Clase 15 1 Ecuaciones Diferenciales
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ecuaciones diferenciales
.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Habilidades
1. Reconoce una ecuación diferencial de la forma y’= f(x,y).Verifica si una función f(x) es solución de una ecuación
diferencial.3. Obtiene la solución de una ecuación diferencial.4. Describe mediante una ecuación diferencial laInterpretación de modelos.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ecuaciones diferenciales
Una ecuación diferencial es aquélla que contiene una funcióndesconocida y una o más de sus derivadas.
El orden de una ecuación diferencial es el correspondientea la derivada de orden más alto que se tenga en la ecuación.
Una función f es una solución de una ecuación diferencial, siésta se cumple cuando se sustituyen y = f(x) y sus derivadas enella, para todos los valores de x en algún intervalo I.
Resolver una ecuación diferencial es hallar todas las solucionesposibles de ella, es decir, hallar la solución general de ella.
Definición
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ecuaciones diferencialesResolver un problema con valor inicial es hallar una solución deuna ecuación diferencial que cumpla una condición inicial,
y(x0) = y0.
La forma general de una ecuación diferencial de primer ordenes:
Forma general
yx,fy'
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ecuaciones diferenciales
Una ecuación diferencial de variables separables es una ecuación diferencial de primer orden en la cual la expresión para dy/dx se puede factorizar como:
Ecuaciones de variables separables
ygxfdxdy
o también como:
ygxf
dxdy
si g(y) 0.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ecuaciones diferenciales
Escribimos la ecuación separable en forma diferencial:
Resolución de ecuaciones separables
dxxfdyyg1
o también como:
dxxfdyyg
según sea el caso. Luego integramos, con respecto a y en el miembro izquierdo y con respecto a x en el miembro derecho.
si g(y) 0.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ecuaciones diferencialesCrecimiento poblacional
Ecuación diferencial que modela:
Ay ,k ,kydtdy
(0)0
Función de crecimiento poblacional:
ktAety )(
Se considera que en condiciones de ambiente y suministro alimenticio ilimitados, la rapidez con la cual crece una población es proporcional al tamaño presente de dicha población. Sea A la población inicial.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ecuaciones diferenciales
Desintegración radiactiva
Ecuación diferencial que modela:
0(0)0 mm ,k ,kmdtdm
Función de desintegración radiactiva:
ktemtm 0)(
Se considera que la rapidez con la cual se desintegra un material radiactivo es proporcional a la masa presente de
dicho material. Sea m0 la masa inicial del material radiactivo.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ecuaciones diferenciales
Una trayectoria ortogonal de una familia de curvas es una curva queinterseca a cada una de las curvas de dicha familia de forma tal quelas rectas tangentes son mutuamente perpendiculares en cada puntode intersección.
Trayectorias ortogonales
dxy
cyx
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Familias de trayectorias ortogonales
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ecuaciones diferenciales
Si las pendientes de las rectas tangentes de una familia están
representadas por y1’ y las pendientes de las rectas tangentes de la
otra familia están representadas por y2’, luego:
121 'y'y
Procedimiento
Encuentre y1’ de la primera familia, expresándola únicamente
en términos de x e y. Reemplázela en la ecuación anterior y
luego despeje y2’. Por último encuentre y2, resolviendo la
ecuación diferencial que se obtiene.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ecuaciones diferenciales
Un problema típico de mezclado comprende un tanque de capacidadfija V, lleno con una una solución completamente mezclada de una
una sustancia con una cantidad y0.
Una solución de concentración c entra al tanque a una razón fija v yla mezcla, por completo agitada, sale del mismo a la misma razón.
Mezclas
c
v
v
V
y0
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ecuaciones diferenciales
Si y(t) denota la cantidad de la sustancia en el tanque en el instantet, entonces dy/dt es la razón a la cual se agrega esa sustancia menos la razón a la cual se extrae:
)()( salida de razónentrada de razóndtdy
Razón de entrada: (masa por unidad de volumen entrante) x (volumen por unidad de tiempo) = cv.
Razón de salida: (masa por unidad de volumen saliente) x
(volumen por unidad de tiempo) = .vVty )(
Ecuación diferencial que modela:
0(0))(
yy , v Vty
cdtdy
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ecuaciones diferenciales
Una ecuación diferencial lineal es aquella que puede expresarse
en la forma:
Ecuaciones lineales
)()( xQyxPdxdy
donde P y Q son funciones continuas sobre un intervalo I. Para
resolverla multiplicamos sus dos lados por el factor de
integración e integramos ambos lados,
observando que el lado izquierdo es la derivada de un producto.
dxxP
exI)(
)(
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Bibliografía
“Cálculo de una variable”
Cuarta edición
James Stewart
Secciones 9.1, 9.3, 9.4, 9.6
Ejercicios 9.1 pág 585:1-12.
Ejercicios 9.3 pág 600:1-18, 23-40.
Ejercicios 9.4 pág 610:1-4, 8-15, 19, 20.
Ejercicios 9.6 pág 626:1-4, 8-15, 19, 33, 34.