Clase 2

Fisica Cuántica Curso 2015

Clase 2 Página 1

Departamento de Física

Fac. Ciencias Exactas - UNLP

Radiación del cuerpo negro

Deducción de la Ley de Planck

Determinación experimental de la constante de Planck.

Temas pendientes de la Clase 1

Ley de Stefan

Leyes de Wien


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Max Karl Ernst Ludwig Planck

Obs. 1900

P. N. 1918

b. 1858d. 1947

Berlin University Berlin, Germany

"in recognition of the services he rendered to the advancement of Physics by his discovery of energy quanta"

Aunque los físicos experimentales cercanos a Planck conocían el trabajo de Rayleigh (Philos. Mag. 49,539(1900)) de junio, parece que Planck no lo conocía ya que no lo menciona en absoluto en sus contribuciones.

En 1931 Plack se refiere a su hipótesis ( que veremos enseguida) como “ un acto de desesperación …Tenía que obtener un resultados positivo, bajo cualquier circunstancia y a cualquier costo” Hermann, A. (1969) Frühgeschichte der Quantuntheorie, 1899-1913

(Mosbach, Baden)


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Planck primero hace un progreso empírico, se da cuenta de que si pone un -1 en la ley de Wien el ajuste es perfecto.

de

Cdu

TC

1)(

2

51

Efectivamente, para longitudes de onda muy cortas, se puede despreciar el “1“ frente al exponencial y se recupera la ley de Wien, en la región donde funciona bien.

En el extremo de longitudes de onda muy largas, se puede desarrollar en serie el exponencial, y reteniendo el término de primer orden, se obtiene la ley de Rayleigh, en la región donde funciona bien.

Planck, no conocía el tratamiento de Rayleigh, pero sabe que la densidad de energía, para longitudes de onda muy largas, debe depender linealmente de la temperatura.



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Cómo se calcula la energía media del oscilador?

Aqui nos apartamos del tratamiento de Planck, quien analiza la entropía del sistema de osciladores.

Si tenemos n0 osciladores, cuántos tienen energía Em?

Segun la estadística de Boltzmann:

i

kTE

kTE

m i

m

e

enn 0

La energía media del oscilador es:

m

kTE

kTE

mm

mm

mm

m

m

m

e

eE

n

En


Para deducir su ley, Planck siguió un camino similar al de Rayleigh:

estableció),(8),( 3

2

Tc

Tu Aquí es la energía media de los osciladores.


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Planck supuso Em= mu

0

0

m

kTmu

m

kTmu

e

mue

kTu

ex

mx

dxdux ln

xxm

1

1x

ux

1

1

kTu

e

u

18)( 4

kTu

e

uddu

de

Cdu

TC

1)(

2

51

TC

kTu

2

2kC

u hu



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La ley de Planck queda:

d

e

hcdukT

hc1

8)( 5

dec

hdukT

h1

8)(3

3

sjh .10.6253,6 34

Para la determinación experimental de h analizaremos la radiación del cuerpo negro para una frecuencia fija en función de la temperatura.

dde

ddTIkT

h 1

~),(3

Para el experimento usaremos valores de y T, tales que: kTh



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Para la determinación experimental de h analizaremos la radiación del cuerpo negro para una frecuencia fija en función de la temperatura.

dde

ddTIkT

h 1

~),(3

Para el experimento usaremos valores de y T, tales que:kTh

Determinación de la constante de Planck


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kTh

AeTI

),( 0

A

V

Cuerpo negro.

Lámpara 75 W.220V

IVR

65

00

RRTT

Temperatura del filamento.



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La corriente inversa es muy pequeña y casi independiente del voltaje aplicado hasta que se arriba a un punto de ruptura.

La corriente directa se "enciende" a aproximadamente 0,5 V para un diodo de Si y puede llegar a corrientes muy altas a 0,7 V.

V

I


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Detector de intensidad luminosa: diodo polarizado inversamente

V

I

La corriente inversa es proporcional a la intensidad luminosa. Amplificador

(Lupa)

A

V

A

Experimento casi listo!


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Sensor: diodo polarizado inversamente.

La corriente inversa se incrementa con la intensidad luminosa.



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La corriente inversa atraves del fotodiodo varía linealmente con la iluminancia cuando se trabaja bien arriba de la corriente oscura.



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A

V

Caja negra ?kTh

AeTI

)()

11(

0

0

)()( TTk

h

eTITI

.)(ln ctekThTI

i

iV ~

.ln ctekThV

Vln

1T

kh

)(~),( 0 TiTI

V


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Características del diodo BP104


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Espectrofotómetro y radiación del cuerpo negro


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Como calculó Planck la energía media de un conjunto de N osciladores lineales de frecuencia ?

Sean UN= NU y SN= NS la energía y entropía total del sistema.

SN= k ln WN UN se supone construido por un número finito de elementos de energía : UN= P , donde P es un número grande.

Definimos la probabilidad WN como el número de formas en las que P elementos de energía indistinguibles pueden ser distribuidos sobre N osciladores distinguibles.

Ejemplo: para N=2 y P=3 las combinaciones son (3,0), (2, ), (,2), (0,3).

En general:)!1(!)!1(

NP

PNWN


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)!1(!)!1(

NP

PNWNPNUWkS NN ln

UUUUkS ln1ln1


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La termodinámica es la rama de la física que describe los estados de equilibrio a nivel macroscópico. Constituye una teoría fenomenológica que estudia sistemas reales. Los estados de equilibrio son estudiados y definidos por medio de magnitudes extensivas tales como la energía interna, la entropía, el volumen o la composición molar del sistema, o por medio de magnitudes no-extensivas derivadas de las anteriores como la temperatura, presión y el potencial químico.

Termodinámica


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Primera ley de la termodinámica.

La ecuación general de la conservación de la energía, aplicada a la termodinámica queda:

Donde U es la energía interna del sistema (aislado), Q es la cantidad de calor aportado al sistema y W es el trabajo realizado por el sistema.

En forma diferencial, se puede escribir:

WQU

WQdU

Termodinámica


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Segunda ley de la termodinámica.

Esta ley marca la dirección en la que deben llevarse a cabo los procesos termodinámicos y, por lo tanto, la imposibilidad de que ocurran en el sentido contrario (por ejemplo, que una mancha de tinta dispersada en el agua pueda volver a concentrarse en un pequeño volumen).

Esta ley apoya todo su contenido aceptando la existencia de una magnitud física llamada entropía, de tal manera que, para un sistema aislado (que no intercambia materia ni energía con su entorno), la variación de la entropía siempre debe ser mayor que cero.

La entropía del sistema puede definirse por la relación diferencial:

TQdS

Termodinámica


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Ley de Stefan

Cuerpo negro, de capacidad calorífica despreciable, mantenido a temperatura T por fuentes externas

Cavidad vacía, de paredes perfectamente reflectoras

Pared móvil


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Ley de Stefan

Sea u la densidad de energía en la cavidad, en equilibrio con el cuerpo negro a temperatura T.

La energía total en la cavidad es:

VuU .

Si se permite que el pistón se mueva, incrementando el volumen en

Una cantidad de calor fluirá desde la fuente para mantener el cuerpo negro a la temperatura T. La densidad de energía se mantendrá en su valor inicial, ya que depende solo de T.

El trabajo hecho por el sistema es:

y la energía del sistema se habrá incrementado en

VdQ

Vdp .).( VuddU


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Ley de Stefan

TpdV

TuVddS

)( TQdS

WdUQ

3up

Utilizando las relaciones de la termodinámica :

Se puede escribir:

Por otra parte, de la teoría del electromagnetismo

TudV

TVdudS

34

Tu

VS

34

TV

uS

Como dS es una diferencial exacta:

uV TV

VTu

uuVS

VuS

3422


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Ley de Stefan

TdT

udu 4

TTV

V

dudT

Tu

TTu

u

u

V

134

34

34

2

.ln4ln cteTu 4Tu


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Leyes de Wien

pdVuVd )(0

34´34 ´uVuV

3up

Consideremos una cavidad esférica de pared completamente reflectora, que puede realizar una expansión adiabática, mediante una elongación de su radio. La esfera contiene radiación en equilibrio con un cuerpo negro a temperatura T,

Veamos como establecer el cambio en temperatura y en densidad de energía.

4Tu

34´34 ´uVuV 3´3 ´TVTV


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Leyes de Wien

cvo

vcvc 21´´´

vcvc

´

3´3 ´TVTV

3rV ´T́rrT

Podemos probar que, si un haz de radiación de longitud de onda se refleja en un espejo que se mueve hacia la radiación con velocidad v, la relación entre la longitud de onda incidente y la reflejada es:

Si el espejo se aleja de la fuente luminosa:

Asi, el cambio en la longitud de onda en la reflexión, es:

cvd 2´


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Leyes de Wien

cvd cos2

r

Para incidencia oblicua , a un ángulo con la normal al espejo, la componente efectiva de la velocidad del espejo será la normal al frente de ondas de la radiación:

cos2rLa longitud de cuerda entre dos reflexiones es:

El tiempo entre dos reflexiones es: c

rdt cos2

El cambio en el tiempo de la longitud de onda estará dado por: r

vdtd

dtdrv

d

rdr

Integrando : ´´

rr


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Leyes de Wien

´T́rrT

´´

rr

´T́T

Ley de desplazamiento de Wien de las longitudes de onda

Vamos a considerar como la densidad de energía , para un rango particular de longitudes de onda, es alterada por un cambio adiabático en el volumen.


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3rV 34´34 ´uVuV

´´44 urur

Leyes de Wien

Consideremos como evoluciona un intervalo d de longitudes de onda

´´ ´44 durdur

´´

rr

´´

rd

rd

´55 ´ urur

´T́rrT 55 ´

´Tu

Tu

Ley de Wien del desplazamiento energía – temperatura.


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Leyes de Wien

)()()(

;

55

5

TguTfTuxfy

yTuxT

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