemas vamos a utilizarla expresión dada.

De�nición de producto vectorial, revisada:

Dados dos vectores ~A y ~B descriptos en un sistema cartesiano derecho por sus componentes,~A = Ax ı+Ay +Az k,~B = Bx ı+By +Bz k,

se de�ne el producto vectorial de ~A por ~B como un nuevo vector, que se anota ~A× ~B, con componentes dadaspor

~A× ~B = (AyBz −AzBy) ı+ (AzBx −AxBz) + (AxBy −AyBx) k

Con esta de�nición completa, podemos caracterizar geométricamente el resultado de ~A× ~B:

si ~A = ~0, o ~B = ~0, o ~A ‖ ~B, entonces ~A× ~B = ~0

de lo contrario, el vector ~A× ~B tiene

• módulo | ~A× ~B| = | ~A|| ~B| sinφ (donde φ es el ángulo plano entre ~A y ~B)

• dirección perpendicular al plano determinado por ~A y ~B(~A× ~B ⊥ ~A y ~A× ~B ⊥ ~B

)• sentido determinado por la regla de la mano derecha

donde la regla de la mano derecha (r.m.d.) se puede enunciar así: al alinear los dedos de la mano derecha con

el vector ~A y al cerrar la mano llevando los dedos hacia el vector ~B, el pulgar indica el sentido del producto~A× ~B.

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2. Movimiento circular en el espacio

Consideremos una partícula restringida a moverse sobre una circunferencia de centro O (�jo respecto deun observador inercial)) y radio R, no necesariamente centrada en el origen del sistema de coordenadas nicontenida en uno de los planos cartesianos. Por ejemplo, la válvula de una rueda de bicicleta que gira mientrasla sostenemos �jamente por su eje. El objetivo de esta sección es describir ese movimiento en forma vectorial,sin usar componentes cartesianas.

Dibujemos la circunferencia sin especi�car su ubicación en los ejes cartesianos, el vector ~r(t) que indica eldesplazamiento de la partícula respecto de O y su velocidad ~v(t):

Dado que la partícula se mantiene sobre la circunferencia, en todo instante ~r(t) · ~r(t) = R2. Derivando respectodel tiempo, como el lado derecho es constante, obtenemos

d

dt(~r(t) · ~r(t)) =

d

dt~r(t) · ~r(t) + ~r(t) · d

dt~r(t) = 2~r(t) · ~v(t) = 0

Es decir, cuando la partícula se mueve, su velocidad ~v(t) es en todo momento perpendicular a ~r(t). Sila velocidad no es nula, a partir de un tiempo t y en un intervalo in�nitesimal de tiempo dt la partícula realizaun desplazamiento in�nitesimal

d~r = ~v(t) dt

que también es perpendicular a ~r(t):~r(t) · d~r = ~r(t) · ~v(t) dt = ~0

Estas características, que trabajamos en la clase anterior usando los versores radial y angular, son válidas paracualquier movimiento circular con centro �jo. Y las hemos escrito en forma covariante (independiente del sistemade coordenadas).

Ángulo in�nitesimal de rotación

Cuando una partícula se mueve sobre una circunferencia, utilizando el producto vectorial podemos identi�cartanto la dirección del eje de rotación como el sentido de rotación respecto de ese eje. Para eso se de�ne el ánguloin�nitesimal de rotación asociado a un desplazamiento in�nitesimal d~r como la cantidad vectorial in�nitesimal,

~dθ =1

R2~r(t)× d~r

Características de ~dθ:

por un lado, la dirección de ~dθ es perpendicular al plano determinado por ~r(t) y d~r, que es el plano quepasando por el centro O contiene a la circunferencia. Esa es la dirección del eje de rotación.

por otro lado, sabiendo que ~r(t) y d~r son perpendiculares, el módulo de ~dθ mide el ángulo in�nitesimalgirado en radianes:

| ~dθ| = 1

R2|~r(t)||d~r| sin(π/2) =

R|d~r|R2

=|d~r|R

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y por último, la r.m.d. nos permite asociar el sentido de ~dθ, como vector, con el sentido de giro. Piensenque al cerrar la mano derecha desde la orientación de ~r(t) hacia la orientación de d~r estamos representando

dos cosas: el sentido de giro como movimiento de los dedos y el sentido de ~dθ por la orientación del dedopulgar. Naturalmente, esas dos cosas están asociadas por la estructura de nuestras manos (derechas).

Este método de la r.m.d. para identi�car el sentido de giro es mucho más poderoso que la convención horariovs. anti-horario (que depende de la ubicación en el espacio del supuesto reloj) y permite describir rotaciones entorno a cualquier eje en el espacio.

Propiedad: a partir de ~dθ se puede recuperar el desplazamiento in�nitesimal d~r como

d~r = ~dθ × ~r(t)

Para demostrarlo usamos propiedades del producto vectorial:

~dθ × ~r(t) =1

R2(~r(t)× d~r)× ~r(t)

= − 1

R2[~r(t)× (~r(t)× d~r)]

= − 1

R2[(~r(t) · d~r)~r(t)− (~r(t) · ~r(t)) d~r]

=1

R2R2 d~r = d~r

Velocidad y aceleración angulares como vectores

Cuando una partícula se mueve sobre una circunferencia, a partir del vector ~dθ se de�ne el vector velocidadangular como

~ω(t) =~dθ

dt=

1

R2~r(t)× d~r

dt

El módulo del vector velocidad angular

|~ω(t)| = |~dθ|dt

describe la velocidad angular en radianes por unidad de tiempo. La dirección y sentido de ~ω(t) están dados por

la dirección y sentido de ~dθ ; es decir, describen el eje de rotación y el sentido de giro con la r.m.d.Contando con el vector ~ω(t), la aceleración angular también se puede de�nir como un vector:

~α(t) =d~ω

dt(t)

Como estamos trabajando movimientos sobre una circunferencia �ja, podemos utilizar un versor e perpendicularal plano de la circunferencia que identi�ca la dirección del eje �jo de rotación. Notemos que utilizando ese versorse puede escribir

~dθ = dθ e

~ω(t) = ω(t) e

~α(t) = α(t) e

donde las componentes tienen el mismo signi�cado que las variables angulares que ya usamos para en la claseanterior para describir movimiento circular en el plano xy. Si el eje de rotación cambia con el tiempo (como enla precesión de un trompo) tendrán que revisar estas expresiones.

Vectores velocidad y aceleración

Escribiendo el desplazamiento in�nitesimal como d~r = ~dθ × ~r(t) obtenemos importantes relaciones entrela velocidad y aceleración angular y la velocidad y aceleración vectorial. En primer lugar encontramos qued~rdt =

~dθdt × ~r(t), es decir

~v(t) = ~ω(t)× ~r(t)

27 de abril Clase 12-7

Derivando este resultado respecto del tiempo obtenemos la aceleración como

~a(t) =d

dt(~ω(t)× ~r(t))

=d~ω

dt(t)× ~r(t) + ~ω(t)× d~r

dt= ~α(t)× ~r(t) + ~ω(t)× ~v(t)

= ~α(t)× ~r(t) + ~ω(t)× (~ω(t)× ~r(t))= ~α(t)× ~r(t) + (~ω(t) · ~r(t)) ~ω(t)− (~ω(t) · ~ω(t))~r(t)

= ~α(t)× ~r(t)− (~ω(t) · ~ω(t))~r(t)

Recuadremos el resultado

~a(t) = ~α(t)× ~r(t)− (~ω(t) · ~ω(t))~r(t)

El primer término es la aceleración tangencial, como indica la dirección de ~α(t)×~r(t). El segundo término es laaceleración centrípeta, opuesta a ~r(t) y de módulo ω2(t)R.

En conclusión, la introducción de las cantidades vectoriales ~dθ, ~ω(t) y ~α(t) nos permiten describir el movi-miento circular en forma covariante, sin usar explícitamente componentes cartesianas.